2. ÍNDICE
1. La suma
2. La resta
3. Experimentos y autores de la suma y la resta
4. Métodos de la suma y la resta
5. La multiplicación
6. La división
3. 7. Experimentos y autores de la multiplicación y la
división
8. Estudio experimental
9. Bibliografía
1. LA SUMA
4. 1.1 ALGORITMO
Para lograr una correcta comprensión del algoritmo de la suma en el nivel simbólico es
necesario, como mínimo, tener un conocimiento de la escritura del sistema de
numeración decimal. La suma de dos números se puede modelizar imaginando que
corresponden a dos montones de caramelos que, por alguna razón, pretendemos
juntarlos en un montón único y conocer cuántos caramelos hay en él.
En forma simbólica se pueden disponer los números y el resultado de una suma
5. colocando las cantidades una debajo de otra y justificándolas a la derecha y escribir el
resultado debajo de los sumandos.
2453
+ 6241
______
8694
Si alguna de las sumas parciales es igual o superior a 10, se aplica la regla del sistema
de numeración decimal “cada diez unidades de un determinado orden constituyen una
unidad del orden inmediato superior”, en caso de ser 14 se dice que se ponen 4, y las
diez restantes han formado una nueva unidad de orden inmediato superior y se une a
las correspondientes de ese orden en los sumandos. Se dice “me llevo una” aunque,
quizá, fuera más correcto decir “se forma una”. Esa unidad que se forma se puede
retener en la memoria, o puede hacerse una marca en la columna correspondiente.
3592
+ 5165
______
8757
Una variante de este algoritmo lo constituyen los algoritmos en los que se van
escribiendo las sumas parciales. Por ejemplo:
679
+ 845
_____
14
+ 110
1400
_____
1524
O bien:
679
+ 845
_____
14
6. + 11
14
_____
1524
Errores:
No tiene en cuenta el número que se lleva.
37
+ 25
___
52
Confunde el papel del cero.
50
+ 24
___
70
Los sumandos tienen distinto número de cifras. Sitúa de forma incorrecta los números
en columnas a) o suma unidades de un determinado orden con unidades de distintos
órdenes del otro sumando b).
a) 234 b) 123
+5 +5
_____ _____
734 678
1.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONES DE ADICIÓN
La suma es considerada como la reunión de varios números en uno solo y se puede
definir a partir de las operaciones de unión. La suma de dos números naturales a y b se
define del siguiente modo:
7. Siendo a cardinal (A) y b cardinal (B) consideramos, A Y B dos conjuntos distintos, es
decir, cumplen que A П B = Ø. Se define la adición en el conjunto N de números
naturales como la aplicación entre el producto cartesiano N x N y el conjunto de N, tal
que si f (a, b) = c siendo c cardinal (A U B) donde A U B = { x / x Є A o x Є B}.
1.3 SITUACIONES EN LAS OPERACIONES DE ADICIÓN
Situación de cambio:
Cambio aumentando. En estos problemas se dispone una cantidad inicial que cambia
cuando se le aumenta en otra determinada cantidad. Finalmente la cantidad inicial se
transforma en otra mayor, es decir, un cambio como un aumento. Alguna de las
estrategias informales para resolver problemas de cambios aumentando son:
- Contar todo: consiste en disponer las cantidades iniciales añadiendo a
continuación las cantidades de aumento y contar todas empezando por la
primera hasta la última. Es la estrategia más simple y utilizada.
- Contar a partir del primer sumando: los niños que tienen capacidad para
contar hacia adelante a partir de un numero cualquiera, puede llegar a ser
capaces de establecer un conteo a partir de la consideración del primer
sumando “5, 6, 7, 8”.
A todas estas estrategias se les añade el conteo con dedos y el uso de simbolizaciones
aritméticas adecuadas a cada caso. Es importante también, además del modelado
directo de los momentos presentes en el problema planteado, manipular objetos.
En una situación de cambio los papeles de ambas cantidades no son intercambiables.
Problema: un novio tiene 5 canicas cuando empieza a jugar. Durante el juego gana 3
canicas. ¿Cuántas canicas tendrá al final?
Situación de combinación:
Este problema muestra dos cantidades cuya suma conduce al resultado final. En la
misma operación aritmética resolveremos el problema planteado al completo. Desde
el punto de vista del significado que se le atribuye observamos que ahora no hay
cambio alguno de una cantidad inicial sino que aparecen dos cantidades iniciales
ejerciendo ambas el mismo papel. La reunión de ambas es la acción que resuelve el
problema, pero esta no es un cambio sino una combinación de las dos cantidades
anteriores.
Los problemas de combinación se caracterizan básicamente para contar con dos
cantidades estáticas que forman parte de un todo que las incluye. Es posible el
modelado directo mediante objetos, dedos o exclusivamente de forma verbal.
8. Cuando en una situación de combinación las dos cantidades ejercen un papel similar,
ello hace que el problema no varíe al intercambiar los papeles de las distintas
cantidades.
En la situación de combinación las sumas conmutativas, las dos cantidades dadas
tienen un significado indistinto. En la de cambio la suma no es conmutativa por ser el
significado diferente de las dos cantidades.
Problema: Juan tiene 4 comics de su héroe favorito. Carmen tiene 3 comics distintos
del mismo personaje. Si se reúnen los dos a leerlos, ¿Cuántos comics tendrán en total?
Situación de cambio y parte desconocidos:
La estructura general de los problemas (las cantidades y sus relaciones) son las mismas
que la de los problemas que se plantearon inicialmente, es decir, el de cambio
aumentando (final desconocido) y combinación (todo desconocido).
Por ello, la formulación lingüística emplea términos muy parecidos para descubrir la
operación que resuelve el problema. No es posible realizar el modelado directo de los
momentos planteados en estos problemas, pues se interrumpiría.
Problema: un niño tiene 5 canicas cuando comienza a jugar. Durante el juego gana
varias canicas. Si al final tiene 8 canicas, ¿Cuántas canicas ha ganado?
Problemas de cambio con el comienzo desconocido:
En este caso un niño limitado a estrategias de modelado directo, no podría representar
el conjunto inicial del que no se precisa la cantidad.
En el problema: un niño tiene varias canicas al comenzar el juego. Luego gana 3
canicas. Al final tiene 8 canicas. ¿Cuántas tenía al principio?; el niño gana 3 canicas que
coloca encima de la mesa, al final se le dice que tiene 8 canicas que procederá a
colocar al lado de las 3 anteriores. Dado que las palabras clave están asociadas a la
adición (gana) sumará 3 y 8 para dar la respuesta correcta, 11.
9. 1.4 PROPIEDADES DE LA SUMA
Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, cambia el resultado,
obteniendo de esta forma un resultado abstracto. a+b=b+a.
Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o más
números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su
agrupamiento. Un ejemplo es: a+(b+c) = (a+b)+c
Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.
Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número entero, racional, real o
complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se
denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos,
como el de los números naturales.
Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es
igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, 4 *
(6+3) = 4*6 + 4*3.
Propiedad de cerradura: Cuando se suman números naturales el resultado es siempre
un número natural. Por ejemplo a+b=c
Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando
tienden al infinito.
11. 2.1 ALGORITMO
Como ocurre con el algoritmo de la suma, para lograr una correcta comprensión de
este algoritmo es necesario un conocimiento de la estructura del sistema de
numeración decimal y una cierta habilidad en el conteo. Facilitará mucho las cosas el
conocimiento de la sumas básicas, la tabla de sumar, el dominio del contar
descendente y del doble conteo, simultáneo, ascendente y descendente.
Para restar 693 y 542 se puede considerar que estos números corresponden a un
montón de caramelos distribuidos así: 3 caramelos sueltos, 9 bolsas de diez caramelos
cada una y 6 cajas de diez bolsas cada una. Y que de ese montón se quieren quitar 2
caramelos, 4 bolsas y 5 cajas. Para saber cuántos caramelos quedan, la forma más
sencilla de hacerlo es separar los caramelos, bolsas y cajas que hay que quitar y contar
cuántos caramelos, bolsas y cajas quedan en el montón. Para facilitar la búsqueda de
las unidades de un determinado orden, es deseable que estén colocadas en sitios
cercanos y una forma de hacerlo, como ya se dijo en la suma, es respetando los
principios del sistema de numeración, colocando las cantidades una debajo de otra y
justificadas a la derecha, esto hace que el resultado se escriba también debajo de las
citadas cantidades.
5693
- 3542
_____
2151
Las estrategias numéricas a emplear son distintas, según el tamaño de los números o
las preferencias de quien realiza los cálculos. Por ejemplo, 8 - 6 es 2 porque:
• Estrategia a) Si a 8 le quito 6 me quedan 2.
• Estrategia b) De 6 hasta 8 van 2.
• Estrategia c) 6 + 2 es 8.
El algoritmo se complica cuando algún dígito del minuendo es menor que el
correspondiente del sustraendo. Para resolver esta situación es imprescindible conocer
que la regla de formación de una unidad de un determinado orden es reversible en el
sentido de que pueden obtenerse diez unidades de un determinado orden a partir, por
“rotura”, de una unidad del orden inmediato superior.
Esta manera de restar es llamada coloquialmente “pedir prestado”. Otra forma de
hacer es la que se conoce como “pedir y pagar”.
12. Errores:
El cero en el sustraendo.
75
- 40
___
30
El cero en el minuendo.
80
- 36
___
56
No hay el mismo número de cifras en el minuendo y en el sustraendo. Colocación
incorrecta de los números en columnas a), restar unidades de un cierto orden a
unidades de órdenes distintos en minuendo b) y dejar incompleta la operación c).
a) 485
- 26
____
XXX
b) 675
-4
____
231
c) 471
- 58
____
13
13. 2.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONES DE SUSTRACCIÓN
La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata
de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una
parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia.
Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a +b=c, entonces c–b=a.
En la resta, el primer número se denomina
minuendo y el segundo es el sustraendo. El
resultado de la resta se denomina diferencia.
En el conjunto de los números naturales, N,
sólo se pueden restar dos números si el
minuendo es mayor que el sustraendo. De lo
contrario, la diferencia sería un número
negativo, que por definición estaría excluido
del conjunto. Esto es así para otros conjuntos
con ciertas restricciones, como los números
reales positivos.
En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras
palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto
de la suma.
Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo
concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.
2.3 RELACION INVERSA ENTRE LA SUMA Y LA RESTA
Hay una relación inversa entre la suma y la resta.
Ejemplo: Como 3 + 7 = 10 entonces los siguientes también son verdad:
• 10 - 3 = 7
• 10 - 7 = 3
Existen relaciones similares para la resta.
Ejemplo: Como 10 – 3 = 7 entonces lo siguientes también son verdad:
• 3 + 7 = 10
• 7 + 3 = 10
Una ecuación es balanceada o igual a cada lado del signo igual (=). Si se realiza la misma
14. operación en ambos lados de la ecuación, esta permanecerá balanceada o igual.
En el ejemplo anterior comenzamos con la ecuación 3+ 7 = 10.
• Resta el mismo número a ambos lados 3 + 7 – 3 = 10 - 3
• En el lado izquierda el 3 y el -3 producen 0 lo que deja
7 = 10 - 3
• Damos vuelta la ecuación para presentarla en una forma más normal
10 - 3 = 7
2.4 PROPIEDADES DE LA RESTA
Propiedad 1, Operación No Interna:
15. El
resultado
de restar
dos
números
naturales
(esto es,
su resta)
no tiene
porqué
salir otro
número
ro
natural.
Por esto
se dice
que la
resta de
números
naturales
no es una
propieda
d interna,
el
resultado
final
puede
pertenece
r a otro
conjunto
numérico.
Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero, ¿Qué
pasaría si hiciéramos 2-3 en lugar de 3-2?:
El resultado (-1) es un tipo de número que ya estudiaremos más adelante (los números
16. negativos) pero lo importante es que NO pertenece a los números naturales (nuestros
números naturales empezaban en el 0).
Propiedad 2, No Conmutativa:
17. El orden
de los
sumandos
influye
mucho en
el
resultado
de una
resta.
Observa
en el
siguiente
ejemplo
como el
resultado
varía
según
cómo lo
hagamos:
De hecho,
se supone
que el
número
-3 no
existe en
el
conjunto
de los
números
que
nosotros
estamos
estudiand
o, o sea,
se supone
que ni
18. 3. EXPERIMENTOS Y
AUTORES DE LA SUMA Y
LA RESTA
19. La mayoría de los estudios dedicados al significado de la adición y la sustracción se
centran en realidad en la destreza de los niños para resolver “problemas de
enunciado”. Dentro de los problemas de adicción nos encontramos con una gran
variedad como pueden ser los problemas de cambio, combinación y/o comparación.
Algunos autores han realizado diversos estudios para ver como los niños son capaces
de resolver los diferentes tipos de problemas, y aparte ver las dificultades que
encuentran en el proceso de resolución de los mismos y que ejercicios les resultan
más fáciles de resolver.
Entre estos autores podemos nombrar a Carpenter y Moser, Vergnaud, Nesher o
Brown entre otros.
Uno de esos estudios se baso en dar alguna idea de las diferencias de dificultad a la
hora de resolver problemas de diferentes tipos.
Brown: encontró que el 97% de un grupo de niños de 11 y 12 años resolvió con
facilidad problemas de unión.
Vergnaud y Durand: observaron éxitos en el 25% de los niños en problemas de
sustracción vectorial en el mismo grupo de edad.
Matthews: observo en un grupo de niños de 6-8 años que el 70% eran capaces de
resolver con éxito problemas de unión en contraste con solo el 35% correspondiente a
problemas de comparación.
Por lo tanto con estos resultados se comprobó que a pesar de que la adicción es un
proceso aplicable a la resolución una variedad de tipos de problemas, no todas las
formas de adición resultan igual de sencillas a los niños.
Además de esto, Brown por su parte llevo a cabo varios estudios sobre las dificultades
que los niños encontraban a la hora de resolver un problema de adicción.
Un problema que uso para su estudio fue: “El indicador muestra que hay 18 km al
oeste hasta Grange y 23 km hacia el este hasta Barton. ¿Cuántos km hay desde Grange
hasta Barton? (UNIÓN)
***concretamente, a Hilary, se le planteó el problema, y después le plantearon el
mismo tipo de problema con una situación más familiar, y con ayuda consiguió
resolver el problema.
20. También pidió a 58 niños de 11 y 12 años que prepararan cuentos que contuvieran las
expresiones 9+3 y 84+28 con el fin de disponer de tener pruebas de los diferentes
significados que los niños podían dar a la suma. Alrededor de la tercera parte daban un
modelo de “unión”.
Ej. Tres obreros de un edificio han puesto 84 ladrillos y un hombre ha puesto 28.
¿Cuántos ladrillos han puesto en total?
Otro tercio puso un ejemplo del tipo “adjunción”.
Ej. Pedro tenía 28 euros y su mama le dio otros 50.¿cuantos euros tiene Pedro ahora?
El tercio restante puso un problema del tipo “comparación”
Ej. Marina tenía 9 huevos y Susana 3 más. ¿Cuántos huevos más tiene una que otra?
Con este experimento podemos ver como los niños pueden atribuir diversidad de
significados a una suma.
Por otro lado, al igual que para la suma, también para la sustracción se ha diferenciado
y descrito una variedad de tipos de problemas de restas como son los problemas de
separación, comparación, adición complementaria o sustracción vectorial.
Se llevo a cabo también un estudio con niños para comprobar que problemas les
resultaban más difíciles dentro de los tipos de problemas de sustracción.
Vergnaud y Durand: encontraron que la mitad de los niños de siete años y la totalidad
de los de nueve resolvían con éxito los problemas de “quitar” mientras que eran los
niños de 10 los que resolvían problemas de adicción complementaria y los de 13, los
que resolvían los del tipo sustracción vectorial, los cuales solo supieron resolverlos la
mitad de los niños de 11 años.
Este estudio da una idea de la gama de dificultades dentro de la amplia variedad de
problemas de adición y sustracción.
También se ha comprobado que para los niños resulta más sencilla la forma de
“quitar”. Un estudio realizado por Schell y Bunrs mostró que en un grupo de niños de
7 a 8 años el orden de dificultad (menos a mayor) era: 1” quitar”, 2 “comparar” y 3
“adición complementaria”
21. Carpenter y Moser: en un estudio realizado, vieron que la mayoría de los problemas
de sustracción correspondientes a la forma “adición complementaria” eran resueltos
mediante técnicas de adición.
Azusa Pacific University (APU) constato que las 3/5partes de los de 11 años recurrían
a la forma de añadir mentalmente para resolver estos y otros problemas de adicción
similares.
Brown: comprobó, durante las entrevistas a niños de 11-13 años, que al plantearles
un problema del tipo “adición complementaria” con números mayores de 100, los
niños emplearon estrategias aditivas y en la mayoría de los casos los niños no
alcanzaron a reconocer que el problema podía resolverse con una resta.
McIntosh: por su parte, proporciona algunos ejemplos de historias escritas por niños
para efectuar la resta 72-29.
Ej. Un día en la escuela, me dijeron que hiciera la suma 72-29, la hice bien y me dieron
un positivo.(8años)
Ej. Un día había 72 niños y 29 niñas, y eso era 43 niñas y un niño.(10/11 años)
Ej. Un cocodrilo tenía 72 dientes, y a la comerse algo se le cayeron 29. ¿Cuantos le
quedaron? (9/10 años)
Ej. Tomas tiene 72 bolas y Paula tiene 29. ¿Cuántas bolas tiene más Tomas que Paula?
Estos ejemplos ponen de manifiesto que los niños pueden interpretar de muchas
maneras expresiones como 72-29, aunque los resultados sugieren asimismo que en
varios casos los niños sabían efectuar el cálculo, pero no supieron darle significado a la
expresión.
23. Para estudiar la comprensión que el niño tiene del significado y estructura de las
operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), nos basaremos
en las fases del desarrollo identificadas por Grossnickle (1959). Estas fases las
describimos como:
-El significado de la operación en casos concretos
- El cómputo y las propiedades estructurales de las operaciones.
-Comprensión de las propiedades estructurales de las operaciones.
4.1 ESTRATÉGIAS
Dentro del apartado de los métodos de la enseñanza de la suma y la resta, podemos
añadir una serie de estrategias a utilizar por el profesor que le pueden ser útiles a la
hora de estructurar una clase, como son:
1. MATEMÁTICA GUIADA: El profesor es el encargado de guiar a los alumnos a
través de un concepto matemático específico. Modela el pensamiento
matemático y aporta nuevas estrategias adaptadas al individuo, con el fin de
facilitar el aprendizaje de un concepto en particular. Este método puede ser
utilizado en cualquier momento, sin estar determinado a un grupo concreto.
2. MATEMÁTICA COMPARTIDA: Consiste en la realización de actividades en grupo,
lo que hace que los niños se comuniquen entre si, y que sea necesario el
intercambio de ideas a la hora de resolver un problema o investigar una idea
matemática.
3. MATEMÁTICA INDEPENDIENTE: Los alumnos trabajan individualmente,
teniendo en cuenta que pueden pedir ayuda al profesor si lo ven necesario. Da
libertad al alumno permitiéndole marcar su propio ritmo de trabajo y
desarrollando independencia y autoconfianza, permitiéndole aplicar su propia
estrategia.
4.2 MODELOS DE ILUSTRACIÓN
Los siguientes son modelos utilizados para ilustrar el significado de las operaciones de
adición y sustracción. Encontramos dos tipos, dependiendo si se basan en el modelo
24. discreto (Divisibles un número finito de veces) o en el continuo (Divisibles un número
infinito de veces):
- OBJETOS INDIVIDUALES (modelo discreto): Se basa en la representación de la
operación(adición o sustracción) mediante dos conjuntos de objetos
formados por cantidades discretas, como podemos ver en el siguiente gráfico:
- LONGITUDES CONTÍNUAS (modelo continuo): Representa la operación
realizada con cantidades continuas (longitudes), como podemos observar en
el siguiente gráfico:
Estos modelos se utilizan para problemas de combinación (en la suma) o partición
(en la sustracción), con objetos o longitudes. También permiten modelos de
comparación. Para este modelo su puede utilizar como material las piezas de LEGO.
Con respecto a los experimentos, no hay muchas investigaciones referentes a la
capacidad de los niños para usar estos modelos visuales a la hora de interpretar el
significado de la suma y la resta, así pues, observaremos su utilidad viendo los
experimentos realizados con las regletas de Cuissenaire (modelo continuo), y el
modelo discreto, siendo considerado el modelo tradicional. Fennema realiza en
1972 este estudio que, como síntesis muestra que ambos métodos obtienen
resultados similares y que, por tanto, ambos dan una imagen clara del concepto de
la adición y la sustracción.
25. 4.3 MATERIALES PARA LA DIDÁCTICA DE LA SUMA Y LA RESTA
RECTA NUMÉRICA:
La recta numérica es una representación lineal de los números enteros, mostrados
como puntos separados por la misma distancia entre si. La recta incluye todos los
números reales, continuando infinitamente hacia cada sentido. Se usa como ayuda
para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números
negativos.
La didáctica con la recta numérica se basa en la idea del orden de los números, para
poder determinar si un numeral es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar
que ocupa en la recta. Así, decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la
izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es
mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero.
Pongamos un ejemplo de un problema de sustracción utilizando la recta numérica:
Me quiero comprar una bicicleta que cuesta 100 Euros, si ya tengo 87, ¿cuánto dinero
me falta para poder comprarla? Utiliza la recta numérica para representarlo.
ESCALERA:
Se trata de un método lineal utilizado para aprender el oren de los números y aplicar
sumas y restas sencillas. Se basa en la sucesión de términos y consiste en colocar los
números repartidos en cada escalón de la escalera, de manera que queden ordenados
y puedan ser contados uno a uno para llegar a los resultados de operaciones. Se utiliza
para esto un dibujo como este:
Este método se utiliza mucho en
niveles superiores para
explicar las unidades de medida
de longitud (km-mm), pesos
(kg-mg)… para poder explicar
su orden y aprender a pasar de una cantidad a otra correctamente.
26. REGLETAS DE CUISENAIRE:
Las regletas Cuissenaire son un material matemático destinado a que los niños
aprendan a base de su uso, la composición y descomposición de los números, además
de iniciarles en las actividades de cálculo, todo ello sobre una base manipulativa. El
material consta de un conjunto de regletas de madera de diez tamaños y colores
diferentes, y cada regleta equivale a un número determinado, como podemos ver a
continuación:
-La regleta blanca, con 1cm representa al 1.
-La regleta roja, con 2 cm. representa al número 2.
-La regleta verde claro, con 3 cm. representa al número 3.
-La regleta rosa, con 4 cm. representa al número 4.
-La regleta amarilla, con 5 cm. representa al número 5.
-La regleta verde oscuro, con 6 cm. representa al número6.
-La regleta negra, con 7 cm. representa al número 7.
-La regleta marrón, con 8 cm. representa al número 8.
- La regleta azul, con 9 cm. representa al número 9.
-La regleta naranja, con 10 cm. representa al número 10.
Se pretenden conseguir con el uso de este material una serie de objetivos, como son
asociar la longitud con el color, establecer equivalencias, aprender a formar la serie de
numeración del 1 al 10, trabajar las relaciones de mayor qué y menor que de los
números basándose en la comparación de longitudes, realizar seriaciones, introducir la
composición y la descomposición de números, iniciación de la suma y la resta,
iniciación en los conceptos de doble y mitad y realizar repartos. Con su uso podemos
visualizar los números primos, cubos y cuadrados, división y multiplicación, divisores y
múltiplos, tablas de multiplicar, números pares e impares…
BALANZAS:
Consiste en una balanza y un conjunto de números con distinto peso, de manera que
al colocar dos números, en el otro lado debas colocar el resultado de la suma de
ambos para equilibrar la balanza, por ejemplo al colocar el 2 y el 3 en un lado de la
balanza, deberías colocar el 5 al otro lado para equilibrarla (2+3=5). Se utiliza para
aprender las operaciones sencillas, ya sea de adición o de sustracción.
27. En este enlace podemos ver un juego online basado en la balanza:
http://juegosgratisde.com/juegos-de-habilidad/juegos-matematicas/monkey-math-
balance
CUBOS LÓGICOS:
Consiste en representar mediante el cubo lógico la unidad (mostrada mediante un
dado pequeño), la decena (mostrada por una barra conformada por 10 dados), la
centena (una tabla constituida por 100 dados pequeños) y las unidades de millar
(mostrado mediante un cubo compuesto por 1000 dados pequeños).
Se utiliza para hacer al niño visualizar las
cantidades y manipularlas, de forma que
el concepto sea asimilado de forma
íntegra. Además se usa para expresar
operaciones, no solo de adición y
sustracción, sino también de
multiplicación y división.
DIAGRAMA DE VENN.
Los diagramas de Venn son ilustraciones
usadas en las Matemáticas en la teoría de
28. conjuntos. Estos diagramas se usan para
mostrar gráficamente la agrupación de
elementos en conjuntos, representando
cada uno mediante un círculo, de forma
que facilitan la comprensión de la teoría.
Sen una buena herramienta, que nos
permite realizar las operaciones entre los
diversos conjuntos de una forma más
sencilla.
ÁBACO:
Un ábaco es un objeto que sirve para realizar operaciones de suma, resta y
multiplicación y reforzar el aprendizaje y la comprensión de los algoritmos, a través de
la manipulación y el juego.
Tiene como uso principal enseñar el cálculo y su metodología. Consiste en una serie de
cuentas que han de colocarse en su posición correspondiente para expresar un
número concreto. Se utiliza deslizando las cuentas a lo largo de una serie de barras que
representan las unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar,
centenas de millar.... Estas cuentas se pueden colocar o quitar dependiendo de la cifra
que se desee representar, siendo la posición de la bolita en la barra la que determina
su valor.
En esta fotografía podemos ver un ábaco
que muestra el número 46.513. Las barras
marcan de derecha a izquierda las
unidades, decenas, centenas, unidades de
millar y decenas de millar. El número que
se representa en cada barra depende del
número de cuentas que hay en ella,
teniendo en cuenta el hecho de que,
puede haber un máximo de 9 cuentas en
cada barra, pasando la décima a la barra
siguiente.
Es un material muy eficaz para dar a entender al niño la situación de las unidades y la
importancia de la misma, así como introducirlo en sus primeras operaciones, tanto con
números grandes como con números pequeños, de manera visual. Además es muy útil
a la hora de explicar el motivo por el que al acumular diez unidades, obtenemos una
unidad nueva por ejemplo en las decenas. Pero, seguramente lo más importante de
este método es que permite la manipulación y el juego con el material, lo que motiva
al individuo y facilita el aprendizaje.
29. 4.4 MARIA ANTONIA CANALS
Propone una serie de métodos orientados a la ordenación y clasificación de elementos,
así como los primeros pasos para las operaciones básicas de un modo lúdico y sencillo.
Uno de los métodos más conocidos de los dictados por ella son las regletas, similares a
las regletas de Cuissenaire, pero ampliadas y adaptadas principalmente al alumnado
de primaria.
Las regletas de María Antonia Canals
constan, además de conjuntos de regletas
de distinto tamaño y diez colores, de una
serie de tablas cuadradas (que representan
el cuadrado del número que su color
simboliza) y cubos, que representan el cubo
del número designado, de igual manera,
por su color.
Podemos ver otros materiales explicados
por ella en el video al que conduce el enlace siguiente:
http://montessorihoy.blogspot.com/2010/02/m-antonia-canals.html
5. LA MULTIPLICACION
30. 5.1 ALGORITMO DE LA MULTIPLICACION
Un algoritmo de multiplicación es un método para multiplicar dos números. Dependiendo del
tamaño de los números, existen diferentes algoritmos. Los algoritmos de multiplicación existen
desde el advenimiento del sistema decimal. La multiplicación de números naturales está
relacionada con la adición, por lo que el producto de dos números naturales es una suma
repetida. Diremos que un sujeto comprende dicho algoritmo si es capaz de “emplearlo”
espontáneamente y con éxito en todas aquellas situaciones que lo requieran.
31. Para utilizar el método habitual para multiplicar dos números enteros, es necesario el
aprendizaje y dominio previo de las tablas de multiplicar y la propiedad distributiva del
producto respecto de la suma, además del conocimiento del sistema decimal, la
propiedad conmutativa y la capacidad de descomposición de números.
La multiplicación se empieza desde la derecha, teniendo en cuenta la colocación de las
unidades de un orden bajo las unidades del mismo orden (unidades bajo unidades,
decenas bajo decenas, centenas bajo centenas, etc.). Luego se suman los productos de
cada cifra del segundo factor por todas las del primero.
Antes de enseñar el algoritmo estándar, es bueno explicar bien a los alumnos cómo
multiplicar en partes:
Para multiplicar, por ejemplo, 2 × 76, separamos 76 a 70 y 6 (decenas y unidades).
Luego multiplicamos esas partes por separado, y sumamos los resultados.
Así calculamos 2 × 70 = 140 y 2 × 6 = 12, y sumamos 140 + 12 = 152.
Y ahora ya podremos aplicar el algoritmo a través de varios ejemplos cada vez más
complejos:
76 será el multiplicando y el 2 el multiplicador.
Se coloca el multiplicador debajo del multiplicando, haciendo coincidir las columnas de
las unidades por la derecha.
76
×2
152
Los pasos aquí son los mismos. Primero multiplicamos las unidades: 2 × 6 = 12,
anotando 2 de las unidades, y llevando 1 unidad a las decenas. Luego multiplicamos
2 × 7 = 14, añadimos el 1 que nos hemos llevado consiguiendo 15, y lo escribimos en el
lugar de las decenas.
Pero como esta manera de escribirlo es demasiado directa para los niños, existe otra un
poco más larga y detallada.
.76
×2
...12
+ 140…
152
32. Se multiplica primero 6 x 2 = 12 y luego 70 x 2 = 140 y se suman.
- Ahora tomamos la multiplicación 274 x 2.
a) Conforme a las tablas elementales, se multiplica la cifra de unidades (2) del
multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando, empezando por las unidades
(4) sumando las unidades que nos llevamos, aquí por ejemplo, al multiplicar por las
decenas (2 x 7 = 14) nos llevaríamos 1 unidad, que añadiremos como suma al resultado
de multiplicar la cifra siguiente, las centenas [(2 × 2) + 1 = 5], continuándose de igual
forma con las demás cifras del multiplicando si las hubiera.
274
×2
548
b) O bien se hace descomponiendo el número en unidades, decenas y centenas, y se
multiplica paso a paso, para después sumarlo.
( 2 x 4 = 8) + ( 2 x 70 = 140) + (2 x 200 = 400); 8 + 140 + 400 = 548.
274
×2
…8
140
+ 400…
548
Pero es mejor que los alumnos se acostumbren al primer modelo, pues si no les será
más complicado multiplicar por números de dos cifras. Además, este ultimo modelo
tan largo, alarga el algoritmo innecesariamente, no facilita demasiado las cosas, no
aprovecha la potencia del sistema decimal de numeración y se adapta más al algoritmo
de la suma.
Por ejemplo,
Si ahora nuestro multiplicador fuera de dos cifras (32) el proceso seria el mismo,
comenzar multiplicando las unidades del multiplicador (2), al igual que antes. A
continuacion, repetiriamos el proceso con las decenas (3), escribiendo el resultado
debajo de la fila anterior. Es como multiplicar (2 x 274) + (30 x 274).
33. 274
x 32………….
_______......
548…………
+ 8220………..
________.....
8768
En lugar de:
274
×32
….8
140
+ 400…
120
2100..
6000..
8768..
Un modo mas sencillo de realizar las multiplicaciones cuyo multiplicador es de dos
cifras, es en este mismo ejemplo 274x32, en lugar de multiplicar 274 x 2 y luego
escribir justo debajo el resultado de 274 x 30 para sumarlo, es multiplicar 274 x 2 y
luego 274 x 3, escribiendo el resultado debajo y un lugar más a la izquierda. Así
conseguimos realizar cálculos más sencillos (3x4, 3x7 y 3x2 en lugar de 30x4, 30x7 y
30x3). El resto será igual:
274
x 32………….
_______......
548…………
+ 822 ……..
________..
8768...
34. .
-Otro modo de algoritmo de multiplicación es la multiplicación egipcia o duplicación.
La explicaremos a través del ejemplo 68 x 9:
Se hacen dos columnas. En la columna de la izquierda colocamos el primer factor (68) y
en la segunda la unidad (1). Se van duplicando ambos escribiendo el resultado debajo
de ellos hasta acercarnos en la segunda columna lo más posible al segundo factor (9).
Entonces se suman los términos de la primera columna que corresponden a los
números que suman el segundo factor (9) en la segunda.
68 1
136 2
272 4
544 8
9 = 1 + 8 ; 68 x 9 = 68 + 544 = 612
-otro algoritmo de la multiplicación es la multiplicación rusa o por doble y mitad.
Tomaremos el ejemplo de 42 x 21
Se hacen dos columnas. En la primera colocamos el primer factor (42) y en la segunda
el segundo factor (21). El primero se duplica y el segundo se divide por dos
(suprimiendo los decimales), anotándose debajo de estos sucesivamente hasta llegar a
uno en la columna de la derecha. El resultado se obtiene sumando todos los términos
de la primera columna que corresponden a los números impares de la segunda.
42 21
84 10 (=10’5)
168 5
336 2
672 1
42 x 21 = 42 + 168 + 672 = 882
- un nuevo algoritmo bastante curioso es el geométrico, que por el momento no se
enseña en las escuelas.
Cojamos el ejemplo 34x21
Primero representaremos el número 34 con líneas. 3 líneas paralelas y un poco más
abajo 4 líneas paralelas. Luego colocamos perpendicularmente las líneas
pertenecientes al número 21, 2 a la izquierda y 1 a la derecha. Contamos los cruces de
35. la esquina superior izquierda y ponemos el número a la izquierda (4), contamos los de
la equina superior derecha y los de la inferior izquierda y los sumamos y ponemos el
número a continuación del anterior. Por último contamos los de la esquina inferior
derecha y ponemos el número. En este caso hemos obtenido un número central de
dos cifras (11), sería lo que en la multiplicación decimos comúnmente, “me llevo tantas
unidades” por lo que la pasamos a las centenas, quedando así: 714.
Si realizáramos la multiplicación del modo común para comprobarlo, veríamos que es
cierto el resultado obtenido:
34
x 21………….
_______......
34…………
+ 68 ……..
________..
714…
5.2 EL SIGNO DE MULTIPLICAR:
El signo de multiplicar (x) fue utilizado por primera vez en el siglo XVII por William
Oughtred en su obra Clavis Mathematicae en lugar de la palabra “veces”.
Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el punto para indicar la multiplicación en el siglo XVII.
36. 5.3 SITUACIONES EN LAS QUE APLICAR LA MULTIPLICACION:
- De proporcionalidad simple: se da en los contextos en los que hay que reiterar
una cantidad un número de veces (términos “cada”). Por ejemplo, 4x3=___ es
una situación en la que hay que unir 4 conjuntos de 3 objetos cada uno. Así se
formará un conjunto de 12 elementos.
un ejemplo sería: Hay 4 cajas y en cada una tenemos 13 caramelos, ¿Cuántos
caramelos hay en total?
también se pueden dar contextos de tasa, en los que se usa el término “por”.
Por ejemplo: he repartido caramelos entre 4 niños y han tocado a 3 caramelos
por niño, ¿cuántos caramelos he repartido?
- De comparación: se utilizan términos como doble, triple… y en general
“veces”. Son adiciones repetidas. Pueden ser de aumento (Javier tiene 3 veces
más que Iván), de igualdad (Javier tiene tantas veces como Iván) y de
disminución (Javier tiene 3 veces menos que Iván). Son situaciones de
comparación entre dos cantidades A y B, en la que una es el referente, otra el
comparado o referido, y se da un factor de comparación o escalar.
Javier (referido) tiene el triple (factor escalar, 3) de coches que Iván (referente).
puesto que cada una de las cantidades puede funcionar como referente o como
referido, se pueden realizar dos comparaciones que son inversas entre sí: una
de aumento y otra de disminución.
- De producto cartesiano: se pueden dar dos formas posibles de combinarse 2
conjuntos. Una es la situación de combinatoria, representable mediante
diagrama de árbol, o la situación de producto de medidas, en la que dos
magnitudes se combinan para dar lugar a una tercera, por ejemplo el área.
37. 5.4 TIPOS DE PROBLEMAS
Los problemas multiplicativos pueden ser en general de 3 tipos:
- Factor multiplicante: Juan tenía 28 lacasitos. Susana tenía 7,5 veces más.
¿Cuántos lacasitos tenía Susana?
- Razón: Hay 6 cajas y en cada una tenemos 13 caramelos. ¿Cuántos caramelos
hay en total?
- Producto cartesiano: En una tienda hay caramelos de 5 tamaños distintos y de
cada tamaño hay 13 colores distintos. ¿Cuántos caramelos distintos puedes
comprar?
5.5 PROPIEDADES:
- Propiedad conmutativa: el producto de dos números es el mismo aunque se
altere el orden de los factores.
axb=bxa
38. - Propiedad asociativa: el producto de tres números puede hacerse de dos
formas dado que es una operación binaria: puede multiplicarse primero los dos
primeros números y el resultado por el tercero, o multiplicar los dolultimos y lo
que resulte por el primero.
(a x b) x c = a x (b x c)
- Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: se obtiene el mismo
resultado si hacemos la suma y multiplicamos el resultado por el factor, que si
multiplicamos el factor por cada sumando y sumamos los resultados.
a x (b + c) = axb + axc
- Ley de composición interna: la multiplicación la cumple.
- Elemento neutro de la multiplicación = 1
5.6 MODELOS DE LA MULTIPLICACION:
Hay varios modelos de multiplicación, de los cuales cada uno enfatiza un contexto del
número.
- Modelo lineal: son modelos de recuento en los que se utiliza la línea numérica.
Se hacen intervalos de longitud “a” y el producto n x a se hace contando la
longitud “a” n veces.
- Modelo cardinal: se puede dar por un lado la unión repetida de conjuntos
normalmente con los mismos objetos, por otro, las matrices (distribución de
objetos en un esquema rectangular con filas y columnas), la representación
mediante producto cartesiano (cuadro de doble entrada o diagrama de árbol),
y utilizando conjuntos mediante diagramas de flechas.
- Modelo de medida: con las regletas de Cuissenaire (colocando las dos regletas
pertenecientes a los números a multiplicar, una encima de la otra en cruz. Se
toman tantas regletas debajo como indique la longitud de la de arriba y lo que
sumen las de abajo es el resultado) o con la balanza de platillos (colocar tantas
veces una unidad de peso indicada en el multiplicando como nos indique el
multiplicador, y en el otro platillo poner el peso que equilibre la balanza
(resultado)).
- Modelo numérico: un contexto estrictamente simbólico, y los números
simbolizados. El producto es una suma reiterada.
- Modelo de razón aritmética: comparación de dos conjuntos, o dos cantidades,
en términos de “cuantas veces más”.
39. - Modelo funcional: la multiplicación aparece con carácter de función u
operador. Hay un estado inicial (2), un estado operador (x4) y un estado final
(12).
5.7 NIVELES DE ENTENDIMIENTO DEL ALGORITMO: UN ESQUEMA
CLASIFICATORIO
De un análisis de las situaciones en las que aparece sentido el algoritmo estándar del
producto elaboramos una clasificación con cuatro categorías básicas de utilización que
proporcionan distintos indicadores de la comprensión de este algoritmo:
- Categoría 1 (Identificativa): En esta categoría de referencia el algoritmo de la
multiplicación no se utiliza de ningún modo pero es reconocido por el alumno
como un método de cálculo distinto al de la suma o la resta.
- Categoría 2 (Sintáctica): El algoritmo se utiliza de forma mecánica como un
instrumento para resolver:
a) Ejercicios donde se presentan números de diferentes para multiplicar.
Son tareas típicas escolares planteadas a los alumnos para que practiquen y
mejoren su destreza en el manejo del algoritmo. Éste aparece
descontextualizado, sin relación alguna con el concepto de multiplicación.
b) Problemas aritméticos de enunciado verbal de estructura multiplicativa
escolares y situaciones que tienen lugar en un contexto no escolar donde es
necesario multiplicar para resolver un problema (situaciones de mercado,...).
En estos casos, el algoritmo de la multiplicación compite con otros métodos
alternativos de cálculo escrito o mental y con la calculadora.
- Categoría 3 (Funcional): De usar el algoritmo clásico del producto como
herramienta se pasa a razonar sobre su propio mecanismo en problemas donde
se ponen en juego procedimientos heurísticos (por tanteo, reglas empíricas…).
Se incluyen en esta categoría la resolución de multiplicaciones con cifras
desconocidas (unas tareas en las que hay que relacionar aspectos del
funcionamiento y la estructura del algoritmo).
- Categoría 4 (Justificativa): Problemas de justificar regularidades y propiedades
acerca del algoritmo tradicional de la multiplicación. El conocimiento de los
principios en los que se fundamenta el algoritmo es requisito indispensable
para poder abordar los problemas de esta categoría.
Para determinar la comprensión que tiene un alumno del algoritmo estándar
del producto será necesario analizar cómo es utilizado en cada una de las
situaciones señaladas.
Para terminar podemos decir que la comprensión de la multiplicación y su
algoritmo se van desarrollando progresivamente con los años, sirviendo de
ayuda elementos tales como los diagramas, o la calculadora (ayuda a fijar la
atención en la estructura y el orden del problema).
41. 6.1 DEFINICION ARITMETICA
La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar
cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La
división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental,
inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.
Según su resto, las divisiones se clasifican como exactas si su resto es cero (r = 0),
transcriptas como a = b · c , ó inexactas (r ≠0) cuando no lo es, siendo r mayor que d (el
divisor), en este caso, su transcripción sería a = b · c + r con 0 ≤ r ‹ b .
Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no es exacta, es
decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la
operación tendrá un resto o residuo, donde:
Que también puede expresarse:
Dividendo = cociente × divisor + resto
6.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONES
Dividir un nº n por un nº d, es repartir un conjunto de n elementes en tantos
subconjuntos de d elementos en tantos subconjuntos de d elementos como sea
posible. El nº de subconjuntos es el cociente y los que quedan el resto.
6.3 FORMALIZACION DE LA DIVISION
Resta reiterada de sustraendos iguales. a : b = ((a - b) - b) - … ..
…
De esta manera 21 : 7 = ___ se puede interpretar como restar tantos 7 de 21 como sea
necesario hasta que el resto sea cero o un número menor que 7, es decir, la división
considerada como una sustracción repetida.
En el caso 21 : 7 tenemos que: 21 – 7 = 14, 14 – 7 = 7, 7 – 7 = 0 (el cociente es tres, que
es el número de veces que hemos restado siete).
El dividendo se corresponde con el minuendo inicial de la sustracción, el divisor con el
sustraendo que se repite y el cociente es el número de veces que el sustraendo puede
restarse del minuendo inicial.
42. 6.4 ALGORITMO DE LA DIVISION
En la aritmética el algoritmo de la división, también llamado división euclídea, es un
teorema que afirma que para cualesquiera enteros D y d, llamados dividendo y divisor
respectivamente, con d no nulo, existen enteros únicos c y r, llamados cociente y resto
respectivamente, tales que
y .
El algoritmo de la división suele ser representado de acuerdo al modelo:
EXPLICACION EJEMPLIFICADA DEL ALGORITMO DE LA DIVISION:
Un algoritmo para dividir dos números, por ejemplo 8593 (dividendo) y 23 (divisor), es
el siguiente:
Se escribe el dividendo a la izquierda y el divisor a la
derecha, contenido en una escuadra abierta hacia la
derecha o galera.
Se toma la primera cifra del dividendo (8) y se divide por
la primera del divisor (2). En el caso de que la primera
cifra del dividendo sea menor que la del divisor se toman dos cifras del dividendo.
Ahora se trata de encontrar el máximo cociente que multiplicado por el divisor sea
menor que las dos primeras cifras del dividendo (o tres en el caso señalado).
Puesto que 8:2=4, se multiplica 4x23=92, que excede a 85 (es decir, 92>85), por lo que
se toma una unidad inferior, en este caso 3. En efecto, 3x23=69. Este producto se resta
de las dos primeras cifras (o tres en el caso señalado), obteniendo 85-69=16.
A este resto se le añade la cifra siguiente del dividendo, 9. Con dicho número, 169, se
procede de igual manera que con las primeras cifras, y sucesivamente con todas las
cifras del dividendo.
Las dos primeras, en este caso, 1<2. 16:2=8. 8x23=184; 169<184. Por lo que
consideramos una unidad menos, 7x23=161, cuyo resto con 169 es 8. Se "baja" ahora
la cifra siguiente del dividendo 3, formándose ahora el número 83. 8:2=4; 4x23=92;
83<92. Se toma el 3. 3x23=69; 83-69=14.
Al no haber más cifras del dividendo, este 14 es el resto, que siempre ha de ser menor
que el divisor.
El resultado es el siguiente: 8593 dividido por 23 da un cociente de 373 y un resto de
14; donde se ha de verificar que: 373x23+14=8593.
43. 6.4 PROPIEDADES
Propiedad 1, Operación No Interna:
El resultado de dividir dos números naturales (esto es, su cociente) no tiene por
qué salir otro número natural.
Por esto se dice que el cociente de números naturales no es una propiedad
interna, el resultado final puede pertenecer a otro conjunto numérico.
Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero,
¿qué pasaría si hiciéramos 2 : 4 en lugar de 4 : 2?
Propiedad 2, No Conmutativa:
El orden de los sumandos influye mucho en el resultado de una división.
Como ya hemos visto:
Propiedad 3, Elemento Neutro:
Un elemento Neutro es un número que hace que al dividir "no ocurra nada", o
sea, cuando tenemos un número y lo dividimos entre su elemento neutro, nos
sigue apareciendo el mismo número. Así el 1 es el elemento neutro de la
división porque cuando a un número cualquiera lo dividimos entre 1, se sigue
quedando el mismo número.
Por ejemplo:
Propiedad 4, El cero y la división:
44. 1. Cero dividido entre cualquier número da siempre 0. Esto también tiene
mucho sentido, si no tenemos ninguna bola que repartir, a todos nos
tocarán 0 bolas siempre.
2. No se puede dividir por 0. En la división no es posible tener 20 bolas y
no repartirlas entre nadie.
Propiedad 5, La división exacta:
En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.
Por ejemplo: 6=3·2
D=d·c
Propiedad 6, La división entera:
En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente
más el resto.
Por ejemplo: 7=3·2+1 D=d·c+r
6.6 RELACION INVERSA ENTRE LA MULTIPLICACION Y LA DIVISION
La multiplicación y la división son operaciones inversas.
De una multiplicación obtenemos dos divisiones exactas, y de una división exacta, una
multiplicación y otra división del mismo tipo.
7 · 5 = 35 → { 35 : 7 = 5 35 : 5 = 7
42 : 6 = 7 → { 7 · 6 = 42 42 : 7 = 6
Para todo par de números naturales ay b b≠ 0, a : b es el único número natural c, si
existe, tal que b · c = a, es decir, a : b =c ↔ a= b · c .
De tal manera que si queremos obtener el cociente de 35 : 7 = ___ podemos obtenerlo
buscando el número que multiplicado por 7 nos da 35, es decir: 35 = 7 · ___ .
6.7 DIVISIBILIDAD
45. Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si
existe un tercer entero c tal que: b = a · c
Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o
también b es múltiplo de a.
Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no
existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división entera de 6 entre 4 no
es cero.
Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que
no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que
admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:
• Un número es divisible por 2 si es par (su última cifra es 2, 4, 6, 8 ó 0).
• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Un número es divisible por 4 si el número formado por las últimas dos cifras es
múltiplo de 4 o termina en doble 0.
• Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
• Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3.
• Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra
de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7.
• Un número es divisible por 8 si el número formado por las últimas tres cifras es
múltiplo de 8.
• Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Un número es divisible por 10 si termina en 0.
• Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores
absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de
los lugares impares, en el sentido posible, es múltiplo de 11.
• Un número es divisible por 12 si es divisible por 3 y 4.
Estos criterios sirven en particular para descomponer los enteros en factores primos, lo
que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.
6.8 DIVISON CUOTITIVA Y LA DIVISION PARTITIVA
46. El reparto de una cantidad de objetos pude hacerse de dos maneras, lo que conduce a
la distinción de dos tipos de división.
La división cuotitiva (agrupamiento): Considerada la división como medida.
Físicamente el reparto se realiza separando sucesivamente subconjuntos de cuatro
elementos hasta que no podamos quitar más, es decir, se trata de una resta sucesiva y
tenemos que averiguar cuántas veces se puede resta un nº d a otro nº D. Lo que
desconocemos en esta ocasión es: ¿cuántos subconjuntos podré formar?
Por ejemplo: 21 : 3 = ___ puede significar que hay un conjunto de 21 objetos
con los que se quieren formar subconjuntos de 3 elementos cada uno.
La división partitiva (repartir) : Considerada la división como partición. El reparto se
realiza colocando un objeto en cada una de sus partes, a continuación otro y así
sucesivamente hasta que se agotan los elementos a repartir. En este caso la pregunta
que plantea el procedimiento: ¿cuántos objetos habrá en cada parte?
Por ejemplo: 21: 3 = ___ también puede sugerir que tenemos un conjunto de
21 objetos que deberá ser separado en 3 partes iguales.
6.9 PROBLEMAS
DIVISIÓN CUOTITIVA:
- María tiene 25 ceras de colores y quiere repartirlas entre ella y sus compañeros de clase
Pablo, Alicia, Alberto, Joseja y Ana. ¿Entre cuántos podrá repartir sus ceras si regala 5 a cada
uno? ¿Cuántos se quedarán sin las ceras de María?
- Víctor compra varios paquetes de 13 chicles cada uno; en total ha comprado 52 chicles,
¿cuántos paquetes ha comprado?
- Hay 24 niños jugando en casa de Pablo. En cada habitación juegan 8 niños. ¿En cuántas
habitaciones hay niños jugando?
DIVISIÓN PARTITIVA:
- Lucía e Irene quieren invitar a sus amigos Virginia, Raúl, Estela y María a golosinas. Entre las
dos tienen 80 céntimos. Si cada golosina cuesta 5 cent., ¿cuántas golosinas podrá comer cada
uno?
- En un cumpleaños hay 8 invitados; el cumpleañero ha comprado en total 48 golosinas
diferentes procurando dar el mismo número a cada uno, ¿cuántas golosinas podrá comer cada
invitado?
-Mi madre ha partido una tarta en 12 trozos. Reparte los trozos entre 6 de mis amigos. Para
que todos mis amigos coman por igual, ¿cuántos trozos de tarta podrán comer cada uno?
6.10 MODELOS ASOCIADOS A LA DIVISION
47. Hay varios modelos asociados con la división y cada uno de estos enfatiza un contexto
particular del número.
a) Modelos lineales: Considerado como modelo de recuento. Utiliza la línea numérica
tiene un soporte gráfico, el producto n · a (“n vec3es a”) se modeliza formando un
intervalo de longitud a unidades y contando n veces. Cuando la recta no tiene soporte
material se cuenta sobre la sucesión numérica de a en a, hasta n veces ese recuento.
0 1 2 3 4 5
El esquema de la división es similar; consiste en contar hacia atrás desde el dividendo,
y de tanto en todo, según indique el divisor. El número de pasos dados es el cociente.
En este caso se cambia el modelo usual de la división, el divisor no es ahora el número
de partes que se hacen, sino la cantidad igual a que toca cada parte.
Si el divisor es pequeño, 2 o 3, puede intentarse con el modelo de la línea numérica, su
división en las partes iguales correspondientes, sin cambiar así los papeles del divisor y
el cociente.
La utilización más sencilla de este modelo es como resta reiterada y contando hacia
atrás, y no tanteando los puntos en los que la longitud total del dividendo queda
partida en partes iguales.
b) Modelos cardinales: Es utilizado en un contexto cardinal. Las matrices son una
distribución de objetos en un esquema rectangular. La división 24: 8 = ___ puede
representarse preguntando cuántas columnas hay en una matriz de 24 elementos
dispuestos en 8 filas
c) Modelos de medida: Las regletas de Cuisenaire nos proporcionan un modelo
adecuado del número como longitud. Para realizar la división 12 : 4 utilizando las
regletas se hace una fila de reglas de longitud 12 y a continuación se hace otra fila de
igual longitud con una regleta de longitud 4; como las 4 regletas tiene la misma que la
fila inicial, 12 : 4 = 3.
Para representar la división 6 :3 = ___ se cuelga una pesa en el gancho del número 6 y
se colocan el número de pesas (con igual peso que la anterior) que sean necesarias en
el número tras del otro brazo para que se equilibre la balanza.
48. La división con estos materiales consiste en establecer la equivalencia entre una
longitud o peso global (dividendo) y otro más pequeño (divisor) que hay que reiterar
varias veces hasta conseguir el equilibrio. El número de veces en ambos casos se
obtiene contando y nos da el cociente.
d) Modelos numéricos: Estos modelos son estrictamente utilizados en un contexto
simbólico, y los números aparecen únicamente simbolizados. La división se interpreta
como una resta reiterada 12 : 4 consiste en ver cuántas veces puede restarse 4 de 12,
hasta llegar a 0.
e) Modelos funcionales: La división aparece con el carácter de función u operador.
:4
12 ---------- Operador -------» 3
Estado Estado
En este caso cada opción se puede considerar como una máquina-operador que
transforma números-estados en números-estados. Se suele decir que cada máquina es
inversa de la otra. En este modelo se pone de manifiesto la multiplicación y la división
como operaciones inversas.
N · 3 = 18 ↔ 18 : 3 = n
6.11 ESTRATEGIAS
Las estrategias de cálculo empleadas por los niños cuando resuelven problemas de
división varían en función de su edad, su desarrollo y su habilidad. Entre las iniciales
destacan:
1. Modelar directamente una situación mediante materiales concretos.
2. Contar en grupos, a menudo utilizando los dedos para representar los
grupos y a veces empleando los dedos como un lote de los grupos ya
contados.
3. Recitar patrones numéricos, p.ej. “3, 6, 9, 12, 15…”
4. Aplicar directamente hechos numéricos conocidos.
5. Aplicar hechos derivados.
49. 7. EXPERIMENTOS Y
AUTORES DE LA
MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN
50. Numerosos autores han señalado que la multiplicación y la división son
considerablemente más difíciles que la adición y la sustracción. Nesher y Katriel
demuestran que estas operaciones necesitan unas definiciones mucho más complejas
a la hora de definirlas lógicamente.
Luriya, se dedico a experimentar con enfermos mentales y descubrió que podían
resolver adiciones y sustracciones, e incluso problemas simples de división, pero en vez
de representar por ejemplo 12 : 6 = 6 representaban 12 – 6 = 6
Hart también en sus experimentos descubrió que a la hora de realizar problemas de
razón, la mayoría de los niños hacía una suma reiterada en lugar de una multiplicación.
Brown en sus investigaciones, pidió a los niños que les plantearan distintos enunciados
a una serie de expresiones aritméticas y llegó a la conclusión de que la mayoría fallaba
en la multiplicación, después en la división y donde menos fallos se producían era en la
sustracción.
Brown atribuyó a esta dificultad superior a que en la adición y sustracción son
conjuntos que se combinan o disocian y en la multiplicación y división sin embargo
aparte de conjuntos de elementos diferentes, es preciso asociar en cada caso a un
elemento de uno de los conjuntos con un subconjunto del otro conjunto.
Brown también atribuyó una palabra a cada operación de esta manera:
Suma: Añadir
Resta: Quitar
División: Repartir
Multiplicación: Tantas veces
Tantas veces no es un concepto que quede muy claro y por eso puede pensarse que a
los niños les cueste asignarle un claro significado.
51. Juan tenía 3 coches. Juana 4 veces más
Factor Multiplicante (Brown)
que él. ¿Cuántos coches tiene Juana?
4 niños tienen 3 coches cada uno. Razón (Brown)
¿Cuántos coches tienen en total? Isomorfismo de medidas (Vergnaud)
Un coche se fabrica en 4 tamaños y 3
Producto cartesiano (Brown)
colores. ¿Cuántos coches diferentes se
Producto de medidas (Vergnaud)
pueden fabricar?
Por último autores como McIntosh, Brown y Kücheman sugieren que la multiplicación
también resulta más difícil puesto que a menudo se confunden sus enunciados con
problemas de adicción o de sustracción.
Autores como Vergnaud y Brown se encargaron de clasificar los diferentes tipos de
problemas de la multiplicación. Dividieron los problemas en 3 tipos diferentes:
Brown realizó investigaciones para descubrir cuál de los dos últimos les resultaba más
sencillo a los niños y descubrió que el producto cartesiano les resultaba mucho más
complicado.
Brown también les pidió a un grupo de 66 niños que hiciesen un enunciado para un
problema 9 x 3 y los resultados sacaron a la luz que la mayoría de los que lo hacían
bien utilizaban el método de Razón, después el Factor multiplicante pero ninguno
utilizó el producto cartesiano.
Brown y McIntosh llegaron a la conclusión de que los niños interpretaban de manera
más fácil lo que era la multiplicación a través de una división.
Brown también divide los problemas de división en dos grupos:
Juan tiene 12 caramelos. Si los coloca en
Repartir (Brown)
4 hileras iguales, ¿Cuántos ha de poner
Repartir (William y Moore)
en cada una?
Juan tiene 12 caramelos, quiera
Agrupamiento (Brown)
colocarlos en hileras de 4, ¿Cuántas
Sustracción repetida (William y Moore)
hileras puede hacer?
Hill y Brown al hacer experimentos para probar la diferencia entre estos modelos
concluyen que hay poca diferencia de dificultad entre ambos modelos, pero
Gunderson y Zweng al hacer experimentos con niños más pequeños (de 4 a 8 años)
obtienen que los de agrupamiento les resultaban más sencillos.
52. Pero sin embargo a la hora de plantear enunciados de problemas para la operación
9 : 3 demostraban que la mayoría de los niños los planteaban de repartir,
probablemente porque es la palabra a la que asocian la división de pequeños.
8. ESTUDIO
EXPERIMENTAL
53. El estudio experimental que hemos realizado consiste en pasar una serie de problemas
relacionados con el análisis de las cuatro operaciones de las que tarta nuestro trabajo.
Estos problemas han sido realizados por los componentes del grupo y repartidos en
tres colegios diferentes, el C.P Feria-Isabel Morán, el CP Luis de Mateo y el CP San
Pablo.
Los criterios de creación de los problemas han sido sus distintos tipos dependiendo de
la operación de la que hablamos. El objeto de estudio planteado fueron los
descubrimientos de los distintos niveles de comprensión y resolución que demuestran
los alumnos en la proceso de solución del problema referentes a estas operaciones. Ha
sido necesaria la aplicación de los conocimientos de las operaciones y adaptarlos
correctamente al enunciado utilizando el método de cálculo apropiado en cada caso.
En conclusión, los alumnos resuelven con mayor éxito los problemas relacionados con
la suma (a excepción de la sustracción vectorial, en la que muestran un notable déficit
de planteamiento), y con la multiplicación. Por el contrario observamos importantes
carencias y dificultades a la hora de resolver problemas relacionados con la resta y la
división, en las cuales, no llega al 50 % de los alumnos tomados como muestra,
resuelve satisfactoriamente los ejercicios matemáticos planteados.
De forma más general los niveles de comprensión y resolución más elevados
observados se concentran durante el 1º y 2º ciclo de primaria, mientras los más bajos
se localizan en el 3º ciclo de primaria, donde los problemas son resueltos de forma más
caótica, menos estructurados, y con porcentajes más altos de planteamientos
erróneos en el proceso resolutivo.
SUMA:
Suma: (1º ciclo, 2º primaria)
-Adición/añadir: el 81’82% resuelve bien este problema, la mayoría de los fallos vienen
al hacer el algoritmo o equivocarse al plantear los datos.
-Comparación: el 54’55% de los alumnos obtiene el resultado correcto, los fallos
vienen porque resuelven dos veces la operación.
54. -Sustracción complementaria: 50% de los alumnos consiguen hacerlo bien. Los fallos
provienen de plantear una resta en vez de una suma.
-Unión: 86’36% lo resuelven adecuadamente. Errores en el planteamiento de los
datos.
-Unión (números con letra): 77’27% consiguen resolverlo. Los que lo hacen mal se
equivocan al escribir con cifras los números.-Adición vectorial: 22’70%. La mayoría de
errores viene de sumar todos los datos.
RESTA:
Resta: (1º ciclo, 2º primaria)
-Separación: un 41’6% de los niños resuelven bien este problema, mientras que 58’4%
no entiende el tipo de operación que deben emplear, sustituyendo la resta por la
suma.
-Comparación: un 50% lo hace bien y el otro 50% no lo resuelve de manera adecuada,
volviendo a confundir la resta con la suma.
-Adición complementaria: Un 16’6% consigue obtener el resultado adecuado, mientras
que un 83’4 % no lo hace bien. Suman todos los datos de una vez.
-Sustracción vectorial: El 25% lo resuelve adecuadamente, mientras que el 75% se
equivoca, porque la mayoría de ellos escogen como operación sumar.
MULTIPLICACION:
Suma, resta y multiplicación (2º ciclo, 3º y 4º de primaria)
-Sustracción vectorial de la suma: un 91´7% plantea correctamente este tipo de
problema, mientras que el 8´3% no lo consigue.
-Sustracción vectorial de la resta: los resultados de la resolución de estos problemas
son en un 66´6% tal y como se esperaban y son resueltos correctamente, mientras que
en 33´4% estos resultados son negativos y los niños no lo resuelven positivamente.
-Razón de la multiplicación: en todos los casos sometidos a experimentación, los
alumnos resuelven con éxito este tipo de problemas.
-Factor multiplicante: en todos los casos estudiados, el alumno comprende y resuelve
correctamente este tipo de problemas.
-Producto cartesiano: en su gran mayoría, el 75% de los alumnos saben resolver estos
ejercicios correctamente, y solo una minoría del 25% no lo hace. Una curiosidad es que
55. los niños recurren a la representación gráfica, evitando realizar cualquier operación en
el proceso de resolución.
*** Aproximadamente, más de la mitad de los casos estudiados suman en vez de
multiplicar en ejercicios que requieren la multiplicación en el proceso resolutivo,
mientras, el resto del alumnado, multiplica cuando procede.
Multiplicación: (3º ciclo, 6º primaria)
- Razón: el 100% de los alumnos lo hicieron bien.
- Factor multiplicante: el 70’5% de los niños lo plantearon bien (aunque un 29’5% se
equivoco al multiplicar), y el otro 29’5% no lo plantearon bien.
- Producto cartesiano: el 94% de la clase lo hizo bien y el 6% lo resolvió mal.
DIVISION:
División: (2º ciclo, 3º y 4º de primaria)
-División partitiva: el 46´6% de los alumnos superan exitosos estos problemas,
mientras que les superan algunos que no lo hacen en un 58´3%, los cuales no lo
resuelven por completo.
-División cuotitiva: la dificultad de estos ejercicios es muy similar a la anterior, con un
porcentaje del 42´3% de aciertos y un 57´7% de fracaso en su resolución.
División: (3º ciclo, 6º de primaria)
- Repartir: un 35’5% de los niños lo hizo mal mientras que el resto, un 64’5% lo resolvió
correctamente
- Mezcla multiplicación-división-resta-suma: un 41’2% de los alumnos lo hizo
correctamente y el otro 58’82% se equivoco al resolverlo.
-Agrupar: Un 32’5% consigue resolver bien el ejercicio, mientras que 68’5% falla en
este problema.
