La integral definida final

Tema: La Integral definida

 Área bajo curvas
 Aplicaciones de la Integración definitiva en la
Economía.
 Excedente de los Consumidores y de los
Productores
 Ingresos versus Costos
 Valor promedio de una Función
 Integración numérica

Integrantes:
 Diana Granda Ochoa
 Oswaldo Cárdenas

Semestre:

Segundo

CATEDRATICO: ING RAFAEL SALCEDO MUÑOZ MATEMATICA APLICADA

JUSTIFICACIÓN

La necesidad de disponer de una herramienta capaz de describir
cuantitativamente el comportamiento de la naturaleza inanimada, suscitó la
creación del cálculo diferencial e integral, así como del álgebra lineal; de manera
inicialmente intuitiva, produciéndose más tarde su formalización rigurosa.
Representa, sin duda, uno de los logros intelectuales más significativos de la edad
moderna. Los nombres más ilustres de la ciencia han quedado indeleblemente
asociados a este desarrollo. No puede sorprender que la admirable adecuación de
estas herramientas para describir cuantitativamente los fenómenos naturales
fuese eventualmente aprovechada en el terreno de otras disciplinas, y entre ellas,
en la administración y la economía, en las que se impone analizar variables que
cambian a lo largo del tiempo y entre las cuales pueden discernirse relaciones
funcionales susceptibles de ser expresadas matemáticamente. Es por ello, que el
cálculo diferencial e integral, así como el álgebra lineal constituye ramas de la
matemática realmente necesarias para la interpretación y análisis de diferentes
modelos económicos. El hombre de empresa moderno, el administrador y el
economista tienen en estas herramientas un aliado poderoso para el empleo
racional de los recursos con miras a su mejor aprovechamiento y a la creación de
los bienes y servicios que la sociedad reclama. La disciplina que acompaña a su
aprendizaje contribuye de modo significativo al desarrollo de la intuición
matemática, a un pensamiento lógico y metódico, y a la consolidación de hábitos
de trabajo ordenados, pulcros y precisos.


MARCO CONCEPTUAL

Históricamente, el cálculo diferencial e integral, así como el álgebra lineal; nacieron
de la necesidad de atender problemas que exigían la descripción cuantitativa de
magnitudes que varían con el paso del tiempo, como también de modelos o
sistemas que involucren diferentes variables de estudio. Los primeros desarrollos
fueron esencialmente guiados por la intuición; sólo después, y tras no pocos
intentos fallidos, se produjo la formalización rigurosa de la disciplina. Parece, por
ello, eminentemente razonable encuadrar el estudio de sus conceptos y técnicas
en un marco inicial de carácter práctico, en el que el análisis de problemas
administrativos típicos lleve de modo natural a la necesidad de "descubrir" los
conceptos básicos de estas ramas de la matemática. El alumno debe ser
confrontado con el reto de alcanzar resultados numéricos en diversos problemas
típicos del ámbito administrativo, con miras a que disfrute de la satisfacción
intelectual que derivará del alumbramiento en su mente de unas técnicas nuevas,
prodigiosamente útiles.

Al mismo tiempo, el estudio de estas técnicas debe motivar la reflexión del alumno
sobre la capacidad del espíritu humano para abstraer de la realidad material
formulaciones generales y establecer a partir de ellas construcciones lógico-
deductivas fundadas sobre bases axiomáticas.


OBJETIVOS

Dominar los conceptos necesarios del cálculo diferencial e integral, así como del
álgebra lineal; para formular, resolver e interpretar cuantitativamente situaciones
reales en la administración y en la economía empresarial.


La integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los
métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La
técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII,
paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en
el cálculo diferencial.

INTRODUCCIÓN

Este artículo permite captar rápidamente la interpretación geométrica de la
Integral Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza un
procedimiento diferente al de aproximaciones sucesivas de rectángulos,
usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y es
consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos.
Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Área de los Polígonos-
enfoque para el cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la
fórmula general de cálculo propuesta en el mencionado trabajo. No obstante, en
forma rápida, introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres y cuatro
lados.

En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una
función, descubriendo distintos procedimientos para el cálculo de primitivas, es
decir, se han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin
embargo no quedan claros ni su significado ni su utilidad. Éstos son los objetivos
de este tema, para lo cual se dará la interpretación que Riemann, matemático
alemán, dio a conocer en el siglo XIX.

 Concepto de Integral Definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas
limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de
sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se
llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del
plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales
de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota
como:


Definición:

Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integral
definida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje

OX y la gráfica de f(x) y se nota

Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se define
la integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por las
rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

 Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a
cero.
 Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la
función es menor que cero, su integral es negativa.
 La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales
tomadas por separado.
 La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la
constante de la integral).
 Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
 Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración
a trozos):

 Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y
g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:


Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

Función integral

Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible
definir una función matemática de la forma:

Donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable
independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el
nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o
igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

Interpretación geométrica de la función integral o función área.

Teorema fundamental del cálculo integral

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente
por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que
establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple
necesariamente que:


A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método
para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b],
denominado regla de Barrow:

Se busca primero una función F (x) que verifique que F’ (x) = f (x).
Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F
(b).
El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado
por:

Notación de la integral definida

Notación de la integral definida.

El símbolo de la integral

El signo utilizado para denotar la operación de integración fue ideado por el
matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quien quiso
así referirse a la suma de las ordenadas diferenciales situadas bajo una curva. Por
tanto? no es sino una “s” estilizada, inicial de la palabra suma.

Función escalonada

Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en R, f:[a,b]
R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de
modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de
la partición.
Ejemplos de funciones escalonadas


1. La función f: [-3, 4] R definida por:

La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la función es
constante. Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de
particiones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a
f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de la partición.

2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte. La
imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número entero que es
menor o igual que el número del que se parte.

Así,
E [3,105] = 3
E [5] = 5
E [-3,001] = -4
E [-1,5401] = -2
E [7,32] = 7
E [-1,52] = -2

De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en el interior
de cada intervalo que compone la partición, no considerando el valor que toma en
los extremos.

Integración definida de una función Escalonada

Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}
una partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma la función f en el intervalo (xi-1,
xi) (es decir, si x (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de la función f en [a, b]
al número m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)

Este número se simboliza por:
A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior expresión se
lee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».

Propiedades de la integral definida de una función escalonada
La integral definida de una función escalonada no depende de la partición elegida.
Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función
Si los límites de integración, en una integral definida de una función escalonada,
Coinciden, entonces
Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor de la
integral cambia de signo:


INTEGRAL DE RIEMANN

Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en un intervalo
[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un número
M > 0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre
-M y M.
Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar que
para el cálculo del área de un triángulo se tomaron funciones escalonadas g(x)
cumpliendo g(x) f(x) para cualquier x [a, b] y otras funciones escalonadas h(x)
tales que f(x) h(x) si x [a, b]. De todo ello resultaba que:

En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funciones
escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es
decir, g(x) f(x) h(x) cuando x [a, b]. En estas condiciones, si existe un único
 
número I que cumpla para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x)
f(x) h(x) si x [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b. y se lee

«integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.

Significado de la integral definida de una función

Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe su
por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. Si la
función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la función
quedaría por debajo del eje de abscisas.
En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus
integrales correspondientes serían negativas, y puesto que
el área de la región que determina una función negativa es:
Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida la
integral de una función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos que
determina con el eje de abscisas, si la función escalonada es positiva y la suma de
las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas con signo
menos, si la función escalonada es negativa.
Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por
debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos
cuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas
en el intervalo [a, b].

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y
existe A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:
Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirla
con la variable x de la función f. En estas condiciones, si t0 [a, b] es un punto en
el que la función f es continua, la función G es derivable en t0 y el valor de la
derivada en t0 es G'(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de la función G en un punto


coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si la función f
es continua, la función G es una primitiva de la función f.
El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método
que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello,
con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce como
Regla de Barrow.

Regla de Barrow

Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función
definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier
x (a, b), entonces. Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda
parte del teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para
resolver una integral definida de una función continua, basta con encontrar una
primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferior
respectivamente y restar ambos valores.
Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de
integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función.
Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no
depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una
primitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las expresiones
siguientes tienen el mismo significado:

 Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva:
Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se han trazado
los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos el
segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el
punto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestra en la figura
De esta manera la superficie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N,
que denominaremos S, cuya área la denotaremos con A (se ha exagerado el
desplazamiento para lograr mayor comprensión)
Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con x, al
ser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento M1N1 está sobre una
recta y puede aplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb). Por lo que:
A =½(f(x) + f(x+ x)) x, y dividiendo por x se tiene
A =½(f(x) + f(x+ x))
x
y al evaluar el límite cuando x tiende a cero:
Lim A =Lim ½(f(x) + f(x+ x)) =½(2f(x)) =f(x) ( x tiende a 0).
x
Luego, f(x) es la derivada del área; lo que nos indica que el área es una función
primitiva de f(x); la que denotaremos con F(x).


Para determinar A, bastará calcular f(x+ x)dx - f(x)dx lo que se escribe: f(x)dx y
que es igual a F(x+ x)- F(x).
Integral Definida: sumatoria de incrementos de áreas bajo la curva.
Supongamos ahora, la representación gráfica de la función y=f(x), como se
muestra en la figura. Situemos dos puntos fijos a y b sobre los que levantaremos
rectas perpendiculares al eje x, de tal forma que todo f(x) sea del mismo signo
siempre que a<x<b.
De esta forma, hemos definido una figura cuya superficie af(a)f(b)b se encuentra
situada bajo la curva y=f(x) y limitada por la recta x.
Tracemos un haz de rectas paralelas que contengan a las levantadas, previamente,
en los puntos a y b. Las distancias entre rectas consecutivas pueden variar o
pueden ser iguales; pero, su cantidad será tal que las distancias entre dos de ellas
sea un infinitésimo. Con esto, la figura queda dividida en superficies infinitamente
pequeñas cuyas áreas, en conjunto, suman el área de la figura que las contiene.
Esta forma de dividir la figura es válida, tomando en cuenta el criterio
anteriormente utilizado para el cálculo de incrementos de área bajo la curva, que
nos permitió establecer que f(x) y f(x+ x) se encuentran situados en una misma
recta (ver III). Cada recta del haz, junto a la gráfica de la función y el eje x
contendrá un delimitador de las superficies infinitamente pequeñas antes
mencionadas.
Con estas premisas, podemos calcular el área bajo la curva y= f(x) definida por los
puntos a y b. Utilizando nuestra fórmula para el área del polígono y suponiendo k
rectas paralelas del haz, identificadas desde a hasta b como ri ( i=0,....,k-1)
tendremos:
A= ½ S(riri+1) d(riri+1), con i =0,...., k-2.
Si identificamos los puntos x donde se levanta cada recta, con el mismo subíndice,
tomando en cuenta que a=x0 y b= xk-1, podemos calcular los incrementos de as
áreas a partir de ri así:
½ S(r0r1) d(r0r1) = F(x1)-F(a)
½ S(r1r2) d(r1r2) = F(x2)-F(x1)
½ S(r2r3) d(r2r3) = F(x3)-F(x2)
½ S(r3r4) d(r3r4) = F(x4)-F(x3)
½ S(rk-3rk-2) d(rk-3rk-2) = F(xk-2)-F(xk-3)
½ S(rk-1rk-2) d(rk-1rk-2) = F(b)-F(xk-2)
Si observamos los segundos miembros de las igualdades, observaremos que, a
excepción de F(b), todos los minuendos aparecen como sustraendos en la igualdad
siguiente. Por lo que al sumar miembro a miembro nos quedará: ½ S(riri+1)
d(riri+1) = F(b) - F(a) ; i =0,...., k-2. Y finalmente.
A= F(b) - F(a) = f(x)dx; tal como se quería demostrar.
 Aplicaciones a la Administración y la Economía

Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones
de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.


Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto
utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a
ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad.
Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad
correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el
mercado en algún período específico.

Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa
está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto
nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p
representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces
a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la
conoce como gráfica de oferta.

A esta función la simbolizamos p o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y
q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado.

Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad
de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se
puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio
aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo
porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por
adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una
función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos
asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad
correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado


período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad
correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina
función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.

A esta función la simbolizamos p d(q) donde sabemos que p es el precio unitario
y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado.

SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES

El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de
intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto
da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la
misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo,
algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de
equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los
mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un
ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores.

El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están
dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y  p0
muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0
de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los
consumidores.


El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p  d(q) y
p  p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta
forma:

donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p0 y
demanda de equilibrio q0.

Problema

La curva de demanda está dada por la ley d(x) 50 0,06x2. Encuentre el superávit o
ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.

Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p d(20) 50 0,06 202
26.

Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:

320

La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a
veinte unidades.

De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar
un producto a un menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las
diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los
fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para
los fabricantes y se llama el superávit de los productores.


El área total bajo la curva de oferta entre q 0 y q q0 es la cantidad mínima total
que los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q0 artículos. El área
total bajo la recta p p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas
dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral
definida.

Si s(q) es una función de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio,

entonces superávit de los productores

Problema:

Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x) . Encuentre la
ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos.

Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10) 12 pesos.

La ganancia o superávit de los productores se calculo resolviendo:

Ganancia de las productores 25

La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez
artículos.

Problema

Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y
oferta dadas.

Función de demanda: p1 (q) 1000  0,4 q2. Función de oferta: p2 (q) 42q


El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que
muestra la gráfica:

La oferta coincide con la demanda en (q0, p0) , es decir,:

p1 (q) p2 (q) 1000  0,4q2 42q  0,4q2  42q + 1000 0

q1  125 q2 20

Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o
demandados, q0 20 y, por lo tanto, p0 840.

El excedente de demanda o superavit de los consumidores es la región
comprendida entre p1 (q) y la recta p 840, entre 0 y 20, o sea,:

2133,33

El excedente de demanda asciende a $2133,33

El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p 840 y p 42q
entre 0 y 20, o sea:

(840.20  21.202) 8400

El superavit de oferta alcanza $8400.


ANÁLISIS MARGINAL

La derivada y, en consecuencia la integral, tienen aplicaciones en administración y
economía en la construcción de las tasas marginales.

Es importante para los economistas este trabajo con el análisis marginal porque
permite calcular el punto de maximización de utilidades.

En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si
una firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis
marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende
una unidad más.

Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades se deben
cumplir las siguientes condiciones:

Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y
de costo total.

Las funciones de ingreso y costo deben formularse en términos del nivel de
producción o del número de unidades producidas y vendidas.

Damos algunas definiciones importantes para nuestro trabajo:

Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una
unidad más de un producto o servicio.

También se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículo extra
cuando este número de artículos extra tiende a cero.

Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo extra
cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida.

Debemos tener en cuenta que si c(x) es la función costo, el costo promedio de
producir x artículos es el costo total dividido por el número de artículos producidos.

Costo promedio por artículo 

Costo marginal

Costo marginal c'(x)


El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al
incremento de la cantidad producida.

Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad
más de un producto o servicio.

Para una función de ingreso total r(x), la derivada r’(x) representa la tasa
instantánea de cambio en el ingreso total con un cambio del número de unidades
vendidas. Podemos decir que el ingreso marginal representa las entradas
adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un
incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Representa la tasa
con que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas.

Utilidad marginal que obtiene una empresa está dada por la diferencia entre sus
ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es r(x) cuando se venden x artículos
y si la función de costo es c(x) al producirse esos mismos artículos, la utilidad p(x)
obtenida por producir y vender x artículos está dada por p(x)  r(x) – c(x).

La derivada p’(x) se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por artículo
si la producción sufre un pequeño incremento.

Resuelva los siguientes problemas y verifique las respuestas.

Problema

Una función de costo marginal está definida por c'(x) 3x2 + 8x + 4 y el costo fijo
es de $6. Determine la función costo total correspondiente.

Respuesta: c(x) x3 + 4x2 +4x + 6

Problema

Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es i'(x)  15  4x. Si x
unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de p pesos:

a) Determine la función ingreso total.

b) Determine la ecuación de demanda.


Respuestas: a) i(x) 15x  2x2 b) p(x) 15  2x

Problema

Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la
venta en el mercado la función f(x) describe la razón de ventas cuando pasaron x
años desde que el producto se presentó en el mercado por primera vez. Se sabe
que si . Calcule las ventas totales durante los primeros
cuatro años.

Debemos plantear Venta total

Venta total 18000

Las ventas totales durante los primeros cuatro años ascienden a 18000 unidades.

Problema

Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de
operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x)
pesos al año donde f(x) 1000 + 5000x.

a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?

b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿cuánto tiempo tardará la máquina en
pagarse por sí sola?

a) Para conseguir el ahorro durante los primeros seis años calculamos


Al cabo de seis años el ahorro asciende de $ 96000

b) Dado que el precio de compra es de $ 67500, el número de años de uso que se
requieren para que la máquina se pague sola es n, entonces

1000n + 2500 n2 67500 2500 n2 + 1000n  67500 0

5 n2 + 2n  135 0

Hallamos los valores de n aplicando la resolvente y resulta n1 5,4 (imposible
para nuestro problema) y además n2 5.

Se tardarán 5 años para que la máquina se pague sola.

APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL
DEFINIDA.
Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades
pueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamente
como áreas entre curvas.

Veamos el caso de las utilidades netas

Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un
ritmo de

R1 x 50 x
2
Dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo
de R 2 x 200 5x dólares por año.

a.) ¿Cuántos años será más rentable el 2º plan?
b.) ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º,
durante el período que éste es más rentable que el 1º?
c.) Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado
en el ítem b.

Solución:


a.) El segundo plan será más rentable hasta que R 1 x R2 x
2 2
50 x 200 5x x 5x 150 0 x 15 años no tener en cuenta x 10

b) Para 0 x 15 , el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan
exceden las del 1º es R 2 x R 1 x dólares por año. Entonces el exceso de
utilidad neta que genera el 2º plan durante los 15 años está dado por la
integral definida:
15 15
2
Exc . de utilidad neta R2 x R1 x dx 200 5x 50 x dx
0 0

15 15
3
2 x 5
x 5x 150 dx x 150 x 1 . 687 ,50 dól .
3 2
0 0

c) Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la región
limitada por las curvas y R 2 x , y R 1 x desde x 0 hasta x 15
y

275

R2 (x)

200
Exc. Util.

R1 (x)

50

0 5 10 15 x

Otra aplicación importante es el cálculo de las ganancias netas producidas por
una maquinaria industrial, por ejemplo.


Cuando tienes x años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de
20 x dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento se
2
R x 5 . 000

acumulan a razón de C x 2 . 000 10 x
2
dólares por año.

a.) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?
b.) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo
de tiempo?
c.) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas.

Solución:

a) El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan
los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que
R x C x
2 2
5000 20 x 2000 10 x
2
30 x 3000 x 10 años no tener en cuenta x 10

b) Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto
período de tiempo están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado
por la misma y el costo total de operación y mantenimiento de ésta, se puede
determinar esta ganancia por la integral definida:

10 10
2 2
Ganancia neta R x C x dx 5000 20 x 2000 10 x dx
0 0
10
10
2 3
3000 30 x dx 3000 x 10 x 20000 dól .
0
0

c) En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está
representada por el área de la región limitada entre las curvas y R x y
y C x , desde x 0 hasta x 10 .


y

5000 R(x)

Gan. Neta
3000

2000 C(x)

0 5 10 x x

 Excedente de los Consumidores y de los Productores

Otra importante aplicación es el cálculo del excedente de los consumidores y
del excedente en la producción.

La siguiente gráfica muestra una curva de oferta F q para un producto, donde p
indica el precio por unidad al que un fabricante venderá o suministrará q unidades.

También se muestra la curva de demanda D q para el producto, donde p indica el
precio por unidad al que los consumidores comprarán o demandarán q unidades
del mismo.

El punto q 0 , p 0 es el punto de equilibrio, en el cual se presenta estabilidad en la
relación producto – consumidor.

Suponiendo que el mercado está en equilibrio, en que el precio por unidad del
producto es p 0 , observando la curva de demanda se puede apreciar que hay
consumidores que estarían dispuestos a pagar más que p 0 por el producto, así
como también, si observamos la curva de la oferta, podríamos concluir diciendo
que hay productores que están dispuestos a ofrecer el producto a un precio
inferior que p 0 .

De esta manera ambas partes pueden obtener una ganancia total que llamamos
exceso.


Teoría de los Excedentes del Consumidor y Productor
Un principio muy común en la economía consiste en que cuando una persona deja
de ganar dinero, realmente está perdiendo, y cuando deja de pagar dinero, está
ganando.
Sin embargo, las ganancias y pérdidas señaladas no son tangibles porque no
forman un flujo de dinero como es el caso, por ejemplo, de un flujo de caja en una
empresa o una ganancia de una persona en un negocio.

Tenemos como ejemplo una familia, acostumbrada a gastar una cantidad de
dinero en alimentación y de pronto se reduce los precios de los bienes que
consume normalmente. Entonces esta familia gastará menos en dichos productos
lo que significa que la familia tendrá una mayor disponibilidad de dinero que
podrá ahorrarlo o gastarlo en otros bienes o servicios.

Si en un mercado la producción de bienes aumenta de tal manera que el precio
disminuye, entonces todas las personas que venían consumiendo dicho producto
se benefician porque pagarán menos que antes.

Cuando la demanda de un bien se expande, los productores se benefician porque
el precio del bien aumenta, ocasionando que éstos reciban un precio por su
producto, mayor al que existía antes de la expansión de la demanda.

A continuación utilizaremos un modelo de oferta y demanda para explicar el
excedente del consumidor y el excedente del productor.

El Excedente del Consumidor

Iniciamos el análisis definiendo la función de la demanda y oferta de un bien
denominado “X”:

p a bq
p c dq

ambas son funciones inversas de la demanda y oferta porque la variable precio
figura como la variable dependiente.

Si observamos la figura Nº 1, tenemos la demanda del bien “X” y su respectiva
oferta. Inicialmente asumimos que la oferta 1 es la única existente. Así el equilibrio
sería el “precio 1” y el “consumo 1”. Es importante resaltar que el modelo no nos


brinda la información de la cantidad de personas que consumen pero si nos da la
información de la cantidad consumida y el precio del bien “X” en un momento
determinado.

En tal sentido, un conjunto de personas consumen el bien “X” al precio 1 y se
benefician del tal consumo. En este grupo existirán personas que estuvieron
dispuestas a pagar un precio mayor que el precio 1, por lo que éstas obtendrían un
beneficio adicional al gastar menos en la adquisición del bien “X”.

oferta 1
b
Precio 1 Oferta 2
Oferta 3
a c
Precio 2

d
Precio 3

demanda

Consumo 1 Consumo 2 Consumo 3 Bien X

Figura Nº 1

Otro grupo de personas, que están excluídas del primer grupo, consumirán el bien
“X” si es que el precio es menor que el precio 1.

Supongamos que la oferta se expande de tal manera que el equilibrio se dará en el
precio 2 con un mayor consumo.

El consumo aumenta porque se ofrecen más productos en el mercado, y el precio
disminuye porque se presenta un exceso de productos ofertados al “precio 1”, lo
que presiona a la disminución al precio toda vez que los ofertantes no logran
vender todos sus productos al “precio 1”.

Ahora bien, ¿cómo se beneficia el primer grupo por la expansión de la oferta y por
tanto de la disminución del precio del bien “X”?

Este grupo inicial de consumo pagará un diferencia en el precio:


beneficio precio _ 1 precio _ 2

Este grupo de personas se benefician porque pagarán una cantidad menor de
dinero, ya que estaban dispuestos a pagar el “precio 1” y ahora pagan el “precio
2”. El segundo grupo paga por el bien X el precio 2, beneficiándose de la expasión
de la oferta y de la disminución del precio del bien mencionado. Lo mismo sucede
para el caso de una nueva expansión de la oferta y con la consiguiente
disminución del precio del bien “X”. Y así se presentan innumerables procesos de
variación de la oferta presentándose beneficios para aquellos consumidores que
estaban dispuestos a pagar más por el bien “X”. Los beneficios que se irán
formando dependerán de los cambios en los precios, pues, éstos pueden ser de
consideración o pueden ser pequeños y graduales. En tal sentido, como se
señalara anteriormente, el beneficio es el diferencial de los precios cada vez que se
expande la oferta del bien “X”. El primer grupo que estaba dispuesto a pagar el
precio 1 y ahora paga el precio 2 obtiene el beneficio pero éste es unitario, es
decir, por cada bien que se compra. Si antes compraba 10 bienes “X” a dos nuevos
soles, gastaba 20 nuevos soles. Si el precio disminuye a 1 nuevo sol, entonces por
cada producto que compro, gano 1 nuevo sol, o en otras palabras, ahorro 1 nuevo
sol. Si sigo comprando 10 bienes, entonces ahorraré 10 nuevos soles, o tendré un
beneficio de 10 nuevos soles. Este beneficio se puede visualizar en la figura Nº 1,
en el área del rectángulo cuya altura es la diferencia entre el precio 1 y el precio 2,
o la distancia entre el punto “a” y el punto “b”, y la base, el consumo 1.

Si se expanda nuevamente la oferta y el precio disminuye el precio 3, entonces se
formará un nuevo beneficio que sería el área de un rectángulo de altura el
diferencia del precio 3 y precio 2, (o diferencia entre el punto “c” y el punto “d”) y
como base el consumo 2.

Si las expansiones de las ofertas son infinitamente pequeñas se irán formando
rectángulos de tal manera que las áreas triangulares arriba de estos rectángulos
serán cada vez más pequeñas de tal manera que se conviertan en despreciables


oferta 1
b
Precio 1 Oferta 2
Oferta 3

a c Triángulos se vuelven muy pequeños
Precio 2
cuando los cambios en la oferta son
infinitamente pequeños
d
Precio 3

demanda


Figura Nº 2

En la figura Nº 2, se resalta que cuando los cambios en la oferta son infinitamente
pequeños, los triángulo se vuelven despreciables por lo que el beneficio sería el
área debajo de la curva de la demanda hasta la altura del precio. Para el caso del
precio 1, el beneficio sería el área debajo de la curva de la demanda hasta la altura
del precio 1; para el caso del precio 2, el beneficio de los consumidores nuevos y
antiguos sería el área debajo de la curva de demanda hasta la altura del precio 2;
y lo mismo para el caso en que el equilibrio del mercado sea el precio 3.

En tal sentido, el beneficio que se forma en el mercado, asumiendo el precio 3
como el del equilibrio, y el consumo 3, por ende, será todo el área debajo de la
curva, o el área del triángulo formado por la curva de la demanda y la horizontal
del precio 3.

El Excedente del Productor

El excedente del productor tiene la misma lógica que el del excedente del
consumidor, en vista que se puede viusalizar también como un área utilizando el
modelo de la oferta y la demanda. Veamos.

Si observamos la Figura Nº 3, se tienen tres demandas. La primera demanda se
cruza con la oferta en el punto “a”, y así tenemos el precio 1 y la producción 1. Las
empresas fijan el precio del bien “X” en base a lo dispuesto a pagar por el total de
consumidores. Cuando la demanda se expande (demanda 2), esta se cruza con la


oferta en el punto “b”, la producción aumenta y el precio del bien “X” también
aumenta dado que se forma en el mercado un exceso de demanda que presiona el
precio a aumentar.

c
Oferta
Precio 3

Demanda 3
b
Precio 2

a Demanda 2
Precio 1

Demanda 1

Producción 1 Producción 2 Producción 3 Bien X

Figura Nº 3

Asumiendo que han aumentado la cantidad de consumidores en el mercado, las
empresas después de esta expansión de la demanda venden su producto a un
mayor precio. La cantidad de productos relacionado a la cantidad producida inicial
(producción 1) eran vendidos al precio 1, sin embargo estos mismos productos
ahora son vendidos al precio 2 por lo que se presenta un beneficio dada la
expansión de la demanda. La diferencia entre el precio 2 y el precio 1 será el
beneficio que obtendrán las empresas que antiguamente vendían su producto al
precio 1 y ahora lo venden al precio 2. En tal sentido, tenemos que:

beneficio precio _ 2 precio _ 1


Triángulos se vuelven muy pequeños
cuando los cambios en la demanda
son infinitamente pequeños
Oferta

g c
Precio 1 e

d b
Precio 2

f Demanda 3
Precio 3
a
Demanda 2

Demanda 1


Figura Nº 4

Si observamos la Figura Nº 4, vemos que el beneficio que se forma una vez
expandida la demanda (demanda 2) será el área del rectángulo formado por el
precio 2, el precio 3, y los puntos “a” y “d”.

Cuando se vuelve a expandir la demanda (demanda 3), el nuevo beneficio será el
área del rectángulo formado por los puntos “d”, “b”, “e” y “g”. Sin embargo
quedan las áreas de dos triángulos formados por los puntos “b”, “c”, “e”, y, “a”,
“d”, “b”. Si asumimos que las expansiones de la demanda son infinitamente
pequeñas, al igual que el caso del excedente del consumidor, entonces las áreas
de los triángulos que se forman con cada expansión de la demanda serán
infinitamente pequeñas y por tanto despreciables. Luego, el beneficio del total de
productores será el área formada entre la línea horizontal del precio 3 y la curva
de la oferta.

Finalmente, el beneficio total del consumidor y del productor, llamados también el
excedente del consumidor y el excedente del productor lo podemos visualizar en la
Figura Nº 5. Ambos excedentes serán la suma de las áreas formadas entre la
curva de la demanda y la curva de la oferta. Estos excedentes se forman cuando la
demanda y la oferta, ambas, se expanden hasta que el mercado se equilibra. En el


transcurso, los beneficios se van formando, y en el equilibrio, tanto consumidores
como productores se benefician. Los primeros se benefician porque pagan un
precio menor al que estaban dispuestos a pagar, y los segundos, porque el precio
de su producto aumentó más allá de los que esperaban dada la expansión de la
demanda.

Precio
a

a
Oferta
Excedente
del
o
consumidor
Pe Excedente
del
Precio de productor

Equilibrio Demanda
c

Cantidad de Equilibrio cantidades

Figura Nº 5

Análisis Matemático

Sean las siguientes funciones de demanda y oferta:

p a bq
p c dq

El equilibrio del sistema de ecuaciones de demanda y oferta será el siguiente:

e d .a b .c
p
d b
e a c
q
d b

El excedente del consumidor será formado por el área del triángulo formado por
los puntos “a”, “o”, y “Pe” de la Figura Nº 5. La ecuación que representa dicha
área es la siguiente:


1 a c d .a b .c
Excedente _ consumidor . a
2 d b d b

donde el primer quebrado literal es la cantidad de equilibrio que sería la base del
triángulo, y el término entre corchetes es la altura del mismo.

Simplificando esta última ecuación, tenemos:
2
b a c
Excedente _ consumidor .
2 d b

Siguiendo la misma lógica, tenemos que el excedente del productor estaría
representado por la siguiente ecuación:
2
d a c
Excedente _ productor .
2 d b

Sumando ambos excedentes para obtener el excedente total en el mercado,
obtenemos la siguiente ecuación:
2
1 a c
Excedente _ Total . b d
2 b d

Finalmente, la ecuación se simplifica de la siguiente manera:
2
1 (a c)
Excedente _ Total .
2 b d

Si dividimos el excedente del consumidor y del productor obtenemos lo siguiente:
2
b a c
.
2 d b
Excedente _ relativo 2
d a c
.
2 d b

b
.
2 b
Excedente _ relativo
d d
.
2


donde los coeficientes “b” y “d” son las pendientes de la demanda y oferta,
respectivamente. Así observamos que el excedente relativo del consumidor
respecto al productor dependerá de las sensibilidades de la demanda y oferta en
relación a cambios en el precio del bien.

 Valor promedio de una función

Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemos

realizar el siguiente cálculo yprom . ¿Cómo calculamos la
temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas de
temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito de
valores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x) x3 en el intervalo
[1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea
positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".

Se propone calcular el valor promedio de la función y f(x), a x b. Dividimos el

intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud x . Si ti es
un punto cualquiera del i-ésimo subintervalos, entonces el promedio aritmético o
medio de los valores de la función en los ci viene dado por:

Multiplicamos y dividimos por (b  a) y resulta:

La expresión es una suma de Riemann para f en [a, b]. Podemos

asegurar que el promedio de los n valores es veces la suma de Riemann
de f en [a, b]. A medida que incrementamos la cantidad de subintervalos ( x 0, n
) se obtiene, teniendo en cuenta la definición de integral definida:

.


El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta fprom .

El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno
de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos
de suma.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un
intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este
intervalo tal que

f(c)(b a)

Demostración:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto
que c puede ser cualquier punto.

Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y
mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m f(x) M  x [a, b] por el
teorema de conservación de desigualdades. Aplicando propiedades:

m(b a) M(b a) entonces m M.

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada
valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe

alcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda

demostrado que existe algún c tal que f(c) .


Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:

rectángulo inscripto (área menor que la rectángulo del valor medio (área igual
de la región) que la de la región)

rectángulo circunscripto (área mayor
que la de la región)

El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo
determinar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo.
Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a,

b]. En este caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema
asegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) que
corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b a) y su área
coincide con la de la región.

A f(c)(b a)


El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide

con el valor promedio o medio de una función por eso a f(c) se lo
llama valor medio de f en el intervalo [a, b].

Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) 3x2  2x en el intervalo [1, 4].

Calculamos:

fprom (64  16 1 + 1) 16

Sabemos que el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es el
valor promedio. Se puede observar gráficamente.

Problema

Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población
dentro de tres años está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) e0,023t.

Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años.

Es importante tener en cuenta este valor dado que permite hacer planes a largo
plazo de las necesidades de producción y en la distribución de bienes y servicios.


Para resolver este problema debemos hallar el valor promedio de la población P(t)
desde t 0 hasta t 30

Valor promedio

Valor promedio

Valor promedio 7,2 miles de millones

 Integración numérica

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo,
es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen
diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de
funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este
inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integración
numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un
intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos
métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson
(debida a Thomas no a Homero).


EJERCICIOS

Soluciones


Solu ciones


Integración Numérica
Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 3, use (a) la Regla del Trapecio y (b) la Regla de Simpson, con
el valor de n indicado para estimar las integrales definidas. Aplique valores
aproximados de f (xk) que tengan una precisión de cuatro decimales y redondee
las respuestas a dos decimales.
Ninguna de las integrales definidas de los ejercicios 4 a 6 puede ser evaluada
exactamente en términos de funciones elementales. Utilice la Regla de Simpson,
con el valor de n que se indica, para determinar un valor aproximado de la integral
definida dada. Exprese el resultado con tres cifras decimales.


La integral definida final

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