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Estimacion

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DPTO. DE FÍSICA Y MATEMÁTICA CÁTEDRA: ESTADÍSTICA TEMA Nº 6. ESTIMACIÓN PARÁMETRO: Es cualquier característica de una población que sea medible. Un parámetro es una medida que se calcula para describir una característica de una población completa. Se denota “ θ ”. ESTADÍSTICO: Es una medida que se calcula para describir una característica a partir de solo una muestra. Se denota “ ˆ ”. μ Población Muestra X σ2 s2 ρ ˆ ρ Parámetros Estadístic os θ ˆ ESTIMACIÓN: Consiste en la búsqueda de uno o varios parámetros de una población entre la que se ha efectuado un muestreo. Por ejemplo, Un candidato para un puesto público desea estimar la proporción real de votantes que lo apoyan mediante la obtención de las opiniones de una muestra aleatoria de n votantes. La fracción de ellos que lo apoyan puede usarse como una estimación de la Proporción real de la población total de votantes. Este problema pertenece, entonces al área de Estimación. CARACTERÍSTICAS DESEABLES DE UN ESTIMADOR:
  • 2. Es posible definir muchas estadísticas para estimar un Parámetro desconocido θ . Por ejemplo, puede elegirse la Mediana muestral para estimar el valor de la media Poblacional, o también la Media muestral. Entonces, ¿Cómo seleccionar un buen estimador de θ ? , ¿Cuáles son los criterios para juzgar cuando un estimador de θ es “bueno” o “malo”?. Si se piensa en términos de estimadores humanos como se encuentran en las grandes compañías, entonces, quizá un buen estimador es aquella persona cuyas estimaciones siempre se encuentran muy cercanas a la realidad. De aquí surgen dos propiedades deseables de un estimador: 1. La distribución muestral de ˆ debe tener una media igual al parámetro θ estimado 2. La varianza del estimador debe ser la menor posible 1. ESTIMADOR INSESGADO: Un estimador debe estar próximo en algún sentido al valor verdadero del parámetro desconocido. Se dice que ˆ es un estimador insesgado de θ si el valor esperado de ˆ es igual a θ . Esto equivale a afirmar que la media de la distribución de probabilidad de ˆ (o la media de la distribución de muestreo de ˆ ) es igual a θ . Si E( ˆ ) = θ , entonces el estimador es insesgado Si el estimador no es insesgado, entonces: E( ˆ ) - θ = sesgo En ocasiones existen varios estimadores insesgados del parámetro ( θ ) de la población. 2. VARIANZA DE UN ESTIMADOR: La varianza de un estimador insesgado es la cantidad más importante para decidir qué tan bueno es el estimador para estimar un parámetro θ . Por ejemplo, sean ˆ 1 y ˆ 2 dos estimadores insesgados del mismo parámetro poblacional. Se dice que ˆ es un 1 estimador más eficiente de θ que ˆ 2 si Var( ˆ 1 ) Var( ˆ 2 ). Es muy común utilizar el cociente Var( ˆ ) / Var( ˆ ) para determinar la eficiencia relativa de 1 2 ˆ con respecto a ˆ 1 .“Si se consideran todos los estimadores 2 insesgados posibles de θ , aquel con la varianza más pequeña recibe el nombre de estimador más eficiente de θ .
  • 3. ˆ1 ˆ3 ˆ2 θ Para la figura anterior, se observa claramente que solo ˆ sony ˆ 1 2 insesgados, dado que sus distribuciones se centran en θ . El estimador ˆ 1 tiene varianza más pequeña que ˆ , por tanto es más eficiente. En 2 consecuencia el estimador de θ que se seleccionaría es ˆ 1 . TIPOS DE ESTIMACIÓN: 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL: Una estimación puntual de algún parámetro θ de ˆ la población es un valor numérico θ de la estadística ˆ . Los estimadores más frecuentes de los siguientes parámetros son: Parámetro Estimador más probable μ x , la media muestral σ2 o σ s2 o s, la varianza muestral o desviación estándar muestral ρ ˆ ρ =X/n, la proporción muestral, donde x es el número de objetos en una muestra aleatoria de tamaño n que pertenece a la clase de interés μ1 μ2 x1 x 2 , la diferencia de medias muestrales de dos muestras aleatoria independientes ρ1 ρ2 ˆ ˆ ρ1 ρ2 , la diferencia entre las proporciones de dos muestras aleatorias independientes 2. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS: En muchas situaciones, una estimación puntual no proporciona información suficiente sobre un parámetro θ . Por ejemplo, si se tiene interés en estimar la resistencia promedio a la tensión de cierto elemento estructural, es probable que un solo número no sea tan significativo como un intervalo, dentro del cual se espera encontrar el valor
  • 4. de este parámetro. El intervalo estimado recibe el nombre de Intervalo de Confianza. Una estimación por intervalos de un parámetro desconocido θ es un intervalo de la forma l θ u , donde los puntos extremo l y u dependen del valor numérico de la estadística ˆ para una muestra en particular y de la distribución de muestreo de ˆ . De la distribución de muestreo de ˆ es posible determinar los valores de l y u tales que la siguiente proposición sea verdadera: P( l θ u ) = 1 - ; 0< <1 Por tanto se tiene una probabilidad de 1- de seleccionar una muestra que produzca un intervalo que contiene el valor verdadero de θ . El intervalo resultante: l θ u Se conoce como Intervalo de Confianza del 100 (1- ) por ciento. Las cantidades l y u se denominan límites de confianza inferior y superior y 1- es el coeficiente de confianza. De tal forma, cuando =0,05, se tiene un Intervalo de confianza del 95% y cuando =0,01 se tiene uno del 99%. Entre mayor es el intervalo de confianza se tiene más seguridad de que el mismo contenga el parámetro desconocido. Un intervalo del tipo l θ u , recibe el nombre más apropiado de Intervalo de Confianza Bilateral. También existen intervalos de confianza Unilaterales: θ l y θ u , donde los límites de confianza se eligen de modo que: P( θ l ) = 1- y P( θ u ) = 1- A continuación se presentan métodos para encontrar Intervalos de Confianza para Medias, Varianzas y Proporciones: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN CON VARIANZA CONOCIDA: Si x es la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con varianza conocida σ 2 , un intervalo de confianza para μ del 100(1- ) por ciento esta dado por: σ σ X - Z1-α 2 μ X Z1-α 2 n n
  • 5. Donde Z α 2 es el punto en la Distribución Normal Estándar que corresponde al porcentaje /2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS CONOCIDAS: Si x1 y x 2 son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones con varianzas conocidas σ1 y σ 2 2 2 respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para μ1 μ2 esta dado por: σ1 2 σ2 σ1 2 σ2 x1 - x 2 Z1 α2 2 μ1 μ2 x1 - x 2 Z1 α2 2 n1 n2 n1 n2 Donde Z α 2 es el punto en la Distribución Normal Estándar que corresponde al porcentaje /2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN CON VARIANZA DESCONOCIDA: Si x y s son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con varianza desconocida σ 2 , un intervalo de confianza para μ del 100(1- ) por ciento esta dado por: S S X - t1-α 2,n 1 μ X t1-α 2,n 1 n n Donde Tα 2 es el punto crítico superior que corresponde al % /2 en la Distribución T con n-1 G.L. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES: Si x1, x 2 y s1 , s 2 son las medias y las varianzas de dos 2 2 muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones con varianzas desconocidas pero iguales σ1 σ 2 2 2 respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para μ1 μ2 esta dado por: 1 1 1 1 x1 - x 2 t1 α 2,n1 n2 2 Sp μ1 μ2 x1 - x 2 t1 α 2,n1 n2 2 Sp n1 n2 n1 n2
  • 6. Donde Sp se denomina Estimador combinado de la desviación estándar común de la población: n1 1 s1 n2 1 s2 2 2 Sp n1 n2 2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y DIFERENTES: Si x1, x 2 y s1 , s 2 son las medias y las varianzas de dos 2 2 muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones con varianzas desconocidas y diferentes σ1 σ 2 2 2 respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para μ1 μ2 esta dado por: 2 s1 s2 2 s1 s2 x1 - x 2 t1 α 2,ν 2 μ1 μ2 x1 - x 2 t1 α 2, ν 2 n1 n2 n1 n2 Donde “v” son los grados de libertad, y están dados por: 2 s1 n1 s 2 n2 2 2 v 2 2 2 s1 n1 s 2 n2 2 n1 1 n2 1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACIÓN: Si s2 es la Varianza de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una distribución normal con varianza desconocida σ 2 , entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para σ 2 esta dado por: (n 1) S2 (n 1) S2 σ2 χ1 α 2,n 1 2 χ 2 2,n 1 α Donde χ 2 2 y χ1-α 2 son valores en la Distribución Chi-Cuadrado de v=n-1 α 2 grados de libertad
  • 7. INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES: Si s1 y s 2 son las Varianzas de dos 2 2 muestras aleatorias e independientes de tamaño n1 y n2 respectivamente, tomadas de poblaciones normales, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para σ 1 σ 2 esta dado por: 2 2 2 s1 1 σ1 2 2 s1 1 2 s2 fα 2,n1 1,n2 1 σ2 2 2 s2 f1 α 2,n2 1,n1 1 Donde: 1 fα 2,n1 1,n2 1 f1 α 2,n2 1,n1 1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE UNA ˆ POBLACIÓN: Si ρ es la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que pertenece a una clase de interés, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para la proporción ρ de la población esta dado por: ˆ ˆ p (1 p) ˆ ˆ p (1 p) ˆ p Z1 α 2 p ˆ p Z1 α 2 n n Donde Z α 2 es el punto en la Distribución Normal Estándar que corresponde al porcentaje /2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE ˆ ˆ PROPORCIONES POBLACIONALES: Si ρ1 y ρ 2 son las proporciones de éxitos en dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2 respectivamente, que pertenecen a una clase de interés, entonces un intervalo de confianza del 100(1- ) por ciento para ρ1 ρ2 esta dado por: ˆ ˆ ρ1q1 ˆ ˆ ρ 2 q2 ˆ ˆ ρ1q1 ˆ ˆ ρ 2 q2 ˆ ˆ ρ1 ρ 2 Z1-α 2 ρ1 ρ 2 ˆ ˆ ρ1 ρ 2 Z1-α 2 n1 n2 n1 n2 Donde: ˆ ˆ q1 1 ρ1 y ˆ q2 ˆ 1 ρ2

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