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    Herminio ladeira Herminio ladeira Document Transcript

    • ˜ UNIVERSIDADE DE SAO PAULO ˆ ´ ˜ INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATICAS DE SAO CARLOSDEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA E ESTAT´ ´ ISTICA ¸˜ ´ EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS NOTAS DE AULAS Herminio Cassago Junior Luiz Augusto da Costa Ladeira ˜ SAO CARLOS - SP 2011
    • Sum´rio a1 Preliminares 1 1.1 Problemas onde surgem E.D.O. . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Um Problema Geometrico . . . . . . . . . ´ 2 1.1.2 ımico . . . . . . . . . . . . Um Problema Qu´ 3 1.1.3 ısicos . . . . . . . . . . . . . . . Problemas F´ 3 1.2 Existencia e Unicidade de Solucoes . . . . . . . ˆ ¸˜ 72 Equa¸˜o Diferencial Linear de Primeira Ordem ca 15 2.1 A Equacao Homogenea . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ˆ 17 2.2 A Equacao nao Homogenea . . . . . . . . . . . . ¸˜ ˜ ˆ 19 2.3 Algumas Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 24 2.3.1 Desintegracao radioativa . . . . . . . . . ¸˜ 24 2.3.2 Circuito Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . ´ 25 2.3.3 Resfriamento de um corpo . . . . . . . . . 26 i
    • 2.3.4 Diluicao de Misturas . . . . . . . . . . . . ¸˜ 28 2.3.5 Outras Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 303 Equa¸˜es Lineares de Segunda Ordem co 31 3.1 Teoria Geral para Equacoes de Segunda Ordem 33 ¸˜ 3.2 Reducao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 41 3.3 ¸˜ ˆ Equacoes Homogeneas com Coeficientes Cons- tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 A Equacao Nao Homogenea . . . . . . . . . . . . ¸˜ ˜ ˆ 52 3.4.1 ´ Metodo dos Coeficientes a Determinar 55 3.4.2 ´ ¸˜ ˆ Metodo de Variacao dos Parametros (ou Variaca ¸ ˜ o das Constantes) . . . . . . . . . 64 3.5 Algumas Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 67 3.5.1 Vibracoes Mecanicas . . . . . . . . . . . . . ¸˜ ˆ 67 3.5.2 Circuitos Eletricos . . . . . . . . . . . . . ´ 70 3.5.3 Outras Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 72 3.6 Equacoes de Ordem Superior . . . . . . . . . . . ¸˜ 73 3.7 Metodo dos Coeficientes a Determinar . . . . ´ 79 3.8 Metodo de Variacao dos Parametros . . . . . . ´ ¸˜ ˆ 804 Transformada de Laplace 82 4.1 Integrais Improprias . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 82
    • 4.2 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4 Transformada Inversa - Fracoes Parciais . . ¸˜ 89 4.5 Aplicacao a Equacoes Diferenciais . . . . . . . ¸˜ ¸˜ 92 4.6 Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.7 Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.7.1 Transformada de Laplace de δ(t − t0 ) . . 98 4.8 O Produto de Convolucao . . . . . . . . . . . . . 100 ¸˜ 4.9 Tabela de Algumas Transformadas . . . . . . . 1035 Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co 105 5.1 Teoria Geral para Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2 Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes116 5.3 ˜ ˆ Sistemas Lineares nao Homogeneos com Coefi- cientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.4 Metodo da Variacao dos Parametros . . . . . . 131 ´ ¸˜ ˆ 5.5 ¸˜ Resolucao de Sistemas pela Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356 Equa¸˜es N˜o Lineares de Primeira Ordem co a 138 6.1 Equacoes Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 ¸˜ 6.2 Equacoes com Variaveis Separaveis . . . . . . . 144 ¸˜ ´ ´
    • 6.3 Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.4 Equacoes Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ¸˜ ˆ 6.5 ¸˜ Homogeneizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Respostas dos Exerc´ ıcios 154Referˆncias Bibliogr´ficas e a 167
    • Cap´ ıtulo 1Preliminares O objetivo deste curso ´ mostrar alguns m´todos de resolu¸˜o de e e caalguns tipos de equa¸oes diferenciais que aparecem mais freq¨ente- c˜ umente. Uma equa¸˜o diferencial ´ uma rela¸˜o que envolve uma “fun¸˜o ca e ca cainc´gnita” e suas derivadas ou diferenciais. Por exemplo: o dy (1) y(t) = f (t), em que y denota ˙ ˙ . dt (2) y (t) + y(t) = 0. ¨ (3) y (3) (t) + (sen t) y (t) + 5 t y(t) = 0. ¨ ∂ 2 u(t, x) ∂ 2 u(t, x) (4) + = 0. ∂ t2 ∂ x2 (5) M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0. Uma equa¸˜o diferencial ordin´ria (E.D.O.) ´ uma equa¸ao di- ca a e c˜ferencial na qual a fun¸ao inc´gnita depende apenas de uma vari´vel. c˜ o a 1
    • Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 2As equa¸oes (1), (2), (3) e (5) acima s˜o exemplos de equa¸oes dife- c˜ a c˜renciais ordin´rias. Se a fun¸˜o inc´gnita depender de mais de uma a ca o a ca ´vari´vel, temos uma equa¸˜o diferencial parcial (E.D.P.). E o casoda equa¸ao (4). Estaremos interessados exclusivamente nas E.D.O.’s. c˜ A ordem de uma equa¸˜o diferencial ´ a ordem da mais alta ca ederivada da fun¸ao inc´gnita. Portanto, (1) ´ uma equa¸ao de primeira c˜ o e c˜ordem, (2) ´ de segunda ordem e (3) ´ de terceira ordem. e e Uma solu¸˜o de uma equa¸ao diferencial ´ uma fun¸ao definida ca c˜ e c˜num intervalo que, juntamente com suas derivadas, satisfaz a equa¸ao c˜diferencial dada. Por exemplo, a fun¸ao y(t) = sen t ´ uma solu¸ao da c˜ e c˜E.D.O. de segunda ordem y + y = 0, pois, ¨ d2 sen t + sen t = − sen t + sen t = 0. dt2 Verifique que, para cada c ∈ R, a fun¸ao yc (t) = c ek t ´ uma c˜ esolu¸ao da E.D.O. de primeira ordem y = k y e que yc (t) = c t ´ uma c˜ ˙ esolu¸ao de E.D.O. de segunda ordem y = 0. c˜ ¨1.1 Problemas onde surgem E.D.O.1.1.1 ´ Um Problema GeometricoDetermine uma curva que seja definida pela condi¸˜o de ter em todos ca dyos pontos (x, y) a inclina¸ao c˜ igual ao dobro da soma das coorde- dxnadas do ponto. Se y = y(x) ´ a equa¸ao da curva, ent˜o, para resolver este pro- e c˜ ablema devemos resolver a equa¸˜o diferencial: ca dy = 2 (x + y). dx
    • Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 31.1.2 Um Problema Qu´ ımicoSuponha que 100 gramas de a¸ucar de cana, em agua, est˜o sendo c´ ´ atransformados em dextrose numa raz˜o que ´ proporcional ` quanti- a e adade n˜o transformada. Deseja-se saber quanto a¸ucar foi transfor- a c´mado ap´s t minutos. o Se q ´ o n´mero de gramas convertido em t minutos e k ´ a cons- e u etante de proporcionalidade, ent˜o, a equa¸ao deste problema ´ dada a c˜ epor: dq = k (100 − q), dtsabendo-se que q(0) = 0.1.1.3 Problemas F´ ısicos1. Movimento vertical Vamos descrever o movimento vertical de um corpo de massa m soba a¸ao da gravidade em um meio que oferece resistˆncia proporcional c˜ ea velocidade do corpo. Deseja-se conhecer a posi¸ao do corpo num` c˜instante t.Seja y = y(t) a posi¸ao do corpo no instante t. c˜Consideremos o sentido positivo o do movimento, Tv = ky k ˙isto ´, para baixo. As for¸as que atuam sobre o e c mcorpo de massa m s˜o: m g devido a gravidade (no a ` dy mgsentido do movimento) e k devido a resistˆncia ` e c dtdo meio (no sentido contr´rio ao movimento). a Segue da 2a lei de Newton (F = m a) que a equa¸ao do movimento ¯ c˜´ dada pore d2 y dy m 2 = mg − k . dt dt
    • Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 4 Conhecendo y(0) = y0 e y(0) = 0, determinamos a posi¸˜o do ˙ cacorpo em qualquer instante.2. Movimento de um pˆndulo simples e x T E s θ d d x θ d{ E ~m mg y c c cy As for¸as que atuam no corpo de massa m s˜o a tens˜o T da corda c a a(de comprimento ) e a for¸a vertical mg devido ` gravidade. Se θ ´ o c a e a lei de Newtondeslocamento angular da corda a partir da vertical, a 2¯nos fornece as equa¸oes: c˜ m y = m g − T cos θ, ¨ m x = −T sen θ. ¨Eliminando-se T e lembrando que x = sen θ e y = cos θ, obtemos aequa¸ao do pˆndulo c˜ e ¨ g θ + sen θ = 0.Note que ´ uma equa¸˜o diferencial de 2a ordem. e ca ¯3. Circuitos el´tricos simples e (i) Considere o circuito da figura abaixo em que E I R= resistˆncia e R 
    • I= corrente E  L L= indutˆncia a E= for¸a eletromotriz c
    • Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 5 Sabe-se que a queda de potencial atrav´s da resistˆncia R ´ RI e e e e dIatrav´s da indutˆncia L ´ L e a e . Segundo a lei de Kirchhoff, a queda dttotal de potencial no circuito deve ser contrabalanceada pela for¸aceletromotriz aplicada. Com isso, a corrente num instante t qualquer ´edada pela equa¸˜o diferencial: ca dI L + R I = E, dtque ´ uma equa¸ao diferencial de 1a ordem. e c˜ ¯ (ii) Dado o circuito E em que R, I, L e E s˜o como em a I (i) e C = capacitˆncia. Sabe-se que a R
    • a queda de potencial atrav´s da ca- e E L 1 pacitˆncia C ´ Q, em que Q ´ a carga a e e C C no capacitor. Pela lei de Kirchhoff temos: dI 1 L + R I + Q = E. dt C dQComo I = , segue-se que dt d2 Q dQ 1 L +R + Q = E, dt2 dt Cque ´ uma equa¸ao diferencial de 2a ordem. e c˜ ¯4. Sistema massa-mola Consideremos uma mola (que supomos sem massa) suspensa ver-ticalmente tendo sua extremidade superior presa num suporte r´ ıgido.Quando fixamos um corpo de massa m na outra extremidade da mola,ela se distende de uma quantidade d e, pela lei de Hooke, passa a exer-cer sobre o corpo uma for¸a de intensidade kd (em que k ´ a constante c e
    • Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 6de restaura¸˜o da mola) e sentido oposto ao deslocamento. Sobre este cacorpo atuam duas for¸as: o peso m g e a for¸a restauradora da mola c ck d. o d T kd c 0 Tg m c k (d + y) y T c cg m Como o corpo est´ em equil´ a ıbrio, temos m g = k d. (1.1)Imaginemos agora que este corpo seja deslocado verticalmente a partirdesta posi¸ao de equil´ c˜ ıbrio e, em seguida, liberado. Queremos estudaro seu movimento. Fixemos um eixo de coordenadas Oy cuja origemcoincide com o ponto de equil´ ıbrio do corpo e sentido para baixo. Asfor¸as que atuam sobre o corpo s˜o: o peso m g (mesmo sentido de Oy) c ae a for¸a restauradora da mola de sentido oposto ao do deslocamento ce intensidade k (y + d). Pela 2a lei de Newton, temos: ¯ d2 y m = m g − k (y + d). dt2Usando (1.1), obtemos d2 y m + k y = 0, dt2que ´ uma equa¸ao diferencial linear de 2a ordem. e c˜ ¯
    • Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 71.2 ˆ ¸˜ Existencia e Unicidade de Solucoes Seja f : [a, b] → R uma fun¸ao cont´ c˜ ınua. O Teorema Fundamentaldo C´lculo implica que a fun¸ao a c˜ t F (t) = f (s) ds, com a ≤ t ≤ b, a´ diferenci´vel em (a, b) e F (t) = f (t) para todo t ∈ (a, b). Logo, F (t)e a´ uma solu¸ao da equa¸ao diferencial ordin´ria de 1a ordeme c˜ c˜ a ¯ y(t) = f (t) com a ≤ t ≤ b, ˙e ainda F (a) = 0. Neste caso dizemos que F (t) ´ uma solu¸ao do e c˜problema de valor inicial (P.V.I.) y(t) = f (t) ˙ y(a) = 0.Este P.V.I. possui uma solu¸ao, mas surge a pergunta: c˜Ser´ que F (t) ´ a unica solu¸ao deste P.V.I.? Neste caso a resposta ´ a e ´ c˜ epositiva, pois, se G(t) for uma outra solu¸ao, temos que c˜ G (t) = f (t) = F (t)e isso implica que (F − G) (t) = 0. Ou seja, (F − G)(t) = constante.Mas, (F − G)(a) = F (a) − G(a) = 0 − 0 = 0. Portanto, G(t) = F (t)para todo t ∈ (a, b). No entanto, h´ problemas do valor inicial que possuem mais de auma solu¸ao. O problema de valor inicial c˜ y = |y|1/2 ˙ (1.2) y(0) = 0n˜o tem unicidade de solu¸˜o, pois y1 (t) ≡ 0 ´ uma solu¸ao e a ca e c˜
    • Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 8 t2 /4, t ≥ 0, T y2 (t)y2 (t) = −t2 /4, t < 0tamb´m ´ solu¸ao (verifique). e e c˜ EPortanto, temos duas solu¸oes c˜ y1 (t) ≡ 0para o problema (1.2). Como um outro exemplo, vemos que o P.V.I. y = 3 y 2/3 ˙ (1.3) y(0) = 0tamb´m n˜o tem unicidade de solu¸ao, pois y(t) ≡ 0 ´ uma solu¸˜o e e a c˜ e caobservamos que para qualquer c ∈ R+ , a fun¸˜o yc : R → R dada por ca y T (t − c)3 , t ≥ c,yc (t) = 0, t≤c t E 0 c1 c2 c3 c4tamb´m ´ solu¸ao. Logo, o P.V.I. (1.3) tem infinitas solu¸˜es. e e c˜ co Logo, dado o P.V.I. y = f (t, y) ˙ (1.4) y(t0 ) = y0 ,onde f ´ uma fun¸ao definida num aberto A de R2 , surgem as seguintes e c˜quest˜es: o 1. Como sabemos que o P.V.I. (1.4) possui de fato uma solu¸ao c˜ sem exibi-la explicitamente? 2. Como sabemos que existe somente uma solu¸ao de (1.4)? Talvez c˜ existam duas ou trˆs ou mesmo infinitas solu¸˜es. e co
    • Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 9 3. Qual a utilidade de determinarmos se (1.4) possui uma unica ´ solu¸ao se n˜o somos capazes de exibi-la? c˜ a Para esta ultima quest˜o, podemos dizer que o fato de sabermos ´ aque (1.4) possui uma unica solu¸ao ´ muito importante, pois a par- ´ c˜ etir disto poderemos usar t´cnicas computacionais para obter aprox- eima¸oes da solu¸ao y(t). c˜ c˜ Para responder a primeira quest˜o usaremos o m´todo de Pi- a ecard. Suponhamos que f (t, x) seja uma fun¸˜o cont´ ca ınua em (t, x) econtinuamente deriv´vel em x. Observamos que y(t) ´ solu¸ao de (1.4) a e c˜se, e somente se, t y(t) = y0 + f (s, y(s)) ds. t0Consideremos, agora, a seq¨ˆncia yn (t) dada da seguinte forma: ue y0 (t) = y0 , t y1 (t) = y0 + f (s, y0 (s)) ds, t0 t y2 (t) = y0 + f (s, y1 (s)) ds, t0 . . . t yn (t) = y0 + f (s, yn−1 (s)) ds. t0As fun¸oes yn (t) s˜o chamadas iteradas de Picard. Pode-se mostrar c˜ aque yn (t) → y(t), quando n → ∞, para t num intervalo conveniente.Este processo ´ conhecido por m´todo de Picard. e eExemplo 1.1. Encontre uma solu¸ao para o P.V.I. c˜ y=y ˙ y(0) = 1
    • Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 10usando o m´todo de Picard. eSolucao: Observamos que, neste caso, f (t, y) = y, t0 = 0 e y0 = 1. ¸˜A equa¸ao integral equivalente ao P.V.I. dado ´: c˜ e t y(t) = 1 + y(s) ds. 0Portanto,y0 (t) = 1 ty1 (t) = 1 + 1 ds = 1 + t , 0 t t t2y2 (t) = 1 + y1 (s) ds = 1 + (1 + s) ds = 1 + t + , 0 0 2! t t s2 t2 t3y3 (t) = 1 + y2 (s)ds = 1 + (1 + s + ) ds = 1 + t + + , 0 0 2! 2! 3! . . . t t s2 sn−1yn (t) = 1 + yn−1 (s)ds = 1 + 1+s+ + ··· + ds= 0 0 2! (n − 1)! 2 n t t =1+t+ + ··· + . 2! n! 2 t tnComo et = 1 + t + + · · · + + · · ·, vemos que as iteradas de Pi- 2! n!card yn (t) convergem para a solu¸ao y(t) = et deste P.V.I.. c˜ ıcios 1.1. 1) Construa as iteradas de Picard para o P.V.I.Exerc´ y = 2 t (y + 1) ˙ y(0) = 0 2e mostre que yn (t) converge para a solu¸ao y(t) = et − 1. c˜2) Calcule as trˆs primeiras iteradas de Picard para o P.V.I. e y = et + y 2 ˙ y(0) = 0.
    • Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 11 Observacao 1.1. As solu¸˜es de equa¸˜es diferenciais podem n˜o ¸˜ co co aexistir para todo t real; por exemplo, a fun¸˜o y(t) = tg(t + π/4) ´ ca esolu¸ao do P.V.I.: c˜ y(t) = 1 + y 2 (t), y(0) = 1 ˙e est´ definida somente no intervalo a y(−3π/4, π/4). TDe fato, se t ∈ (−3π/4, π/4), ent˜o a π 1 y(t) = sec2 (t + ˙ ) t 4 E π − 3π π = 1 + tg2 (t + ) 4 4 4 = 1 + y 2 (t) πe y(0) = tg = 1. 4 Por este fato, n˜o podemos esperar que as iteradas de Picard con- avirjam para todo t. Para sabermos onde as iteradas de Picard con-vergem, tentamos encontrar um intervalo no qual todas as yn (t) s˜o auniformemente limitadas, isto ´, existe uma constante k > 0 tal que e|yn (t)| ≤ k para todo t ∈ (a, b). Ou seja, procuramos um retˆngulo aque contenha os gr´ficos de todas as iteradas de Picard. a O lema abaixo cuja demonstra¸ao pode ser encontrada em [4] (cf. c˜Lema I.1), nos mostra como encontrar tal retˆngulo. aLema 1.1. Sejam a, b ∈ R e consideremos o retˆngulo a R = { (t, y) | t0 ≤ t ≤ t0 + a e |y − y0 | ≤ b }. bDefina M = max |f (t, y)| e α = min{ a, }. Ent˜o a (t,y)∈R M |yn (t) − y0 | ≤ M |t − t0 | para t0 ≤ t ≤ t0 + α.
    • Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 12 Obervamos que o Lema 1.1 afirma que o gr´fico de yn (t) permanece aentre as retas y = y0 +M (t−t0 ) e y = y0 −M (t−t0 ) para t0 ≤ t ≤ t0 +α. bEstas retas limitam o retˆngulo R em t = t0 + a se a ≤ a e em M b bt = t0 + se < a. Em ambos os casos, o gr´fico de yn (t) est´ a a M Mcontido em R para t0 ≤ t ≤ t0 + α. T T y0 + b y = y0 + M (t − t0 ) y = y0 + M (t − t0 ) d d ‚ d yn (t) ‚ d yn (t) y0 ! ¡    ¡ y = y0 − M (t − t0 )   y = y0 − M (t − t0 ) y0 − b t t E E t0 t0 + α t0 t0 + α α=a α = b/M O pr´ximo teorema nos apresenta as condi¸oes para a existˆncia e o c˜ eunicidade de solu¸˜es para o P.V.I. (1.4). co ∂fTeorema 1.1 (Existˆncia e Unicidade Local). Suponha f e e sejam ∂yfun¸˜es cont´nuas no retˆngulo co ı a R = { (t, y) | t0 ≤ t ≤ t0 + a e |y − y0 | ≤ b }. bSejam M = max |f (t, y)| e α = min{ a, }. Ent˜o o P.V.I. a (t,y)∈R M y = f (t, y) ˙ y(t0 ) = y0possui uma e somente uma solu¸˜o y(t) no intervalo t0 ≤ t ≤ t0 + α. ca A demonstra¸˜o deste teorema pode ser encontrada em [4] (cf. caTeorema I.2’).
    • Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 13Exemplo 1.2. 1) Mostre que a solu¸ao y(t) do P.V.I. y = y 2 + cos t2 c˜ ˙ 1com y(0) = 0 existe no intervalo 0 ≤ t ≤ . 2Solucao: Usaremos o Teorema 1.1. Neste caso f (t, y) = y 2 + cos t2 ¸˜ ∂fe ınuas em qualquer retˆngulo R = { (t, y) | (t, y) = 2 y, s˜o cont´ a a ∂y0 ≤ t ≤ a, |y| ≤ b }, em que a, b ∈ R. Calculando M = max |f (t, y)| = max |y 2 + cos t2 | = b2 + 1, (t,y)∈R |y|≤b e 0 ≤ t ≤ a bvemos que y(t) existe para 0 ≤ t ≤ α, em que α = min{ a, }. b2 + 1Como a priori podemos tomar qualquer valor de a, temos que o valor bm´ximo de α ser´ quando 2 a a for m´ximo. Este m´ximo ´ 1/2. a a e b +1Portanto o Teorema 1.1 garante que a solu¸˜o y(t) existe e ´ unica ca e ´para 0 ≤ t ≤ 1/2. 2) Mostre que y(t) = −1 ´ a unica solu¸˜o do P.V.I. y = t(1 + y) e ´ ca ˙com y(0) = −1.Solucao: Observamos que y(t) = −1 ´ solu¸ao do P.V.I.. Como ¸˜ e c˜ ∂ff (t, y) = t (1 + y) e (t, y) = t s˜o cont´ a ınuas em qualquer retˆngulo, a ∂ytemos que o P.V.I. dado possui uma unica solu¸˜o e, portanto, ser´ ´ ca ay(t) = −1. Observacao 1.2. Suponha que y = f (t, y) seja uma equa¸ao dife- ¸˜ ˙ c˜rencial vetorial, isto ´, y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn e f : A ⊂ Rn+1 → Rn . e ∂fO Teorema 1.1 continua sendo v´lido se entendermos a como sendo ∂y ∂(f1 , . . . , fn )a matriz jacobiana de f , isto ´, Jf = e . Usaremos esta ∂(y1 , . . . , yn )formula¸˜o no caso das equa¸oes de 2a ordem, das equa¸oes de ordem ca c˜ ¯ c˜n e de sistemas de equa¸oes diferenciais. c˜ ıcios 1.2. 1) Determine uma solu¸˜o do P.V.I. y = tExerc´ ca ˙ 1 − y2
    • Preliminares Cap. 1 Existˆncia e Unicidade e 14com y(0) = 1 diferente de y(t) = 1. Isto contradiz o Teorema 1.1?Explique. 2) Mostre que a solu¸ao y(t) do P.V.I. dado existe no intervalo c˜especificado: a) y = t + y 2 , com y(0) = 0 para, 0 ≤ t ≤ 1/2. ˙ 2 b) y = e−t + y 2 , com y(0) = 0 para, 0 ≤ t ≤ 1/2. ˙ 2 c) y = e−t + y 2 , com y(1) = 0 para, 1 ≤ t ≤ 1 + ˙ e/2. d) y = 1 + y + y 2 cos t, com y(0) = 0 para, 0 ≤ t ≤ 1/3. ˙
    • Cap´ ıtulo 2Equa¸˜o Diferencial Linear cade Primeira Ordem Uma equa¸ao diferencial de primeira ordem pode ser colocada na c˜forma: y = f (t, y), ˙ (2.1)onde f ´ uma fun¸ao real definida em um conjunto A ⊂ R2 . e c˜ Se a fun¸˜o f depender apenas de t, ent˜o a equa¸ao fica: ca a c˜ y = f (t). ˙ (2.2)Se f for integr´vel, ent˜o para resolver (2.2) integramos ambos os a amembros em rela¸ao a t, o que nos fornece: c˜ y(t) = f (t) dt + c,em que c ´ uma constante arbitr´ria e e a f (t) dt ´ qualquer primitiva ede f . 15
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Equa¸˜o Homogˆnea 16 ca e Este procedimento ´ imposs´ na maioria dos casos e, portanto, e ıveln˜o conseguiremos resolver, sem o aux´ de computadores, a maio- a ılioria das equa¸oes diferenciais. Partiremos, ent˜o, de equa¸oes mais c˜ a c˜simples, as quais poderemos resolver, que s˜o as lineares. a Definicao 2.1. Uma equa¸˜o diferencial linear de primeira ¸˜ caordem ´ uma equa¸˜o da forma: e ca y + a(t) y = b(t), ˙ (2.3)em que a(t) e b(t) s˜o fun¸˜es cont´nuas num intervalo I. a co ı Observacao 2.1. A equa¸ao (2.3) ´ chamada linear pois, se a es- ¸˜ c˜ ecrevermos na forma (2.1), teremos f (t, y) = −a(t) y + b(t) e a parteque depende de y, isto ´, g(t, y) = −a(t) y ´ linear em y. De fato, e eg(t, α1 y1 + α2 y2 ) = −a(t) [α1 y1 + α2 y2 ] = −α1 a(t) y1 − α2 a(t) y2 =α1 g(t, y1 ) + α2 g(t, y2 ).Observacao 2.2. O P.V.I. ¸˜ y + a(t) y = b(t) ˙ y(t0 ) = y0possui solu¸˜o unica. Isto segue do Teorema 1.1, pois as fun¸˜es ca ´ co ∂ff (t, y) = −a(t) y + b(t) e (t, y) = −a(t) s˜o cont´ a ınuas em t e ∂yem y.Exemplo 2.1. 1. y = t2 y + sen t ´ uma equa¸ao diferencial linear ˙ e c˜ a ordem, pois neste caso g(t, y) = t2 y ´ linear em y. de 1¯ e 2. y = t y 2 + sen t n˜o ´ E.D.O. linear de 1a ordem, pois g(t, y) = ˙ a e ¯ t y 2 n˜o ´ linear em y. a e 3. y = t cos y + t n˜o ´ E.D.O. linear de 1a ordem, pois g(t, y) = ˙ a e ¯ t cos y n˜o ´ linear em y. a e
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Equa¸˜o Homogˆnea 17 ca e2.1 ¸˜ ˆ A Equacao HomogeneaComo uma solu¸˜o da equa¸˜o (2.3) n˜o ´ imediata, vamos simplific´- ca ca a e ala ainda mais, colocando b(t) ≡ 0. Obtemos y + a(t) y = 0 ˙ (2.4)que ´ chamada equa¸˜o diferencial linear homogˆnea [L.H.] as- e ca esociada a (2.3). A equa¸ao (2.3) ´ chamada equa¸˜o diferencial c˜ e calinear n˜o homogˆnea [L.N.H.]. a e A equa¸ao (2.4) pode ser resolvida facilmente. Dividindo ambos c˜os membros da equa¸˜o por y, obtemos: ca y ˙ = −a(t). y y ˙ dLembrando que = ( ln |y(t)| ) temos que a equa¸˜o (2.4) pode ser ca y dtescrita na forma d ( ln |y(t)| ) = −a(t). dtIntegrando ambos os membros, obtemos ln |y(t)| = − a(t) dt + c1 ,em que c1 ´ uma constante de integra¸˜o. Tomando exponenciais de e caambos os membros, encontramos |y(t)| = exp(− a(t) dt + c1 ).Logo, y(t) = c exp(− a(t) dt). (2.5) Observamos que y(t), dada por (2.5), ´ uma solu¸ao de (2.4). Pode- e c˜mos dizer mais, qualquer outra solu¸˜o de (2.4) ser´ desta forma para ca a
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Equa¸˜o Homogˆnea 18 ca ealgum c ∈ R. Neste caso dizemos que (2.5) ´ a solu¸˜o geral da e caequa¸ao diferencial linear homogˆnea. c˜ eExemplo 2.2. Determine a solu¸˜o geral da equa¸˜o: y + 2 t y = 0. ca ca ˙Solucao: Neste caso a(t) = 2 t. Logo, ¸˜ 2 y(t) = c e− a(t) dt = c e− 2 t dt = c e−t .Portanto, 2 y(t) = c e−t´ a solu¸ao geral.e c˜Exemplo 2.3. Determine a solu¸ao do P.V.I.: y + (sen t) y = 0 com c˜ ˙y(0) = 2.Solucao: Aqui a(t) = sen t. Logo, ¸˜ y(t) = c e− sen t dt = c ecos te, portanto, a solu¸ao geral ´ c˜ e y(t) = cecos t .Como y(0) = 2, temos 2 = y(0) = c ecos 0 ,o que implica que c = 2e−1 . Logo, a solu¸ao do P.V.I. ser´ c˜ a y(t) = 2 ecos t−1 . Exerc´ ıcios 2.1. (1) Determine a solu¸ao do P.V.I. y + et y = 0 com c˜ ˙y(0) = 3/2. (2) Determine o comportamento, quando t → ∞, de todas assolu¸oes da equa¸ao y + a y = 0, em que a ´ constante. c˜ c˜ ˙ e
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 19 a e (3) Mostre que o conjunto das solu¸˜es de (2.4) possui as seguintes copropriedades: i) Se y1 e y2 s˜o solu¸˜es, ent˜o y1 + y2 tamb´m ´ solu¸ao. a co a e e c˜ ii) Se y1 ´ solu¸ao, ent˜o c y1 tamb´m ´ solu¸ao, para todo c ∈ R. e c˜ a e e c˜ iii) A fun¸˜o y(t) ≡ 0 ´ solu¸ao. ca e c˜ Observacao 2.3. O exerc´ (3) nos diz que o conjunto das solu¸oes ¸˜ ıcio c˜de (2.4) ´ um espa¸o vetorial. Como toda solu¸˜o de (2.4) ´ da e c ca eforma (2.5), segue-se que este espa¸o vetorial tem dimens˜o 1 e que c ay1 (t) = e− a(t) dt ´ uma base para este espa¸o. e c2.2 ¸˜ ˜ ˆ A Equacao nao HomogeneaConsideremos agora a equa¸ao n˜o homogˆnea c˜ a e y + a(t) y = b(t). ˙ (2.6)Se consegu´ ıssemos escrever a equa¸ao acima como c˜ d (“algo”) = b(t), dto nosso problema estaria resolvido, pois bastaria integrar ambos osmembros para encontrar o valor de “algo”. Por´m, a express˜o y + e a ˙a(t)y n˜o aparece como derivada de alguma express˜o simples. Para a aresolvermos o problema procuraremos uma fun¸˜o µ(t), cont´ ca ınua ediferenci´vel tal que multiplicando-se ambos os membros da express˜o a a(2.6) por µ(t) obteremos a equa¸ao equivalente: c˜ µ(t)y + µ(t)a(t)y = µ(t)b(t) ˙ (2.7)(onde, por equa¸˜o equivalente entendemos que toda solu¸˜o de (2.7) ca ca´ uma solu¸ao da (2.6) e reciprocamente) de modo que o primeiroe c˜membro de (2.7) µ(t) y + µ(t) a(t) y ˙
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 20 a eseja a derivada de alguma express˜o simples. a Observamos que d (µ(t)y) = µ(t) y + µ(t) y. ˙ ˙ dtPortanto, d µ(t) y + a(t) µ(t) y = ˙ (µ(t) y) ⇔ µ(t) = a(t) µ(t) ˙ dt a(t) dt ⇔ µ(t) − a(t) µ(t) = 0 ⇔ µ(t) = e ˙ .Logo, para esta µ(t) a equa¸˜o (2.6) pode ser escrita como: ca d (µ(t) y) = µ(t) b(t). dtPor integra¸ao obtemos c˜ µ(t) y = µ(t) b(t) dt + cou 1 y(t) = [ µ(t) b(t) dt + c] = e− a(t) dt [c + e a(t) dt b(t) dt]. µ(t)Portanto, y(t) = c e− a(t) dt + e− a(t) dt e a(t) dt b(t) dt (2.8)´ a solu¸˜o geral da equa¸ao n˜o homogˆnea.e ca c˜ a e Observacao 2.4. Vemos que a 1a parcela da f´rmula (2.8) ´ a ¸˜ ¯ o esolu¸ao geral da homogˆnea associada e que c˜ e yp (t) = e− a(t) dt e a(t) dt b(t) dt´ uma solu¸˜o particular da equa¸˜o n˜o homogˆnea (obtida quandoe ca ca a ec = 0). Logo, a solu¸ao geral da [L.N.H.] ´ a soma da geral da [L.H.] c˜ easssociada com uma particular da [L.N.H.].
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 21 a e Observacao 2.5. A fun¸ao µ(t) = e a(t) dt ´ chamada fator inte- ¸˜ c˜ egrante para a equa¸˜o n˜o homogˆnea. ca a e Observacao 2.6. Um outro m´todo de resolver uma equa¸˜o [L.N.H.] ¸˜ e ca´ o chamado m´todo da varia¸˜o das constantes, que consiste eme e cafazer y = uvque implica y = u v + u v. ˙ ˙ ˙Logo, a equa¸˜o [L.N.H.], y + a(t) y = b(t), se torna ca ˙ u v + v u + a(t) u v = b(t), ˙ ˙ou seja, u(v + a(t) v) + (v u − b(t)) = 0. ˙ ˙Se cada termo for nulo, ent˜o esta equa¸˜o ser´ satisfeita. Portanto, a ca afazendo v + a(t) v = 0 e v u − b(t) = 0 ˙ ˙e resolvendo a primeira delas, obteremos v em fun¸˜o de t (n˜o se ca aacrescenta constante de integra¸˜o porque se deseja um simples valor cade v). Em seguida, substituindo este valor na segunda equa¸ao e c˜integrando, obteremos o valor de u (agora acrescentamos a constantede integra¸˜o pois desejamos que y = uv seja a solu¸˜o geral do pro- ca cablema).Exemplo 2.4. Determine a solu¸˜o geral da equa¸˜o: y + 2 t y = t. ca ca ˙Solucao: Aqui a(t) = 2 t. Logo, ¸˜ a(t) dt 2 t dt 2 µ(t) = e =e = et .Multiplicando-se ambos os membros da equa¸ao por µ(t), obtemos a c˜equa¸ao equivalente: c˜ 2 2 d 2 2 et (y + 2 t y) = t et ˙ ou (y et ) = t et . dt
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 22 a ePortanto, 2 2 1 t2 y et = t et dt + c = e +c 2que implica 2 1 y(t) = c e−t + . 2Exemplo 2.5. Determine a solu¸˜o do P.V.I.: y−3 t2 y = t2 , y(0) = 1. ca ˙Solucao: Aqui a(t) = −3 t2 . Logo ¸˜ −3t2 dt 3 µ(t) = e a(t) dt =e = e−t .Multiplicando-se ambos os membros por µ(t), obtemos: 3 3 d −t3 3 e−t (y − 3t2 y) = t2 e−t ˙ ou (e y) = t2 e−t . dtAssim, t t d −s3 3 (e y(s)) ds = s2 e−s ds . 0 dt 0efetuando a integra¸ao, obtemos c˜ 3 1 3 e−t y(t) − y(0) = − (e−t − 1). 3Como y(0) = 1, temos que 4 t3 1 y(t) = e − . 3 3 ıcios 2.2. 1) Determine a solu¸ao dos P.V.I.’s:Exerc´ c˜ 2 a) y = (cos t) y, y(0) = 1. ˙ b) y + ˙ y = t3 , y(1) = 2. t 1 c) t y + y = t, ˙ y(10) = 20. d) y + y = ˙ , y(1) = 3. 1 + t2 1 e) (1 + t2 ) y + 4 t y = t, y(1) = . ˙ 4
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Eq. n˜o Homogˆnea 23 a e 2) (Equacao de Bernoulli) A equa¸˜o ¸˜ ca y + p(t)y = q(t)y n , ˙em que p(t) e q(t) s˜o fun¸oes cont´ a c˜ ınuas em algum intervalo I da retae n ∈ R, ´ conhecida como a equa¸˜o de Bernoulli. Se n = 0 e e can = 1 a equa¸ao n˜o ´ linear, mas pode ser transformada em uma c˜ a eequa¸ao linear fazendo a mudan¸a de vari´vel z = y 1−n . Demonstre c˜ c aisto, e resolva as equa¸oes: c˜ 3 a) y + t2 y = t2 y 4 . ˙ b) y − ˙ y = t4 y 1/3 . t 2 c) y + ˙ y = −t9 y 5 , y(−1) = 2. t 3) (Equacao de Ricatti) A equa¸˜o ¸˜ ca y + p(t) y + q(t) y 2 = f (t), ˙ (R)em que p(t), q(t) e f (t) s˜o fun¸oes cont´ a c˜ ınuas em algum intervalo I dareta e q(t) = 0 em I ´ conhecida como a equa¸˜o de Ricatti. Se y1 (t) e ca´ uma solu¸ao particular de (R), mostre que a mudan¸a de vari´vele c˜ c ay = y1 + 1/z transforma (R) numa equa¸ao linear de 1a ordem em z c˜ ¯da forma z = (p(t) + 2 q(t) y1 ) z + q(t). Deduza da´ que a solu¸ao geral ˙ ı c˜de uma equa¸ao de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conhe¸a c˜ cuma solu¸ao particular. c˜ 4) Use o exerc´ anterior para determinar a solu¸ao geral de cada ıcio c˜uma das seguintes equa¸˜es de Ricatti: co a) y − t3 y + t2 y 2 = 1, y1 (t) = t. ˙ b) y − t y 2 + (2t − 1) y = t − 1, y1 (t) = 1. ˙ c) y + y 2 − (1 + 2 et ) y + e2 t = 0, y1 (t) = et . ˙ d) y + t y 2 − 2 t2 y + t3 = t + 1, y1 (t) = t − 1. ˙
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 242.3 ¸˜ Algumas Aplicacoes2.3.1 ¸˜ Desintegracao radioativaSeja N (t) o n´mero de ´tomos radioativos em uma amostra num ins- u atante t. Define-se a atividade de uma amostra radioativa como sendoo n´mero de desintegra¸oes por unidade de tempo. Foi observado u c˜desde o in´ do estudo da radioatividade (1896), que a atividade ´ ıcio eproporcional ao n´mero de atomos radioativos presentes, isto ´: u ´ e dN = −λ N, dtonde λ ´ chamada constante de desintegra¸˜o ou de decaimento e caradioativo. Se N0 ´ o n´mero de ´tomos no instante t = 0, teremos o seguinte e u aP.V.I. dN = −λ N, N (0) = N0 dtque ´ uma equa¸˜o diferencial ordin´ria homogˆnea de 1a ordem, cuja e ca a e ¯solu¸ao ser´: c˜ a N (t) = N0 e−λ t . Observacao 2.7. Vale uma equa¸˜o semelhante para a massa de ¸˜ cauma substˆncia radioativa, ou seja: a dm = −λ m, m(0) = m0 , dtonde m = massa. A meia-vida de uma substˆncia radioativa ´ definida como sendo a eo tempo necess´rio para a decomposi¸ao da metade da substˆncia. a c˜ a
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 25Exemplo 2.6. Uma quantidade de substˆncia radioativa possui ini- acialmente m0 gramas e decomp˜e-se a uma raz˜o proporcional a quan- o a `tidade presente. Se a meia-vida da quantidade inicial ´ 2.000 anos, eencontre a quantidade da substˆncia depois de 3.000 anos. a dm m0Solucao: Temos que ¸˜ = −λm, m(0) = m0 e m(2000) = . dt 2Sabemos que a solu¸ao geral desta equa¸ao ´: c˜ c˜ e m(t) = c e−λ t .Como m(0) = m0 , temos que c = m0 . Portanto, m(t) = m0 e−λ t .Mas, 2 m0 = m0 e−2000 λ o que implica que λ = 1 ln 2 2000 . Logo, m(t) = −(ln 2/2000)tm0 e e, portanto, m0 m(3000) = m0 e−(3 ln 2)/2 = √ . 8 Observacao 2.8. Pode-se usar a desintegra¸˜o radioativa para de- ¸˜ cascobrir a falsifica¸˜o de obras de arte (vide [4], Se¸ao 1.3). ca c˜2.3.2 ´ Circuito EletricoConsideremos um circuito el´trico simples e Econsistindo de uma indutˆncia L, uma re- a I Rsistˆncia R e uma for¸a eletromotriz E0 = e c 
    • constante. O circuito ´ ligado no instante e E  Lt = 0. Deseja-se determinar a correnteI(t). Sabe-se que:i) a queda de voltagem (ou tens˜o) atrav´s a eda resistˆncia R ´ igual a RI; e e dIii) a queda de voltagem atrav´s de uma indutˆncia L ´ igual a L e a e . dtLogo, pela lei de Kirchhoff que diz que a soma alg´brica das diferen¸as e c
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 26de potencial ´ zero, temos: e dI dI RI E0 L + RI − E0 = 0 ou + = dt dt L Lque ´ uma E.D.O. linear n˜o homogˆnea de 1a ordem. Como I(0) = 0 e a e ¯(pois s´ temos corrente ap´s ligarmos o circuito), temos que o o E0 I(t) = (1 − e−R t / L ). R2.3.3 Resfriamento de um corpo (1) Consideremos um modelo simplificado para o fenˆmeno de ovaria¸˜o de temperatura num corpo por perda ou ganho de calor para cao meio ambiente, fazendo as seguintes hip´teses: oi) A temperatura T ´ a mesma no corpo todo e depende apenas do etempo.ii) A temperatura do meio ambiente, Ta , ´ constante com o tempo. e ˙ dTiii) O fluxo de calor atrav´s das paredes do corpo, dado por T (t) = e dt´ proporcional ` diferen¸a entre as temperaturas do corpo e do meioe a cambiente, isto ´, e ˙ T = −k(T − Ta )(chamada lei de Newton para resfriamento) em que k ´ uma constante epositiva que depende das propriedades f´ ısicas do corpo. Observamosque o sinal − na equa¸ao ´ devido ao fato que o calor flui da fonte c˜ equente para a fonte fria, e assim se T > Ta teremos que T decresce ese T < Ta , ent˜o T cresce. Conhecendo-se a temperatura T (0) = T0 , apodemos obter a temperatura do corpo em um instante t ≥ 0 qualquer.Para isto basta resolver a E.D.O. linear n˜o homogˆnea de 1a ordem: a e ¯ ˙ T + k T = k Ta , T (0) = T0cuja solu¸ao ser´: c˜ a T (t) = (T0 − Ta )e−k t + Ta .
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 27Observamos que:1) T0 > Ta =⇒ T (t) decresce quando t aumenta. 2) T0 < Ta =⇒ T (t) cresce quando t aumenta. 3) T0 = Ta =⇒ T (t) ´ constante. e 4) Em todos os casos T (t) → Ta quando t → ∞, isto ´, Ta ´ e echamada de temperatura de equil´ ıbrio. Geometricamente, temos T T T0 T (t) Ta Ta T (t) T0 t t E E T0 > Ta T0 < Ta (2) Suponhamos que a temperatura Ta , do meio ambiente, variacom o tempo ao receber (ou ceder) calor ao corpo. Sejam m e ma ,as massas do corpo e do meio ambiente, respectivamente e c e ca ,os calores espec´ ıficos do corpo e do meio ambiente respectivamente.Supondo-se que n˜o haja mudan¸as de estado f´ a c ısico, a lei da con-serva¸˜o da quantidade de calor pode ser expressa como: ca mc(T0 − T ) = ma ca (Ta − Ta,0 ), (2.9)onde T = T (t) e Ta = Ta (t) s˜o as temperaturas do corpo e do meio aambiente num instante t, respectivamente, e T0 = T (0) e Ta,0 = Ta (0).
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 28 Usando-se na equa¸˜o ca ˙ T = −k (T − Ta )a express˜o de Ta dada em (2.9), temos a mc Ta = (T0 − T ) + Ta,0 . ma caEnt˜o obtemos a ˙ mc mc T + k(1 + )T = k(Ta,0 + T0 ), ma ca ma caque ´ uma E.D.O. linear n˜o homogˆnea de 1a ordem. A solu¸˜o desta e a e ¯ caE.D.O. que satisfaz a condi¸˜o inicial T (0) = T0 ´ ` ca e T0 − Ta,0 −k (1+A) t Ta,0 + A T0 T (t) = e + , 1+A 1+A mconde A = . Logo ma ca 1) T0 > Ta,0 =⇒ T (t) decresce com o tempo. 2) T0 < Ta,0 =⇒ T (t) cresce com o tempo. 3) T0 = Ta,0 =⇒ T (t) ´ constante e igual a Ta,0 . e Ta,0 + A T0 4) Em qualquer dos casos T (t) → , quando t → ∞, que 1+Aser´ a temperatura de equil´ a ıbrio. Ta,0 + A T0 ıcio: Mostre que Ta (t) → Exerc´ , quando t → ∞. 1+A2.3.4 ¸˜ Diluicao de Misturas e ´ ´ Um tanque cont´m 100 litros de agua salgada. E adicionado, nestetanque, ´gua salgada a raz˜o de 5 litros por minuto, com uma concen- a ` atra¸ao de sal de 2 g/ . Ao mesmo tempo, a mistura deixa o tanque c˜
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 29atrav´s de um buraco a mesma raz˜o. A mistura do tanque ´ conti- e ` a enuamente agitada, de modo a manter a solu¸˜o homogˆnea (isto ´, a ca e econcentra¸˜o ´ a mesma em todo tanque). Se inicialmente a mistura ca econt´m uma concentra¸˜o de 1 g/ , determine a concentra¸ao num e ca c˜instante futuro.Solucao: Seja y(t) a quantidade de sal no tanque depois de t minutos ¸˜do instante inicial t0 = 0. Temos que o sal est´ sendo adicionado no a y(t)tanque a raz˜o de 5·2 g/min = 10 g/min e est´ saindo a raz˜o de 5 ` a a ` a 100 y(t)g/min = g/min. Assim, temos que a varia¸ao da quantidade de c˜ 20sal no tanque ´ dada por: e y y = 10 − ˙ 20que ´ uma E.D.O. linear n˜o homogˆnea de 1a ordem. Como y(0) = e a e ¯100 g temos que a sua solu¸ao ´ c˜ e y(t) = 200 − 100 e−0,05 te, portanto, a concentra¸˜o de sal no tanque no instante t ser´ ca a y(t) c(t) = = 2 − e−0,05 t . 100Note que isso mostra que a concentra¸˜o de sal no tanque tende a 2 cag/ , quando t → ∞. Geometricamente, temos T 2 c(t) 1 tE
    • Eq. Linear de 1a Ordem Cap. 2 ¯ Algumas Aplica¸˜es co 302.3.5 ¸˜ Outras Aplicacoes a) Forma¸˜o de um composto qu´ ca ımico ([7], p´gina 45). a b) Dinˆmica de crescimento de um tumor ([4], Se¸ ao 1.8). a c c) Modelos de popula¸ao ([4], Se¸ao 1.5). c˜ c˜ Exerc´ ıcios 2.3. 1) Um objeto de massa m ´ solto da posi¸ao de e c˜repouso em um meio que oferece resistˆncia proporcional a velocidade e `do objeto. Determinar a velocidade no instante t. 2) Fazer o problema proposto no Exerc´ 1, supondo que a re- ıciosistˆncia do meio ´ proporcional ao quadrado da velocidade. e e 3) Uma colˆnia de bact´rias cresce a uma raz˜o proporcional ao o e an´mero de bact´rias presente. Se o n´mero duplica a cada 24 ho- u e uras, quantas horas ser˜o necess´rias para que o n´mero de bact´rias a a u eaumente cem vezes sua quantidade original? 4) Um tanque de 200 litros de capacidade, cont´m inicialmente 40 elitros de agua pura. A partir do instante t = 0, adiciona-se ao tanqueuma solu¸ao de salmoura com 250 gramas de sal por litro, ` raz˜o de c˜ a a12 /min. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque ` raz˜o de 8 a a /min. Determinar a) o tempo necess´rio para que ocorra o transbordamento; a b) a concentra¸ao de sal na mistura presente no tanque no instante c˜do transbordamento.
    • Cap´ ıtulo 3Equa¸˜es Lineares de coSegunda Ordem As equa¸oes diferenciais de 2a ordem podem, geralmente, ser es- c˜ ¯critas sob a forma y = f (t, y, y), ¨ ˙ (3.1)em que f ´ uma fun¸ao definida em um subconjunto A ⊂ R3 . e c˜ Dizemos que uma fun¸ao y = y(t) ´ uma solu¸˜o de (3.1) no inter- c˜ e ca a ordem em I e y (t) = f (t, y(t), y(t))valo I se y(t) tiver derivada de 2¯ ¨ ˙para todo t ∈ I. Por exemplo, as fun¸oes y1 (t) = e2 t e y2 (t) = e−2 t s˜o solu¸oes da c˜ a c˜equa¸ao y = 4 y, pois: c˜ ¨ d2 (e2t ) d2 (e−2t )y1 (t) =¨ 2 = 4e2t = 4y1 (t) e y2 (t) = ¨ 2 = 4e−2t = 4y2 (t). dt dtEqua¸oes diferenciais surgem com freq¨ˆncia em problemas da F´ c˜ ue ısica,especialmente em Mecˆnica, em virtude da 2a lei de Newton, e em a ¯Eletricidade, como aplica¸ao das leis de Kirchhoff. Por exemplo, o c˜movimento de um pˆndulo simples sem atrito (como figura abaixo) ´ e e 31
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 32descrito pela equa¸˜o ca ¨ g θ + sen θ = 0. (3.2) x E θ T s } y c cm g ˙ Se levarmos em conta o atrito (que geralmente ´ dado por k θ), e ese o movimento estiver sujeito a uma for¸a externa F (t), a equa¸ao c c˜do pˆndulo fica e ¨ ˙ g θ + k θ + sen θ = F (t). (3.3) Consideremos agora a equa¸˜o: y = 3. ca ¨ Para obtermos a solu¸ao dessa equa¸ao basta integrarmos duas c˜ c˜vezes, ou seja, 3 2y=˙ 3 dt = 3 t + c1 =⇒ y(t) = (3t + c1 ) dt = t + c1 t + c2 . 2Note que temos o surgimento de duas constantes arbitr´rias: c1 e c2 a(lembremos que para a equa¸˜o de 1¯ ca a ordem somente aparecia umaconstante arbitr´ria). Logo, para termos unicidade de solu¸ao, pre- a c˜cisamos impor duas condi¸˜es: uma sobre a fun¸ao y(t) e outra sobre co c˜sua a derivada y(t) no instante t0 . Observamos que este fato est´ em ˙ aconcordˆncia com os problemas de Mecˆnica pois, para se caracterizar a ao movimento de um corpo, ´ preciso que sejam conhecidas sua posi¸ao e c˜inicial e sua velocidade inicial. Isto sugere que o problema de valorinicial associado a equa¸˜o (3.1) seja dado por ` ca   y = f (t, y, y) ¨ ˙ y(t0 ) = y0 (3.4) y(t0 ) = z0 . ˙ 
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 33 Em geral ´ muito dif´ resolver a equa¸ao (3.1). Por esta raz˜o, e ıcil c˜ a´ usual, nas aplica-¸˜es, recorrer ao estudo de equa¸oes mais simples;e co c˜as lineares que s˜o modelos aproximados de muitas equa¸oes diferen- a c˜ciais n˜o lineares. Por exemplo, a equa¸ao (3.2), do pˆndulo, n˜o ´ a c˜ e a elinear, mas para o estudo de pequenas oscila¸oes, costuma-se usar a c˜aproxima¸˜o sen θ ∼ θ e considerar a equa¸ao ca = c˜ ¨ g θ + θ = 0,que ´, claramente, mais simples do que (3.2). Analogamente, no lugar ede (3.3) costuma-se estudar a equa¸˜o ca ¨ ˙ g θ + k θ + θ = F (t).3.1 ¸˜ Teoria Geral para Equacoes de Se- gunda Ordem A partir de agora, nossa aten¸ao estar´ voltada para as equa¸oes c˜ a c˜lineares, cuja forma padr˜o ´ a e y + a(t) y + b(t) y = g(t). ¨ ˙ [L.N.H.]Esta equa¸˜o ´ chamada linear n˜o homogˆnea. Quando g(t) ≡ 0, ela ca e a etorna-se y + a(t) y + b(t) y = 0. ¨ ˙ [L.H.]Teorema 3.1 (Existˆncia e unicidade). Se as fun¸˜es a(t), b(t) e g(t) e coforem cont´nuas num intervalo I, ent˜o dados t0 ∈ I e y0 , z0 ∈ R, o ı aP.V.I.   y + a(t) y + b(t) y = g(t) ¨ ˙ y(t0 ) = y0 (3.5) y(t0 ) = z0 ˙ possui uma unica solu¸˜o y = y(t), a qual est´ definida para todo ´ ca at ∈ I.
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 34 Observacao 3.1. Pelo Teorema 3.1, a unica solu¸˜o de [L.H.] tal ¸˜ ´ caque y(t0 ) = y(t0 ) = 0 ´ a fun¸ao y(t) = 0. ˙ e c˜ Observacao 3.2. Este teorema ´ uma consequˆncia da forma veto- ¸˜ e erial do Teorema 1.4 (veja Observa¸ao 1.2). c˜ ∂F De fato: Do Teorema 1.4, temos que se F e s˜o fun¸oes a c˜ ∂xcont´ ınuas, ent˜o o P.V.I. a x = F (t, x) ˙ x(t0 ) = x0possui uma unica solu¸ao. Aqui temos a equa¸ao y = g(t) − a(t) y − ´ c˜ c˜ ¨ ˙b(t) y que pode ser escrita na forma x = F (t, x), fazendo ˙ y = x1 y = x1 = x2 . ˙ ˙Assim, temos que y = x2 = −a(t) x2 − b(t) x1 + g(t). Chamando ¨ ˙ x1 x2 F1 (t, x)x= , temos x = ˙ = . x2 −a(t) x2 − b(t) x1 + g(t) F2 (t, x) ∂FAqui, representa a matriz jacobiana de F (t, x1 , x2 ) em rela¸˜o a ca ∂xx1 , x2 , isto ´ e ∂F1 ∂F1   ∂(F1 , F2 )  ∂x1 ∂x2  0 1 JF (t, x1 , x2 ) = = = .   ∂(x1 , x2 )  ∂F ∂F  −b(t) −a(t) 2 2 ∂x1 ∂x2Logo, se a(t), b(t) e g(t) s˜o fun¸oes cont´ a c˜ ınuas em I, ent˜o o P.V.I. a   y + a(t) y + b(t) y = g(t) ¨ ˙ y(t0 ) = y0 y(t0 ) = z0 ˙ possui unica solu¸ao em I. ´ c˜
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 35 Antes de darmos um m´todo geral que permitir´ descrever o con- e ajunto de todas as solu¸oes de [L.H.], vamos analisar a equa¸ao c˜ c˜ y + ω2 y = 0 ¨ (3.6)(esta ´ a equa¸˜o do pˆndulo, em que escrevemos ω = g/ ). E f´cil e ca e ´ averificar que as fun¸oes ϕ1 (t) = cos ωt e ϕ2 (t) = sen ω t s˜o solu¸oes. c˜ a c˜Observamos que, quaisquer que sejam as constantes c1 , c2 ∈ R, afun¸ao c˜ ϕ(t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t (3.7)tamb´m ´ solu¸ao de (3.6). De fato, calculando ϕ e ϕ temos e e c˜ ˙ ¨ ϕ(t) = −ω c1 sen ω t + ω c2 cos ω t ˙ ϕ(t) = −ω 2 c1 cos ω t − ω 2 c2 sen ω t = −ω 2 ϕ(t). ¨Donde, ϕ(t) + ω 2 ϕ(t) = 0. ¨ Usando a express˜o (3.7), podemos resolver qualquer P.V.I. asso- aciado ` equa¸ao(3.6). Por exemplo, se procurarmos a solu¸˜o de a c˜ ca   y + ω2 y = 0 ¨ y(0) = 1 y(0) = 2 ˙ sob a forma ϕ(t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t, chegaremos a 1 = ϕ(0) = c1 2 = ϕ(0) = c2 ω. ˙ 2Portanto, a solu¸ao procurada ´ ϕ(t) = cos ω t + c˜ e sen ω t. ω De modo an´logo, ao procurarmos a solu¸˜o do P.V.I. a ca   y + ω2 y = 0 ¨ y(0) = y0 (3.8) y(0) = z0 ˙ 
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 36sob a forma (3.7), chegamos a z0 ϕ(t) = y0 cos ω t + sen ω t. (3.9) ω Agora, dada qualquer solu¸˜o y(t) de (3.6), chamando y0 = y(0) cae z0 = y(0) vemos que y(t) ´ solu¸ao do P.V.I. (3.8). Como, pelo ˙ e c˜Teorema 3.1, este problema possui uma unica solu¸ao, segue que ´ c˜y(t) ≡ ϕ(t), isto ´, y ´ dada por (3.9). Logo, toda solu¸ao de (3.6) e e c˜´ da forma (3.7), para uma conveniente escolha de c1 e c2 . Assim,ese denotarmos por S o conjunto de todas as solu¸oes de (3.6), o que c˜acabamos de mostrar ´ que S coincide com o conjunto de todas as ecombina¸˜es lineares de cos ω t e sen ω t (o qual ´ um espa¸o vetorial co e cde dimens˜o 2. Por quˆ?). a e Consideremos agora a equa¸˜o [L.H.] com a(t) e b(t) cont´ ca ınuas nointervalo I. Pelo Teorema 3.1, temos que toda solu¸ao y(t) de [L.H.] c˜est´ definida para todo t ∈ I (al´m disso, ´ claro que y(t) ´ duas vezes a e e econt´ınuamente diferenci´vel). Vamos repetir o procedimento acima e amostrar que se duas solu¸oes y1 (t) e y2 (t), forem convenientemente c˜escolhidas, ent˜o toda solu¸ao y(t) de [L.H.] ser´ dada por a c˜ a y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t), (3.10)onde c1 e c2 s˜o constantes. Primeiramente, notemos que toda fun¸˜o a cada forma (3.10) ´ uma solu¸˜o de [L.H.], como mostra o pr´ximo e ca oteorema, conhecido como Princıpio de Superposica ´ ¸ ˜ o:Teorema 3.2. Se ϕ1 (t) e ϕ2 (t) s˜o solu¸˜es de [L.H.] e se c1 , c2 s˜o a co aconstantes reais, ent˜o a fun¸˜o ϕ(t) = c1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) tamb´m ´ a ca e esolu¸˜o de [L.H.]. ca Demonstracao. Note que ¸˜ ϕ(t) + a(t) ϕ(t) + b(t) ϕ(t) = c1 [ϕ1 (t) + a(t) ϕ1 (t) + b(t) ϕ1 (t)] ¨ ˙ ¨ ˙ + c2 [ϕ2 (t) + a(t) ϕ2 (t) + b(t) ϕ2 (t)] = 0, ¨ ˙
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 37pois, ϕ1 e ϕ2 s˜o solu¸˜es de [L.H.]. Logo, ϕ tamb´m ´ solu¸˜o de a co e e ca[L.H.]. Seja y(t) uma solu¸ao de [L.H.] e sejam y0 = y(t0 ), z0 = y(t0 ) e c˜ ˙t0 ∈ I fixados. Para que y(t) seja dada por (3.10) devemos ter c1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) = y0 (3.11) c1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) = z0 . ˙ ˙Podemos considerar (3.11) como um sistema de duas equa¸oes nasc˜inc´gnitas c1 e c2 . Para que este sistema tenha solu¸ao quaisquer que o c˜sejam y0 e z0 ´ necess´rio e suficiente que e a y1 (t0 ) y2 (t0 ) D = det = 0. y1 (t0 ) y2 (t0 ) ˙ ˙ y0 y2 (t0 ) − z0 y2 (t0 ) ˙Neste caso, a solu¸ao do sistema (3.11) ´ c1 = c˜ e e D z0 y1 (t0 ) − y0 y1 (t0 ) ˙c2 = . Assim, provamos o seguinte DTeorema 3.3. Sejam y1 (t) e y2 (t) solu¸˜es de [L.H.] tais que co y1 (t) y2 (t) det =0 (3.12) y1 (t) y2 (t) ˙ ˙para todo t ∈ I. Ent˜o toda solu¸˜o de [L.H.] ´ dada por (3.10). a ca e Observacao 3.3. Em vista do Teorema 3.3, costuma-se dizer que ¸˜(3.10) ´ a solu¸˜o geral de [L.H.], ou que y1 (t) e y2 (t) constituem e caum conjunto fundamental de solu¸˜es, ou que y1 (t) e y2 (t) s˜o co asolu¸oes linearmente independentes de [L.H.]. c˜ Observacao 3.4. O determinante (3.12) desempenha um papel im- ¸˜portante no estudo da equa¸˜o [L.H.]. Ele ´ chamado Wronskiano ca ede y1 (t) e y2 (t) e denotado por W [y1 , y2 ](t), ou simplesmente W (t). Observacao 3.5. O Teorema 3.3 reduz o problema de obter a solu¸ao ¸˜ c˜geral de [L.H.] ao problema de encontrar duas solu¸oes convenientes c˜y1 e y2 (isto ´, tais que W [y1 , y2 ](t) = 0). e
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 38 Observacao 3.6. Se W [y1 , y2 ](t) ≡ 0 podem existir solu¸oes de ¸˜ c˜[L.H.] que n˜o sejam dadas por (3.10). Por exemplo, tomando como asolu¸oes da equa¸˜o (3.6) y1 (t) = cos ω t e y2 (t) = 5 cos ω t, temos c˜ caW [y1 , y2 ](t) ≡ 0. Notemos que a solu¸ao y(t) = sen ωt n˜o pode ser c˜ aescrita como c1 cos ω t + 5c2 cos ω t. Observacao 3.7. Dadas duas fun¸˜es quaisquer ϕ1 e ϕ2 (que n˜o ¸˜ co asejam solu¸˜es de [L.H.]), podem existir valores de t para os quais o cowronskiano de ϕ1 e ϕ2 seja nulo e outros valores de t para os quaiso wronskiano n˜o se anule. Por exemplo, se ϕ1 (t) = t e ϕ2 (t) = t2 , atemos t t2 W (t) = det = t2 . 1 2tPortanto, W (0) = 0 e W (1) = 1. O pr´ximo teorema mostra que a situa¸˜o descrita na Observa¸ao o ca c˜3.7 n˜o ocorre se ϕ1 e ϕ2 forem solu¸˜es de [L.H.]. a coTeorema 3.4. Sejam y1 (t), y2 (t), t ∈ I, solu¸˜es de [L.H.] e t0 ∈ I cofixado. Seja W (t) o wronskiano de y1 e y2 . Ent˜o a t − a(s) ds W (t) = W (t0 ) e t0 , para todo t ∈ I. (3.13)Em particular, como a fun¸˜o exponencial nunca se anula, segue-se caque se W (t0 ) = 0, ent˜o W (t) = 0 para todo t ∈ I. a Demonstracao. Temos que ¸˜ W (t) = y1 (t) y2 (t) − y1 (t) y2 (t). ˙ ˙Derivando, obtemos˙W (t) = y1 (t) [−a(t) y2 (t) − b(t) y2 (t)] − y2 (t) [−a(t) y1 (t) − b(t) y1 (t)] ˙ ˙ = −a(t) [y1 (t) y2 (t) − y1 (t) y2 (t)] = −a(t) W (t). ˙ ˙
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 39 ˙Portanto, W (t) + a(t) W (t) = 0. Resolvendo esta equa¸ao linear de c˜ a ordem em W , obtemos (3.13).1¯ Observe que as conclus˜es de Teorema 3.4 referem-se apenas ao ointervalo I no qual as fun¸˜es a(t) e b(t) s˜o cont´ co a ınuas. Para pontosfora deste intervalo as conclus˜es podem falhar. Veja o exemplo a oseguir:Exemplo 3.1. As fun¸˜es y1 (t) = 1 e y2 (t) = t2 s˜o solu¸˜es da co a co 1equa¸ao y − y = 0, para t > 0. Temos c˜ ¨ ˙ t 1 t2 W (t) = det = 2 t. 0 2tPortanto, W (0) = 0 e W (t) = 0 para todo t > 0. Isto n˜o contradiz ao Teorema 3.4, uma vez que o coeficiente −1/t n˜o ´ definido para a et = 0. Notemos ainda que a solu¸ao geral desta equa¸˜o ´ c1 + c2 t2 , c˜ ca evisto que W (1) = 2 = 0. Finalmente, observamos que ´ sempre poss´ obter duas solu¸˜es e ıvel coy1 e y2 de [L.H.] tais que W [ y1 , y2 ](t) = 0 para todo t ∈ I. De fato,fixado t0 ∈ I, basta definir y1 (t) como sendo a unica solu¸˜o de [L.H.] ´ catal que y(t0 ) = 1 e y(t0 ) = 0 e, y2 (t) como sendo a unica solu¸˜o de ˙ ´ ca[L.H.] tal que y(t0 ) = 0 e y(t0 ) = 1. Assim W (t0 ) = 1 e segue do ˙Teorema 3.4 que W (t) = 0 para todo t ∈ I. Resumimos estes fatos noseguinteTeorema 3.5. Suponhamos que a(t) e b(t) sejam fun¸˜es cont´nuas co ıno intervalo I. Ent˜o existem duas solu¸˜es y1 (t) e y2 (t) da equa¸˜o a co ca y + a(t) y + b(t) y = 0 ¨ ˙tais que W [ y1 , y2 ](t) = 0, para todo t ∈ I. Al´m disso, a solu¸˜o e cageral desta equa¸˜o ´ dada por c1 y1 (t) + c2 y2 (t), em que c1 e c2 s˜o ca e aconstantes arbitr´rias. a
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Teoria Geral 40 Observacao 3.8. O Teorema 3.5 garante que o espa¸o das solu¸oes ¸˜ c c˜da equa¸ao [L.H.] ´ um espa¸o vetorial de dimens˜o 2. c˜ e c a √ Exerc´ıcios 3.1. 1) a) Mostre que y1 = t e y2 = 1/t s˜o solu¸oes a c˜da equa¸ao diferencial 2 t2 y + 3 t y − y = 0, no intervalo 0 < t < ∞. c˜ ¨ ˙b) Calcule W [ y1 , y2 ](t). Que acontece quando t tende a zero?c) Mostre que y1 (t) e y2 (t) formam um conjunto fundamental desolu¸oes da equa¸ao dada, no intervalo 0 < t < ∞. c˜ c˜d) Resolva o P.V.I. 2 t2 y + 3 t y − y = 0, y(1) = 2, y(1) = 1. ¨ ˙ ˙2) Sejam y1 (t) e y2 (t) solu¸oes de y + a(t) y + b(t) y = 0 no intervalo c˜ ¨ ˙−∞ < t < ∞ com y1 (0) = 3, y1 (0) = 1, y2 (0) = −1 e y2 (0) = 1/3. ˙ ˙Mostre que y1 (t) e y2 (t) s˜o linearmente independentes no intervalo a−∞ < t < ∞.3) Sejam y1 (t) = t2 e y2 (t) = t |t|.a) Mostre que y1 e y2 s˜o linearmente dependentes no intervalo [0, 1]. ab) Mostre que y1 e y2 s˜o linearmente independentes em [−1, 1]. ac) Mostre que W [ y1 , y2 ] ´ identicamente nulo. ed) Mostre que y1 e y2 n˜o podem nunca ser solu¸ao de y + a(t) y + a c˜ ¨ ˙b(t) y = 0 no intervalo −1 ≤ t ≤ 1 se ambas as fun¸oes a(t) e b(t) c˜forem cont´ınuas neste intervalo.4) Considere a equa¸˜o y +a(t) y +b(t) y = 0, com a(t) e b(t) cont´ ca ¨ ˙ ınuasnum intervalo I. Mostre que:a) Se y1 e y2 se anulam no mesmo ponto do intervalo I, ent˜o elas n˜o a apodem formar um conjunto fundamental de solu¸˜es em I. cob) Se y1 e y2 assumem um m´ximo ou um m´ a ınimo no mesmo ponto dointervalo I, ent˜o elas n˜o podem formar um conjunto fundamental a ade solu¸oes em I. c˜
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Redu¸˜o de Ordem ca 41c) Se y1 e y2 formam um conjunto fundamental de solu¸˜es, ent˜o elas co an˜o podem ter um ponto de inflex˜o comum em I, a menos que a(t) a ae b(t) se anulem simultaneamente a´ı.3.2 ¸˜ Reducao de Ordem Suponhamos conhecida uma solu¸ao y1 (t) de [L.H.]. J´ vimos que c˜ apara toda constante c ∈ R, c y1 (t) tamb´m ´ solu¸ao de [L.H.]. Este e e c˜fato sugere que tentemos encontrar uma outra solu¸˜o de [L.H.] da caforma y2 (t) = v(t) y1 (t),em que v(t) ´ uma fun¸˜o n˜o constante. Este procedimento, devido e ca aa D’Alembert (1717-1783), ´ usualmente chamado m´todo da e eredu¸˜o de ordem. Note que y2 = v y1 implica que ca y2 = v y1 + v y˙1 ˙ ˙ e y2 = v y1 + 2 v y˙1 + v y1 . ¨ ¨ ˙ ¨Substituindo em [L.H.], obtemos v [ y1 + a y1 + b y1 ] + v [ 2y1 + a y1 ] + v y1 = 0. ¨ ˙ ˙ ˙ ¨Como y1 + a y1 + b y1 = 0 (pois y1 ´ solu¸˜o de [L.H.]), temos que v ´ ¨ ˙ e ca esolu¸ao de: c˜ 2y˙1 v+ a+ ¨ v = 0. ˙ y1Fazendo z = v, temos a equa¸ao de 1a ordem em z ˙ c˜ ¯ 2y˙1 z+ a+ ˙ z=0 y1cuja solu¸˜o ´ dada por z(t) = c e− ca e (a(t)+2[y(t)/y(t)]) dt ˙ = c u(t), em quec ´ constante. Logo, e v(t) = z(t) dt = c u(t) dt
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Redu¸˜o de Ordem ca 42e ent˜o a y2 (t) = v(t) y1 (t) = c y1 (t) u(t) dt.Portanto, as duas solu¸˜es de [L.H.] s˜o y1 (t) e y2 (t) = y1 (t) co a u(t) dt.Exemplo 3.2. Determine a 2a solu¸ao da equa¸˜o ¯ c˜ ca t2 y + 2 t y − 2 y = 0 ¨ ˙sabendo-se que y1 (t) = t.Solucao: Vamos procurar y2 (t) = v(t) y1 (t) = t v(t). Assim, ¸˜ y2 = v + t v ˙ ˙ e y2 = t v + 2 v. ¨ ¨ ˙Substituindo na equa¸˜o, obtemos ca t2 (t v + 2 v) + 2 t (v + t v) − 2 t v = 0 ¨ ˙ ˙que implica t3 v + 4 t2 v = 0. ¨ ˙Fazendo z = v, temos ˙ t3 z + 4 t2 z = 0 ˙que ´ uma E.D.O. linear de 1a ordem em z. Escrevendo e ¯ 4 z+ z=0 ˙ t (4/t) dttemos que µ(t) = e = t4 . Portanto, d 4 (t z) = 0. dtLogo, t4 z = c. Equivalentemente, z = c t−4 . Logo, 1 v(t) = z(t) dt = t−4 dt = − t−3 . 3Portanto, 1 1 y2 (t) = − t−3 y1 (t) = − t−2 . 3 3
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Equa¸˜o homogˆnea. 43 ca e Exerc´ıcios 3.2. Determine, por redu¸ao de ordem, a 2a solu¸ao das c˜ ¯ c˜equa¸oes abaixo: c˜ 1) y − 4 y − 12 y = 0, y1 (t) = e6t . ¨ ˙ 2) y − 2 y + y = 0, y1 (t) = et . ¨ ˙ 3) t2 y + 2 t y = 0, y1 (t) = 1. ¨ ˙ √ 4) 2 t2 y + 3 t y − y = 0, y1 (t) = ¨ ˙ t.3.3 ¸˜ ˆ Equacoes Homogeneas com Coefi- cientes Constantes Consideremos a equa¸˜o ca a y + b y + c y = 0, ¨ ˙ (3.14)em que a, b e c s˜o constantes reais com a = 0. a ¨ gExemplo 3.3. 1) Movimento de um pˆndulo simples θ + θ = 0. e b k 2) Sistema massa mola: y + ¨ y+ ˙ y = 0, em que o termo b y ˙ m m´ devido ` resistˆncia do meio.e a e De acordo com o Teorema 3.5, basta encontrar duas solu¸˜es y1 (t) coe y2 (t) linearmente independentes (isto ´, W [ y1 , y2 ](t) = 0) de (3.14) ee todas as demais ser˜o combina¸oes destas. a c˜ Observemos que se y = ϕ(t) ´ uma solu¸˜o de (3.14) ent˜o a soma e ca ados termos a ϕ(t), b ϕ(t) e c ϕ(t) deve ser igual a zero para todo t. ¨ ˙Para que isto ocorra as trˆs fun¸oes ϕ(t), ϕ(t) e ϕ(t) devem ser do e c˜ ˙ ¨ 4“mesmo tipo”. Por exemplo a fun¸˜o y(t) = t nunca poder´ ser ca a
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Equa¸˜o homogˆnea. 44 ca esolu¸ao de (3.14) pois os termos 12 a t2 , 4 b t3 e c t4 s˜o polinomios de c˜ agraus diferentes e, por isso sua soma n˜o se cancela. Por outro lado, aa fun¸ao y(t) = eλt , em que λ ´ constante, tem a propriedade de que c˜ etanto y(t) como y (t) s˜o m´ltiplos de y(t). Isto sugere que tentemos ˙ ¨ a uy(t) = e como solu¸˜o de (3.14). Substituindo y(t) = eλt em (3.14) λt caobtemos a (eλt ) + b (eλt ) + c eλt = 0 =⇒ eλt (a λ2 + b λ + c) = 0o que implica que a λ2 + b λ + c = 0. (3.15)Portanto, y(t) = eλt ´ uma solu¸ao de (3.14) se, e somente, se λ ´ raiz e c˜ ede (3.15). A equa¸ao (3.15) ´ chamada Equa¸˜o Caracter´ c˜ e ca ıstica de(3.14). As ra´ de (3.15) s˜o ızes a √ √ −b + b2 − 4 a c −b − b2 − 4 a c λ1 = e λ2 = . 2a 2a Vamos analisar as trˆs possibilidades para o discriminante b2 −4 a c: e i) b2 − 4 a c > 0: Ra´ ızes reais distintas Neste caso eλ1 t e eλ2 t s˜o solu¸oes de (3.14) e seu wronskiano a c˜ eλ1 t eλ2 t W (t) = det = (λ2 − λ1 )e(λ1 +λ2 )t = 0, λ1 eλ1 t λ2 eλ2 tpara todo t ∈ R. Logo, as solu¸oes s˜o linearmente independentes e, c˜ aportanto, formam uma base do espa¸o das solu¸oes. Ou seja, qualquer c c˜solu¸ao de (3.14) ´ da forma c˜ e y(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t . ii) b2 − 4 a c = 0: Ra´ ızes reais iguais b Neste caso λ1 = λ2 = − e com isto temos uma solu¸˜o y1 = ca 2a (−b/2 a) te . Vamos encontrar a outra solu¸˜o de (3.14) (n˜o m´ltipla de ca a u
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Equa¸˜o homogˆnea. 45 ca ey1 ) usando redu¸˜o de ordem, isto ´, procurando v(t) n˜o constante ca e a −(b/2 a) ttal que y2 (t) = v(t) e seja solu¸˜o de (3.14). Substituindo em ca(3.14), obtemos b2 b2 e−(b/2 a) t a v + ¨ − + c v = 0. 4a 2aComo e−(b/2 a) t = 0 para todo t e b2 − 4 a c = 0, temos v = 0 =⇒ v(t) = α t + β, com α, β ∈ R. ¨Podemos tomar α = 1 e β = 0, pois queremos encontrar uma solu¸˜o. caLogo, v(t) = t. Portanto, a outra solu¸˜o de (3.14) ´ ca e y2 (t) = t e−(b/2 a) t .Exemplo 3.4. Resolva o P.V.I. y + 6y + 9y = 0 ¨ ˙ y(0) = 1, y(0) = 2. ˙Solucao: y = eλt =⇒ λ2 + 6 λ + 9 = 0 =⇒ λ1 = λ2 = −3. Portanto, ¸˜a solu¸ao geral ´ c˜ e y(t) = (c1 + c2 t) e−3 t .Como y(0) = 1, temos c1 = 1. Al´m disso, y(t) = (c2 − 3 − 3 c2 t) e−3 t e ˙e y(0) = 2. Logo, c2 = 5. Portanto, a solu¸ao do P.V.I. ´ ˙ c˜ e y(t) = e−3 t + 5 t e−3 t . iii) b2 − 4 a c < 0: Ra´ ızes ComplexasLogo, √ √ b i 4 a c − b2 b i 4 a c − b2 λ1 = − + e λ2 = − − . 2a 2a 2a 2a
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Equa¸˜o homogˆnea. 46 ca e ıamos de dizer que eλ1 t e eλ2 t s˜o solu¸˜es de (3.14). EntretantoGostar´ a cosurgem dois problemas: a) definir eλ t para λ complexo, b) mesmo que consigamos definir eλ1 t e eλ2 t como solu¸˜es (que cocertamente ter˜o valores complexos) de (3.14) queremos obter solu¸˜es a coreais. Comecemos resolvendo o segundo problema, pois caso contr´rio an˜o teria sentido resolver o primeiro. a ¸˜ ˙Definicao 3.1. Se F (t) = u(t)+i v(t), definimos F (t) = u(t)+i v(t). ˙ ˙ Observacao 3.9. Esta defini¸˜o faz sentido, pois podemos identi- ¸˜ caficar F (t) = u(t) + i v(t) com f (t) = (u(t), v(t)). Logo, f (t) ´ uma eparametriza¸ao de uma curva plana cujo vetor velocidade ´ (u(t), v(t)). c˜ e ˙ ˙Fica ent˜o natural a defini¸ao acima. a c˜ Proposicao 3.1. Se y(t) = u(t) + i v(t) ´ uma solu¸˜o a valores ¸˜ e cacomplexos de (3.14), ent˜o u(t) e v(t) s˜o solu¸˜es reais de (3.14). a a co Demonstracao. Note que ¸˜ a y (t) + b y(t) + c y(t) = 0 ¨ ˙ou seja, [a u(t) + b u(t) + c u(t)] + i [a v (t) + b v(t) + c v(t)] = 0. ¨ ˙ ¨ ˙Para que um n´mero complexo seja zero ´ necess´rio que sua parte u e areal e sua parte imagin´ria sejam zero. Logo, a a u(t) + b u(t) + c u(t) = 0 e a v (t) + b v(t) + c v(t) = 0. ¨ ˙ ¨ ˙Isto ´ u e v s˜o solu¸oes (3.14). e a c˜ E com isto resolvemos o segundo problema. Passemos agora ao ´primeiro, isto ´, vamos definir eλ t para λ complexo. E natural pedir e
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Equa¸˜o homogˆnea. 47 ca eque esta fun¸ao satisfa¸a ea+b = ea eb . Logo, se λ = α + i β, devemos c˜ cter eλ t = eα t+i β t = eα t ei β t .Portanto, basta apenas definirmos ei β t . Sabemos que, para todo x real, vale ∞ x xn x2 x3 e = =1+x+ + + ··· . n=0 n! 2! 3!A equa¸ao acima tem sentido, formalmente, mesmo para x complexo. c˜Isto sugere que coloquemos (i θ)2 (i θ)3 ei θ = 1 + i θ + + + ··· = 2! 3! θ2 i θ3 θ4 i θ5 = 1 + iθ − − + + − ··· 2! 3! 4! 5! θ2 θ4 θ3 θ5 = 1− + − ··· + i θ − + − ··· , 2! 4! 3! 5! θ2 θ4 θ3 θ5Como cos θ = 1 − 2! + 4! − · · · e sen θ = θ − 3! + 5! − · · · ´ razo´vel e adefinir ei θ = cos θ + i sen θ.Portanto, eλ t = e(α+i β) t = eα t (cos β t + i sen β t). deλ t ıcio: Mostre que Exerc´ = λ eλ t para λ complexo. dt Agora ´ f´cil verificar que e a √ λt αt −b 4 a c − b2y(t) = e =e (cos β t + i sen β t), com α = e β= 2a 2a´ uma solu¸ao a valores complexos de (3.14), se b2 − 4 a c < 0. Logo,e c˜pela Proposi¸˜o 3.1, temos que ca y1 (t) = eα t cos β t e y2 (t) = eα t sen β t
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Equa¸˜o homogˆnea. 48 ca es˜o duas solu¸oes reais de (3.14). a c˜ ıcio: Mostre que W [ y1 , y2 ](t) = βe2 α t . Exerc´ Pelo exerc´ acima, temos que y1 (t) = eα t cos β t e y2 (t) = eα t sen β t ıcioformam uma base do espa¸o solu¸ao e, conseq¨entemente, a solu¸ao c c˜ u c˜ 2geral de (3.14) para b − 4 a c < 0 ´ e y(t) = eα t (c1 cos β t + c2 sen β t). ¸˜ ¯ Observacao 3.10. Pode-se pensar que eλ2 t , em que λ2 = λ1 dar´aorigem a outras duas solu¸oes. Todavia, isto n˜o ocorre, pois c˜ aeλ2 t = e(α−i β) t = eα t [cos(−β t) + i sen(−βt)] = eα t [cos βt − sen β t].Portanto, y1 (t) = [eλ2 t ] = eα t cos β t = y1 (t) ˜e y2 (t) = [eλ2 t ] = −eα t sen β t = −y2 (t). ˜Exemplo 3.5. Determine a solu¸˜o real do P.V.I. ca y + 2y + 5y = 0 ¨ ˙ y(0) = 1, y(0) = 3. ˙Solucao: A equa¸ao caracter´ ¸˜ c˜ ıstica λ2 + 2 λ + 5 = 0 possui ra´ ızescomplexas λ1 = −1 + 2 i e λ2 = −1 − 2 i. Portanto, eλ1 t = e(−1+2 i) t = e−t cos 2 t + i e−t sen 2 t´ uma solu¸˜o com valores complexos de y + 2 y + 5 y = 0. Logo, pelae ca ¨ ˙Proposi¸ao 3.1, temos que c˜ y1 (t) = (eλ1 t ) = e−t cos 2 t e y2 (t) = (eλ1 t ) = e−t sen 2 ts˜o solu¸˜es reais da equa¸˜o. Mais ainda, elas formam uma base para a co cao espa¸o solu¸˜o. Portanto, a solu¸ao geral ´ c ca c˜ e y(t) = e−t (c1 cos 2 t + c2 sen 2 t),
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Equa¸˜o homogˆnea. 49 ca eonde c1 e c2 s˜o constantes reais. Como y(0) = 1, temos c1 = 1. Logo, ay(t) = e (cos 2 t + c2 sen 2 t). Isso implica que y(t) = −e−t (cos 2 t + −t ˙c2 sen 2 t) + e−t (−2 sen 2 t + 2 c2 cos 2 t). Portanto, y(0) = 3 implica ˙que c2 = 2. Logo, a solu¸˜o do P.V.I. ´ ca e y(t) = e−t (cos 2 t + 2 sen 2 t).Exemplo 3.6. (Vibra¸˜es livres n˜o amortecidas) Consideremos co ao sistema massa-mola enunciado no Cap´ ıtulo 1, Subse¸ao 1.1.3, cuja c˜equa¸ao ´ c˜ e my + ky = 0 ¨ou y + ω 2 y = 0, ¨em que ω = k/m (lembremos que k > 0 e m > 0). A equa¸ao caracter´ c˜ ıstica λ2 + ω 2 = 0 possui ra´ızes complexasλ1 = i ω e λ2 = −i ω. Logo, ϕ(t) = ei ω t = cos ω t + i sen ω t ´ uma esolu¸ao com valores complexos que d´ origem as seguintes solu¸˜es c˜ a ` coreais linearmente independentes y1 (t) = cos ω t e y2 (t) = sen ω t.Portanto, a solu¸ao geral ´ dada por c˜ e y(t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t.Observacao 3.11. Para esbo¸ar o gr´fico de y(t), vamos reescrevˆ-la ¸˜ c a ede modo mais apropriado: denotando A = c2 + c2 e α = arctg(c2 /c1 ), 1 2podemos escrever y(t) = c1 cos ω0 t + c2 sen ω0 t = A cos(ω0 t − α),Logo, temos que y(t) est´ sempre entre −A e +A e, portanto, o movi- amento ´ peri´dico de per´ e o ıodo 2π/ω0 , amplitude A, freq¨ˆncia ω0 e ueangulo de fase α. O gr´fico de y(t) ´ mostrado na figura abaixo.ˆ a e
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Equa¸˜o homogˆnea. 50 ca e y T 2π/ω0 A t E −A Este movimento tamb´m ´ chamado de movimento harmˆnico e e osimples.Exemplo 3.7. (Vibra¸oes livres amortecidas) Consideremos o sis- c˜tema massa-mola, supondo agora que o meio oferece uma for¸a de cresistˆncia proporcional ` velocidade do corpo. Portanto, devemos e aresolver a equa¸ao c˜ c k y+ ¨ y+ ˙ y = 0. m mA equa¸˜o caracter´ √ ´ m λ2 + c λ + k = √ cujas ra´ ca ıstica e 0, ızes s˜o: a −c + c 2 − 4mk −c − c 2 − 4mk λ1 = e λ2 = . 2m 2m Consideremos as seguintes situa¸˜es: co ıtico ou forte (c2 − 4 m k > 0) (i) amortecimento supercr´Neste caso temos que λ1 e λ2 y Ts˜o reais e negativas. De fato,√a c2 − 4 m k < c. A solu¸˜o geral ca´:e t y(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t . E casos (i) e (ii)
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Equa¸˜o homogˆnea. 51 ca e ıtico (c2 − 4 m k = 0) (ii) amortecimento cr´ yComo c2 − 4 m k = 0, temos que Tλ1 = λ2 = −c/(2 m).Neste caso, a solu¸ao geral ´: c˜ e t E y(t) = (c1 + c2 t) e−c t/(2 m) . casos (i) e (ii) ıtico ou oscilat´rio (c2 − 4 m k < 0) (iii) amortecimento subcr´ o Como c2 − 4 m k < 0, temos que λ1 e λ2 s˜o complexos conjugados. aPortanto, a solu¸ao geral ´: c˜ e y(t) = e(−c/2 m)t (c1 cos µ t + c2 sen µ t), √ 4 m k − c2em que µ = ou y(t) = A e(−c/2 m) t cos(µ t − α). Logo, a 2msolu¸ao oscila entre duas curvas y = −A e(−c/2 m) t e y = A e(−c/2 m) t . c˜Portanto, representa a curva do cosseno com amplitude decrescente. y T y = A e−c t/2 m  )  t E T y = −A e−c t/2 m Nos trˆs casos o movimento se “extingue” no futuro se existe atrito eno sistema, ou seja, qualquer perturba¸˜o inicial ´ dissipada pelo atrito ca eexistente. Esta ´ uma das raz˜es pelas quais os sistemas massa-mola e o
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 52 a es˜o uteis nos sistemas mecˆnicos; eles podem ser usados para amorte- a ´ acer qualquer perturba¸˜o indesejada. ca ıcios 3.3. 1) Determine a solu¸ao geral de:Exerc´ c˜ a) y − y − 2 y = 0. ¨ ˙ b) y − 7 y = 0. ¨ ˙ c) y + 4 y = 0. ¨ d) y − 4 y + 13 y = 0. e) y − 4 y + 4 y = 0. f) y = 0. ¨ ˙ ¨ ˙ ¨ 2) a) Seja λ1 = α + i β uma raiz complexa de λ2 + (a − 1) λ + b = 0.Mostre que tα+iβ = tα ti β = tα e(ln t) i β = tα [cos(β ln t) + i sen(β ln t)]´ uma solu¸ao com valores complexos da equa¸˜o de Eulere c˜ ca t2 y + a t y + b y = 0. ¨ ˙ (3.16)b) Mostre que tα cos(β ln t) e tα sen(β ln t) s˜o solu¸˜es reais de (3.16). a co3) Determine a solu¸ao geral de: c˜ a) t2 y +t y+y = 0, ¨ ˙ t > 0. b) t2 y +2 t y+2 y = 0, ¨ ˙ t > 0.3.4 ¸˜ ˜ ˆ A Equacao Nao Homogenea Consideremos a equa¸˜o n˜o homogˆnea ca a e y + a(t) y + b(t) y = g(t), ¨ ˙ [L.N.H.]em que a(t), b(t) e g(t) s˜o fun¸˜es cont´ a co ınuas em um intervalo I eg(t) = 0. Nos fenˆmenos f´ o ısicos descritos por equa¸˜o da forma acima, o catermo g(t) representa, em geral, um “agente externo” atuando sobre
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 53 a eo sistema. Por exemplo, o sistema massa-mola, sujeito apenas ` a¸˜o a ca kda gravidade, ´ descrito pela equa¸˜o: y + e ca ¨ y = 0. Agora, se im- mpusermos ao sistema acima uma for¸a externa peri´dica de intensidade c o k AA cos ωt, a equa¸˜o fica y + y = ca ¨ cos ω t. m m Um fato que foi observado para a equa¸ao linear de 1a ordem n˜o c˜ ¯ ahomogˆnea y + α(t) y = β(t) (ver Observa¸ao 2.4) ´ que sua solu¸ao e ˙ c˜ e c˜geral ´ const´ e ıtuida de duas parcelas:i) a solu¸˜o geral da homogˆnea y + α(t) y = 0; ca e ˙ii) uma solu¸ao particular da equa¸˜o n˜o homogˆnea y+α(t) y = β(t). c˜ ca a e ˙ Mostraremos que este fato tamb´m ´ verdadeiro para as equa¸oes e e c˜ a ordem (na verdade, ´ v´lida em geral).lineares de 2¯ e aTeorema 3.6. Sejam y1 (t) e y2 (t) solu¸˜es linearmente independentes coda equa¸˜o homogˆnea ca e y + a(t) y + b(t) y = 0, ¨ ˙ [L.H.]e seja ϕ(t) uma solu¸˜o particular da equa¸˜o n˜o homogˆnea [L.N.H.]. ca ca a eEnt˜o toda solu¸˜o y(t) de [L.N.H.] ´ da forma a ca e y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + ϕ(t), (3.17)para alguma escolha conveniente das constantes c1 e c2 . ¸˜ ´ a Demonstracao. E f´cil mostrar que se ϕ1 e ϕ2 s˜o solu¸oes a c˜de [L.N.H.], ent˜o a fun¸˜o ψ(t) = ϕ1 (t) − ϕ2 (t) ´ solu¸ao de [L.H.] a ca e c˜(Exerc´ ıcio). Seja agora y(t) uma solu¸ao qualquer de [L.N.H.]. Pela parte an- c˜terior a fun¸ao w(t) = y(t) − ϕ(t) ´ solu¸˜o de [L.H.]. Por´m, toda c˜ e ca esolu¸ao de [L.H.] ´ combina¸˜o linear de y1 (t) e y2 (t). Ent˜o c˜ e ca a y(t) − ϕ(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t).Logo, y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + ϕ(t).
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 54 a e Observacao 3.12. A grande utilidade do Teorema 3.6 ´ que ele reduz ¸˜ eo problema de encontrar todas as solu¸oes de [L.N.H.] ao problema c˜mais simples de encontrar duas solu¸oes linearmente independentes c˜de [L.H.] e uma solu¸ao de [L.N.H.]. c˜ Observacao 3.13. A express˜o (3.17) ´ chamada solu¸˜o geral de ¸˜ a e ca[L.N.H.].Exemplo 3.8. Determine a solu¸˜o geral de y + y = t. ca ¨Solucao: Vamos determinar a solu¸ao geral da homogˆnea associ- ¸˜ c˜ eada: y + y = 0. A equa¸ao caracter´ ¨ c˜ ıstica λ2 + 1 = 0 possui ra´ ızes itcomplexas λ = ±i. Logo ψ(t) = e = cos t + i sen t ´ uma solu¸ao e c˜a valores complexos. Ent˜o y1 (t) = cos t e y2 (t) = sen t s˜o duas a asolu¸oes reais linearmente independentes de y + y = 0. Al´m disso, c˜ ¨ eϕ(t) = t ´ obviamente uma solu¸ao particular de y + y = t. Logo, pelo e c˜ ¨Teorema 3.6, toda solu¸˜o desta equa¸ao ´ da forma ca c˜ e y(t) = c1 cos t + c2 sen t + t.Exemplo 3.9. Trˆs solu¸oes de uma equa¸ao linear n˜o homogˆnea de e c˜ c˜ a e a ordem s˜o: ϕ (t) = t, ϕ (t) = t + et e ϕ (t) = 1 + t + et . Determine2¯ a 1 2 3a solu¸ao geral desta equa¸˜o. c˜ caSolucao: As fun¸oes ϕ2 (t) − ϕ1 (t) = et e ϕ3 (t) − ϕ2 (t) = 1 s˜o ¸˜ c˜ a tsolu¸oes da homogˆnea associada e, al´m disso, as fun¸˜es e e 1 s˜o c˜ e e co alinearmente independentes. Logo, a solu¸˜o geral de tal equa¸ao ´: ca c˜ e y(t) = c1 + c2 et + t.Exerc´ ıcios: Sabendo que ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 s˜o solu¸˜es de uma equa¸˜o a co calinear n˜o homogˆnea de 2¯ a e a ordem, determinar a solu¸˜o geral desta caequa¸ao, sendo: c˜ a) ϕ1 (t) = t2 , ϕ2 (t) = t2 + e2 t e ϕ3 (t) = 1 + t2 + 2 e2 t . 2 2 b) ϕ1 (t) = 1 + et , ϕ2 (t) = 1 + t + et e ϕ3 (t) = (t + 1) et + 1.
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 55 a e Para resolvermos uma equa¸ao linear n˜o homogˆnea precisamos c˜ a esaber encontrar uma solu¸˜o particular. Veremos agora dois m´todos ca epara determinar tal solu¸ao. c˜3.4.1 ´ Metodo dos Coeficientes a Determinar Vamos estudar a equa¸ao c˜ a y + b y + c y = g(t), ¨ ˙ (3.18)em que a, b e c s˜o constantes reais e g(t) ´ uma fun¸˜o exponencial, a e caou um polinˆmio, ou sen t ou cos t. Para estes tipos de fun¸oes g, de- o c˜terminaremos facilmente uma solu¸˜o particular. O m´todo tamb´m ca e ese aplica a produtos de tais fun¸oes, ou seja c˜ g(t) = eαt (a0 + a1 t + · · · + an tn ) (b1 sen β t + b2 cos β t). Antes de discutir um procedimento geral, vamos considerar algunsexemplos:Exemplo 3.10. Encontre uma solu¸ao particular da equa¸ao c˜ c˜y − 3 y − 4 y = 2 sen t.¨ ˙Solucao: Queremos uma fun¸ao yp (t) tal que a soma de sua 2a ¸˜ c˜ ¯derivada menos 3 vezes a sua 1a derivada menos 4 vezes a pr´pria ¯ ofun¸ao seja igual a 2 sen t. H´ pouca chance de sucesso se tentar- c˜ amos fun¸˜es como ln t, et ou t2 , pois n˜o importa como combinamos co aestas fun¸oes ´ imposs´ c˜ e ıvel obter 2 sen t. Parece obvio que devemos ´considerar para yp fun¸oes como sen t e cos t. Vamos ent˜o tentar c˜ ayp (t) = A cos t + B sen t, em que A e B s˜o constantes a serem deter- aminadas. Logo, yp (t) = −A sen t + B cos t =⇒ yp (t) = −A cos t − B sen t ˙ ¨e, substituindo na equa¸ao, obtemos c˜ (−5 A − 3 B) cos t + (3 A − 5 B) sen t = 2 sen t.
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 56 a eEsta equa¸ao estar´ identicamente satisfeita se e somente se c˜ a −5 A − 3 B = 0 3 5 =⇒ A = e B=− . 3A − 5B = 2 17 17Logo, uma solu¸˜o particular da equa¸˜o ´: ca ca e 3 5 yp (t) = cos t − sen t. 17 17Exemplo 3.11. Idem para y − 3 y − 4 y = 4 t2 . ¨ ˙ ¸˜ ´Solucao : E natural tentar yp (t) = A t2 , em que A ´ uma constante ea ser determinada. Ent˜o, yp (t) = 2 A t. Logo, yp (t) = 2 A. Substi- a ˙ ¨tuindo na equa¸˜o, obtemos ca 2 A − 6 A t − 4 A t2 = 4 t2 =⇒ A = 0 e A = −1.Portanto, ´ imposs´ achar uma solu¸ao da forma A t2 . Entretanto, e ıvel c˜pensando no termo 4 t2 como 4 t2 +0 t+0, agora parece razo´vel tentar a 2yp (t) = A t +B t+C, em que A, B e C devem ser determinadas. Ent˜o a yp (t) = 2 A t + B ˙ e yp (t) = 2 A. ¨Portanto, −4 A t2 + (−6 A − 4 B) t + (2 A − 3 B − 4C) = 4 t2 . Ou seja,A = −1, B = 3/2 e C = −13/8. Logo, 3 13 yp (t) = −t2 + t− . 2 8Exemplo 3.12. Idem para y − 3 y − 4 y = e5 t . ¨ ˙Solucao: Vamos tentar yp (t) = A e5 t . Portanto, yp (t) = 5 A e5 t e ¸˜ ˙yp (t) = 25 A e5 t . Substituindo na equa¸ao, temos que 6 A e5 t = e5 t .¨ c˜ 1Ou seja A = . Portanto, 6 1 5t yp (t) = e . 6
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 57 a eExemplo 3.13. Idem para y − 3 y − 4 y = e−t . ¨ ˙Solucao: Seria natural tentar yp (t) = A e−t . Portanto, yp (t) = ¸˜ ˙−A e e yp (t) = A e . Substituindo na equa¸ao, temos 0·A e = e−t −t ¨ −t c˜ −to que implica que ´ imposs´ determinar A tal que A e−t seja solu¸˜o e ıvel ca −tdesta equa¸ao. A dificuldade neste caso ´ que e ´ uma solu¸˜o da c˜ e e ca −tequa¸ao homogˆnea associada e, portanto, A e tamb´m ´ solu¸˜o c˜ e e e cada equa¸ao homogˆnea. Abaixo veremos como resolver esta equa¸ao, c˜ e c˜ t e−tcuja yp (t) = − . 5 Passemos ao estudo do caso geral em que g possui uma das formas: a) Pn (t) = an tn + an−1 tn−1 + · · · + a1 t + a0 , b) eαt Pn (t), c) eαt Pn (t) sen β t ou eαt Pn (t) cos β t, d) combina¸oes lineares das anteriores. c˜1o caso: Se g(t) = Pn (t), an = 0, ent˜o a equa¸ao (3.18) torna-se ¯ a c˜ a y + b y + c y = an tn + an−1 tn−1 + · · · + a1 t + a0 . ¨ ˙ (3.19) Devemos procurar yp (t) de tal forma que a combina¸ao a yp +b y˙p + c˜ ¨c yp seja um polinˆmio de grau n. O candidato natural ´: o e yp (t) = An tn + An−1 tn−1 + · · · + A1 t + A0com os coeficientes A0 , A1 , . . ., An a serem determinados. Substi-tuindo na equa¸˜o (3.19), temos: caa [n (n − 1) An tn−2 + (n − 1)(n − 2) An−1 tn−3 + · · · + 6 A3 t + 2 A2 ] + b [n An tn−1 + (n − 1) An−1 tn−2 + · · · + 2 A2 t + A1 ] (3.20) + c [An tn + An−1 tn−1 + · · · + A1 t + A0 ] = an tn + an−1 tn−1 + · · · + a1 t + a0 .
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 58 a eIgualando os coeficientes, obtemos    c An = an c An−1 + n b An = an−1     c An−2 + (n − 1) b An−1 + n (n − 1) a An = an−2 (3.21)  . .     .  c A0 + b A1 + 2 a A2 = a0 . Se c = 0, determinamos, pela primeira equa¸ao de (3.21), que c˜ anAn = . Em seguida, substituimos An na segunda equa¸ao, obtemos c˜ c an−1 − (n b an )/cAn−1 = e assim sucessivamente. c Se c = 0 e b = 0, ent˜o a yp + b yp ´ um polinˆmio de grau n − 1, a ¨ ˙ e oenquanto que Pn (t) ´ um polinˆmio de grau n. Assim, ´ imposs´ e o e ıvelresolver (3.21). Para garantir que a yp + b yp seja um polinˆmio de ¨ ˙ ograu n, devemos escolher yp como sendo um polinˆmio de grau n + 1. oPortanto, assumimos yp (t) = t (An tn + · · · + A1 t + A0 )(omitimos o termo constante pois y = constante ´ uma solu¸ao da e c˜equa¸ao homogˆnea a y + b y = 0) e procedemos como anteriormente. c˜ e ¨ ˙ Se b = c = 0, ent˜o tomamos yp (t) = t2 (An tn + · · · + A1 t + A0 ). a2o caso: Consideremos a equa¸˜o diferencial: ¯ ca a y + b y + c y = eα t Pn (t). ¨ ˙ (3.22)Se removermos o fator eαt do segundo membro de (3.22), esta equa¸ao c˜torna-se igual a equa¸ao (3.19). Para conseguirmos isto pomos y = ` c˜eα t v. Ent˜o y = eα t (v + α v) e y = eαt (¨ + 2 α v + α2 v). Substituindo a ˙ ˙ ¨ v ˙na equa¸ao (3.22) e cancelando o fator comum eα t , obtemos c˜ a v + (2 a α + b)v + (a α2 + b α + c) v = Pn (t). ¨ ˙ (3.23)
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 59 a eConseq¨entemente, y(t) = eα t v(t) ´ solu¸ao de (3.22) se e somente se u e c˜v(t) ´ solu¸ao de (3.23), que ´ um problema j´ resolvido. e c˜ e a Para encontrar uma solu¸˜o particular v(t) de (3.23), devemos dis- catinguir os seguintes casos: (i) a α2 + b α + c = 0, (ii) a α2 + b α + c = 0, mas 2 a α + b = 0, (iii) a α2 + b α + c = 2 a α + b = 0. O caso (i) significa que α n˜o ´ raiz da equa¸ao caracter´ a e c˜ ıstica a λ2 + b λ + c = 0, (3.24)ou seja, eα t n˜o ´ solu¸ao da equa¸ao homogˆnea a y + b y + c y = 0. a e c˜ c˜ e ¨ ˙Neste caso, temos que yp (t) = Qn (t) e , em que Qn (t) = An tn + · · · + αtA1 t + A0 . A condi¸˜o (ii) significa que α ´ raiz simples da equa¸ao carac- ca e c˜ ıstica (3.24), ou seja eα t ´ solu¸˜o da equa¸˜o homogˆnea, master´ e ca ca e αt αtt e n˜o ´. Neste caso, yp (t) = t Qn (t) e . a e Finalmente, a condi¸ao (iii) significa que tanto eα t como t eα t s˜o c˜ a 2 αtsolu¸oes da equa¸ao homogˆnea e, portanto, yp (t) = t Qn (t) e . c˜ c˜ eExemplo 3.14. Encontre uma solu¸ao particular da equa¸ao c˜ c˜y − 3 y + 2 y = (4 − 6 t) e−t .¨ ˙Solucao: A equa¸˜o caracter´ ¸˜ ca ıstica λ2 −3 λ+2 = 0 possui duas ra´ ızesdistintas λ1 = 1 e λ2 = 2. Portanto, y1 (t) = et e y2 (t) = e2 t formamuma base de espa¸o solu¸ao da equa¸ao homogˆnea. Logo, e−t n˜o c c˜ c˜ e a´ solu¸˜o da homogˆnea. Portanto, fazemos yp (t) = (A + B t) e−t ee ca etemos que yp (t) = (A + B − B t) e−t ˙ e yp (t) = (A − 2 B + B t)e−t . ¨
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 60 a eSubstituindo na equa¸˜o e cancelando o fator e−t , obtemos ca 6A − 5B = 4 A = −16 A − 5 B + 3 B t = 4 − 6 t =⇒ =⇒ 3B = −6 B = −2.Logo, yp (t) = −(1 + 2 t) e−t ´ uma solu¸ao. e c˜Exemplo 3.15. Idem para y − 3 y + 2 y = (1 + t) et . ¨ ˙Solucao: Como vimos, no Exemplo 3.14, et ´ solu¸ao da equa¸ao ¸˜ e c˜ c˜homogˆnea associada. Assim, devemos tentar yp (t) = t (A + B t) et . eIsso implica queyp (t) = [A+(A+2 B) t+B t2 ] et e yp (t) = [2A+2 B+(A+4 B) t+B t2 ] et .˙ ¨Substituindo na equa¸˜o e cancelando o fator et , obtemos ca −A + 2 B = 1 1−A+2 B−2 B t = 1+t =⇒ =⇒ A = −2 e B = − . −2 B = 1 2Logo, yp (t) = (−2 t − t2 /2) et .Exemplo 3.16. Encontrar uma solu¸ao particular para a equa¸ao c˜ c˜ 2 3 5 3ty − 6 y + 9 y = (6 + 12 t + 12 t + 40 t + 42 t ) e .¨ ˙Solucao: A equa¸˜o caracter´ ¸˜ ca ıstica λ2 − 6 λ + 9 = 0 possui ra´ızes 3t 3tiguais λ1 = λ2 = 3. Portanto, y1 (t) = e e y2 (t) = t e s˜o solu¸oes a c˜da equa¸˜o homogˆnea associada. Logo, a solu¸ao particular da n˜o ca e c˜ ahomogˆnea ´ da forma e e yp (t) = t2 (A0 + A1 t + A2 t2 + A3 t3 + A4 t4 + A5 t5 ) e3 t .Como se pode notar ´ bem trabalhoso esta express˜o na equa¸ao dada e a c˜ ´ muito mais pr´tico fazer y(t) = e3 t v. Issopara obter os coeficientes. E aimplica que y = (v + 3 v) e3 t e y = (¨ + 6 v + 9 v) e3 t . Substituindo na ˙ ˙ ¨ v ˙equa¸ao e cancelando o fator e3 t , obtemos c˜ v = 6 + 12 t + 12 t2 + 40 t3 + 42 t5 . ¨
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 61 a eIntegrando duas vezes, vem v(t) = 3 t2 + 2 t3 + t4 + 2 t5 + t7 .Logo, uma solu¸˜o particular ´ ca e yp = (3 t2 + 2 t3 + t4 + 2 t5 + t7 ) e3 t .3o caso: Consideremos agora a equa¸ao diferencial ¯ c˜ a y + b y + c y = eα t Pn (t) sen βt ¨ ˙ (ou cos β t). (3.25)Este problema pode ser reduzido ao anterior se notarmos que: (i) ei β t = cos β t + i sen β t e (ii) se y(t) = u(t) + i v(t) ´ uma solu¸˜o com valores complexos da e caequa¸ao c˜ a y + b y + c y = g1 (t) + i g2 (t), ¨ ˙em que a, b e c s˜o constantes reais, ent˜o a a a u + b u + c u = g1 (t) ¨ ˙ a v + b v + c v = g2 (t). ¨ ˙ ıcio: Prove (ii).Exerc´ Seja ϕ(t) = u(t) + i v(t) uma solu¸˜o particular da equa¸˜o ca ca a y + b y + c y = eα t (a0 + · · · + an tn ) eiβ t . ¨ ˙ (3.26)A parte real do segundo membro de (3.26) ´ eα t (a0 +· · ·+an tn ) cos β t ee a parte imagin´ria ´ eα t (a0 + · · · + an tn ) sen β t; segue-se de (ii) que a e u(t) = [ϕ(t)]´ uma solu¸ao dee c˜ a y + b y + c y = eα t (a0 + · · · + an tn ) cos β t ¨ ˙
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 62 a ee v(t) = [ϕ(t)]´ uma solu¸ao dee c˜ a y + b y + c y = eα t (a0 + · · · + an tn ) sen β t. ¨ ˙Exemplo 3.17. Encontre uma solu¸ao particular da equa¸ao c˜ c˜y − 3 y + 2 y = 20 sen 2 t.¨ ˙Solucao: Vamos determinar yp (t) como a parte imagin´ria de uma ¸˜ asolu¸ao com valores complexos ϕ(t) da equa¸ao y − 3 y + 2 y = 20 e2 i t . c˜ c˜ ¨ ˙Como e2it n˜o ´ solu¸ao da homogˆnea associada, devemos tentar a e c˜ esolu¸ao da forma ϕ(t) = Ae2 i t . Isso implica que c˜ ϕ(t) = 2 i Ae2 i t ˙ e ϕ(t) = −4 A e2 i t . ¨Substituindo na equa¸ao diferencial, obtemos (−2 − 6 i) A = 20 ou c˜A = −1 + 3 i. Logo, ϕ(t) = (−1 + 3 i) e2 i t = (−1 + 3 i) (cos 2 t + i sen 2 t).Logo, yp (t) = [ϕ(t)] = 3 cos 2 t − sen 2 t.4o caso: Finalmente seja g(t) uma combina¸ao linear de fun¸˜es dos ¯ c˜ cotipos descritos nos casos 1, 2 e 3. Este caso pode ser resolvido usando o chamado Princ´ıpio daSuperposicao de Solucoes, que diz: se ϕ1 ´ solu¸ao da equa¸˜o ¸˜ ¸˜ e c˜ ca a y + b y + c y = g1 (t) ¨ ˙e ϕ2 ´ solu¸ao da equa¸˜o e c˜ ca a y + b y + c y = g2 (t) ¨ ˙
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 63 a ee α1 , α2 s˜o constantes, ent˜o a fun¸ao ϕ(t) = α1 ϕ1 (t) + α2 ϕ2 (t) ´ a a c˜ esolu¸ao da equa¸˜o c˜ ca a y + b y + c y = α1 g1 (t) + α2 g2 (t). ¨ ˙ ıcio: Prove esta afirma¸ao.Exerc´ c˜Exemplo 3.18. Determine uma solu¸˜o particular da equa¸˜o: ca ca y − 3 y + 2 y = (4 − 6 t) e−t + 20 sen 2 t. ¨ ˙Solucao: Para encontrar uma solu¸ao particular desta equa¸ao de- ¸˜ c˜ c˜vemos procurar solu¸˜es particulares yp1 (t) e yp2 (t) das equa¸˜es co co y − 3 y + 2 y = (1 + t) e3 t ¨ ˙ e y − 3 y + 2 y = 20 sen 2 t, ¨ ˙respectivamente, e ent˜o somarmos essas duas solu¸˜es. Temos, do a co 3tExemplo 3.14 que yp1 (t) = (−1/4 + t/2) e e do Exemplo 3.17 queyp2 (t) = 3 cos 2 t − sen 2 t. Logo, yp (t) = yp1 (t) + yp2 (t) = −(1 + 2 t) e−t + 3 cos 2 t − sen 2 t . Exerc´ ıcios 3.4. 1) Determine uma solu¸˜o particular de cada uma cadas seguintes equa¸˜es: co a) y + 4 y = sen t. ¨ ˙ b) y + 4 y = cos 2 t. ¨ c) y − y = t2 et . ¨ d) y + 2 y + y = e−t . ¨ ˙ e) y − 2 y + 5 y = 2 cos2 t. ¨ ˙ f) y + 4 y = t sen 2 t. ¨ g) y + y = cos t cos 2 t. ¨ h) y − 3 y + 2 y = et + e2 t . ¨ ˙ i) y + y − 6 y = sen t + te2 t . ¨ ˙ j) y + 2 y = 1 + t2 + e−2 t . ¨ ˙2) a) Seja L(y) = y − 2 λ1 y + λ2 y. Mostre que L[eλ1 t v(t)] = eλ1 t v (t). ¨ ˙ 1 ¨ b) Determine a solu¸ao geral da equa¸ao y − 6 y + 9 y = t3/2 e3 t . c˜ c˜ ¨ ˙
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 64 a e3.4.2 ´ ¸˜ ˆ Metodo de Variacao dos Parametros (ou ¸˜ Variacao das Constantes)Este ´ o m´todo mais geral para se encontrar solu¸˜o particular de e e caequa¸ao diferencial n˜o homogˆnea, pois aplica-se tamb´m a equa¸oes c˜ a e e ` c˜com coeficientes vari´veis. A desvantagem deste m´todo ´ que ele con- a e eduz ao c´lculo de integrais geralmente complicadas. O m´todo consiste a eem determinar uma solu¸ao particular da equa¸˜o n˜o homogˆnea c˜ ca a e y + a(t) y + b(t) y = g(t) ¨ ˙ [L.N.H.]uma vez conhecidas duas solu¸˜es linearmente independentes da equa¸˜o co cahomogˆnea associada e y + a(t) y + b (t)y = 0. ¨ ˙ [L.H.]Sejam y1 (t) e y2 (t) duas solu¸oes linearmente independentes da [L.H.]. c˜Vamos procurar uma solu¸˜o particular yp (t) de [L.N.H.] da forma ca yp (t) = u1 (t) y1 (t) + u2 (t) y2 (t). (3.27) ¸˜ ` Observacao 3.14. A primeira vista, isto parece n˜o ter sentido, apois estamos substituindo o problema de encontrar uma fun¸ao desco- c˜nhecida yp (t) pelo problema de encontrar duas fun¸oes desconhecidas c˜u1 (t) e u2 (t), que aparentemente ´ mais dif´ e ıcil. Entretanto, se traba-lharmos corretamente encontraremos u1 (t) e u2 (t) como as solu¸oes de c˜duas equa¸oes de 1a ordem muito simples. c˜ ¯ Nosso objetivo, agora, ´ impor condi¸oes sobre u1 e u2 de modo e c˜que a express˜o yp + a yp + b yp se torne t˜o simples quanto poss´ a ¨ ˙ a ıvel.Derivando (3.27), obtemos yp = u1 y1 + u2 y2 + u1 y1 + u2 y2 . ˙ ˙ ˙ ˙ ˙Para simplificar as express˜es de yp e yp , vamos impor sobre u1 e u2 a o ˙ ¨condi¸ao: c˜ u1 y1 + u2 y2 = 0. ˙ ˙
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 65 a eCom isto, temos yp = u1 y1 + u1 y1 + u2 y2 + u2 y2 . ¨ ˙ ˙ ¨ ˙ ˙ ¨Substituindo yp , yp e yp na equa¸ao [L.N.H.] e agrupando convenien- ˙ ¨ c˜temente, obtemos u1 y1 + u2 y2 + u1 [¨1 + a y1 + b y1 ] + u2 [¨2 + a y2 + b y2 ] = g. ˙ ˙ ˙ ˙ y ˙ y ˙Como y1 e y2 s˜o solu¸˜es da homogˆnea, vem a co e u1 y1 + u2 y2 = g. ˙ ˙ ˙ ˙Ent˜o, yp = u1 y1 + u2 y2 ´ uma solu¸ao da [L.N.H.] se u1 e u2 satisfi- a e c˜zerem as duas condi¸oes: c˜ y1 u1 + y2 u2 = 0 ˙ ˙ y1 u1 + y2 u2 = g ˙ ˙ ˙ ˙que ´ um sistema linear em u1 e u2 cujo determinante da matriz dos e ˙ ˙coeficientes ´ W (t) = W [ y1 , y2 ](t). Note W (t) ´ diferente de zero, e epois y1 e y2 s˜o solu¸˜es linearmente independentes da [L.H.]. Logo, a co g y2 g y1 u1 = − ˙ e u2 = ˙ . W WFinalmente, por integra¸˜o, obtemos u1 e u2 e, conseq¨entemente, yp . ca uObservacao 3.15. A solu¸˜o geral de [L.H.] ´ ¸˜ ca e y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t).Fazendo c1 e c2 variar com o tempo, obtemos uma solu¸˜o da [L.N.H.]. caDa´ o nome varia¸˜o dos parˆmetros (ou constantes). ı, ca aExemplo 3.19. Determine uma solu¸˜o particular da equa¸˜o ca ca ty − y = 4e .¨Solucao: Primeiramente, devemos encontrar duas solu¸oes linear- ¸˜ c˜mente independentes da homogˆnea associada y − y = 0. A equa¸ao e ¨ c˜
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Eq. N˜o Homogˆnea 66 a ecaracter´ ıstica λ2 −1 = 0 possui duas ra´ distintas λ1 = 1 e λ2 = −1. ızes t −tPortanto, y1 (t) = e e y2 (t) = e s˜o solu¸˜es da homogˆnea com a co eW [ y1 , y2 ](t) = −2 = 0. Ent˜o yp (t) = u1 (t) y1 (t) + u2 (t) y2 (t), em aque −g(t) y2 (t) −4 et e−t u1 (t) = ˙ = = 1 =⇒ u1 (t) = 2 t W −2e g(t) y1 (t) 4 et et u2 (t) = ˙ = = −2 e2 t =⇒ u2 (t) = −e2 t . W −2Logo, uma solu¸˜o particular de y − y = 2et ´: ca ¨ e yp (t) = 2 t et − et . Exerc´ ıcios 3.5. 1) Encontre a solu¸ao geral, usando o m´todo de c˜ evaria¸˜o dos parˆmetros para determinar uma particular, de: ca a a) y + y = tg t, ¨ no intervalo 0 < t < π/2. b) y − 5 y + 6 y = t et . ¨ ˙ c) y + 2 y + y = 3 e−t . ¨ ˙ d) y − 4 y + 3 y = et /(1 + et ). ¨ ˙ e) y + y = cos2 t. ¨ f) t2 y + t y − y = 4. ¨ ˙ g) t2 y − 2 y + 2 y = t4 . ¨ ˙ h) t2 y − 2 t y + 2 y = t−2 . ¨ ˙ i) t¨ − y = 2 t2 et . y ˙ Sugestao: Nos exerc´ ˜ ıcios f, g, h e i determine por tentativa umabase de solu¸˜es para as homogˆneas associadas. co e 2) Sabendo-se que as fun¸˜es t−1/2 sen t e t−1/2 cos t s˜o solu¸oes co a c˜ 2 2linearmente independentes da equa¸˜o t y + t y + (t − 1/4) y = 0, ca ¨ ˙t > 0, encontre a solu¸˜o geral de t y + t y + (t − 1/4) y = 3 t3/2 sen t. ca 2 ¨ ˙ 2 3) Determine duas solu¸˜es LI de t2 y − 2 y = 0 da forma y(t) = tr . co ¨Usando essas duas solu¸oes, determine a solu¸ao geral de t2 y −2 y = t2 . c˜ c˜ ¨ 4) Uma solu¸ao da equa¸˜o y + p(t) y + q(t) y = 0 ´ (1 + t)2 , e c˜ ca ¨ ˙ e
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Aplica¸˜es 67 coo wronskiano de duas solu¸oes quaisquer, desta equa¸ao, ´ constante. c˜ c˜ eDetermine a solu¸˜o geral de: y + p(t) y + q(t) y = 1 + t. ca ¨ ˙3.5 ¸˜ Algumas Aplicacoes3.5.1 ¸˜ ˆ Vibracoes Mecanicas(a) Vibracoes Amortecidas Forcadas ¸˜ ¸ Consideremos o sistema massa-mola enunciado no Cap´ ıtulo 1, Se¸ao c˜1.1.3, e suponhamos que esteja imerso em um meio, tal como oleo, que ´ofere¸a uma for¸a de resistˆncia ao movimento (atrito) que em geral ´ c c e eproporcional ` velocidade. Este problema, estudado no Exemplo 3.7, as˜o as vibra¸˜es livres amortecidas. Analisemos agora o problema em a coque a massa est´ sujeita a uma for¸a externa F (t) = F0 cos ωt. Ent˜o a c aa equa¸ao diferencial que nos d´ o movimento da massa ´ c˜ a e m y + c y + k y = F0 cos ω t. ¨ ˙Usando o m´todo dos coeficientes a determinar, encontramos uma esolu¸ao particular c˜ F0 yp (t) = [(k − m ω 2 ) cos ω t + c ω sen ω t] (k − m ω 2 )2 + c2 ω 2 F0 = 2 )2 + c2 ω 2 [(k − m ω 2 )2 + c2 ω 2 ]1/2 cos(ω t − α) (k − m ω F0 cos(ω t − α) = , [(k − m ω 2 )2 + c2 ω 2 ]1/2em que α = arctg(c ω/(k − m ω 2 )). Portanto, toda solu¸ao y(t) da c˜equa¸ao acima ´ da forma c˜ e F0 cos(ω t − α) y(t) = ϕ(t) + , [(k − m ω 2 )2 + c2 ω 2 ]1/2
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Aplica¸˜es 68 coonde ϕ(t) ´ uma solu¸ao da equa¸ao homogˆnea associada. Conforme e c˜ c˜ evimos no Exemplo 3.7 temos que ϕ(t) → 0 quando t → ∞. Portanto,para t grande, y(t) = yp (t) descreve muito precisamente a posi¸ao da c˜massa m, independentemente de sua posi¸ao e velocidade iniciais. Por c˜esta raz˜o, yp (t) ´ chamada a parte estacion´ria da solu¸˜o e ϕ(t) a e a ca´ chamada a parte transit´ria da solu¸ao.e o c˜ (b) Vibracoes Forcadas nao Amortecidas ¸˜ ¸ ˜ Consideremos o problema acima com c = 0, isto ´, sem amorteci- emento. Ent˜o a equa¸˜o diferencial que nos d´ o movimento da massa a ca a´e m y + k y = F0 cos ω t ¨ou 2 F0 y + ω0 y = ¨ cos ω t, m 2 kem que ω0 = . m O caso ω = ω0 n˜o tem interesse. Toda solu¸ao ´ da forma a c˜ e F0 y(t) = c1 cos ω0 t + c2 sen ω0 t + 2 cos ω t. m (ω0 − ω 2 )Portanto, ´ soma de duas fun¸oes peri´dicas de per´ e c˜ o ıodos diferentes. Ocaso interessante ´ aquele em que ω = ω0 , isto ´, quando a freq¨ˆncia e e ueω da for¸a externa ´ igual a freq¨ˆncia natural do sistema. Este caso c e ue´ chamado de ressonˆncia e a equa¸˜o diferencial do movimento dae a camassa ´e 2 F0 y + ω0 y = ¨ cos ω0 t. (3.28) mEncontraremos uma solu¸ao particular yp (t) de (3.28) como a parte c˜real de uma solu¸ao com valores complexos da equa¸ao c˜ c˜ 2 F0 i ω0 t y + ω0 y = ¨ e . (3.29) m
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Aplica¸˜es 69 coComo ei ω0 t ´ solu¸˜o da equa¸ao homogˆnea y + ω0 y = 0, a equa¸ao e ca c˜ e ¨ 2 c˜ i ω0 t(3.29) tem uma solu¸˜o da forma ϕ(t) = A t e ca , para alguma cons-tante A. Ent˜oaϕ(t) = A ei ω0 t + i ω0 A t eiω0 t˙ e ϕ(t) = 2 i ω0 A ei ω0 t − ω0 A t ei ω0 t . ¨ 2Logo, F0 i ω0 t e = ϕ + ω0 ϕ = 2 i ω0 A ei ω0 t . ¨ 2 mIsto implica que A = −i F0 /(2 m ω0 ) e, portanto, i F0 t i ω0 t i F0 t ϕ(t) = − e =− (cos ω0 t + i sen ω0 t) 2 m ω0 2 m ω0 i F0 t i F0 t = sen ω0 t − cos ω0 t. 2 m ω0 2 m ω0 F0 tLogo, yp (t) = [ϕ(t)] = sen ω0 t ´ uma solu¸ao particular de e c˜ 2 m ω0(3.28). Conseq¨entemente, toda solu¸˜o y(t) de (3.28) ´ da forma: u ca e F0 t y(t) = c1 cos ω0 t + c2 sen ω0 t + sen ω0 t. 2 m ω0 T yp t E Notamos que a soma das duas primeiras parcelas ´ uma fun¸ao e c˜peri´dica de t e a terceira parcela representa uma oscila¸˜o de am- o caplitude crescente. Portanto, se a for¸a externa F0 cos ωt, est´ em c aressonˆncia com a freq¨ˆncia natural do sistema, causar´ sempre os- a ue acila¸oes ilimitadas. Tal fenˆmeno foi respons´vel pela queda da Ponte c˜ o ade Tacoma ([4]) e muitas outras cat´strofes mecˆnicas. a a
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Aplica¸˜es 70 co3.5.2 ´ Circuitos EletricosConsideremos agora um sistema el´trico, o qual serve para mostrar que esistemas f´ısicos inteiramente diversos podem corresponder ` mesma aequa¸ao diferencial, o que ilustra o papel unificador que a Matem´tica c˜ arepresenta junto a v´rios fenˆmenos de natureza f´ a o ısica completamentediferentes. Vamos obter uma correspondˆncia entre sistemas el´tricos e ee mecˆnicos que n˜o ´ simplesmente qualitativa, mas estritamente a a equantitativa porque, dado um sistema mecˆnico, podemos construir aum sistema el´trico cuja corrente forne¸a os valores exatos do deslo- e ccamento no sistema mecˆnico, quando introduzimos fatores da escala aadequados. A analogia pode ser empregada para construir um mo-delo el´trico de um dado sistema mecˆnico. Em muitos casos, isto e aconstitui uma simplifica¸ao essencial, porque os circuitos el´tricos s˜o c˜ e af´ceis de montar e as correntes e tens˜es s˜o medidas com facilidade, a o aenquanto a constru¸˜o de um modelo mecˆnico pode ser complicada ca ae cara, e a medida dos deslocamentos, demorada e imprecisa. Examinemos o circuito RLC representado na figura abaixo, emque E representa uma fonte de for¸a eletromotriz (gerador ou bateria) cque produz uma diferen¸a de potencial que produz uma corrente I cque passa atrav´s do circuito quando a chave S ´ fechada. R denota e ea resistˆncia ao fluxo da corrente (tal como a produzida por uma elˆmpada), L, um indutor (bobina de fio de cobre). a E I R 
    • E  L C e rS e Quando a corrente passa atrav´s da bobina, produz-se um campo emagn´tico que se op˜e a qualquer mudan¸a na corrente atrav´s desta e o c e
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Aplica¸˜es 71 cobobina. A varia¸˜o de voltagem produzida pela bobina ´ proporcional ca ea taxa de varia¸˜o da corrente. A constante de proporcionalidade ´` ca echamada indutˆncia L da bobina. a C = capacitor, que consiste geralmente de duas placas de metalseparadas por um material atrav´s do qual pode passar pouca corrente. eUm capacitor tem o efeito de reverter o fluxo da corrente quando umadas placas se torna carregada. Seja Q(t) a carga do capacitor no instante t. Para deduzir umaequa¸ao diferencial satisfeita por Q(t) usaremos a 2a lei de Kirchhoff: c˜ ¯ “Num circuito fechado, a voltagem aplicada ´ igual ` soma das e aquedas de voltagem no resto do circuito.” Como a queda de voltagem atrav´s do resistor R ´ igual a RI, e e dIatrav´s do indutor L ´ igual a L e e e atrav´s do capacitor C ´ igual a e e dtQ/C, temos que dI Q L + R I + = E(t) dt C dQ(t)e, como I(t) = , vem que dt d2 Q dQ Q L 2 +R + = E(t). dt dt C Esta equa¸ao e a equa¸ao do sistema massa-mola, apresentado na c˜ c˜Subse¸ao 3.5.1, s˜o essencialmente a mesma. Isto mostra que o circuito c˜ aRLC ´ o an´logo el´trico ao sistema mecˆnico da aplica¸˜o anterior, e e a e a capodemos estabelecer a seguinte correspondˆncia entre as quantidades eel´tricas e mecˆnicas. e a indutˆncia L a ←→ massa m resistˆncia R e ←→ constante de amortecimento crec´ ıproco da capacitˆncia 1/C a ←→ constante da mola k for¸a eletromotriz E(t) c ←→ for¸a aplicada F (t) c carga Q(t) ←→ deslocamento y(t).
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Aplica¸˜es 72 co3.5.3 ¸˜ Outras Aplicacoes1) Um modelo para descoberta de diabetes ([4] - pag. 157).2) Lei da Gravita¸ao de Newton e o movimento dos Planetas ([11] - c˜pag.647).3) Um modelo de popula¸˜o ([9] - pag. 111). ca4) Propaga¸˜o de ondas monocrom´ticas em um meio unidimensional ca a([1] - pag. 128).5) Deflex˜o de vigas ([10] - pag. 108). a6) Cabos suspensos ([10] - pag. 112). Exerc´ ıcios 3.6. 1) Um indutor de 0, 2 henrys, um resistor de 16ohms e um capacitor de 0,02 farads s˜o ligados em s´rie com uma a efor¸a eletromotriz de E volts. No instante t = 0 a carga do capacitor ce a corrente no circuito s˜o nulas. Encontre a carga e a corrente em aqualquer instante t > 0, se: a) E = 300 volts; b) E = 100 sen 3 t volts. 2) Determine a corrente estacion´ria em um circuito RLC, em que: aa) R = 20 ohms; L = 10 henrys; C = 0,05 farad; E = 50 sen t volts.b) R = 40 ohms; L = 10 henrys; C = 0,02 farad; E = 800 cos t volts. 3) Encontrou-se experimentalmente que 9,44 N de peso esticamuma mola em 15,24 cm. Se o peso ´ puxado para baixo adicionalmente eem 7,62 cm e solto, determine a amplitude, per´ıodo e freq¨ˆncia do uemovimento, desprezada a resistˆncia do ar. (A massa m de um objeto eem termos de seu peso, ω, ´ m = ω/g = ω/9, 8). e 4) Um sistema massa-mola amortecido com m = 1, k = 2 e c = 2(em suas respectivas unidades) est´ suspenso em equil´ a ıbrio. Uma for¸a cexterna F (t) = (π − t) N atua sobre o sistema entre t = 0 e t = π.Determine a posi¸˜o da massa em qualquer instante t > π. ca
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem Cap. 3 ¯ Eq. de Ordem Superior 733.6 ¸˜ Equacoes de Ordem Superior Discutiremos, aqui, rapidamente as equa¸oes diferenciais lineares c˜de ordem superior, pois toda teoria desenvolvida para a equa¸˜o linear ca a ordem pode ser estendida para a equa¸ao de ordem n.de 2¯ c˜ y (n) + a1 (t) y (n−1) + · · · + an−1 (t) y + an (t) y = g(t), ˙ [L.N.H.]em que n ´ qualquer n´mero natural. e u O pr´ximo teorema cont´m os principais resultados sobre as equa- o e¸oes de ordem n. Sua demonstra¸ao ser´ omitida, pois ´ simplesc˜ c˜ a eadapta¸ao do que j´ foi visto. c˜ aTeorema 3.7. Suponhamos que a1 (t), . . ., an (t) e g(t) sejam fun¸˜es cocont´nuas num intervalo I. Ent˜o: ı a (i) O conjunto de todas as solu¸˜es da equa¸˜o homogˆnea co ca e y (n) + a1 (t) y (n−1) + · · · + an−1 (t) y + an (t)y = 0 ˙ [L.H.]´ um espa¸o vetorial de dimens˜o n.e c a (ii) Sejam y1 (t), . . ., yn (t) solu¸˜es de [L.H.]. Estas fun¸˜es s˜o co co alinearmente independentes se, e somente, se   y1 (t0 ) ··· yn (t0 ) . . . . det  =0   . . (n−1) (n−1) y1 (t0 ) · · · yn (t0 )para algum t0 ∈ I. Este determinante ´ chamado Wronskiano de ey1 , . . . , y n . (iii) Se yp (t) ´ uma solu¸˜o particular de [L.N.H.] e y1 , . . . , yn s˜o e ca asolu¸˜es linearmente independentes de [L.H.], ent˜o a solu¸˜o geral co a cay(t) de [L.N.H.] ´ da forma e n y(t) = yp (t) + cj yj (t). j=1
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem Cap. 3 ¯ Eq. de Ordem Superior 74 No caso em que a1 , . . . , an s˜o constantes, temos que y(t) = eλ t ´ a esolu¸ao de [L.H.] se, e somente, se λ ´ raiz da equa¸˜o caracter´ c˜ e ca ıstica λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0. (3.30) Como antes, temos trˆs casos a considerar: e a) A equa¸ao caracter´ c˜ ıstica (3.30) possui n ra´ ızes reais distintasλ1 , . . . , λn . Ent˜o, as fun¸oes a c˜ eλ1 t , eλ2 t , . . . , eλn ts˜o solu¸˜es reais linearmente independentes de [L.H]. a co b) A equa¸ao (3.30) possui n ra´ c˜ ızes distintas λ1 , λ2 , . . . , λn , masalgumas s˜o complexas. Se α + iβ = 0, β = 0, ´ uma raiz de (3.30), a e (α+βi)tent˜o e a ´ uma solu¸ao complexa de [L.H] a qual d´ origem a e c˜ aduas solu¸oes reais linearmente independentes: c˜ u(t) = (e(α+i β) t ) = eα t cos β te v(t) = (e(α+i β) t ) = eα t sen β t. c) As ra´ λ1 , λ2 , . . . , λn n˜o s˜o todas distintas. Se λ ´ uma raiz ızes a a ede (3.30) com multiplicidade k, ent˜o as fun¸˜es eλ t , t eλ t , . . . , tk−1 eλ t a cos˜o k solu¸oes linearmentes independentes de [L.H]. a c˜ Daremos agora, alguns fatos que nos ajudar˜o na determina¸ao de a c˜ra´ de polinˆmios. ızes o i) Dada a equa¸ao c˜ λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0, (3.31)onde a0 , a1 , . . . , an−1 s˜o inteiros, suas prov´veis ra´ inteiras s˜o os a a ızes adivisores de a0 .
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem Cap. 3 ¯ Eq. de Ordem Superior 75 ii) Se λ1 ´ uma raiz de (3.31), ent˜o o algoritmo de Briot-Ruffini e a´:e 1 an−1 an−2 ··· a1 a0 λ1 1 λ1 + an−1 λ1 bn−2 + an−2 ··· λ 1 b 1 + a1 0 bn−1 bn−2 bn−3 b0e, portanto,λn +an−1 λn−1 +· · ·+a1 λ+a0 = (λ−λ1 )(λn−1 +bn−2 λn−2 +· · ·+b1 λ+b0 ). (iii) Raiz n-´sima de um n´mero complexo: e u Observamos primeiramente que todo n´mero complexo z pode ser u iθescrito na forma z = re . De fato, se z = x + iy, na figura abaixovemos que x = r cos θ e y = r sen θ. Logo, z = r(cos θ + i sen θ) = rei θ T z = x + iy T r y = r sen θ θ c E E x = r cos θ A raiz n-´sima de um n´mero complexo z = rei θ ´ dada por e u e √ √ θ + 2kπ θ + 2kπ n z = n r(cos + i sen ), k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. n nExemplo 3.20. Calcule as ra´ quartas de −1. ızesSolucao: Temos que −1 = cos π + i sen π = ei π = ei(π+2 k π) , k ∈ Z. ¸˜Logo, √4 √ 4 π + 2kπ π + 2kπ −1 = 1(cos + i sen ). 4 4
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem Cap. 3 ¯ Eq. de Ordem Superior 76 √ π π 2k = 0 =⇒ z1 = cos + i sen = (1 + i), 4 4 2 √ 3π 3π − 2k = 1 =⇒ z2 = cos + i sen = (1 − i), 4 4 2 √ 5π 5π − 2k = 2 =⇒ z3 = cos + i sen = (1 + i), 4 4 √2 7π 7π 2k = 3 =⇒ z4 = cos + i sen = (1 − i). 4 4 2 Exerc´ ıcios: 1) Calcule as ra´ quartas de −16. ızes 2) Calcule as ra´ quintas de −1. ızes 3) Calcule as ra´ sextas de 3. ızesExemplo 3.21. Determine a solu¸˜o geral real da equa¸ao diferencial ca c˜y (3) + y − 10 y = 0. ˙Solucao: A equa¸ao caracter´ ¸˜ c˜ ıstica ´ λ3 + λ − 10 = 0 tem por ra´ e ızes:λ1 = 2, λ2 = −1 + 2 i e λ3 = −1 − 2 i. Portanto, y1 (t) = e2 t , y2 (t) =e−t cos 2 t e y3 (t) = e−t sen 2 t s˜o solu¸˜es linearmente independentes. a coEnt˜o a solu¸ao geral ´ a c˜ e y(t) = c1 e2 t + e−t (c2 cos 2 t + c3 sen 2 t).Exemplo 3.22. Idem para y (3) + 3 y + 3 y + y = 0. ¨ ˙Solucao: A equa¸ao caracter´ ¸˜ c˜ ıstica ´ λ3 + 3 λ2 + 3 λ + 1 = 0 ou (λ + e 31) = 0. Logo, λ = −1 ´ raiz com multiplicidade 3 e, portanto, y1 (t) = ee−t , y2 (t) = t e−t e y3 (t) = t2 e−t formam um sistema fundamental desolu¸oes. Ent˜o a solu¸ao geral ´ c˜ a c˜ e y(t) = e−t (c1 + c2 t + c3 t2 ).Exemplo 3.23. Idem para y (4) + y = 0.
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem Cap. 3 ¯ Eq. de Ordem Superior 77Solucao: A equa¸ao caracter´ √ ´ λ4 + 1 = 0 ou λ4 = −1. Pelo ¸˜ c˜ ıstica e √ 2 2Exemplo 3.20, temos que λ1 = (1 + i), λ2 = − (1 − i), λ3 = √ √ 2 2 2 2− (1 + i) e λ4 = (1 − i) s˜o as quatro ra´ a ızes da equa¸aoc˜ 2 2 4λ = −1. As ra´ ızes λ4 e λ3 s˜o as conjugadas complexas de λ1 e λ2 , arespectivamente. Assim, √ √ √ 2 2 λ1 t t 2/2 ϕ1 (t) = e = e (cos t + i sen t) 2 2e √ √ √ 2 2 λ3 t − 2 t/2 ϕ2 (t) = e = e (cos t + i sen t) 2 2s˜o duas solu¸oes com valores complexos, o que implica que a c˜ √ √ √ √ 2 t/2 2 2 t/2 2 y1 (t) = e 2 t, cos y2 (t) = e sen 2 t, √ √ √ √ y3 (t) = e− 2 t/2 cos 22 t y4 (t) = e− 2 t/2 sen 2 2 ts˜o quatro solu¸oes reais linearmente independentes. Logo, a solu¸ao a c˜ c˜real geral ´ e √ √ √ 2 2 2 t/2 y(t) = e c1 cos t + c2 sen t + 2 2 √ √ √ 2 2 − 2 t/2 +e c3 cos t + c4 sen t . 2 2 Exerc´ ıcios 3.7. 1) Determine a solu¸ao geral de cada uma das c˜seguintes equa¸oes: c˜ a) y + 3 y − 4 y = 0. ¨ ˙ b) y (4) + 2 y + y = 0. ¨ c) y (3) − 2 y − y + 2 y = 0. ¨ ˙ d) y (4) − 5 y (3) + 6 y + 4 y − 8 y = 0. ¨ ˙ e) y (3) + y − 6 y = 0. ¨ ˙ f) y (3) + y + 3y − 5 y = 0. ¨ ˙ g) y (4) + 8 y + 16 y = 0. ¨ h) y (4) + 2 y (3) + 5 y = 0. ¨
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem Cap. 3 ¯ Eq. de Ordem Superior 782) Resolva cada um dos P.V.I. y (5) − 2 y (4) + y (3) = 0a) y(0) = y(0) = y (0) = y (3) (0) = 0, y (4) (0) = −1. ˙ ¨ y (3) + y − 6y = 0 ¨ ˙b) y(0) = y(0) = 1, y (0) = 2. ˙ ¨ y (3) − y = 0 ˙c) y(0) = 0, y(0) = 1, y (0) = 2. ˙ ¨ y (6) − y = 0 ¨d) y(0) = y(0) = y (0) = y (3) (0) = y (4) (0) = y (5) (0) = 0. ˙ ¨3) Mostre que a equa¸˜o diferencial t3 y (3) − 6 t y + 12 y = 0 possui ca ˙trˆs solu¸˜es linearmente independentes da forma y(t) = tr . e co4) Sabendo-se que y1 (t) = et cos t ´ uma solu¸˜o de y (4) − 2 y (3) + e cay + 2 y − 2 y = 0, determine sua solu¸ao geral. Sugest˜o: Use esta¨ ˙ c˜ ainforma¸ao para determinar as ra´ da sua equa¸˜o caracter´ c˜ ızes ca ıstica. Consideremos, agora, a equa¸˜o n˜o homogˆnea ca a e y (n) + a1 (t) y (n−1) + · · · + an−1 (t) y + an (t) y = g(t), ˙ [L.N.H.] Um fato importante sobre [L.N.H.] ´ e “Se y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) s˜o n solu¸oes linearmente independentes a c˜de [L.H.] e yp (t) ´ uma solu¸ao particular da [L.N.H.], ent˜o toda e c˜ asolu¸ao de [L.N.H.] ´ da forma c˜ e n y(t) = cj yj (t) + yp (t), j=1em que c1 , c2 , . . . , cn s˜o constantes.” a
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Coef. a Determinar 79 Logo, como no caso das equa¸˜es de segunda ordem, para deter- cominarmos a solu¸ao geral de [L.N.H.] precisamos saber encontrar uma c˜solu¸ao particular de [L.N.H.]. c˜3.7 ´ Metodo dos Coeficientes a Deter- minar Este m´todo para [L.N.H.] de ordem n funciona do mesmo modo eque para as de segunda ordem.Exemplo 3.24. Encontre uma solu¸ao particular da equa¸ao c˜ c˜ (3) ty − 3y + 3y − y = e . ¨ ˙Solucao: A equa¸˜o caracter´ ¸˜ ca ıstica λ3 − 3 λ2 + 3 λ − 1 = (λ − 1)3 = 0tem λ = 1 como raiz tripla. Logo, y1 (t) = et , y2 (t) = t et e y3 (t) =t2 et formam um sistema fundamental de solu¸˜es para a homogˆnea co e 3 tassociada. Ent˜o devemos tentar yp (t) = A t e . Portanto, a yp (t) = A et (t3 + 3 t2 ), yp (t) = A et (t3 + 6 t2 + 6 t) e ˙ ¨ (3) t 3 2 yp (t) = A e (t + 9 t + 18 t + 6).Substituindo na equa¸˜o e cancelando o fator et , obtemos que A = 1/6. caLogo, t3 et yp (t) = . 6 ıcios 3.8. 1) Determine a solu¸ao geral de:Exerc´ c˜ a) y (3) − y − y + y = 2 e−t + 3. ¨ ˙ b) y (3) + y + y + y = e−t + 4 t. ¨ ˙ (3) (3) c) y − y = 2 sen t. d) y + y = tg t. ˙ −2 t e) y − 4 y = t + cos t + 2 e . f) y + 2 y + y = t2 sen t. (3) ˙ (4) ¨
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Varia¸ao dos Parˆmetros 80 c˜ a 2) Resolva cada um dos P.V.I.  (3)  (4)  y + 4y = t ˙  y + 2y + y = 3t + 4 ¨ a) y(0) = y(0) = 0 ˙ b) y(0) = y(0) = 0 ˙ y (0) = 1. ¨ y (0) = y (3) (0) = 1. ¨    (4)  (3)  y − y = 3 t + cos t  y + 3 y + 2 y = t + et ¨ ˙ c) y(0) = y(0) = 1 ˙ d) y(0) = 1 (3) y (0) = y (0) = 0. ¨ y(0) = −1/4 y (0) = −3/2. ˙ ¨  3.8 ´ ¸˜ ˆ Metodo de Variacao dos Parametros Sejam y1 (t), . . . , yn (t) n solu¸oes linearmente independentes de c˜[L.H.]. Procuraremos fun¸˜es u1 (t), . . . , un (t) de modo que co yp (t) = u1 (t) y1 (t) + · · · + un (t) yn (t)seja solu¸˜o de [L.N.H.]. Como no caso n = 2, isto ocorrer´ se, e ca asomente, se as fun¸oes u1 (t), . . . , un (t) satisfizerem ao sistema c˜   y1 u1 + · · · + yn un = 0  ˙ ˙  y1 u1 + · · · + yn un = 0  ˙ ˙  ˙ ˙ .  . .  (n−2) (n−2)  (n−1) u1 + · · · + yn  y  1 ˙ un = 0 ˙  (n−1) y1 u1 + · · · + yn ˙ un = g(t). ˙ Resolvendo o sistema obtemos u1 , . . . , un e, finalmente, por integra¸ao ˙ ˙ c˜obteremos as fun¸˜es u1 , . . . , un . co Observacao 3.16. O sistema acima possui solu¸ao unica pois, o ¸˜ c˜ ´determinante dos coeficientes W [y1 , . . . , yn ](t) = 0 visto que y1 , . . . , yns˜o solu¸˜es linearmente independentes de [L.H.]. a coExemplo 3.25. Determine uma solu¸˜o da equa¸ao y (3) + y = sec t. ca c˜ ˙
    • Eq. Dif. Linear de 2a Ordem ¯ Cap. 3 Varia¸ao dos Parˆmetros 81 c˜ aSolucao: Primeiramente devemos encontrar uma base de solu¸oes da ¸˜ c˜ (3) 3homogˆnea associada y + y = 0. A equa¸˜o caracter´ e ˙ ca ıtica λ + λ = 0tem por ra´ ızes: λ1 = 0, λ2 = i e λ3 = −i. Portanto, y1 (t) = 1,y2 (t) = cos t e y3 (t) = sen t constitui tal base. Ent˜o, procuramos u1 , au2 e u3 tais que yp (t) = u1 (t) + u2 (t) cos t + u3 (t) sen tseja solu¸ao da equa¸ao n˜o homogˆnea. Resolvendo o sistema c˜ c˜ a e   u1 + u2 cos t + u3 sen t = 0 ˙ ˙ ˙ −u2 sen t + u3 cos t = 0 ˙ ˙ −u2 cos t − u3 sen t = sec t, ˙ ˙ obtemos u1 = sec t =⇒ u1 (t) = ln | sec t + tg t|, ˙ u2 = −1 =⇒ u2 (t) = −t, ˙ sen t u3 = − ˙ =⇒ u3 (t) = ln | cos t|. cos tPortanto, yp (t) = ln | sec t + tg t| − t cos t + (sen t) ln | cos t|. Exerc´ıcios 3.9. 1) Encontre, usando o m´todo de varia¸˜o dos e caparˆmetros, uma solu¸ao particular de cada equa¸ao: a c˜ c˜ a) y (4) − y = 4 t. ¨ b) y (3) − 3¨ + 3 y − y = et . y ˙ c) y (3) − 4 y = t + cos t + 2 e−t . ˙ d) y (3) + y + y + y = t + e−t . ¨ ˙ e) y + 2 y + y = t2 sen t. (4) ¨ f) y (3) − 6 y + 11 y − 6 y = e4 t . ¨ ˙ 2) Sabendo-se que t, t2 e 1/t s˜o solu¸˜es da equa¸ao homogˆnea a co c˜ eassociada a t3 y (3) + t2 y − 2 t y + 2 y = 2 t4 , ¨ ˙ t > 0,determine uma solu¸˜o particular da equa¸˜o n˜o homogˆnea. ca ca a e
    • Cap´ ıtulo 4Transformada de Laplace4.1 ´ Integrais Improprias Seja f (t) uma fun¸ao definida para todo t ≥ a tal que exista a c˜ bintegral f (t) dt qualquer que seja b > a. A integral impr´pria o ade f ´ definida por e ∞ b f (t) dt = lim f (t) dt, (4.1) a b→∞ acaso o limite exista e seja finito. Neste caso, dizemos que f ´ in- etegr´vel no sentido impr´prio em [a, ∞) ou que a integral impr´pria a o o ∞ f (t) dt ´ convergente. Caso contr´rio, dizemos que a integral e a aimpr´pria ´ divergente. o e ∞ Por exemplo, a integral impr´pria o e−t dt ´ convergente, pois e 0 b b lim e−t dt = lim − e−t 0 = lim (1 − e−b ) = 1. b→∞ 0 b→∞ b→∞ 82
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Integrais Impr´prias o 83 ∞ dtA integral impr´pria o diverge, pois 1 t b dt b lim = lim ln t 1 = ∞. b→∞ 1 t b→∞ Exerc´ıcios 4.1. 1) Verifique se cada uma das integrais dadas abaixoconverge ou diverge: ∞ ∞ ∞ ∞ dt −t2 ln t dt a) . b) te dt. c) dt. d) . 2 (t − 1)3/2 0 1 t e t (ln t)2 ∞ dx 2) Mostre que a integral ´ convergente se p > 1 e ´ diver- e e 1 xpgente se p ≤ 1. Integrais impr´prias em que o integrando depende ainda de uma ooutra vari´vel s˜o de grande importˆncia em matem´tica e em outras a a a aaplica¸oes. O interesse central deste cap´ c˜ ıtulo ´ estudar integrais da eforma ∞ e−s t f (t) dt. (4.2) 0A integral (4.2) define uma fun¸˜o F (s), da vari´vel s. O dom´ ca a ıniodesta fun¸˜o ´ constituido por todos os valores de s tais que esta ca eintegral seja convergente. Consideremos, por exemplo ∞ F (s) = e−s t dt. (4.3) 0Esta integral ´ divergente se s ≤ 0. Para s > 0, temos e ∞ b 1 e−s b 1 e−s t dt = lim e−s t dt = lim − = . 0 b→∞ 0 b→∞ s s sDeste modo, 1 F (s) = (s > 0). s
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Integrais Impr´prias o 84Fa¸a o mesmo para as integrais abaixo e obtenha as igualdades: c ∞ ∞ −s t 1 1 a) e t dt = 2 (s > 0). b) e−s t sen t dt = (s > 0). 0 s 0 s2 +1 ∞ ∞ 2 1 c) e−s t t2 dt = (s > 0). d) e−s t senh t dt = (s > 1). 0 s3 0 s2 −1 [sugest˜o: senh t = (et − et )/2]. a As integrais acima sugerem que o dom´ da fun¸˜o F (s) seja um ınio caintervalo da forma (a, ∞). Pode-se mostrar que isto ´ verdadeiro em egeral.4.2 A Transformada de Laplace Seja f (t) uma fun¸˜o definida para todo t ≥ 0. A fun¸˜o ca ca ∞ F (s) = e−s t f (t) dt (4.4) 0´ chamada transformada de Laplace de f (t), e denotada por L[f (t)].eExemplo 4.1. De acordo com o exemplo da se¸ao anterior temos para c˜s>0 ∞ 1 L[1] = e−s t dt = . 0 sExemplo 4.2. Para s > c, temos b e(c−s) t b 1 L[ec t ] = lim e−s t ec t dt = lim = . b→∞ 0 b→∞ c−s 0 s−cExemplo 4.3. Integrando por partes duas vezes temos b b −s t w e−s t sen w t − s e−s t cos w t e cos w t dt = , 0 s2 + w 2 0
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Algumas Propriedades 85 b b −s t w e−s t cos wt − s e−s t sen w t e sen w t dt = . 0 s2 + w 2 0Fazendo b → ∞ em cada uma destas igualdades obtemos, para s > 0, s w L[cos w t] = 2 2 e L[sen w t] = 2 . s +w s + w2Exemplo 4.4. C´lculo de L[tn ] para n inteiro positivo. Integrando apor partes, temos (para s > 0) b b tn e−s t b n L[tn ] = lim e−s t tn dt = lim − + e−s t tn−1 dt b→∞ 0 b→∞ s 0 s 0 ∞ n n = e−s t tn−1 dt = L[tn−1 ]. s 0 s 1 1Assim, se n = 1, temos L[t] = L[1] = 2 . s s n n−1 n(n − 1) n−2 n!Se n ≥ 2, temos L[tn ] = L[t ] = 2 L[t ] = · · · = n+1 . s s s4.3 Algumas Propriedades As propriedades que enunciamos a seguir s˜o de grande utilidade apara o c´lculo de transformadas. aPropriedade 1 (Linearidade): Se L[f (t)] = F (s), L[g(t)] = G(s)e a, b s˜o constantes, ent˜o a a L[a f (t) + b g(t)] = a F (s) + b G(s) = a L[f (t)] + b L[g(t)].De fato, ∞ L[a f (t) + b g(t)] = e−s t [a f (t) + b g(t)] dt = 0 ∞ ∞ =a e−s t f (t) dt + b e−s t g(t) dt 0 0 = a L[f (t)] + b L[g(t)].
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Algumas Propriedades 86Exemplo 4.5. Calculemos L[senh a t], usando a Propriedade 1. 1 1 1 L[senh a t] = L[ (ea t − e−a t )] = L[ea t ] − L[e−a t ] 2 2 2 1 1 1 a = − = 2 , s > |a|. 2 s−a s+a s − a2 sDe modo an´logo obtemos L[cosh a t] = 2 a , para s > |a|. s − a2 Propriedade 2: Se L[f (t)] = F (s), para s > s0 , ent˜o a L[ea t f (t)] = F (s − a), para s > s0 + a. (4.5)De fato, ∞ ∞ L[ea t f (t)] = e−s t ea t f (t) dt = e−(s−a) t f (t) dt = F (s − a). 0 0 Usando esta propriedade e os exemplos precedentes, podemos es-crever ω s−aL[ea t sen ω t] = L[ea t cos ω t] = (s − a)2 + ω 2 (s − a)2 + ω 2 n!L[ea t tn ] = . (s − a)n+1 Propriedade 3: Se L[f (t)] = F (s), ent˜o a dn L[tn f (t)] = (−1)n F (s). (4.6) dsnFa¸amos a verifica¸˜o para n = 1. Temos c ca ∞ ∞ ∞ d ∂ −s tF (s) = e−s t f (t) dt = e f (t) dt = − e−s t t f (t) dt. ds 0 0 ∂s 0Portanto, L[t f (t)] = −F (s). (4.7)Aplicando repetidas vezes a igualdade (4.7), obtemos (4.6).
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Algumas Propriedades 87Exemplo 4.6. Segue de (4.6) com n = 2 e n = 1 que d2 1 2 L[t2 e5 t ] = 2 s−5 = e ds (s − 5)3 d 3 6s L[t sen 3 t] = − 2+9 = 2 . ds s (s + 9)2 A pr´xima propriedade faz uso do seguinte conceito: o Uma fun¸ao f (t) ´ de ordem exponencial se existirem constantes c˜ eM , α > 0 tais que para todo t suficientemente grande |f (t)| ≤ M eαt . As fun¸oes sen t, cos t, ek t e tn (n ≥ 0) s˜o de ordem exponencial c˜ a kt ktpois | sen t| ≤ 1, | cos t| ≤ 1 e |e | = e para todo t ≥ 0. Para afun¸ao tn , notemos que, para t suficientemente grande, |tn | ≤ et , pois c˜ tn lim t = 0.t→∞ e 2 A fun¸ao et n˜o ´ de ordem exponencial, uma vez que para qual- c˜ a e 2quer α > 0 temos que lim et e−α t = ∞. t→∞ Propriedade 4: Suponha que f e f sejam integr´veis em [0, b], apara todo b > 0. Se f for de ordem exponencial, ent˜o existe L[f (t)] ae L[f (t)] = s L[f (t)] − f (0). (4.8)De fato, integrando por partes, temos b b e−s t f (t) dt = e−s b f (b) − f (0) + s e−s t f (t) dt. 0 0Fazendo b → ∞, a integral do 1o membro tende a L[f (t)], a integral ¯do 2o membro tende a L[f (t)] e a parcela e−s b f (b) tende a zero, pois ¯f ´ de ordem exponencial (os valores de s devem ser maiores do que ea constante α da defini¸ao de ordem exponencial). c˜
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Algumas Propriedades 88 Observacao 4.1. Esta propriedade aplica-se a derivadas de ordem ¸˜superior. Por exemplo, para a derivada segunda, a igualdade (4.8)implica L[f (t)] = s L[f (t)] − f (0) = s {s L[f (t)] − f (0)} − f (0) = s2 L[f (t)] − s f (0) − f (0).Logo, L[f (t)] = s2 L[f (t)] − s f (0) − f (0). (4.9) Observacao 4.2. As igualdades (4.8) e (4.9) s˜o de grande im- ¸˜ aportˆncia, especialmente na resolu¸ao de equa¸oes diferenciais, como a c˜ c˜veremos adiante. Estas igualdades tamb´m podem ser utilizadas para eobter transformadas de Laplace de fun¸oes. Calculemos, por exem- c˜plo, L[ek t ] utilizando (4.8). Notemos que a fun¸˜o f (t) = ek t satisfaz ca ktf (t) = k e e f (0) = 1. Substituindo estes dados em (4.8), obteremosque L[kek t ] = s L[ek t ] − 1, donde (s − k) L[ek t ] = 1. Logo, 1 L[ek t ] = . s−k Exerc´ ıcios 4.2. 1) Calcule a transformada de Laplace das seguintesfun¸oes: c˜a) t2 − 3 t + 2. b) 4 cos 3 t − 5 sen 2 t. c) 2 t e3 t . 1 se 0 < t < πd) t2 cos 5 t. e) t e2 t sen 3 t. f) f (t) = 0 se t > π. 2) Use a igualdade (4.9) para mostrar que s ω L[cos ω t] = L[sen ω t] = . s2 + ω2 s2 + ω2
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Transformada Inversa 894.4 ¸˜ Transformada Inversa - Fracoes Parciais Dada uma fun¸˜o F (s), definida em um intervalo (a, ∞), um pro- cablema que se coloca ´ o de achar uma fun¸ao f (t) tal que L[f (t)] = e c˜F (s). Uma tal f ´ chamada Transformada Inversa de F e ser´ e a −1indicada por L [F (s)]. Os exemplos da Se¸ao 4.2 fornecem c˜ 1 1 1 tnL−1 [ ] = 1 L−1 [ ] = ec t L−1 [ n+1 ]= s s−c s n! s ωL−1 [ ] = cos ω t L−1 [ ] = sen ω t. s2 + ω2 s2 + ω2 Usando esta tabela de transformada inversa e as Propriedades 1,2 e 3, podemos calcular transformadas inversas de um grande n´mero ude fun¸oes. c˜ 1Exemplo 4.7. Calcule L−1 [ ]. s2 − 4s + 5Solucao: Notando que s2 − 4s + 5 = (s − 2)2 + 1, e usando a Pro- ¸˜priedade 2, podemos escrever 1 1 2 − 4s + 5 = 2+1 = L[e2 t sen t]. s (s − 2)Logo, 1 L−1 [ ] = e2 t sen t. s2 − 4s + 5 1Exemplo 4.8. Calcule L−1 [ ]. (s − 5)3
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Transformada Inversa 90 d2 1 2Solucao: Notemos que ¸˜ ( )= , donde ds2 s − 5 (s − 5)3 1 1 d2 1 1 d2 1 1 3 = ( 2 s−5 )= 2 L[e5 t ] = L[t2 e5 t ] = L[ t2 e5 t ]. (s − 5) 2 ds 2 ds 2 2Logo, 1 1 L−1 [ ] = t2 e5 t . (s − 5)3 2 s+2Exemplo 4.9. Calcule L−1 [ 2 ]. s + 2 s + 10Solucao: Podemos escrever s2 + 2 s + 10 = (s + 1)2 + 9, donde ¸˜ s+2 s+1+1 s+1 1 3 = = + . s2 + 2 s + 10 (s + 1) 2+9 (s + 1) 2 + 32 3 (s + 1)2 + 32Agora, notemos que s+1 3L−1 [ 2 + 32 ] = e−t cos 3 t e L−1 [ 2 + 32 ] = e−t sen 3 t. (s + 1) (s + 1)Portanto, s+2 1 L−1 [ ] = e−t cos 3 t + e−t sen 3 t. s2 + 2s + 10 3 Observe que este procedimento aplica-se a express˜es do tipo o As + B (4.10) s2 + ps + qem que o denominador n˜o possui ra´ reais. a ızes Isto sugere que usemos o m´todo das fra¸oes parciais para calcu- e c˜lar L−1 [P (s)/Q(s)], em que P e Q s˜o polinˆmios e o grau de P ´ a o emenor que o grau de Q. Este m´todo transforma um tal quociente em euma soma de fra¸˜es da forma (4.10) e fra¸˜es da forma C/(s − a). co coAcreditamos que o leitor esteja suficientemente familiarizado com adecomposi¸ao em fra¸˜es parciais, e vamos apenas exemplificar sua c˜ coutiliza¸ao no c´lculo de L−1 . c˜ a
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Transformada Inversa 91 3 s2 − 7 s + 12Exemplo 4.10. Calcule L−1 [ ]. (s − 2) (s − 3) (s + 2) 3s2 − 7 s + 12 A B cSolucao: Escrevemos ¸˜ = + + . (s − 2) (s − 3) (s + 2) s−2 s−3 s+2Eliminando denominadores, obtemosA (s − 3) (s + 2) + B (s − 2) (s + 2) + C (s − 2) (s − 3) ≡ 3s2 − 7 s + 12.Substituindo s = 2, obtemos −4A = 10 o que implica que A = −5/2.Analogamente, obtemos B = 18/5 e C = 19/10. Temos ent˜oa 3 s2 − 7 s + 12 5 1 18 1 19 1 =− + + . (s − 2) (s − 3) (s + 2) 2 s−2 5 s − 3 10 s + 2Portanto, 3 s2 − 7 s + 12 5 18 3 t 19 −2 t L−1 [ ] = − e2 t + e + e . (s − 2) (s − 3) (s + 2) 2 5 10 2 s2 + 9 s + 7Exemplo 4.11. Calcule L−1 [ ]. (s − 4) (s2 + 9) 2 s2 + 9 s + 7 A Bs+CSolucao: Escrevemos ¸˜ = + 2 . Elimi- (s − 4) (s2 + 9) s−4 s +9nando denominadores, obtemos A (s2 + 9) + (B s + C) (s − 4) ≡ 2 s2 + 9 s + 7ou (A + B) s2 + (C − 4 B) s + (9 A − 4C) ≡ 2 s2 + 9 s + 7. Igualandoos termos de mesma potˆncia, obtemos e   A+B =2 −4 B + C = 9 9 A − 4 C = 7. 
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Aplica¸˜o a Eq. Diferenciais 92 caA solu¸˜o deste sistema ´: A = 3, B = −1 e C = 5. Portanto ca e 2 s2 + 9 s + 7 1 s−5L−1 [ 2 + 9) ] = 3 L−1 [ ] − L−1 [ 2 ] (s − 4)(s s−4 s +9 1 s 5 3 = 3 L−1 [ ] − L−1 [ 2 ] + L−1 [ 2 ] s−4 s −9 3 s +9 5 = 3 e4 t − cos 3 t + sen 3 t. 3 ıcios 4.3. Calcular a transformada inversa das seguintes fun¸oes:Exerc´ c˜ 1 s s+5 1) . 2) . 3) . s2 + 4 s + 13 s2 − 6 s + 10 s2 − 2 s + 10 1 6s s+1 4) . 5) . 6) . (s − 4)2 (s2 + 9)2 s2 + 2 s 6 s2 + 9 s − 9 2s − 4 7) 2 (s2 + 1) . 8) . 9) . (s − 1) s3 − 9 s s3 + 4 s4.5 ¸˜ ¸˜ Aplicacao a Equacoes Diferenciais A Transformada de Laplace ´ de grande importˆncia na resolu¸ao e a c˜de problemas de valor inicial para equa¸oes diferenciais lineares com c˜coeficientes constantes. Veja o seguinte exemplo:Exemplo 4.12. Consideremos o P.V.I. y − y − 6 y = 10 e2 t ¨ ˙ (4.11) y(0) = 3, y(0) = 2. ˙Determine sua solu¸˜o, utilizando Transformada de Laplace. caSolucao: Chamando L[y(t)] = Y (s), temos ¸˜ L[y(t)] = s L[y(t)] − y(0) = s Y − 3. ˙ (4.12) L[¨(t)] = s L[y(t)] − y(0) = s2 Y − 3 s − 2. y ˙ ˙
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Aplica¸˜o a Eq. Diferenciais 93 caAplicando a transformada a ambos os membros de (4.11) e substi-tuindo as igualdades de (4.12), obtemos 10 (s2 − s − 6) Y − 3 s + 1 = , s−2ou seja, 3 s2 − 7 s + 12 Y (s) = . (s − 2) (s2 − s − 6)A solu¸˜o y(t) do P.V.I. ´ a transformada inversa de Y (s), que j´ foi ca e acalculada no Exemplo 4.10, vale 5 18 3 t 19 −2 t y(t) = − e2 t + e + e . 2 5 10 A transformada de Laplace tamb´m pode ser usada para obter a esolu¸ao geral de uma equa¸ao diferencial. Para determinar a solu¸ao c˜ c˜ c˜geral da equa¸˜o ca y + a y + b y = f (t), ¨ ˙basta considerar o P.V.I. y + a y + b y = f (t) ¨ ˙ y(0) = c1 , y(0) = c2 , ˙em que c1 e c2 designam constantes arbitr´rias. aExemplo 4.13. Obter a solu¸˜o geral de y − 3 y + 2 y = 10 sen t. ca ¨ ˙Solucao: Formamos o P.V.I. ¸˜ y − 3 y + 2 y = 10 sen t ¨ ˙ y(0) = c1 , y(0) = c2 . ˙Fazendo L[y(t)] = Y (s), podemos escrever L[y(t)] = s Y −c1 e L[¨(t)] = ˙ y 2s Y − c1 s − c2 . Aplicando a transformada a ambos os membros daequa¸ao obtemos c˜ 10 (s2 − 3 s + 2) Y − c1 s − c2 + 3 c1 = . s2+1
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Outras Propriedades 94Portanto, c1 s + c2 − 3 c1 10 Y = 2 − 3s + 2 + 2 s (s + 1)(s2 − 3 s + 2) c2 − c1 2 c1 − c2 5 2 3s + 1 = + − + + 2 . s−2 s−1 s−1 s−2 s +1Logo, y(t) = (c2 − c1 ) e2 t + (2 c1 − c2 ) et − 5 et + 2 e2 t + 3 cos t + sen t,que pode ser escrita sob a forma y(t) = A e2 t + B et + 3 cos t + sen t. ıcios 4.4. 1) Resolva os seguintes problemas de valor inicial:Exerc´ y+y =0 ¨ y − 6 y + 9 y = 4 et ¨ ˙ a) b) y(0) = 3, y(0) = 1. ˙ y(0) = 2, y(0) = 4. ˙ y + 9 y = cos 3 t ¨ y − 3 y + 2 y = 3 e−t + 5 ¨ ˙ c) d) y(0) = 2, y(0) = −1. ˙ y(0) = 0, y(0) = 0. ˙ 2) Ache a solu¸ao geral das seguintes equa¸oes: c˜ c˜ a) y − 2 y + y = cos t. ¨ ˙ b) y + 2 y + 5 y = 6 e−t sen t. ¨ ˙4.6 Outras Propriedades A fun¸˜o degrau unit´rio ou fun¸˜o de Heaviside, ´ definida ca a ca epor 0 se t < c, µc (t) = 1 se t ≥ c.
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Outras Propriedades 95Seu gr´fico ´ dado pela figura ao a e y Tlado. A transformada de µc (t) ´ e 1L[µc (t)] = b e−c s Elim e−s t dt = . c tb→∞ c sA fun¸˜o µc (t) ´ util para representar fun¸oes descont´ ca e´ c˜ ınuas e calcularsuas transformadas.Exemplo 4.14. Calcule L[g(t)], sendo y  T  0, se t < c,g(t) = A, se c ≤ t < d, A 0, se t ≥ d.  E c d tPodemos escrever g(t) = A[µc (t) − µd (t)]. Logo, A −c s L[g(t)] = A{L[µc (t)] − L[µd (t)]} = e − e−d s . s Dada uma fun¸ao f (t), definida para todo t ∈ R, e uma constante c˜c > 0, consideremos a fun¸ao µc (t) f (t − c). Desde que c˜ 0 se t < c, µc (t) f (t − c) = f (t − c) se t ≥ c,o gr´fico de µc (t) f (t − c) ´ obtido transladando-se de c unidades para a ea direita o gr´fico de f (t) (veja as figuras abaixo). a
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Outras Propriedades 96 y T y T y = f (t) y = µc (t) f (t − c) E E t c tPropriedade 5: L[µc (t) f (t − c)] = e−c s L[f (t)]. De fato, ∞ ∞ −s t L[uc (t) f (t − c)] = e f (t − c) dt = e−s (τ +c) f (τ ) dτ c ∞ 0 −s c −s τ =e e f (τ ) dτ = e−s c L[f (t)]. 0 0, se t < 2,Exemplo 4.15. Calcule L[f (t)], sendo f (t) = 3 (t − 2) , se t ≥ 2.Solucao: Como f (t) = µ2 (t) (t − 2)3 , temos que ¸˜ 6 e−2 s L[f (t)] = e−2 s L[t3 ] = . s4 Usando esta propriedade, podemos resolver equa¸˜es diferenciais coque em certo sentido s˜o “mais complicadas” do que as que foram aconsideradas anteriormemte e que tem grande interesse em aplica¸oes. c˜ y + 4 y = f (t) ¨Exemplo 4.16. Resolva o P.V.I. , em que  y(0) = y(0) = 0 ˙  0 se 0 < t < π,f (t) = 4 se π ≤ t < 3 π, 0 se t ≥ 3 π.  4 −π sSolucao: Do Exemplo 4.14, temos que L[f (t)] = ¸˜ e − e−3 π s . s
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Delta de Dirac 97Aplicando transformada aos dois membros da equa¸˜o, obtemos ca 4 e−πs 4 e−3 πs (s2 + 4) Y (s) = − . s se portanto, 1 s 1 s Y (s) = e−π s − 2 − e−3 π s − 2 . s s +4 s s +4Logo, y(t) = µπ (t) [1 − cos 2 (t − π)] − µ3π (t) [1 − cos 2 (t − 3 π)]ou seja   0 se t < π, y(t) = 1 − cos 2 (t − π) se π ≤ t < 3 π, 0 se t ≥ 3 π. O gr´fico de y(t) ´ a e y T 2 1 E π 2π 3π t4.7 Delta de Dirac Em diversos ramos das aplica¸oes, h´ a necessidade de se considerar c˜ afun¸oes que sejam nulas exceto em um intervalo “muito pequeno” c˜e, neste intervalo, tenham um valor “muito grande”. Por exemplo,
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Delta de Dirac 98durante o intervalo de tempo [t0 , t0 + ε] (ε pequeno) aplica-se a umobjeto uma for¸a muito grande de modo que o impulso causado por cesta for¸a seja um certo valor I0 > 0. A fun¸˜o c ca 1/ε se t0 ≤ t ≤ t0 + ε, fε (t) = 0 nos outros pontoscujo gr´fico ´ dado na figura ao lado a e y Ttem estas caracter´ ısticas: 1/ε ∞ t0 +ε 1 fε (t) dt = dt = 1, −∞ t0 εe para ε > 0 pequeno f tem um E t0 t0 + ε tvalor muito grande (1/ε) num intervalomuito pequeno (de comprimento ε). Em F´ ısica e Engenharia, costuma-se descrever tais fenˆmenos usan- odo-se a “fun¸˜o limite” de fε (t) quando ε → 0, a qual ´ indicada por ca eδ(t − t0 ), e chamada delta de Dirac δ(t − t0 ) = “ lim fε (t)”. ε→0´E claro que δ n˜o ´ uma fun¸ao nos moldes tradicionais. Entretanto, a e c˜´ poss´ dar uma justificativa rigorosa para tais procedimentos.e ıvel4.7.1 Transformada de Laplace de δ(t − t0 )Vamos definir L[δ(t − t0 )] = lim L[fε (t)]. ε→0 1Como fε (t) = [µt0 (t) − µt0 + ε (t)], temos ε 1 e−s t0 e−s (t0 +ε) e−s t0 1 − e−εs L[fε (t)] = ( − )= . ε s s s ε
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Delta de Dirac 99 1 − e−ε sQuando ε → 0, temos que → s. Assim, ε L[δ(t − t0 )] = e−s t0 .Exemplo 4.17. Consideremos o seguinte sistema massa-mola.Na figura ao lado, a part´ ıcula tem massa m = 2kg,a constante de rigidez da mola ´ k = 8N/m. O esistema est´ inicialmente em repouso. No instante a kt = π aplica-se ` part´ a ıcula uma for¸a muito grande, cde dura¸ao muito curta, que transmite ` part´ c˜ a ıcula mum impulso de 4N.s. Descrever o movimento dapart´ıcula. A posi¸˜o y(t) da part´ ca ıcula no instante t, satisfaz o P.V.I. 2 y + 8 y = 4 δ(t − π) ¨ y(0) = y(0) = 0. ˙Aplicando a transformada a ambos os membros da equa¸ao obtemos c˜ 2 −πs(s + 4) Y (s) = 2 e , ou seja, 2 Y (s) = e−πs . s2 +4Portanto, 0 se t < π, y(t) = µπ (t) sen 2 (t − π) = sen 2 t se t ≥ π. y T E 3π π 2 2π t Gr´fico da solu¸˜o y(t) a ca
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Convolu¸ao 100 c˜ Exerc´ ıcios 4.5. 1) Calcule a transformada de:    0 se t < π,  1 se 0 < t < 1,a) f (t) = t−π se π < t < 2 π, b) f (t) = 3 se 1 < t < 4 0 se t > 2 π. 0 se t > 4.  2) Calcule L−1 [F (s)], sendo: e−2 s e−s π/2 sa) F (s) = . b) F (s) = . s2 s2 + 13) Resolva y + 4 y = µ2 (t) − µ4 (t), ¨ y + y + 7 y = t [µ1 (t) − µ2 (t)] ¨ ˙a) b) y(0) = 3, y(0) = −2. ˙ y(0) = 0, y(0) = 0. ˙ 4) Suponha que no exemplo anterior, f (t) = 4δ(t) + 6 δ(t − 1) (isto´, a part´e ıcula recebe um impulso de 4N.s em t = 0 e um impulso de6N.s em t = 1). Descrever o movimento. Fa¸a um gr´fico de y(t). c a4.8 ¸˜ O Produto de Convolucao Sejam f (t) e g(t) definidas para t ≥ 0. O Produto de Con-volu¸˜o de f por g, indicado por f ∗ g, ´ a fun¸˜o definida por ca e ca t (f ∗ g)(t) = f (τ ) g(t − τ ) dτ. (4.13) 0 Por exemplo, se f (t) = cos t e g(t) = t, ent˜o a t t t(f ∗g)(t) = cos τ (t−τ ) dτ = t cos τ dτ − τ cos τ dτ = 1−cos t. 0 0 0 O produto de convolu¸ao possui algumas propriedades semelhantes c˜
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Convolu¸ao 101 c˜as do produto usual de fun¸oes, tais como: c˜ a) f ∗ g = g ∗ f, b) (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h), c) f ∗ 0 = 0, d) f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h.Entretanto, ele ´ diferente do produto usual. Por exemplo, ´ f´cil ver e e a tque (f ∗ 1)(t) = f (τ ) dτ e esta fun¸ao ´ diferente de f (exceto, c˜ e 0obviamente, para f = 0). A pr´xima propriedade nos mostra como a Transformada de Laplace oatua em um produto de convolu¸ao. c˜ Propriedade 6: Se F (s) = L[f (t)] e G(s) = L[g(t)], ent˜o a L[(f ∗ g)(t)] = F (s) G(s), (4.14)ou, em termos de transformada inversa, L−1 [F (s)G(s)] = (f ∗ g)(t). (4.15) A igualdade (4.14) implica, em particular (para g(t) ≡ 1), que t F (s) L[ f (τ ) dτ ] = . (4.16) 0 s A igualdade (4.15) fornece um meio de calcular transformadas in-versas de certas fun¸˜es. Por exemplo, co 1 1 1 L−1 [ 2 2 ] = L−1 [ 2 ] ∗ L−1 [ 2 ] = sen t ∗ t (s + 1)s s +1 s t t t = sen τ (t − τ ) dτ = t sen τ dτ − τ sen τ dτ 0 0 0 = t − sen t. A Propriedade 6 aplica-se diretamente ` resolu¸ao de “equa¸oes a c˜ c˜integrais do tipo convolu¸˜o” as quais tem a forma ca t y(t) = f (t) + y(τ ) g(t − τ ) dτ, (4.17) 0
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Convolu¸ao 102 c˜onde f e g s˜o fun¸oes conhecidas. O nome equa¸˜o integral deve-se a c˜ caao fato que a inc´gnita y aparece sob o sinal de integral. Embora n˜o o ase trate propriamente de uma equa¸˜o diferencial, julgamos oportuno caapresentar um exemplo. Consideremos a equa¸˜o ca t y(t) = 3 sen t + 2 y(τ ) sen(t − τ ) dτ. (4.18) 0Esta equa¸ao pode ser escrita sob a forma c˜ y(t) = 3 sen t + 2 (y ∗ sen)(t).Aplicando transformada a ambos os membros de (4.18), obtemos 3 1 Y (s) = + 2 Y (s) 2 . s2 +1 s +1Portanto, 3 3 1 1 Y (s) = = ( − ). s2 −1 2 s−1 s+1Logo, 3 t y(t) = (e − e−t ) = 3 senh t. 2 Exerc´ ıcios 4.6. 1) Usando convolu¸ao, calcule a transformada in- c˜versa das seguintes fun¸˜es: co 1 s a) . b) . (s − 4)(s − 3) (s2 + 1)(s − 3) 1 1 c) . d) . s2 − 2s + 1 s2 (s − 5) 2) Resolva as seguintes equa¸˜es integrais: co t a) y(t) = 5 t + y(τ ) sen(t − τ ) dτ . 0
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Tabela 103 t b) y(t) = 2 sen 4 t + 3 y(τ ) sen 4 (t − τ ) dτ . 0 3) Usando Transformada de Laplace, mostre que a solu¸ao geral c˜ 2da equa¸ao y (t) + ω y(t) = f (t) ´ c˜ ¨ e t 1 y(t) = c1 cos ωt + c2 sen ωt + f (τ ) sen ω (t − τ ) dτ. ω 04.9 Tabela de Algumas TransformadasAs tabelas abaixo cont´m um resumo das propriedades e transfor- emadas de algumas fun¸oes que aparecem com mais freq¨ˆncia. c˜ ue Tabela 1 - Algumas Transformadas f (t) F (s) f (t) F (s) 1 1 1/s ec t s−c n! n! tn tn ec t sn+1 (s − c)n+1 s c cosh c t senh c t s 2 − c2 s2 − c2 s ω cos ω t sen ω t s2 + ω2 s2 + ω2 ω 2 − s2 2 ωs t cos ω t t sen ω t s2 + ω 2 (s2 + ω 2 )2 δ(t − t0 ) e−s t0
    • Transformada de Laplace Cap. 4 Tabela 104 Tabela 2 - Algumas Propriedades f (t) F (s) f (t) F (s) ec t f (t) F (s − c) tn f (t) (−1)n F (n) (s) µc (t)f (t − c) e−cs F (s) (f ∗ g)(t) F (s)G(s) f (t) sF (s) − f (0) f (t) s2 F (s) − sf (0) − f (0)
    • Cap´ ıtulo 5Sistemas de Equa¸oes c˜Diferenciais Consideremos agora sistemas de equa¸˜es diferenciais simultˆneas co aem v´rias vari´veis. Um exemplo de tais sistemas ´ dado pelo sistema a a emassa-mola mostrado na figura abaixo. Os dois objetos de massasm1 e m2 movem-se numa superf´ sem atrito, ligados por trˆs molas ıcie ecujas constantes de elasticidade s˜o k1 , k2 e k3 , respectivamente, e sob aa influˆncia de for¸as externas F1 (t) e F2 (t). e c F1 (t) F2 (t) E E k1 k2 k3 m1 m2 E E x1 x2 105
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 106 O movimento dos objetos ´ descrito pelo par de equa¸oes e c˜ m1 x1 = −k1 x1 − k2 (x1 − x2 ) + F1 (t), ¨ m2 x2 = −k3 x2 − k2 (x2 − x1 ) + F2 (t). ¨ou seja m1 x1 = −(k1 + k2 ) x1 + k2 x2 + F1 (t), ¨ m2 x2 = k2 x1 − (k2 + k3 ) x2 + F2 (t). ¨ Outro exemplo de sistema de equa¸˜es diferenciais ´ encontrado co ecom freq¨ˆncia no estudo de circuitos el´tricos. Um transformador, ue epor exemplo, envolve dois circuitos, sendo que um deles induz umacorrente no outro por indu¸ao magn´tica. O correspondente sistema c˜ ede equa¸oes diferenciais para as correntes I1 e I2 nos circuitos da figura c˜abaixo ´: e  dI1 dI2  L1 +M + R1 I1 = E1 (t),    dt dt  L dI2 + M dI1 + R I = E (t),    2 2 2 2 dt dtem que M ´ o coeficiente de indu¸ao m´tua. e c˜ u R1 R2 
    • 
    • E2 (t)  (t) E1 L1 L2  I1 (t) I2 (t) E Sistemas de equa¸˜es diferenciais tamb´m ocorrem em muitas ou- co etras aplica¸oes como: mistura qu´ c˜ ımica de v´rios ingredientes, cresci- amento de duas ou mais popula¸oes interadas, vibra¸oes de estruturas, c˜ c˜etc.
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 1075.1 Teoria Geral para SistemasOs sistemas de equa¸oes diferenciais de 1a ordem podem, geralmente c˜ ¯ser escritos sob a forma   x1 = F1 (t, x1 , x2 , . . . , xn )  ˙  x2 = F2 (t, x1 , x2 , . . . , xn )  ˙ . (5.1)  .  .   x = F (t, x , x , . . . , x ). ˙ n n 1 2 nUma solu¸˜o do sistema de equa¸oes diferenciais (5.1) num inter- ca c˜valo J ´ constitu´ por n fun¸oes x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) que s˜o difer- e ıda c˜ aenci´veis em J e que satisfazem o sistema (5.1) para todo t ∈ J. aExemplo 5.1. O par de fun¸oes x1 (t) = sen t e x2 (t) = cos t ´ solu¸ao c˜ e c˜do sistema x1 = x2 , ˙ x2 = −x1 . ˙ O P.V.I. para um sistema de equa¸oes diferenciais de 1a ordem ´ c˜ ¯ edado por:   x1 = F1 (t, x1 , x2 , . . . , xn )  ˙  x2 = F2 (t, x1 , x2 , . . . , xn )  ˙   . .  .  x = F (t, x , x , . . . , x )  ˙n  n 1 2 n  x (t ) = x0 , x (t ) = x0 , . . . , x (t ) = x0 ,  1 0 1 2 0 2 n 0 nem que x0 , x0 , . . ., x0 ∈ R. 1 2 n Existe uma importante conex˜o entre sistemas de equa¸oes dife- a c˜renciais e equa¸˜es de uma certa ordem: a equa¸ao de ordem n co c˜ y (n) = F (t, y, y, . . . , y (n−1) ) ˙
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 108pode ser transformada num sistema de n equa¸oes de c˜ 1a ordem intro- ¯duzindo as vari´veis x1 , x2 , . . . , xn do seguinte modo. a Sejam x1 = y, x2 = y, ˙ x3 = y , ¨ ..., xn = y (n−1) .Temos que   x1 = x2  ˙  x2 = x3  ˙   . .  .  x  ˙ n−1 = xn    x = F (t, x , x , . . . , x ). ˙n 1 2 nExemplo 5.2. No sistema massa-mola, temos um sistema de duasequa¸oes diferenciais de 2a ordem e podemos transform´-lo num sis- c˜ ¯ atema de quatro equa¸oes diferenciais de 1a ordem. Definindo c˜ ¯ z1 = x1 , z2 = x1 , z3 = x2 e z4 = x2 . ˙ ˙Temos que    z1 ˙ = z2 m1 z2 ˙ = −(k1 + k2 ) z1 + k2 z3 + F1 (t)    z3 ˙ = z4 m2 z4 ˙ = k2 z1 − (k2 + k3 ) z3 + F2 (t). Exemplo 5.3. Escreva o P.V.I. y (4) − y = 0 y(0) = y(0) = y (0) = y (3) (0) = 0 ˙ ¨na forma de um sistema de equa¸oes diferenciais. c˜Solucao: Colocando x1 = y, x2 = y, ¸˜ ˙ x3 = y e x4 = y (3) , temos ¨    x1 = x2  ˙  x1 (0) = y(0) = 0  x2 = x3 ˙ x2 (0) = y(0) = 0 ˙   e  x3 = x4  ˙  x3 (0) = y (0) = 0  ¨ x4 = x1 ˙ x4 (0) = y (3) (0) = 0.  
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 109 Se cada uma das fun¸oes F1 , . . . , Fn em (5.1) for linear em x1 , . . . , xn , c˜ent˜o dizemos que o sistema de equa¸oes ´ linear. O sistema mais a c˜ egeral de n equa¸oes lineares de 1a ordem possui a forma c˜ ¯   x1 = a1 1 (t) x1 + · · · + a1 n (t) xn + g1 (t)  ˙ . . (5.2)  .  x = a (t) x + · · · + a (t) x + g (t). ˙n n1 1 nn n nSe gj (t) ≡ 0 para todo 1 ≤ j ≤ n, ent˜o dizemos que o sistema (5.2) a´ homogˆneo. Caso contr´rio, ele ´ n˜o homogˆneo.e e a e a e Evidentemente a nota¸˜o de (5.2) ´ bastante incˆmoda, ent˜o ado- ca e o atamos a seguinte nota¸˜o matricial. Defina ca       a1 1 (t) . . . a1 n (t) g1 (t) x1 (t)A(t) =  . .. .  , g(t) =  .  e x(t) =  .  .  . .  . . .  . .  . . an 1 (t) . . . an n (t) gn (t) xn (t)Temos que (5.2) pode ser expresso na forma compacta ˙ x = A(t) x + g(t), [L.N.H.]onde, x = (x1 , . . . , x)T . ˙ ˙ ˙ Observacao 5.1. (a1 , . . . , an )T denota um vetor coluna. ¸˜Teorema 5.1 (Existˆncia e Unicidade de Solu¸oes). Suponha que as e c˜fun¸˜es ai j (t) e gi (t), 1 ≤ i, j ≤ n, sejam cont´nuas num intervalo co ı nJ. Ent˜o dados t0 ∈ J e x0 ∈ R , existe uma unica solu¸˜o x(t) de a ´ ca[L.N.H.], definida em J, tal que x(t0 ) = x0 . Observacao 5.2. Este teorema ´ uma conseq¨ˆncia (da forma ve- ¸˜ e uetorial) do Teorema 1.1, pois temos que f (t, x) = A(t) x + g(t) e ∂(f1 , . . . , fn )Jf = = A(t) s˜o cont´ a ınuas em J. ∂(x1 , . . . , xn )
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 110Teorema 5.2. Se x1 (t) = (x1 (t) . . . x1 (t)) e x2 (t) = (x2 (t) . . . x2 (t)) 1 n 1 ns˜o solu¸˜es do sistema homogˆneo a co e ˙ x = A(t) x [L.H.]ent˜o qualquer combina¸˜o linear c1 x1 (t) + c2 x2 (t), em que c1 e c2 a cas˜o constantes arbitr´rias, tamb´m ´ solu¸˜o de [L.H.]. Ou seja, o a a e e caconjunto S de todas as solu¸˜es de [L.H.] ´ um espa¸o vetorial. co e c A demonstra¸ao deste teorema ser´ deixada como exerc´ c˜ a ıcio.Teorema 5.3 (Teste para Independˆncia Linear). Sejam x1 (t), . . . , xk (t) esolu¸˜es de [L.H.] e seja t0 ∈ J. Ent˜o x1 (t), . . . , xk (t) s˜o solu¸˜es li- co a a conearmente independentes se, e somente se, os vetores x1 (t0 ), . . . , xk (t0 )s˜o linearmente independentes em Rn . a Demonstracao. Suponhamos que x1 (t), . . . , xk (t) sejam linear- ¸˜mente dependentes. Ent˜o, existem constantes c1 , . . . , ck n˜o todas a anulas, tais que c1 x1 (t) + · · · + ck xk (t) = 0, para todo t ∈ J.Logo, c1 x1 (t0 ) + · · · + ck xk (t0 ) = 0com constantes c1 , . . . , ck n˜o todas nulas. Portanto, x1 (t0 ), . . . , xk (t0 ) as˜o linearmente dependentes em Rn . a Reciprocamente, suponhamos que x1 (t0 ), . . . , xk (t0 ) sejam linear-mente dependentes em Rn . Ent˜o, existem constantes c1 , . . . , ck n˜o a atodas nulas, tais que c1 x1 (t0 ) + · · · + ck xk (t0 ) = 0.Temos que a fun¸ao c˜ ϕ(t) = c1 x1 (t) + · · · + ck xk (t),
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 111em que c1 , . . . , ck s˜o as constantes dadas acima, satisfaz [L.H.] pois ´ a euma combina¸˜o linear de solu¸oes. Al´m disso, ϕ(t0 ) = 0. Portanto, ca c˜ epelo Teorema 5.1, ϕ(t) = 0 para todo t. Logo, x1 (t), . . . , xk (t) s˜o asolu¸oes linearmente dependentes. c˜Teorema 5.4. A dimens˜o do espa¸o S de todas as solu¸˜es de [L.H.] a c co´ n.e Demonstracao. Vamos mostrar que [L.H.] possui n solu¸oes ¸˜ c˜linearmente independentes. Para isto, consideremos os vetores do Rn :e1 = (1 0 · · · 0 0)T , e2 = (0 1 0 · · · 0)T , . . ., en = (0 0 · · · 0 1)T e osP.V.I.’s ˙ x = A(t) x xi (t0 ) = ei , i = 1, . . . , n e t0 ∈ J.Pelo Teorema 5.1, temos que cada P.V.I. possui uma unica solu¸˜o ´ ca i 1 nx (t). Como os vetores e , . . . , e s˜o linearmente independentes em aRn . Logo, segue do Teorema 5.3, que x1 (t), . . . , xn (t) s˜o solu¸oes a c˜linearmente independentes de [L.H.]. Resta mostrar que qualquer solu¸˜o de [L.H.] pode ser escrita como ca 1 ncombina¸˜o linear de x (t), . . . , x (t). Seja x(t) uma solu¸ao de [L.H.] ca c˜tal que x(t0 ) = (c1 · · · cn )T . Com estas constantes c1 , . . . , cn , cons-tru´ ımos a fun¸ao c˜ ϕ(t) = c1 x1 (t) + · · · + cn xn (t).Temos que ϕ(t) satisfaz [L.H.] pois, ´ combina¸ao linear de solu¸˜es e e c˜ coal´m disso e ϕ(t0 ) = c1 x1 (t0 ) + · · · + cn xn (t0 ) = c1 e1 + c2 e2 + · · · + cn en = = (c1 c2 . . . cn )T = x(t0 ).Logo, pelo Teorema 5.1, ϕ(t) ≡ x(t). Portanto, x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cn xn (t).
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 112 Observacao 5.3. O Teorema 5.4 diz que se conhecermos n solu¸oes ¸˜ c˜ 1 nlinearmente independentes x (t), . . . , x (t) de [L.H.], ent˜o toda solu¸˜o a cade [L.H.] ser´ da forma a x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cn xn (t).Por esta raz˜o, esta express˜o ´ chamada solu¸˜o geral de [L.H.]. a a e caExemplo 5.4. Considere o sistema de equa¸oes diferenciais c˜ x1 = x2 ˙ 0 1 ˙ ou x = x, x2 = −x1 − 2 x2 ˙ −1 −2em que x = (x1 x2 )T . Note que o sistema procede da equa¸˜o de 2a ca ¯ordem y + 2 y + y = 0, ¨ ˙colocando x1 = y e x2 = y. Como y1 (t) = e−t e y2 (t) = t e−t s˜o duas ˙ asolu¸oes desta equa¸˜o, temos que c˜ ca e−t te−t x1 (t) = e x2 (t) = −e−t (1 − t) e−ts˜o duas solu¸oes deste sistema. Como x1 (0) = (1 − 1)T e x2 (0) = a c˜(0 1) s˜o vetores linearmente independentes em R2 , pelo Teorema T a5.3, temos que x1 (t) e x2 (t) s˜o solu¸˜es linearmente independentes e a copelo Teorema 5.4, toda solu¸ao deste sistema pode ser escrita sob a c˜forma x1 (t) e−t te−t (c1 + t)e−tx(t) = = c1 +c2 = . x2 (t) −e−t (1 − t)e−t (c2 − c1 − c2 t)e−t ıcio: Resolva o P.V.I. Exerc´ 0 1 1 ˙ x= x, x(0) = . −1 −2 1
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 113 Definicao 5.1. Dizemos que uma matriz n × n X(t) ´ matriz ¸˜ e ca ˙solu¸˜o do sistema x = A(t) x, se cada coluna de X(t) ´ solu¸˜o e cado sistema. et 0Exemplo 5.5. X(t) = ˙ ´ uma matriz solu¸˜o de x = e ca 0 e2 t 1 0 x pois, 0 2 et 0 x1 (t) = e x2 (t) = 0 e2 ts˜o solu¸˜es de a co 1 0 ˙ x= x. 0 2(Verifique). Definicao 5.2. Dizemos que uma matriz n × n X(t) ´ matriz fun- ¸˜ e ˙damental (M.F.) para o sistema x = A(t) x se X(t) ´ uma matriz esolu¸˜o e det X(t) = 0 para todo t no intervalo de existˆncia. Ou seja, ca e a co ˙suas colunas s˜o solu¸˜es linearmente independentes de x = A(t) x. et 0 1 0Exemplo 5.6. X(t) = 2t ´ uma M.F. de x = e ˙ x pois, 0 e 0 2como vimos acima, ela ´ matriz solu¸ao e al´m disso det X(t) = e3 t = 0 e c˜ epara todo t. Lema 5.1. Se X(t) ´ uma M.F. de [L.H.], ent˜o a solu¸˜o geral de e a ca[L.H.] ser´ dada por X(t) c, em que c = (c1 · · · cn )T . a Demonstracao. Primeiramente, mostremos que x(t) = X(t)c ´ ¸˜ esolu¸ao de [L.H.]. De fato, c˜ ˙ ˙ x(t) = X(t) c = [A(t) X(t)] c = A(t) [X(t) c] = A(t) x(t).Mostremos, agora, que toda solu¸˜o ´ deste tipo. Seja x(t) solu¸˜o ca e ca −1de [L.H.] tal que x(t0 ) = x0 . Como a fun¸ao z(t) = X(t)[X (t0 )x0 ] c˜
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 114´ solu¸˜o de [L.H.] e satisfaz z(t0 ) = x0 , pela unicidade de solu¸˜es,e ca cotemos que z(t) = x(t). Logo, x(t) = X(t) c, em que c = X −1 (t0 ) x0 . Observacao 5.4. Se X(t) ´ M.F. de [L.H], isto ´, suas colunas s˜o ¸˜ e e asolu¸oes linearmente independentes de [L.H], o lema acima afirma que c˜suas colunas formam uma base para o espa¸o das solu¸˜es . c coTeorema 5.5 (F´rmula de Jacobi-Liouville). Se X(t) ´ uma matriz o esolu¸˜o de [L.H.] em algum intervalo J e se t0 ∈ J, ent˜o ca a t det X(t) = det X(t0 ) exp( trA(s) ds), t0onde trA(s) = soma dos elementos da diagonal principal de A(s). Demonstracao. Basta notar que det X(t) satisfaz a equa¸˜o ¸˜ cadiferencial z = trA(t) z. ˙ Observacao 5.5. O Teorema 5.5 afirma que se X(t) ´ matriz solu¸˜o ¸˜ e cade [L.H.] ent˜o, ou det X(t) = 0 para todo t ∈ J ou det X(t) = 0 para atodo t ∈ J. O pr´ximo teorema nos d´ um crit´rio para decidir se uma matriz o a esolu¸ao de [L.H.] ´ uma M.F.. c˜ eTeorema 5.6. Seja X(t) uma matriz solu¸˜o de [L.H.] em J. X(t) ca´ M.F. se, e somente se, det X(t0 ) = 0 para algum t0 ∈ J.e Demonstracao. Suponhamos que X(t) seja M.F., ent˜o as co- ¸˜ alunas de X(t) s˜o solu¸oes linearmente independentes e, portanto, a c˜det X(t) = 0 para todo t ∈ J. Em particular, det X(t0 ) = 0 paraalgum t0 ∈ J. Reciprocamente, se det X(t0 ) = 0 para algum t0 ∈ J, pela F´rmula ode Jacobi-Liouville, temos que det X(t) = 0 para todo t ∈ J. Por-tanto, X(t) ´ M.F.. e
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Teoria Geral 115Exemplo 5.7. Verifique se 1 −t   e2 t 2 e et X(t) =  e2 t e−t 0  2t 7 −t e −2 e −et´ uma M.F. para o sistemae   1 −1 0 ˙ x= 1 2 1  x. −2 1 −1Solucao: Facilmente verifica-se que as colunas de X(t) s˜o solu¸oes ¸˜ a c˜do sistema. Escolhendo, por simplicidade, t0 = 0, temos 1 −1 2 1 det X(0) = 1 1 0 = −3. 1 − 7 −1 2Logo, pelo Teorema 5.4, X(t) ´ M.F.. e t2 t ıcios 5.1. 1) Mostre que X(t) =Exerc´ ´ uma matriz fun- e 2t 1damental para o sistema 0 1 ˙ x= 2 x −2/t 2/tem qualquer intervalo J n˜o incluindo a origem. a 2) Verifique se ´ poss´ e ıvel determinar uma matriz A(t) cont´ ınuapara t ≥ 0, de modo que X(t) seja matriz fundamental do sistema˙x = A(t)x, com t2 t 1 1+t a) X(t) = . b) X(t) = . t t 0 2Em caso afirmativo construa A(t). Caso contr´rio, justifique sua res- aposta.
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 116 3) Dada a equa¸˜o diferencial t3 y (3) −3 t2 y +6 t y−6 y = 0, reduza- ca ¨ ˙a num sistema de equa¸˜es diferenciais de 1¯ co a ordem escrevendo-a na ˙forma x = A(t) x e em seguida ache uma matriz fundamental desolu¸oes para o sistema encontrado. c˜Sugest˜o: Determine por tentativa trˆs solu¸˜es linearmente indepen- a e codentes da equa¸˜o dada. ca 4) Considere os vetores x1 (t) = (t 1)T e x2 (t) = (t2 2 t)T . a) Em que intervalo x1 e x2 s˜o linearmente independentes? a b) Que conclus˜o se pode tirar sobre os coeficientes no sistema de aequa¸oes diferenciais homogˆneas satisfeitas por x1 e x2 ? c˜ e c) Ache este sistema de equa¸oes e verifique as condi¸oes da parte c˜ c˜a). 5) Considere os vetores x1 (t) = (t2 2t)T e x2 (t) = (et et )T , eresponda as mesmas perguntas do Problema 4.5.2 Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes Vamos construir a solu¸ao geral do sistema c˜ ˙ x = Ax (5.3)onde A = (ai j ), i, j = 1, 2, . . . , n ´ uma matriz constante. e A nossa experiˆncia com as equa¸oes de 2a ordem sugere que pro- e c˜ ¯curemos solu¸oes da forma c˜ x(t) = eλ t v (5.4)em que o n´mero λ e o vetor constante v = (v1 · · · vn )T = (0 · · · 0)T u
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 117devem ser determinados. Substituindo (5.4) no sistema (5.3), obtemos λ eλ t v = A eλt vou equivalentemente A v = λ v. (5.5)Logo, (5.4) ´ uma solu¸ao de (5.3) se, e somente se, λ ´ um autovalor e c˜ ede A e v ´ um autovetor associado a λ. A equa¸˜o (5.5) ´ equivalente e ca ea (A − λ I) v = 0, (5.6)onde I ´ a matriz identidade. Para que a equa¸ao (5.6) tenha solu¸ao e c˜ c˜v = 0, a matriz A − λI n˜o pode ser invert´ a ıvel. Logo, devemos ter det(A − λ I) = 0. (5.7) Observamos que a express˜o det(A − λ I) ´ um polinˆmio de grau a e on em λ, chamado polinˆmio caracter´ o ıstico de A. Assim, a equa¸˜o cadet(A − λ I) = 0, possui n ra´ ızes λ1 , . . . , λn que podem ser reais oucomplexas e algumas podem ter multiplicidade maior do que um. Observacao 5.6. Se v for um autovetor de A com autovalor λ, ent˜o ¸˜ au = c v, em que c = 0 ´ uma constante qualquer, tamb´m ser´ um e e aautovetor de A com o mesmo autovalor. Observacao 5.7. Se a matriz A for triangular, ent˜o os autovalores ¸˜ aser˜o os elementos da diagonal principal. a Temos trˆs casos a considerar: e 1o caso: Todos os autovalores s˜o reais e distintos. ¯ aSejam v1 , . . . , vn os autovetores associados aos autovalores λ1 , . . . , λn , ´respectivamente. Como λ1 , . . . , λn s˜o distintos, segue da Algebra a 1 nLinear, que v , . . . , v s˜o linearmente independents. Logo, as fun¸oes a c˜ x1 (t) = eλ1 t v1 , . . . , xn (t) = eλn t vn
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 118s˜o n solu¸oes linearmente independentes de (5.3) pois, para t = 0, a c˜temos que os vetores x1 (0) = v1 , . . . , xn (0) = vns˜o linearmente independentes. Portanto, x1 (t) = eλ1 t v1 , . . . , xn (t) = aeλn t vn formam uma base para o espa¸o das solu¸oes. c c˜Exemplo 5.8. Determine a solu¸˜o de P.V.I ca 1 12 0 ˙ x= x, x(0) = . 3 1 1Solucao : O polinˆmio caracter´ ¸˜ o ıstico da matriz dos coeficientes A ´ e 1 − λ 12p(λ) = det(A − λ I) = = (1 − λ)2 − 36 = λ2 − 2 λ − 35. 3 1−λPortanto, os autovalores de A s˜o: λ1 = 7 e λ2 = −5. a i) λ1 = 7: Procuramos um vetor v = 0 tal que −6 12 a 0 −6 a + 12 b = 0(A−7 I) v = = =⇒ =⇒ a = 2 b. 3 −6 b 0 3a − 6b = 0 2 2Logo, um autovetor ´ v1 = e e x1 (t) = e7 t ´ uma solu¸ao. e c˜ 1 1 ii) λ2 = −5: Procuramos um vetor v = 0 tal que 6 12 a 0 6 a + 12 b = 0(A+5 I) v = = =⇒ =⇒ a = −2 b. 3 6 b 0 3a + 6b = 0 −2Logo, um autovetor ´ v2 = e e uma segunda solu¸˜o ´ x2 (t) = ca e 1 −2e−5 t . 1
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 119 Como λ1 = λ2 , temos que x1 (t) e x2 (t) s˜o solu¸oes linearmente a c˜independentes. Ent˜o a solu¸ao geral ´ a c˜ e 2 c1 e7t − 2 c2 e−5t x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) = . c1 e7 t + c2 e−5 tComo 0 2 c1 − 2 c2 2 c1 − 2 c2 = 0 1 = x(0) = ⇒ ⇒ c1 = c2 = , 1 c1 + c2 c1 + c2 = 1 2temos que a solu¸ao do P.V.I. ´ c˜ e e7 t − e−t x(t) = . (e7 t + e−5 t )/2 2o caso: Autovalores Complexos. ¯ Se λ = α+i β, com β = 0, ´ um autovalor de A e v = v1 +i v2 , com ev = 0, ´ um correspondente autovetor, ent˜o a fun¸ao z(t) = eλ t v 2 e a c˜´ uma solu¸˜o com valores complexos do sistema (5.3). Esta solu¸aoe ca c˜com valores complexos d´ origem a duas solu¸˜es com valores reais, a cocomo mostra o seguinte: Lema 5.2. Se z(t) = x(t) + i y(t) ´ uma solu¸˜o com valores com- e caplexos de (5.3), ent˜o tanto x(t) como y(t) s˜o solu¸˜es reais de (5.3). a a co Demonstracao. Temos que ¸˜ ˙ ˙ ˙ x(t) + i y(t) = z(t) = A z(t) = A [x(t) + i y(t)] = A x(t) + i A y(t).Igualando as partes real e imagin´ria, obtemos a ˙ x(t) = A x(t) e ˙ y(t) = A y(t).Logo, tanto x(t) = [z(t)] como y(t) = [z(t)] s˜o solu¸oes reais de a c˜(5.3).
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 120 Escrevendo a solu¸˜o z(t) = eλ t v, em que λ = α + i β e v = ca 1 2v + i v , na forma z(t) = eα t (cos β t + i sen β t)(v1 + iv2 ) = eα t [v1 cos β t − v2 sen β t + i (v1 sen β t + v2 cos β t)]pelo Lema 5.2 temos que x(t) = eα t (v1 cos β t − v2 sen β t)e y(t) = eα t (v1 sen β t + v2 cos β t)s˜o duas solu¸oes reais de (5.3). Al´m disso, estas solu¸oes s˜o linear- a c˜ e c˜ amente independentes. (Prove isto).Exemplo 5.9. Determine uma base de solu¸oes reais para o sistema c˜ 1 −1 ˙ x= x. 5 −3Solucao : O polinˆmio caracter´ ¸˜ o ıstico da matriz dos coeficientes A 2´ p(λ) = det(A − λ I) = λ + 2 λ + 2. Portanto, os autovalores de Aes˜o: λ1 = −1 + i e λ2 = −1 − i. Procuremos um vetor v = 0 tal que a(A − λ1 I) v = 0. Ou seja 2−i −1 a 0 (2 − i) a − b = 0 = =⇒ =⇒ b = (2−i) a. 5 −2 − i b 0 5 a − (2 + i) b = 0 1Logo, um autovetor associado a λ1 = −1 + i ´ v = e e a fun¸ao c˜ 2−i 1 1 0 z(t) = e(−1+i) t = e−t (cos t + i sen t) +i 2−i 2 −1 e−t cos t e−t sen t = + i −t e−t [2 cos t + sen t] e [2 sen t − cos t]
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 121´ uma solu¸ao com valores complexos. Conseq¨entementee c˜ u e−t cos t x(t) = [z(t)] = e−t [2 cos t + sen t]e e−t sen t y(t) = [z(t)] = e−t [2 sen t − cos t]s˜o duas solu¸oes reais linearmente independentes e, portanto, x(t) e a c˜y(t) formam uma base de solu¸˜es reais. co 3o caso: Autovalores Repetidos. ¯ Se λ ´ um autovalor de multiplicidade k > 1, temos duas possibi- elidades:(i) existem k autovetores linearmente independentes associados a λ;(ii) existem menos de k autovetores linearmente independentes asso-ciados a λ. No caso (i) tudo se passa como quando os autovalores s˜o distintos. a 1 kSe v , . . . , v forem autovetores linearmente independentes associadosa λ, ent˜o eλ t v1 , . . . , eλ t vk ser˜o k solu¸oes linearmente indepedentes. a a c˜Exemplo 5.10. Determine uma base de solu¸oes para o sistema c˜   3 2 4 ˙ x = 2 0 2 x. 4 2 3Solucao: O polinˆmio caracter´ ¸˜ o ıstico da matriz dos coeficientes A´ p(λ) = det(A − λ I) = −λ + 6 λ2 + 15 λ + 8 = 0. Portanto, ose 3autovalores de A s˜o: λ1 = λ2 = −1 e λ3 = 8. a
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 122 (a) λ = −1 : Procuramos todos os vetores v = 0 que satisfazem(A + I) v = 0. Ou seja,      4 2 4 a 0  4a + 2b + 4c = 02 1 2  b  = 0 =⇒ 2 a + b + 2 c = 0 =⇒ b = −2 a−2 c. 4 2 4 c 0 4a + 2b + 4c = 0 Fazendo a = 1 e c = 0, obtemos v1 = (1 − 2 0)T . Fazendo a = 0 ec = 1, obtemos v2 = (0 − 2 1)T que s˜o dois autovetores linearmente aindependentes associados a λ = −1. Portanto, o autovalor λ = −1 d´aorigem a duas solu¸oes linearmente independentes c˜     1 0 1 −t   e x2 (t) = e−t −2 . x (t) = e −2 0 1 (b) λ = 8: Procuramos um vetor v = 0 tal que (A − 8 I) v = 0.Ou seja,      −5 2 4 a 0  −5 a + 2 b + 4 c = 0 2 −8 2   b  = 0 ⇒ 2 a − 8 b + 2 c = 0 ⇒ a = c = 2 b. 4 2 −5 c 0 4a + 2b − 5c = 0 Logo, um autovetor ´ v3 = (2 1 2)T e, portanto, e   2 3 8t   x (t) = e 1 2´ uma terceira solu¸˜o linearmente independente.e ca No caso (ii) n˜o ´ poss´ encontrar k autovetores linearmente in- a e ıveldependentes associados a λ, o que significa que existem solu¸˜es de co(5.3) que n˜o podem ser expressas usando-se apenas fun¸˜es exponen- a cociais e vetores constantes. Por analogia ao feito para equa¸oes de 2a c˜ ¯ordem, ´ natural procurar solu¸ao envolvendo produtos de polinˆmios e c˜ oe exponenciais. Ilustraremos este procedimento atrav´s do e
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 123Exemplo 5.11. Resolva o sistema 1 −1 ˙ x= x. 1 3Solucao: O polinˆmio caracter´ ¸˜ o ıstico ´ p(λ) = (λ − 2)2 e, portanto eλ = 2 ´ autovalor de A com multiplicidade 2. Procuremos todos os evetores v = 0 tais que (A − 2 I) v = 0. Ou seja, −1 −1 a 0 −a − b = 0 = =⇒ =⇒ b = −a. 1 1 b 0 a+b=0Portanto, todo autovetor ´ da forma v = a(1 e − 1)T . Logo, umasolu¸ao ´ c˜ e 1 x1 (t) = e2 t −1e n˜o existe uma segunda solu¸ao de forma e2 t v que seja linearmente a c˜ ´independente com x1 (t). E natural tentarmos x2 (t) = t e2 t v. Substi-tuindo no sistema obtemos: 2 t e2 t v + e2 t v = A (t e2 t v) (5.8)oue2 t [2 t v+v] = t e2 t A v =⇒ 2 t v+v−t A v = 0, para todo t ⇐⇒ v = 0o que n˜o nos interessa. a Como em (5.8) aparecem termos em t e2 t e e2 t , temos que a solu¸ao, c˜ 2t 2tal´m do termo t e v, precisa conter um termo e w. Tentemos ent˜o e a x2 (t) = t e2 t v + e2 t w,em que v e w s˜o vetores constantes. Substituindo no sistema, obte- amos 2 t e2 t v + e2 t (v + 2 w) = A (t e2 t v + e2 t w)
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 124ou 2 t v + v + 2 w = t A v + A w.Igualando termos em t e termos constantes, temos que v e w devemsatisfazer Av = 2v (A − 2 I) v = 0 =⇒ Aw = v + 2w (A − 2 I) w = v.A primeira destas equa¸˜es est´ satisfeita se v for um autovetor de A co aassociado a λ = 2, ou seja, v = (1 − 1)T . Substituindo na segunda,obtemos −1 −1 w1 1 −w1 − w2 = 1 = =⇒ =⇒ w2 = −1−w1 . 1 1 w2 −1 w1 + w2 = −1Fazendo w1 = 0, temos que w = (0 − 1)T satisfaz a segunda equa¸ao, c˜e portanto, 1 0 t e2 t x2 (t) = t e2 t + e2 t = −1 −1 −e2 t (t + 1)´ uma segunda solu¸ao linearmente independente com x1 (t). (Provee c˜este fato). Apresentemos agora um procedimento geral para resolver o caso(ii). Suponhamos que A tenha k < n autovetores linearmente indepen-dentes. Ent˜o teremos apenas k solu¸oes linearmente independentes a c˜da forma eλt v. Para obter as n − k solu¸oes, que juntamente com c˜estas formem uma base para o espa¸o das solu¸˜es, devemos proceder c codo seguinte modo: 1) Para cada autovalor λ de A, com multiplicidade maior do que1, procuramos solu¸˜es do tipo x(t) = t eλ t v + eλ t w, em que co (A − λI)v = 0 (A − λI)w = v.
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 125 2) Se ainda n˜o tivermos as n solu¸oes linearmente independentes, a c˜ t2 λtdevemos procurar solu¸˜o do tipo x(t) = ca e v + t eλ t w + eλ t u, em 2!que   (A − λ I) v = 0 (A − λ I) w = v (A − λ I) u = w.  3) Prosseguimos deste modo at´ obter as n solu¸oes linearmente e c˜independentes.Exemplo 5.12. Encontrar uma base para o espa¸o das solu¸˜es de c co   2 1 3 ˙ x=  0 2 −1  x. 0 0 2Solucao: O polinˆmio caracter´ ¸˜ o ıstico ´ p(λ) = (2 − λ)3 e, portanto, eλ = 2 ´ autovalor de multiplicidade 3. Procuremos todos os vetores ev = 0 tais que (A − 2I)v = 0:      0 1 3 a 0  0 0 −1   b  =  0  =⇒ b + 3 c = 0 −c = 0. 0 0 0 c 0Logo, b = c = 0 e a ´ arbitr´rio. Conseq¨entemente, todo autovetor ´ e a u eda forma v = a(1 0 0)T e, portanto,    2t  1 e 1 2t  x (t) = e 0 = 0  0 0´ uma solu¸ao do sistema.e c˜ Como A possui apenas um autovetor linearmente independenteassociado a λ = 2, devemos procurar outra solu¸ao da forma x2 (t) = c˜
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 126t e2 t v + e2 t w, em que v ´ autovetor associado a λ = 2 e w ´ tal que e e(A − 2 I) w = v. Assim      0 1 3 w1 1  0 0 −1   w2  =  0  =⇒ w2 + 3 w3 = 1 −w3 = 0. 0 0 0 w3 0Logo, w2 = 1, w3 = 0 e w1 ´ arbitr´rio. e a Portanto,      2t  1 0 te x2 (t) = t e2 t  0  + e2 t  1  =  e2 t  0 0 0´ uma segunda solu¸˜o do sistema.e ca t2 2 t ´ ca a e v+t e2 t w+ A terceira e ultima solu¸˜o ser´ da forma x3 (t) = 2e2 t u, em que v ´ autovetor associado a λ = 2, w foi determinado eacima e u ´ tal que (A − 2 I) u = w. Ou seja, e      0 1 3 u1 0  0 0 −1   u2  =  1  =⇒ u2 + 3 u3 = 0 −u3 = 1. 0 0 0 u3 0Logo, u2 = 3, u3 = −1 e u1 ´ arbitr´rio. Portanto, e a        2 2t  2 1 0 0 t e /2 t 2t  x3 (t) = e 0 + t e2 t  1  + e2 t  3  =  (t + 3) e2 t  2 0 0 −1 −e2 t´ a terceira solu¸˜o do sistema.e ca Mostre que estas 3 solu¸oes s˜o linearmente independentes. c˜ a Exerc´ıcios 5.2. 1) a) Transforme a equa¸ao y (3) −3 y −6 y −2 y = 0, c˜ ¨ ˙num sistema de equa¸˜es diferenciais de 1a ordem. co ¯ b) Calcule uma matriz fundamental para o sistema.
    • Sistemas de Equa¸˜es Diferenciais co Cap. 5 Coef. Constantes 127 c) Dˆ a solu¸˜o geral do sistema. e ca d) Dˆ a solu¸˜o geral da equa¸˜o dada. e ca ca 2) Determine uma base de solu¸˜es, uma matriz fundamental e a cosolu¸ao geral dos sistemas abaixo: c˜ 3 −2 −3 2 ˙ a) x = x. ˙ b) x = x. 2 −2 −1 −1     3 2 4 1 1 2 ˙ c) x =  2 0 2  x. ˙ d) x =  1 2 1  x. 4 2 3 2 1 1     1 0 0 1 0 0 ˙ = 3 e) x 1 −2  x. f) x =  2 1 −2  x. ˙ 2 2 1 3 2 1     −2 1 0 0 −1 −1 0  0 −2 1 0  ˙ g) x =  0 −1 ˙  0  x. h) x =   x. 0 0 −2 1  0 0 −2 0 0 0 −2 3) Resolva os P.V.I.:a) x = Ax, em que A ´ dada no exerc´ 2-h) e x(0) = (1 2 − 1 1)T . ˙ e ıciob) x = Ax, em que A ´ dada no exerc´ 2-g) e x(0) = (1 1 2)T . ˙ e ıcio     3 1 1 1 ˙c) x =  0 3 1  x, com x(0) =  0 . 0 0 2 1 e co ˙ 4) Trˆs solu¸˜es de x = Ax s˜o a  t   t   t  e + et e + e3 t e − e3 tϕ1 (t) =  e2t  , ϕ2 (t) =  e3 t  , ϕ3 (t) =  −e3 t  . 0 e3 t −e3 t
    • Sistemas de Equa¸˜es co Cap. 5 Sistema n˜o Homogˆneo 128 a eDetermine os autovalores e os autovetores da matriz A. ˙ 5) Determine se X(t) ´ uma matriz fundamental de x = Ax, para ealguma matriz constante A. Em caso afirmativo determine A, em que t2 + 1 e2 t 2e−t e3 t     1 t+1a) X(t) = et  1 2(t + 1) 4 t 2  b) X(t) =  2et 2e−t e3 t . 1 t+2 3 3et e−t 2e3 t 3 e2 t   −5 cos 2 t −5 sen 2 tc) X(t) =  −2 (cos 2 t + sen 2 t) 2 (cos 2 t − sen 2 t) 0 . cos 2 t sen 2 t e2 t 6) Suponha que Y (t) = X(t)C, em que X(t) e Y (t) s˜o matrizes afundamentais de x˙ = Ax e C ´ uma matriz constante. Prove que edet C = 0. ˙ 7) Seja X(t) uma matriz fundamental de x = A x e C uma matrizconstante com det C = 0. Mostre que Y (t) = X(t) C tamb´m ´ uma e e ˙matriz fundamental de x = A x.5.3 ˜ ˆ Sistemas Lineares nao Homogeneos com Coeficientes Constantes Consideremos o sistema linear n˜o homogˆneo a e ˙ x = A x + g(t), [L.N.H.]em que A ´ uma matriz n × n constante e g(t), n × 1, ´ cont´ e e ınua numintervalo J. O nosso objetivo ´ procurar uma solu¸˜o para [L.N.H.]. e caTeorema 5.7. Sejam u(t) e v(t) duas solu¸˜es quaisquer de x = co ˙A x + g(t). Ent˜o a sua diferen¸a ϕ(t) = u(t) − v(t)´ solu¸˜o de a c e ca˙ = A x.x
    • Sistemas de Equa¸˜es co Cap. 5 Sistema n˜o Homogˆneo 129 a e A demonstra¸ao ser´ deixada como exerc´ c˜ a ıcio.Teorema 5.8. Seja X(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) uma M.F. de x = Ax. ˙Seja xp (t) uma solu¸˜o particular de [L.N.H.]. Ent˜o ca a x(t) = X(t) c + xp (t)´ a solu¸˜o geral de [L.N.H.], em que x = (c1 · · · cn )T .e ca Demonstracao. Primeiramente, mostraremos que x(t) = X(t) c+ ¸˜xp (t) ´ solu¸ao de [L.N.H.]. De fato e c˜ ˙ ˙ ˙ x(t) = X(t) c + xp (t) = A X(t) c + A xp (t) + g(t) = A [X(t) c + xp (t)] + g(t) = A x(t) + g(t).Seja x(t) uma solu¸˜o qualquer de [L.N.H.]. Ent˜o, pelo Teorema 5.5, ca atemos que x(t) − xp (t) ´ solu¸ao de x = Ax. Logo, e c˜ ˙ x(t) − xp (t) = X(t) ce, portanto, x(t) = X(t) c + xp (t). Pelo Teorema 5.8, vemos que para resolver um sistema linear n˜o ahomogˆneo precisamos saber encontrar uma solu¸˜o particular. e ca O m´todo dos coeficientes a determinar aplica-se sob as mes- emas condi¸oes vistas para equa¸˜es de 2a ordem. c˜ co ¯ ˙Exemplo 5.13. Determine uma solu¸ao particular para o sistema x = c˜ tA x + e z, em que 0 1 0 A= e z= . 8 −2 1Solucao: p(λ) = λ2 + 2 λ − 8. Logo, os autovalores s˜o λ1 = 2 e ¸˜ aλ2 = −4. Como n˜o existe solu¸ao do sistema homogˆneo sob a forma a c˜ e
    • Sistemas de Equa¸˜es co Cap. 5 Sistema n˜o Homogˆneo 130 a eet u, tentaremos uma solu¸˜o da forma xp (t) = et v. Substituindo no casistema, obtemos et v = A et v + et z ⇐⇒ v = A v + z ⇐⇒ (A − I) v = −z.Portanto, −1 1 a 0 −a + b = 0 1 = ⇒ ⇒a=b=− . 8 −3 b −1 8 a − 3 b = −1 5Logo, et 1 xp (t) = − 5 1´ uma solu¸ao particular.e c˜ ˙Exemplo 5.14. Determine uma solu¸˜o particular do sistema x = caA x + e−t z, em que 1 1 −4 A= e z= . 4 1 4Solucao : p(λ) = λ2 − 2 λ − 3. Logo, os autovalores s˜o λ1 = −1 ¸˜ ae λ2 = 3. Como existe uma solu¸˜o do sistema homogˆneo da forma ca ee−t u, vamos tentar uma solu¸˜o particular da forma xp (t) = e−t (v + cat w), com v e w ∈ R2 . Substituindo no sistema, obtemos e−t (−v + w − t w) = A [ e−t (v + t w) ] + e−t zou −v + w − t w = A v + t A w + z.Igualando termos em t e termos constantes, vemos que v e w devemsatisfazer A w = −w (A + I) w = 0 =⇒ A v + u = −v + w (A + I) v = w − z.
    • Sistemas de Equa¸oes Diferenciais Cap. 5 Var. dos Parˆmetros 131 c˜ aA primeira destas equa¸oes implica que w deve ser um (conveniente) c˜autovetor de A. Logo, w = α (1 − 2)T para algum α. Pondov = (a b)T , a segunda equa¸ao nos fornece c˜ 2 1 a α+4 2a + b = α+4 = =⇒ 4 2 b −2 α − 4 4 a + 2 b = −2 α − 4.Logo, α = −3 e b = 1 − 2 a. Pondo a = 0, obtemos b = 1. Portanto, 0 −3 −3 t e−t xp (t) = e−t +t = 1 6 (1 + 6 t) e−t´ uma solu¸ao particular.e c˜5.4 ´ ¸˜ ˆ Metodo da Variacao dos Parametros Outro m´todo para determinar uma solu¸ao particular do sistema e c˜n˜o homogˆneo ´ o M´todo da Varia¸˜o dos Parˆmetros, que ´ a e e e ca a e ˙mais geral que o anterior, pois aplica-se tamb´m no caso x = A(t) x + eg(t). Seja X(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) uma M.F. de x = A x. Queremos ˙encontrar uma solu¸ao do tipo c˜ xp (t) = X(t) u(t),em que u(t) ´ uma fun¸ao vetorial, isto ´, u(t) = (u1 (t) · · · un (t))T . e c˜ eTemos ˙ ˙ xp (t) = A X(t) u(t) + X(t) u(t). (5.9)Como xp (t) ´ solu¸ao particular do sistema n˜o homogˆneo, temos e c˜ a e ˙ xp (t) = A xp (t) + g(t) = A X(t) u(t) + g(t). (5.10) ˙De (5.9) e (5.10), vem que X(t) u(t) = g(t), ou u(t) = X −1 (t) g(t). ˙
    • Sistemas de Equa¸oes Diferenciais Cap. 5 Var. dos Parˆmetros 132 c˜ aIntegrando essa express˜o de t0 a t, obtemos a t u(t) = X −1 (s) g(s) ds, t0onde tomamos u(t0 ) = 0, pois procuramos uma solu¸ao particular. c˜Logo, t xp (t) = X(t) X −1 (s) g(s) ds. t0 Assim temos que a solu¸ao de [L.N.H.] tal que x(t0 ) = x0 ´ dada c˜ epor t −1 x(t) = X(t) X (t0 ) x0 + X(t) X −1 (s) g(s) ds, t0que ´ conhecida como F´rmula da Varia¸˜o dos Parˆmetros (ou e o ca af´rmula da varia¸ao das constantes). o c˜Exemplo 5.15. Resolver o P.V.I. −1 0 e−t 1 ˙ x= x+ , x(0) = . 0 0 1 1Solucao: p(λ) = −λ (−1 − λ). Logo, os autovalores s˜o: λ1 = 0 e ¸˜ aλ2 = −1. i) λ = 0: Procuremos um vetor v = 0 tal que (A − 0I) v = 0. Ouseja, −1 0 a 0 = =⇒ a = 0 e b ´ arbitr´rio. e a 0 0 b 0Logo, v1 = (0 1)T ´ um autovetor e x1 (t) = e0t (0 1)T = (0 1)T ´ e euma solu¸ao. c˜ ii) λ = −1: Procuramos um vetor v = 0 tal que (A + 1I) v = 0.Assim 0 0 a 0 = =⇒ b = 0 e a ´ arbitr´rio. e a 0 1 b 0
    • Sistemas de Equa¸oes Diferenciais Cap. 5 Var. dos Parˆmetros 133 c˜ aLogo, v2 = (1 0)T ´ um autovetor e uma segunda solu¸ao ´ x2 (t) = e c˜ e −t T −t Te (1 0) = (e 0) . Portanto, 0 e−t X(t) = (x1 (t) x2 (t)) = 1 0 ˙´ uma M.F. de x = A x. Temos quee 0 1 0 1 X −1 (t) = =⇒ X −1 (0) = . et 0 1 0Logo, a solu¸˜o do P.V.I. ´ ca e t x(t) = X(t) [X −1 (t0 ) x0 + X −1 (s) g(s) ds] t0 −t t 0 e 0 1 1 0 1 e−s = + ds 1 0 1 0 1 0 es 0 1 (1 + t) e−t = . 1+t ıcios 5.3. 1) Determine a solu¸ao geral dos sistemas abaixo:Exerc´ c˜ 2 1 1 2 −5 − cos t ˙ a) x = x+ e3 t . ˙ b) x = x+ . 3 −2 1 1 −2 sen t     1 2 −3 1 1 −1 −t2 ˙ c) x = x+ . ˙ d) x =  1 1 2  x +  0  et . 1 3 2t 1 −1 4 −1 2) Resolva os P.V.I.’s:    2t    2 0 1 e 1 ˙ a) x =  0 2 0  x +  0  , x(0) =  1 . 0 1 3 e2 t 1 4 5 4 et cos t 0 ˙ b) x = x+ , x(0) = . −2 −2 0 0
    • Sistemas de Equa¸oes Diferenciais Cap. 5 Var. dos Parˆmetros 134 c˜ a 2 −5 sen t 0 ˙ c) x = x+ , x(0) = . 1 −2 tg t 0 3) Em cada um dos problemas abaixo, verifique que x1 (t) e x2 (t)s˜o solu¸oes do sistema homogˆneo correspondente, e ent˜o resolva o a c˜ e asistema n˜o homogˆneo. Suponha que t > 0. a e 2 −1 1 − t2 ˙ a) t x = x+ , 3 −2 2t 1 1 x1 (t) = t e x2 (t) = t−1 . 1 3 3 −2 −2 t + 2 ˙ b) t x = x+ , 2 −2 t4 + 1 1 2 x1 (t) = t−1 e x2 (t) = t2 . 2 1 0 1 cos π t ˙ c) x = x+ , 0 −1/t 2/t2 1 ln t x1 (t) = e x2 (t) = . 0 1/t4) O circuito el´trico dado na figura abaixo ´ descrito pelo sistema de e e −1/2 −1/8 1/2 c˜ ˙equa¸oes diferenciais x = x+ I(t), 2 −1/2 0em que x = (x1 x2 )T , x1 ´ a corrente no indutor, x2 ´ a queda de e evoltagem no capacitor e I(t) ´ a corrente fornecida pela fonte externa. ea) Determine uma matriz fundamental X(t) para o sistema homogˆneo ecorrespondente.b) Se I(t) = e−t/2 , determine a solu¸ao que satisfaz a condi¸˜o inicial c˜ cax(0) = 0.
    • Sistemas de Equa¸˜es co Cap. 5 Uso da Transf. de Laplace 135  I(t)  R R L C5.5 ¸˜ Resolucao de Sistemas pela Trans- formada de Laplace A transformada de Laplace, descrita no Cap´ ıtulo 4, tamb´m se eaplica a resolu¸˜o de sistemas de equa¸oes diferenciais. O m´todo ` ca c˜ econsiste em transformar um dado sistema de equa¸oes diferenciais em c˜um sistema de equa¸oes alg´bricas. Vamos ilustrar este procedimento c˜ eatrav´s de alguns exemplos. eExemplo 5.16. Resolver o P.V.I.   x = 3 y + 4 e5 t ˙ y = x − 2y ˙ (5.11) x(0) = 1, y(0) = 0. Solucao: Sejam X(s) = L[x(t)] e Y (s) = L[y(t)]. Aplicando trans- ¸˜formada de Laplace a cada uma das equa¸˜es do sistema (5.11), obte- comos o sistema alg´brico e 4 sX − 1 = 3Y + s−5 sY = X − 2Y
    • Sistemas de Equa¸˜es co Cap. 5 Uso da Transf. de Laplace 136cuja solu¸ao ´: c˜ e s+2 1 7 1 X(s) = = + , (s + 3) (s − 5) 8 s−5 s+3 1 1 1 1 Y (s) = = − . (s + 3)(s − 5) 8 s−5 s+3Logo, a solu¸˜o do P.V.I. ´ ca e  x(t) = 1 (7 e5 t + e−3 t ),   8  y(t) = 1 (e5 t − e−3 t ).  8Exemplo 5.17. Resolver o P.V.I.   x+y =0 ¨ x+y =0 ˙ ˙ (5.12) x(0) = 0, x(0) = 1, y(0) = −1. ˙ Solucao: Sejam X(s) = L[x(t)] e Y (s) = L[y(t)]. Aplicando trans- ¸˜formada de Laplace a cada uma das equa¸oes de (5.12), obtemos o c˜sistema alg´brico e s2 X + Y = 1 s X + s Y = −1,cuja solu¸ao ´ c˜ e 1 1 1 X(s) = = − , s (s − 1) s−1 s −1 Y (s) = . s−1Logo, a solu¸˜o do P.V.I. ´ ca e x(t) = et − 1, y(t) = −et . Como podemos notar no Exemplo 5.17, n˜o ´ necess´rio que as a e a a ordem.equa¸oes diferenciais do sistema sejam de 1¯ c˜
    • Sistemas de Equa¸˜es co Cap. 5 Uso da Transf. de Laplace 137 Exerc´ıcios 5.4. Usando transformada de Laplace ache a solu¸˜o de cacada um dos seguintes problemas de valor inicial:    x = x + 4y ˙  x = 2x − 2y ˙ 1) y =x+y ˙ 2) y = −3 x + y ˙ x(0) = 3, y(0) = 2. x(0) = 5, y(0) = 0.      x+y =0 ˙ ˙  2 x + y − y = −1 ˙ 3) x+x+y =0 ¨ 4) x − 3 x − 4 y = −1 ˙ x(0) = x(0) = 0, ˙ y(0) = −2. x(0) = 2, y(0) = 1.      x+x+y =0  ¨ ˙  x = x − y + sen 3 t ˙ 3x − y = 1 + 8t ˙  5) y =x−y ˙ 6)  x(0) = 0, x(0) = 2, ˙ x(0) = 1/3, y(0) = 0.   y(0) = −1. 
    • Cap´ ıtulo 6Equa¸˜es N˜o Lineares de co aPrimeira Ordem Estudaremos agora alguns tipos de equa¸oes diferenciais n˜o li- c˜ aneares. Freq¨entemente ´ conveniente escrever a equa¸ao u e c˜ y = f (t, y) ˙na forma M (t, y) + N (t, y) y = 0. ˙ ıvel: basta colocar M (t, y) = −f (t, y) e N (t, y) = 1.Isto ´ sempre poss´ e6.1 ¸˜ Equacoes Exatas Queremos resolver a equa¸ao diferencial (t2 + y 2 )dt + 2 t y dy = 0, c˜que n˜o ´ linear. Ent˜o precisamos encontrar um m´todo para resolvˆ- a e a e ela. 138
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Equa¸oes Exatas c˜ 139 ¸˜ ca aDefinicao 6.1. Dada a equa¸˜o diferencial de 1¯ ordem dy M (t, y) + N (t, y) =0 dtou M (t, y) dt + N (t, y) dy = 0, (6.1)em que M, N : Ω → R, e Ω ´ um subconjunto aberto do R2 , dizemos eque (6.1) ´ uma equa¸˜o diferencial exata se existir uma fun¸˜o e ca caV = V (t, y) : Ω → R tal que ∂V (t, y) ∂V (t, y) = M (t, y) e = N (t, y) ∂t ∂ypara todo (t, y) ∈ Ω.Exemplo 6.1. A equa¸˜o (t2 + y 2 ) dt + 2 t y dy = 0 ´ exata pois, existe ca e t3V (t, y) = + t y 2 tal que 3 ∂V ∂V = t2 + y 2 = M (t, y) e = 2 t y = N (t, y). ∂t ∂y Definicao 6.2. A fun¸˜o V (t, y) ´ chamada uma integral primeira ¸˜ ca ede (6.1) e as curvas definidas pela equa¸˜o V (t, y) = c s˜o chamadas ca acurvas integrais de (6.1). Observemos que as solu¸˜es da equa¸ao exata s˜o dadas implici- co c˜ atamente por V (t, y) = c. t3Exemplo 6.2. No exemplo anterior, V (t, y) = + t y 2 ´ uma integral e 3 t3primeira da equa¸˜o dada e + t y 2 = c s˜o as curvas integrais. ca a 3 No exemplo acima ´ f´cil ver que a equa¸ao ´ exata e achar sua e a c˜ e t3solu¸ao reconhecendo que o primeiro membro ´ a diferencial de c˜ e + 3
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Equa¸oes Exatas c˜ 140t y 2 , mas, para equa¸oes mais complicadas, pode n˜o ser poss´ fazer c˜ a ıvelisto. O pr´ximo teorema nos fornece um crit´rio para determinar se a o eequa¸ao dada ´ exata ou n˜o. c˜ e aTeorema 6.1. Suponhamos que M, My , Mt , Ny e Nt sejam cont´nuas ı 2num retˆngulo R = {(t, y) ∈ R | a < t < b e c < y < d}. Ent˜o a a(6.1) ´ uma equa¸˜o diferencial exata se, e somente, se e ca ∂M ∂N = (6.2) ∂y ∂tpara todo (t, y) ∈ R. Demonstracao. Suponhamos que (6.1) seja exata. Ent˜o existe ¸˜ auma fun¸ao V (t, y) tal que c˜ ∂V ∂V =M e = N. ∂t ∂yAssim, ∂M ∂ 2V ∂N ∂ 2V = e = . ∂y ∂y ∂t ∂t ∂t ∂yComo My e Nt s˜o cont´ a ınuas, segue que Vt y e Vy t s˜o cont´ a ınuas. PeloTeorema de Schwarz temos que ∂M ∂N = . ∂y ∂t Reciprocamente, se M e N satisfazem (6.2), ent˜o mostraremos aque (6.1) ´ exata, isto ´, vamos construir uma fun¸ao V (t, y) satis- e e c˜fazendo ∂V ∂V =M e = N. ∂t ∂yObservamos que a primeira das equa¸oes acima ´ equivalente a c˜ e V (t, y) = M (t, y) dt + h(y),
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Equa¸oes Exatas c˜ 141onde h(y) ´ uma fun¸ao arbitr´ria de y. Derivando esta express˜o em e c˜ a arela¸ao a y, obtemos c˜ ∂V (t, y) ∂M = (t, y) dt + h (y). ∂y ∂y ∂VTeremos que (t, y) = N (t, y) se, e somente, se ∂y ∂M N (t, y) = (t, y) dt + h (y) (6.3) ∂you ∂M h (y) = N (t, y) − (t, y) dt. ∂yObservamos que o segundo membro de (6.3), apesar de sua aparˆncia, edepende apenas de y. De fato, ∂ ∂M ∂N ∂M N (t, y) − (t, y) dt = (t, y) − (t, y) = 0 ∂t ∂y ∂t ∂ypois, por hip´tese, M e N satisfazem (6.2). Integrando (6.3), obtemos o ∂M h(y) = N (t, y) − (t, y) dt dy ∂ye, portanto, ∂M V (t, y) = M (t, y) dt + N (t, y) − (t, y) dt dy ∂y ∂V ∂V´ tal quee =M e = N. ∂t ∂y Observamos que a demonstra¸˜o do Teorema 6.1 nos fornece um cam´todo para calcularmos V (t, y) e, portanto, a solu¸˜o da equa¸ao e ca c˜diferencial (6.1). Entretanto, ´ melhor repetir o processo cada vez que efor preciso do que tentarmos lembrar a express˜o de V (t, y). Note atamb´m que a solu¸ao ´ obtida na forma impl´ e c˜ e ıcita, podendo ou n˜o aser poss´ encontrarmos a solu¸˜o explicitamente. ıvel ca
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Equa¸oes Exatas c˜ 142Exemplo 6.3. Resolver a equa¸˜o (t2 + y 2 ) dt + 2 t y dy = 0. caSolucao: Aqui M (t, y) = t2 + y 2 e N (t, y) = 2 t y. Esta equa¸ao ´ ¸˜ c˜ eexata pois, My = 2 y = Nt . Logo, existe uma fun¸ao V (t, y) tal que c˜ (i) Vt (t, y) = t2 + y 2 e (ii) Vy (t, y) = 2 t y.Integrando a primeira destas equa¸oes, obtemos c˜ t3 V (t, y) = + t y 2 + h(y). 3Derivando esta express˜o em rela¸ao a y e usando (ii), obtemos a c˜ h (y) = 0 =⇒ h(y) = c1e, portanto, t3 + t y 2 + c1 . V (t, y) = 3Assim, a solu¸ao desta equa¸ao diferencial ´ dada implicitamente por c˜ c˜ e t3 + 3 t y 2 = c.Exemplo 6.4. Resolver o P.V.I. y cos t + 2 t ey + (sen t + t2 ey + 2) y = 0 ˙ y(0) = 1.Solucao: Aqui M (t, y) = y cos t + 2 t ey e N (t, y) = sen t + t2 ey + 2. ¸˜Esta equa¸˜o ´ exata, pois My = cos t + 2 t ey = Nt . Portanto, existe ca euma fun¸ao V (t, y) tal que c˜ (i) Vt (t, y) = y cos t + 2 t ey e (ii) Vy (t, y) = sen t + t2 ey + 2.Integrando (i), obtemos V (t, y) = y sen t + t2 ey + h(y).
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Equa¸oes Exatas c˜ 143Derivando esta express˜o em rela¸ao a y e usando (ii), temos a c˜ sen t + t2 ey + h (y) = sen t + t2 ey + 2 =⇒ h (y) = 2 =⇒ h(y) = 2 y.Observamos que n˜o h´ necessidade de colocar constante de inte- a agra¸ao em h(y) pois ela fica incorporada na solu¸ao quando escrevemos c˜ c˜V (t, y) = c. Portanto, as curvas integrais s˜o dadas por a V (t, y) = y sen t + t2 ey + 2 y = c.Como t = 0, temos que y = 1 e c = 2. Logo, a solu¸ao do nosso P.V.I. c˜´ definida implicitamente pela equa¸˜oe ca y sen t + t2 ey + 2 y = 2. Exerc´ ıcios 6.1. 1) Determine se cada uma das equa¸oes abaixo ´ c˜ eexata ou n˜o. Se for exata encontre as curvas integrais a a) (2 t + 3) + (2 y − 2)y = 0. ˙ b) (2 t + 4 y) + (2 t − 2 y)y = 0. ˙ t dt y dy c) (9 t2 + y − 1) − (4 y − t)y = 0. d) 2 ˙ + = 0. (t + y 2 )3/2 (t2 + y 2 )3/2e) (et sen y − 2 y sen t) dt + (et cos y + 2 cos t) dy = 0.f) (et sen y + 3 y) dt − (3 t − et sen y) dy = 0. yg) ( + 6 t) dt + (ln t − 2) dy = 0, t > 0. th) (2 t y 2 + 2 y) + (2 t3 y + 2 t) y = 0. ˙i) (y et y cos 2 t − 2 et y sen 2 t + 2 t) dt + (t et y cos 2 t − 3) dy = 0.2) Ache o valor de a que torne cada uma das seguintes equa¸oes exatas c˜e ent˜o resolva-as, usando este valor de a. aa) (t y 2 +a t2 y) dt+(t+y)t2 dy = 0. b) (y e2 t y +t) dt+a t e2 t y dy = 0.3) Resolva cada um dos P.V.I.
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Equa¸˜es Separ´veis co a 144a) 2 t y 3 + 3 t2 y 2 y = 0, y(1) = 1. ˙b) 3 t2 + 4 t y + (2 y + 2 t2 ) y = 0, y(0) = 1. ˙c) 3 t y + y 2 + (t2 + t y) y = 0, y(2) = 1. ˙6.2 ¸˜ ´ ´ Equacoes com Variaveis Separaveis Consideremos a equa¸˜o: ca M (t) N (y) dt + P (t) Q(y) dy = 0, (6.4)onde P (t) = 0 para todo t e N (y) = 0 para todo y. Multiplicando 1(6.4) por µ(t, y) = , obtemos: P (t) N (y) M (t) Q(y) dt + dy = 0 P (t) N (y) ∂ M (t) ∂ Q(y)que ´ uma equa¸˜o exata pois, e ca ( )=0= ( ). Ent˜o as a ∂y P (t) ∂t N (y)curvas integrais s˜o dadas por: a M (t) Q(y) V (t, y) = dt + dy = c P (t) N (y)que definem implicitamente a solu¸ao y(t) de (6.4). c˜Exemplo 6.5. Determine a solu¸˜o do P.V.I. ca y = t3 e−2 y ˙ y(1) = 0.Solucao: A equa¸ao diferencial pode ser escrita na forma e2 y dy = ¸˜ c˜ 3t dt. Integrando o primeiro membro em rela¸˜o a y e o segundo em carela¸ao a t, temos c˜ e2 y t4 = + c1 =⇒ 2 e2 y − t4 = c 2 4
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Equa¸˜es Separ´veis co a 145que define implicitamente y = y(t). Neste caso podemos explicitar asolu¸ao. Como c˜ t4 + c t4 + c t4 + c 1/2 e2 y = =⇒ ln e2y = ln( ) =⇒ y = ln( ) . 2 2 2Como t = 1, temos que y = 0 e c = +1. Logo, a solu¸˜o do P.V.I. ´ ca e t4 + 1 1/2 y(t) = ln . 2 Exerc´ ıcios 6.2. 1) Resolva cada uma das equa¸oes abaixo e esta- c˜bele¸a as regi˜es do plano t y em que s˜o satisfeitas as condi¸˜es do c o a coTeorema de Existˆncia e Unicidade. e t2 a) y = ˙ . b) y + y 2 sen t = 0. ˙ y t2 c) y = ˙ . d) t y = (1 − y 2 )1/2 . ˙ y (1 + t3 ) t2 t − e−t e) y = ˙ . f) y = ˙ . 1 + y2 y + ey2) Ache a solu¸ao, na forma expl´ c˜ ıcita, de cada P.V.I.: 2t 2t a) y = ˙ , y(0) = −2. b) y = ˙ , y(2) = 0. (t + t2 )y 1 + 2y π π c) t dt + y e−t dy = 0, y(0) = 1 d) sen 2t dt + cos 3y dy = 0, y( ) = . 2 3 y − 4t3) Mostre que a equa¸ao y = c˜ ˙ n˜o ´ separ´vel, mas se fizermos a e a t−y ya mudan¸a de vari´vel v = , ent˜o a equa¸ao se torna separ´vel em c a a c˜ a tt e v. Ache a solu¸˜o da equa¸˜o dada usando esta t´cnica. ca ca e
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Fatores Integrantes 1466.3 Fatores Integrantes Quando uma equa¸˜o diferencial do tipo ca M (t, y) + N (t, y) y = 0 ˙n˜o ´ exata, naturalmente perguntamos se poder´ a e ıamos ou n˜o torn´-la a aexata, pela multiplica¸˜o de ambos os membros da equa¸˜o por uma ca cafun¸ao conveniente. c˜ ∂MExemplo 6.6. A equa¸˜o y dt − t dy = 0 n˜o ´ exata, pois, ca a e =1 ∂y ∂Ne = −1. Mas, se multiplicarmos ambos os membros da equa¸ao c˜ ∂t 1por µ(t, y) = , obtemos ty 1 1 dt − dy = 0 t yque ´ uma equa¸ao exata. e c˜ Quando uma fun¸ao µ(t, y) transforma uma equa¸˜o n˜o exata do c˜ ca atipo M (t, y) + N (t, y) y = 0 ˙ (6.5)em uma equa¸˜o exata ca µ(t, y) M (t, y) + µ(t, y) N (t, y) y = 0 ˙dizemos que µ(t, y) ´ um fator integrante de (6.5). e Em geral, ´ dif´ determinarmos fatores integrantes pois, temos e ıcilque µ ´ fator integrante de (6.5) se, e somente, se e ∂(µ M ) ∂(µ N ) ∂µ ∂M ∂µ ∂N = ou M +µ =N +µ ∂y ∂t ∂y ∂y ∂t ∂t
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Fatores Integrantes 147que ´ uma equa¸ao bastante complicada. e c˜ Vamos apresentar uma classe de equa¸oes diferenciais do tipo (6.5) c˜cujo fator integrante pode ser encontrado sem dificuldades. Suponhamos que seja poss´ encontrar um fator integrante para ıvel(6.5) que seja fun¸ao s´ de t. Portanto, c˜ o µ(t) M (t, y) + µ(t) N (t, y) y = 0 ˙´ exata. Conseq¨entementee u ∂ ∂ (µ(t) M (t, y)) = (µ(t) N (t, y)) ∂y ∂tou ∂M dµ(t) ∂N µ(t) = N + µ(t) ∂y dt ∂tou dµ(t) 1 ∂M ∂N = − µ(t). dt N ∂y ∂t 1 ∂M ∂NMas esta equa¸˜o s´ tem sentido se a express˜o ca o a − for N ∂y ∂t 1 ∂M ∂Numa fun¸˜o apenas de t, isto ´, ca e − = f (t) e, portanto, N ∂y ∂ttemos dµ(t) = f (t) µ(t) dtque ´ uma equa¸ao linear homogˆnea de 1a ordem, cuja solu¸˜o ´ e c˜ e ¯ ca e f (t) dt µ(t) = e . 1 ∂N ∂M g(y) dy Analogamente se − = g(y), ent˜o µ(y) = e a M ∂t ∂y´ um fator integrante de (6.5).e
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Equa¸oes Homogˆneas c˜ e 148 Exerc´ ıcios 6.3. 1) Mostre que as equa¸oes abaixo n˜o s˜o exatas, c˜ a amas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator integrante dado.Resolva ent˜o as equa¸˜es: a coa) t2 y 3 + t (1 + y 2 )y = 0, µ(t, y) = 1/t y 3 . ˙ sen y cos t + 2 e−t cos tb) − 2e−t sen t dt + dy = 0, µ(t, y) = yet . y y2) Em cada um dos problemas abaixo, ache o fator integrante e resolvaa equa¸ao: c˜ a) y = e2 t + y − 1. ˙ b) y dt + (2 t y − e−2 y ) dy = 0. t c) dt + ( − sen y) dy = 0. d) (3t2 y + 2ty + y 3 ) dt + (t2 + y 2 ) dy = 0. y3) Mostre que se (Nt − My )/(tM − yN ) = R, em que R dependeapenas de t, y, ent˜o a equa¸ao diferencial M + N y = 0 tem um fator a c˜ ˙integrante da forma µ(ty). Encontre a f´rmula geral para este fator ointegrante.6.4 ¸˜ ˆ Equacoes Homogeneas Definicao 6.3. Dizemos que f (t, y) ´ uma fun¸˜o homogˆnea de ¸˜ e ca egrau n se f (λ t, λ y) = λn f (t, y)para todo λ = 0 e para todo (t, y) ∈ D ⊂ R2 .Exemplo 6.7. f (t, y) = t2 − t y − y 2 ´ homogˆnea de grau 2, pois e ef (λ t, λ y) = λ t − λ t y − λ y = λ (t − t y − y 2 ) = λ2 f (t, y). 2 2 2 2 2 2 2 t2 − y 2Exemplo 6.8. f (t, y) = ´ homogˆnea de grau zero pois, e e t2 + y 2 λ2 (t2 − y 2 )f (λt, λy) = = λ0 f (t, y). λ2 (t2 + y 2 )
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Equa¸oes Homogˆneas c˜ e 149Definicao 6.4. Dizemos que a equa¸˜o diferencial ¸˜ ca M (t, y) M (t, y) + N (t, y) y = 0 ˙ ou y=− ˙ N (t, y)´ homogˆnea se as fun¸˜es M (t, y) e N (t, y) s˜o homogˆneas dee e co a emesmo grau. Para resolver a equa¸˜o homogˆnea ca e M (t, y) M (t, y) + N (t, y) y = 0 ˙ ou y=− ˙ N (t, y)precisamos fazer a mudan¸a de vari´vel c a y = tv =⇒ dy = v dt + t dve, portanto, M (t, y) M (t . 1, t . v) v dt + t dv = dy = − dt = − dt = N (t, y) N (t . 1, t . v) tm M (1, v) M (1, v) =− m dt = − dt t N (1, v) N (1, v)ou M (1, v) v+ dt + t dv = 0 N (1, v)ou 1 1 dt + dv = 0 t M (1, v) v+ N (1, v)que ´ uma equa¸ao de vari´veis separadas. e c˜ aExemplo 6.9. Resolver a equa¸˜o t2 + y 2 + 3 t y y = 0. ca ˙Solucao : M (t, y) = t2 + y 2 e N (t, y) = 3 t y s˜o homogˆneas de grau ¸˜ a e2. Logo a equa¸˜o dada ´ homogˆnea. Fazendo y = t v, temos que ca e edy = v dt + t dv e, portanto, t2 + y 2 t2 + (t v)2 t2 (1 + v 2 ) 1 + v2 dy = − dt = − dt = − dt = − dt. 3ty 3 t (t v) 3 t2 v 3v
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Homogeneiza¸˜o ca 150Logo, 1 + v2 v dt + t dv = − dt 3vou 1 1 dt + dv = 0. t 1 + v2 v+ 3vIntegrando, dt 3v + dv = c. t 4 v2 + 1Logo, 3 4 y2ln |t|+ ln[4 v 2 +1] = ln c =⇒ ln t8 (4 v 2 +1)3 = ln c =⇒ t8 ( 2 +1)3 = c. 8 t6.5 ¸˜ Homogeneizacao Casos que se reduzem a casos homogˆneos e dy ax + by + c Consideremos a equa¸ao diferencial c˜ = . Se c = dx a x+b y+cc = 0, ent˜o temos o caso homogˆneo. a eSe c = 0 ou c = 0, temos que a x + b y + c = 0 e a x + b y + c = 0s˜o duas retas a (i) paralelas (distintas ou coincidentes) ou (ii) concorrentes No caso (i) temos a b a b = 0 =⇒ a b = a b =⇒ = = k =⇒ a = ka e b = k b. a b a b
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Homogeneiza¸˜o ca 151 dy ax + by + cSubstituindo na equa¸˜o, vem que ca = . Fazendo dx k (a x + b y) + c dv dy v+cv = a x + b y, temos =a+b =a+b e, portanto, dx dx kv + c dv v + c = dx a+b k+cque ´ uma equa¸ao de vari´veis separadas. e c˜ a dy −2 x − 3 y + 1Exemplo 6.10. Resolva a equa¸ao c˜ = . dx 4x + 6y − 5 −2 −3 ¸˜Solucao: = 0 =⇒ retas paralelas. Fazendo v = −2 x − 4 63 y, vem dv dy v+1 −2 v − v = −2 − 3 = −2 − 3( ) =⇒ dv = dx. dx dx −2 v − 5 v+7Integrando, temos −2 v + 9 ln |v + 7| = x + c.Logo, as curvas integrais s˜o a −2 (−2 x − 3 y) + 9 ln |(−2 x − 3 y) + 7| = x + c . No caso (ii), as retas r: ax + by + c = 0e s: a x + b y + c = 0s˜o concorrentes em um ponto (x0 , y0 ). Fa¸amos uma mudan¸a no a c csistema de coordenadas, tal que as duas retas passem pela origem donovo sistema
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Homogeneiza¸˜o ca 152 x = ξ + x0 =⇒ dx = dξ e y T η T r y = η + y0 =⇒ dy = dη. d dComo a reta r passa por (x0 , y0 ), temos y0 d d ξ Ea x0 + by0 + c = 0 e portanto d d d x a x + b y + c = a (ξ + x0 ) + b (η + y0 ) + c x0 d E d = a ξ + b η + a x0 + b y0 + c s d = a ξ + b η.Analogamente, a x + b y + c = a ξ + b η.Portanto, nossa equa¸ao fica c˜ dη aξ + bη = dξ a ξ+b ηque ´ uma equa¸ao homogˆnea. e c˜ e dy 6x − y − 5Exemplo 6.11. Resolver a equa¸˜o ca = . dx 4x − y − 3 6 −1 ¸˜Solucao: = −2 = 0 =⇒ as retas s˜o concorrentes, e o a 4 −1ponto de intersec¸ao ´ (x0 , y0 ) = (1, 1). Fazendo a mudan¸a de vari´vel c˜ e c a x = ξ + 1 =⇒ dx = dξ y = η + 1 =⇒ dy = dηe a nossa equa¸ao fica c˜ dη 6ξ − η = dξ 4ξ − ηque ´ homogˆnea. Fazendo η = ξ v temos dη = v dξ + ξ dv. Por outro e e 6−vlado, dη = dξ. Logo, 4−v 1 4−v dξ + dv = 0. ξ −v 2 + 5 v + 6
    • Equa¸oes N˜o Lineares c˜ a Cap. 6 Homogeneiza¸˜o ca 153Integrando, temos (v − 2)2 ln |ξ| + ln = ln k. |v − 3|Logo, as curvas integrais s˜o dadas por: a |ξ|(v − 2)2 = k. |v − 3| ıcios 6.4. 1) Encontre a solu¸ao de cada uma das equa¸˜es:Exerc´ c˜ co dy t+y dy t2 + t y + y 2 a) = . b) = . dt t dt t2 dy 4y − 3t c) = . d) (t2 + 3 t y + y 2 ) dt − t2 dy = 0. dt 2t − y dy 2y − t + 5 dy 4 t + 3 y + 15 e) = . f) = . dt 2t − y − 4 dt 2t + y + 7 dy t + 3y − 5 dy t2 + 3 y 2 g) = . h) = . dt t−y−1 dt 2ty 2) Mostre que, se M (t, y) dt + N (t, y) dy = 0 ´ uma equa¸ao ho- e c˜ 1mogˆnea, ent˜o µ(t, y) = e a ´ um fator integrante e t M (t, y) + y N (t, y)para esta equa¸˜o. ca 3) Use o resultado do problema 2 para resolver as equa¸oes: c˜ a) 2 y dt − t dy = 0. b) (t2 + 3 y 2 ) dt − 2 t y dy = 0.
    • Respostas dos Exerc´ ıcios ıcios 1.1 Exerc´ t4 t6 t2 n1) yn (t) = t2 + + + ··· + 2! 3! n! 1 + e22) y1 (t) = et − 1, y2 (t) = t − et + 2 107 t t 2 t3 (1 + t) e2 t e3 t e4 t y3 (t) = − + + + + 2 (1 − t) et + − + 48 4 2 3 2 3 16 ıcios 1.2 Exerc´ t21) y(t) = sen 2 ıcios 2.1 Exerc´ 3 1−et1) y(t) = e 2 ıcios 2.2 Exerc´ 11 −2 t 41) a) y(t) = esen t b) y(t) = t + 6 6 t 150 et c) y(t) = + d) y(t) = e−t dt + 5 2 t 1 + t2 t 2 t4 1 e) y(t) = (1 + t2 )−2 + + 2 4 4 154
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 155 3 2 5 3/2 2) a) y(t) = (1 + c et )−1/3 b) y(t) = ±(c t2 + t) 9 31 8 −1/4 c) y(t) = (2 t10 − t) 16 4 4) a) y(t) = e−t4 /4 (c + t2 e−t /4 dt)−1 + t 1 1 b) y(t) = 1 + −t c) y(t) = −t + et −t + 1 + c e 1 + ce 1 d) y(t) = t − 1 + −t2 c e + 1/2 Exerc´ ıcios 2.3 mg 24 ln 1001) v(t) = (1 − e−αt/m ) 3) T = k ln 24) a) t = 40 min b) y(40) = 49.600 g ıcios 3.1 Exerc´ √ 3 t 1) b) W [y1 , y2 ](t) = − 2 , W [y1 , y2 ](t) −→ ∞ quando t → 0 √ 2t c) y(t) = 2 t ıcios 3.2 Exerc´ 1 1) y2 (t) = e−2 t 2) y2 (t) = t et 3) y2 (t) = , t = 0 t 1 1 4) y2 (t) = , t = 0 5) y2 (t) = 2 t t Exerc´ ıcios 3.3 1) a) y(t) = c1 e−t + c2 e2 t b) y(t) = c1 + c2 e7 t c) y(t) = c1 cos 2 t + c2 sen 2 t d) y(t) = e2 t (c1 cos 3t + c2 sen 3t) e) y(t) = e2 t (c1 + c2 t) f) y(t) = c1 t + c2 3) a) y(t) = c1 cos(ln t) + c2 sen(ln t)
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 156 √ √ 1 7 7 b) y(t) = √ [c1 cos ln t + c2 sen ln t] t 2 2 ıcios 3.4 Exerc´ 4 1 t1) a) yp (t) = cos t − sen t b) yp (t) = sen 2 t 17 17 4 1 t t2 t2 c) yp (t) = t ( − + ) et d) yp (t) = + e−t 4 4 6 2 1 1 t e) yp (t) = + (cos 2 t − 4 sen 2 t) f) yp (t) = (sen 2 t − 2 t cos 2 t) 5 17 16 1 t g) yp (t) = − cos 3 t + sen t h) yp (t) = t (e2 t − et ) 16 4 1 t 1 t e2 t i) yp (t) = − (cos t + 7 sen t) + ( − ) 50 2 5 5 4 7/2 3 t 2) b) y(t) = (c1 + c2 t) e3 t + t e 35 ıcios 3.5 Exerc´ 1) a) y(t) = c1 cos t + c2 sen t − (cos t) ln(tg t + sec t) t t b) y(t) = c1 e3 t + c2 e2 t + e f) y(t) = c1 t −1 + c2 t − 4 2 t4 t−2 g) y(t) = c1 t + c2 t2 + h) y(t) = c1 t + c2 t2 + 6 12 i) y(t) = c1 + c2 t2 + (2 t − 2) et 3 1/2 2) y(t) = c1 t−1/2 cos t + c2 t−1/2 sen t − t cos t 2
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 157 t2 3) y(t) = c1 t2 + c2 t−1 + ln t 3 1 (1 + t)3 4) y(t) = c1 (1 + t)2 + c2 + t (1 + t)2 + 1+t 4 ıcios 3.6 Exerc´ 1) a) I(t) = 50 e−4 t sen 3 t, Q(t) = e−4 t (−6 cos 3 t−8 sen 3 t)+6 75 25 b) I(t) = (2 cos 3 t+3 sen 3 t)− e−4 t (17 sen 3 t+6 cos 3 t), 52 52 25 Q(t) = [2 sen 3 t − 3 cos 3 t + e−4 t (3 cos 3 t + 2 sen 3 t)] 52 2) a) I(t) = cos t + 2 sen t b) I(t) = 10 (cos 5 t + sen 5 t) 1 2π √ 3) Amplitude = ıodo = √ , per´ , frequˆncia = 64, 4 e 4 64, 4 −t eπ + π + 1 π 4) y(t) = −e [ cos t + sen t] 2 2
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 158 ıcios 3.7 Exerc´ t −4 t 1) a) y(t) = c1 e + c2 e b) y(t) = (c1 + c3 t) cos t + (c2 + c4 t) sen t c) y(t) = c et + c e−t + c e2 t 1 2 3 d) y(t) = (c1 + c2 t + c3 t 2 ) e2 t + c4 e−t e) y(t) = c1 + c2 e2 t + c3 e−3 t f) y(t) = c1 et − e−t (c2 cos 2 t + c3 sen 2 t) g) y(t) = c1 cos 2 t + c2 sen 2 t + t (c3 cos 2 t + c4 sen 2 t) h) y(t) = c1 + c2 t + e−t (c3 cos 2 t + c4 sen 2 t) 2 2) a) y(t) = −3 − 2 t − t + (3 − t) et 2 7 e 2t 4e−3 t b) y(t) = + − 6 10 15 c) y(t) = 2 − 2 cos t + sen t d) y(t) = c1 + c2 t + c3 et + c4 e−t + c5 cos t + c6 sen t 3) y1 (t) = t2 , y2 (t) = t3 e y3 (t) = t−2 4) y(t) = et (c1 + c2 cos t + c3 sen t) + c4 e−t ıcios 3.8 Exerc´ t −t 1) a) y(t) = c1 et + c2 t et + c3 e−t + e +3 2 t b) y(t) = c1 e−t + c2 cos t + c3 sen t + e−t + 4 (t − 1) 2 √ √ t −t/2 3 3 c) y(t) = c1 e + e (c2 cos t + c3 sen t) 2 2 d) y(t) = c1 + c2 cos t + c3 sen t + 1 − cos t − ln(cos t) − − (sen t) ln(sec t + tg t)
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 159 t −2 t 1 e) y(t) = c1 + c2 e2 t + c3 e−2 t + (e − 1) − sen t 4 5 2 t 1 t f) y(t) = (c1 + c3 t) cos t + (c2 + c4 t) sen t + [( − ) cos t 4 2 3 3 t t2 + ( + − ) sen t] 4 6 12 3 t2 2) a) y(t) = (1 − cos 2 t) + 16 8 3t b) y(t) = (t − 4) cos t − ( + 4) sen t + 3 t + 4 2 11 5 cos t t c) y(t) = et − e−t + + 2 sen t − 3 t − sen t 8 8 4 4 1 2 d) y(t) = 1 + (t + 3 t) − t et 4 ıcios 3.9 Exerc´ 2 t3 t 1) a) yp (t) = − t3 − 4 t b) yp (t) = e 3 6 t −2 t sen t t −t c) yp (t) = (e − 1) − d) yp (t) = t − 1 + e 4 5 2 t2 1 t 3 t t2 e) yp (t) = [ ( − ) cos t + ( + − ) sen t ] 4 2 3 4 6 12 1 f) yp (t) = e4 t 6 Exerc´ ıcios 4.1 1) a), b) e d) convergem c) diverge ıcios 4.2 Exerc´
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 160 (2 s2 − 3 s + 2) 4s 10 2 1) a) b) − 2 c) s3 s2 +9 s +4 (s − 3)2 2 s3 − 150 s 6, (s − 2) 1 − e−π s d) e) f) (s2 + 25)3 [(s − 2)2 + 9]2 s Exerc´ıcios 4.3 e−2 t sen 3 t 1) 2) e3 t cos t + 3 e3 t sen t 3 3) et (cos 3 t + 2 sen 3 t) 4) t e4 t 1 + e−2 t 5) t sen 3 t 6) 2 3 (e3 t − e−3 t) 7) 3 t et − 3 et + 3 cos t 8) 1 + 2 9) cos 2 t + sen 2 t − 1 ıcios 4.4 Exerc´ 1) a) 3 cos t + sen t b) et + e3 t sen 3 t 5 + e−t − 13 et + 7 e2 t c) 2 cos 3 t + (t − 2) d) 6 2 2) a) c1 et + c2 t et − sen t b) e−t (c1 sen 2 t + c2 cos 2 t + 2 sen t) ıcios 4.5 Exerc´ e−π s − e−2 π s 1 + 2 e−s − 3 e−4 s 1) a) b) s2 s π 2) a) (t − 2) u2 (t) b) uπ / 2 (t) cos(t − ) 2 ıcios 4.6 Exerc´ 1 − e−5 t − 5 t e−5 t 1) a) e4 t − e3 t c) t et d) 25 5 t3 2) a) 5 t + b) 2 sen 2 t 6
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 161 ıcios 5.1 Exerc´ 2) a) N˜o, pois detX(t) = 0 para t = 0 e t = 1 a 0 1/2 b) Sim A(t) = 0 0     0 1 0 t t2 t3 3) x = ˙  0 0 1  = x ; X(t) =  0 2t 3 t2  3 2 6 / t −6 / t 3 / t 0 2 6t 4) a) x1 e x2 s˜o a .i. em todo intervalo que n˜o cont´m t = 0 . a e b) Pelo menos um coeficiente deve ser descont´ ınuo em t = 0 . 0 1 c) x = ˙ x −2 t−2 2 t−1 5) a) x1 e x2 s˜o .i. em todo intervalo que n˜o cont´m t = 0 a a e et=2b) Deve haver menos um coeficiente descont´ ınuo em t = 0 e t = 2   0 1c) x =  2 − 2 t t 2 − 2  x ˙ t2 − 2 t t2 − 2 t ıcios 5.2 Exerc´   0 1 0 1) a) x = ˙ 0 0 1 x b) y(t) = c1 e−t + c2 ea t + c3 eb t 2 6  3   −t  c1 e ea t eb t c) x(t) = X(t)  c2  d) X(t) =  −e−t a ea t b eb t  √ c3 √ e−t a 2 ea t b 2 eb t em que a = 2 + 6 e b = 2 − 6
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 162 2) a) base: x1 (t) = (1 2)T e−t , x2 (t) = (2 1)T e2 t e−t 2 e2 t M.F.: ; solu¸ao geral: x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) c˜ 2 e−t e2 t c) base: x1 (t) = (1 − 4 1)T et ; x2 (t) = (1 0 − 1)T e−t x3 (t) = (2 1 2)T e8 t d) base: x1 (t) = (1 1 1)T e4 t ; x2 (t) = (1 − 2 1)T et x3 (t) = (1 0 − 1)T e−t e) base: x1 (t) = (2 −2 3)T et ; x2 (t) = (0 cos 2 t sen 2 t)T et ; x3 (t) = (0 − sen 2 t cos 2 t)T et f) base: x1 (t) = (2 −3 2)T et ; x2 (t) = (0 cos 2 t sen 2 t)T et ; x3 (t) = (0 sen 2 t − cos 2 t)T et g) base: x1 (t) = (0 0 1)T e−2 t ; x2 (t) = (1 0 0)T e−t x3 (t) = (−t 1 0)T e−t h) base: x1 (t) = (1 0 0 0)T e−2 t ; x2 (t) = (t 1 0 0)T e−2 t ; 2 3 2 x3 (t) = ( t2 t 1 0)T e−2 t ; x4 (t) = ( t6 t2 t 1)T e−2 t 3) a) x(t) = (1 0 0 0)T e−2 t + (2 t 2 0 0)T e−2 t − 2 3 2 − ( t2 t 1 0)T e−2 t + ( t6 t2 t 1)T e−2 t b) x(t) = (0 0 2)T e−2 t + (1 0 0)T e−t + (−t 1 0)T e−t c) x(t) = (1 0 0)T e3 t + (t 1 0)T e3 t − (0 1 − 1)T e2 t 4) Autovalores: λ1 = 1 , λ2 = 2 e λ3 = 3 Autovetores: v1 = (1 0 0)T , v2 = (1 1 0)T e v3 = (1 1 1)T
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 163   16 −25 30 1  5) c) A = 8 −6 −24  13 0 13 26 Exerc´ıcios 5.3 √ T √7 t √ √ 1) a) x(t) = c1 (1 − 2 + 7) e + c2 (1 −2− 7)T e− 7t + T 3t + (3 2) e   1 t−1 3 t2 + 1 t + 1c) x(t) = c1 e2 t + c2 e2 t +  4 2 8  −1 −t −41 t2 − t − 3 8 2   − c1 + c2 (−t + 1) + c3 (− t2 + t + 1) e2 t     2 2 c1 + c2 t + c3 ( t2 + 1) e2 t    d) x(t) =   +  −2  et       2 −1 c1 + c2 t + c3 t2 e2 t   3 e3 t − 2 e2 t − t e2 t  2) a) x(t) =   e2 t   3 e3 t − 2 e2 t t cos t + 3 t sen t + sen tb) x(t) = 2 et −2t sen t 13) a) x(t) = c1 (1 1)T t + c2 (1 3)T t −1 − (2 3)T + 2 (1 3)T t − − (1 1)T t ln t − 1 (4 3)T t 2 3 1 b) x(t) = c1 (2 1)T t 2 + c2 (1 2)T t −1 + (3 2)T t + 10 (−2 1)T t 4 − − 1 (2 1)T 2      1  1 ln t 2 c1 π sen π t + (ln t)  c) x(t) =  +    1    0 c2 2 ln t t t
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 164 e−t / 2 cos 2 t t e−t / 2 sen 2   4) a) X(t) =     4e −t / 2 sen 2t −4 e−t / 2 cos t 2 t sen 2 b) x(t) = e−t / 2 t 4 − 4 cos 2 Exerc´ ıcios 5.4 1) x(t) = (7 e3 t − e−t ) / 8 ; y(t) = (7 e3 t + e−t ) / 4 2) x(t) = 3 e4 t + 2 e−t ; y(t) = −3 e4 t + 3 e−t 3) x(t) = t 2 ; y(t) = −2 − t 2 4) x(t) = −1 + 2 e5 t + e−t ; y(t) = 1 + e5 t − e−t 5) x(t) = (6 + 6 t − 3 cos 3 t − sen 3 t) / 9 ; y(t) = (6 t − sen 3 t) / 9 t 6) x(t) = 2 t − sen 2 t + (1 − cos 2 t) / 4 ; y(t) = −5 − − t2 + 4 3 + 6 cos 2 t − sen 2 t 8 ıcios 6.1 Exerc´ 1) a) t 2 + 3 t + y 2 − 2 y = c b) N˜o ´ exata a e c) 3 t 3 + t y − t − 2 y 2 = c d) t 2 + y 2 = c e) et sen y + 2 y cos t = c e y = 0 f) N˜o ´ exata a e g) y ln t + 3 t 2 − 2 y = c 2 2 h) t y + 2 t y = c i) et y cos 2 t + t 2 − 3 y = c 2) a) a = 3 ; t2 y 2 + 2 t3 y = c b) a = 1 ; e2 t y + t 2 = c 3) a) y(t) = t −2 / 3 b) y(t) = −t 2 + t 4 − (t 3 − 1) c) t 2 − 3 y + et y cos 2 t = 1
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 165 ıcios 6.2 Exerc´ 1) a) 3 y 2 − 2 t 3 = c ; y = 0 b) y −1 + cos t = c, se y = 0 ; tamb´m y = 0 em todo ponto e c) 3 y 2 − 2 ln |1 + t 3 | = c ; 1 + t 3 = 0 ; y = 0 d) y = sen(ln |t| + c) se t = 0 e |y| < 1 tamb´m y = ±1 ; t = 0 e |y| < 1 e e) 3 y + y 3 − t 3 = c , em todo ponto f) y 2 − t 2 + 2 (ey − e−t ) = c ; y + ey = 0 1 1√ 2 2) a) y = −[4 ln(1 + t) + 4] 1 / 2 b) y = − + 4 t − 15 2 2 1 c) y = [2 (1 − t) et − 1] 1 / 2 d) y = arcsen(3 cos 2 t) 3 3) |y + 2 t| 3 |y − 2 t| = c ıcios 6.3 Exerc´ 1) a) t 2 + 2 ln |y| − y −2 = c ; tamb´m y = 0 e b) et sen y + 2 y cos t = c 2) a) µ(t) = e−t ; y = c et + 1 + e2 t 2y b) µ(y) = ey ; t e2 y − ln |y| = c ; tamb´m y = 0 e c) µ(y) = y ; t y + y cos y − sen y = c d) µ(t) = e3 t ; (3 t 2 + y 3 ) e3 t = c
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 166 x 3) µ(x) = exp ( R(s) ds) , onde x = t y ıcios 6.4 Exerc´1) a) y = c t + t ln |t| b) arctg(y / t) − ln |t| = c t c) |y − t| = c |y + 3 t| 5 d) + ln |t| = c t+y e) |y − t + 3| = c |y + t + 1| 3 f) |y + t + 4| |y + 4 t + 13| 2 = c t−3 g) − 2 = ln c |t + y − 3| h) t 2 + y 2 − c t 3 = 0 t+y−33) a) y = c t 2 b) t 2 + y 2 − c t 3 = 0
    • Referˆncias Bibliogr´ficas e a[1] R.C. Bassanezi e M.C. Ferreira Jr, Equa¸˜es Diferenciais com co Aplica¸˜es, Editora Harbra Ltda., 1988. co[2] W.E. Boyce e R.C. DiPrima, Introduction to Ordinary Differen- tial Equations, John Wiley, New York, 1970.[3] W.E. Boyce e R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley, New York, 1969.[4] M. Braun, Equa¸˜es Diferenciais e suas Aplica¸˜es, Editora co co Campus, 1979.[5] R. Bronson, Moderna Introdu¸˜o `s Equa¸˜es Diferenciais, ca a co Cole¸ao Schaum, 1976. c˜[6] E. Coddington, An Introduction to Ordinary Differential Equa- tions, Prentice-Halls Englewood Cliffs, 1961.[7] N. Curle, Equa¸˜es diferenciais aplicadas, Edgard Blucher, 1975. co[8] D.G. Figueiredo, Equa¸˜es Diferenciais Aplicadas, 12o Col´quio co ¯ o Brasileiro de Matem´tica, 1979. a[9] F.G. Hagin, A First Course in Differential Equations, Prentice- Halls Englewood Cliffs, 1975. 167
    • Respostas dos Exerc´ ıcios Respostas 168[10] W. Leighton, Equa¸˜es Diferenciais Ordin´rias, Livros T´cnicos co a e e Cient´ ıficos, 1981.[11] G. F. Simmons, C´lculo com Geometria, Volume 2, MacGraw- a Hill, 1987.