2. MATHEMATICAL ANALYSIS
Differential calculus
The present book is the first part of the cours of Mathematical
Analysis given by the author for many years at the Technical
University of Civil Engineering of Bucharest. It contains: Sequences
and Series of Numbers, Sequences and Series of Functions, Power
Series, Taylor’s Series, Metric Spaces, Normed and Hilbert Spaces,
Functions of Several Variables, Limits and Continuity, Partial
Derivatives, Differentiable Functions, Taylor’s Formula, Local
Extremum of a Function, Implicit Functions, Local Conditional
Extremum, Dependent Functions.
This list itself demonstrates that the book provides the engineering
disciplines with the necessary information of differential calculus of
functions with one and several variables.
We tried to offer the fundamental material concisely and without
distracting details. We focused on the presentation of basic ideas
of differential calculus in order to make it detailed and as
comprehensible as possible. The numerous examples also serve this
aim.
Besides students in tehnical faculties and those starting a
mathematics course, the book may be useful to engineers and
scientists who wish to refresh their knowledge about some aspects of
mathematics.
Lucrarea a fost realizată în cadrul Contractului de
Grant nr. 39643 / 11.08.1998, CNFIS, cod 54, acordat
de către Banca Mondială şi Guvernul României.
3. Prof. univ. dr. GAVRIIL PĂLTINEANU
ANALIZĂ
MATEMATICĂ
Calcul diferenţial
Seria „MATEMATICĂ“
4. 4 ANALIZĂ MATEMATICĂ
Editura AGIR
Bucureşti, 2002
6. Prefaţă
Lucrarea se adresează studenţilor din anul întâi din
universităţile tehnice şi are la bază experienţa de peste 20 de ani a
autorului în predarea cursului de Analiză Matematică la Facultatea
de Construcţii Civile şi Industriale din Universitatea Tehnică de
Construcţii Bucureşti. Materialul prezentat corespunde programei
analitice din semestrul întâi şi este împărţit în patru capitole: Şiruri şi
serii de numere reale, Şiruri şi serii de funcţii reale, Spaţii metrice.
Spaţii normate şi Spaţii Hilbert, Calculul diferenţial al funcţiilor de
mai multe variabile.
În vasta ofertă de cursuri de Analiză Matematică de pe piaţa
cărţii din ţara noastră, diferenţa este dată de măsura în care se
păstrează un echilibru rezonabil între rigoare şi accesibilitate. Acesta
a fost criteriul de bază în scrierea acestui curs şi sperăm că, măcar
parţial, am reuşit acest lucru.
Bucureşti,
februarie 2002
G. Păltineanu
7.
8. Cuprins
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE............................................................ 9
1.1. Numere reale.................................................................................................. 9
1.2. Şiruri de numere reale (complemente)......................................................... 16
1.3. Dreapta încheiată. Limitele extreme ale unui şir ......................................... 21
1.4. Serii numerice convergente şi divergente.................................................... 25
1.5. Serii cu termeni pozitivi............................................................................... 27
1.6. Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni oarecare ............................. 39
1.7. Calculul aproximativ al sumei unor serii..................................................... 41
1.8. Serii absolut convergente............................................................................. 44
1.9. Operaţii cu serii convergente ....................................................................... 47
2. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE ........................................................... 49
2.1. Convergentă simplă (punctuală) şi convergenţă uniformă .......................... 49
2.2. Formula Taylor ............................................................................................ 60
2.3. Serii Taylor şi Mac Laurin........................................................................... 66
2.4. Serii de puteri............................................................................................... 71
3. SPAŢII METRICE. SPAŢII NORMATE. SPAŢII HILBERT .......................... 79
3.1. Spaţii metrice. Principiul contracţiei ........................................................... 79
3.2. Spaţii normate.............................................................................................. 87
3.3. Spaţii Hilbert................................................................................................ 88
3.4. Serii în spaţii normate.................................................................................. 92
3.5. Funcţii elementare Formulele lui Euler ....................................................... 96
3.6. Funcţii de matrice ........................................................................................ 99
3.7. Elemente de topologie în ϒn ...................................................................... 102
3.8. Limite de funcţii ........................................................................................ 112
3.9. Funcţii continue ......................................................................................... 118
3.10. Proprietăţile funcţiilor continue pe mulţimi compacte şi conexe ............ 122
4. CALCULUL DIFERENŢIAL AL FUNCŢIILOR DE MAI MULTE
VARIABILE..................................................................................................... 128
4.1. Derivate parţiale Diferenţiabilitate ............................................................ 128
4.2. Diferenţiabilitatea funcţiilor vectoriale. Matrice iacobiene ....................... 136
4.3. Diferenţiabilitatea funcţiilor compuse ....................................................... 138
4.4. Diferenţiala de ordinul întâi şi invarianţa formei sale ............................... 142
9. 1. Şiruri şi serii de numere reale 9
4.5. Derivate parţiale de ordin superior. Diferenţiale de ordin superior ........... 144
4.6. Derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiilor compuse de două
variabile..................................................................................................... 150
4.7. Formula Taylor. Extremele funcţiilor de mai multe variabile ................... 152
4.8. Teorema de inversiune locală .................................................................... 158
4.9. Transformări regulate ................................................................................ 162
4.10. Funcţii implicite....................................................................................... 165
4.11. Funcţii dependente şi independente......................................................... 170
4.12. Extreme cu legături.................................................................................. 175
4.13. Schimbări de variabile ............................................................................. 180
4.14. Elemente de teoria câmpurilor................................................................. 182
BIBLIOGRAFIE................................................................................................... 188
10. 1. Şiruri şi serii de numere reale
1.1. Numere reale
În cele ce urmează vom nota cu mulţimea numerelor naturale, adică
mulţimea
{0,1, 2,K, n,K} şi cu = {0}
*
Pe mulţimea numerelor naturale sunt definite două operaţii: adunarea (notată
cu +) şi înmulţirea (notată cu ⋅).
Deoarece elementele din * nu sunt simetrizabile nici faţă de adunare, nici
faţă de înmulţire, operaţiile de scădere şi împărţire nu sunt posibile în Ν. (Ν nu are
structură de grup nici faţă de adunare, nici faţă de înmulţire).
Pentru a face posibilă operaţia de scădere, la mulţimea numerelor naturale se
adaugă mulţimea numerelor negative şi se obţine astfel mulţimea numerelor întregi
= {K , − n,K , −2, −1,0,1, 2,K , n,K}
( , + , ⋅ ) este inel comutativ. Următoarea extensie a numerelor este mulţimea
numerelor raţionale , adică mulţimea numerelor de forma p q , unde p, q ∈ ,
q ≠ 0, p şi q prime între ele. În sunt definite cele patru operaţii aritmetice:
adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea (cu excepţia împărţirii la zero). Din
punct de vedere algebric ( , + , ⋅ ) este corp comutativ.
Încă din antichitate s-a observat că mulţimea numerelor raţionale nu este
suficient de bogată pentru a servi la exprimarea măsurii oricărei mărimi din natură.
Construcţii geometrice foarte simple se conduc la mărimi a căror măsură nu se
poate exprima cu ajutorul numerelor raţionale. Cel mai simplu exemplu este
diagonala unui pătrat de latură 1. Într-adevăr, conform teoremei lui Pitagora,
pătratul lungimii acestei diagonale este 2 şi este binecunoscut faptul că nu există
nici un număr raţional al cărui pătrat să fie egal cu 2. Este deci necesar să adăugăm
la mulţimea numerelor raţionale şi numere de altă natură, pe care le numim numere
iraţionale şi obţinem mulţimea numerelor reale ϒ.
Dacă primele extensii ale mulţimii numerelor naturale Ν şi anume şi , au
fost determinate de necesităţi algebrice, extensia de la la ϒ este determinată de
necesităţi topologice (de convergenţă). Mulţimea numerelor raţionale suferă de o
anumită "incompletitudine", deoarece, în această mulţime există şiruri monotone şi
11. 1. Şiruri şi serii de numere reale 11
mărginite care nu au limită (în ). Vezi de exemplu şirul a0 = 1 ; a1 = 1,4 ;
a2 = 1, 41 ; a3 = 1,414 ; … a cărui limită este 2 ∉ . Prin crearea mulţimii
numerelor reale se înlătură acest "defect".
În ϒ, orice şir monoton şi mărginit are o limită. Nu ne propunem să
prezentăm aici construcţia numerelor reale. O să spunem numai că se poate
construi o mulţime ϒ care conţine corpul numerelor raţionale , pe care sunt
definite două operaţii, adunarea (notată cu +) şi înmulţirea (notată cu ⋅) şi o relaţie
de ordine (notată ≤) astfel încât ( , + , ⋅, ≤ ) este corp comutativ total ordonat, care
satisface în plus următoarele proprietăţi:
(P.A.) (Axioma lui Arhimede)
Pentru orice x ∈ ϒ şi orice y ∈ ϒ, y > 0 există n ∈ Ν astfel încât ny ≥ x.
(PC) (Axioma lui Cantor)
Dacă {an } şi {bn } sunt două şiruri de numere raţionale care au următoarele
proprietăţi:
1) a1 ≤ a2 ≤ K ≤ an K ≤ bn ≤ K ≤ b2 ≤ b1
2) lim ( bn − an ) = 0 *)
n→∞
atunci există c ∈ ϒ (unic) astfel încât an ≤ c ≤ bn , ∀ n ∈ Ν.
Prin urmare, din punct de vedere algebric, ϒ este grup abelian faţă de
adunare, având elementul neutru 0, iar ϒ {0} este grup abelian faţă de înmulţire,
având elementul neutru 1. În plus are loc proprietatea de distributivitate:
x ( y + z ) = xy + xz , ∀ x , y , z ∈ .
Relaţia de ordin "≤" este totală, adică pentru orice x, y ∈ ϒ avem sau x ≤ y
sau y ≤ x şi compatibilă cu structura algebrică:
x′ ≤ y′ şi x′′ ≤ y′′ atunci x′ + x′′ ≤ y′ + y′′
x ≤ y şi α ≥ 0 atunci αx ≤ αy
Din faptul că ϒ este corp comutativ total ordonat rezultă toate regulile de
calcul cu numere reale.
Observaţia 1.1.1. Axioma lui Arhimede este echivalentă cu următoarea
proprietate:
∀ x ∈ ϒ, ∃ [x] ∈ astfel încât [x] ≤ x < [x] + 1
([x] se numeşte partea întreagă a lui x).
Într-adevăr, dacă x ∈ , atunci [x] = x. Dacã x ∈ ϒ şi x > 0, atunci
considerând în axioma lui Arhimede y = 1, rezultă că există n ∈ Ν astfel încât
x < n. Fie n x cel mai mic număr natural mai mare ca x şi fie [x] = n x – 1. Se
verifică imediat că:
[x] ≤ x < [x] + 1.
*) *
∀ ε > 0, ∃ nε ∈ astfel încât bn − an < ε , ∀ n ≥ nε .
12. 12 ANALIZĂ MATEMATICĂ
Dacă x ∈ ϒ , x < 0, atunci [x] = – [–x] – 1.
⎡x⎤
Reciproc, fie x ∈ + şi y > 0. Dacă notăm cu n = ⎢ ⎥ + 1 , atunci
⎣ y⎦
x
ny > y= x.
y
Propoziţia 1.1.1. Pentru orice x, y ∈ ϒ în situaţia x < y există r ∈ astfel
încât
x < r < y.
Demonstraţie
1 * 1
Cazul 1: x = 0 < y. Deoarece → 0, există n0 ∈ astfel încât < y şi
n n0
1
alegem r = .
n0
1
Cazul 2: 0 < x < y. Fie a = ( y − x ) > 0 şi fie r1 ∈ cu proprietatea
2
0 < r1 < a .
⎛⎡ x ⎤ ⎞
Dacă notăm cu r = r1 ⎜ ⎢ ⎥ + 1 ⎟ , atunci r ∈ şi avem
⎜ r ⎟
⎝ ⎣ 1⎦ ⎠
⎛x ⎞ 1 1
r ≤ r1 ⎜ + 1 ⎟ = x + r1 < x + ( y − x ) = ( x + y ) < y .
⎝ r1 ⎠ 2 2
x
Pe de altă parte r > r1 ⋅ = x . Aşadar, r ∈ şi x < r < y.
r1
Cazul 3: x < 0 < y. Alegem r = 0.
Cazul 4: x < y < 0. Atunci ∃ r ∈ astfel încât –x > r > –y. Alegem
r = –r .
Definiţia 1.1.1. O mulţime A se numeşte numărabilă dacă există o aplicaţie
bijectivă f : → A . Dacă notăm cu an = f ( n) , ∀ n ∈ Ν, rezultă că o mulţime
este numărabilă dacă elementele sale pot fi puse sub forma unui şir
A = {a1 , a2 ,K , an ,K}
Se observă uşor că o reuniune finită de mulţimi numărabile este de asemenea
o mulţime numărabilă.
Propoziţia 1.1.2. Mulţimea numerelor raţionale este numărabilă.
Demonstraţie
Elementele mulţimii + pot fi puse sub forma următorului tablou:
13. 1. Şiruri şi serii de numere reale 13
1 2 3 4
…
1 1 1 1
1 2 3 4
…
2 2 2 2
1 2 3 4
…
3 3 3 3
1 2 3 4
…
4 4 4 4
…………………………………………
Urmând săgeţile, se observă că elementele mulţimii + se pot pune sub
forma unui şir
⎧1 2 1 1 2 3 4 ⎫
+ = ⎨ , , , , , , ,............⎬ ,
⎩1 1 2 3 2 1 1 ⎭
de unde rezultă cã + este numărabilă. În mod analog − este numărabilă. Cum
= + U − U {0} rezultă că mulţimea numerelor raţionale este numărabilă.
Propoziţia 1.1.3. Mulţimea [ 0,1] = { x ∈ : 0 ≤ x ≤ 1} nu este numărabilă.
Demonstraţie
Presupunem prin absurd că mulţimea [0, 1] este numărabilă, deci că
I = [ 0,1] = { x1 , x2 ,K , xn ,......} .
Împărţim intervalul I în trei intervale închise egale. Există cel puţin un
subinterval (dintre acestea) care nu-l conţine pe x1 . Notăm cu I1 acest interval.
Împărţim acum intervalul I1 în trei părţi egale. Există cel puţin un interval I 2 care
nu-l conţine pe x2 . Procedând în continuare în acest mod obţinem un şir de
intervale închise
I1 ⊃ I 2 ⊃ …⊃ I n ⊃ … cu proprietatea că xn ∉ I n .
1
Pe de altă parte observăm că lungimea intervalului I n este .
3n
Dacă notăm cu an , respectiv bn , extremităţile intervalului I n , obţinem două
şiruri de numere raţionale {an } , {bn } care îndeplinesc condiţiile din axioma lui
∞
Cantor. Rezultă că există y ∈ ϒ astfel încât y ∈ I I n ⊂ I .
n =1
14. 14 ANALIZĂ MATEMATICĂ
Pe de altă parte este evident că y ≠ xn pentru orice n, deci y ∉ I. Am ajuns
astfel la o contradicţie.
Corolarul 1. Pentru orice a, b ∈ , a < b mulţimea [ a, b ] =
= { x ∈ ; a ≤ x ≤ b} nu este numărabilă.
Într-adevăr, mulţimile [ a , b ] şi [ 0,1] pot fi puse în corespondenţă bijectivă
prin funcţia f : [ 0,1] → [ a, b ] definită astfel:
f ( x) = a + ( b − a ) x
Corolarul 2. Pentru orice a , b ∈ , a < b există cel puţin un număr
iraţional z astfel încât a < z < b.
Demonstraţie
Mulţimea numerelor raţionale care aparţine intervalului ( a, b ) este
numărabilă, în timp ce mulţimea ( a, b ) este nenumărabilă. Dacă ( a, b ) ar fi
numărabilă atunci [ a , b ] = ( a , b ) ∪ {a , b} ar fi numărabilă, ceea ce este absurd.
Rezultă că există z ∈ ( a , b ) .
Din Propoziţia 1.1.1 şi 1.1.3 rezultă că între două numere reale se află o
infinitate de numere raţionale şi o infinitate de numere iraţionale.
Propoziţia 1.1.4. Dacă { xn } , { y n } sunt două şiruri de numere reale cu
proprietăţile:
1) x1 ≤ x2 ≤ K ≤ xn ≤ K ≤ yn ≤ K ≤ y2 ≤ y1 ;
2) lim ( y n − xn ) = 0 ,
n→∞
atunci există z ∈ ϒ (unic) astfel încât xn ≤ z ≤ yn , ∀ n ∈ .
Demonstraţie
Din Propoziţia 1.1 rezultă că pentru orice n ∈ Ν există an ∈ şi bn ∈
astfel încât
1 1
xn − < an < xn ≤ yn < bn < yn + . (1.1)
2n 2n
Observăm că şirul {an } poate fi ales crescător, iar şirul {bn } poate fi ales
descrescător. Într-adevăr, fie a1 , a2 ∈ astfel încât
1 1
x1 − < a1 < x1 şi x2 − < a2 < x2 .
2 22
15. 1. Şiruri şi serii de numere reale 15
Dacă notăm cu a2 = max ( a1 , a2 ) şi ţinem seama că x1 ≤ x2 , rezultă
1
x2 − < a2 < x2 . Evident a2 ≥ a1 . În continuare se poate arăta prin inducţie
22
completă că şirul {an } este crescător. Analog se poate arăta cã {bn } poate fi ales
descrescător.
1
Deoarece 0 < bn − an < ( yn − xn ) + , rezultă că lim ( bn − an ) = 0 . Din
n −1 n→∞
2
axioma Cantor rezultă că există z ∈ ϒ, unic, astfel încât an ≤ z ≤ bn , ∀ n. Cum
{ xn } este crescător avem:
1 1
xn − ≤ xn + k − ≤ an + k ≤ z , ∀ k ∈ (1.2)
2n + k 2n + k
1
În continuare avem xn − z ≤ , ∀ k ∈ , de unde rezultă xn − z ≤ 0 şi deci
n+k
2
xn ≤ z , ∀ n . În mod asemănător se arată că z ≤ yn , ∀ n .
Observaţia 1.1.2. O mulţime de numere reale A se numeşte majorată
(minorată) dacã există b ∈ ϒ astfel încât x ≤ b ( x ≥ b ) , ∀ x ∈ A.
Numărul b se numeşte majorant (minorant). Este evident că dacă A admite
un majorant (minorant) atunci admite o infinitate de majoranţi (minoranţi). O
mulţime se numeşte mărginită dacă este majorată şi minorată.
Se numeşte marginea superioară (inferioară) a mulţimii A cel mai mic
majorant (cel mai mare minorant) al mulţimii A.
Marginea superioară a mulţimii A se notează cu supA, iar marginea
inferioară cu infA.
Teorema 1.1.1. Orice mulţime de numere reale majorată (minorată) are
margine superioară (inferioară).
Demonstraţie
Vom demonstra existenţa marginii superioare. Dacă mulţimea A e finită,
{ }
adică A = a1 , a2 ,K , a p , atunci evident sup A = max a1 , a2 ,K , a p .{ }
Fie A majorată şi infinită şi fie a, b ∈ astfel încât b este majorant pentru A,
iar a nu este majorant pentru A. Fie c mijlocul intervalului [a, b].
Dacă c este majorant pentru A, notăm cu [ a1 , b1 ] intervalul [ a, c ] , iar dacă c
nu este majorant pentru A notăm cu [ a1 , b1 ] intervalul [ c, b ] . Fie c2 mijlocul
intervalului [ a1, b1 ] . Procedând ca mai înainte, notăm cu [ a2 , b2 ] intervalul
16. 16 ANALIZĂ MATEMATICĂ
[ a1, c2 ]
dacă c2 este majorant pentru A, respectiv intervalul [ c2 , b1 ] , dacă c2 nu
este majorant pentru A şi aşa mai departe.
Se obţin astfel două şiruri de numere raţionale {an } , {bn } cu următoarele
proprietăţi:
1) a1 ≤ a2 ≤ K ≤ an ≤ K ≤ bn ≤ K ≤ b2 ≤ b1
b−a
2) lim ( bn − an ) = lim =0
n→∞ n → ∞ 2n
3) pentru orice n ∈ * , bn este majorant, iar an
nu este majorant al mulţimii A.
Din axioma lui Cantor rezultă că există M ∈ astfel, an ≤ M ≤ bn ,
∀ n ∈ Ν. Observăm că M = supA. Într-adevăr, M este majorant pentru A, pentru că
în caz contrar, există x ∈ A astfel încât M < x. Deoarece lim ( bn − an ) = 0, există
n→∞
*
n0 ∈ cu proprietatea bn0 − an0 < x − M .
( )
În continuare avem bn0 < x + an0 − M ≤ x , ceea ce contrazice faptul că
bn0 este majorant pentru A. Arătăm acum că M este cel mai mic majorant al
mulţimii A. Să presupunem prin absurd că există M' < M, M' majorant pentru A. Fie
n1 ∈ * astfel încât bn1 − an1 < M − M ′ . Mai departe avem:
( )
an1 > M ′ + bn1 − M ≥ M ′
de unde rezultă cã an1 este majorant pentru A. Am ajuns astfel la o contradicţie. În
concluzie, M este cel mai mic majorant al mulţimii A, deci marginea superioară a
mulţimii A. Demonstraţia existenţei marginii inferioare este analogă.
Observaţia 1.1.3. M ∈ ϒ este marginea superioară a mulţimii A dacă şi
numai dacă
1) x ≤ M , ∀ x ∈ A
2) ∀ ε > 0, ∃ xε ∈ A astfel încât M − ε < xε .
Într-adevăr, dacă M = supA, atunci M este majorant pentru A, de unde
rezultă 1). Deoarece M este cel mai mic majorant al mulţimii A, rezultă că
∀ ε > 0, M – ε nu este majorant pentru A, deci ∃ xε > M − ε . Fie acum M ∈ ϒ cu
proprietăţile 1) şi 2). Din 1) rezultă cã M este majorant pentru A. Fie M ′ < M şi fie
ε = M − M ′ > 0 . Din 2) rezultă că există xε ∈ A astfel încât xε > M − ε = M ′ . Prin
urmare M' nu este majorant pentru A şi deci M = supA.
17. 1. Şiruri şi serii de numere reale 17
1.2. Şiruri de numere reale (complemente)
Reamintim că un şir de numere reale { an } se numeşte convergent (are
limită finită) dacă există l ∈ ϒ astfel încât ∀ ε > 0, ∃ un rang nε ∈ astfel încât
∀ n ≥ nε avem an − l < ε .
Definiţia 1.2.1. Fie {an } un şir de numere reale şi k1 < k2 < K < kn < K un
şir strict crescător de numere naturale. Şirul akn { } se numeşte subşir al şirului
{an } .În particular şirul iniţial {an } poate fi privit ca un subşir al său (cazul
kn = n ).
Dacă şirul {an } este convergent şi are limita l, atunci orice subşir al său este
convergent şi are limita l. (Afirmaţia rezultă imediat din Observaţia n ≤ kn ).
Lema 1.2.1. (Cesàro). Orice şir mărginit de numere reale conţine un subşir
convergent.
Demonstraţie
Fie { xn } un şir de numere reale mărginit. Atunci există a, b∈ astfel încât
a < xn < b , ∀ n ∈ Ν. Fie c mijlocul intervalului [a, b]. Cel puţin unul din
intervalele [a, c], [c, b] conţine o infinitate de termeni ai şirului { xn } .
Presupunem că [a, c] are această proprietate. Atunci notăm a1 = a şi b1 = c .
Fie c1 mijlocul intervalului [ a1 , b1 ] . Cel puţin unul din intervalele [ a1 , c1 ] , [ c1 , b1 ]
conţine o infinitate de termeni ai şirului { xn } . Să presupunem că [ c1 , b1 ] are
această proprietate. Atunci notăm a2 = c1 , b2 = b1 şi aşa mai departe. Se obţin astfel
două şiruri de numere raţionale {an } , {bn } cu proprietăţile:
1) a1 ≤ a2 ≤ K ≤ an ≤ K ≤ bn ≤ K ≤ b2 ≤ b1
b−a
2) lim ( bn − an ) = lim =0.
n →∞ n→∞ 2 n
3) ∀ n ∈ Ν, intervalul [ an , bn ] conţine o infinitate de termeni ai şirului { xn } .
Din axioma lui Cantor rezultă că există x ∈ ϒ astfel încât an ≤ x ≤ bn ,
∀ n ∈ Ν.
Alegem k1 ∈ * astfel încât xk1 ∈ [ a1, b1 ] . Deoarece [ a2 , b2 ] conţine o
infinitate de termeni ai şirului { xn } , există k2 ∈ * , k2 > k1 astfel încât
xk2 ∈ [ a2 , b2 ] .
Procedând în continuare în mod asemănător rezultă că există un şir strict
crescător de numere naturale
18. 18 ANALIZĂ MATEMATICĂ
k1 < k2 < K < kn < K astfel încât xkn ∈ [ an , bn ] ∀ n ∈ Ν.
Deoarece xkn − x ≤ bn − an =
b−a
2n
{ } converge la x.
rezultă că xkn
Definiţia 1.2.2. Un şir de numere reale { xn } se numeşte fundamental
(Cauchy) dacă ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ * astfel încât ∀ m, n ≥ nε avem xm − xn < ε .
Notând cu p = m – n (dacă m > n), respectiv p = n – m (dacă m < n) obţinem
următoarea definiţie echivalentă: { xn } este fundamental dacă ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ *
astfel încât ∀ n ≥ nε şi ∀ p ∈ * avem xn + p − xn < ε .
Lema 1.2.2. Orice şir fundamental este mărginit.
Demonstraţie
Fie { xn } un şir fundamental. Pentru ε = 1 există n1 ∈ * astfel încât
xn + p − xn < 1 , ∀ n ≥ n1 , ∀ p ∈ * .
Pentru n = n1 rezultă
*
xn1+ p − xn1 < 1 , ∀ p ∈ , deci
xn1 − 1 < xn1 + p < xn1 + 1 , ∀ p ∈ * .
Dacă notăm cu
{ } {
a = min x1,K, xn1−1, xn1 − 1 şi cu b = max x1,K, xn1−1 , xn1 + 1 }
atunci a ≤ xn ≤ b , ∀ n ∈ Ν.
Teorema 1.2.1. (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy)
Condiţia necesară şi suficientă ca un şir de numere reale să fie convergent
este să fie fundamental.
Demonstraţie
Necesitatea. Fie { xn } un şir convergent, având limita l ∈ ϒ. Pentru ∀ ε > 0,
ε ε
∃ nε ∈ * astfel încât xn − l < , ∀ n ≥ nε . Dacă m ≥ nε , atunci xm − l < şi
2 2
ε ε
mai departe xm − xn = ( xm − l ) + ( l − xn ) ≤ xm − l + xn − l < + = ε . Aşadar,
2 2
∀ n, m ≥ nε avem xm − xn < ε, deci { xn } este fundamental.
Suficienţa. Fie { xn } un şir fundamental. Pentru ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ * astfel
′
′
încât ∀ n, m ≥ nε avem:
19. 1. Şiruri şi serii de numere reale 19
ε
xn − xm < (1.3)
2
Pe de altă parte, din Lema 1.2.2. rezultă că şirul { xn } este mărginit, iar din
Lema 1.2.1, că admite un subşir xkn convergent. Fie l = lim xkn şi fie nε ∈ *
′′
n→∞
astfel încât:
ε
′′
xkn − l <
, ∀ n ≥ nε . (1.4)
2
Dacă nε = max ( nε , nε ) şi n ≥ nε , atunci din (1.3) şi (1.4) rezultă:
′ ′′
ε ε
xn − l = xn − xkn + xkn − l ≤ xn − xkn + xkn − l < + = ε .
2 2
Aşadar, xn − l < ε pentru orice n ≥ nε , deci { xn } este convergent şi are limita l.
Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy stabileşte că pentru şirurile de
numere reale noţiunile de şir convergent şi şir fundamental sunt echivalente. Prin
urmare, este suficient să verificăm pentru un şir că este fundamental (deci o
condiţie mai slabă) ca să tragem concluzia că este convergent.
Exemplu: Să se studieze convergenţa şirului cu termenul general
cos x cos 2 x cos nx
an = + +K+ (x ∈ ϒ oarecare fixat). Verificăm că şirul {an }
2
2 2 2n
este fundamental. Într-adevăr avem:
cos ( n + 1) x cos ( n + p ) x 1 1
an + p − an = +K+ ≤ +K + =
n +1 n+ p n +1 n+ p
2 2 2 2
1
1− p
1 2 < 1 , p∈ *.
= ⋅
2 n+1 1 2n
1−
2
1
Deoarece lim = 0, rezultă că ∀ ε>0, nε ∈ * astfel încât
n→∞ n
2
1
an + p − an < < ε , ∀ n ≥ nε şi ∀ p ∈ * . Aşadar, şirul {an } este fundamental
n
2
şi deci convergent.
Datorită importanţei deosebite pentru analiza matematică a criteriului
general de convergenţă al lui Cauchy, prezentăm în continuare o altă demonstraţie
a sa, mai precis a implicaţiei: orice şir fundamental este convergent.
1
Fie { xn } un şir fundamental. Pentru Fie ε = există nk ∈ * astfel încât
k
2
20. 20 ANALIZĂ MATEMATICĂ
1
xn − xm < , ∀ n, m ≥ nk . (1.5)
2k
În particular avem:
1
xn − xnk < , n ≥ nk . (1.6)
2k
1
Pentru ε = există nk +1 ∈ * astfel încât
k +1
2
1
xn − xm < , ∀ n, m ≥ nk +1 . (1.7)
k +1
2
Dacă alegem nk +1 > max ( nk , nk +1 ) , atunci
1
nk +1 > nk şi xnk +1 − xnk < .
2k
Prin urmare dacă { xn } este fundamental, există un subşir al său xnk { } cu proprietatea:
1 1
xnk − < xnk +1 < xnk + , ∀ k ∈ Ν. (1.8)
k
2 2k
1 1
Dacă notăm cu ak = xnk − şi bk = xnk + atunci şirurile {ak } şi
k −1 k −1
2 2
{bk } satisfac condiţiile Propoziţiei 1.1.4. Într-adevăr, ţinând seama de (1.8) avem:
1 1 1 1 1
ak +1 − ak = xnk +1 − xnk − + >− − + =0
k k −1 k k k −1
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
bk +1 − bk = xnk +1 − xnk + + < + − =0
k k −1 k k k −1
2 2 2 2 2
1
bk − ak = → 0 pentru k → ∞.
k −2
2
Prin urmare, există x ∈ ϒ astfel încât
1 1
xnk − = ak ≤ x ≤ bk = xnk + , ∀ k ∈ Ν. (1.9)
k −1 k −1
2 2
Din (1.8) şi (1.9) rezultă
3
xnk +1 − x < , ∀ k ∈ Ν. (1.10)
2k
Aşadar, subşirul xnk { } este convergent şi are limita x. Fie ε > 0 şi nε′ ∈ *
astfel încât
ε
xnk − x < ′
, ∀ k ≥ nε . (1.11)
2
Fie nε ∈ * astfel încât
′′
21. 1. Şiruri şi serii de numere reale 21
ε
xm − xn <, ∀ m, n ≥ nε′′ (1.12)
2
Dacă notăm cu nε = max ( nε , nε ) , atunci din (11) şi (12), pentru n ≥ nε avem:
′ ′′
ε ε
xn − x ≤ xn − xnk + xnk − x < + =ε,
2 2
de unde rezultă că { xn } converge la x.
Teorema 1.2.2. Orice şir monoton şi mărginit este convergent.
Demonstraţie
Fie { xn } un şir monoton crescător şi mărginit. Deoarece mulţimea
{ xn ; n ∈ } este majorată, din Teorema 1.1.1. rezultă că există M = sup { xn ; n ∈ }.
Din Observaţia 1.1.2. rezultă că xn ≤ M , ∀ n ∈ Ν şi ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ astfel încât
M − ε < xnε . Deoarece şirul { xn } este monoton crescător, rezultă xn ≥ xnε ,
∀ n ≥ nε .
Prin urmare, pentru orice n ≥ nε avem:
M − ε < xn ≤ M ≤ M + ε , adică xn − M < ε , (1.13)
de unde rezultă că { xn } este convergent şi are limita M.
Cel mai cunoscut exemplu de aplicaţie a Teoremei 1.2.2. este şirul
n
⎛ 1⎞
an = ⎜1 + ⎟ . Se ştie din liceu că acest şir este monoton crescător şi mărginit
⎝ n⎠
n
⎛ 1⎞
( 2 ≤ an < 3 , ∀ n ∈ Ν). Limita sa se notează cu e. Deci e = lim ⎜1 + ⎟ . Despre
n→∞ ⎝ n⎠
numărul e se poate arăta că este iraţional şi valoarea sa este aproximativ egală cu
e ≈ 2,71828.
În continuare prezentăm o altă aplicaţie interesantă a Teoremei 1.1.1.
Exemplu. Fie şirul cu termenul general
1 1 1
an = 1 + + + K + − ln n .
2 3 n
Vom arăta că acest şir este monoton descrescător şi mărginit. Pentru aceasta
folosim următoarea inegalitate cunoscută din liceu
ln (1 + x ) < x , ∀ x > –1, x ≠ 0. (1.14)
Într-adevăr,
1 n 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1
an+1 − an = + ln = + ln ⎜1 − ⎟< − = 0 , ∀ n∈ * .
n +1 n +1 n +1 ⎝ n +1⎠ n +1 n +1
Aşadar an +1 < an , ∀ n ≥ 1 .
22. 22 ANALIZĂ MATEMATICĂ
1 ⎛ 1⎞ n +1
Pe de altă parte, deoarece > ln ⎜1 + ⎟ = ln , vom avea:
n ⎝ n⎠ n
1 1 1 2 3 n +1
an = 1 + + + K + − ln n > ln + ln + K + ln − ln n =
2 3 n 1 2 n
2 3 4 n +1
= ln ⋅ ⋅ K − ln n = ln ( n + 1) − ln n > 0 ⇒ an > 0 , ∀ n ≥ 1.
1 2 3 n
Rezultă că şirul {an } este convergent. Limita sa se notează cu C şi se numeşte
constanta lui Euler şi este aproximativ egală cu 0,5772156.
⎛ 1 1 1 ⎞
Dacă notăm cu ε n = ⎜1 + + + K + − ln n ⎟ − C , atunci {ε n } este un şir
⎝ 2 3 n ⎠
de numere pozitive, descrescător, cu lim ε n = 0 . Rezultă următoarea identitate:
n→∞
1 1 1
1+ + + K + = ln n + C + ε n , (1.15)
2 3 n
care se dovedeşte utilă în aplicaţii şi va fi folosită mai departe.
1.3. Dreapta încheiată. Limitele extreme ale unui şir
Reamintim că prin dreapta încheiată se înţelege mulţimea = U {−∞; ∞} .
Pe mulţimea se consideră relaţia de ordine obţinută prin prelungirea relaţiei de
ordine de pe ϒ astfel:
− ∞ < ∞ , −∞ < x şi x < ∞ , ∀ x ∈ϒ.
În felul acesta este o mulţime ordonată.
Dacă A ⊂ ϒ este o mulţime nevidă care nu este majorată, definim supA =
= +∞. În mod analog, dacă A nu este minorată definim infA = –∞. Cu această
convenţie, orice mulţime de numere reale este mărginită în . Operaţiile algebrice
de pe ϒ se extind pe , fără însă să fie peste tot definite şi anume:
∞ + x = ∞ , ∀ x ∈ , x ≠ –∞
−∞ + x = −∞ , ∀ x ∈ , x ≠ ∞
(
⎧ ∞ daca x > 0
∞x = ⎨ ( , x∈ .
⎩ −∞ daca x < 0
Definiţia 1.3.1. Un şir de numere reale { xn } are limita ∞ (respectiv –∞)
dacă ∀ ε ∈ ϒ, ∃ nε ∈ astfel încât xn > ε (respectiv xn < ε ), ∀ n ≥ nε .
Se folosesc notaţiile: lim xn = ∞ (respectiv lim xn = −∞ ).
n→∞ n→∞
Propoziţia 1.3.1. Orice şir monoton de numere reale are limită în . Orice
şir de numere reale conţine un subşir care are limită în .
23. 1. Şiruri şi serii de numere reale 23
Demonstraţie
Fie { xn } un şir monoton crescător de numere reale. Dacă { xn } este mărginit
superior, atunci { xn } este convergent, deci are limită finită. (Teorema 1.2.2.)
Dacă { xn } nu este mărginit superior, atunci pentru ∀ ε ∈ ϒ, ∃ xnε > ε . Cum { xn }
este crescător vom avea xn > ε , ∀ n ≥ nε , deci lim xn = +∞ . Dacă { xn } este
n→∞
descrescător se procedează în mod analog.
Fie acum { xn } un şir de numere reale oarecare. Dacă { xn } este mărginit,
atunci din Lema Cesàro rezultă că există un subşir {xnk } convergent. Să
presupunem că { xn } nu este mărginit (de exemplu nu este mărginit superior). Vom
arăta în acest caz că există un subşir care are limita +∞. Într-adevăr, există o
infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 1. Fie xk1 > 1 . De asemenea, există o
infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 2. Atunci putem alege k2 > k1 astfel
încât xk2 > 2 . Construim astfel prin inducţie un şir strict crescător de numere
naturale {kn } cu proprietatea xkn > n . Rezultă lim xkn = ∞.
n→∞
Definiţia 1.3.2. Fie { xn } un şir de numere reale şi a ∈ . Spunem că a
este punct limită pentru şirul { xn } dacă există un subşir {xkn } astfel încât
a = lim xkn .
n→∞
Observaţia 1.3.1. Dacă un şir are limită, atunci acest şir are un singur punct
limită care coincide cu limita sa.
Exemple
n
1) Şirul xn = ( −1) are două puncte limită –1 şi 1.
n
2) Şirul xn = n( ) are două puncte limită 0 şi ∞.
−1
3) Şirul xn = n are un singur punct limită ∞.
4) Şirul xn =
( −1)n are un singur punct limită 0.
n
Teorema 1.3.1. Pentru orice şir de numere reale { xn } există un cel mai mic
punct limită (finit sau nu) şi un cel mai mare punct limită (finit sau nu).
Demonstraţie
24. 24 ANALIZĂ MATEMATICĂ
Dacă { xn } nu este majorat, atunci din Propoziţia 1.3.1. rezultă că există un
subşir care are limita +∞. Aşadar, +∞ este punct limită şi evident este cel mai mare.
Să presupunem acum că şirul { xn } este majorat şi să notăm cu A mulţimea
punctelor sale limită finite. Dacă A este vidă, atunci din Lema Cesàro rezultă cã
{ xn } nu este mărginit inferior. În această situaţie –∞ este singurul punct limită şi
deci şi cel mai mare. Să presupunem acum A ≠ φ. Cum { xn } este majorat, rezultă
că şi A este majorată, deci există supA ∈ ϒ (Teorema 1.1.1.). Să observăm însă că
α = supA ∈ A. Într-adevăr, din definiţia marginii superioare rezultă că ∀ p ∈ *
1
există a p ∈ A astfel încât α − < a p ≤ α .
p
Pe de altă parte, pentru a p există un subşir al şirului { xn } convergent la
a p . Aşadar, pentru a1 există xk1 astfel încât xk1 − a1 < 1 . Pentru a2 există xk2 ,
1
k2 > k1 astfel încât xk2 − a2 < .
2
Prin inducţie construim un şir de numere naturale k1 < k2 < K < kn < K cu
1
proprietatea xk p − a p < . Din inegalitatea
p
1 1 2
xk p − α ≤ xk p − a p + a p − α < + =
p p p
rezultă xk p →α. Aşadar, α = supA este punct limită al şirului { xn } şi evident, este
cel mai mare. Existenţa celui mai mic punct limită se dovedeşte în mod asemănător.
Definiţia 1.3.3. Cel mai mic punct limită al unui şir se numeşte limita
inferioară a şirului şi se notează cu lim inf xn sau lim xn . Cel mai mare punct
n→∞ n→∞
limită al şirului se numeşte limita superioară a şirului şi se notează cu lim sup xn
n→∞
sau lim xn .
n→∞
Observaţia 1.3.2. Din Teorema 1.3.1 rezultă că orice şir de numere reale are
limită superioară şi limită inferioară (deşi poate să nu aibă limită). Fie
L = lim sup xn şi l = lim inf xn . Limita superioară L, când este finită, este
n→∞ n→∞
caracterizată de proprietăţile:
a) Pentru orice a < L există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca a.
b) Pentru orice b > L există un număr finit de termeni ai şirului mai mari
ca b.
25. 1. Şiruri şi serii de numere reale 25
În mod analog, limita inferioară l, când este finită, este caracterizată de
proprietăţile:
a) Pentru orice a < l există un număr finit de termeni ai şirului mai mici
ca a.
b) Pentru orice b > l există o infinitate de termeni ai şirului mai mici ca b.
Într-adevăr, să justificăm afirmaţia în cazul limitei superioare L. Din a) şi b)
rezultă cã ∀ n ∈ * există o infinitate de termeni ai şirului în intervalul
⎛ 1 1⎞
⎜ L − , L + ⎟ . Se poate construi prin inducţie un şir strict crescător de numere
⎝ n n⎠
⎛ 1 1⎞ 2
naturale {kn } astfel încât xkn ∈ ⎜ L − , L + ⎟ . Rezultă xkn − L < şi deci
⎝ n n⎠ n
xkn → L . Aşadar, L este punct limită al şirului. Din proprietatea b) rezultă cã L
este cel mai mare punct limită al şirului.
Am făcut mai înainte observaţia că orice mulţime de numere reale este
mărginită în . În particular, orice şir de numere reale, este mărginit în . Fie
m = inf { xn ; n ∈ } şi M = sup { xn ; n ∈ } . Următoarele inegalităţi sunt evidente:
−∞ ≤ m ≤ l ≤ L ≤ M ≤ +∞ .
Exemplu. Fie şirul xn =
( −1)n + 1 + ( −1)n
. Observăm că
n 2
⎧ 1 (
⎪− n
⎪
daca n este impar
xn = ⎨
⎪ 1 + 1 daca n este par.
(
⎪n
⎩
Aşadar, şirul conţine două subşiruri convergente care au limitele 0, respectiv 1.
Rezultă că l = 0 şi L = 1.
⎧ 1⎫
Subşirul ⎨− ⎬ este crescător, deci –1 este cel mai mic termen al său, iar
⎩ n⎭
⎧1 ⎫
subşirul ⎨ + 1⎬ este descrescător, deci cel mai mare termen al său este 2. Rezultă
⎩n ⎭
m = –1, M = 2.
Aşadar, avem: m = –1 < l = 0 < L = 1 < M = 2.
Propoziţia 1.3.2. Condiţia necesară şi suficientă ca un şir sã aibă limită
(finită sau nu) este ca L = lim sup an = lim inf an = l .
Demonstraţie
26. 26 ANALIZĂ MATEMATICĂ
Necesitatea. Dacă şirul are limită, atunci şirul are un singur punct limită,
care coincide cu limita sa. Rezultă L = l = lim xn .
n→∞
Suficienţa. Să presupunem că L = l = a ∈ . Din Observaţia 1.3.2. rezultă
∀ ε > 0, în intervalul ( a − ε, a + ε ) se află o infinitate de termeni ai şirului, iar în
afara acestui interval, se află un număr finit de termeni ai şirului. Rezultă
a = lim xn . Dacă L = l = a = +∞ atunci lim xn = +∞ , iar dacă L = l = a = −∞
n→∞ n→∞
atunci lim xn = −∞ .
n→∞
1.4. Serii numerice convergente şi divergente
Fie {un } un şir de numere reale. Asociem acestui şir următorul şir:
s1 = u1
s2 = u1 + u2
KKKKKKKKK
sn = u1 + u2 + K + un
KKKKKKKKK
Definiţia 1.4.1. Perechea ({un } ,{sn }) se numeşte serie definită de şirul {un }
şi se notează cu
∞
∑ un sau u1 + u2 + K + un + K (1.16)
n =1
Elementele şirului {un } se numesc termenii seriei, iar şirul {sn } se numeşte
şirul sumelor parţiale. Seria (1.16) se numeşte convergentă dacă şirul sumelor
parţiale {sn } este convergent; limita s = lim sn se numeşte suma seriei şi se
n→∞
obişnuieşte să se scrie:
∞
s = ∑ un (1.17)
n=1
Dacă şirul sumelor parţiale {sn } este divergent (nu are limită sau are limită
infinită) spunem că seria (1.17) este divergentă.
Exemple
1. Seria geometrică
a + aq + aq 2 + K + aq n + K
27. 1. Şiruri şi serii de numere reale 27
1 − qn
Suma parţială sn = a + aq + aq 2 + K + aq n−1 = a pentru q ≠ 1.
1− q
a
Dacă q < 1 , atunci lim q n = 0 şi deci există lim sn = . Prin urmare,
n→∞ n→∞ 1− q
a
dacă q < 1 seria geometrică este convergentă şi suma sa este s = .
1− q
Dacă q = 1, atunci sn = n ⋅ a şi lim sn = ±∞ .
n→∞
(
⎧ a daca n este impar
Dacă q = –1, atunci sn = ⎨ (
⎩0 daca n este par.
Şirul {sn } nu are limită în acest caz.
Dacă q > 1, atunci lim q n = +∞ şi deci lim sn = ±∞ .
n→∞ n→∞
Dacă q < –1, atunci şirul q n { } nu are limită şi deci şirul {sn } nu are
limită.
În concluzie, pentru q ≥ 1 seria geometrică este divergentă.
2. Seria armonică
1 1 1
1+ + +K+ +K
2 3 n
1 1 1
Suma parţială sn = 1 + + + K + = ln n + C + ε n unde lim εn = 0 (vezi
2 3 n n→∞
subcap. 1.2, formula (1.15)). Rezultă lim sn = +∞ , deci seria armonică este divergentă.
n→∞
∞
Propoziţia 1.4.1. Dacă seria ∑ un este convergentă, atunci lim un = 0 .
n→∞
n =1
Demonstraţie
Fie s = lim sn . Deoarece un = sn − sn −1 , rezultă lim un = s − s = 0 .
n→∞ n→∞
Afirmaţia reciprocă nu este în general adevărată. Există serii divergente cu
proprietatea lim un = 0 (de exemplu seria armonică).
n→∞
Din Propoziţia 1.4.1 rezultă următoarea observaţie utilă în aplicaţii:
28. 28 ANALIZĂ MATEMATICĂ
∞
Observaţia 1.4.1. Dacă lim un ≠ 0, atunci seria
n→∞
∑ un este divergentă.
n =1
∞ ( ) este divergentă, deoarece
ln 2 + e 3n
Exemplu: Seria ∑
n =1 ln ( 3 + e )
2n
ln e3n (1 + 2 e −3n ) 3n + ln (1 + 2 e −3n ) 3
lim un = lim = lim = ≠ 0.
n→∞
(
n→∞ ln e 2 n 1 + 3 e −2 n
) (
n→∞ 2n + ln 1 + 3 e −2 n
) 2
Teorema 1.4.1. (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy)
∞
Condiţia necesară şi suficientă ca seria ∑ un să fie convergentă este ca
n =1
*
pentru ∀ ε > 0 să existe nε ∈ , astfel încât pentru ∀ n ≥ nε şi ∀ p ∈ * să
avem un +1 + un + 2 + K + un + p < ε .
Demonstraţie
∞
Seria ∑ un este convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor parţiale {sn }
n =1
este convergent. Din Teorema 1.2.1 rezultă că {sn } este convergent dacă şi numai
dacă {sn } este fundamental, deci dacă ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ * astfel încât
sn + p − sn = un +1 + un + 2 + K un + p < ε , ∀ n ≥ nε şi ∀ p ∈ * .
Observaţia 1.4.2. Natura unei serii nu se schimbă, dacă schimbăm valorile
unui număr finit de termeni ai săi (în particular, dacă îi suprimăm).
Într-adevăr, dacă {sn } este şirul sumelor parţiale al seriei iniţiale,
atunci şirul sumelor parţiale ale noii serii, este de forma {sn + c} (începând de la
un anumit rang), unde c este un număr constant.
1.5. Serii cu termeni pozitivi
Seriile cu termeni pozitivi sunt seriile în care toţi termenii sunt strict pozitivi
( un > 0 , ∀ n ∈ Ν). Locul special pe care îl ocupă aceste serii printre seriile
numerice este pus în evidenţă de următoarea teoremă:
29. 1. Şiruri şi serii de numere reale 29
Teorema 1.5.1. Condiţia necesară şi suficientă ca o serie de termeni pozitivi
să fie convergentă este ca şirul sumelor parţiale să fie mărginit.
Demonstraţie
Dacă seria este convergentă, atunci şirul sumelor parţiale este convergent şi
deci mărginit.
Condiţia este şi suficientă, pentru că şirul sumelor parţiale al unei serii cu
termeni pozitivi este monoton crescător şi dacă este în plus şi mărginit, rezultă că
este convergent (Teorema 1.2.1.).
Teorema 1.5.2. (Criteriul I de comparaţie)
∞ ∞
Fie ∑ un şi ∑ vn două serii cu termeni pozitivi. Presupunem că există
n =1 n =1
k ∈ * astfel încât
un ≤ vn , ∀ n ≥ k (1.18)
∞ ∞
Atunci: a) Dacă seria ∑ vn converge, rezultă că şi seria ∑ un converge.
n =1 n =1
∞ ∞
b) Dacă seria ∑ un diverge, rezultă că şi seria ∑ vn diverge.
n =1 n =1
Demonstraţie
Din Observaţia 1.4.2 rezultă că, suprimând eventual primii k – 1 termeni din
cele două serii, putem presupune că un ≤ vn , ∀ n ∈ * . Dacă notăm cu sn =
= u1 + u2 + K + un şi cu σ n = v1 + v2 + K + vn , atunci din (1.18) rezultă sn ≤ σ n ,
∀ n∈ * .
∞
Dacă ∑ vn este convergentă, atunci {σn } este mărginit deci şi {sn } va fi
n =1
∞
mărginit. Din Teorema 1.5.1 rezultă că ∑ un este convergentă.
n =1
∞
b) Dacă ∑ un este divergentă, atunci lim sn = ∞ şi deci lim σn = ∞.
n→∞ n→∞
n =1
∞
Rezultă că seria ∑ vn este divergentă.
n =1
Observaţia 1.5.1. În enunţul teoremei precedente inegalitatea (1.18) poate fi
înlocuită cu inegalitatea
30. 30 ANALIZĂ MATEMATICĂ
un ≤ c ⋅ vn , ∀ n ≥ k , (1.18')
unde c este un număr constant strict pozitiv.
∞ ∞
Într-adevăr, natura seriilor ∑ vn şi ∑ ( c ⋅ vn ) este evident aceeaşi.
n =1 n =1
Teorema 1.5.3. (Criteriul de condensare al lui Cauchy)
∞
Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi cu proprietatea că şirul {un } este
n =1
∞ ∞
descrescător. Atunci seriile ∑ un şi ∑ 2 n ⋅ u2n au aceeaşi natură.
n =1 n =1
Demonstraţie
Fie k ∈ * cu proprietatea n < 2k .
Deoarece {un } este un şir descrescător de numere pozitive avem:
sn = u1 + K + un ≤ u 1 + K + u k = u1 + ( u2 + u3 ) + K + u k −1 + K + u k
2 −1 2 2 −1
≤ ( )
≤ u1 + 2u2 + K + 2k −1 u = u1 + σ
2k −1 2k −1
∞
(cu σ n notăm şirul sumelor parţiale al seriei ∑ 2n ⋅ u2n ).
n =1
∞
Dacă seria ∑ 2 n ⋅ u2n este convergentă şi are suma σ, rezultă sn < u1 + σ ,
n =1
∞
∀ n ∈ * şi deci seria ∑ un este convergentă.
n =1
Pe de altă parte, dacă n ≥ 2k vom avea:
sn = u1 + K + un ≥ u 1 + K + u k = u1 + u2 + ( u3 + u4 ) + K + u k −1 + K + u k ≥
2 2 2 ( )
1
2 2
1
2 2(
≥ u1 + u2 + 2u4 + K + 2k −1u k = u1 + 2u2 + 22 u 2 + K + 2k u k =
2 )
1
= u1 + σ k .
2 2 ( )
31. 1. Şiruri şi serii de numere reale 31
∞
Dacă seria ∑ 2 n ⋅ u2n diverge, rezultă lim σ
k→∞ 2
k = ∞ şi deci lim sn = ∞ .
n→∞
n =1
∞
Aşadar, seria ∑ un este divergentă.
n =1
Exemple
1. Seria armonică generalizată
∞
1
Considerăm seria ∑
, α > 0, numită seria armonică generalizată.
nα n =1
Deoarece α > 0, termenii seriei descresc şi se poate aplica Teorema 1.5.3.
∞ ∞
∑2 (
1 n 1−α )
Rezultă că seria ∑ α
are aceeaşi natură cu seria , care este o serie
n =1 n n =1
geometrică, cu raţia q = 21−α .
∞
Dacă α ≤ 1 , atunci q ≥ 1 şi ∑ qn diverge.
n =1
∞
Dacă α > 1, atunci q < 1 şi ∑ qn converge.
n =1
În particular, pentru α = 1 obţinem o nouă demonstraţie a faptului că seria
∞
1
armonică ∑ este divergentă.
n =1 n
∞
1
2. Seria ∑ , unde a > 1 este convergentă pentru α > 1 şi
α
n = 2 n ( log a n )
divergentă pentru 0 ≤ α ≤ 1.
Într-adevăr, din Teorema 1.5.3 rezultă că această serie are aceeaşi natură cu
seria
∞ ∞ ∞
2n 1 1 1
∑ n =∑ =
α ∑ α
.
( )
α α
n = 2 2 log 2n n = 2 ( n ⋅ log a 2 ) ( log a 2 ) n=2 n
a
Aşadar, seria dată are aceeaşi natură cu seria armonică generalizată.
Teorema 1.5.4. (Criteriul II de comparaţie)
∞ ∞
Fie ∑ un şi ∑ vn două serii cu termeni pozitivi. Presupunem că există
n =1 n =1
k ∈ * astfel încât
un+1 vn+1
≤ , ∀ n≥k. (1.19)
un vn
32. 32 ANALIZĂ MATEMATICĂ
∞ ∞
Atunci: a) Dacă seria ∑ vn converge, rezultă că şi seria ∑ un converge.
n =1 n =1
∞ ∞
b) Dacă seria ∑ un diverge, rezultă că şi seria ∑ vn diverge.
n =1 n =1
Demonstraţie
Din Observaţia 1.4.2 rezultă că putem presupune că inegalitatea (1.19) are
loc pentru orice n ∈ * .
u u
Aşadar avem n+1 ≤ n , ∀ n ∈ * şi mai departe
vn+1 vn
un un−1 u u u
≤ ≤ K ≤ 2 ≤ 1 , de unde rezultă un ≤ 1 ⋅ vn , ∀ n ∈ Ν.
vn vn−1 v2 v1 v1
Afirmaţiile din enunţ rezultă acum din Teorema 1.5.2 (Observaţia 1.5.1).
Teorema 1.5.5. (Criteriul III de comparaţie)
∞ ∞
Fie ∑ un şi ∑ vn două serii cu termeni pozitivi cu proprietatea:
n =1 n =1
u u
0 < lim n ≤ lim n < +∞ . (1.20)
vn vn
Atunci cele două serii au aceeaşi natură.
Demonstraţie
Fie a, b ∈ ϒ astfel încât
u u
0 < a < lim n ≤ lim n < b .
vn vn
Din Observaţia 1.3.2 rezultă că numai un număr finit de termeni ai şirului
⎧ un ⎫ *
⎨ ⎬ sunt mai mici ca a sau mai mari ca b. Prin urmare există k ∈ astfel încât
⎩ vn ⎭
u
a < n < b , pentru orice n ≥ k . (1.21)
vn
Cum vn > 0 , mai departe avem:
avn < un < bvn .
Afirmaţia rezultă acum din Teorema 1.5.2.
33. 1. Şiruri şi serii de numere reale 33
∞ ∞
Corolar. Fie ∑ un şi ∑ vn două serii cu termeni pozitivi cu proprietatea
n =1 n =1
u
că există lim n şi
n→∞ vn
u
0 < lim n < +∞ . (1.22)
n→∞ vn
Atunci cele două serii au aceeaşi natură.
Demonstraţie
Afirmaţia rezultă din Teorema 1.5.5 şi Propoziţia 1.3.2.
∞ 1 1
1
Exemplu. Să se afle natura seriei ∑ n
. Fie un =
n
şi vn =
n
.
n=2 n⋅ n n n
u ∞
1
Deoarece lim n n = 1 rezultă lim n = 1 . Cum seria ∑ este divergentă,
n→∞ n→1 vn n=2 n
∞
1
rezultă că şi seria ∑ este divergentă.
n
n =1 n ⋅ n
Teorema 1.5.6. (Criteriul rădăcinii al lui Cauchy)
∞
Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi.
n =1
a) Dacă există 0 < α < 1 şi k ∈ * astfel încât
n
un ≤ α , ∀ n ≥ k , (1.23)
∞
atunci seria ∑ un este convergentă.
n =1
b) Dacă pentru o infinitate de termeni avem
n
un ≥ 1 , (1.24)
∞
atunci seria ∑ un este divergentă.
n =1
Demonstraţie
34. 34 ANALIZĂ MATEMATICĂ
∞
Din (1.23) rezultă un ≤ α n , ∀ n ≥ k . Deoarece seria ∑ αn este convergentă,
n=1
fiind o serie geometrică cu raţia q = α < 1 , din Teorema 1.5.2 rezultă că seria
∞
∑ un este convergentă.
n =1
Din (1.24) rezultă un ≥ 1 pentru o infinitate de termeni şi deci că şirul {un }
∞
nu converge la 0. Din Observaţia 1.4.1 rezultă că seria ∑ un este divergentă.
n =1
∞
Corolarul 1. Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi şi fie L = lim n un . Dacă
n =1
L < 1 seria este convergentă, iar dacă L > 1 seria este divergentă.
Demonstraţie
a) Fie L < α < 1. Din definiţia limitei superioare rezultă că există un număr
finit de termeni ai şirului n un mai mari ca α. Aşadar există k ∈ * astfel încât
n
un ≤ α , ∀ n ≥ k . Afirmaţia rezultă acum din Teorema 1.5.6.
b) Dacă L > 1, atunci există o infinitate de termeni ai şirului n un { } mai
mari ca 1, deci seria este divergentă (vezi Teorema 1.5.6).
∞
Corolarul 2. Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi cu proprietatea că există
n =1
n
l = lim un . Dacă l < 1 seria este convergentă, iar dacă l > 1 seria este
n→∞
divergentă.
Demonstraţie
Afirmaţia rezultă din Corolarul 1 şi Propoziţia 1.3.2.
Exemple
∞
⎡ n ⎤n
1. Să se afle natura seriei ∑ ⎢ 2 + ( −1)
⎣ ⎦
n
⎥ ⋅ a , a > 0. Dacă notăm cu
n =1
n ⎤n n
un = ⎡ 2 + ( −1) ⎥ ⋅ a n , atunci lim n un = lim ⎡ 2 + ( −1) ⎤ ⋅ a = 3a . Prin urmare,
n
⎢
⎣ ⎦ ⎢
⎣ ⎥
⎦
35. 1. Şiruri şi serii de numere reale 35
1 1
din Corolarul 2 rezultă că dacă a < seria este convergentă, iar dacă a > seria
3 3
este divergentă.
1 ⎧1 (
Dacă a = atunci un = ⎪ daca n este impar
3 n
⎨3
⎪1 (
⎩ daca n este par.
Seria este divergentă deoarece un → 0 .
∞
n2 n
2. Să se afle natura seriei ∑ n
. Deoarece lim
n→∞
n2 = 1 rezultă
n =1 ⎛ 1⎞
⎜3 + ⎟
⎝ n⎠
1
lim n un = < 1 .
n→∞ 3
Din Corolarul 1 rezultă că seria este convergentă.
Teorema 1.5.7. (Criteriul raportului al lui D'Alembert)
∞
Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi.
n =1
a) Dacă există 0 < α < 1 şi k ∈ * astfel încât
un+1
≤α, ∀ n≥k , (1.25)
un
∞
atunci seria ∑ un este convergentă.
n =1
b) Dacă există k ∈ * astfel încât
un+1
≥ 1, ∀ n ≥ k , (1.26)
un
∞
atunci seria ∑ un este divergentă.
n =1
Demonstraţie
Suprimând eventual un număr finit de termeni ai seriei, putem presupune că
inegalitatea (1.25) are loc pentru orice n ∈ * . Aşadar, avem:
un +1 ≤ α ⋅ un , ∀ n ≥ 1 (1.25')
Dând succesiv lui n valorile 1, 2, 3, … din (1.25') rezultă
un ≤ αn −1u1 , ∀ n ∈ * .
36. 36 ANALIZĂ MATEMATICĂ
∞
Deoarece seria ∑ αn −1u1 este convergentă, fiind o serie geometrică cu raţia
n =1
∞
q = α < 1 , din Teorema 1.5.2 rezultă că seria ∑ un este convergentă.
n =1
Din (1.26) rezultă 0 < un ≤ un +1 , ∀ n ≥ k . Aşadar, în acest caz, şirul {un }
este crescător (începând de la un anumit rang) şi deci termenul său general nu
∞
converge la 0. Din Observaţia 1.4.1 rezultă că seria ∑ un este divergentă.
n =1
∞
Corolarul 1. O serie cu termeni pozitivi ∑ un este convergentă dacă
n =1
u u
lim n +1 < 1 şi divergentă dacă lim n +1 > 1 .
un un
Demonstraţie
u
Fie L = lim n +1 < 1 şi L < α < 1. Din definiţia limitei superioare rezultă că
un
⎧u ⎫
numai un număr finit de termeni ai şirului ⎨ n +1 ⎬ sunt mai mari ca α. Aşadar, există
⎩ un ⎭
∞
u
k ∈ * astfel încât n +1 ≤ α < 1 , ∀ n ≥ k . Din Teorema 1.5.7 rezultă că seria ∑ un
un n =1
este convergentă.
u
Fie l = lim n +1 > 1 . Din definiţia limitei inferioare rezultă că numai un număr
un
⎧u ⎫
finit de termeni ai şirului ⎨ n +1 ⎬ sunt mai mici ca 1. Aşadar, există k ∈ * astfel
⎩ un ⎭
∞
u
încât n +1 ≥ 1 , ∀ n ≥ k . Din Teorema 1.5.7 rezultă că seria ∑ un este divergentă.
un n =1
∞
Corolarul 2. Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi cu proprietatea că există
n =1
un +1
l = lim . Dacă l < 1 seria este convergentă, iar dacă l > 1 seria este divergentă.
n →∞ un
Demonstraţie
37. 1. Şiruri şi serii de numere reale 37
Afirmaţia rezultă din Corolarul 1 şi Propoziţia 1.3.2.
∞
an un
Exemplu. Să se afle natura seriei ∑ n ! , a > 0. Deoarece nlim u +1 =
→∞
n =1 n
a
= lim = 0 < 1 , rezultă că seria este convergentă, ∀ a > 0.
n →∞ n + 1
Teorema 1.5.8. (Criteriul Raabe-Duhamel)
∞
Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi.
n =1
a) Dacă există α > 1 şi k ∈ * astfel încât
⎛ u ⎞
n ⎜ n − 1⎟ ≥ α , ∀ n ≥ k , (1.27)
⎝ un +1 ⎠
∞
atunci seria ∑ un converge.
n =1
b) Dacă există k ∈ * astfel încât
⎛ u ⎞
n ⎜ n − 1⎟ ≤ 1 , ∀ n ≥ k , (1.28)
⎝ un +1 ⎠
∞
atunci seria ∑ un diverge.
n =1
Demonstraţie
a) Suprimând eventual un număr finit de termeni ai seriei, putem presupune
că inegalitatea (1.27) are loc pentru orice n ∈ * , aşadar avem
nun − nun +1 ≥ α un +1 , ∀ n ≥ 1 (1.27')
Dând lui n succesiv valoarea 1,2,3,… în (1.27') rezultă:
u1 − u2 ≥ αu2
2u2 − 2u3 ≥ αu3
3u3 − 3u4 ≥ αu4
KKKKKKKK
nun − nun +1 ≥ αun+1
Notând cu sn = u1 + u2 + K + un şi adunând inegalităţile de mai sus obţinem:
sn ≥ α ( sn − u1 + un +1 ) > α ( sn − u1 )
αu1
şi mai departe sn ≤ , ∀ n∈ *.
α −1
38. 38 ANALIZĂ MATEMATICĂ
Aşadar, şirul sumelor parţiale este mărginit. Din Teorema 1.5.1 rezultă că
∞
seria ∑ un este convergentă.
n =1
b) Din inegalitatea (1.28) rezultă
1
u
nun ≤ ( n + 1) un +1 şi mai departe n + 1 ≤ n +1 , ∀ n ≥ k .
1 un
n
∞ ∞
1
Deoarece seria ∑n este divergentă, din Teorema 1.5.4 rezultă că seria ∑ un
n =1 n =1
este divergentă.
∞
Corolarul 1. Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi.
n =1
⎛ u ⎞ ∞
a) Dacă l = lim n ⎜ n − 1 ⎟ > 1 , seria ∑ un este convergentă.
⎝ un +1 ⎠ n =1
⎛ u ⎞ ∞
b) Dacă L = lim n ⎜ n − 1 ⎟ < 1 , seria ∑ un divergentă.
⎝ un +1 ⎠ n =1
Demonstraţie
a) Fie l > α > 1. Din definiţia limitei inferioare rezultă că există k ∈ * astfel
⎛ u ⎞
încât: n ⎜ n − 1 ⎟ ≥ α , ∀ n ≥ k . Afirmaţia rezultă acum din Teorema 1.5.8.
⎝ un +1 ⎠
b) Fie L < 1. Din definiţia limitei superioare rezultă că există k ∈ * astfel
⎛ u ⎞
încât: n ⎜ n − 1 ⎟ ≤ 1 , ∀ n ≥ k . Afirmaţia rezultă din Teorema 1.5.8.
⎝ un +1 ⎠
∞
Corolarul 2. Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi cu proprietatea că există
n =1
⎛ u ⎞ ∞ ∞
lim n ⎜ n − 1 ⎟ . Dacă l > 1 seria ∑ un converge, iar dacă l < 1 seria ∑ un
n →∞ ⎝ un +1 ⎠ n =1 n =1
diverge.
Demonstraţie
Afirmaţia rezultă din Corolarul 1 şi Propoziţia 1.3.2.
Exemplu: Să se afle natura seriei
39. 1. Şiruri şi serii de numere reale 39
∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5KK ( 2n − 1) 1
∑ ⋅
2 ⋅ 4 ⋅ 6KK ( 2n ) 2n + 1
.
n =1
Dacă notăm cu un termenul general al seriei, atunci
⎛ u ⎞ ⎡ ( 2n + 2 )( 2n + 3) ⎤ 6n 2 + 5n 3
lim n ⎜ n − 1 ⎟ = lim n ⎢ − 1⎥ = lim = >1.
n →∞ ⎝ un +1 ⎠ n →∞ ⎢ ⎣ ( 2n + 1)2 ⎥ n →∞ ( 2n + 1)2 2
⎦
Din Corolarul 2 rezultă că seria este convergentă.
Teorema 1.5.9. (Criteriul logaritmic al lui Cauchy)
∞
Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi.
n =1
a) Dacă există α > 1 şi k ∈ * astfel încât:
1
ln
un
≥ α , ∀ n > k, (1.29)
ln n
∞
atunci seria ∑ un este convergentă.
n =1
b) Dacă există k ∈ * astfel încât:
1
ln
un
≤1, ∀ n ≥ k , (1.30)
ln n
∞
atunci seria ∑ un este divergentă.
n =1
Demonstraţie
1
a) Din (1.29) rezultă ln ≥ α ln n = ln n α . Deoarece funcţia f = ln este
un
1 1
crescătoare, rezultă ≥ n α şi mai departe un ≤ α , ∀ n ≥ k .
un n
∞
1
Cum seria ∑ α este convergentă pentru α > 1, din Teorema 1.5.2 rezultă
n =1 n
∞
că şi seria ∑ un este convergentă.
n =1
40. 40 ANALIZĂ MATEMATICĂ
1 ∞
1
b) Din (1.30) rezultă un ≥ , ∀ n ≥ k . Cum seria ∑ este divergentă, din
n n =1 n
∞
Teorema 1.5.2 rezultă că seria ∑ un este divergentă.
n =1
∞
Corolarul 1. Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi.
n =1
1
ln ∞
un
a) Dacă lim
ln n
> 1 , seria ∑ un converge.
n =1
1
ln ∞
un
b) Dacă lim
ln n
< 1 , seria ∑ un diverge.
n =1
Demonstraţia rezultă din Teorema 1.5.9 şi este asemănătoare cu demonstraţia
de la Corolarul 1, Teorema 1.5.8.
∞
Corolarul 2. Fie ∑ un o serie cu termeni pozitivi pentru care există
n =1
1
ln
un
l = lim . Dacă l > 1 seria este convergentă, iar dacă l < 1 seria este divergentă.
n →∞ ln n
Demonstraţia rezultă din Corolarul 1 şi Propoziţia 1.3.2.
∞
Exemplu: Să se afle natura seriei ∑ nln a , a > 0.
n =1
ln a
Dacă notăm cu un = n , atunci
1
ln
un
l = lim = − ln a .
n →∞ ln n
1
Dacă a < rezultă l > 1, deci seria este convergentă.
e
1
Dacă a > seria este divergentă.
e
∞ ∞
1 1
Dacă a = atunci ∑ un coincide cu seria armonică ∑ şi deci este
e n=1 n =1 n
divergentă.
41. 1. Şiruri şi serii de numere reale 41
1.6. Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni
oarecare
Vom considera acum serii de numere reale, în care termenii pot avea orice
semn. Cazul interesant este acela al seriilor care au o infinitate de termeni pozitivi
şi o infinitate de termeni negativi (O serie care are numai un număr finit de termeni
de acelaşi semn poate fi asimilată cu o serie cu termeni pozitivi).
Pentru astfel de serii avem deja un criteriu de convergenţă şi anume, criteriul
general de convergenţă al lui Cauchy (Teorema 1.4.1).
În continuare vom prezenta un criteriu care ne dă o condiţie suficientă pentru
convergenţa unei serii cu termeni oarecare.
Teorema 1.6.1. (Criteriul Abel-Dirichlet)
Fie {an } un şir descrescător de numere pozitive convergent la 0 şi fie seria
∞
∑ vn cu proprietatea că şirul sumelor sale parţiale {sn } este mărginit. Atunci
n =1
∞
seria ∑ an vn este convergentă.
n =1
Demonstraţie
Demonstraţia se bazează pe Teorema 1.4.1 (criteriul general de convergenţă
al lui Cauchy).
Prin ipoteză, există M > 0, astfel încât
sn < M, ∀ n ∈ * .
Observăm că, deoarece şirul {an } este descrescător, avem
*
ak − ak +1 = ak − ak +1 , ∀ k ∈ .
∞
Dacă notăm cu cu {σn } şirul numerelor parţiale ale seriei ∑ an vn , atunci:
n =1
σn + p − σn = an +1vn +1 + an + 2vn + 2 + K + an + p vn + p =
(
= an +1 ( sn +1 − sn ) + an + 2 ( sn + 2 − sn +1 ) + K + an + p sn + p − sn + p −1 =)
= − an +1sn + ( an +1 − an + 2 ) sn +1 + K + ( an + p −1 − an + p ) sn + p −1 + an + p sn + p ≤
≤ an +1 sn + ( an +1 − an + 2 ) sn +1 + K + ( an + p −1 − an + p ) sn + p −1 + an + p sn + p ≤
≤ M ( an +1 + an +1 − an + 2 + K + an + p −1 − an + p + an + p ) = 2 M an +1 .
Aşadar, pentru orice n şi p ∈ * avem:
42. 42 ANALIZĂ MATEMATICĂ
σn + p − σn ≤ 2 M an +1 . (1.31)
ε
Deoarece lim an = 0 , pentru ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ * astfel încât an < ,
n →∞ 2M
∀ n ≥ nε .
Dacă în inegalitatea (1) considerăm n ≥ nε obţinem
ε
σn + p − σn ≤ 2 M = ε , ∀ p∈ *.
2M
∞
Din Teorema 1.4.1 rezultă că seria ∑ an vn este convergentă.
n =1
Exemplu: Să se afle natura seriei:
∞
sin n cos n 2
∑ n
.
n =1
Deoarece
1
⎡sin n ( n + 1) − sin n ( n − 1)⎤ ,
sin n cos n 2 =
2⎣ ⎦
seria dată se mai poate scrie sub forma:
∞
1
∑ ⎡sin n ( n + 1) − sin ( n − 1) n ⎤ .
⎣ ⎦
n =1 2n
1
Fie an = şi vn = sin n ( n + 1) − sin ( n − 1) n . Se observă imediat că
2n
n
sn = ∑ vk = sin n ( n + 1) şi deci sn ≤ 1 , ∀ n ∈ Ν.
k =1
Din Teorema 1.6.1 rezultă că seria este convergentă.
Următorul criteriu de convergenţă se referă la serii alternate. Prin serie
alternată se înţelege o serie în care termenii sunt alternativ strict pozitivi sau strict
negativi. O serie alternată este deci de forma
∞
n −1
∑ ( −1) un = u1 − u2 + u3 + KK , unde un > 0 , n ∈ * .
n =1
Teorema 1.6.2. (Criteriul lui Leibniz)
∞
n −1
Orice serie alternată ∑ ( −1) un cu proprietatea că şirul {un } este
n =1
descrescător şi convergent la 0 este convergentă.
43. 1. Şiruri şi serii de numere reale 43
Demonstraţie
Demonstraţia rezultă imediat din Teorema 1.6.1 dacă vom condidera an = un
n −1
şi vn = ( −1) .
n (
⎧ 1 daca n este impar
Într-adevăr an 0 şi sn = ∑ vk = ⎨ (
k =1 ⎩0 daca n este par .
Exemplu. Seria armonică alternată
1 1 1 n −1 1
1 − + − + K + ( −1) +K,
2 3 4 n
1
este convergentă deoarece un = 0.
n
1.7. Calculul aproximativ al sumei unor serii
Calculul exact al sumei unei serii convergente este posibil numai în cazuri
foarte particulare (de exemplu pentru seria geometrică). În general, acest lucru nu
este posibil şi de aceea se aproximează suma s a seriei, cu suma parţială sn .
Eroarea absolută care se face este rn = s − sn .
1. Cazul seriilor cu termeni pozitivi
∞
Dacă seria ∑ un este cu termeni pozitivi, atunci un > 0 şi valoarea
n =1
aproximativă sn va fi mai mică decât valoarea exactă s.
a) Să presupunem că există m ∈ * şi 0 < α(m) < 1 astfel încât
un +1
≤ α( m) , ∀ n ≥ m . (1.32)
un
Atunci avem
α( m )
rm ≤ um . (1.33)
1 − α( m )
Într-adevăr, din (1.32) rezultă:
α( m )
rm = um +1 + um + 2 + K ≤ ⎡ α( m ) + α 2 ( m ) + K⎤ um = um .
⎣ ⎦ 1 − α( m )
