Estatistica: introducao a teoria de decisao
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Estatistica: introducao a teoria de decisao Estatistica: introducao a teoria de decisao Document Transcript

  • Cap´ ıtulo 10Introdu¸˜o ` Teoria de ca aDecis˜o a10.1 Introdu¸˜o caNa situa¸ao geral de decis˜o temos v´rias alternativas bem definidas e procu- c˜ a aramos pela melhor a¸ao dado o problema que temos em m˜os. Al´m disso c˜ a eestamos em uma situa¸ao de incerteza e algumas das informa¸oes importantes c˜ c˜para a decis˜o s˜o desconhecidas.Dependendo do contexto algumas das decis˜es a a otomadas ter˜o mais m´rito. Este m´rito pode ser medido quantitativamente e a e erecebe a denomina¸ao de utilidade. Embora o verdadeiro contexto encontrado c˜ap´s decidida a a¸ao seja desconhecido ´ poss´ o c˜ e ıvel coletar informa¸ao que per- c˜mita enumerar as possibilidades. A teoria de decis˜o permite combinar esta ainforma¸ao probabil´ c˜ ıstica e empreg´-la na escolha do melhor curso de a¸ao. a c˜No que segue ilustraremos a teoria de decis˜o em a¸ao utilizando um exemplo a c˜simples.10.2 Problema de Decis˜o aSuponhamos que n´s sejamos o fabricante de uma linha de rel´gios de pulso o obaratos que ´ vendida por uma cadeia de lojas de departamento e supermer- ecados. N´s n˜o oferecemos garantias contra defeitos aos clientes. No entanto, o acomo uma forma alternativa de compensa¸ao efetuamos a manuten¸ao de qual- c˜ c˜quer rel´gio apenas uma vez mediante ao pagamento de uma pequena taxa. oAo encontrarem algum defeito os consumidores devem devolver o rel´gio pa- ogando uma pequena quantia e fornecendo uma explica¸ao do defeito. N´s ent˜o c˜ o an˜o realizamos nenhum trabalho de manuten¸ao detalhado, apenas ou repo- a c˜mos o mecanismo completo, ou executamos a limpeza ou ambos. O servi¸o cde manuten¸ao ´ oferecido como uma forma de rela¸oes p´blicas n˜o havendo c˜ e c˜ u ainten¸oes comerciais. Obviamente, ´ desej´vel manter os custos desse servi¸o c˜ e a c 87
  • 88 CAP´ ¸˜ ` ˜ ITULO 10. INTRODUCAO A TEORIA DE DECISAOno patamar mais baixo poss´ ıvel, sujeito a avalia¸ao de quanto desejamos gastar ` c˜pelas vantagens promocionais proporcionadas pelo esquema. Para cada rel´gio precisamos tomar a decis˜o de reposi¸ao do mecanismo o a c˜ou simples limpeza. Gostar´ ıamos de ser capazes de remediar o problema, seposs´ıvel, pela alternativa mais barata, a saber, a simples limpeza. Precisamos as-sim determinar uma estrat´gia de decis˜o entre as duas alternativas manuten¸ao e a c˜ou limpeza. Precisamos tamb´m determinar a taxa que cobraremos pelo servi¸o. e cEsta situa¸ao pode ser organizada utilizando a teoria de decis˜o. Considere- c˜ amos o que ocorre quando um rel´gio chega para manuten¸ao. Inicialmente s˜o o c˜ aposs´ıveis duas a¸oes denotadas a1 e a2 : c˜ • a1 : limpe o rel´gio primeiro; o • a2 : reponha o mecanismo imediatamente.O conjunto de poss´ ıveis a¸oes ´ denominado o espa¸o de a¸oes e denotado c˜ e c c˜A = {a1 , a2 }. Por simplicidade, suponhamos que s´ h´ dois tipos de defeitos: o a1. poeira entrou no mecanismo; 2. h´ um problema mecˆnico. Estas s˜o as a a acircunstˆncias que s˜o desconehcidas por n´s quando temos que tomar uma a a odecis˜o. Estas circunstˆncias podem ser vistas como “estados da natureza”, a aatribuindo s´ımbolos: • θ1 : poeira no mecanismo; • θ2 : problema mecˆnico. aEm analogia ao espa¸o das a¸oes introduzimos tamb´m o espa¸o dos estados c c˜ e c{Ω = {θ1 , θ2 }. Equivalentemente, podemos imaginar o espa¸o dos estados como cum espa¸o de parˆmetros com o parˆmetro θ apresentando dois valores θ 1 e θ2 . c a a Claramente, a¸oes diferentes levar˜o a conseq¨ˆncias distintas, dependendo c˜ a uedo estado da natureza. Por exemplo, se o mecanismo estiver quebrado (estadoθ2 ) n˜o adiantar´ apenas efetuar a limpeza (a¸ao a1 ). Suponha que o custo a a c˜da limpeza seja 2 (a unidade monet´ria n˜o importa) e que a reposi¸ao custe a a c˜5. Podemos ent˜o construir uma tabela que expresse os custos L(ai , θj ) de acada a¸ao ai sob cada uma das circunstˆncias desconhecidas θj . No nosso caso c˜ ateremos a tabela abaixo. L(ai , θj ) θ1 θ2 a1 2 7 a2 5 5Note que a limpeza (a1 ) no caso de um rel´gio com mecanismo quebrado (θ2 ) otem por conseq¨ˆncia os custos da limpeza (2) e da manuten¸ao (5). ue c˜ Se soubessemos o estado da natureza para qualquer rel´gio que chegasse oa f´brica o problema de decis˜o seria trivial: se θ1 (rel´gio sujo) ent˜o a1` a a o a(limpeza), se θ2 (mecanismo quebrado) ent˜o a2 (reposi¸ao). No entanto, s´ a c˜ osaberemos o estado da natureza ap´s tomarmos a decis˜o. O que devemos o afazer ent˜o? a
  • ˜10.2. PROBLEMA DE DECISAO 89 Suponha que, embora θ n˜o seja conhecido para um rel´gio particular, a a oexperiˆncia nos mostra que cerca de 30% deles apresenta problemas mecˆnicos. e aDessa forma, temos uma probabilidade a priori π(θ2 ) = 0, 3 e, portanto, π(θ1 ) =0, 7. Esta informa¸ao nos ´ muito util, pois com ela podemos determinar o custo c˜ e ´m´dio de tomarmos sempre a a¸ao a1 ou sempre a a¸ao a2 : e c˜ c˜ L(a1 , θ) θ = 2 × 0, 7 + 7 × 0, 3 = 3, 5 L(a2 , θ) θ = 5 × 0, 7 + 5 × 0, 3 = 5, 0Assim sendo, no longo prazo seria mais barato executar primeiro a limpeza detodos os rel´gios que chegassem a f´brica. o ` a Note que a estrat´gia mudaria se a probabilidade a priori fosse diferente. ePor exemplo, se 70% dos rel´gios recebidos tivessem problemas mecˆnicos (θ 2 ) o ater´ ıamos: L(a1 , θ) θ = 5, 5 e L(a2 , θ) θ = 5, 0. A estrat´gia mais barata no elongo prazo seria ent˜o executar a manuten¸ao em todos os rel´gios que fossem a c˜ odevolvidos a f´brica. a A informa¸ao que temos sobre os estados da natureza na forma da proba- c˜bilidade a priori π(θ) nos permite escolher uma a¸ao com a garantia de que em c˜ ´m´dia minimizaremos o gasto incorrido. E claro que seria muito azar se, por ex- eemplo, escolhecemos a a¸ao a2 e um n´mero enorme de rel´gios com poerira no c˜ u omecanismo aparecesse de uma vez. No entanto, devemos lembrar que a teoria dedecis˜o se aplica em m´dia. Com a tabela de custos acima podemos determinar a euma distribui¸ao a priori neutra, caracterizada por custos iguais seja qual for a c˜a¸ao escolhida. Assim ter´ c˜ ıamos: L(a1 , θ) θ = L(a2 , θ) θ 2π(θ1 ) + 7[1 − π(θ1 )] = 5π(θ1 ) + 5[1 − π(θ1 )] π(θ1 ) = 0, 4Se o prior for neutro teremos custos iguais ( L(a1 , θ) θ = L(a2 , θ) θ = 5, 0 )n˜o importando a a¸ao de nossa escolha. a c˜ Compliquemos um pouco mais nosso modelo de decis˜o. Al´m da informa¸ao a e c˜sobre a probabilidade de cada um dos estados da natureza, h´ tamb´m in- a eforma¸ao adicional nas reclama¸oes dos consumidores. Suponha que estes dados c˜ c˜possam ser divididos em trˆs categorias: o rel´gio parou de funcionar completa- e omente, o rel´gio apresenta um comportamento err´tico, o rel´gio funciona por o a oum per´ıodo depois p´ra. Esta informa¸ao est´ dispon´ para cada rel´gio, as- a c˜ a ıvel osim para cada rel´gio temos uma observa¸ao x apresentando uma das seguintes o c˜formas: • x1 : rel´gio parou completamente; o • x2 : rel´gio apresenta comportamento err´tico; o a • x3 : rel´gio apenas funciona por um per´ o ıodo limitado.Esta informa¸ao adicional pode dar alguma indica¸ao sobre o estado da na- c˜ c˜tureza. O que temos aqui ´ uma fun¸ao de verossimilhan¸a do tipo que j´ en- e c˜ c acontramos quando discutimos a inferˆncia bayesiana, temos uma fun¸ao p(x | θ) e c˜
  • 90 CAP´ ¸˜ ` ˜ ITULO 10. INTRODUCAO A TEORIA DE DECISAOque nos dar´ a probabilidade da reclama¸ao x dado o estado do sistema θ. A a c˜verossimilhan¸a, em princ´ c ıpio, seria determinada a partir de nossos registroshist´ricos sobre o processo inteiro, da reclama¸ao a manuten¸ao. Como temos o c˜ ` c˜um n´mero discreto de estados e de tipos de reclama¸ao, podemos construir u c˜uma tabela contendo os valores assumidos pela fun¸ao de verossimilhan¸a. c˜ c p(x | θ) x1 x2 x3 θ1 0, 1 0, 4 0, 5 θ2 0, 7 0, 2 0, 1Poder´ıamos agora utilizar, ao inv´s da probabilidade a priori, a observa¸ao direta e c˜para nossa tomada de decis˜o. Uma regra de decis˜o ´ uma fun¸ao δ(x) que a a e c˜determina uma a¸ao a ser tomada caso observemos x. O objetivo principal da c˜teoria de decis˜o ´ a obten¸ao de regras de decis˜o. Na tabela abaixo listamos a e c˜ atodas as regras de decis˜o (ou estrat´gias) poss´ a e ıveis: δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 δ7 δ8 x1 a1 a1 a1 a1 a2 a2 a2 a2 x2 a1 a1 a2 a2 a1 a1 a2 a2 x3 a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a210.3 Regras de Decis˜o aComo poder´ ıamos determinar uma regra de decis˜o δ(x) otima? Note que se a ´nos basearmos apenas na verossimilhan¸a teremos que x1 d´ suporte a θ2 , que c ax2 d´ suporte a θ1 e que x3 d´ suporte a θ1 .,assim dever´ a a ıamos escolher δ5 =(a2 , a1 , a1 ). Note que δ4 parece uma p´ssima escolha pois provocar´ custos e am´ximos em todas as alternativas! J´ δ1 e δ8 simplesmente ignoram os dados a ae decidem sempre da mesma maneira. Perceba que, embora a verossimilhan¸a cindique que, observado x1 , θ2 ´ mais prov´vel isto n˜o implica de forma alguma e a aque devemos decidir como se θ2 ocorresse o tempo todo. Tudo depender´ do acusto m´dio considerando cada um dos poss´ e ıveis estados da natureza θ 1 e θ2 .Para classificarmos as estrat´gias poss´ e ıveis levando em conta este custo m´dio edefinimos o risco da estrat´gia:e R(δ, θ) = L[δ(x), θ]p(x | θ). (10.1) xO risco expressa o custo m´dio da regra de decis˜o δ(x) dado um particular e aestado da natureza θ que ´ apoiado pela evidˆncia fornecida pelo dado x. As- e esim podemos calcular a fun¸ao risco de cada uma das estrat´gias poss´ c˜ e ıveis.Porexemplo: R(δ5 , θ1 ) = L[a2 , θ1 ]p(x1 | θ1 ) + L[a1 , θ1 ]p(x2 | θ1 ) + L[a1 , θ1 ]p(x3 | θ1 ) = 5 × 0, 1 + 2 × 0, 4 + 2 × 0, 5 = 2, 3
  • ˜10.3. REGRAS DE DECISAO 91 9 8 δ 1 δ 2 7 δ4 6 δ3 δ 6 δ δ8 i,2 5 5 δ R 7 4 3 0,7Ri,1+0,3Ri,2=3,29 2 1 0,7R +0,3R =2 i,1 i,2 0 0 1 2 3 4 5 6 Ri,1 Figura 10.1: Riscos das diferentes estrat´gias. e R(δ, θ) δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 δ7 δ8 θ1 2, 0 3, 5 3, 2 4, 7 2, 3 3, 8 3, 5 5, 0 θ2 7, 0 6, 8 6, 6 6, 4 5, 6 5, 4 5, 4 5, 0Podemos agora comparar as v´rias estrat´gias segundo seus riscos em cada a eestado da natureza. Em geral nenhuma estrat´gia vai ser uniformemente menos earriscada nos dois estados (o que seria o ideal). A figura mostra os riscos decada estrat´gia de forma gr´fica. e a Note que a escolha da melhor estrat´gia n˜o ´ completamente evidente. A e a eestrat´gia δ1 ´ a menos arriscada no estado θ1 , j´ a estrat´gia δ8 ´ a menos e e a e earriscada no estado θ2 . Uma possibilidade conservadora de escolha ´ optarepela estrat´gia cujo maior custo (ou risco) ´ o menor poss´ e e ıvel. Se olharmospara as estrat´gias veremos que δ8 ´ aquela com o menor pior risco (no caso e e5, 0). Esta forma conservadora de escolha surgiu no contexto da teoria dosjogos e ´ conhecida como princ´ e ıpio minimax. A estrat´gia δ8 cosnsiste em erepor os mecanismos em todas as situa¸oes, n˜o importando a dindica¸ao do c a c˜cliente sobre a natureza do defeito. Melhor do que o excessivamente pessimistaprinc´ıpio minimax ´ utilizarmos novamente a informa¸ao dispon´ e c˜ ıvel sobre aincidˆncia de cada tipo de defeito, ou seja, a distribui¸ao a priori. Dada certa e c˜distribui¸ao a priori podemos calcular o risco m´dio, tamb´m conhecido como c˜ e erisco bayesiano, definido como: r(δ, π) = R(δ, θ1 )π(θ1 ) + R(δ, θ2 )π(θ2 ). (10.2)Podemos ent˜o optar por aquela estrat´gia commenor risco bayesiano. Se uti- a elizarmos o a priori π(θ2 ) = 0, 3 e π(θ1 ) = 0, 7 mencionado na se¸ao anterior c˜temos que: r = 0, 7Ri,1 + 0, 3Ri,2 (10.3)ir´ definir uma fam´ de retas. O valor do risco crescendo a medida que estas a ıliaretas se deslocam para a direita. Aquela estrat´gia que primeiro for cruzada pela e
  • 92 CAP´ ¸˜ ` ˜ ITULO 10. INTRODUCAO A TEORIA DE DECISAOreta ser´ a regra de decis˜o de Bayes, ou seja, sera a regra de decis˜o que a a aminimiza o risco m´dio dada a distribui¸ao a priori. No nosso caso esta regra e c˜´ δ5 que define que devemos tomar nota das reclama¸oes dos consumidores ee c˜limpar primeiro os rel´gios, a menos que o consumidor tenha declarado que o orel´gio parou totalmente. o10.4 Referˆncias eO livro que utilizamos na composi¸ao deste cap´ c˜ ıtulo ´: e • Barnett, V., Comparative Statistical Inference, John Wiley & Sons, 1973.