Slides turing-abr-2012

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Apresentação em Seminário realizado no Centro de Informática da UFPE, 12/Abr/2012, 17hs, em celebração ao "2012 Alan Turing Centennary Year"

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Slides turing-abr-2012

  1. 1. Alan Turing e Decidibilidade Problemas Decid´veis e ı Problemas Indecid´veis ı Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de Pernambuco 12 Abr 2012Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  2. 2. Alan Turing e DecidibilidadeContent 1 Alan Turing e DecidibilidadeRuy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  3. 3. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı ¸˜Necessidade de Definicao Precisa ¸˜ Em 1936 Alan Turing veio com uma definicao precisa de ´ ´ maquinas idealizadas: a maquina de Turing. ¸˜ Isso viabilizou a definicao exata da decidibilidade de ´ problemas matematicos, e, portanto, abrindo a possibilidade de ˜ se demonstrar que certos problemas sao de fato indecid´veis. ıRuy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  4. 4. Alan Turing e DecidibilidadeExemplos de Problemas Indecid´veis ıNumeros Construt´veis ´ ı ´ Um ponto no plano Euclideano e chamado de construt´vel se, ı dado um sistema fixo de coordenadas,(ou um segmento de ´ reta fixo de comprimento unitario), o ponto pode ser constru´do ı ´ com regua e compasso. ´ ´ Ja na Antiguidade, os matematicos buscavam por construcoes¸˜ ˆ ¸˜ para trissectar um dado angulo, assim como por construcoes para transformar um c´rculo num quadrado de mesma area. ı ´Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  5. 5. Alan Turing e DecidibilidadeExemplos de Problemas Indecid´veis ı ˆ ´Trissectar um Angulo com Regua-e-Compasso ´ ˆ Somente em 1837, o matematico frances Pierre Wantzel ˜ ´ (1814–1848), mostrou que nao existe metodo geral para ˆ ´ trissectar um angulo usando apenas regua-e-compasso. ´ A estrategia de Wantzel foi se valer da chamada teoria de ¸˜ ˆ Galois – mais especificamente, a trisseccao de um angulo ` ¸˜ ¸˜ corresponde a resolucao de uma certa equacao cubica, que ´ ˜ ´ nao e poss´vel usando as ferramentas dadas. ıRuy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  6. 6. Alan Turing e DecidibilidadeExemplos de Problemas Indecid´veis ıOutros Resultados de Pierre Wantzel No mesmo artigo em que demonstrou a impossibilidade de ˆ ´ trissectar um angulo, Wantzel tambem demonstrou a ´ impossibilidade de, usando apenas regua-e-compasso: 1 dobrar o cubo: ”dobrar o cubo” significa ser capaz de, ao receber um dado cubo de comprimento de lado s e volume V = s3 , construir um novo cubo, maior que o recebido, com volume dobrado, i.e., 2V , e, portanto, comprimento de √3 lado s 2. 2 construir um pol´gono regular cujo numero de lados nao ı ´ ˜ ´ ˆ e o produto de uma potencia de 2 e nenhum numero de ´ primos de Fermat distintos.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  7. 7. Alan Turing e DecidibilidadeExemplos de Problemas Indecid´veis ıQuadratizando o C´rculo ı ´ Quadratizar o c´rculo e um problema proposto pelos ı ˆ geometras da Antiguidade. Trata-se do desafio de construir um ´ quadrado com a mesma area que um dado c´rculo, usando ı ´ apenas regua e compasso. Em 1882, o problema foi demonstrado imposs´vel de resolver, ı ¨ˆ e isso veio como uma consequencia do teorema de ´ Lindemann–Weierstrass que mostra que π e um numero ´ ˜ ´ transcendental, e nao algebrico.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  8. 8. Alan Turing e DecidibilidadeExemplos de Problemas Indecid´veis ı ¸˜Equacoes Soluveis por Ra´zes ´ ı ´ ˆ Somente em 1824, o matematico noruegues Niels Abel ˜ (1802–1829) obteve o importante resultado de que nao pode ´ ¸˜ haver uma formula (finita) geral, envolvendo apenas operacoes ´ ˆ aritmeticas e ra´zes, que exprima as ra´zes de um polinomio de ı ı grau 5 ou mais em termos de seus coeficientes.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  9. 9. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Indecid´veis ı ¸˜Definicao Recente survey “Undecidadble Problems: A Sampler”, por Bjorn Poonen, Marco 2012: ¸ ´ ´ Ha dois cenarios comuns nos quais se fala de indecidibilidade: ˆ 1 Independencia de axiomas: Um unico enunciado e ´ ´ ¸˜ dito indecid´vel se nem ele nem sua negacao pode ser ı ´ deduzido usando as regras da logica a partir do conjunto de axiomas sendo utilizados. (Exemplo: A ´ Hipotese do Cont´nuo) ı ˜ 2 Problema de decisao: Uma fam´lia de problemas ı ˜ ´ com respostas SIM/NAO e dita indecid´vel se nao ı ˜ existe algoritmo que termine com a resposta correta para todo problema da fam´lia. (Exemplo: 10o ı problema de Hilbert)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  10. 10. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Indecid´veis ı ¸˜Definicao ´ Na literatura moderna, a palavra “indecidibilidade” e usada mais frequentemente no sentido (2), dado que ˆ “independencia” adequadamente descreve o sentido (1). ´ ¸˜ Para tornar o sentido (2) preciso, e preciso uma nocao ¸˜ formal de algoritmo. Tal nocao foi introduzida por A. Church (1936) e A. Turing (1936) independentemente nos anos 1930’s. (Bjorn Poonen, 2012)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  11. 11. Alan Turing e DecidibilidadeAlgoritmosOrigens do Conceito de Algoritmo Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (c. 780 – c. ´ ˆ ´ 850) foi um matematico e astronomo persa responsavel pela ¸˜ ´ introducao no Ocidente dos numerais arabicos, baseado no ´ ´ sistema de numerais indo-arabico desenvolvido na matematica indiana.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  12. 12. Alan Turing e DecidibilidadeAlgoritmos ´Origens do Conceito de Algebra ”Talvez um dos avancos mais significativos ¸ ´ ´ conseguidos pela matematica arabe tenha comecado ¸ com o trabalho de al-Khwarizmii, a saber, os ´ ´ primordios da algebra. ´ Foi uma mudanca revolucionaria do conceito grego de ¸ ´ matematica que era essencialmente geometria. ´ Algebra veio como uma teoria unificadora que permitiu tratar numeros racionais, numeros ´ ´ ´ irracionais, magnitudes geometricas, etc., todos como ´ objetos algebricos.”Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  13. 13. Alan Turing e DecidibilidadeAlgoritmos ¸˜Definicao do Conceito de Algoritmo ´ ”Um algoritmo e um procedimento passo-a-passo ´ com o fim de realizar calculos, processar dados, automatizar o racioc´nio dedutivo.” ı ´ ´ ”Mais precisamente, um algoritmo e um metodo eficaz ¸˜ expresso como uma lista finita de instrucoes bem ´ ¸˜ definidas para o calculo de uma funcao. A partir de um estado inicial e uma entrada inicial (possivelmente ¸˜ vazia), as instrucoes descrevem uma computacao ¸˜ ´ que, quando executada, ira prosseguir por meio de um numero finito de estados sucessivos bem ´ definidos, acabando por produzir uma ‘sa´da’ e ı terminando em um estado final.” (Wikipedia)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  14. 14. Alan Turing e DecidibilidadeAlgoritmosExemplo Milenar de Algoritmo: Euclides ´ ´ O algorithm de Euclides e um metodo eficiente de calcular o ´ maximo divisor comum (MDC) de dois numeros inteiros. ´ Presente nos livros VII e X dos Elementos de Euclides (c. 300 ´ a.C.), trata-se de um dos mais antigos algoritmos numericos que se conhece. Embora concebido para numeros reais, o algoritmo foi ´ ´ generalizado no sec. XIX para outros tipos de numeros, tais ´ ˆ como inteiros de Gauss e polinomios de uma variavel. ´ ¸˜ ¸˜ ´ Tais generalizacoes levaram a nocoes algebricas abstratas como dom´nios euclideanos. Generalizando ainda mais, a ı ´ ˆ aplicabilidade do algoritmo hoje inclui nos e polinomios multivariados.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  15. 15. Alan Turing e DecidibilidadeAlgoritmos ´Decimo Problema de Hilbert Em sua lista de 1990 dos 23 problemas mais importantes da ´ Matematica, David Hilbert incluiu: ¸˜ 10. Determinacao da solubilidade de uma equacao ¸˜ ¸˜ Diophantina. Dada uma equacao Diophantina com qualquer numero de quantidades indeterminadas e ´ com coeficientes integrais racionais: Conceber um processo conforme o qual pode ser determinado, em ¸˜ ¸˜ ´ um numero finito de operacoes, se a equacao e ´ soluvel nos inteiros racionais. ´Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  16. 16. Alan Turing e DecidibilidadeAlgoritmos ¸˜ ´Entscheidungsproblem: A Generalizacao do Decimo Problema de Hilbert ˜ O Entscheidungsproblem (’problema de decisao’, em ˜ ´ alemao) e um desafio posto por David Hilbert em 1928. O Entscheidungsproblem pede por um algoritmo que ´ ¸˜ recebera como entrada uma descricao de uma linguagem ´ formal e um enunciado matematico na linguagem, e ´ produzira como sa´da “Verdadeiro” ou “Falso”. Tal algoritmo ı seria capaz de decidir, por exemplo, se enunciados tais ´ como a conjectura de Goldbach ou a hipotese de Riemann, ˜ sao verdadeiras, muito embora nenhuma prova ou ¸˜ refutacao desses enunciados seja conhecida. O Entscheidungsproblem tem sido comumente identificado, ˜ ´ em particular, com o problema de decisao para a logica de ´ primeira ordem (isto e, o problema de se determinar algoritmicamente se um enunciado de primeira ordem e ´ ´ universalmente valido). (Wikipedia)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  17. 17. Alan Turing e DecidibilidadeAlgoritmos ¸˜ ´A Formulacao de ‘Processo Combinatorio Finito’ Em 1928 Hilbert enuncia o Entescheidungsproblem assim: ´ O Entscheidungsproblem e resolvido quando conhecemos um procedimento que permite para ˜ ´ qualquer expressao logica dada decidir sua validade ou satisfatibilidade. No per´odo de 1928 a 1936, Emil Post trabalhou intensamente ı ¸˜ no desenvolvimento de uma definicao do que seria procedimento envolvendo um numero finito de passos: um ´ trabalhador se movendo de sala em sala escrevendo e ¸˜ apagando s´mbolos conforme uma lista de instrucoes. ıRuy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  18. 18. Alan Turing e DecidibilidadeAlgoritmos ¸˜Formalizacao do Conceito de Algoritmo ˜ Naturalmente, antes que a questao da solubilidade do Entscheidungsproblem pudesse ser resolvida, a nocao de¸˜ algoritmo tinha que ser formalmente definida. Coube a Alonzo Church em 1936 com o conceito de ´ calculabilidade efetiva baseado no seu λ-calculo, e a Alan ´ ¸˜ ´ Turing tambem em 1936, com a nocao de maquina de Turing. Em seu artigo de 1936 (publicado em 1937, e avaliado por ˆ Church) Turing acrescentou um apendice demonstrando que a ¸˜ ´ ´ classe de funcoes computaveis pelo λ-calculo era a mesma ¸˜ ´ ´ que a classe de funcoes computaveis por maquinas de Turing. ¸˜ Da´, a denominacao Tese de Church–Turing: toda funcao ı ¸˜ ´ ´ ´ ´ computavel e computavel por maquinas de Turing.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  19. 19. Alan Turing e DecidibilidadeAlgoritmos ¸˜Limitacao do Homo Sapiens Na verdade, o trabalho feito por Church e outros leva ¸˜ ´ ´ essa identificacao consideravelmente alem do estagio ´ de hipotese de trabalho. ´ ¸˜ Porem, mascarar essa identificacao sob uma ¸˜ definicao esconde o fato de que uma descoberta ¸˜ fundamental nas limitacoes do poder de ¸˜ matematicatizacao do Homo Sapiens foi feita, e nos ¸˜ cega para a necessidade de sua cont´nua verificacao. ı (Emil Post)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  20. 20. Alan Turing e Decidibilidade ¸˜ ´Definicao Matematica de Algoritmo ˆProcesso Mecanico Na primavera de 1935 Turing, ainda como aluno de Mestrado no King’s College (Cambridge, UK), aceitou o desafio de provar ˜ ˆ que nao haveria processo ‘mecanico’ que resolvesse o ´ Entscheidungsproblem. O est´mulo veio do matematico M. ı Newman, orientador de Turing. ` ´ ˆ A pergunta ‘o que e um processo “mecanico”?’ Turing ´ da a resposta caracter´stica ‘Algo que pode ser feito ı ´ por uma maquina’, e a´ embarca na tarefa altamente ı ˆ ¸˜ ´ congenere de analisar a nocao geral de uma maquina ¸˜ de computacao. (Robin Gandy, 1974)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  21. 21. Alan Turing e Decidibilidade ¸˜ ´Definicao Matematica de AlgoritmoTuring e o Entscheidungsproblem ´ ˜ Suponho, porem nao tenho certeza, que Turing, desde o in´cio de seu trabalho, tinha como objetivo ı uma prova da indecidibilidade do Entscheidungsproblem. Ele me disse que a ‘ideia ´ principal’ do artigo veio a ele quando ele estava no ˜ parque Grantchester no verao de 1935. A ‘ideia ´ ´ ˆ principal’ pode ter sido sua analise do fenomeno da ¸˜ ¸˜ computacao ou sua percepcao de que havia uma ´ maquina universal, e portanto um argumento diagonal para provar a insolubilidade. (Robin Gandy, 1974)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  22. 22. Alan Turing e Decidibilidade ¸˜ ´Definicao Matematica de Algoritmo ´Maquina de Turing ´ ´ Uma maquina de Turing e uma 7−upla, ˜ (Q, Σ, Γ, δ, q0 , qaceita , qrejeita ), onde Q, Σ, Γ sao todos conjuntos finitos, δ e a funcao de transicao, q0 ∈ Q e o estado inicial, ´ ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜ ´ qaceita e o estado de aceitacao, e qrejeita e o estado de rejeicao. ¸˜ Trata-se de um modelo formal de um “ser humano calculante”: ´ cada celula da fita de trabalho pode ser concebida como uma folha de papel, Σ como o alfabeto de entrada, , e Γ o alfabeto de trabalho.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  23. 23. Alan Turing e Decidibilidade ¸˜ ´Definicao Matematica de Algoritmo Universal ´Maquina de Turing Universal ´ ´ ”E poss´vel inventar uma unica maquina que pode ser ı ´ ¨ˆ ´ usada para computar qualquer sequencia computavel. ´ Se essa maquina U for alimentada com a fita no ¸ ´ comeco da qual esta escrita a cadeia de qu´ntuplas ı ´ separadas por v´rgulas de alguma maquina de ı ¸˜ ˜ computacao M, entao U vai computar a mesma ¨ˆ sequencia que M. ” (Alan Turing)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  24. 24. Alan Turing e Decidibilidade ¸˜ ´Definicao Matematica de Algoritmo Universal ´ ´Maquina de Turing Universal: Computador de Memoria Armazenada ´ ` ¸˜ um avanco teorico fundamental que levou a nocao de ¸ computador de programa armazenado. (Martin Davis) ´ O artigo de Turing ... contem, essencialmente, a ¸˜ invencao do computador moderno e algumas das ´ ¸˜ tecnicas de programcao que o acompanharam. (Marvin Minsky)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  25. 25. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Decid´veis ıExemplos de Problemas Decid´veis ı ´ ˜ Os seguintes problemas matematicos sao decid´veis: ı 1 ¸˜ ´ Determinar se um sistema de equacoes lineares em k variaveis, ˆ ¸˜ com coeficientes em Z, tem solucoes em Z. 2 Determinar quais equacoes da forma x 2 − dy 2 = 1, onde d e um ¸˜ ´ ˆ ¸˜ inteiro positivo, tem solucoes nos inteiros. ¸˜ 3 Determinar para qual(is) valor(es) inteiro(s) de k a equacao y 2 = x 3 + k tem solucao nos inteiros. Alan Barker (Medalha ¸˜ ´ Fields 1966) mostrou que o problema e decid´vel.ı ´ 4 Determinar se um dado enunciado da aritmetica de Presburger ´ ´ e demonstravel a partir dos axiomas. 5 Determinar se um dado enunciado na linguagem da teoria dos ´ ´ corpos real-fechados e demonstravel a partir dos axiomas da teoria.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  26. 26. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Indecid´veis ıUm Grande Resultado de Indecidibilidade ´ Em 1900, Hilbert perguntou em seu decimo problema: Existe um algoritmo para decidir se um sistema de ¸˜ ¸˜ equacoes com coeficientes inteiros tem uma solucao inteira? Somente em 1970, surgiu uma resposta: o russo Yuri ˜ ˜ Matejasevic, entao com 23 anos de idade, demonstrou que nao pode haver tal algoritmo (assumindo a Tese de Church–Turing).Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  27. 27. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Indecid´veis ıUm Filhote do Resultado de Matejasevic ˆ O conjunto de valores positivos tomados pelo polinomio (em 26 ´ variaveis): (k + 2)(1 − (wz + h + j − q]2 − ((gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z)2 − (16(k + 1)3 (k + 2)(n + 1)2 + 1 − f 2 )2 − (2n + p + q + z − e)2 − (e3 (e + 2)(a + 1)2 + 1 − o2 )2 − ((a2 − 1)y 2 + 1 − x 2 )2 − (16r 2 y 4 (a2 − 1) + 1 − u 2 )2 − (n + l + v − y )2 − ((a2 − 1)l 2 + 1 − m2 )2 − (ai + k + 1 − l − i)2 − (((a + u 2 (u 2 − a))2 − 1)(n + 4dy)2 + 1 − (x + cu)2 )2 − (p + l(a − n − 1) + b(2an + 2a − n2 − 2n − 2) − m)2 − (q + y(a − p − 1) + s(2ap + 2a − p2 − 2p − 2) − x)2 − (z + pl(a − p) + t(2ap − p2 − 1) − pm)2 ) ´ e exatamente o conjunto dos numeros primos! ´Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  28. 28. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Decid´veis ıUm Grande Resultado de Decidibilidade ´ Em 1930, (embora publicado apenas em 1948), o logico ˆ polones Alfred Tarski demonstrou que: Existe um algoritmo para testar a solubilidade, nos ¸˜ reais, de sistemas de equacoes polinomiais com coeficientes inteiros. ˜ ˜ Naquela ocasiao, Tarski deixou em aberto a questao da ˜ ¸˜ extensao desse resultado para equacoes exponenciais.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  29. 29. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Decid´veis ıUm Outro Grande Resultado de Decidibilidade ´ Apos mais de 60 anos do enunciado do problema de Tarski, ´ ˆ em 1992 os matematicos britanicos A. Macintyre e A. Wilkie ´ mostraram que a resposta e positiva, assumindo uma famosa conjectura em teoria dos numeros transcendentais ´ ˜ (generalizando o resultado de que o c´rculo nao pode ser ı quadratizado). ˜ ´ Isso permite decidir certas questoes em geometria hiperbolica, ˜ ´ que nao podem ser obtidas atraves do algoritmo de Tarski.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  30. 30. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Indecid´veis ıO Grande Resultado de Indecidibilidade de Turing Turing mostrou que o problema de se determinar se uma dada ´ ´ ˜ maquina de Turing para ou nao quando roda sobre uma dada ´ entrada e indecid´vel. ı Esse ficou conhecido como o Problema da Parada. ´ ¸˜ Varias outras demonstracoes de indecibilidade, inclusive a de ¸˜ ˆ Emil Post (1946) com relacao ao problema da correspondencia, passaram a utilizar como referencial o Problema da Parada: se ˜ esse problema for decid´vel entao o Problema da Parada ı ´ o e, portanto ele nao pode ser decid´vel. tambem ´ ˜ ıRuy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  31. 31. Alan Turing e DecidibilidadeProblemas Indecid´veis ı ´Exemplos na Matematica ´ Combinatoria: tiling problem, desigualdades lineares entre densidades de homomorfismo de grafo Semigrupos de matrizes: problema da mortalidade de matrizes, problema da palavra, ¸˜ Topologia: problema do homeomorfismo, deteccao de variedade ˜ Teoria dos numeros: problema de decisao para a teoria de 1a. ´ ordem dos racionais ´ ˆ ¸˜ ¸˜ Analise: existencia de solucoes para equacoes diferenciais ´ algebricas ˆ Sistemas dinamicos: ponto vai para a origem em tempo finito? problema Collatz generalizado ´ Probabilidade: estabilidade de caminhadas aleatorias ´ ˆ ¸˜ Geometria algebrica: existencia de secoes racionaisRuy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  32. 32. Alan Turing e DecidibilidadeGraus de Insolubilidade ¸˜ ´A Nocao de Oraculo: Computabilidade Relativa ´ Em 1939, com o objetivo de introduzir o conceito de maquina ˜ ¸˜ de Turing nao-determin´stica, Turing define a nocao de ı ´ ´ ¸˜ maquina oraculo, que permitiu a classificacao de problemas em termos de computabilidade relativa. O grau de Turing ou grau de insolubilidade de um conjunto de numeros naturais mede o n´vel de insolubilidade do ´ ı conjunto. ˜ ı ´ O grau de Turing de um conjunto revela o quao dif´cil e resolver ˜ o problema de decisao associado ao conjunto.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  33. 33. Alan Turing e DecidibilidadeGraus de Insolubilidade ¸˜ ´A Nocao de Oraculo: Computabilidade Relativa Definition ´ ´ Um oraculo para uma linguagem A e um dispositivo que e ´ capaz de reportar se uma cadeia qualquer w e ´ um membro de A. Uma maquina de Turing oraculo M A e uma maquina de ´ ´ ´ ´ Turing modificada que tem a capacidade adicional de fazer consultas a um oraculo. Sempre que M A escreve uma cadeia ´ ´ ´ sobre uma fita oraculo especial ela e informada se aquela ´ cadeia e um membro de A, em um unico passo de computacao. ´ ¸˜ Seja PA a classe de linguagens decid´veis com um maquina de ı ´ ´ ´ Turing oraculo de tempo polinomial que usa o oraculo A. Defina NPA de maneira similar.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  34. 34. Alan Turing e DecidibilidadeTeoria da Complexidade Computacional ´Maquina de Turing: Tempo e Espaco ¸ ´ Dentre os modelos matematicos do conceito de algoritmo, a ´ ´ maquina de Turing tem servido de referencial teorico para a ¸˜ classificacao de algoritmos e problemas segundo os ´ respectivos requisitos de recursos necessarios: Tempo: medido pelo numero de passos de computacao ´ ¸˜ ¸ ´ ´ Espaco: medido pelo numero de celulas da fita de trabalhoRuy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  35. 35. Alan Turing e DecidibilidadeTeoria da Complexidade Computacional ´Maquina de Turing: Tempo e Espaco ¸ Classes de Complexidade de Problemas Computacionais: ´ 1 P: problemas soluveis por uma maquina de Turing ´ determin´stica de tempo polinomial ı ´ 2 NP: problemas soluveis por uma maquina de Turing ´ ˜ nao-determin´stica de tempo polinomial ı Theorem (Cook, 1971) ´ SAT e NP-completo.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  36. 36. Alan Turing e DecidibilidadeSeguranca Computacional ¸ ´ ´Maquina de Turing: Modelo de Algoritmo Adversario O Legado de Turing na Teoria da Criptografia: ¸˜ ¸˜ 1 Definicao de: funcao unidirecional, funcao¸˜ ´ pseudoaleatoria, indistinguibilidade ¸˜ ¸˜ 2 Definicao da nocao de experimento, permitindo a ¸˜ ´ definicao matematica de: sigilo computacional, ˆ ` ˜ resistencia a colisao, inforjabilidade existencial 3 ¸ ¸˜ Provas de Seguranca Relativa (por reducao)Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  37. 37. Alan Turing e Decidibilidade ˆ ´Inteligencia de MaquinaTeste de Turing: Distinguir Humano de Computador ` Em 1950, Turing procura uma resposta cient´fica a pergunta ı ´ Maquinas podem pensar? ¸˜ ‘Jogo da Imitacao’: humano conversando, por meio de terminal, com ´ ´ uma maquina e um humano, sem saber quem e a m’aquina, pretende distingu´-los, podendo fazer qualquer tipo de pergunta a ı ˜ cada um deles, cuja resposta pode ou nao ser verdadeira. A ` ´ ´ resposta a pergunta se a maquina pode pensar sera respondida na afirmativa se ela puder imitar um ser humano nas suas respostas. ¸˜ Aplicacao nos dias de hoje: Completely Automated Public Turing test tell Computers and Humans Apart (CAPTCHA) Teste de desafio cognitivo, utilizado como ferramenta anti-spam, desenvolvido pioneiramente na universidade de Carnegie-Mellon (L. von Ahn).Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı
  38. 38. Alan Turing e Decidibilidade ˆReferenciasO Legado de Alan Turing Turing, A.M. (1936). “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”. Proceedings of the London Mathematical Society 2 42: 230–65. 1937. Turing, A.M. (1950). “Computing Machinery and Intelligence”. Mind LIX (236): 433–460. Macintyre, A. (2011). “Undecidable and Decidable Problems in Mathematics: A survey and some reflections, for the centenary of Turing’s birth”. Talk given Tuesday, 17 May 2011 - 6:00pm, Barnard’s Inn Hall, Gresham College, London, UK.Ruy de Queiroz ´ Centro de Informatica, Univ. Federal de PernambucoProblemas Decid´veis e Problemas Indecid´veis ı ı

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