3. INTRODUÇÃO
Este trabalho foi realizado com o objectivo de explorar
as funções com base numa recolha de dados relativos a um
acontecimento (Criado pelo Aluno).
Neste trabalho vão ser representados três gráficos de
deslocamento em função do tempo, em relação ao
movimento de um avião de papel, lançado na origem do
referencial.
No primeiro gráfico ( ) o referencial será o chão
(movimento vertical).
No segundo gráfico ( ) o referencial será o local de
lançamento (movimento horizontal)
O terceiro gráfico ( ) resultará do Teorema de
Pitágoras entre os dois primeiros gráficos. Este gráfico irá
mostrar a distância entre o avião e o ponto inicial de
lançamento em função do tempo.
4. ÍNDICE
Informação/Estudo do Gráfico 1 (f(x)) ---------------- 5º-10º diapositivo.
Informação/Estudo sdo Gráfico 2 (g(x)) ----------- 12º - 16º diapositivo.
Informação/Estudo do Gráfico 3 (h(x)) ------------ 17º - 24º diapositivo.
Determinação de pontos significativos (h(x)) --- 25º e 26º diapositivo.
Simulação do movimento do Avião ------------------------27º diapositivo.
Conclusão ----------------------------------------------------------28º diapositivo.
5. DADOS/REGISTOS (GRÁFICO 1)
Altura do avião de papel em relação ao chão / tempo:
Tempo (segundos) Altura do avião Esta função apresenta três intervalos
(metros) regulares.
Entre os instantes 0 e 3 o avião desloca-se
0s 0,0m
regularmente (com aceleração constante),
1s 10/9 - (1,11m) mudando o seu comportamento no instante
2s 16/9 - (1,78m) 3.
3s 2,0m Entre os instantes 3 e 5, o avião apresenta
um comportamento regular (aceleração
4s 2,5m
constante), apesar de diferente do que
5s 2,0m tinha no inicio, mudando de novo esse
6s 1,0m comportamento no instante 5.
7s 0,0m Entre o instante 5 e 7 o comportamento do
avião é regular (sem aceleração) até atingir
o solo.
A função necessária para definir
estes registos terá que ser uma
função de ramos:
7. DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO
Para determinar a função foi necessário determinar uma a uma (três
funções).
A função azul tem como extremo em x=3, visto que a velocidade do avião
neste instante é 0. e zero em x=0, logo o segundo zero da função azul será
x=6.
Podemos calcular a função desta forma: sendo que “a” será o
valor que a multiplicar pelo extremo da função o seu
resultado será 2 (visto que 2 é o valor y do extremo que queremos obter
com o gráfico azul).
O valor do estremo da função
é 9, logo um numero que multiplicado
por 9 seja 2 é:
8. DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO
A função verde tem como extremo em x=4 e y= , visto que a velocidade do avião
neste instante é 0.
O valor da imagem da função verde é igual no instante 3 e no instante 5, e como
apenas esses dois instantes são importantes para o movimento do avião, podemos
considerar que esses valores são os zeros do gráfico, e depois de terminado a função,
será apenas necessário somar 2 ao resultado final (porque o valor de y em x=3 e x=5
é 2.
Podemos calcular a função desta forma: sendo que “a” será o
valor que a multiplicar pelo extremo da função o seu resultado
será (visto que a diferença entre a imagem no extremo da função verde e a
imagem do instante 3 e/ou 5 é de ).
O valor do estremo da função
é 1, logo um numero que multiplicado por 1
seja é:
9. DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO
O valor da imagem da função roxa no instante 5 é 2, no instante 6 é 1, e no instante
7 é 0.
As imagens mudam regularmente ao segundo, de um a um, logo a função que vai
definir o comportamento no avião do instante 5 ao 7 será uma recta com declive = -1
Já sabemos que m=-1
Se substituir-mos o y e x com as coordenadas de um dos pontos
pertencentes á recta ex: (6,1), podemos descobrir b e completar
assim a definição da função roxa.
Equação:
10. JÁ SABEMOS QUE O AVIÃO APRESENTA O COMPORTAMENTO DEFINIDO
PELO GRÁFICO AZUL DURANTE O INTERVALO DE TEMPO [0,3[ , E PELO
GRÁFICO VERDE NO INTERVALO DE TEMPO [3,5[, E PELO GRÁFICO ROXO
NO INTERVALO [5,7], LOGO:
11. DADOS/REGISTOS (GRÁFICO 2)
Distância horizontal do avião de papel em relação ao local de
lançamento / tempo: Esta função apresenta três intervalos
Tempo (segundos) Distância do avião
regulares.
(metros) Entre os instantes 0 e 3 o avião desloca-
-se regularmente (aceleração constante),
0s 0,0m
mudando o seu comportamento no
1s 20/9 - (2,22m) instante 3.
2s 32/9 - (3,56m)
Entre os instantes 3 e 3,5, o avião
3s 4,0m apresenta um comportamento regular
3,5 4,25m (sem aceleração), mudando de novo esse
4s 4,0m
comportamento no instante 3,5.
5s 3,5m Entre o instante 3,5 e 7 o
comportamento do avião é regular (sem
7s 2,5m
aceleração) até atingir o solo.
A função necessária para definir
estes registos será:
13. DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO
A determinação desta função foi semelhante á apresentada no gráfico 1
A função azul tem como extremo em x=3, visto que a velocidade do avião
neste instante é 0. e zero em x=0, logo o segundo zero da função azul será
x=6.
Podemos calcular a função desta forma: sendo que “a” será o
valor que a multiplicar pelo extremo da função o seu
resultado será 4 (visto que 4 é o valor y do extremo da função azul que
queremos obter).
O valor do estremo da função
é 9, logo um numero que multiplicado
por 9 seja 4 é:
14. DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO
O valor da imagem da função verde no instante 3 é 4, no instante 3,5 é
4,25. o avião distancia-se regularmente (sem aceleração) neste intervalo
de tempo, logo a função que vai definir este comportamento será uma
recta.
Declive:
Já sabemos que m= 1/2
Se substituir-mos o y e x com as coordenadas de um dos pontos
pertencentes á recta ex: (3,4), podemos descobrir b e completar
assim a definição da função roxa.
Equação:
15. DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO
O valor da imagem da função roxa no instante 3,5 é 4,25, no instante 4 é
4, no instante 6 é 3, e no instante 7 é 2,5. o avião distancia-se
regularmente (sem aceleração) neste intervalo de tempo, logo a função que
vai definir este comportamento será uma recta.
Declive:
Já sabemos que m= 1/2
Se substituirmos o y e x com as coordenadas de um dos pontos
pertencentes á recta ex: (4,4), podemos descobrir b e completar
assim a definição da função roxa.
Equação:
16. JÁ SABEMOS QUE O AVIÃO APRESENTA O COMPORTAMENTO DEFINIDO
PELO GRÁFICO AZUL DURANTE O INTERVALO DE TEMPO [0,3[ , E PELO
GRÁFICO VERDE NO INTERVALO DE TEMPO [3,7/2[, E PELO GRÁFICO
ROXO NO INTERVALO [7/2,7], LOGO:
17. DISTÂNCIA Gráfico 3 (
ENTRE O AVIÃO E O)PONTO
INICIAL DE LANÇAMENTO EM FUNÇÃO
DO TEMPO.
Temos que calcular a função h(x) nos diferentes intervalos de tempo, ou
seja, vamos ter que fazer outra função de ramos.
Já sabemos a distancia do avião em relação á horizontal e á vertical. Para
sabermos a distância entre o avião e o ponto inicial de lançamento, terá
que ser efectuado um Teorema de Pitágoras entre as 2 funções anteriores,
tendo em conta os intervalos de tempo limite de cada função.
Esta parte da função corresponde apenas ao intervalo entre 0 e 3
segundos, porque foi feita a junção (pelo Teorema de Pitágoras) de duas
equações que correspondiam apenas ao intervalo [0,3[.
18. Gráfico 3 ( )
Neste caso, apesar do fragmento da função f(x)=
apresentar um intervalo de [3,5[, o nosso segundo fragmento da função
h(x), vai apenas corresponder ao intervalo [3,7/2[ porque foi feita a junção
da função f(x) com um fragmento da função g(x) que apenas correspondia
ao intervalo [3,7/2[.
19. Gráfico 3 ( )
Esta parte da função corresponde apenas ao intervalo entre 7/2 e 5
segundos, porque foi feita a junção de duas equações que correspondiam
ao intervalo [3,5[ e [7/2,7] respectivamente. A intersecção entre os dois
intervalos dará [7/2,5[
20. Gráfico 3 ( )
Esta parte da função corresponde apenas ao intervalo entre 5 e 7
segundos, porque foi feita a junção de duas equações que correspondiam
ao intervalo [5,7] e [7/2,7] respectivamente. A intersecção entre os dois
intervalos dará [5,7]
24. DADOS/REGISTOS
Tempo (segundos) Distância entre o avião e ponto inicial
de lançamento(metros)
0s 0m
(GRÁFICO 3)
1s (10√5) / 9 – (2,48m)
2s (16√5) / 9 – (3,98m)
3s 2√5 – (4,47m)
3,5 (√1517) / 8 – (4,87m)
4s (√89) / 2 – (4,72m)
5s (√65) / 2 – (4,03m)
6s √10 – (3,16)m
7s 5/2 – (2,5m)
25. DETERMINAÇÃO DE PONTOS
SIGNIFICATIVOS (GRÁFICO 3)
Extremo:
O extremo máximo da função h(x) corresponde a x=3,5. Em contesto real,
este valor significa que, o avião se encontra mais distante do ponto inicial
de lançamento no instante 3,5s.
A dintância maxima atingida observado se antes do ponto de intersecção
Para determinar o extremo foipelo avião em relação ao ponto inicial de origem
é de
entre as diferentes funçõesaproximadamente 4,87m,decrescente e se depois
metros, ou seja, de h(x) era crescente ou estando a uma
disntância de 2,375m em relação ao chão (ádecrescente. 4,25m em relação á
do ponto de intersecção era crescente ou vertical) e a
horizontal. pontos fossem extremos era necessário que a monotonia da
Para que os
função que estava antes do ponto de intersecção fosse diferente da
monotonia da função que estava depois do ponto de intersecção. Esta
condição observa-se apenas entre as funções:
e
Sendo x=3,5 o seu ponto de intersecção.
A primeira função é crescente até a x=3,5 e a segunda é decrescente a partir
de x=3,5. Logo este ponto será um extremo Máximo
26. DETERMINAÇÃO DE PONTOS
SIGNIFICATIVOS (GRÁFICO 3)
Monotonia:
O função h(x) apresenta apenas um extremo, sendo um extremo máximo
situado em x=3,5 isto significa que entre os instantes 0 e 3,5 a função h(x)
é crescente e entre os instantes 3,5 e 7 a função é decrescente. (Tal
como se pode observar na imagem).
28. CONCLUSÃO
Este foi um trabalho que pretendeu relacionar as funções com situações
reais.
Pode-se concluir que praticamente tudo o que se passa á nossa volta pode
ser definido matematicamente e estudado. Através das funções é possível
simular o comportamento de algo (neste caso de um avião de papel), sem
ser preciso “ver” o que realmente aconteceu.
A matemática é a disciplina e linguagem que nos permite representar
tudo o que se passa no mundo, para podermos estudar com mais rigor o
fenómeno.
Neste trabalho foi estudado o comportamento de um avião de papel
relacionando a sua distância do ponto de lançamento com tempo. Depois
de concluído o estudo foi feita uma simulação do movimento do avião,
provando assim, que é possível “simular o comportamento de algo, sem ser
preciso “ver” o que realmente aconteceu”.
