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Roxana , Matemáticas frecreativas
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Roxana , Matemáticas frecreativas

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  • 1. qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLAcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq LIC . AURELIANO JIMENEZwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio MARTINEZ ALUMNA: ROXANA ROMINApasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj CODERO SANTOSklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf Página 0ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
  • 2. INDICEIntroducción pág. 1 pág.2Desarrollo del tema,Conclusiones pág.13Bibliografía pág.14 Página 1
  • 3. Cuanto me pregunte sobre cómo podría enseñar las matemáticas de unaforma tan fácil que la mayoría se viese enterado en ellas , una gransatisfacción para el profesor , es impulsar el gran interés de los alumnos entodas las grandes ramas de las matemáticas , es difícil , complicado nomuchos venimos con ese interés sobre ellas ,pero no es imposible para esoexiste este gran tema de las matemáticas recreativas , con este temapodremos saber como debe un profesor de manejar mejor el ciencia de 1matemáticasLa definición de matemáticas recreativas es: un área de las matemáticas quese concentra en la obtención de los resultados acerca de las actividadeslidias, o bien de resultar entretenida en su prácticalos juegos matemáticos o las matemáticas recreativas son matemáticas, noimporta de qué tipo todas se dedican al mismo enseñar , cargadas deun fuerte componente lúdico: pero poco aclaramos así, porque las ideas dejuego, recreación y lúdico son aproximadamente sinónimas el conceptocentral es “matemáticas “ En último extremo nos encontramos conpeticiones de principio, como al decir que la poesía es la obra de los poetas,o que la música de jazz es lo que los músicos de jazz componen ointerpretan. Las matemáticas recreativas serían así la clase de matemáticasque hace disfrutar a los recreativitas. Aunque no puedo definir los juegosmatemáticos más rigurosamente que la poesía, sí mantengo que, sean lo quefueren, las matemáticas recreativas proporcionan el mejor camino paracaptar el interés de los jóvenes durante la enseñanza de la matemáticaelemental. Un buen rompecabezas matemático, una paradoja o un truco deapariencia mágica pueden excitar mucho más la imaginación de los niñosque las aplicaciones prácticas estimulamos el interés que cada vez sea másgrande, sobre todo cuando estas aplicaciones se encuentran lejanas de lasexperiencias vividas por ellos. Y si el juego se elige y prepara con cuidado,puede llevarle casi insensiblemente hasta ideas matemáticas de importancia.No sólo los niños, sino también los adultos pueden quedar arrobados poruno de estos rompecabezas sin utilidad previsible ay adultos que elaboranlos rompecabezas por fanatismo en cualquier lado los ´podemos verperiódicos, revistas, etc., y la historia de las matemáticas está llena detrabajos sobre tales rompecabezas, tanto de profesionales como deaficionados, que han conducido hasta inesperados desarrollos. En su libroMatematices: Quien and Servant of Science , Eric Temple Bell cuenta que losprimeros trabajos sobre clasificación y enumeración de nudos apenasfueron considerados otra cosa que curiosidades y rompecabezas. La teoríade nudos ha venido, con el tiempo, a convertirse en rama floreciente de laTopología: Así pues, los problemas de nudos resultaron ser mucho más quemeros rompecabezas en una conferencia con un dar en matemáticas decíaque no solo son nudos o como la gente pensaba lazos amarrones que Página 2
  • 4. importancia tendrían esas cosas pues la lógica , lo que es más complicadopara un matemático como se puede resolver si no lo toco es como el hederde una computadora como lo demuestro que así como yo propongo lo es untema muy importante que no explicare extensa mente . Y es frecuente queesto suceda en matemáticas, en parte porque los matemáticos replantean,no sin cierta perversidad, difíciles problemas que confiaron (mas nosupieron) resolver, dándoles la forma de acertijos y charadas de aparienciatrivial, pero en el fondo, con idéntica estructura que el problema original.Esta jugarreta ha hecho picar e interesarse a personas ajenas a lasmatemáticas, quienes, atemorizados ante la dificultad del problema, sehabían inhibido o echado atrás. Y así, muchos aficionados han hecho a lamatemática ricas aportaciones sin sospecharlo. Tenemos un ejemplo en elproblema de los quince escolares (1850) de T. P. Kirkman, quefrecuentemente presentan los libros de matemáticas recreativas. Tampocofaltan rompecabezas matemáticos que, por ser en realidad triviales, noconducen a desarrollos interesantes, ambos tipos tienen algo en común, quenadie ha expresado mejor que el distinguido matemático Stanislaw Ulam ensu autobiografía, Adventures of a Mathematician : Las matemáticas, con susgrandiosas panorámicas su apreciación de la belleza y su percepción denuevas realidades, posee una propiedad adictiva que es menos evidente ysaludable, afín en cierto modo a los efectos de algunas drogas. El más nimioproblema, aún siendo inmediatamente reconocible como trivial o reiterativo,puede ejercer esta influencia adictiva. Una de las formas en que podemosvernos arrastrados es comenzar a resolverlos. Recuerdo que MathematicalMonthly publicaba de cuando en cuando unos problemas enviados por unmatemático francés, relativos a ciertas configuraciones banales decircunferencias, rectas y triángulos del plano. Belanglos (sin importancia),como dicen los alemanes; empero, con estas figuritas corríase el riesgo dequedar atrapado tan pronto se comenzaba a resolverlas, a pesar de saberperfectamente que no podrían conducirnos a campos nuevos, más generalesni más estimulantes. Mucho contrasta esto con cuanto he dicho acerca de lahistoria del teorema de Fermat, que ha suscitado la creación de nuevas yvastas concepciones algebraicas. La diferencia tal vez resida en que pararesolver un pequeño problema puede bastar un esfuerzo moderado,mientras que el teorema de Fermat sigue sin estar resuelto, desafiando almundo matemático esperando sea ese o esa matemática que sea capaz deresolver un problema así. No obstante, ambos tipos de curiosidadesmatemáticas tienen una fuerte componente adictiva para el matemático enpotencia, cualidad que existe a todos los niveles de la matemática, desde lasbagatelas a los aspectos más inspirados."No entendía el significado de los conceptos, pero actuaban sobre miimaginación, inspirándome un respeto por las matemáticas como unaciencia excitante y misteriosa que abría las puertas a sus iniciados a unmundo de maravillas, inaccesible al resto de los mortales". Gardner Página 3
  • 5. . Es el área de las matemáticas que se concentra en la obtención de losresultados acerca de las actividades lúdicas o bien de resultar entretenida enla práctica,” las matemáticas poseen no solo la verdad, si no la bellezasuprema. Una belleza fría y autora, como la de una escultura” gracias aBeltrán rusel.El concepto de matemáticas recreativas es tan viejo como son los juegos delógica, o el cálculo de algún otro modo. Una de las personas que más hancontribuido a la divulgación de las matemáticas recreativas en nuestrostiempos es el autor Martin Gardner con libros como el ahorcamientoinesperado y otros entretenimientos matemáticos, nuestros pensamientosmatemáticos y muchos otros gracias a Gardner a y todas sus aportacionesfue como fluyeron las mate recreativas por eso se me hace interesantemostrar quien fue este gran aportador nació El 22 de mayo de 2010 a los 95años falleció en la ciudad de Norman (Oklahoma) Martin Gardner grandivulgador de matemáticas y considerado por muchos el padre de lasmatemáticas recreativas. Comenzó, en 1956, a escribir una columna tituladaMathematical james, en la revista de divulgación científica American, y lamantuvo hasta 1981, durante 25 años. Dicha columna se convirtió en unreferente de los juegos lógicos y matemáticos. Trató los temas másimportantes y paradojas de las matemáticas modernas. Desde los algoritmosgenéticos de John Hollando pasando por el juego de la vida de John Conwayy las paradojas visuales de M. Escher hasta los fractales.Los más sutilesconceptos matemáticos eran tratados con naturalidad en su columna parahacerlos amenos y asequibles al gran público.Entre sus mejores seencuentra esta frase :"Soy estrictamente un periodista, solo escribo sobre lo que otra gente estáhaciendo sobre la materia" decía.Según Gardner el secreto de su columna se basaba en que “me llevaba tantotiempo entender de lo que estaba escribiendo que sabía cómo escribirlo demanera que la mayoría de lectores lo entendiera" .Escribió más de 60 libros, la mayoría de matemáticas recreativas, con unestilo ameno, divertido irónico y lleno de alusiones literarias y artísticas.Algunos de ellos son recopilaciones de sus artículos en la revista CientíficaAmerican. En 1976 junto a los conocidos científicos como Carl Sagan e IsaacAsimov puso en marcha el Comité para la Investigación Científica de las Página 4
  • 6. Afirmaciones de lo Paranormal, actual Comité para la InvestigaciónEscéptica, organización sin ánimo de lucro que impulsa el pensamientocrítico y la investigación racional para desmontar falsas creencias ysupercherías. Todo amante de las matemáticas ha tenido uno de sus librosentre sus manos a podido leer la belleza de esos libros.Destacaríamos entre otros ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar y ¡Ajá! Inspiración (Labor)Imprescindibles en una buena biblioteca matemática.- Carnaval Matemático (Alianza).- Alicia anotada (Akal) análisis crítico que desentraña las claves de Alicia enal País de las Maravillas y Alicia a través del espejo.- Rosquillas anudadas (RBA)entre aspectos negativos solo puedo mencionar lo siguiente para que seainter pretado como lo deceen: "SON DEMACIADOS ESCASOS LOSINDIVIDUOS LUCIDOS Y VALEROSOS QUE ESTAN DISPUESTOS APRONUNCIARSE A FAVOR DEL SENTIDO COMUN Y LA CIENCIA. UNO DELOS MEJORES DE LOS MAS SERENOS, Y EL MAS INDOMABLE ES ARTINMARNER”La enseñanza de las matemáticasEnseñar matemáticas es un arte es transmitir conocimientos de los mássimple al o mas complejo. Es despertar el interés en los alumnos por elestudio de la materia es desarrollar es los alumnos la capacidad de análisis,solución de conflictos en la vida diaria o como lo que estudio lasaplicaciones de las matemáticas .Es poder diferenciar entre el conjunto dealumnos ama cargo, y llegar en los niveles de aprendizaje en cada uno deellos. Lo que se necesita o las herramientas de usar para un profesor son:El dio de la palabra: ay que saber cómo transmitir cada concepto, el tema enel k se valla hablar tiene que ser concreto, ay qué hablar de la manera en laque los alumnos puedan entender.El espíritu motivador: debemos saber en qué momento un alumno necesitaun consejo un aliento, ay que poder acoplarnos al que cada necesidad delos alumnos.La creatividad: para este tema es muy indispensable, pues nuestraimaginación puede ayudarnos a hacer un tema lo más fácil posible, sepueden ocupar distintos objetos, el objetivo es que entiendan mejor lasmatemáticas. Otro s Página 5
  • 7. Los temas mas comunes de las mate recreativas sonSudoku (en japonés: 数独, sūdoku) esun pasatiempo que se cree se inventó en la décadade 1970 y se popularizó en Japón en 1986, dándosea conocer en el ámbito internacionalen 2005 cuando numerosos periódicos empezarona publicarlo en su sección depasatiempos. 1 Elobjetivo del sudoku es rellenar una cuadrícula de9×9 celdas (81 casillas) dividida ensubcuadrículas de 3 × 3 (también llamadas "cajas"o "regiones") con las cifras del 1 al 9 partiendo dealgunos números ya dispuestos en algunas de lasceldas. Aunque se podrían usar colores, letras,figuras, se conviene en usar números para mayorclaridad, lo que importa, es que sean nueveelementos diferenciados, que no se deben repetiren una misma fila, columna o subcuadrícula. Unsudoku está bien planteado si la solución es única.La solución de un sudoku siempre es un cuadradolatino, aunque el recíproco en general no es ciertoya que el sudoku establece la restricción añadidade que no se puede repetir un mismo número enuna región. Página 6
  • 8. ConstrucciónUn sudoku bien hecho sólo puede tener unasolución, que es la correcta, para ser consideradosudoku. Es decir, un sudoku tiene solución única.La construcción de un sudoku puede ser realizadaa mano eficientemente predeterminando lasposiciones de los números dados y asignándolesvalores para realizar un proceso deductivo.Los sudokus Nikoli se construyen a mano, y elnombre del autor aparece en los créditos junto acada rompecabezas; los números dados siemprese encuentran en forma de un patrón simétrico.Los rompecabezas Number Place Challenger deDell (véase Variantes más abajo) también citan loscréditos del autor. Los rompecabezas sudoku que Página 7
  • 9. aparecen en la mayoría de los periódicos del ReinoUnido aparentemente son generados porordenador, pero emplean probables en sudokusgenerados por ordenador. El desafío para losprogramadores de sudokus es enseñar a unprograma cómo construir rompecabezasinteligentes, de manera que no se puedandistinguir de aquellos realizados por humanos;Wayne Gould necesitó retocar su popularprograma durante seis años para creer que habíaalcanzado ese nivel.Métodos de resolucionLa casilla marcada en verde de la región 3 × 3 de la esquina superiorizquierda debe contener un 7.La estrategia para resolver este rompecabezas se puede considerar como lacombinación de tres procesos: escaneo, marcado y análisis..) Cuadrado mágicoUn cuadrado mágico es una tabla de gradoprimario donde se dispone de una seriede números enteros en un cuadrado o matriz deforma tal que la suma de los númegospor columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constantemágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas sonconsecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadradomágico.Los cuadrados mágicos actualmente no tienenninguna aplicación técnica conocida que sebeneficien de estas características, por lo que Página 8
  • 10. sigue recluido al divertimento, curiosidad y alpensamiento matemático. Aparte de esto, en lasllamadas ciencias ocultas y más concretamente enla magia tienen un lugar destacado.IntroducciónConsideremos la sucesión matemática 1, 2, 3, 4...36 (cuadrado de orden 6), y dispongamos losnúmeros ordenadamente en dos series dispuestasen zig-zag:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1836 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19Resulta evidente que cualquier par de númerosalineados verticalmente suma lo mismo ya que amedida que nos desplazamos por las columnas, enla fila superior se añade una unidad, mientras queen la fila inferior se resta. La suma es en todos loscasos la de los números extremos: 1 2 3 4 5 6 12 11 10 9 8 7 13 14 15 16 17 18 24 23 22 21 20 19 25 26 27 28 29 30 36 35 34 33 32 31Si disponemos el conjunto de números en seisfilas (ver tabla a la derecha), fácilmente se puede Página 9
  • 11. apreciar que las sumas en las distintas columnashan de ser necesariamente iguales, ya que losnúmeros se encuentran agrupados por pares tal ycomo estaban en el primer caso (compárese lospares de filas 1ª-6ª, 2ª-5ª y 3ª-4ª con la disposiciónoriginal). Ahora sin embargo, por ser tres los paresde filas (n/2), la suma será:cantidad que se denomina constante mágica, y queen nuestro caso es n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111. Orden n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 M2 (n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105Salta a la vista que el cuadro anterior no es uncuadrado mágico, ya que al disponerse losnúmeros de forma consecutiva, las sumas de lascifras de cada fila son cada vez mayores. Sinembargo hemos encontrado seis series denúmeros comprendidos entre 1 y 36, de forma talque, sin repetirse ninguno, las sumas de las seriesson la constante mágica. Si en vez de ladisposición anterior colocamos los númerosconsecutivamente, obtenemos una disposición enla que los números de la diagonal principal sepueden escribir de la forma (a-1)×n + a. Página 10
  • 12. Calculando la suma, sabiendo que las filas a vande 1 a n:De nuevo la constante mágica. Más aún, cualquierserie de seis valores en los que no haya dos de lamisma fila o columna sumará la constante mágica.Escribiendo el término i, j de la matriz como (i-1)×n + j, y tomando 6 términos cualesquiera con lacondición de que ni i, ni j se repitan y varíen de 1hasta n, la ecuación resultante será exactamente lamisma que en el caso anterior y la suma, por tanto,la constante mágica.Como se puede demostrar, la cantidad de seriesposibles de n números que cumplan la condiciónanterior es n!, 720 en cuadrados de orden 6, y nisiquiera son todas las posibles, ya que anteshabíamos obtenido seis que no están incluidasentre ellas.De orden 3 existe un único cuadrado mágico (lasdistintas variaciones se pueden obtener porrotación o reflexión), en 1693 Bernard Frenicle deBessy estableció que hay 880 clases de cuadradosmágicos de orden 4. 1 2 Posteriormente se haencontrado que existen 275.305.224 cuadradosmágicos de orden 5; el número de cuadrados demayor orden se desconoce aún pero segúnestimaciones de Klaus Pinn y C. Página 11
  • 13. Wieczerkowski realizadas en 1998 mediante losmétodos de Montecarlo y de mecánicaestadística existen (1,7745 ± 0,0016) × 1910 cuadrados de orden 6 y (3,7982 ± 0,0004) ×1034 cuadrados de orden 7.Por lo que respecta a órdenes inferiores, esevidente que de orden uno existe un únicocuadrado mágico, 1 , mientras que de orden 2 noexiste ninguno, lo que se puede demostrarconsiderando el cuadrado mágico a, b, c, d de lafigura; para que tal disposición fuera un cuadradomágico deberían cumplirse las siguientesecuaciones (siendo M la constante mágica ocualquier cantidad, si se quiere): a+b=M a+c=M a b a+d=M c d b+c=M b+d=M c+d=Mescribiendo el sistema de ecuaciones en formamatricial y buscando el orden de la matriz decoeficientes, se obtiene que es tres, mientras queel número de incógnitas es cuatro, de modo que elsistema sólo tiene la solucióntrivial a = b = c = d = M/2 siendo imposibleconstruir un cuadrado mágico en el que lascuatros cifras sean distintas. Página 12
  • 14. Resumiendo: la cantidad dediferentes n×n cuadrados mágicos para n entre 1 y5, sin contar rotaciones y reflexiones, son:1, 0, 1, 880, 275305224 (sucesión A006052 en OEIS).Para n = 6 se ha estimado que hayaproximadamente 1.7745×1019..)Cubo de RubikEl cubo de Rubik es Página 13
  • 15. un rompecabezas mecánico tridimensional inventado por el escultor y profesorde arquitectura húngaro ErnőRubik en1974.1 2 Originalmente llamado "cubo 3mágico", el rompecabezas fue licenciado porRubik para ser vendido por Ideal Toy Corp. en19804 y ganó el premio alemán a mejor juego delaño en la categoría Mejor rompecabezas esemismo año. Hasta enero de 2009 se han vendido350 millones de cubos en todo el 5 6mundo, haciéndolo el juego de rompecabezasmás vendido del mundo.7 8 Es consideradoampliamente el juguete más vendido del mundo.9En un cubo de Rubik clásico, cada una de las seiscaras está cubierta por nueve pegatinas de seiscolores uniformes (tradicionalmente blanco, rojo,azul, naranja, verde y amarillo)10 Un mecanismo deejes permite a cada cara girar independientemente,mezclando así los colores. Para resolver elrompecabezas, cada cara debe volver a consistiren un solo color.El cubo celebró su 25º aniversario en 2005 por loque salió a la venta una edición especial del mismoen la que la cara blanca fue remplazada por unareflejante en la que se leía "Rubiks Cube 1980-2005".Existen variaciones con otro número de cuadradospor cara. Las principales versiones que hay son lassiguientes: el 2×2×2 "Cubo de bolsillo", el 3×3×3 el Página 14
  • 16. cubo de Rubik estándar, el 4×4×4 (La venganza deRubik), el 5×5×5 (El Cubo del Profesor) y desdeseptiembre de 2008 el 6×6×6 (V-Cube 6) y el 7×7×7(V-Cube 7) de Verdes Panagiotis.11Juego de CramPag11Un ejemplo del juego de cram. Azul es el último jugador que puede poner undominó en el tablero, y entonces gana. Página 15
  • 17. Cram es un juego combinatorio imparcial que essimilar al juego de domineering. Se conoce pordiversos nombres, entre ellos “plugg” por GeoffreyMott-Smith, y “dots and pairs.” Cram fuepopularizado por Martin Gardner en ScientificAmerican.ReglasCram se juega con un tablero cuadriculadode n × m casillas. Dos jugadores juegan en turnosalternos poniendo un dominó de manera horizontalo vertical sobre dos casillas libres. El ganador es elúltimo jugador que pone un dominó en el tablero.EstrategiaLa estrategia ganadora es muy sencilla en tablerosde casillas par × par y par × impar. En el caso deun tablero de par x par el segundo jugador ganapor jugada simétrico. Es decir que cualquierjugada que hace el primer jugador, el segundojugador tiene una jugada que corresponde demanera simétricoal otro lado del eje horizontal ydel eje vertical. En otras palabras, el segundojugador imita las jugadas que hace el primerjugador. Si el segundo jugador dirige estaestrategia, el segundo jugador siempre va a hacerla última jugada, y entonces gana el juego.En el caso de un tablero de par × impar, el primerjugador gana también por jugada simétrico. Elprimer jugador pone el primer dominó en las dos Página 16
  • 18. casillas centrales del tablero. El segundo jugadorpuede hacer cualquiera jugada que desea, pero elprimer jugador puede responder con una jugada demanera simétrico. Esto asegura la victoria para elprimer jugador.Juegos con tableros de 3 × 3, 5 × 5, y algunoscasos de 1 × n, donde n es impar, ha sidosolucionada, pero en el caso general para tablerosde impar × impar todavía no se ha resuelto.Ahora con todo lo que he investigado puedo decir queexiste el tema el cual puede ayudar a muchos profesorespara que los alumnos entiendan bien los temas dematemáticas que , analicen , comprendan mejor y másrápido, jugando pero aprendiendo muy bien es el yamencionado las MATEMATICAS RECREATIVAS , esperoque este ensayo les pueda ayudar a muchos Página 17
  • 19. BibliografíasBizek, Hana M. (1997) (en inglés). Mathematics of theRubiks Cube Design. Pittsburgh, Pensilvania: DorrancePub. Co. ISBN 0805939199.Recuperado dehttp://www.vicentetrigo.com/pdf/martin.pdfBlack, M. Razid; Taylor, Herbert (1980) (en inglés).Unscrambling the Cube. Burbank, California: ZephyrEngineering Design. ISBN 0940874032.http://es.wikipedia.org/wiki/Martin_GardnerEidswick, Jack (1981) (en inglés). Rubiks Cube MadeEasy. Culver City, California: Peace Press. ISBN 0915238527.http://es.wikipedia.org/wiki/SudokuHarris, Dan (2008) (en inglés). Speedsolving the Cube:Easy-to-follow, Step-by-Step Instructions for ManyPopular 3-D Puzzles. Nueva York: Sterling Pub. ISBN 978-1402753138.http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico Página 18
  • 20. Nourse, James G. (1981) (en inglés). The Simple Solutionto Rubiks Cube. Nueva York: Bantam. ISBN0553140175.http://www.google.com.mx/search?q=matematicas+recreativas&hl=es&tbo=u&tbm=isch&source=univ&sa=X&ei=lxG9UJbaNuaS2QXB0oHAAw&sqi=2&ved=0CEAQsAQ&biw=1366&bih=673 Página 19