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Sistema diedrikoa
 

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    Sistema diedrikoa Sistema diedrikoa Document Transcript

    • Sistema DiédricoFundamentosLa geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de loselementos del espacio sobre el plano.Utiliza unos métodos, llamados sistemas de representación, que se basanen el concepto de proyección desde un punto sobre el plano para reducir lastres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas derepresentación han de cumplir el principio de reversibilidad, es decir, queutilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo delespacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamosreconstruir en el espacio.Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los trestipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Siel punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano espropio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. Laproyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblicua dependiendo de que el rayoproyectante sea perpendicular u oblicuo al plano de proyección.Fig 1
    • En Sistema Diedrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando laproyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortanperpendicularmente formando un diedro rectángulo (Fig. 2).Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadassobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, seabate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical (Fig. 3). De estamanera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un únicoplano.Fig. 2 Fig. 3El puntoUn punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonalessobre los planos de proyección. En la figura 4, el punto A del espacio quedarepresentado por sus proyecciones a sobre el plano Horizontal, y a´ sobre elplano Vertical.Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre el vertical, laproyección a del punto se traslada con el plano, de manera que lasproyecciones a-a´ quedan situadas sobre la misma perpendicular a la línea detierra (Fig. 5). Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano deldibujo, sólo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto delespacio.
    • Fig. 4 Fig. 5Conceptos de cota y alejamientoLa cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y serepresenta en el sistema diedrico, como la distancia de la proyección vertical aa la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaríarepresentado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra (Fig.6).Fig. 6 Fig. 7Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cotaes positiva y en el sistema diedrico su proyección vertical estará por encima dela línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en elespacio se encuentra por delante del plano vertical. La proyección horizontal deun punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea detierra.
    • Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. El primercuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y pordelante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota yalejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajode la línea de tierra y la proyección vertical por encima (Fig. 7).Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, lacota ó el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se encontrarásobre la línea de tierra.Alfabeto del puntoEl alfabeto del punto es la representación del punto en las distintas posicionesque puede ocupar en el espacio respecto a los planos de proyección y a losplanos bisectores. Los planos bisectores son los que dividen los cuadrantes endos diedros iguales. Con los bisectores, el sistema queda dividido en ochooctantes (Figs 9 y 10).Fig. 9 Fig. 10Los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de los planos deproyección, por lo que tendrán la misma cota que alejamiento. Si son delmismo signo, las proyecciones del punto equidistan de la LT; y si son dedistinto signo, éstas quedarán superpuestas (Fig. 10).Para representar las diecisiete posiciones del punto en el sistema diédrico,podemos ayudarnos del esquema de la fig. 10, donde se puede observarclaramente los valores de las cotas y alejamientos del punto. Por ejemplo, el
    • punto A(a-a) tiene alejamiento positivo (a por debajo de LT) por estar pordelante del plano vertical y cota nula (a en LT) por encontrarse en el horizontal.Siguiendo este procedimiento podemos representar las demás posiciones (Fig.11).Fig. 11La RectaDos puntos del espacio determinan una recta. Por lo tanto, para representarlaen el sistema diédrico bastará con conocer las proyecciones de dos puntoscualesquiera de ella A y B. Uniendo las proyecciones homónimas, es decir acon b y a con b, se obtienen las proyecciones horizontal r y vertical r de larecta (Fig. 12).Fig. 12 Fig. 13
    • Trazas de la rectaUna recta también puede definirse por sus trazas. Las trazas de una recta sonlos puntos de intersección de la recta con los planos de proyección.La intersección de una recta con el plano horizontal es un punto H del planohorizontal, y por tanto con cota nula, lo que implica que su proyección vertical hse encuentre en la línea de tierra.La traza vertical V, por tener alejamiento nulo, tendrá su proyección horizontalv, en la línea de tierra.Partes vistas y ocultasEn este sistema el espectador se sitúa en el primer cuadrante, por ello, sóloserán vistos los elementos situados en él, representándose con línea continua.Para determinar las partes vistas y ocultas de una recta debemos considerar laposición de las trazas. Si, por ejemplo, una recta tiene su traza vertical V(v-v)en el plano vertical superior y su traza horizontal H(h-h) en el plano horizontalanterior, el segmento comprendido entre las trazas pertenece al primercuadrante, la semirrecta a partir de la traza vertical pertenece al segundo y lasemirrecta a partir de la traza horizontal al cuarto (Fig 14).Fig. 14 Fig. 15
    • Trazas con los bisectoresLas trazas con los bisectores son los puntos que tienen igual cota quealejamiento y pertenecen a la recta. El segundo bisector pasa por loscuadrantes que tienen cota y alejamiento de distinto signo, por tanto, la traza B 2con el segundo bisector es el punto de intersección de las proyecciones de larecta. Y al contrario, la traza con el primer bisector B1 es el punto cuyasproyecciones equidistan de la LT. Este se halla trazando la recta simétrica deuna de las proyecciones hasta cortar la otra proyección (Fig. 15).Alfabeto de la rectaFig. 16A) Recta paralela a la línea de tierra: es también paralela a los dos planos deproyección, por tanto, el alejamiento y la cota de todos sus puntos sonconstantes.B) Recta horizontal: es paralela al plano horizontal, por lo que su proyecciónvertical se representa paralela a la LT. Sólo tiene traza con el plano vertical, alque es oblicua.C) Recta frontal: es paralela al plano vertical y oblicua al horizontal, suproyección horizontal se representa paralela a LT por tener alejamientoconstante. Sólo tiene traza don el plano horizontal.D) Recta vertical: es perpendicular al plano vertical y sólo tiene traza con él. Suproyección vertical es perpendicular a LT y la horizontal es un punto quecoincide con su traza.
    • E) Recta de punta: es perpendicular al plano vertical, por lo que todos lospuntos de la recta se proyectan sobre su traza vertical.F) Recta genérica: es oblicua a los dos planos de proyección. Las trazas que ladefinen pueden ser dos puntos cualesquiera de los planos de proyección. Susdos proyecciones son oblicuas a la LT.G) Recta que pasa por la LT. : Es también oblicua a los dos planos deproyección, pero sus trazas coinciden en un mismo punto de la LT, por lo quenecesitamos un punto -M(m-m´)- que le pertenezca para definirla.H) Recta perpendicular a LT. : sus proyecciones son perpendiculares a la LT.También se necesita un punto para definirla.I) Recta de perfil: por ser paralela a un plano de perfil sus proyecciones sonperpendiculares a la LT.Fig. 17El planoAlfabeto del planoEl plano se representa por sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas deintersección del plano con los planos de proyección vertical y horizontal.Las distintas posiciones del plano con respecto a los planos de proyecciónconforman el alfabeto del plano.
    • Fig. 18A) Plano horizontal: es paralelo al plano horizontal de proyección, por loque sólo tiene una traza con el plano vertical que es paralela a la línea detierra. Los elementos contenidos en él se proyectan en verdadera magnitudsobre el plano horizontal.B) Plano Frontal: el paralelo al plano vertical. Sólo tiene traza horizontalparalela a la LT.C) Plano de canto o proyectante vertical: es perpendicular al planovertical y oblicuo al horizontal. Al ser perpendicular al plano vertical, loselementos contenidos en el se proyectan sobre la traza con dicho plano.D) Plano vertical o proyectante horizontal: es perpendicular al planohorizontal. Su traza vertical es perpendicular a la LT. Y su traza horizontaloblicua.E) Plano genérico: es oblicuo a los dos planos de proyección.F) Plano paralelo a la LT. : es oblicua a los planos de proyección yperpendicular a los planos de perfil; se puede considerar un proyectante deperfil, lo que implica que todo lo contenido en él se proyecte sobre su traza deperfil.G) plano que pasa por LT. : sus trazas se confunde en la LT., por lo quese necesita un punto del mismo para definirlo. También es proyectante deperfil.H) Plano de perfil: es paralelo al plano de perfil y perpendicular al vertical yal horizontal. Sobre ambas trazas se proyectan los elementos contenidos en él,
    • los cuales se proyectan en verdadera magnitud en el plano de perfil deproyección.Fig. 19Relaciones de pertenenciaUn punto pertenece a una recta, si sus proyecciones están contenidas en lasproyecciones homónimas de la recta (Fig. 20).Fig. 20 Fig. 21Una recta pertenece a un plano, si sus trazas están contenidas en las trazashomónimas del plano (Fig. 21).Un punto pertenece a un plano, si está contenido en una recta que a su vezpertenece al plano (Fig. 21).Rectas notables del plano
    • • Rectas horizontales: son las rectas horizontales que pertenecen al plano. Su Traza -V(v-v´)- esta sobre la traza –P´- del plano y su proyección horizontal es paralela a la traza P (Fig. 22). • Rectas Frontales: Su única traza -H(h-h´)- pertenece a -P- y la proyección -f- es paralela a la traza vertical –P´- del plano (Fig. 23).Fig. 22 Fig. 23 • Recta de máxima pendiente: Es la recta que perteneciendo al plano forma mayor ángulo con el plano horizontal (Fig. 24). • Recta de máxima inclinación: Es la recta del plano que forma mayor ángulo con el plano vertical (Fig. 25).Fig. 24 Fig. 25La recta de máxima inclinación tiene, al contrario que la r.m.p., La proyecciónvertical perpendicular a la traza homónima del plano. Ambas rectas sonsuficientes para definir un plano. Si, por ejemplo, se nos da un plano definidopor su recta de máxima pendiente, la perpendicular por la traza -h- a la
    • proyección horizontal -r- de la recta es la traza horizontal del plano. La trazavertical –P´- la trazamos uniendo el origen del plano con la traza vertical – v´-.Determinación de las trazas de un planoUn plano puede quedar determinado por los siguientes elementos: • Dos rectas que se cortan (Fig. 26, 27 y 28). • Tres puntos no alineados (Fig. 30). • Una recta y un punto que no le pertenezca.(Fig. 31) • Dos rectas paralelas (Fig. 29).Fig. 26 Fig. 27Los casos en que nos dan dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas seresuelven hallando las trazas de ambas rectas y trazando por ellas las trazashomónimas del plano.
    • Fig. 28 Fig. 29Cuando nos dan tres puntos noalineados, podemos transformar el casoen el de dos rectas que se cortan sitrazamos las rectas AB y AC, que se cortarán precisamente en el punto A.El caso de una recta y un punto exterior también se transforma en el primero sisituamos en la recta un punto cualquiera, M, y lo unimos con el punto dado, loscuales definen una recta S que se corta con la recta dada en el punto M.Fig. 30 Fig. 31InterseccionesIntersección entre planosLa intersección entre dos planos es una recta común a ambos. Paradeterminarla seguiremos los siguientes pasos: trazamos dos planos auxiliares,en la Fig. 1a se han trazado dos planos horizontales. La intersección del plano(H) con (P) es la recta R, y con (Q) la recta S. La intersección de ambas rectases el punto A común a los tres planos y, por lo tanto, pertenece a la rectaintersección de (P) y (Q).Procediendo del mismo modo con el segundo plano auxiliar, obtenemos elpunto B, con el que queda definida la recta intersección de ambos plano.
    • Si consideramos como planos auxiliares los planos de proyección, lasintersecciones de estos con (P) y (Q), son precisamente sus trazas P-P´ y Q-Q´(Fig. 1b). Recordad que las trazas de un plano son las rectas de intersecciónde este con los planos de proyección.Fig. 1 Fig. 2Planos cuyas trazas se cortan fuera de los limites del dibujo.Si sólo se cortan las trazas horizontales de los planos, trazamos un planohorizontal que corte las trazas verticales de los planos dados. Lasintersecciones de este plano con los planos (P) y (Q) son dos rectashorizontales que se cortan en el punto A(a-a´) común a los tres planos.Uniendo este punto con el punto de intersección de las trazas horizontales delos planos obtenemos la recta I (Fig. 2).Si solamente se cortan las trazas verticales procedemos de igual formautilizando un plano frontal (Fig. 3), y utilizamos ambos planos auxiliares si no secortan ninguna de las trazas (Fig. 4).
    • Fig. 3 Fig. 4Casos particularesLa intersección entre dos planos cuyas trazas concurren en un mismo punto dela línea de tierra, se determina con el auxilio de un plano horizontal que corta alos planos (P) y (Q) según dos rectas horizontales. La intersección de dichasrectas es el vértice del triedro formado por los planos (P), (Q) y (H). Uniendodicho punto con el punto donde concurren las trazas de los planos dados,obtenemos la recta intersección (Fig. 5).Fig. 5 Fig. 6La intersección de dos planos paralelos a la línea tierra es una recta paralela ala línea de tierra. Por ser los planos perpendiculares al plano de perfil, laintersección de sus trazas en el plano de perfil es la proyección de perfil de larecta intersección. A partir de dicha proyección obtenemos las proyeccionesdiédricas. (Fig. 6)
    • Intersección entre recta y planoLa intersección entre una recta y un plano es el punto común a ambos, paradeterminarlo procedemos de la siguiente manera: contenemos la recta en unplano proyectante auxiliar (Q). La intersección entre (P) y (Q) es una recta Sque corta a R en el punto I de intersección. (Fig. 7).La intersección de una recta R con un plano dado por dos rectas que se cortanS y T, se halla conteniendo la recta R en un plano proyectante, el cual corta elplano definido por las rectas S y T, según la recta AB coplanaria con ambas. Laintersección de la recta R con la recta AB es el punto I de intersección de R conel plano dado. (Fig. 8)Fig. 7 Fig. 8Paralelismo y Perpendicularidad. DistanciasParalelismoDos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homónimas paralelas.Las rectas de perfil pueden no ser paralelas en el espacio aún siéndolo susproyecciones diedricas, en este caso es necesario que sus proyecciones deperfil también lo sean (Fig. 9).
    • Fig. 9 Fig. 10Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera contenida en elplano.Para trazar por un punto A una recta R paralela a un plano P dado, dibujamosuna recta cualquiera S contenida en el plano y por el punto A dado, trazamos laparalela R a la recta S (Fig. 10).El problema inverso, es decir, trazar por un punto un plano paralelo a una rectaR dada, se resuelve trazando por el punto una recta S paralela a R. Cualquierplano que contenga a la recta S es paralelo a R.Fig. 11 Fig. 12Las intersecciones de dos planos paralelos con un plano cualquiera son dosrectas paralelas, de aquí que los planos paralelos tengan sus trazashomónimas paralelas.Los planos proyectantes de perfil deben tener paralelas sus trazas de perfilpara ser paralelos en el espacio (Fig. 12).
    • Para trazar por un punto un plano Q, paralelo a un plano P dado, podemosauxiliarnos de un recta horizontal o frontal. Si elegimos una recta horizontal,trazamos su proyección horizontal por la proyección horizontal del punto dadoparalela a la traza horizontal del plano P. Conteniendo la traza de la rectahorizontal, trazamos Q, paralela a P, y por el origen del plano obtenido sobrela línea de tierra, la traza Q paralela a P. (Fig. 11).PerpendicularidadSi una recta es perpendicular a un plano, lo es a todas las rectas del plano,pasen o no por el punto de intersección. En la Figura 13a, la recta R esperpendicular a S, T, V, ...Fig. 13Teorema de las tres perpendiculares.- Si dos rectas R y S sonperpendiculares en el espacio, y una de ellas, la R por ejemplo, es paralela aun plano de proyección (Fig. 13b) o está contenida en él (Fig. 13c), ambasrectas se proyectan perpendiculares sobre dicho plano.Considerando el plano proyectante definido por el haz de rectasperpendiculares a R en un punto, resulta que todas la rectas del haz se
    • proyectan sobre su traza. Si la recta T, de dicho haz, es paralela al plano deproyección, el ángulo formado por R y T se proyecta sin deformación.(Fig. 13b)Perpendicularidad entre recta y planoSi una recta es perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas, por tanto, sila recta R es perpendicular al plano (P), lo es a su traza P. Por el teorema delas tres perpendiculares, siendo R y P perpendiculares y estando contenida latraza P del plano en el plano de proyección, las proyecciones de R y P debenmostrarse ortogonales. De lo dicho deducimos que si una recta esperpendicular a un plano, sus proyecciones son perpendiculares a las trazas dedicho plano (Fig 14 y 15).Fig. 14 Fig. 15Para trazar por un punto M, una recta R perpendicular a un plano P dado, bastacon trazar por las proyecciones del punto las proyecciones homónimas de larecta, perpendiculares a las trazas del plano. (Fig. 15)El problema inverso podemos resolverlo con el auxilio de una recta horizontalque, pasando por el punto, tenga su proyección horizontal perpendicular a latraza horizontal del plano dado.Perpendicularidad entre planosSi una recta R es perpendicular a un plano (P), cualquier plano (Q) quecontenga a la recta R es perpendicular a (P).Perpendicularidad entre rectas
    • Para trazar una recta R perpendicular a otra S dada, trazamos el plano (P)perpendicular a S, cualquier recta R contenida en el plano P es perpendicular ala recta S.DistanciasLos problemas de distancia son una aplicación de la perpendicularidad,consisten en determinar la mínima distancia entre dos elementos geométricas.Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos es el segmentorectilíneo comprendido entre ambos. En elesquema de la Fig. 16, podemos apreciarque la distancia en verdadera magnitud entrelas puntos A y B es la hipotenusa de untriangulo rectángulo cuyos catetos son laproyección horizontal del segmento AB y ladiferencia de sus cotas. Construyendo dichotriángulo sobre el plano horizontal podemos obtenemos la verdadera magnituddel segmento AB. Lo mismo ocurre con el triángulo cuyos catetos son laproyección vertical del segmento y la diferencia de sus alejamientos.Distancia de un punto a un plano
    • La distancia de un punto a un plano es el segmento comprendido entre el puntoy el pie de la perpendicular trazada por el punto al plano.Para determinar la distancia en el Sistema Diedrico de un punto A a un plano(P) dados, trazamos por A la recta R perpendicular al plano (P). Hallamos elpunto B de intersección de la recta R con el plano (P) auxiliándonos de unplano proyectante. Una vez obtenido el punto B construimos el triángulorectángulo, de catetos la proyección vertical del segmento AB y la diferencia dealejamientos, para obtener la verdadera magnitud de la distancia.Distancia de un punto a una rectaSi trazamos por el punto A un plano (P) perpendicular a la recta R y hallamos elpunto B de intersección de la recta con el plano, obtenemos el segmento AB,mínima distancia entre R y A. (Fig. 18)Fig. 18 Fig. 19Distancia entre dos rectas paralelasTrazamos el plano (P) perpendicular común a las rectas R y S. Lasintersecciones del plano con las rectas son los puntos A y B que determinan elsegmento mínima distancia entre las rectas. (Fig. 19)Distancia entre dos planos paralelosTrazamos una recta R perpendicular común a los planos dados y hallamos lospuntos de intersección que determinan la distancia entre los planos. (Fig 20)
    • Fig. 20 Fig. 21Distancia entre dos rectas que se cruzan siendo una de ellasperpendicular a uno de los planos de proyecciónLa distancia entre dos rectas que se cruzan es la perpendicular común aambas rectas. Si una de las rectas, por ejemplo la R, es perpendicular al planohorizontal de proyección, las perpendiculares a dicha recta son todas paralelasa dicho plano. En virtud del teorema de las tres perpendiculares, laperpendicular común y la recta S han de proyectarse perpendiculares sobre elplano horizontal, puesto que una de ellas es paralela al plano de proyección.(Fig. 21)En el Sistema Diédrico trazamos por la proyección horizontal de la recta R, laperpendicular a la proyección horizontal de S. El pie de la perpendicular es laproyección horizontal del punto B. La proyección vertical de B la obtenemosrefiriéndolo sobre S desde la proyección horizontal b. El punto A se obtienetrazando la paralela a la línea de tierra por a, ya que la recta AB es unahorizontal.Al ser la recta AB paralela al plano horizontal se proyecta sobre éste enverdadera magnitud
    • Abatimientos, giros y cambios de planoCuando un segmento o una figura plana son paralelos a los planos deproyección, se proyectan sobre ellos sin deformación. En la mayoría de loscasos nos encontraremos con figuras que son oblicuas a ambos planos y, porlo tanto, se proyectan deformadas sobre los mismos. En estos casostendremos que recurrir a los abatimientos, giros o cambios de plano, paraobtener posiciones más favorables de las figuras respecto a los planos deproyección.AbatimientosLos abatimientos se usan generalmente, en el Sistema Diedrico, para obtenerlas verdaderas formas y magnitudes de figuras planas o para su construcciónsobre planos oblicuos. Normalmente se abaten los planos que contienen lasfiguras sobre uno de los planos de proyección.Abatir un plano sobre otro plano, consiste en girar uno de ellos alrededor de sutraza, denominada charnela, hasta hacerlo coincidir con el otro.Abatimiento de un puntoCuando se abate un punto, o cualquier otro elemento, lo que se abate enrealidad es el plano que lo contiene.Para abatir el punto A contenido en el plano (P) sobre el plano (H), trazamos unarco de circunferencia de radio AC, igual a la distancia del punto A a lacharnela P. El radio de giro r, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo,cuyos catetos son la distancia del punto del espacio al plano de proyección y ladistancia de la proyección del punto a la charnela. Este triángulo podemosdibujarlo sobre el plano de proyección para obtener el abatimiento del punto enel Sistema Diedrico. (Fig. 1)
    • Fig. 1 Fig. 2Partiendo de las proyecciones del punto y de la traza horizontal del plano quelo contiene utilizada como charnela, hemos abatido el punto A sobre el planohorizontal de proyección. (Fig. 2).Por la proyección horizontal del punto trazamos la perpendicular a la charnela ydeterminamos el centro c. Sobre la paralela a la charnela trazada por a,trasladamos la cota del punto para obtener el radio r. Con centro en c y radio r,trazamos el arco de circunferencia que corta a la prolongación de ac en (A).Abatimiento de una rectaPara abatir una recta basta con abatir dos de sus puntos. En la Fig. 3 hemosabatido las trazas de la recta R. La traza vertical la abatimos como en elapartado anterior y la traza horizontal no se mueve por estar contenida en lacharnela.Las rectas horizontales de un plano son paralelas a su traza horizontal, por loque abatidas sobre el plano horizontal de proyección, se mantienen paralelas ala charnela. Para abatir estas rectas, basta abatir su traza vertical y trazar porella la recta abatida paralela a la charnela (Fig. 4)
    • Fig. 3 Fig. 4Abatimiento de un planoAbatir un plano consiste en abatir la traza que no hace la función de charnela,puesto que está rota sobre sí misma. Si queremos abatir la traza vertical de unplano sobre el horizontal de proyección, sólo tenemos que abatir dos puntos deella. Si uno de ellos es el origen del plano que por pertenecer también a lacharnela no se mueve, basta con abatir un punto cualquiera de la traza verticaly unirlo con el origen del plano (Fig. 4)Representación de una figura planaPara representar una figura plana contenida en un plano abatimos el plano y laconstruimos con las medidas reales sobre el plano abatido. Auxiliándonos derectas horizontales o frontales desabatimos cada uno de sus vértices paraobtener sus proyecciones diedricas. (Fig. 5)La circunferencia la podemos representar desabatiendo dos diámetrosperpendiculares de la circunferencia. Estos se transforman en los diámetrosconjugados de las elipses en que se proyectan las circunferencias.En el desabatimiento de la circunferencia podemos aplicar la afinidad ortogonalde eje la charnela y figuras homólogas la circunferencia abatida y suproyección sobre el mismo plano. (Fig. 6)
    • Fig. 5 Fig. 6Los planos proyectantes tienen sus trazas perpendiculares, por lo tanto, tras elabatimiento se mantienen perpendiculares. Si abatimos un plano de cantosobre el horizontal tomando como charnela su traza horizontal, la traza verticalabatida coincidirá con la línea de tierra (Fig. 7)Los planos paralelos a la línea de tierra son proyectantes de perfil y podemosabatirlos sobre el mismo plano de perfil (Fig. 8)Fig. 7 Fig. 8
    • GirosGiro de un puntoSi un punto gira alrededor de una recta describe una circunferencia de radio ladistancia del punto a la recta y contenida en un plano perpendicular al eje degiro.Si tomamos como eje de giro una recta vertical, la circunferencia de giro estarácontenida en un plano horizontal y se proyectará sobre el plano horizontal deproyección en verdadera magnitud y en el plano vertical como un segmento,igual a su diámetro, coincidente con la traza del plano horizontal que lacontiene (Fig. 9).En el sistema diédrico se ha girado el punto A trazando un arco decircunferencia con centro en la proyección horizontal del eje, obteniendo así lanueva proyección horizontal del punto a1, por dicha proyección se traza laperpendicular a la línea de tierra para obtener sobre la traza del plano la nuevaproyección vertical (Fig. 10)Fig. 9 Fig. 10Giro de una rectapara girar una recta basta girar dos de sus puntos el mismo ángulo. Si la rectacorta el eje, el punto de intersección de ambas recta no se mueve tras el giro,por lo que es suficiente con girar un punto y unirlo con el punto de intersección(Fig. 11).
    • Si la recta y el eje se cruzan, trazamos la perpendicular común, que será unahorizontal si el eje es vertical. La perpendicular común y la recta R se proyectandurante el giro siempre perpendiculares, al permanecer la primera paralela alplano horizontal. De esta manera podemos girar la proyección horizontal de Rque se mantendrá tangente a la circunferencia de giro. Girada la proyecciónhorizontal de R, giramos un segundo punto que tendrá su nueva proyecciónhorizontal sobre la proyección homónima de la recta (Fig. 12).Fig. 11 Fig. 12Podemos situar una recta mediante un giro paralela a unos de los planos deproyección. En la figura 13 hemos transformado una recta oblicua en frontalgirándola alrededor de un eje vertical de manera que su proyección horizontalquede paralela a la línea de tierra.Giro de un planoPodemos girar un plano girando su traza horizontal y una recta horizontal.Trazamos un eje vertical que corte la recta horizontal y giramos la traza P conla perpendicular trazada desde la proyección horizontal del eje. La rectahorizontal al girar alrededor de un eje vertical se mantiene siempre paralela alplano horizontal de proyección, por lo tanto, su nueva proyección horizontalserá paralela a la nueva traza horizontal del plano pasando por e, y su traza v1tendrá la misma cota. Uniendo el origen del plano con v1, obtenemos la nuevatraza vertical del plano (Fig. 14).
    • Fig. 13 Fig. 14Cambios de planosEn los abatimientos y en los giros los elementos del espacio cambian deposición respecto a los planos de proyección, sin embargo, en los cambios deplanos son éstos los que cambian mientras que los elementos del espaciopermanecen inmóviles.El punto en los cambios de planoPodemos sustituir uno de los planos de proyección por otro plano cualquierasiempre que sea perpendicular al plano que permanece. Si cambiamos el planovertical, el nuevo plano será un proyectante vertical sobre el que obtendremosuna nueva proyección vertical a1 del punto A del espacio. La proyecciónhorizontal es la misma en los dos sistemas al no cambiar el plano horizontal, ypor la misma razón, la cota del punto también es la misma en los dos sistemas.Esto implica que las distancias de las proyecciones verticales a sus respectivaslíneas de tierra sean iguales. (Fig. 15 y 16)
    • Fig. 15 Fig. 16La recta en los cambios de planoPara hallar las nuevas proyecciones de una recta tras un cambio de planohallaremos las nuevas proyecciones de dos de sus puntos, normalmente sustrazas. Si realizamos un cambio de plano horizontal, las proyecciones verticalesde sus trazas h y v permanecen, obteniéndose la nuevas proyeccioneshorizontales de dichos puntos h1 y v1 trasladando sus cotas a partir de la nuevalínea de tierra. El punto V tiene cota cero en los dos sistemas, por lo tanto,sigue siendo la traza vertical en el nuevo sistema (Fig. 17).Podemos transformar una recta oblicua en vertical realizando dos cambios deplano sucesivos. Primero la transformamos en frontal mediante un cambio deplano vertical y posteriormente realizamos un cambio de plano horizontal paratransformarla en vertical. Para transformarla en frontal tenemos que trazar lanueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal y para transformar estaen vertical la línea de tierra debe ser perpendicular a su proyección vertical (Fig18).
    • Fig. 17 Fig. 18El plano en los cambios de planoSi realizamos un cambio de plano vertical, el vértice A, definido por laintersección de los dos planos verticales con el plano (P), pertenece a los dossistemas. Este punto se proyecta con la misma cota en cada uno de lossistemas y pertenece a las trazas verticales del plano en ambos sistemas.(Fig.19 y 20)Fig. 19 Fig. 20
    • AngulosPara determinar el ángulo que forman dos rectas que se cruzan trazamos porun punto de una de ellas una paralela T a la otra. (Fig. 1a)El ángulo que forma una recta con un plano es el que forma la recta con suproyección sobre dicho plano. Para determinar la proyección de una rectasobre un plano cualquiera, distinto a los de proyección, trazamos por un puntode la recta una perpendicular al plano y hallamos su intersección con él.Uniendo este punto con el punto I de intersección de la recta dada con el planotambién dado obtenemos la proyección de R sobre (P). (Fig. 1b)Fig. 1El ángulo de un diedro formado por dos planos (P) y (Q), es el linealcorrespondiente, determinado por la sección producida sobre el diedro por unplano perpendicular a su arista.(Fig. 1c).Angulo de dos rectasPara hallar la verdadera magnitud del ángulo formado por dos rectas que secortan podemos abatir el plano que las contiene sobre uno de los planos deproyección. En la figura 2 hemos abatido el ángulo sobre un plano horizontalutilizando como charnela la recta horizontal que corta a los lados del ángulo enlos puntos M y N. En este caso, el radio del abatimiento del vértice A es lahipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la distancia de laproyección del punto a la charnela y la diferencia de cotas entre el punto y larecta horizontal
    • Fig. 2 Fig. 3Angulo de una recta y un planoYa hemos visto en la figura 2b que el ángulo que forman una recta y un planoes el formado por la recta y su proyección ortogonal sobre el plano. Tambiénhemos estudiado los procedimientos previos para hallar la proyección de larecta sobre el plano.En el sistema diedrico hallamos el punto de intersección I de la recta R con elplano (P). Por un punto cualquiera M de la recta R, trazamos una rectaperpendicular al plano P y hallamos su punto punto de intersección A. Las rectaR y la que pasa por los puntos I y A son los lados del ángulo de vértice I.Abatiendo el punto I alrededor de una recta horizontal que corte a los lados delángulo obtenemos su verdadera amplitud.Fig. 4 Fig. 5
    • Angulo de una recta con los planos de proyecciónEl Angulo que forma una recta con el plano horizontal de proyección es el queforma la recta con si proyección horizontal. Para obtener la verdadera magnitudbasta abatir plano proyectante horizontal que contiene tanto a la recta como asu proyección horizontal.(Fig. 5)La recta R y su proyección vertical r, están contenidas en un plano proyectantevertical, si abatimos dicho plano alrededor de su traza vertical obtenemos laverdadera magnitud del ángulo que forma la recta con el plano vertical.(Fig. 5)Angulo de un plano con los planos de proyecciónEl ángulo que forma un plano con el plano horizontal de proyección es el queforma su recta de máxima pendiente con el plano horizontal. Abatiendo la rectade máxima pendiente sobre el plano horizontal se obtiene la verdaderamagnitud del ángulo. (Fig. 6)El ángulo que forma un plano con el vertical de proyección es el que forma surecta de máxima inclinación con el plano vertical. (Fig. 7)Fig. 6 Fig. 7
    • Poliedros regularesLos poliedros son los cuerpos geométricos limitados por polígonos. Poliedrosregulares son aquellos que tienen caras, aristas y ángulos iguales.Fig. 1TetraedroEl tetraedro tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros y seis aristas.Representación del tetraedroVamos a representar el tetraedro apoyado por una de sus caras sobrecualquier tipo de plano. Si la cara apoyada está contenida o es paralela a unode los planos de proyección se proyecta en verdadera magnitud. De locontrario, será necesario dibujarla sobre el plano abatido y despuésdesabatirlo.Fig. 2 Fig. 3
    • En la fig. 2 se ha representado el tetraedro apoyado por una cara en el planohorizontal de proyección. El tetraedro queda determinado por la magnitud de laarista, la altura se obtiene abatiendo el triángulo rectángulo formado por laarista, su proyección ortogonal sobre la base y la propia altura (Fig. 1).La cara apoyada está en verdadera magnitud, y se representa por tanto, comoun triángulo equilátero de lado igual a la arista del tetraedro. El vértice V seproyecta en el centro de la cara apoyada y está contenido en una recta vertical.La proyección vertical de V se obtiene al trasladar la altura obtenida porabatimiento, sobre la recta vertical.Para representar el tetraedro apoyado en un plano proyectante, se abate elplano y se dibuja la cara en verdadera magnitud. Desabatiendo el triánguloobtenemos las proyecciones diédricas de la cara apoyada. La altura es unaperpendicular la plano desde el centro del triángulo, que resulta una frontal si elplano es de canto. Como las proyecciones verticales de las rectas frontalesestán en verdadera magnitud, trasladamos la altura del tetraedro sobre ellapara obtener el vértice V. (Fig. 3)Fig. 4Cuando la cara del tetraedro se apoya sobre un plano oblicuo a los dos planosde proyección, la altura es también oblicua. Para obtener el vértice V, podemosgirar la altura alrededor de un eje que pase por el centro de la base parasituarla en posición frontal. De esta manera, trasladamos la altura del tetraedro
    • en verdadera magnitud sobre la recta girada y posteriormente deshacemos elgiro (Fig. 4).Secciones planasComo norma general, para hallar la sección que produce un plano sobre unpoliedro se halla la intersección del plano con cada una de las arista,obteniéndose así, los vértices del polígono sección.La sección que produce un plano secante sobre un tetraedro es un triángulo. Siel plano es horizontal o frontal una de las proyecciones de la sección será unsegmento contenido en la traza del plano y la otra estará en verdaderamagnitud.En la figura 5 se ha obtenido la sección con un plano horizontal. La traza delplano corta las aristas del tetraedro en los vértices de la sección. La proyecciónhorizontal se obtiene hallando las proyecciones horizontales de estos vérticessobre las aristas respectivas.Fig. 5 Fig. 6Si el plano es vertical o de canto, una de las proyecciones de la sección sigueestando sobre la traza del plano, pero en este caso la otra proyección no estáen verdadera magnitud, siendo necesario abatirla para obtener su verdaderaformaCuando el plano es oblicuo a ambos planos de proyección, hallamos un primervértice de la sección resolviendo el problema de la intersección entre una rectay un plano, siendo la recta una cualquiera de las aristas. Los restantes vértices
    • podemos hallarlos sabiendo que la base y la sección son figuras homólogas enuna homología de eje la charnela, o bien, aplicando el mismo procedimientopor el que hemos hallado el primer vértice, para las restantes arista.Fig. 7Para obtener la verdadera magnitud de la sección, la abatimos sobre uno delas planos de proyección. El abatimiento lo podemos resolver sabiendo que laproyección de la sección y su abatimiento son figuras homologas en la afinidadde eje la charnela.(Fig. 7)Intersección de una recta con un tetraedroEl procedimiento general para hallar la intersección de una recta con un sólidoconsiste en contener la recta en un plano, hallar la sección que produce dichoplano en el sólido y, posteriormente, hallar la intersección de dicha sección conla recta. Los puntos de intersección del polígono sección con la recta son lospuntos de entrada y salida de esta en el sólido.En el caso del tetraedro conviene trazar el plano definido por la recta y elvértice de manera que el polífono sección sea un triángulo cuyos vértices sondos puntos de la base y el propio vértice del tetraedro (Fig. 8)
    • Fig. 8 Fig. 9En la figura 9, hemos trazado una recta S que pasa por V y corta a R en elpunto M. Las rectas R y S determinan el plano (P), cuya traza horizontal P,hemos determinado pasando por las trazas homónimas de las rectas R y S.Los puntos de intersección de la traza P con las aristas de la cara apoyada enel plano horizontal son dos de los vértices de la sección, el tercero es el propiovértice del tetraedro. La intersección de R con los lados de la seccióndeterminan los puntos A Y B.Poliedros regularesHexaedroEl hexaedro tiene seis caras, que son cuadrados, doce aristas y ocho vértices.Representación del hexaedroSi situamos una de las caras del hexaedro contenida en el plano horizontal, lacara opuesta se proyecta coincidente con ella y las cuatro restantes sonproyectantes respecto al plano horizontal.La proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista del cubo. Lascaras horizontales se proyectan sobre el plano vertical en dos segmentosparalelos a la L.T. a una distancia igual a la arista. (Fig. 10)
    • Fig. 10 Fig. 11Para representar el hexaedro apoyado por una cara sobre un plano proyectantevertical, se abate primero éste sobre uno de los planos de proyección yposteriormente se dibuja la cara en verdadera magnitud. Las aristasperpendiculares a la base lo son también al plano proyectanteCuando el hexaedro se apoya por una de sus caras sobre un plano oblicuo,abatimos el plano para construir la cara apoyada en verdadera magnitud. Trasdesabatir la cara, levantamos perpendiculares al plano por los vértices de lamisma. Para obtener lasmedidas en proyección de lasaristas perpendiculares a labase, realizamos el giro deuna cualquiera de ellas parasituarla paralela a uno de losplanos de proyección. Unavez obtenida y sabiendo queel paralelismo es uninvariante de la proyeccióncilíndrica, trazamos la caraparalela a la base. (Fig. 12) Fig. 12
    • Secciones planasObtener las secciones planas producidas sobre cualquier poliedro por planosproyectantes no tiene gran dificultad y la manera de proceder no difiere entreellos, por lo que podemos remitirnos a lo explicado para el tetraedro.Sin embargo, para la sección con un plano oblicuo, hemos preferido contenerlas aristas verticales en planos frontales, los cuales cortan al plano oblicuosegún rectas frontales. Las intersecciones de estas rectas con las aristasverticales son los vértices de la sección. En la figura 13, una de las rectasfrontales corta a la arista en su prolongación, fuera del sólido, en este caso seune el punto de intersección con los vértices contiguos de la sección paraobtener los vértices correspondientes en la cara opuesta a la base.La verdadera magnitud de la sección se obtiene por afinidad.Fig. 13InterseccionesEl procedimiento general consiste, en hallar los puntos de intersección de larecta, con la sección que produce en el poliedro un plano cualquiera quecontenga a la recta dada. En este caso hemos optado por contener la recta en
    • un plano perpendicular a la base, de manera que la sección obtenida sea uncuadrilátero proyectante.Fig. 14 Fig. 15Poliedros regularesOctaedroRepresentación del octaedroCuando un octaedro se representa apoyado por un vértice y con una de susdiagonales perpendicular al plano horizontal de proyección, el contornoaparente de la proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista enverdadera magnitud. Los lados de este cuadrado son cuatro aristashorizontales que se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.Las ocho aristas restantes son oblicuas y se proyectan sobre las diagonales delcuadrado.Las cotas de los vértices, extremos de la diagonal vertical, son cero y lamagnitud de la diagonal respectivamente, y los cuatro vértices restantes seencuentran en el plano medio de octaedro, que es horizontal, a una distanciaigual a d/2 (Fig. 16)
    • Fig. 16 Fig. 17Secciones planasLa sección plana que produce un plano proyectante sobre el octaedro seobtiene directamente sobre la traza oblicua al cortar esta las aristas del poliedroy después se refieren los puntos obtenidos sobre las respectivas aristas en laotra proyección. (Fig. 17)La verdadera magnitud de la sección se obtiene abatiendo el plano.Si el plano secante esoblicuo, se puede trasformaren proyectante por medio deun cambio de plano. En lafigura 18, se hatransformado el plano (P) enproyectante vertical y se haobtenido la nuevaproyección vertical deoctaedro para obtener lasección. Fig. 18
    • Intersección con rectaLa intersección de una recta R con un octaedro se obtiene conteniendo la rectaen un plano proyectante (P) y hallando la intersección de R con la secciónproducida en el sólido por el plano (P). (Fig. 19)Fig. 192. Proporcionalidad2.1. Proporcionalidad directaLas magnitudes que varían de forma que su razón permanece constante sondirectamente proporcionales.Las magnitudes de los segmentos a, b, c, y d son directamente proporcionales.a/b =c/d = k2.2. Teorema de thalesLos segmentos determinados por un haz de rectas paralelas sobre un par derectas concurrentes son directamente proporcionales, y recíproco. (Fig. 5)
    • Basándonos en este teorema podemos dividir un segmento en partes iguales.Trazamos una recta concurrente con el segmento dado. Tomamos n partesiguales sobre la recta a partir del extremo A del segmento, siendo n el númerode partes en las que queremos dividir el segmento. Unimos el extremo B con laúltima división de la recta y trazamos paralelas por las demás divisiones. (Fig.6)Fig. 5 Fig. 62.3. AplicacionesTercero proporcionalSean los segmentos a y b, se llama tercero proporcional al segmento que verifica que: a/b = b/cPara hallarlo se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se dibujanconsecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento b. Uniendolos extremos de los segmentos a y b, y trazando una paralela por el extremodel otro segmento b, se obtiene el segmento c. (Fig. 7)
    • Fig. 7 Fig. 8Cuarto proporcionalSean los segmentos a, b y c, se llama segmento cuarto proporcional alsegmento d que verifica que: a/b = c/dPara hallarlo, se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se sitúanconsecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento c. Uniendolos extremos de los segmentos a y c, y trazando por el extremo de b unaparalela, obtenemos el segmento d. (Fig. 8)Medio proporcionalSean los segmentos a y b, se llama medio proporcional el segmento c queverifica que: a x b = c²Si nos fijamos, nos daremos cuenta que se trata de un caso de terceroproporcional, puesto que la expresión anterior también se puede escribir como: a/c = c/bPara su construcción podemos aplicar tanto el teorema de la altura como el delcateto, cuyos enunciados son los siguientes:Teorema de la altura.- En un triángulo rectángulo, la altura es mediaproporcional entre los segmentos en que divide la hipotenusa.Teorema del cateto.- En un triángulo rectángulo, un cateto es mediaproporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.
    • Si aplicamos el teorema de la altura, situamos los segmentos a y bconsecutivamente. Por el extremo común levantamos una perpendicular.Trazamos el arco capaz del ángulo de 90º para el segmento suma (a+b). Laintersección de la perpendicular con el arco capaz es el vértice del triángulorectángulo de hipotenusa (a + b) y de altura c. (Fig. 9)Fig. 9 Fig. 10Aplicando el teorema del cateto, situamos los segmentos a y b sobre la mismarecta con un extremo común. Por el extremo no común del segmento menorlevantamos una perpendicular, y seguidamente, trazamos el arco capaz delángulo recto para el segmento mayor a. El cateto c, cuya proyección es elsegmento b, es la media proporcional entre a y b. (Fig. 10)2.4. EscalasLa razón de proporción entre las medidas de un dibujo y las magnitudescorrespondientes del objeto real que representa, se llama escala . Serepresenta por una fracción cuyo numerador se corresponde con las medidasdel dibujo y el denominador con las medidas de la realidad. E = Dibujo / RealidadEscala natural es la que se ha aplicado a un dibujo que tiene las medidas dela realidad. Se representa con la fracción E = 1:1.Escala de ampliación es la aplicada a un dibujo cuyas medidas sonmayores que en la realidad. Por ejemplo, E = 7:2Escala de disminución es la aplicada a un dibujo cuyas medidas sonmenores que las de la realidad. Por ejemplo, E = 1:25.000.
    • Para aplicar una escala podemos multiplicar todas las medidas de la realidadpor la escala, puesto que de la fórmula de la escala se deduce que Dibujo = E x RealidadTambién podemos utilizar los escalímetros que existen en el mercado, que sonreglas graduadas según las escalas de uso más frecuentes. No obstante,podemos contruir cualquier escala gráficamente.Fig. 11Supongamos que queremos construir la escala E = 7/5. Tomamos unsegmento de 7 cm reales y lo dividimos en 5 partes iguales aplicando elteorema de Thales. Dividiendo una de las unidades obtenidas en 10 partesobtenemos la contraescala para medir las décimas.3. Construcción de polígonosLos polígonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dosa dos.Se clasifican en regulares, si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares.Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulosinteriores mayor de 180º.Las diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.
    • Fig. 123.1. TriángulosLos Triángulos son polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es igual a180º.Se clasifican, según sus ángulos en: • Equilateros. Si tienen tres lados iguales • Isósceles. Si tienen dos lados iguales. • Escalenos. Si tienen tres lados desiguales.Fig. 13 Fig. 14Según la magnitud relativa de sus lados en: • Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos. • Rectángulos. Si tienen un ángulo recto. • Obtusángulos. Si tienen un ángulo obtuso.La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices yminúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado
    • opuesto. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes.(Fig. 14)Rectas y puntos notables.MediatricesLas mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en unpunto que equidista de los vértices llamado circuncentro, que es el centro dela circunferencia circunscrita. (Fig. 15)BisectricesLas bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo llamadoIncentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferenciainscrita. (Fig. 16)Fig. 15 Fig. 16MedianasLas medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntosmedios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro, que es el centrogeométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 delpunto medio del lado opuesto. (Fig. 17)
    • AlturasLas alturas son las rectas perpendiculares a los lados desde los vérticesopuestos. La intersección de las alturas es el Ortocentro. (Fig. 15)A efectos prácticos, como altura, se consideran las distancias de los vértices alos lados opuestos. Como generalidad, es la mínima distancia entre un punto yuna recta. Si la recta es fija, el vértice opuesto se encuentra en el lugargeométrico de los puntos que equidistan de una recta fija, o sea, una paralelaal lado a una distancia igual a la altura de ese lado. Fig. 17 Fig. 18Construcción de triángulos.A raíz del último comentario, vuelvo a hacer hincapié en la importancia quetiene el concepto de lugar geométrico para la resolución de la mayoría de losproblemas de trazado geométrico.En la mayoría de los problemas de construcción de triángulos, uno de los datosserá alguno de los lados, el cual nos servirá para fijar dos puntos y la recta quedefinen. A partir de estos elementos fijos el problema se reduce a determinar laposición del tercer vértice. Ese vértice se encuentra en la intersección de doslugares geométricos cuya condición podemos deducir de los demás datos quenos den, como se puede observar en la tabla adjunta.
    • Tipos de datos Datos Lugar geométrico Lados Medianas Alturas Distancia entre puntos Circunferencia (vértice fijo)Lineales Distancia entre recta y Alturas (lado fijo) Paralelas punto Angulos Semiángulos(vértice Recta de dirección AdyacentesAngulos fijo) determinada Opuestos Angulo opuesto(lado fijo) Arco capazSupongamos que queremos construir un triángulo dados los lados a y b, y laaltura ha.Fig. 19 Fig. 20Fijamos el lado a, obteniendo la posición de los vértices B y C. Nos quedapues, determinar la posición del vértice A. La distancia de A a C es el lado b,por lo que trazamos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de C ladistancia b (una circunferencia de centro C y r = b).El otro dato es la altura del vértice A. Trazamos el lugar geométrico de lospuntos que equidistan de la recta a, la distancia ha. (Una paralela al lado BC auna distancia ha). (Fig. 19)Con el mismo razonamiento hemos construido un triángulo de que conocemosel lado a, el ángulo a y la mediana na. Este ejercicio tiene cuatro soluciones,considerando la doble solución del arco capaz, de las que se han representadodos. (Fig. 20)
    • 3.2.CuadrilaterosLos cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se dividen enparalelogramos y no paralelogramos. Una diagonal divide el cuadrilátero en dostriángulos, lo que nos permite construirlos por triangulación.Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Susdiagonales se cortan en sus puntos medios y sus ángulos opuestos soniguales.Los no paralelogramos pueden ser trapecios, si tienen dos lados paralelos, ytrapezoides, si no tienen lados paralelos.Construcción de cuadriláteros.Como hemos visto anteriormente, los cuadriláteros pueden construirse portriangulación, es decir, construyendo los dos triángulos en que quedandivididos por una de sus diagonales.Veamos algunos de los casos que pueden plantear cierta dificultad.Cuadrado conociendo la diagonal.Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro enel punto medio de la diagonal dibujamos una circunferencia de radio OA. Lospuntos de intersección de la circunferencia y la mediatriz son los vértices B y Ddel cuadrado. (Fig. 21)El ángulo opuesto a la diagonal es recto y los vértices B y D equidistan de A yC, razón por la cual trazamos el arco capaz del ángulo recto respecto a ladiagonal y la mediatriz de la misma.Observa cómo el problema es el mismo que hallar las dos soluciones de untriángulo rectángulo isósceles del que conocemos la base.Rectángulo conociendo la diagonal y un ladoEste caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de loslados porque los triángulos son escalenos. (Fig. 22)
    • Fig. 21 Fig. 22Polígonos regularesMétodo general para la construcción de polígonosconociendo el lado.Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono quequeremos construir. Seguidamente, hacemos centro en A y B,respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a lamagnitud del lado, obteniendo el punto de intersección O.Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA,circunscrita de un hexágono de lado AB.Trazamos el diámetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en seispartes iguales. Cada división es el centro de la circunferencia circunscrita de unpolígono de lado AB y n número de lados. En la Fig. 23 se ha representado eleneágono, trazando su circunferencia circunscrita de centro 9 y radio 9A.
    • Fig. 23 Fig. 24Método general para la construcción de polígonosconociendo el radio de la circunferencia circunscrita.A partir de un diámetro AB, dibujamos una circunferencia.Dividimos el diámetro en un número n de partes iguales, siendo n el número delados que ha de tener el polígono.Haciendo centro en los extremos del diámetro, trazamos arcos de radio AB quese cortan en los puntos M y N.Uniendo los puntos M y N, obtenemos sobre la circunferencia los vértices delpolígono. (Fig. 24)Metodo bereziakTriangelua, hexagonoa eta dodekagonoa.Hexagonoan zirkunskribatutako zurkuluaren erradioa poligonoaren aldearenneurria da.Zirkunferentzia sei alde berdinetan zatitu daiteke Podemos dividir unacircunferencia en seis partes iguales trazando dos arcos de circunferencia concentros en los extremos de un diámetro y con el mismo radio de lacircunferencia. (Fig. 25)Si se repite esta operación en otro diámetro perpendicular al primero, lacircunferencia queda dividida en 12 partes iguales.Tomando sólo tres vértices no consecutivos del hexágono, se obtiene eltriángulo equilátero.
    • Fig. 25 Fig. 26Cuadrado y octógono.Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro partesiguales. Si se trazan las bisectrices de los cuadrantes se obtienen ocho partesiguales de la circunferencia. (Fig. 26)Pentágono y decágono.Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza la mediatriz de uno de susradios, OP por ejemplo. Con centro en el punto medio del radio trazamos unarco de radio ME, que corta en F al diámetro PQ. De esta manera obtenemoslos segmentos EF y OF, iguales a los lados del pentágono y el decágonorespectivamente. (Fig. 27)Fig. 27 Fig. 28
    • Heptágono.La mediatriz del radio OP de la circunferencia circunscrita corta a lacircunferencia en el punto N, siendo MN igual a la magnitud del lado delheptágono. (Fig. 28)Hexágono conociendo el lado.Construimos el triángulo equilátero de lado igual a la magnitud del lado AB delhexágono. El vértice O hallado es el centro de la circunferencia circunscrita.(Fig. 29)Fig. 29 Fig. 30Pentágono conociendo el lado.Se sitúa el lado AB dado prolongando uno de sus extremos. (Fig. 30)Se levanta una perpendicular por el extremo B y se traslada sobre ella lamagnitud del lado para obtener el punto M.Con centro en el punto medio del lado, trasladamos el punto M sobre laprolongación de AB determinando el punto F.La distancia AF es igual a la magnitud de la diagonal de pentágono.Con las medidas del lado y la diagonal hallada construimos el pentágono portriangulación.
    • 4. Curvas cónicasLas curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobreuna superficie cónica de revolución. (Fig. 31)Fig. 31Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta quegira alrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto V.Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficiecónica, se producen las distintas curvas cónicas. (Fig. 32)Fig. 32Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de lasuperficie cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una parábola ouna hipérbola.
    • 4.1. ElipseElementos de la elipse.Las elipses poseen los siguientes elementos: (Fig. 33)Ejes de simetría. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor deleje mayor AA es 2a y el del eje menor BB 2b. El punto de intersección de losejes es el centro de simetría.Focos. Son dos puntos fijos F y F, situados sobre el eje mayor y simétricosrespecto al eje menor. FF es igual a 2c.Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de laelipse y los focos. La suma de los radios vectores correspondientes a un mismopunto es igual a 2a.Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipsey radio igual al semieje mayor.Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos yradio igual a 2a.Fig. 33 Fig. 34La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geométrico delos puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamadosfocos, es constante e igual al eje mayor 2a.Sea Pn un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:PnF + PnF = 2aPara determinar los focos F y F de una elipse conocidos los ejes, se hacecentro en un extremo del eje menor, B por ejemplo, y se traza un arco de radio
    • igual al semieje mayor a. La intersección del arco con el eje mayor son losfocos de la elipse. (Fig. 32)Sabiendo que B es un punto de la elipse, se cumple que:BF + BF = 2a, como BF=BF, por estar B en un eje de simetría, resulta queBF=BF=a.Trazado de la elipse.Método de los puntos.Este método se basa en la definición de la elipse.A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse, dividimos el ejemayor AA, en segmentos complementarios cuya suma es 2a.A1 + 1A = A2 + 2A = A3 + 3A = 2aEstos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto.Hallamos los puntos que distan A1 de un foco y 1A del otro, y así, con losdemás segmentos. (Fig. 35)El trazado de la elipse se realiza a mano alzada. Fig. 35 Fig. 36
    • Método de afinidadDibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en O y radios lossemiejes de la elipse. (Fig. 36)Por los extremos de los diámetros de la circunferencia mayor trazamosparalelas al eje menor y por los extremos de los diámetros de la menor,paralelas el eje mayor.Los puntos de intersección pertenecen a la elipse.4.2. ParábolaLa parábola es una curva abierta y plana. Se define como el lugar geométricode los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de unarecta fija llamada directriz. Siendo Pn un punto cualquiera de la parábola, secumple que:PnF = PndLa parábola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, ypor tanto, sólo tiene un foco y un vértice real. La circunferencia principal tienesu centro en el infinito y pasa por el vértice, es pues, la recta perpendicular aleje mayor que pasa por el vértice. La circunferencia focal es una recta quecoincide con la directriz, ya que tiene su centro en el foco del infinito. El vérticeequidista del foco y de la directriz. (Fig. 37) Fig. 37 Fig. 38
    • 4.3. HipérbolaLa hipérbola es una curva abierta y plana de dos ramas. Se define como ellugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dospuntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. Siendo Pn un puntocualquiera de la hipérbola, se cumple que:PnF - PnF = AA = 2aLa hipérbola tiene dos ejes de simetría, el eje real AA = 2a y el eje imaginarioBB = 2b. Se cortan en el centro de simetría O. La circunferencia principal tienesu centro en O y r = a. Las circunferencias focales tienen los centros en F y Fy r = 2a.Los focos se determinan sobre el eje real con una circunferencia de centro O yr = AB. (Fig. 38)La hipérbola y la parábola, al igual que la elipse, se construyen por el métodode los puntos aplicando las propiedades de sus definiciones.5. Tangencias y enlaces5.1. Conceptos básicosUna recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuandotienen un único punto común.En una relación de tangencia entre una recta y una circunferencia, se cumpleque: • El radio de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia. • La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio.
    • Fig. 39Cuando dos circunferencia son tangentes, se cumple que: • Sus centros están alineados con el punto de tangencia. • La suma (si son exteriores) o diferencia (si son interiores) de los radios es igual a la distancia entre sus centros.De las propiedades anteriores se desprende, que el lugar geométrico de loscentros de las circunferencias tangentes a una recta en un punto, es laperpendicular a la recta en ese punto.Y que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a unacircunferencia en un punto de ella, es la recta definida por centro y el punto detangencia.Potencia de un punto respecto a una circunferencia.Si trazamos un haz de rectas secantes desde un punto P a una circunferencia,el producto de los segmentos comprendido entre el punto P y los puntos deintersección de las rectas con la circunferencia.La potencia es igual al cuadrado de la distancia del punto P, al punto detangencia de una recta tangente a la circunferencia, trazada desde P. (Fig. 40) PA x PA = PB x PB = ... = PN x PN = PT²
    • Fig. 40 Fig. 41Eje Radical es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potenciarespecto a dos circunferencias.El eje radical de dos circunferencias secantes, es la recta que une los puntosde intersección de ambas circunferencias.El de dos circunferencias tangentes, es la recta tangente común a ambascircunferencias en el punto de tangencia.Para hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores se traza unacircunferencia auxiliar secante a las dadas. Por el centro radical de las trescircunferencias trazamos una perpendicular a la recta que una los centros delas circunferencias exteriores. (Fig. 41)Centro Radical es el punto que tiene igual potencia respecto a trescircunferencias. Se encuentra en la intersección de los ejes radicales de lascircunferencias tomadas dos a dos.5.2. Casos.La mayoría de los problemas de tangencia se resuelven aplicando losconceptos de lugares geométricos, por suma y diferencia de radios, y porpotencia.Se pueden pedir rectas tangentes a circunferencias, o circunferenciastangentes a rectas y, o circunferencias. Cuando se piden circunferencias, sepueden fijar tres condiciones, pasar por un punto, ser tangente a una recta yser tangente a otra circunferencia. La combinación de estas tres condicionesnos dan 10 casos, que se representan por combinación de las iniciales P, R, y
    • C. Cuando no se fijan las tres condiciones es necesario dar algún dato, como elradio o los puntos de tangencia.Rectas tangentes a una circunferencia desde un puntoexterior.Con centro en el punto medio del segmento OP, se traza una circunferenciaque pase por los extremos O y P. Las intersecciones de la circunferenciaauxiliar con la circunferencia dada son los puntos T1 y T2, de tangencia. (Fig.42)Esto se explica, por que al ser recto el ángulo que forman el radio y la tangenteen el punto de tangencia, éste debe encontrarse en el arco capaz del ángulorecto respecto al segmento OP. Fig. 42 Fig. 43Rectas tangentes comunes a dos circunferencias.Trazamos una circunferencia auxiliar, concéntrica con la mayor, de radio igual ala diferencia de los de las dadas. Otra circunferencia que pase por los extremosde OO y centro en su punto medio, la corta en los puntos A y B. Los radios OAy OB, determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia mayor. Losradios que pasan por los puntos de tangencia de ambas circunferencias con lamisma recta, son paralelos. (Fig. 43)
    • Si la primera circunferencia auxiliar es igual a la suma de los radios se obtienenlas tangentes interiores. (Fig. 44) Fig. 44 Fig. 45Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia yuna recta.Si el dato es el radio r de las circunferencias, los centros distarán r de la recta,y r + r ó r - r del centro de la circunferencia dada. Las intersecciones de loslugares geométricos determinan los centros de las soluciones. (Fig. 45)Si el dato es el punto de tangencia en la circunferencia, la tangente a lacircunferencia en ese punto es el eje radical de las soluciones. La interseccióndel eje radical con la recta dada es centro radical de las tres circunferencias, esdecir, la distancia de ese punto a los puntos de tangencia es la misma. (Fig.46) Fig. 46 Fig. 47
    • Si el dato es el punto de tangencia en la recta, los centros se encuentran en laperpendicular a la recta por dicho punto. Si trazamos la circunferencia tangentea una recta auxiliar, paralela a la recta dada a una distancia igual al radio de lacircunferencia dato, pasando por el centro C, y posteriormente restamos elradio, obtenemos una de las soluciones. (Fig. 47)Caso PPP.El centro de la circunferencia equidista de los tres puntos, por tanto, seencuentra en la intersección de las mediatrices de los segmentos formados porlos puntos. (Fig. 48) Fig. 48 Fig. 49Caso PPR.La recta que pasa por los puntos dados es el eje radical de las soluciones y dela circunferencia auxiliar trazada por A y B, El punto M es el centro radical delas tres circunferencias, por tanto, tiene igual potencia respecto a las tres.Trazando una recta tangente a la circunferencia auxiliar obtenemos la potencia.Si llevamos el segmento MT, sobre la recta, determinamos los puntos T1 y T2.De esta manera tenemos tres puntos de cada solución. (Fig. 49)
    • Fig. 50 Fig. 51Caso PRR.Si se dibuja el simétrico del punto dado respecto a la bisectriz, el caso seresuelve como el PPR, siendo R cualquiera de las rectas.Caso RRR.Los centros de la soluciones son los cuatro puntos de intersección de lasbisectrices de los ángulos que forman las tres rectas. (Fig. 50)Caso PPC.Se traza una circunferencia auxiliar que pasando por los puntos A y B dados,corte a la circunferencia también dada. La recta que une los puntos deintersección de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada, es el ejeradical de ambas circunferencias; y la recta AB, es el eje radical de lassoluciones y de la auxiliar. El punto M, es por tanto, el centro radical de todaslas circunferencias.Las tangentes trazadas a la circunferencia dada, desde el punto M, determinanlos puntos de tangencia sobre la circunferencia.Como los puntos de tangencia están alineados con los centros de lascircunferencias, los centros de las soluciones se hallaran en los radios de lacircunferencia dada, que pasan por los puntos de tangencia T1 y T2 .
    • Evidentemente, los centros de las soluciones también se encuentran en lamediatriz de AB. (Fig. 51)5.3. EnlacesEnlaces son las uniones armónicas por medio de tangencias entre distintasfiguras.Para resolver problemas de tangencia hay que tener presente las dospropiedades fundamentales de las tangencias: • El radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. • Los centros de dos circunferencias tangentes están alineados con el punto de tangencia.Trazados de enlacesEnlace de dos rectas.Para definir el problema se necesita conocer el radio o un punto de tangencia.Si conocemos el radio, trazamos paralelas a las rectas dadas, a una distanciaigual al radio, obteniendo el centro del arco en su intersección. Los puntos deenlace se hallan trazando perpendiculares por el centro del arco a las rectastangentes.Si el dato es el punto de tangencia, la perpendicular trazada por el punto detangencia a la recta, y la bisectriz del ángulo que forman, se cortan en el centrodel arco. (Fig. 52)
    • Fig. 52 Fig. 53Enlace de dos arcos.Dándonos el radio, las circunferencias concéntricas de radios iguales a la sumay diferencia, determinan los centros del arco de enlace. Sabemos que lospuntos de enlace están alineados con los centros. (Fig. 53)Enlace de arco y recta.Las paralelas a la recta a una distancia igual al radio dado y las circunferenciasconcéntricas de radios la suma y diferencia, determinan los centros. (Fig. 54) Fig. 54 Fig. 555.4. Curvas técnicasConstrucción del óvalo conociendo los ejes.El óvalo es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferenciatangentes entre sí.Se transporta la magnitud del semieje mayor sobre el semieje menor yobtenemos el punto E. Con centro en C y radio CE determinamos sobre la
    • recta AC, el punto F. La intersección de la mediatriz del segmento AF con losejes del óvalo, son centros de dos de arcos de la curva. Los otros dos seobtienen por simetría, y los puntos de tangencia por intersección de las rectasque unen los centros con los arcos. (Fig. 56) Fig. 56 Fig. 57Construcción del ovoide del que se conoce el eje menor.La mediatriz del eje AB, al cortar con la circunferencia de diámetro la magnitudde dicho eje y centro su punto medio, determina el centro de uno de los arcosdel ovoide. Los otros centros son los extremos y el punto medio de AB. (Fig.57)Espiral de dos centros.Con centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ellos, se traza unprimer arco que determina, sobre la recta que los une, el primer punto detangencia.La distancia del segundo centro al punto de tangencia hallado, es el radio delsegundo arco. (Fig. 58)
    • Fig. 58 Fig. 59Espiral de tres centros.Prolongamos los lados de un triángulo equilátero cuyos vértices son los centrosde la espiral. Hacemos centro en el primer vértice con radio igual al lado ytrazamos el primer arco hasta cortar la prolongación del primer lado. (Fig. 59)