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Superficies en R4                       BibliografíaResumen          Gema R. Quintana Portilla   Superficies en R4
Superficies en R4                            BibliografíaBibliografía     W. Klingenberg.     Curso de Geometría Diferencia...
Superficies en R4                             BibliografíaBibliografía     R.W.R. Darling.     Differential forms and Conne...
Superficies en R4                             BibliografíaBibliografía     J.A. Little.     On singularities of submanifold...
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  1. 1. Superficies en R4 Bibliografía Superficies en R4 Gema R. Quintana PortillaTrabajo dirigido en “Matemática Fundamental” Julio de 2008 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  2. 2. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies de R3 Consideramos las superficies: Esfera Toro de revolución Cilindro Heredan la métrica de R3 Geometría intrínseca: primera forma fundamental, curvatura de Gauss, geodésicas, longitudes y áreas Geometría extrínseca: segunda forma fundamental, curvaturas principales, curvatura media Toda la geometría de las superficies de R3 está regida por {fu , fv , n = fu ×fv } fu ×f v Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  3. 3. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies de R3 Esfera. Consideramos la parametrización de S2 : π π x(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v) u ∈ [0, 2π); v ∈ − , 2 2 Tiene curvatura de Gauss 1 La suma de los ángulos es mayor que π y el área es el exceso esférico. Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  4. 4. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies de R3 Cilindro. Parametrizamos el cilindro como : x(u, v) = (r cos u, r sin u, v) u ∈ [0, 2π), v ∈ R, r = cte ∈ R Tiene curvatura de Gauss nula. Es localmente isométrico al plano. Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  5. 5. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies de R3 Toro de revolución. Sea la parametrización del toro: x(u, v) = (cos u(a + r cos v), sin u(a + r cos v), r sin v) u, v ∈ [0, 2π), a, r > 0 La curvatura de Gauss del toro es cos v K = r(a+r cos v) Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  6. 6. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies abstractas Plano hiperbólico. Consideramos el modelo del semiplano de Poincaré: H2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 > 0} Dotado de la métrica: 1 1 g11 = ; g12 = g21 = 0; g22 = x2 2 x2 2 La curvatura de Gauss es -1 Localmente isométrico a la pseudoesfera Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  7. 7. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies abstractas Plano estereográfico. Se obtiene al considerar la esfera S2 ⊂ R3 agujereada en el polo norte dotada de su estructura geométrica habitual y R2 con la métrica heredada de la esfera vía proyección estereográfica. Tiene curvatura de Gauss 1 Las distancias iguales “no parecen iguales” Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  8. 8. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies abstractas No heredan la métrica de R3 Su definición engloba la métrica: son variedades riemannianas Todos los conceptos intrínsecos se definen a partir de ella (curvatura de Gauss, geodésicas...) Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  9. 9. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies de R4 Consideramos las superficies: Plano proyectivo real Botella de Klein Toro de Clifford Son subvariedades diferenciables de R4 . Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  10. 10. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies de R4 Plano proyectivo real. Se define S2 / ∼, donde la relación de equivalencia ∼ en S2 está dada por p ∼ p si p = −p Es localmente isométrico a S2 No admite embedding en R3 Admite un embedding isométrico en R5 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  11. 11. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies de R4 Toro de Clifford. Se define como S 1 × S 1 ⊂ R4 con la métrica heredada. Sea la siguiente parametrización: x(u, v) = (cos u, sin u, cos v, sin v), u, v ∈ [0, 2π) La curvatura de Gauss es K = 0 Es localmente isométrico al plano Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  12. 12. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies de R4 Botella de Klein. Es el cociente de R2 por la relación de equivalencia: (x , y ) ∼ (x, y) si x = x, y = y + 2π o x − x = 2π, y = 2π − y Es no orientable Admite una inmersión isométrica en R4 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  13. 13. Superficies en R4 BibliografíaSuperficies de R4 Es fácil obtener ejemplos de superficies de R4 : Grafos de funciones holomorfas Esferas anudadas Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  14. 14. Superficies en R4 BibliografíaInmersión de superficies Teorema (Whitney) Toda variedad diferenciable de dimensión n admite un embedding regular en R2n . Teorema (Gromov) Toda superficie riemanniana compacta admite un embedding isométrico en R10 . Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  15. 15. Superficies en R4 BibliografíaÍndice general Geometría de superficies en R3 Geometría intrínseca. Variedades riemannianas Geometría extrínseca Conexión Superficies en R4 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  16. 16. Superficies en R4 BibliografíaSegundas formas fundamentales Sea S = r(u1 , u2 ), (u1 , u2 ) ∈ D ⊂ R2 una superficie en R4 . Sea p ∈ S, sea {e1 , e2 } una base de Tp M y sea {n1 , n2 } base de (Tp S)⊥ = Np S. Definición Se definen las correspondientes segundas formas fundamentales como: II σ = Lσ (du1 )2 + 2Lσ du1 du2 + Lσ (du2 )2 , 11 12 22 σ = 1, 2. Matricialmente: Lσ Lσ Lσ = (Lσ ) = ij 11 12 , σ = 1, 2 Lσ Lσ 21 22 Donde Lσ = nσ · rui uj ij Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  17. 17. Superficies en R4 BibliografíaVector de curvatura normal Definición Sea p ∈ S y sea τ ∈ Tp S se llama vector curvatura normal en la dirección τ , kN (τ ) ∈ Np S, a kN (τ ) = II 1 (τ, τ )n1 + II 2 (τ, τ )n2 En cada punto p ∈ M tenemos la aplicación diferenciable: (kN )p : S1 ⊂ Tp S → Np S La imagen de S1 por esta aplicación se denomina indicatriz de curvatura normal. Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  18. 18. Superficies en R4 BibliografíaElipse de curvatura normal Teorema La indicatriz de curvatura normal es una elipse denominada elipse de curvatura normal. Idea de la demostración. Sea p ∈ S. Sea τ = (cos θ, sin θ) ∈ S1 y sea γ(s) una curva parametrizada por la longitud de arco tal que el vector tangente en p es τ . Geométricamente (kn )p (τ ) es la proyección del 2 vector de curvatura d γ sobre Np M . ds2 Se tiene que: (kn )p (τ ) = (L1 cos2 θ + 2L1 cos θ sin θ + L1 sin2 θ)n1 + 11 12 22 (L2 cos2 θ + 2L2 cos θ sin θ + L2 sin2 θ)n2 11 12 22 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  19. 19. Superficies en R4 BibliografíaElipse de curvatura normal Esto lo podemos expresar matricialmente: 1 1 2 (L11 − L1 ) L1 22 12 cos 2θ (kN − H)(θ) = 1 2 2 (L11 − L2 ) L2 22 12 sin 2θ 1 1 donde H = 2 (L1 + L1 )n1 + 2 (L2 + L2 )n2 . 11 22 11 22 Así tenemos definida una transformación afín de matriz:   1 0 0  0 L1 − L1 L1  11 22 12 0 L2 − L2 L2 11 22 12 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  20. 20. Superficies en R4 BibliografíaElipse de curvatura normal Por tanto, la imagen de S1 es una elipse en el plano normal a S en p. Nota La elipse de curvatura normal puede degenerar en un segmento de recta o en un punto. Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  21. 21. Superficies en R4 BibliografíaVector de curvatura media Definición Se define el vector de curvatura media como 1 1 H = (L1 + L1 )n1 + (L2 + L2 )n2 11 22 2 2 11 22 Es decir, sus coordenadas en el plano normal afín a S en p son las del centro de la elipse de curvatura normal. Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  22. 22. Superficies en R4 BibliografíaAplicaciones de la elipse de curvatura normal. La elipse de curvatura normal permite caracterizar propiedades geométricas de la superficie como: Estar contenida en un hiperplano Estar contenida en una esfera Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  23. 23. Superficies en R4 BibliografíaAplicaciones de la elipse de curvatura normal. Teorema Supongamos que la indicatriz de curvatura normal de la superficie S ⊂ R4 es degenerada consistiendo en un segmento pasando por p para cada p ∈ S. Si la curvatura de Gauss satisface que K = 0 en todos los puntos de S entonces S está contenida en algún hiperplano de R4 . Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  24. 24. Superficies en R4 BibliografíaAplicaciones de la elipse de curvatura normal. Teorema Si una superficie S está contenida en una esfera de radio R de R4 , entonces en cada punto p la elipse de curvatura normal 1 degenera en un segmento a distancia β = R de p. Recíprocamente, si en cada punto p la elipse de curvatura normal degenera en un segmento a distancia β de p y la curvatura de Gauss es distinta de β 2 , entonces S está 1 contenida en la esfera de radio β . Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  25. 25. Superficies en R4 BibliografíaAplicaciones de la elipse de curvatura normal. Una superficie se dice minimal si el vector de curvatura media es nulo en todo punto. Esto es equivalente a que la elipse de curvatura media en p tenga su centro en el propio p para todo p punto de S. Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  26. 26. Superficies en R4 BibliografíaAplicaciones de la elipse de curvatura normal. Teorema El grafo de una función analítica f : C → C es una superficie real de R4 que satisface la siguiente condición: para todo punto p la elipse de curvatura normal es una circunferencia centrada en el propio p. Consecuencia: los grafos de las funciones analíticas son superficies minimales. Idea de la demostración: Consideramos la función holomorfa F (u + iv) = f (u, v) + ig(u, v) como superficie de R4 . Es decir, tenemos la parametrización: r(u, v) = (u, v, f (u, v), g(u, v)) Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  27. 27. Superficies en R4 BibliografíaAplicaciones de la elipse de curvatura normal. Las derivadas de la parametrización son: ru = (1, 0, fu , −fv ) rv = (0, 1, fv , fu ) ruu = (0, 0, fuu , −fuv ) ruv = (0, 0, fuv , fuu ) rvv = (0, 0, fvv , fuv ) Por tanto, una base del plano normal vendrá dada por: n1 = (fv , −fu , 0, 1) n2 = (−fu , −fv , 1, 0) Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  28. 28. Superficies en R4 BibliografíaAplicaciones de la elipse de curvatura normal. Los coeficientes de las segundas formas fundamentales son: L1 = −fuv , L1 = fuu , L1 = fuv 11 12 22 L2 = fuu , L2 = fuv , L2 = −fuu 11 12 22 De donde se sigue que H = 0, y que el vector curvatura normal, en el punto p de la superficie, para τ = (cos θ, sin θ) es: kN (τ ) = (−fuv cos 2θ + fuu sin 2θ) n1 +(fuu cos 2θ + fuv sin 2θ) n2 Luego la elipse de curvatura normal es una circunferencia de 2 2 centro p y radio fuv + fuu Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  29. 29. Superficies en R4 BibliografíaToro de Clifford Consideramos el toro S 1 × S 1 ⊂ R4 con la métrica heredada. Parametrización: x(u, v) = (cos u, sin u, cos v, sin v), u, v ∈ [0, 2π) Derivadas de la parametrización: xu = (− sin u, cos u, 0, 0); xv = (0, 0, − sin v, cos v); xuu = (− cos u, − sin u, 0, 0); xvv = (0, 0, − cos v, − sin v); xuv = (0, 0, 0, 0). Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  30. 30. Superficies en R4 BibliografíaToro de Clifford Base del plano normal: n1 = (cos u, sin u, 0, 0), n2 = (0, 0, cos v, sin v) Coeficientes de las segundas formas fundamentales: L1 = −1, L1 = 0, L1 = 0 11 12 22 L2 = 0, L2 = 0, L2 = −1 11 12 22 Vector de curvatura normal para τ = (τ 1 , τ 2 ), unitario: kN (τ ) = −(τ 1 )2 n1 − (τ 2 )2 n2 Vector de curvatura media: 1 H = − (n1 + n2 ) 2 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  31. 31. Superficies en R4 BibliografíaToro de Clifford Conclusiones: La elipse de curvatura normal degenera en un segmento de extremos (−1, 0) y (0, −1) √ El toro de Clifford está contenido en una esfera de radio 2 No es una superficie minimal de R4 , pero sí de la esfera en que está contenido Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  32. 32. Superficies en R4 BibliografíaFunción analítica Consideramos el grafo de la función analítca f (z) = z 2 como superficie de R4 . Sea la parametrización: r(u, v) = (u, v, u2 − v 2 , 2uv), u, v ∈ R Derivadas de la parametrización: ru = (1, 0, 2u, 2v); rv = (0, 1, −2v, 2u); ruu = (0, 0, 2, 0); rvv = (0, 0, −2, 0); ruv = (0, 0, 0, 2). Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  33. 33. Superficies en R4 BibliografíaFunción analítica Coeficientes de las segundas formas fundamentales: L1 = 0, L1 = −2, L1 = 0 11 12 22 L2 = −2, L2 = 0, L2 = 2 11 12 22 Respecto de la base: n1 = (2v, 2u, 0, −1), n2 = (−2u, 2v, −1, 0) Vector de curvatura normal, τ = (cos θ, sin θ): kN (τ ) = 2 sin 2θn1 − 2 cos 2θn2 Vector de curvatura media: H = 0 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  34. 34. Superficies en R4 BibliografíaFunción analítica Conclusiones: es una superficie minimal la elipse de curvatura normal es una circunferencia con centro en p y radio 2 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  35. 35. Superficies en R4 BibliografíaResumen Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  36. 36. Superficies en R4 BibliografíaBibliografía W. Klingenberg. Curso de Geometría Diferencial. Ed. Alhambra S.A., Madrid (1978). B. O’Neill. Elementos de Geometría Diferencial. Limusa-Wiley S.A., México (1972). J.G. Pérez. Variedades y Geometría: un curso breve. Ed. U.A.M., Madrid (2005). M.P. Do Carmo. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Alianza(1990). Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  37. 37. Superficies en R4 BibliografíaBibliografía R.W.R. Darling. Differential forms and Connections. Cambridge University Press, N. Y. (1994). S. Kobayasi, K. Nomizu. Foundations of Differential Geometry. J.Wiley (1969). Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  38. 38. Superficies en R4 BibliografíaBibliografía J.A. Little. On singularities of submanifolds of higher dimensional Euclidean spaces. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 83 (1969) 261-335. Yu. Aminov. The Geometry of the Submanifolds. Taylor and Francis Group, FL (2001). Q. Han, J.X. Hong. Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces. AMS, USA (2006). Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
  39. 39. Superficies en R4 BibliografíaLa geometría de las superficies de R4 admite varias líneas deinvestigación activas: El estudio de las propiedades similares y de las diferentes al caso de espacio ambiente tridimensional La generalización a subvariedades de codimensión dos o mayor El estudio de la influencia que las estructuras compleja y simpléctica de R4 (visto como C2 ) producen en toda superficie de R4 Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4
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