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La integral definida final

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PARA ESTUDIANTES QUE DESEEN APRENDER ALGO DE ESTE MARAVILLOSO MUNDO DE LAS MATEMATICAS

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  • 1. Tema: La Integral definida  Área bajo curvas  Aplicaciones de la Integración definitiva en la Economía.  Excedente de los Consumidores y de los Productores  Ingresos versus Costos  Valor promedio de una Función  Integración numérica Integrantes:  Diana Granda Ochoa  Oswaldo Cárdenas Semestre: SegundoCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 2. JUSTIFICACIÓN La necesidad de disponer de una herramienta capaz de describir cuantitativamente el comportamiento de la naturaleza inanimada, suscitó la creación del cálculo diferencial e integral, así como del álgebra lineal; de manera inicialmente intuitiva, produciéndose más tarde su formalización rigurosa. Representa, sin duda, uno de los logros intelectuales más significativos de la edad moderna. Los nombres más ilustres de la ciencia han quedado indeleblemente asociados a este desarrollo. No puede sorprender que la admirable adecuación de estas herramientas para describir cuantitativamente los fenómenos naturales fuese eventualmente aprovechada en el terreno de otras disciplinas, y entre ellas, en la administración y la economía, en las que se impone analizar variables que cambian a lo largo del tiempo y entre las cuales pueden discernirse relaciones funcionales susceptibles de ser expresadas matemáticamente. Es por ello, que el cálculo diferencial e integral, así como el álgebra lineal constituye ramas de la matemática realmente necesarias para la interpretación y análisis de diferentes modelos económicos. El hombre de empresa moderno, el administrador y el economista tienen en estas herramientas un aliado poderoso para el empleo racional de los recursos con miras a su mejor aprovechamiento y a la creación de los bienes y servicios que la sociedad reclama. La disciplina que acompaña a su aprendizaje contribuye de modo significativo al desarrollo de la intuición matemática, a un pensamiento lógico y metódico, y a la consolidación de hábitos de trabajo ordenados, pulcros y precisos.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 3. MARCO CONCEPTUALHistóricamente, el cálculo diferencial e integral, así como el álgebra lineal; nacieronde la necesidad de atender problemas que exigían la descripción cuantitativa demagnitudes que varían con el paso del tiempo, como también de modelos osistemas que involucren diferentes variables de estudio. Los primeros desarrollosfueron esencialmente guiados por la intuición; sólo después, y tras no pocosintentos fallidos, se produjo la formalización rigurosa de la disciplina. Parece, porello, eminentemente razonable encuadrar el estudio de sus conceptos y técnicasen un marco inicial de carácter práctico, en el que el análisis de problemasadministrativos típicos lleve de modo natural a la necesidad de "descubrir" losconceptos básicos de estas ramas de la matemática. El alumno debe serconfrontado con el reto de alcanzar resultados numéricos en diversos problemastípicos del ámbito administrativo, con miras a que disfrute de la satisfacciónintelectual que derivará del alumbramiento en su mente de unas técnicas nuevas,prodigiosamente útiles.Al mismo tiempo, el estudio de estas técnicas debe motivar la reflexión del alumnosobre la capacidad del espíritu humano para abstraer de la realidad materialformulaciones generales y establecer a partir de ellas construcciones lógico-deductivas fundadas sobre bases axiomáticas.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 4. OBJETIVOSDominar los conceptos necesarios del cálculo diferencial e integral, así como delálgebra lineal; para formular, resolver e interpretar cuantitativamente situacionesreales en la administración y en la economía empresarial.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 5. La integral definidaDesde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar losmétodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. Latécnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII,paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y enel cálculo diferencial.INTRODUCCIÓNEste artículo permite captar rápidamente la interpretación geométrica de laIntegral Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza unprocedimiento diferente al de aproximaciones sucesivas de rectángulos,usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y esconsecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos.Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Área de los Polígonos-enfoque para el cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza lafórmula general de cálculo propuesta en el mencionado trabajo. No obstante, enforma rápida, introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres y cuatrolados.En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de unafunción, descubriendo distintos procedimientos para el cálculo de primitivas, esdecir, se han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sinembargo no quedan claros ni su significado ni su utilidad. Éstos son los objetivosde este tema, para lo cual se dará la interpretación que Riemann, matemáticoalemán, dio a conocer en el siglo XIX.  Concepto de Integral DefinidaLa integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreaslimitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno desus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], sellama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción delplano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticalesde ecuaciones x = a y x = b.La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denotacomo:CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 6. Definición:Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integraldefinida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el ejeOX y la gráfica de f(x) y se notaSi f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se definela integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por lasrectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.La integral definida cumple las siguientes propiedades:  Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.  Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.  La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.  La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).  Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.  Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):  Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 7. Ilustración gráfica del concepto de integral definida.Función integralConsiderando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posibledefinir una función matemática de la forma:Donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variableindependiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe elnombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor oigual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.Interpretación geométrica de la función integral o función área.Teorema fundamental del cálculo integralLa relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamentepor medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, queestablece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumplenecesariamente que:CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 8. A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un métodopara calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b],denominado regla de Barrow: Se busca primero una función F (x) que verifique que F’ (x) = f (x). Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b). El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:Notación de la integral definidaNotación de la integral definida.El símbolo de la integralEl signo utilizado para denotar la operación de integración fue ideado por elmatemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quien quisoasí referirse a la suma de las ordenadas diferenciales situadas bajo una curva. Portanto? no es sino una “s” estilizada, inicial de la palabra suma.Función escalonadaSea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en R, f:[a,b]R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.Ejemplos de funciones escalonadasCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 9. 1. La función f: [-3, 4] R definida por:La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la función esconstante. Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad departiciones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada af, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de la partición.2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte. Laimagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número entero que esmenor o igual que el número del que se parte.Así,E [3,105] = 3E [5] = 5E [-3,001] = -4E [-1,5401] = -2E [7,32] = 7E [-1,52] = -2De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en el interiorde cada intervalo que compone la partición, no considerando el valor que toma enlos extremos.Integración definida de una función EscalonadaSea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}una partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma la función f en el intervalo (xi-1,xi) (es decir, si x (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de la función f en [a, b]al número m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)Este número se simboliza por:A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior expresión selee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».Propiedades de la integral definida de una función escalonadaLa integral definida de una función escalonada no depende de la partición elegida. Esto significa que si se consideran dos particiones P y P de una función Si los límites de integración, en una integral definida de una función escalonada, Coinciden, entonces Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor de la integral cambia de signo:CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 10. INTEGRAL DE RIEMANNAhora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en un intervalo[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un númeroM > 0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre-M y M.Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar quepara el cálculo del área de un triángulo se tomaron funciones escalonadas g(x)cumpliendo g(x) f(x) para cualquier x [a, b] y otras funciones escalonadas h(x)tales que f(x) h(x) si x [a, b]. De todo ello resultaba que: En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funcionesescalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, esdecir, g(x) f(x) h(x) cuando x [a, b]. En estas condiciones, si existe un único  número I que cumpla para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x)f(x) h(x) si x [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b. y se lee  «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.Significado de la integral definida de una funciónSi una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe supor la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. Si lafunción y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la funciónquedaría por debajo del eje de abscisas.En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, susintegrales correspondientes serían negativas, y puesto queel área de la región que determina una función negativa es:Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida laintegral de una función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos quedetermina con el eje de abscisas, si la función escalonada es positiva y la suma delas áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas con signomenos, si la función escalonada es negativa.Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte pordebajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandoscuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisasen el intervalo [a, b].TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOSea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido yexiste A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirlacon la variable x de la función f. En estas condiciones, si t0 [a, b] es un punto enel que la función f es continua, la función G es derivable en t0 y el valor de laderivada en t0 es G(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de la función G en un puntoCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 11. coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si la función fes continua, la función G es una primitiva de la función f.El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un métodoque permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello,con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce comoRegla de Barrow.Regla de BarrowSi y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una funcióndefinida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F(x) = f(x) para cualquierx (a, b), entonces. Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segundaparte del teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, pararesolver una integral definida de una función continua, basta con encontrar unaprimitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferiorrespectivamente y restar ambos valores.Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo deintegrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función.Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, nodepende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es unaprimitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las expresionessiguientes tienen el mismo significado:  Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva:Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se han trazadolos segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos elsegmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta elpunto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestra en la figuraDe esta manera la superficie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N,que denominaremos S, cuya área la denotaremos con A (se ha exagerado eldesplazamiento para lograr mayor comprensión)Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con x, alser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento M1N1 está sobre unarecta y puede aplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb). Por lo que: A =½(f(x) + f(x+ x)) x, y dividiendo por x se tiene A =½(f(x) + f(x+ x)) xy al evaluar el límite cuando x tiende a cero:Lim A =Lim ½(f(x) + f(x+ x)) =½(2f(x)) =f(x) ( x tiende a 0). xLuego, f(x) es la derivada del área; lo que nos indica que el área es una funciónprimitiva de f(x); la que denotaremos con F(x).CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 12. Para determinar A, bastará calcular f(x+ x)dx - f(x)dx lo que se escribe: f(x)dx yque es igual a F(x+ x)- F(x).Integral Definida: sumatoria de incrementos de áreas bajo la curva.Supongamos ahora, la representación gráfica de la función y=f(x), como semuestra en la figura. Situemos dos puntos fijos a y b sobre los que levantaremosrectas perpendiculares al eje x, de tal forma que todo f(x) sea del mismo signosiempre que a<x<b.De esta forma, hemos definido una figura cuya superficie af(a)f(b)b se encuentrasituada bajo la curva y=f(x) y limitada por la recta x.Tracemos un haz de rectas paralelas que contengan a las levantadas, previamente,en los puntos a y b. Las distancias entre rectas consecutivas pueden variar opueden ser iguales; pero, su cantidad será tal que las distancias entre dos de ellassea un infinitésimo. Con esto, la figura queda dividida en superficies infinitamentepequeñas cuyas áreas, en conjunto, suman el área de la figura que las contiene.Esta forma de dividir la figura es válida, tomando en cuenta el criterioanteriormente utilizado para el cálculo de incrementos de área bajo la curva, quenos permitió establecer que f(x) y f(x+ x) se encuentran situados en una mismarecta (ver III). Cada recta del haz, junto a la gráfica de la función y el eje xcontendrá un delimitador de las superficies infinitamente pequeñas antesmencionadas.Con estas premisas, podemos calcular el área bajo la curva y= f(x) definida por lospuntos a y b. Utilizando nuestra fórmula para el área del polígono y suponiendo krectas paralelas del haz, identificadas desde a hasta b como ri ( i=0,....,k-1)tendremos:A= ½ S(riri+1) d(riri+1), con i =0,...., k-2.Si identificamos los puntos x donde se levanta cada recta, con el mismo subíndice,tomando en cuenta que a=x0 y b= xk-1, podemos calcular los incrementos de asáreas a partir de ri así:½ S(r0r1) d(r0r1) = F(x1)-F(a)½ S(r1r2) d(r1r2) = F(x2)-F(x1)½ S(r2r3) d(r2r3) = F(x3)-F(x2)½ S(r3r4) d(r3r4) = F(x4)-F(x3)½ S(rk-3rk-2) d(rk-3rk-2) = F(xk-2)-F(xk-3)½ S(rk-1rk-2) d(rk-1rk-2) = F(b)-F(xk-2)Si observamos los segundos miembros de las igualdades, observaremos que, aexcepción de F(b), todos los minuendos aparecen como sustraendos en la igualdadsiguiente. Por lo que al sumar miembro a miembro nos quedará: ½ S(riri+1)d(riri+1) = F(b) - F(a) ; i =0,...., k-2. Y finalmente.A= F(b) - F(a) = f(x)dx; tal como se quería demostrar.  Aplicaciones a la Administración y la EconomíaEntre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situacionesde mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 13. Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado productoutiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta aofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad.Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidadcorrespondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en elmercado en algún período específico.Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresaestá dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Estonos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si prepresenta el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entoncesa la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se laconoce como gráfica de oferta.A esta función la simbolizamos p o(q) donde sabemos que p es el precio unitario yq la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidadde productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que sepuede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precioaumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículoporque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor poradquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es unafunción decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemosasegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidadcorrespondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinadoCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 14. período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidadcorrespondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denominafunción de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.A esta función la simbolizamos p d(q) donde sabemos que p es el precio unitarioy q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado.SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORESEl mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto deintersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un productoda el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán lamisma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo,algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio deequilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y losmayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como unahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores.El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores estándispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y  p0muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de losconsumidores.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 15. El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p  d(q) yp  p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de estaforma: donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p0 ydemanda de equilibrio q0.ProblemaLa curva de demanda está dada por la ley d(x) 50 0,06x2. Encuentre el superávit oganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p d(20) 50 0,06 20226.Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta: 320La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende aveinte unidades.De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionarun producto a un menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de lasdiferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que losfabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional paralos fabricantes y se llama el superávit de los productores.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 16. El área total bajo la curva de oferta entre q 0 y q q0 es la cantidad mínima totalque los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q0 artículos. El áreatotal bajo la recta p p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esasdos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integraldefinida.Si s(q) es una función de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio,entonces superávit de los productoresProblema:Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x) . Encuentre laganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos.Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10) 12 pesos.La ganancia o superávit de los productores se calculo resolviendo:Ganancia de las productores 25La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diezartículos.ProblemaCalcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda yoferta dadas.Función de demanda: p1 (q) 1000  0,4 q2. Función de oferta: p2 (q) 42qCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 17. El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas quemuestra la gráfica:La oferta coincide con la demanda en (q0, p0) , es decir,:p1 (q) p2 (q) 1000  0,4q2 42q  0,4q2  42q + 1000 0q1  125 q2 20Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos odemandados, q0 20 y, por lo tanto, p0 840.El excedente de demanda o superavit de los consumidores es la regióncomprendida entre p1 (q) y la recta p 840, entre 0 y 20, o sea,: 2133,33El excedente de demanda asciende a $2133,33El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p 840 y p 42qentre 0 y 20, o sea: (840.20  21.202) 8400El superavit de oferta alcanza $8400.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 18. ANÁLISIS MARGINALLa derivada y, en consecuencia la integral, tienen aplicaciones en administración yeconomía en la construcción de las tasas marginales.Es importante para los economistas este trabajo con el análisis marginal porquepermite calcular el punto de maximización de utilidades.En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Siuna firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisismarginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vendeuna unidad más.Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades se debencumplir las siguientes condiciones: Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo total. Las funciones de ingreso y costo deben formularse en términos del nivel de producción o del número de unidades producidas y vendidas.Damos algunas definiciones importantes para nuestro trabajo:Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender unaunidad más de un producto o servicio.También se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículo extracuando este número de artículos extra tiende a cero.Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo extracuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida.Debemos tener en cuenta que si c(x) es la función costo, el costo promedio deproducir x artículos es el costo total dividido por el número de artículos producidos.Costo promedio por artículo Costo marginalCosto marginal c(x)CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 19. El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto alincremento de la cantidad producida.Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidadmás de un producto o servicio.Para una función de ingreso total r(x), la derivada r’(x) representa la tasainstantánea de cambio en el ingreso total con un cambio del número de unidadesvendidas. Podemos decir que el ingreso marginal representa las entradasadicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre unincremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Representa la tasacon que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas.Utilidad marginal que obtiene una empresa está dada por la diferencia entre susingresos y sus costos. Si la función de ingreso es r(x) cuando se venden x artículosy si la función de costo es c(x) al producirse esos mismos artículos, la utilidad p(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por p(x)  r(x) – c(x).La derivada p’(x) se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por artículosi la producción sufre un pequeño incremento.Resuelva los siguientes problemas y verifique las respuestas.ProblemaUna función de costo marginal está definida por c(x) 3x2 + 8x + 4 y el costo fijoes de $6. Determine la función costo total correspondiente.Respuesta: c(x) x3 + 4x2 +4x + 6 ProblemaPara un artículo particular, la función de ingreso marginal es i(x)  15  4x. Si xunidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos:a) Determine la función ingreso total.b) Determine la ecuación de demanda.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 20. Respuestas: a) i(x) 15x  2x2 b) p(x) 15  2x ProblemaSuponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a laventa en el mercado la función f(x) describe la razón de ventas cuando pasaron xaños desde que el producto se presentó en el mercado por primera vez. Se sabeque si . Calcule las ventas totales durante los primeroscuatro años.Debemos plantear Venta totalVenta total 18000Las ventas totales durante los primeros cuatro años ascienden a 18000 unidades.ProblemaSe espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos deoperación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x)pesos al año donde f(x) 1000 + 5000x.a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿cuánto tiempo tardará la máquina enpagarse por sí sola?a) Para conseguir el ahorro durante los primeros seis años calculamosCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 21. Al cabo de seis años el ahorro asciende de $ 96000b) Dado que el precio de compra es de $ 67500, el número de años de uso que serequieren para que la máquina se pague sola es n, entonces1000n + 2500 n2 67500 2500 n2 + 1000n  67500 05 n2 + 2n  135 0Hallamos los valores de n aplicando la resolvente y resulta n1 5,4 (imposiblepara nuestro problema) y además n2 5.Se tardarán 5 años para que la máquina se pague sola.APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRALDEFINIDA.Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidadespueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamentecomo áreas entre curvas.Veamos el caso de las utilidades netasSupóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a unritmo deR1 x 50 x 2 Dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmode R 2 x 200 5x dólares por año. a.) ¿Cuántos años será más rentable el 2º plan? b.) ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º, durante el período que éste es más rentable que el 1º?c.) Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado en el ítem b.Solución:CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 22. a.) El segundo plan será más rentable hasta que R 1 x R2 x 2 2 50 x 200 5x x 5x 150 0 x 15 años no tener en cuenta x 10b) Para 0 x 15 , el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan exceden las del 1º es R 2 x R 1 x dólares por año. Entonces el exceso de utilidad neta que genera el 2º plan durante los 15 años está dado por la integral definida: 15 15 2 Exc . de utilidad neta R2 x R1 x dx 200 5x 50 x dx 0 0 15 15 3 2 x 5 x 5x 150 dx x 150 x 1 . 687 ,50 dól . 3 2 0 0c) Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la región limitada por las curvas y R 2 x , y R 1 x desde x 0 hasta x 15 y 275 R2 (x) 200 Exc. Util. R1 (x) 50 0 5 10 15 xOtra aplicación importante es el cálculo de las ganancias netas producidas poruna maquinaria industrial, por ejemplo.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 23. Cuando tienes x años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de 20 x dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento se 2R x 5 . 000acumulan a razón de C x 2 . 000 10 x 2 dólares por año.a.) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?b.) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo de tiempo?c.) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas.Solución:a) El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que R x C x 2 2 5000 20 x 2000 10 x 2 30 x 3000 x 10 años no tener en cuenta x 10b) Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto período de tiempo están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y el costo total de operación y mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por la integral definida: 10 10 2 2 Ganancia neta R x C x dx 5000 20 x 2000 10 x dx 0 0 10 10 2 3 3000 30 x dx 3000 x 10 x 20000 dól . 0 0c) En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está representada por el área de la región limitada entre las curvas y R x y y C x , desde x 0 hasta x 10 .CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 24. y 5000 R(x) Gan. Neta 3000 2000 C(x) 0 5 10 x x  Excedente de los Consumidores y de los ProductoresOtra importante aplicación es el cálculo del excedente de los consumidores ydel excedente en la producción.La siguiente gráfica muestra una curva de oferta F q para un producto, donde pindica el precio por unidad al que un fabricante venderá o suministrará q unidades.También se muestra la curva de demanda D q para el producto, donde p indica elprecio por unidad al que los consumidores comprarán o demandarán q unidadesdel mismo.El punto q 0 , p 0 es el punto de equilibrio, en el cual se presenta estabilidad en larelación producto – consumidor.Suponiendo que el mercado está en equilibrio, en que el precio por unidad delproducto es p 0 , observando la curva de demanda se puede apreciar que hayconsumidores que estarían dispuestos a pagar más que p 0 por el producto, asícomo también, si observamos la curva de la oferta, podríamos concluir diciendoque hay productores que están dispuestos a ofrecer el producto a un precioinferior que p 0 .De esta manera ambas partes pueden obtener una ganancia total que llamamosexceso.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 25. Teoría de los Excedentes del Consumidor y ProductorUn principio muy común en la economía consiste en que cuando una persona dejade ganar dinero, realmente está perdiendo, y cuando deja de pagar dinero, estáganando.Sin embargo, las ganancias y pérdidas señaladas no son tangibles porque noforman un flujo de dinero como es el caso, por ejemplo, de un flujo de caja en unaempresa o una ganancia de una persona en un negocio.Tenemos como ejemplo una familia, acostumbrada a gastar una cantidad dedinero en alimentación y de pronto se reduce los precios de los bienes queconsume normalmente. Entonces esta familia gastará menos en dichos productoslo que significa que la familia tendrá una mayor disponibilidad de dinero quepodrá ahorrarlo o gastarlo en otros bienes o servicios.Si en un mercado la producción de bienes aumenta de tal manera que el preciodisminuye, entonces todas las personas que venían consumiendo dicho productose benefician porque pagarán menos que antes.Cuando la demanda de un bien se expande, los productores se benefician porqueel precio del bien aumenta, ocasionando que éstos reciban un precio por suproducto, mayor al que existía antes de la expansión de la demanda.A continuación utilizaremos un modelo de oferta y demanda para explicar elexcedente del consumidor y el excedente del productor.El Excedente del ConsumidorIniciamos el análisis definiendo la función de la demanda y oferta de un biendenominado “X”: p a bq p c dqambas son funciones inversas de la demanda y oferta porque la variable preciofigura como la variable dependiente.Si observamos la figura Nº 1, tenemos la demanda del bien “X” y su respectivaoferta. Inicialmente asumimos que la oferta 1 es la única existente. Así el equilibriosería el “precio 1” y el “consumo 1”. Es importante resaltar que el modelo no nosCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 26. brinda la información de la cantidad de personas que consumen pero si nos da lainformación de la cantidad consumida y el precio del bien “X” en un momentodeterminado.En tal sentido, un conjunto de personas consumen el bien “X” al precio 1 y sebenefician del tal consumo. En este grupo existirán personas que estuvierondispuestas a pagar un precio mayor que el precio 1, por lo que éstas obtendrían unbeneficio adicional al gastar menos en la adquisición del bien “X”. oferta 1 b Precio 1 Oferta 2 Oferta 3 a c Precio 2 d Precio 3 demanda Consumo 1 Consumo 2 Consumo 3 Bien X Figura Nº 1Otro grupo de personas, que están excluídas del primer grupo, consumirán el bien“X” si es que el precio es menor que el precio 1.Supongamos que la oferta se expande de tal manera que el equilibrio se dará en elprecio 2 con un mayor consumo.El consumo aumenta porque se ofrecen más productos en el mercado, y el preciodisminuye porque se presenta un exceso de productos ofertados al “precio 1”, loque presiona a la disminución al precio toda vez que los ofertantes no logranvender todos sus productos al “precio 1”.Ahora bien, ¿cómo se beneficia el primer grupo por la expansión de la oferta y portanto de la disminución del precio del bien “X”?Este grupo inicial de consumo pagará un diferencia en el precio:CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 27. beneficio precio _ 1 precio _ 2Este grupo de personas se benefician porque pagarán una cantidad menor dedinero, ya que estaban dispuestos a pagar el “precio 1” y ahora pagan el “precio2”. El segundo grupo paga por el bien X el precio 2, beneficiándose de la expasiónde la oferta y de la disminución del precio del bien mencionado. Lo mismo sucedepara el caso de una nueva expansión de la oferta y con la consiguientedisminución del precio del bien “X”. Y así se presentan innumerables procesos devariación de la oferta presentándose beneficios para aquellos consumidores queestaban dispuestos a pagar más por el bien “X”. Los beneficios que se iránformando dependerán de los cambios en los precios, pues, éstos pueden ser deconsideración o pueden ser pequeños y graduales. En tal sentido, como seseñalara anteriormente, el beneficio es el diferencial de los precios cada vez que seexpande la oferta del bien “X”. El primer grupo que estaba dispuesto a pagar elprecio 1 y ahora paga el precio 2 obtiene el beneficio pero éste es unitario, esdecir, por cada bien que se compra. Si antes compraba 10 bienes “X” a dos nuevossoles, gastaba 20 nuevos soles. Si el precio disminuye a 1 nuevo sol, entonces porcada producto que compro, gano 1 nuevo sol, o en otras palabras, ahorro 1 nuevosol. Si sigo comprando 10 bienes, entonces ahorraré 10 nuevos soles, o tendré unbeneficio de 10 nuevos soles. Este beneficio se puede visualizar en la figura Nº 1,en el área del rectángulo cuya altura es la diferencia entre el precio 1 y el precio 2,o la distancia entre el punto “a” y el punto “b”, y la base, el consumo 1.Si se expanda nuevamente la oferta y el precio disminuye el precio 3, entonces seformará un nuevo beneficio que sería el área de un rectángulo de altura eldiferencia del precio 3 y precio 2, (o diferencia entre el punto “c” y el punto “d”) ycomo base el consumo 2.Si las expansiones de las ofertas son infinitamente pequeñas se irán formandorectángulos de tal manera que las áreas triangulares arriba de estos rectángulosserán cada vez más pequeñas de tal manera que se conviertan en despreciablesCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 28. oferta 1 b Precio 1 Oferta 2 Oferta 3 a c Triángulos se vuelven muy pequeños Precio 2 cuando los cambios en la oferta son infinitamente pequeños d Precio 3 demanda Consumo 1 Consumo 2 Consumo 3 Bien X Figura Nº 2En la figura Nº 2, se resalta que cuando los cambios en la oferta son infinitamentepequeños, los triángulo se vuelven despreciables por lo que el beneficio sería elárea debajo de la curva de la demanda hasta la altura del precio. Para el caso delprecio 1, el beneficio sería el área debajo de la curva de la demanda hasta la alturadel precio 1; para el caso del precio 2, el beneficio de los consumidores nuevos yantiguos sería el área debajo de la curva de demanda hasta la altura del precio 2;y lo mismo para el caso en que el equilibrio del mercado sea el precio 3.En tal sentido, el beneficio que se forma en el mercado, asumiendo el precio 3como el del equilibrio, y el consumo 3, por ende, será todo el área debajo de lacurva, o el área del triángulo formado por la curva de la demanda y la horizontaldel precio 3.El Excedente del ProductorEl excedente del productor tiene la misma lógica que el del excedente delconsumidor, en vista que se puede viusalizar también como un área utilizando elmodelo de la oferta y la demanda. Veamos.Si observamos la Figura Nº 3, se tienen tres demandas. La primera demanda secruza con la oferta en el punto “a”, y así tenemos el precio 1 y la producción 1. Lasempresas fijan el precio del bien “X” en base a lo dispuesto a pagar por el total deconsumidores. Cuando la demanda se expande (demanda 2), esta se cruza con laCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 29. oferta en el punto “b”, la producción aumenta y el precio del bien “X” tambiénaumenta dado que se forma en el mercado un exceso de demanda que presiona elprecio a aumentar. c Oferta Precio 3 Demanda 3 b Precio 2 a Demanda 2 Precio 1 Demanda 1 Producción 1 Producción 2 Producción 3 Bien X Figura Nº 3Asumiendo que han aumentado la cantidad de consumidores en el mercado, lasempresas después de esta expansión de la demanda venden su producto a unmayor precio. La cantidad de productos relacionado a la cantidad producida inicial(producción 1) eran vendidos al precio 1, sin embargo estos mismos productosahora son vendidos al precio 2 por lo que se presenta un beneficio dada laexpansión de la demanda. La diferencia entre el precio 2 y el precio 1 será elbeneficio que obtendrán las empresas que antiguamente vendían su producto alprecio 1 y ahora lo venden al precio 2. En tal sentido, tenemos que: beneficio precio _ 2 precio _ 1CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 30. Triángulos se vuelven muy pequeños cuando los cambios en la demanda son infinitamente pequeños Oferta g c Precio 1 e d b Precio 2 f Demanda 3 Precio 3 a Demanda 2 Demanda 1 Consumo 1 Consumo 2 Consumo 3 Bien X Figura Nº 4Si observamos la Figura Nº 4, vemos que el beneficio que se forma una vezexpandida la demanda (demanda 2) será el área del rectángulo formado por elprecio 2, el precio 3, y los puntos “a” y “d”.Cuando se vuelve a expandir la demanda (demanda 3), el nuevo beneficio será elárea del rectángulo formado por los puntos “d”, “b”, “e” y “g”. Sin embargoquedan las áreas de dos triángulos formados por los puntos “b”, “c”, “e”, y, “a”,“d”, “b”. Si asumimos que las expansiones de la demanda son infinitamentepequeñas, al igual que el caso del excedente del consumidor, entonces las áreasde los triángulos que se forman con cada expansión de la demanda seráninfinitamente pequeñas y por tanto despreciables. Luego, el beneficio del total deproductores será el área formada entre la línea horizontal del precio 3 y la curvade la oferta.Finalmente, el beneficio total del consumidor y del productor, llamados también elexcedente del consumidor y el excedente del productor lo podemos visualizar en laFigura Nº 5. Ambos excedentes serán la suma de las áreas formadas entre lacurva de la demanda y la curva de la oferta. Estos excedentes se forman cuando lademanda y la oferta, ambas, se expanden hasta que el mercado se equilibra. En elCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 31. transcurso, los beneficios se van formando, y en el equilibrio, tanto consumidorescomo productores se benefician. Los primeros se benefician porque pagan unprecio menor al que estaban dispuestos a pagar, y los segundos, porque el preciode su producto aumentó más allá de los que esperaban dada la expansión de lademanda. Precio a a Oferta Excedente del o consumidor Pe Excedente del Precio de productor Equilibrio Demanda c Cantidad de Equilibrio cantidades Figura Nº 5Análisis MatemáticoSean las siguientes funciones de demanda y oferta: p a bq p c dqEl equilibrio del sistema de ecuaciones de demanda y oferta será el siguiente: e d .a b .c p d b e a c q d bEl excedente del consumidor será formado por el área del triángulo formado porlos puntos “a”, “o”, y “Pe” de la Figura Nº 5. La ecuación que representa dichaárea es la siguiente:CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 32. 1 a c d .a b .c Excedente _ consumidor . a 2 d b d bdonde el primer quebrado literal es la cantidad de equilibrio que sería la base deltriángulo, y el término entre corchetes es la altura del mismo.Simplificando esta última ecuación, tenemos: 2 b a c Excedente _ consumidor . 2 d bSiguiendo la misma lógica, tenemos que el excedente del productor estaríarepresentado por la siguiente ecuación: 2 d a c Excedente _ productor . 2 d bSumando ambos excedentes para obtener el excedente total en el mercado,obtenemos la siguiente ecuación: 2 1 a c Excedente _ Total . b d 2 b dFinalmente, la ecuación se simplifica de la siguiente manera: 2 1 (a c) Excedente _ Total . 2 b dSi dividimos el excedente del consumidor y del productor obtenemos lo siguiente: 2 b a c . 2 d b Excedente _ relativo 2 d a c . 2 d b b . 2 b Excedente _ relativo d d . 2CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 33. donde los coeficientes “b” y “d” son las pendientes de la demanda y oferta,respectivamente. Así observamos que el excedente relativo del consumidorrespecto al productor dependerá de las sensibilidades de la demanda y oferta enrelación a cambios en el precio del bien.  Valor promedio de una funciónEs sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemosrealizar el siguiente cálculo yprom . ¿Cómo calculamos latemperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas detemperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito devalores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x) x3 en el intervalo[1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no seapositiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".Se propone calcular el valor promedio de la función y f(x), a x b. Dividimos elintervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud x . Si ti esun punto cualquiera del i-ésimo subintervalos, entonces el promedio aritmético omedio de los valores de la función en los ci viene dado por:Multiplicamos y dividimos por (b  a) y resulta:La expresión es una suma de Riemann para f en [a, b]. Podemosasegurar que el promedio de los n valores es veces la suma de Riemannde f en [a, b]. A medida que incrementamos la cantidad de subintervalos ( x 0, n) se obtiene, teniendo en cuenta la definición de integral definida: .CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 34. El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta fprom .El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente unode los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesosde suma.TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALESEste teorema es importante porque asegura que una función continua en unintervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal quef(c)(b a)Demostración:Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puestoque c puede ser cualquier punto.Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor ymayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m f(x) M  x [a, b] por elteorema de conservación de desigualdades. Aplicando propiedades:m(b a) M(b a) entonces m M.Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cadavalor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debealcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Quedademostrado que existe algún c tal que f(c) .CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 35. Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:rectángulo inscripto (área menor que la rectángulo del valor medio (área igualde la región) que la de la región) rectángulo circunscripto (área mayor que la de la región)El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómodeterminar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo.Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a,b]. En este caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teoremaasegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) quecorresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b a) y su áreacoincide con la de la región.A f(c)(b a)CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 36. El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincidecon el valor promedio o medio de una función por eso a f(c) se lollama valor medio de f en el intervalo [a, b].Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) 3x2  2x en el intervalo [1, 4].Calculamos:fprom (64  16 1 + 1) 16Sabemos que el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es elvalor promedio. Se puede observar gráficamente.ProblemaSuponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la poblacióndentro de tres años está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) e0,023t.Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años.Es importante tener en cuenta este valor dado que permite hacer planes a largoplazo de las necesidades de producción y en la distribución de bienes y servicios.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 37. Para resolver este problema debemos hallar el valor promedio de la población P(t)desde t 0 hasta t 30Valor promedioValor promedioValor promedio 7,2 miles de millones  Integración numéricaPara calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo,es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocendiversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable defunciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Esteinconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integraciónnumérica permite evaluar la integral definida de una función continua en unintervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dosmétodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson(debida a Thomas no a Homero).CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 38. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 39. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 40. EJERCICIOS SolucionesCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 41. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 42. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 43. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 44. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 45. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 46. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 47. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 48. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 49. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 50. Solu cionesCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 51. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 52. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 53. Integración NuméricaEjercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 3, use (a) la Regla del Trapecio y (b) la Regla de Simpson, conel valor de n indicado para estimar las integrales definidas. Aplique valoresaproximados de f (xk) que tengan una precisión de cuatro decimales y redondeelas respuestas a dos decimales.Ninguna de las integrales definidas de los ejercicios 4 a 6 puede ser evaluadaexactamente en términos de funciones elementales. Utilice la Regla de Simpson,con el valor de n que se indica, para determinar un valor aproximado de la integraldefinida dada. Exprese el resultado con tres cifras decimales.CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 54. Solu cionesCATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 55. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA
  • 56. CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA