Artículo principal: Funciones trigonométricasUn triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquí...
Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no depende del tamañodel triángulo rectángulo, mientras conten...
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el área delcuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor l...
fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) deun triángulo rectángulo.Se puede co...
122 _ c Resuelve.La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros.EJEMPLO B ¿Cuál es el área de un triángulo rectán...
Contenido1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO EN UN TRIANGULORECTANGULO________________________________________...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos (2)

22,366

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
22,366
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
120
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos (2)

  1. 1. Artículo principal: Funciones trigonométricasUn triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90° (π/2 radianes), aquíetiquetado C. Los ángulos A y B puede variar. Las funciones trigonométricasespecifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interioresde un triángulo rectángulo.En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y latangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de ladosdesconocidos. Los lados del triángulo son encontrados como sigue:La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definida como el lado más largode un triángulo rectángulo, en este caso c.El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo en que estamos interesados, en estecaso a.El cateto adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo en que estamosinteresados y el de ángulo recto, por lo tanto su nombre. En este caso el catetoadyacente es b.1.1. SENO, COSENO Y TANGENTEEl seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto con lalongitud de la hipotenusa. En nuestro casoEl coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacentey la longitud de la hipotenusa. En nuestro casoLa tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y lalongitud del cateto adyacente. En nuestro caso
  2. 2. Observe que este cociente de las tres relaciones anteriores no depende del tamañodel triángulo rectángulo, mientras contenga el ángulo A, puesto que todos esostriángulos son semejantes.Las siglas "SOH-CAH-TOA" son un mnemónico útil para estos cocientes.1.2. FUNCIONES INVERSASLas funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulosinternos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del catetoopuesto y la de la hipotenusa.Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud delcatetoadyacente y la de la hipotenusa.Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud delcateto opuesto y la del cateto adyacente.En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin −1, cos−1,etc., es frecuentemente usada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, lanotación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde lasfunciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita laconfusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo
  3. 3. El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el área delcuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) esigual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores deltriángulo, los que conforman el ángulo recto).Teorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos. Pitágoras de SamosSi un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de lahipotenusa es , se establece que:(1)De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica: Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas
  4. 4. fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) deun triángulo rectángulo.Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de unrectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulorectángulo es además isósceles).(A1)donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos quecoinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig.ar1).En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectivaaltura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir unaversión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho másgeneral que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Yesta es la "proposición I.412 de Euclides, la cual se basa en el concepto más generalde paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende lavalidez de la ecuación (A1) a todo triángulo.Las anteriores paginas muestran una definición clara de lo que es teorema dePitágoras, a continuación presentare un ejemploUna cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largoy 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha?_ Solución La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo,con catetos de longitudes 70 m y 100 m. Puedes usar elTeorema de Pitágoras para encontrar su longitud.a2 _ b2 _ c2 La fórmula de Pitágoras.702 _ 1002 _ c2 Sustituye los valores conocidos.4,900 _ 10,000 _ c2 Eleva los términos al cuadrado.14,900 _ c2 Suma.
  5. 5. 122 _ c Resuelve.La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros.EJEMPLO B ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 piesde longitud y una hipotenusa de 13 pies de longitud?_ Solución Puedes considerar los dos catetos como la base y la alturadel triángulo. La longitud de un cateto es 5 pies. Paraencontrar la longitud del otro cateto, usa el Teorema dePitágoras.a2 _ b2 _ c2 La fórmula de Pitágoras.52 _ b2 _ 132 Sustituye.25 _ b2 _ 169 Eleva los términos al cuadrado.b2 _ 144 Resta 25 de ambos lados.b _ 12 Resuelve.El otro cateto tiene una longitud de 12; entonces, el área es _12_(5)(12), ó 30 piescuadrados.5 pies13 pies70 m100 m
  6. 6. Contenido1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO EN UN TRIANGULORECTANGULO___________________________________________________________________1 1.1. SENO, COSENO Y TANGENTE___________________________________________________________1 1.2. FUNCIONES INVERSAS________________________________________________________________22. TEOREMA DE PITAGORAS_______________________________________________________33. AREA_________________________________________________________________________4

×