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 Trabalho nº1 Trabalho nº1 Presentation Transcript

  • Trabalho de grupo nº1 de MatemáticaProposta nº8 2011/2012 Profº: Luís Vilhena & Emília Santos Trabalho realizado por: Beatriz Cabrita nº3 Bruno Cardoso nº6
  • Recuando no tempo… Na origem da Elipse estiveram envolvidos variados matemáticos, mas o que mais se destacou foi Apolónio de Perga, um matemático e astrónomo grego (262 a.C. - 190 a.C.). Apolônio escreveu oito livros dedicados especialmente ao estudo de uma família de curvas - cônicas.
  • As cônicas são curvas que se obtêm intersectandouma superfície cónica com um plano. Desse modo,só pode haver quarto tipos de cortes resultantesdesse processo :• A Círculo• A Elipse• A Parábola• A Hipérbole
  • Aplicações da elipseφ A elipse é frequentemente usada naArquitectura, no Design e naEngenharia.φNos auditórios, nos teatros e nasigrejas são utilizadas porque têmpropriedades que criam condiçõesacústicas especiais.φNo século XVII Johannes Keplerdescobriu que a órbita dos planetas dosistema solar é uma elipse e o sol ocupaum de seus focos.
  • Mas afinal, o que é uma elipse? Elipse é o lugar geométrico dos pontosdo plano tais que a soma das distâncias a doispontos fixos (focos) é constante e maior que adistância entre eles. __ __ KA+KB= constante ___ ___ Foco HA+BH= constante Foco ___ E maior que AB
  • Como obter uma eclipse a partir de duascircunferências? geogebra 1.ggb Barra de Reprodução EXEMPLO Se quisermos construir uma elipse cuja soma das distâncias aos focos F(-4.0) e F’(4.0) seja 12, podemos fazê-lo através de duas circunferências com centro nos focos. A soma dos seus raios tem de ser igual a 12: (x+4)² + y² = 36 e (x-4)² + y² = 36 (x+4)² + y² = 64 e (x-4)² + y² = 16 (x+4)² + y² = 9 e (x-4)² + y² = 81 … As intersecções destas circunferências são pontos da elipse.
  • Componentes da Elipse:Dois Focos (F e F’); VérticeEixo Maior [AA’];Eixo Menor [BB’];Distância Focal FF’ ¯¯;Vértices (A, A’, B ,B’)
  • Sobre a elipse…• A distância entre um foco e um dos vértices da elipse é metade do eixo maior.
  • Consideremos a seguintecircunferência: x² + y² = 16 Como obter uma elipse? 1º Passo: Desenhar rectas verticais que intersectem a circunferência e os respectivos pontos médios.
  • 2º Passo: Marcam-se os pontosmédios dos pontos marcadosanteriormente. Pontos da Elipse Curiosidade: Equação da Elipse
  • Podemos construir duas elipses diferentes: Se o eixo maior for o das Se o eixo maior foi o das abcissas: ordenadas:
  • 1º Problema
  • Resolução do problema1º Passo: Constroem-se duas circunferências com centro nos focos da elipse eraio 6 cada uma, porque a soma das distâncias dos focos a um ponto da elipse é12 e metade é 6. O raio das circunferências tem de ser 6.2º Passo: Na intersecção das duas circunferências definimos 2 pontos.
  • Resolução do problema3º Passo – Constrói-se a elipse sendo que os seus focos são (-4,0) e (4,0) e osseus vértices são as intersecções das circunferências.
  • Resolução do problema4º Passo – Sendo o raio das circunferências 6 então, sabemos que a distânciade é igual a 6.
  • 2º Problema
  • Resolução do problemaTal como mencionámos anteriormente, a distância entre um foco e um dospontos da elipse é metade do eixo maior, assim sendo, como a cordautilizada tinha 12 metros, o eixo maior têm 12 metros.1º Passo – Divide-se o a figura em 4 partes iguais obtendo 4 rectângulos. 12 m
  • Resolução do problema A= 27 m A= 27 m A= 27 m A= 27 m
  • Resolução do problema3º Passo – Sabendo já, a área de cada rectângulo e a largura de cadaum podemos, então, calcular a altura dos rectângulos: 6m L 6m
  • Resolução do problema 4º Passo – Podemos concluir que a largura do rectângulo, onde está inscrita uma elipse, têm 12 metros de largura e 9 metros de altura. A partir destes dados podemos calcular o perímetro do rectângulo para saber quantos metros de rede precisa o jardineiro para vedar o canteiro. P = 12 +12 + 9 + 9 P = 42 metros 9mResposta: O jardineiro nãotêm rede suficiente para 12 mvedar o canteiro e para quetal aconteça precisa de 42metros.
  • FIM