Geometria analitica
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  • 1. MARIANO MELGARPROFESORA :CARRION NINALUMNO: Jefferson Pastor Alvarez Morales GRADO 5 “B” GEOMETRIA AREA: MATEMATICA ANALITICA • LA PARABOLA 2012 • • LA RECTA LA ELIPSE • LA CIRCUNFERENCIA
  • 2. INTRODUCCIÓN Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Descartes le dio impulso a la geometría analítica. Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática.
  • 3. Ecuaciones de la recta en elplano Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante. La ecuación general de la recta es de la forma: cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B. Una recta en el plano se representa con la Función lineal de la forma:
  • 4.  Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos: Rectas Rectas oblicuas. Rectas verticales. horizontales.
  • 5.  Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1,P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3. Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)
  • 6. FORMAS DE LA ECUACIÓN DELA LINEA RECTA Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.) Fig. 4.6
  • 7.  Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas P’’(x, Y), Y y. Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo. Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que: Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b. Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.
  • 8. Ecuación De La Recta Que Pasa Por UnPunto Y De Pendiente Conocida Considerela recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida. Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por: y = mx + b (1) Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene: y1 = mx1 + b (2)
  • 9. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendientem Y Su Intercepto b Con El Eje y Considereuna recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.) fig. 4.7.
  • 10. Ecuación de la recta que pasa por dospuntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente. Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que y – y1 = m1 (x – x1) (1) representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.
  • 11. LAECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
  • 12. LA CIRCUNFERENCIA
  • 13. LA CIRCUNFERENCIA
  • 14. LA CIRCUNFERENCIA Escribir la ecuación de las cirunferencias  De centro C(1,1) y radio r=3  De centro C (0, 0) y radio r=2 Recta Tangente a una circunferenciaSi desde un punto P(x,y) trazamos una rectat, será tangente a una circunferenciacuando la distancia del centro de la rectacoincida con el radio.
  • 15. LA CIRCUNFERENCIA La recta es tangente si: d(C,t)=radio La recta se llama exterior si: d(C,r)>radio La recta se llama secante si: d(C,s)< radio la intersecan dos puntos A y B.
  • 16. LA CIRCUNFERENCIA -ejercicios
  • 17. Ecuación reducida de la circunferenciaSi el centro de la circunferencia coincide conel origen de coordenadas la ecuación quedareducida a:Escribir la ecuación de la circunferencia decentro (3, 4) y radio 2.Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 -2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
  • 18. La Parábola
  • 19. Ecuación reducida de unaparábola.
  • 20. Ecuación de la Parábola fueradel origen
  • 21. LA ELIPSE Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P (x,y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos)es constante. Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F’, los datos, si se mantienen el segmento tirante y se va girando se obtiene el gráfico de la elipse.
  • 22. ECUACIÓN REDUCIDA DE LAELIPSE.
  • 23. ECUACIÓN REDUCIDA DE LAELIPSE.
  • 24. Elipse - ejemplos
  • 25. Elipse - excentricidad
  • 26. Elipse - excentricidad Mide el grado de achatamiento de la elipse:
  • 27. Elipse – cambio de centro