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1. 55
MATEMÁTICA
Unidad 5
UTILICEMOS LA
TRIGONOMETRÍA
Objetivos de la Unidad:
Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades y
ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar
y explicar el comportamiento de fenómenos escolares y sociales.

2. Funciones trigonométricas
a partir del utilizando
utilizando sus
Características
son determinando
Amplitud Desfase
Descripción del proyecto
Círculo trigonométrico
Mediante funciones trigonométricas se determina la altura de la marea sobre su
nivel medio.
Ángulos de
referencia
Signos de las
variables
Ángulos
cuadrantales
Números reales
Gráficos
Dominio Rango
Período

3. Quinta Unidad Lección 1
El círculo trigonométrico y funciones de
ángulos Cuadrantales
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al
movimiento de las agujas del reloj.
Deducirás y calcularás con interés las funciones trigonométricas de
ángulos cuadrantales.
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del
movimiento de las agujas del reloj.
Segundo Año - Matemática 57
Motivación
Pedro y Juan trotan sobre una pista circular.
Agarrados de una cuerda que los une al centro de la
pista.
Pedro recorre círculo y cuarto, Juan recorre un
cuarto de círculo.
¿Puedes decir cuál es en grados el ángulo generado
por la cuerda de Pedro?
¿Cuál es en radianes el ángulo generado por la cuerda
de Juan?
Indicadores de logro
Construirás con interés y precisión el círculo unitario.
Determinarás y explicarás, con seguridad, las funciones trigonométricas
en el círculo trigonométrico a partir del punto (x, y).
Signo de los ángulos
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario al
movimiento de las agujas del reloj.
Lado inicial
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido del
movimiento de las agujas del reloj.
En trigonometría, los ángulos pueden ser positivos o negativos. El lado desde el cual
comienza a medirse un ángulo se llama lado inicial y el lado donde finaliza la medición se
llama lado terminal del ángulo.
Si la rotación del lado inicial Lado inicial
al lado terminal se efectúa en sentido contrario de las agujas del
reloj, el ángulo es positivo.
El ángulo es negativo en caso contrario, o sea, cuando la rotación se efectúa en el sentido de
las agujas del reloj.
Lado terminal
Lado terminal
Lado inicial
Lado inicial
Lado terminal
Lado terminal
B
A

4. UNIDAD 5
Ángulo de referencia
Ejemplo 1
Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia
de: a) 75º b) 120º c) 210º d) 315º
Solución
b)
58 Matemática - Segundo Año
d)
c)
Ubicación de θ en
los cuadrantes
y
x
1 =360 −315
=45
Ángulo de referencia
θ’ es igual a
I θ
II 1800 – θ
III θ – 1800
IV 3600 – θ
El ángulo de referencia de θ denotado por, θ’ es el menor
ángulo cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.
a)
El ángulo θ se mide desde la parte positiva del eje x,
hasta el lado terminal de θ. El ángulo de referencia
θ’ siempre se define con respecto al eje x, nunca con
respecto al eje y.
Ángulos coterminales o equivalentes
Retomando la pregunta planteada al inicio de la lección:
¿Puedes decir cuál es el ángulo descrito por la cuerda
de Pedro?
Tienes que en ese instante, Pedro ha descrito un ángulo
de 360° + 90° = 450°. Juan un ángulo de 90°. Observa
que ambos están en el punto B. Los ángulos 90° y 450°
son ejemplos de ángulos llamados coterminales.
En general si θ está
en el cuadrante I,
θ = θ’
En general si θ está
en el cuadrante II,
θ’ = 180º – θ
Si θ está en el
cuadrante III,
θ’ = θ – 180º
Si θ está en el
cuadrante IV,
θ’ = 360º – θ
y
x
1
y
x
= 75
y
x
=120
1 =180 −120
=60
En general, tienes que si dos ángulos poseen el
mismo lado inicial y el mismo lado terminal, se
llaman coterminales.
Para determinar los ángulos coterminales de un ángulo,
sumas o restas una o más veces 360º a dicho ángulo.
Puedes ver que un ángulo posee un infinito número de
ángulos coterminales o equivalentes:
θ = θ ± n 360º, n = 0, 1, 2, 3, 4,…..
Si el lado terminal coincide con uno de los ejes de
coordenadas, el ángulo se llama cuadrantal: 90º, 180º,
270º, y 360º son ángulos cuadrantales.
y
x
=210
1 = 210 −180
=30

5. UNIDAD 5
d
P(X;Y)
x
x
y
1
135
45
2
Segundo Año - Matemática 59
Ejemplo 2
Encuentra cuatro ángulos coterminales de 100º
Solución:
a) 100º = 100º+ 360º = 460º
b) 100º = 100º + 2(360º) = 820º
c) 100º = 100º – 360º = – 260º
d) 100º = 100º – 2(360º) = – 620º
Ejemplo 3
Simplifica el ángulo θ = 5248º
Solución:
Comienzas averiguando cuántas veces contiene el
ángulo θ a 360º. Para ello divides: 5248 entre 360 y la
parte entera que es 14 es el nº de veces que contiene
a 360.
Luego, como 5248 contiene 14 veces a 360º, al ángulo
5248 le restas 14 veces 360º.
5248º – 14 (360º)
5248º – 5040º = 208º
Concluyes entonces que las dos formas más simples o
valores canónicos de θ, son 208º y 208º – 360º = – 152º
Definición de las funciones
trigonométricas de cualquier ángulo
Sea θ un ángulo en posición normal o estándar:
Su vértice coincide con el origen del sistema de
coordenadas, y su lado inicial coincide con el eje
x positivo.
Si llamamos distancia al valor del segmento OP; abscisa,
al valor x; ordenada, al valor y, las funciones de θ se
definen así:
sen
y
d
ordenada
distancia
= = cos
= = x
abscisa
distancia
d
tan
= = y
ordenada
abscisa
x
cot
= = x
abscisa
ordenada
y
sec
= = d
distancia
abscisa
x
csc
= = d
distancia
ordenada
y
y
Ejemplo 4
Determina en forma gráfica las funciones de
a) 135º b) 210º
Solución
a) El ángulo de 135º posee un ángulo de referencia igual
a 180º – 135º = 45º. Luego, el triángulo de referencia es
de 45º.
En la figura de la derecha se representa la situación,
donde: x = –1, y = 1; d = 2
x
(-1,1)
-1
b) El ángulo de referencia es 210º – 180º = 30º.
Luego, el triángulo de referencia es 30º, donde:
x = − 3 ; y = –1; d = 2
Con estos valores defines las funciones de 210º
y
x
-1
210
30
2
P(- 3,-1 )

6. UNIDAD 5
1 Actividad
1. Copia en tu cuaderno y traza el ángulo de referencia θ’ del ángulo θ.
2. Encuentra dos ángulos positivos y dos negativos que son coterminales o equivalentes a 75º.
3. Halla los dos ángulos equivalentes de θ = 3500º entre 0º y 360º y represéntalos en el plano cartesiano.
4. Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia y determina su valor si:
a) θ = 45º c) θ = 3500º
b) θ = 150º d) θ = 300º
5. La rueda delantera de una bicicleta tiene un diámetro de
40 cm, y la trasera 60 cm ¿Qué ángulo gira la rueda delantera cuando la trasera gira 8 radianes?
6. Determina gráficamente las funciones de
a) 150º b) 300º c) 225º
El círculo trigonométrico es aquel que tiene por radio la
unidad.
x2 + y2 = r2, x2 + y2 = 12, x2 + y2 = 1
60 Matemática - Segundo Año
En el círculo trigonométrico, las funciones de ángulos
son más sencillas de manejar y obtener, debido a que el
valor “d” es el radio de la circunferencia y es igual a 1. Así
d = r = 1.
1. sen
y
d
y
= = = y
1
4. csc
= 1 = 1
y sen
2. cos = x = =
d
x
x
1
5. sec
= 1 = 1
x
cos
3. tan
cos
= y =
x
sen
6. cot
cos
= x =
y sen
Círculo trigonométrico o unitario
y
x
y
x
y
x
220º
150º
y
x
(0,-1)
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
P(x,y)
r=1

7. UNIDAD 5
= =
y
(0,1)
90 x
Segundo Año - Matemática 61
Mediante él, puedes calcular con buena aproximación
las funciones de un ángulo.
sen 37º = 0.6 sen 225º = –0.7
cos 37º = 0.8 cos 225º = –0.7
Comprueba los siguientes resultados en tu calculadora.
sen 37º = 0.601815 sen 225º = –0.7071068
cos 37º = 0.7986355 cos 225º = –0.7071068
Funciones de ángulos cuadrantales
Los ángulos cuadrantales son aquellos cuyos lados
coinciden con alguna semirrecta del eje x o del eje y.
Éstos son: 90º, 180º, 270º y 360º ó 0º.
Nota que, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la
abscisa x cada vez se hace más pequeña: tiende a cero.
Además, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la
ordenada “y” cada vez se hace más grande: tiende a uno.
Cuando θ = 90º tienes que x = 0; y = 1; r = 1
Luego:
sen y
x
sen
º
º
º
º
90 1
90 0
90
90
= =
= =
=
cos
tan
cos
cot
cos
º
(infinito)
º
º
90
1
0
90
90
= =
=
sen 90
º
º
º
0
1
0
90
1
90
1
0
sec = = =
cos
(infinito)
º
º
csc 90
1
90
1
1
= = = 1
sen
Si el ángulo continúa aumentando, llegas a 180º, 270º y
360º, ángulos cuyas coordenadas (x, y) representan las
funciones trigonométricas (cos θ, sen θ)
y
x
P(x,y)
1
y
x
(0,1)
225
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
P(0.8, 0.6)
Q(-0.7, -0.7)
37
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
y
x
(0,1)
180
(-1,0) (1,0)

8. UNIDAD 5
x = –1; y = 0; r = 1. Para 180º
Luego
sen y
= =
= = −
=
180 º
0
180 º
x
1
sen
180
º
cos
tan
º
º
º
=
sen º
º
º
180
180
0
1
0
180
180
cos
cot
cos
=
−
=
180
= =
− sec
º
−
1
0
180
1
180
1
1
=
= −
cos
= −
1
180
1
0
º = = =
º
1
180
csc
sen
(-1,0) (1,0)
x = 0; y = –1; r = 1. Para 270º
Luego
sen y
= = −
= =
=
270 º
1
270 º
x
0
sen
270
º
cos
tan
º
º
º
=
sen º
º
º
270
270
−
1
0
270
270
cos
cot
cos
=
= −
270
sec = = =
º
0
1
0
270
1
270
=
−
1
0
=
cos
1
270
1
1
csc 270 º
= =
= −
º
−
1
sen
En las funciones trigonométricas +∞ ó –∞ te indica que
la función es indeterminada.
62 Matemática - Segundo Año
x = 1; y = 0; r = 1. Para 360º
Luego
sen y
= =
= =
= =
360 º
0
360 º
x
1
360
º
0
1
cos
tan
º
= = =
º
º
0
360
1
360
1
0
360
1
360
csc
sec
cos
=
sen
º
º
= =
= =
1
1
1
360
1
0
cot
(-1,0) (1,0)
Ejemplo 5
Un cuerpo de 100 kg pende de dos cuerdas, que forman
con la horizontal, ángulos de 30 ° y 60° como se muestra
en la figura. ¿Puedes calcular la tensión en cada una de
las cuerdas?
A B
30º 60º
ToA ToB
100 kg
0
y
x
(0,1)
270
(0,-1)
y
x
(0,1)
360
(0,-1)

9. UNIDAD 5
Actividad 2
x
90º
(1,0) (0,-1)
Resumen
A B
30º 60º
Punto de apoyo
30º
= =
y
(0,1)
270º
(0-1)
180º
360º = 0
. = kg
Un ángulo positivo se mide desde su lado inicial hasta su lado terminal, en sentido contrario al movimiento de
las agujas del reloj. Es negativo si se mide en sentido horario.
Ángulo de referencia de un ángulo es aquel cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.
Ángulos coterminales o equivalentes son aquellos que tienen el mismo lado inicial y terminal.
Círculo trigonométrico es aquel cuyo radio mide uno.
Las funciones de 90º, 180º, 270º y 360º están determinadas por sus coordenadas: (0, 1), (–1, 0), (0, –1) y (1, 0)
respectivamente. El ángulo de 0º es igual al ángulo de 360º.
Segundo Año - Matemática 63
Solución:
Prolongando la tensión ToA para formar un triángulo de
fuerzas tendremos:
Ya sabes que F
= 0 , por lo cual éstas forman
un triángulo y se aplica la siguiente igualdad
ToA
Sen
ToB
Sen
P
30º 60º Sen 90º
1. Basándote en las coordenadas del círculo trigonométrico
correspondiente a 0º, 90º, 180º, 270º y 360º = 0º, determina
por simple inspección el valor de:
a) sen 0º i) tan 0º
b) sen 90º j) tan 90º
c) sen 180º k) tan180º
d) sen 270º l) tan 270º
e) cos 0º m) cot 0º
f) cos 90º n) cot 90º
g) cos 180º 0) cot 180º
h) cos 270º p) cot 270º
2. Un cuerpo de 200 lb. pende de dos cuerdas que forman
ángulos de 50° y 40° con la horizontal. Calcula la tensión a la
que está sometida cada cuerda.
ToA
Sen
P
Sen
ToA
P sen
Sen
Kg
30 90
30
90
100
º º
º
º
=
= =
× 0 5
1
50
ToB
Sen
P
Sen
ToB
P sen
Sen
Kg
60 90
60
90
100
°
=
°
=
°
°
=
×
8 7 =
1
87
.
Kg
ToA
100 kg
0
ToB P
60º
La tensión de la cuerda A es = 50 kg
La tensión de la cuerda B es = 87 kg

10. UNIDAD 5
1 El ángulo equivalente a 400º es
El valor de tan 150º es 4
a) − 1
3
b) − 3
c) − 3
3
d) a y c son correctos
LAS MAREAS Y ÁNGULOS CUADRANTALES
64 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
¿Cuál de las siguientes funciones trigonométricas es
indeterminada?
a) cos 90º
b) tan 90º
c) cot 90º
d) csc 90º
Soluciones 1. c. 2. d. 3. b. 4. b.
2
a) – 40º
b) 80º
c) 40º
d) 320º
3 El valor de cos 180º es
a) θ
b) –1
c) ∞
d) ninguna de las anteriores
Las funciones trigonométricas de los ángulos
cuadrantales (90º, 180º, 270º y 360º ó 0º ) son
de gran importancia en el gráfico de funciones
y en el análisis de otros fenómenos como las
mareas, el sonido, etc.
Así una representación gráfica de las
mareas es :
0 12 24
tiempo (h)

11. Gráfico de la función seno
expresión siguiente: I = 30 sen120t, donde: t es el
tiempo en segundos.
Podrías calcular ¿Cuál es la amplitud y el
periodo? ¿Cuál es la frecuencia de la corriente?
Es decir, ¿Cuántos ciclos se completan en 1
segundo?
Segundo Año - Matemática 65
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de la función seno.
Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de la
función seno.
Para resolver el problema anterior, estudiarás
previamente algunos conceptos. El valor de una función
trigonométrica de un número real “t” es el valor de un
ángulo de “t” radianes.
Así, “sen 3” se interpreta como seno del número real 3 o
como el seno de un ángulo de 3 radianes. Obviamente,
sen 3 ≠ sen 30
Concluyes entonces, que los valores de las funciones
trigonométricas de números reales, éstos representan
radianes.
Determinarás con perseverancia la periodicidad en la función seno.
Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma:
y = a sen [b(x + c)] + d, y = a cos [b(x + c)] + d determinando su período
con seguridad.
La naturaleza y todo lo que ella comprende: mareas,
clima, estaciones, reproducción de los animales,
cosechas, etc., se rigen por ciclos biológicos o ritmos.
Estos ciclos han existido desde el principio de la
vida en el planeta. Se ha demostrado histórica y
estadísticamente que la naturaleza humana sigue una
variedad de ritmos que realizan ciclos a diferentes
frecuencias. En el caso de los seres vivos estos ritmos
se denominan biorritmos, y existen diferentes
biorritmos que afectan nuestro comportamiento en
distintas maneras. En el caso de los humanos, se ha
comprobado estadísticamente que la energía física
se comporta cíclicamente en períodos de 23 días
(mitades de 11 días y medio), la energía emotiva en
períodos 28 días (mitades de 14 días) y la energía
intelectual en 33 días (mitades de 16 días y medio).
Otro ejemplo de fenómeno cíclico es la corriente
alterna. Considera lo siguiente: un generador de
corriente alterna, mide la potencia eléctrica por la
Lección 2
Definición de las funciones trigonométricas de números reales
Para hallar los valores de funciones trigonométricas de
números reales mediante calculadora, usas el modo en
radianes. O sea que:
Para graficar una función trigonométrica, el ángulo debe
estar expresado en radianes.
Recuerda que en tercer ciclo, estudiaste como convertir
grados a radianes y viceversa. Para ello llegaste a las
siguientes equivalencias.

12. UNIDAD 5
1 Actividad
Grafica la función y = sen x, donde x es un número real.
Debes encontrar los pares ordenados de números
reales (x, y) que cumplan con la expresión y = sen x.
Una manera de hallar dichos pares es mediante la
calculadora científica. Así halla los valores del rango
asociados con valores del dominio. Por ejemplo, si x = 0
tienes: y = sen 0 = 0.
Así, el par (0, 0) pertenece a la función.
66 Matemática - Segundo Año
Ejemplo 1
Convierte: a)
2
3
π rad a grados; b) 150º a radianes
Solución:
a) 1
2
3
360
2
º º
2
3
360
2
rad rad = =
; =
120º
2
360
b) 1 150 150
2
360
º
º
º º
º
= =
rad rad
;
= 5
6
rad
En lo posible se expresará el ángulo en radianes en
términos de π.
2 π rad = 360º
Despejando 1 radián: 1
360
2
º
rad =
Para convertir radianes a grados,
multiplicas por 360º y divides
entre 2π
Despejando 1 grado: 2πrad = 360º, 1
2
360
º =
rad
Para convertir grados a radianes,
multiplicas por 2π y divides entre
360º.
Completa en tu cuaderno por simple inspección los cuadros siguientes:
a)
b)
θ ( rad ) 0
π
4
π
2
3
4
π π 5
4
π 3
2
π 7
4
π 2π
θ ( grados ) 0 450
θ ( rad ) 0
π
3
2
3
π π 4
3
π 5
3
π 2π
θ ( grados ) 0 450
Gráfico de y = sen x
y
x
(0,1)
1
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
x
P(cos x, sen x)

13. UNIDAD 5
1
1.71
-1.71
6 6
6 6
Segundo Año - Matemática 67
Sin embargo el proceso de graficar y = sen x puede
simplificarse al observar como varía el punto
(cos x, sen x) cuando se mueve alrededor del círculo
trigonométrico o unitario.
Para graficar y = sen x en el intervalo [0, 2], usa los
resultados de la figura de la par, complementándolos con
valores de ángulos múltiplos de
π
4
tomados de la tabla
que completaste.
0 ( rad ) 0
Ejemplo 2
Completa el resultado de las siguientes funciones trigonométricas. Sugerencia: observa el círculo trigonométrico.
a) sen −
=
4
π
4
π
2
3
4
π π 5
4
π 3
2
π 7
4
π 2π
y = sen x 0 1.71 1 1.71 0 –1.71 –1 –1.71 0
b) sen −
=
6
-1 1
Sen Sen
4 4
Sen
−
= − +
=
2
7
4
= − 2
2
Observa que: Sen
4
2
2
= ,
4 4
luego Sen Sen −
= −
Sen Sen
Sen
−
= − +
=
2
11
6
= − 1
2
Observa que: Sen
6
1
2
= ,
luego Sen − Sen
= −
y
x
0.5 1.5 2
0
-1
y
x
7
4
2
2
,
2
2
−
4
2
2
,− 2
2
y
x
11
4
-1 1
3
2
,
1
2
3
2
,−
1
2
−
6

14. UNIDAD 5
−
= − +
c) Sen Sen
3 3
Sen
e) Encuentra Sen Sen −
y
-1 1 x
3
2
(0,1)
−
Como estudiaste en la lección anterior, para un ángulo dado x, si se le suma un múltiplo entero de 360º ó 2π radianes.
Así el nuevo ángulo coincide con el ángulo dado x, para cualquier número real x y para cualquier entero n.
Las funciones con este comportamiento repetitivo se llaman funciones periódicas.
La parte de la gráfica de la función seno correspondiente
a 0 x 2π es un ciclo. A veces nos referimos a un ciclo
como una onda senoidal.
Como la función es periódica con período 2π, para
completar la gráfica de y = sen x sólo necesitamos repetir
la gráfica hecha para [0, 2π], hacia la izquierda y hacia la
derecha en intervalos de 2π.
Puedes ver que la función está definida para cualquier valor de x, por lo tanto, Df = R. Como la función adquiere valores entre –1
y 1, entonces, Rf = [–1, 1]
68 Matemática - Segundo Año
=
2
5
3
=
Observa que: Sen
3
=
d) Sen Sen
Sen
−
= − +
=
3
2
3
2
2
2
=
Observa que: Sen
3
2
=
¿Qué puedes observar o concluir de los resultados
anteriores?
4
3
4
3
y La función y = sen x es una función
impar, porque cumple:
sen (–x) = –sen x
y
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
0
1
0
-1
Se tiene: sen (x + 2πn) = sen x, con n = 1, 2, 3,…
1
2
,
3
2
1
2
,−
3
2
−
3
y
-1 1 x
(0,-1)
2

15. UNIDAD 5
.
Segundo Año - Matemática 69
Amplitud, período y desfase
Comencemos con una comparación de los gráficos y = sen x, y = A sen x.
A y=A Senx
1
y=Senx
Como el máximo valor de sen x es 1, el máximo valor de A sen x es A. ¿Cuál es el rango de esta
función? El valor A se llama amplitud de la onda seno: multiplica el valor de sen x por A.
En tu cuaderno grafica la función y = 2senx. ¿Cuál es la amplitud? ¿Cuál es la amplitud de
y = sen x 1
3
? ¿Cuál es el rango de cada una de ellas?
Como la onda seno, se completa en el intervalo [0, 2π], ese intervalo es el período p de y = sen x.
En tu cuaderno grafica la onda y = sen 2x ¿Cuál es el período? En el gráfico de y = sen 2x
observas que la onda se repite 2 veces en el intervalo [0, 2π] por lo cual p = = 2
2
Es decir, la onda y = sen 2x se
completa en [0, π].
En general, si y = sen Bx,
el período está dado por
p
= 2
B
y
0 x
0 0.25 0.5 0.75 1.25 1.50 1.75 2
y
x
2
B
2

16. UNIDAD 5
y=3 Sen 4x
3
2
.
= 2 = 2 =
= .
= . ciclos por segundo.
70 Matemática - Segundo Año
1
0.5
0
El gráfico anterior muestra una onda senoidal
desplazada a la izquierda del origen una cantidad igual
a C =
2
. Si C es negativo, el desplazamiento es a la
derecha. ¿Cuál es el valor de B en estos ejemplos?
B es el coeficiente de x.
Observa que sucede si B ≠ 1.
En general, al graficar la función y = A sen (Bx + C),
cuando Bx + C = 0, x
C
B
= − y cuando Bx + C = 2π,
x
= 2 −
C
B
. En este caso el desfase “d” es −C
B
.
En forma gráfica:
Ejemplo 3
Grafica, sin tabular, la función y = 3 sen 4x. Compara el
gráfico con la función y = sen x.
Solución:
Puedes ver que la amplitud es A = 3; además,
p
B
4 2
Esto significa que la curva y = 3 sen 4x se completa en
el intervalo 0
2
,
. O sea que el intervalo 0
2
,
cabe 4 veces en [0, 2π].
Ahora ya puedes resolver la situación planteada al inicio
de la lección. Como I= 30 sen120t, entonces la amplitud
es 30, y el periodo es
2
120 60
Como la frecuencia es el inverso del período, ésta es
60
igual a
19 11
Desfase de la onda Seno
Observa el gráfico de la función y = sen x +
2
¿De qué valor de x parte la función anterior?
Si ésta hubiera sido y sen x = +
4
¿De qué valor de x partiría?
A
-0.5 0 0.5 2
Como puedes observar, en la función y = A sen (Bx + C),
la amplitud es A, el período
2 π
B
y el desfase es
d
C
B
= −
y
x
0.5 1.5 2
1
y
x
-0.5 0.5 1.5 2
-0.5
-1
y=Sen x
y =Sen x +
2
y
0 x
-A 2
B

17. UNIDAD 5
Resumen
2 Actividad
La función seno está dada, en su forma más
simple, por la expresión y = sen x.
El gráfico que resulta se llama onda seno u onda
senoidal. Ésta se repite cada 2 π rad, por lo que su
período es 2π. Su dominio son todos los números
reales y su rango es el intervalo [–1, 1].
En su forma general, la función seno está dada por
la expresión y = A sen (Bx + C), donde A es la
amplitud, 2π
Segundo Año - Matemática 71
B
el período p y −C
B
el desfase d.
y =2sen(2x +)
2
1
0
0 1.5
C = π B = 2 A = 2
2
1
0
0 1.5
C = 2 B = 3 A = 2
2
1
0
0 1.5
C = 4 B = 2 A = 3
1. Grafica sin tabular las siguientes funciones.
a) y = sen x
b) y = sen 3x
c) y = 3 sen 2x
d) y sen x = −
3 2
2
2. Dada la función y = 4 sen 2
4
x −
determina.
a) La amplitud
b) El período
c) El desfase
3. Un peso de 6 lb., que cuelga de un resorte se estira
1
3
de pie
por debajo de la posición de equilibrio y después se suelta.
La distancia “y” en que el peso se desplaza de su punto de
equilibrio con respecto al tiempo t en segundos, está dada
por y = sen t 1
3
8 .
Determina la amplitud y el periodo de la función y grafícala
para el intervalo 0 ≤ t ≤ π.
y
x
-0.5 0.5 2
-1
-2
y=Sen x
y=3 Sen(2x+4)
3
-3
Observa como en cada una de estas gráficas el desfase es
−C
y el nuevo período es
B
2 π
B
.
y
x
-0.5 0.5 2
-1
-2
y=Sen x
y
x
-0.5 0.5 2
-1
-2
y=Sen x
y=2 Sen(3x+2)

18. UNIDAD 5
1 unidad básica de superficie del SI es:
La amplitud de la función y = 4 sen 3x es:
a) a) El 3
km2
b) b) El – cm2
3
c) c) El 4
m2
d) d) El – hm2
4
π
π
4 El desfase de la función y = 2 sen (3x + π) es:
a) −
3
b) 2
c)
π
2
3
d) 3
Soluciones 1. c. 2. c. 3. d. 4. a.
72 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
4 Para convertir cm2 a dam2:
a) Multiplicas por 100
b) Divides entre 100
c) Divides entre 1 000,000
d) Multiplicas por 1 000,000
2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:
a) 1 m2
b) 0.01 m2
c) 0.10 m2
d) 0.0010 m2
3 10,000 m2 equivalen a
a) 1 km2
b) 2 km2
c) 1 dam2
d) 1 hm2
Cuando la actividad cardíaca se traduce a
imágenes mediante el electrocardiógrafo,
que es el aparato usado para hacer
electrocardiogramas, se obtiene un patrón
repetitivo como el de la gráfica. Este
comportamiento repetitivo es característico
de las funciones trigonométricas, y puede
analizarse mediante éstas.
Este es el principio de los electrocardiógrafos y
de los monitores cardíacos. Estos últimos son
aparatos que sirven para dar seguimiento a
pacientes graves o en procesos de recuperación.
2 El rango de y = 3 sen 2x es:
a) [– 1, 1]
b) [– 2, 2]
c) [– 3, 3]
d) [0, 2π]
El período de la función y = 2 sen (3x + π) es:
a) 3 c)
3
2
b) 2 d)
2
3
ONDA SENO Y ACTIVIDAD CARDÍACA

19. Lección 3
Segundo Año - Matemática 73
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de las seis funciones
trigonométricas.
Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de las seis
funciones trigonométricas.
Para graficar y = cos x procedes de forma similar a la
función seno: sólo observas como varía
P(a, b) = (cos x, sen x) en el círculo trigonométrico.
Determinarás con perseverancia la periodicidad en las funciones
trigonométricas.
Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma:
y = A cos (Bx +C) determinando su período con seguridad.
En una playa del litoral salvadoreño, la marea sube
1.8 m a partir de cierta línea paralela a la costa y luego
de 12 horas baja 1.8 m a partir de la misma línea.
Con estos datos puedes construir el gráfico que
relaciona la altura de la marea y el tiempo.
Gráfico de las funciones
cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x
Gráfico de y = cos x
x 0
π
2
π 3
2
π 2π
y = cos x 1 0 –1 0 1
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
P(cos x, sen x)
y
x
1.5
0.5
0
-0.25 0.25
0 2
1
-0.5
-1
-1.5
0.5 0.75 1.25 1.5 2.5

20. UNIDAD 5
1
-5 -4 -3 -2 - 2 3 4 5
y = cos x es una función par, ya que para cualquier valor
de x se cumple que: cos (–x) = cos x. Por ejemplo,
cos (–π) = cos π
Observa que el período es: 2π, que Df = R y Rf = [–1, 1]
= 2 = 2 =
4 4
= C −
B
74 Matemática - Segundo Año
-0.5 0.5 0.75
y
tiempo (h)
x
(0,1)
0.5
0
-0.5
(-a,a) (a,a)
(-1,0) (1,0)
(-a,-a) (a,-a)
(0,-1)
Al igual que en la función seno, la parte de la gráfica de la
función coseno que corresponde a 0 ≤ x 2 es un ciclo
llamado onda cosenoidal.
Puedes ver que el trazado de su gráfico es similar al de la
onda senoidal.
En la gráfica del coseno se observa que la onda
cosenoidal es igual a la onda senoidal desplazada
π
2
rad
a la izquierda, es decir: y = cos x = sen x +
2
La función y = cos x equivale a sen x +
2
.
Al igual que la función seno para: y = A cos (Bx + C), A es
la amplitud,
2 π
B
es el período y −C
B
es el desfase.
Ejemplo 1
Grafica la función y = 1 ( x − )
2
cos 4
Solución
Amplitud:A = 1
2
Período: p
B
4 2
Desfase: − = −
Como el desfase es positivo, significa que el
desplazamiento es hacia la derecha. Luego, el gráfico es:
Ahora ya puedes graficar la función planteada al inicio
de esta lección. Grafícala en tu cuaderno. Compárala
con la siguiente:
15
10
5
Gráfico de y = tan x y y = cot x
Observa como varía el valor de la tangente para
diversos valores de un ángulo ubicado en el círculo
trigonométrico.
y
x
0
0
-1
y=Cos x
y
x
-0.25 0
0.25
1
-1
2
P=
4
d =
y
0 x
-5 2 4 6 8 10 12
-10
-15

21. UNIDAD 5
= 1
= +
=
En el cuadro anterior puedes ver que y = tan θ es una función impar, ya que
tan (–θ) = –tan θ. Los resultados que dan ∞ nos indican asíntotas representadas en la
siguiente figura.
1 a
0 =
1 a
= − 5
4
1
0
1 a
0
1
Segundo Año - Matemática 75
Para valores positivos de un ángulo múltiplos
de
π
4
radianes, tienes
Para valores negativos de un ángulo múltiplos
de −−
4
radianes, tienes
x (rad) tan x x rad tan x
0 0
1
= 0 0 tan 0
0
1
= = 0
π
4
a
a
= 1 −
4
tan −
=
−
= −
4
1
a
a
2
4 2
0
= −
2
tan
−
=
−
= −
2
1
0
3
4
π a
−a
= −
1 − 3
4
tan
− −
−
3 =
4
a
4
4
= 0
1
0
−
=
–π tan (− ) =
−
1
0
5
4
π
−
−
=
a
a
1 − 5
4
tan
−
=
−
a
6
3
4 2
−
= −
1
0
− 3
2
tan
−
3
= = 2
7
4
π
−
= −
a
a
1 − 7
4
tan
−
= = 7
4
a
8 2
4
= 0
1
= 0 –2π tan (−2 ) = =
0
y
x 1
-1
2
3
2

22. UNIDAD 5
4
3
2
1
1 -1
76 Matemática - Segundo Año
6
4
2
-2.5 -2 -1.5 - 0 1.5 2.5
Como cot
Gráfico de y = tan x
= 1
tan
x
x
0
, para graficar y = cot x
simplemente se toman los valores recíprocos de los
valores de las ordenadas de la gráfica de y = tan x en la
figura. Observa la gráfica. En el intervalo [0, π] cuando x
se aproxima a cero por la derecha, y tiende al infinito.
Al estudiar el comportamiento de tanx
b
a
= en el
intervalo −
2 2
, , puedes ver que cuando x se
aproxima a
π
2
por la izquierda, a se aproxima a cero
mediante valores positivos, mientras que b se aproxima
a 1. O sea, tan x
b
a
= crece indefinidamente; es decir,
tiende a infinito. Por otro lado, cuando x se aproxima
−
2
por la derecha, a se aproxima a cero por medio de
valores positivos y b se aproxima a – 1. Esto significa
que tan x
b
a
= decrece indefinidamente, o sea, tan x
tiende a –∞. Esto se muestra en el siguiente gráfico.
Si procedes de la misma manera para los intervalos entre
otras asíntotas, se ve que la función tangente es periódica
con período π. Por lo tanto, para completar la gráfica de
y = tan x sólo se necesita repetir la gráfica de la figura,
sobre intervalos de longitud π tanto a la izquierda como
a la derecha del intervalo inicial para extender la gráfica
hasta donde se desee. Graficando en base a los valores
anteriores, tendremos:
En este gráfico observas las siguientes características:
El período es π
Dominio: Todos los números reales excepto los
múltiplos de
2
+ k , k entero.
Rango:  .
Función impar y simétrica con respecto al origen.
Discontinua en
2
+ k ; k entero.
Función creciente entre las asíntotas.
y
0 x
0
-1
-2
-3
-4
Asíntota
vertical
Asíntota
vertical
y
x
-0.5 0.5 2
-2
-4
-6
y=Tan x
y
4
2
0 x
0
-2

23. UNIDAD 5
-2.5 -2 -1.5 - -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5
y=sec x = 1
2
1.5
1
0.5
2
1.5
1
0.5
0
y=Csc x =
1
Sen x
-2.5 -1.5 0 1.5 2.5
Segundo Año - Matemática 77
Cuando x se aproxima a π por la izquierda y tiende
a menos infinito. Esta situación se da en todos los
intervalos múltiplos de π. Luego al graficar y = cot x
desde –2π hasta 2π obtienes:
6
4
2
Características de y = cot x
Período: π
Dominio: Todos los números reales excepto kπ, con
k entero.
Rango:  .
Función impar y decreciente entre las asíntotas.
Discontinua en kπ, k entero
De la misma manera que se obtuvo la gráfica de y = cot x
al tomar los valores recíprocos de las coordenadas en la
gráfica de y = tan x, haces
csc = 1 sec
= 1
cos
x y x
sen x x
Observa que cos x = 0, si x vale −
2 2
3
2
, , , etc...
Luego, la gráfica de sec x debe tener asíntotas verticales
en esos puntos. Además, cuando cos x crece o decrece en
un intervalo sec x hace exactamente lo contrario.
Para obtener las gráficas de y = csc x e y = sec x tomas los
recíprocos de las ordenadas de las gráficas de y = sen x e
y = cos x, respectivamente.
Características de y = sec x
Período: 2π
Dominio: Todos los números reales excepto
+ k
, k entero
2
Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[
Función par (simétrica con respecto al eje y)
Discontinua: en
2
+ k , k entero
Características de y = csc x
Período: 2π
Dominio: Todos los números reales excepto kπ,
k entero
Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[
Función impar (simétrica con respecto a π/2)
Gráfico de y = cot x
Gráfico de y = sec x
Gráfico de y = csc x
y
0 x
-2
-4
-6
y=Cot x
-2.5 -2 -1.5 - -0.5 0 0.5 1.5 2 2.5
y
y=Cos x x
Cos x
0
-0.5
-1
-1.5
-2
y
x
-0.5 0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
y=Sen x
-2 - 2

24. UNIDAD 5
La figura siguiente será muy útil en muchos de los problemas de este ejercicio.
1. Completa la siguiente tabla, en tu cuaderno.
Función
78 Matemática - Segundo Año
Valor en x
0
R=1
π
2
π 3
π
2
2π
sen x 0
cos x 0
tan x 0
cot x
sec x No esta definida
csc x –1
2. Considera P(a, b) = (cos x, sen x) sobre el círculo trigonométrico o unitario (observa la figura anterior) y
completa en tu cuaderno la tabla siguiente, ( significa crecimiento y significa decrecimiento):
Significa que: y = sen x En 0
2
,
es positiva y creciente
En
2
,
es positiva y decreciente
3
2
En ,
π
es positiva y creciente
¿Cómo es y = sen x en 3
2 ,
2
? Muy bien, negativa y creciente
1 Actividad
Función
x varia de
0 a
π
2
x varia de
π
a π
2
x varia de
π a 3
2
x varia de
3
2
π a 2 π
+ – + – + – + –
y = sen x = b
y = cos x = a
y = tan x = b/a
y = cot x = a/b
b
a
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
P(cos x, sen x)
cos x
sen x
x rad
a b
x unidades

25. UNIDAD 5
Resumen
El gráfico de la función coseno se llama onda cosenoidal. Sus elementos
principales son: amplitud, período y desfase. Como la función coseno u
onda cosenoidal equivale a la función seno adelantada π/2 radianes, sus
características son iguales a la onda senoidal. Ambas funciones son continuas y
periódicas.
Los gráficos de las otras cuatro funciones presentan características especiales, y
son discontinuas.
Segundo Año - Matemática 79

26. UNIDAD 5
1 La unidad básica de superficie del SI es:
La amplitud de la función y = 3 cos (2x + π) es:
a) 2
b) π
c) – 3
d) 3
a) El km2
b) El cm2
c) El m2
d) El hm2
80 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
,
,
4 Para convertir cm2 a dam2:
Para construir el gráfico de y = sec x se parte del
inverso de la función.
a) sen x
b) cos x
c) tan x
d) csc x
a) Multiplicas por 100
b) Divides entre 100
c) Divides entre 1 000,000
d) Multiplicas por 1 000,000
2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:
a) 1 m2
b) 0.01 m2
c) 0.10 m2
d) 0.0010 m2
10,000 m2 equivalen a
a) 1 km2
b) 2 km2
c) 1 dam2
d) 1 hm2
1. d. 2. b. 3. d. 4. b.
Las funciones trigonométricas tienen mucha
aplicación en el movimiento vibratorio oscilatorio.
Por ejemplo en el movimiento de una partícula
en una cuerda de guitarra a la que se ha hecho
vibrar o en un resorte que se ha comprimido y
luego se pone a oscilar.
De acuerdo a la vibración del instrumento
musical, así es el sonido emitido por éstos.
Además hay que hacer notar que la misma
vibración en dos instrumentos musicales
diferentes como guitarra y violín pueden producir
sonidos diferentes.
Soluciones
2 El período de la función anterior es:
a) 2
b) π
c)
π
2
d) 3
3 La función y = tan x es creciente en el intervalo:
a) − −
5
2
3
2
b) − −
3
2 2
c) −
,
2 2
d) Todas las anteriores
VIBRACIONES MUSICALES

27. Lección 4
Identidades trigonométricas
= d) csc = h
Segundo Año - Matemática 81
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
r
r
B
P
A C
d
d
Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas
recíprocas, con seguridad y confianza.
Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas de
cociente, con seguridad y confianza.
Deducirás, explicarás y aplicarás las identidades pitagóricas, con seguridad
y confianza.
¿Cómo haces para comprobar que son idénticos?
Transformarás una expresión trigonométrica a una que contenga
solamente seno y coseno, con precisión.
Verificarás las identidades trigonométricas aplicando las recíprocas, las de
cociente y las pitagóricas, con interés.
Resolverás problemas utilizando identidades trigonométricas, mostrando
respeto a la opinión de los demás.
Un ingeniero civil está diseñando la curva de una
intersección. Las dos autopistas se cruzan formando
un ángulo θ. El borde de la autopista debe unirse
con dos puntos A y B por medio de un arco de
circunferencia tangente a las autopistas en esos dos
puntos. El ingeniero necesita determinar la relación
entre el radio del arco r, la distancia “d” de A y B desde
la intersección y el ángulo BCA. Observa el dibujo
en donde se muestra que A y B son los puntos de
tangencia de la circunferencia con las autopistas.
Identidades trigonométricas fundamentales
En matemática el concepto de “identidad” equivale a
“igualdad”. Así, la ecuación (x – 5 )(x + 5) = x2 – 25,
es una identidad, ya que es cierta para todo valor de x.
Esto lo puedes comprobar dándole a x los valores en los
números reales que desees. En esta lección estudiarás las
principales identidades trigonométricas.
Por definición de las razones trigonométricas tienes:
a) sen
y
h
y
b) cos = x
h
e) sec = h
x
c) tan = y
x
f) cot = x
y
h y
x

28. UNIDAD 5
= 1 = 1 ( )
Además del círculo unitario tienes: sen θ = y, cos θ = x
entonces:
tan
= y = sen
( )
x
cos
4 cot
cos
2
P(cos , sen )
1
+ cos =
82 Matemática - Segundo Año
= x = ( 5
)
y sen
Éstas son las funciones de cociente.
Recuerda que el círculo trigonométrico está constituido
por todos los puntos P(x, y), tales que su distancia al
origen es la unidad, esto es x 2 + y 2 = 1. Además se
indicó que para todo ángulo θ, existe un único punto en
el círculo trigonométrico que le corresponde.
Considera un ángulo θ cualquiera y sea P(x, y), el punto
del círculo unitario que le corresponde, entonces se
tiene que x2+ y2 = 1, pues las expresiones en ambos
lados de la igualdad son positivos; como en el círculo
trigonométrico sen θ = y, cos θ = x, se tiene:
sen 2 + cos2 = 1 (6)
De la relación anterior se obtienen otras dos identidades:
sen 2 = 1 − cos2 y cos2 = 1 − sen 2 .
Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre
sen2 θ, obtienes:
sen
sen 2
sen sen
2
2 2
Esta última expresión es equivalente a:
1 + cot 2 = csc2 (7)
Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre
cos2 θ, obtienes:
sen 2
1
cos
cos cos
+ =
cos
Recíprocas De cociente Pitagóricas
sec
= 1
cos
csc
= 1
sen
cot
= 1
tan
tan
cos
= sen
cot
cos
=
sen
sen 2 + cos2 = 1
1 + cot 2 = csc2
tan2 + 1 = sec2
2
2
2 2
Es decir: tan2 + 1 = sec2 (8)
A las relaciones (6), (7) y (8) se les denomina,
identidades trigonométricas pitagóricas:
sen 2 + cos2 = 1 (6)
1 + cot 2 = csc2 (7)
tan2 + 1 = sec2 (8)
En tu cuaderno, prueba la identidad
sen 2 + cos2 = 1 para θ = 30º
O sea, sen 2 30º + cos2 30º = 1
En resumen, hasta aquí tienes ocho relaciones
trigonométricas de suma importancia que reciben
el nombre de Identidades Trigonométricas
Fundamentales:
Otras identidades trigonométricas
Los procedimientos algebraicos básicos y las relaciones
trigonométricas fundamentales son, las herramientas
principales para simplificar expresiones trigonométricas,
verificar identidades trigonométricas o resolver
ecuaciones trigonométricas. Estos tres ejercicios típicos
son importantes porque la mayoría de los problemas de
aplicación de la trigonometría requieren la resolución de
al menos uno de ellos.
¿Cómo son las razones que aparecen a la par?
Puedes ver que:
sen
sen
1
csc
csc
cos
= 1 = 1 ( )
2
sec
sec
cos
= 1 = 1
tan ( 3
) cot
cot
tan
Éstas son las funciones recíprocas.
y
x

29. UNIDAD 5
Ejemplo 1
Simplifica la expresión trigonométrica cos θ sec θ .
Solución:
Utiliza una identidad trigonométrica de manera que la expresión original se transforme
en otra más simple. Recuerda que:
sec
Segundo Año - Matemática 83
= 1 , sustituyendo esta identidad en la expresión original tienes:
cos
cos sec cos .
cos
cos
cos
= 1 = =
1 De manera que cos θ sec θ = 1
Ejemplo 2
Simplifica la expresión trigonométrica
csc
sec
x
x
Solución:
Sabes que csc x
= 1
sen x
y sec
= 1
cos
x
x
; sustituyes en la expresión original y
obtienes:
csc
sec
1
1 de manera que es válida la igualdad
cos
cos
cot
x
x
sen x
x
x
sen x
= = = x
csc
sec
cot
x
x
= x
En el siguiente ejemplo, el procedimiento de simplificación es más extenso, sin
embargo las herramientas que se utilizan son las mismas.
Ejemplo 3
Simplifica la expresión trigonométrica ( cos )
sen
+ −
−
cot sen
cos
2 1

30. UNIDAD 5
sen
+ −
−
2 1 2 + + −
(sen 2 + 2 ) + 2sen
− 1
1 2 1
2
sen
sen
sen
2 1
2
2
Por tanto, verificas que la expresión
2sen cos cos
2 1
cos
= ( )
2 2
+
−
−
( cos )
cot cos
84 Matemática - Segundo Año
sen
sen
2 1
es igual a la expresión 2 tan2 θ.
Solución:
( sen
cos )
cot sen
cos
=
−
sen
sen
cos
cos
cos cos
cos
=
sen
sen
sen
−
=
+ −
cos
cos
cos
−
= ( )
sen sen
2
cos
cos −
=
−
sen
sen
sen
2
2
2
2
cos
cos
cos cos
=
( − )
=
2
1
2
2
2
2
2
sen
sen
cos
cos
cos
(sen
sen
sen
=
+ cos )
−
−
cot cos c
os
tan
Efectúas el producto notable en el numerador y
sustituyes en el denominador cot θ por
cos θ
sen θ
.
Sustituyes en el numerador a sen2 θ + cos2 θ por 1 y
en el denominador efectúas la diferencia.
Reduces términos semejantes en el numerador de
la fracción compleja y efectúas el producto de los
extremos y medios.
Multiplicas en el numerador y denominador
por sen θ
Factorizas en el denominador aplicando
factor común.
Cancelas el factor cos θ y sustituyes 1– sen2 θ por
cos2 θ
Simplificas cos θ y sustituyes 1 – sen2 θ
Sustituyes
sen θ
cos θ
por tan θ
Otra aplicación de las relaciones trigonométricas es la verificación de las identidades. Una
identidad es una igualdad que se cumple para todo valor en el dominio de las funciones
involucradas. Para verificar las identidades lo más frecuente es iniciar con un lado de la
igualdad y, mediante un procedimiento algebraico válido, transformarlo en la expresión del
otro lado.
Ejemplo 4
Verifica la identidad trigonométrica tan θ cot θ = 1
Solución:
Puedes simplificar el lado izquierdo de la igualdad hasta obtener la expresión del lado
derecho.
tan cot Sustituyes tan =
= 1
sen
cos
cot
cos
cos
cos
y =
sen
sen
sen
= 1
Cancelas los factores iguales
=
1 1 Obtienes que la igualdad se cumple
La identidad ha sido verificada.

31. UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 85
Ejemplo 5
Verifica la identidad trigonométrica cos A tan A = sen A
Solución:
cosA tan A = sen A Sustituyes tan A = sen A
A
A
sen A
A
sen A Can
cos
cos
cos
= celas el factor cos A
sen A = sen A Se verifica la identidad
Ejemplo 6
Verifica la identidad trigonométrica cot x cos x + sen x = csc x.
Solución:
cot x cos x + sen x = csc x Sustituyescotx
x
sen x
x
sen x
x sen x
=
+ =
cos
cos
cos csc
cos
x Multiplicas
x
sen x
sen x
2
+ = csc x Efectuas la suma
Sustit
cos
csc
2x sen 2x
sen x
x
+
= uyes cos 1
csc
2 2
1
x sen x
sen x
x
+ =
= Sustituyes
1
sen x
x
x
=
=
csc
csc csc x Se verifica la identidad
Ahora observa cómo se resuelve el problema planteado al inicio de esta lección.
De la figura BCA + = 180º . Luego BCA = 180º − . Además, PA ⊥AC , ya que
el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Luego, PC bisecta a
−
∠º
BCA , por lo que PCA = BCA =
= º
−
1
2
180
2
90
2
Como el triángulo PAC es rectángulo, ya que A = PCA =
r
d
90º tan , de donde
d
r
PCA
=
tan
cot
cot 90
=
= −
d r PCA
d r º
2
Y como cot 90º tan
2 2
−
=
, entonces d = r tan
2
Una aplicación de esta identidad es:
Dos autopistas se encuentran a un ángulo de 34°. El bordillo debe unirse a los puntos A y B
localizados a 45 pies del comienzo de la intersección.

32. UNIDAD 5
a) Aproxima el radio del arco que une A y B.
b) Determina la longitud del arco.
Solución:
Considera la fórmula que acabas de encontrar:
d = r tan
86 Matemática - Segundo Año
Q
P
R
M N
( − ) = + ( −
)
Ejemplo 7
Calcula el valor exacto de sen
7
12
Solución:
Recuerda que, hasta ahora, sólo se conoce el valor exacto
de las funciones trigonométricas para
π π π π
3 4 6 2
, , , ,
por lo tanto debe expresarse
π
en términos de ellos,
7
12
como
7
4 3
12
+ = . Utilizando la fórmula del seno
para la suma de ángulos obtienes:
sen
7
12
sen
sen
4 3
4
= +
=
3 4 3
+
. cos cos
sen
Fórmulas para la suma y la diferencia
de ángulos
Además de las relaciones trigonométricas ya
mencionadas, existen algunas expresiones que involucran
la suma o diferencia de ángulos: sen(α + β), cos(α + β),
tan(α + β), sen(α – β), cos(α – β) y tan(α – β). Para ello es
necesario conocer las equivalencias de estas expresiones.
Considera los ángulos α y β, tales que el ángulo α + β
se representa en posición estándar en la figura dada. Se
consideran los ángulos, α, β y α + β en el I cuadrante,
pero el resultado es válido para cualquier α y β. Para este
ángulo (α + β), se puede seleccionar cualquier punto P
sobre su lado terminal de B y a Q sobre el lado terminal de
α, tales que PQ ⊥ OQ . Además considera PM ⊥ OX ,
QN ⊥ OX . Sea el punto R en PM tal que QR ⊥ PM .
Como en los ángulos NOQ y MPQ son ángulos agudos
de lados perpendiculares, de acuerdo con la construcción,
se concluye que: mfNOQ = mfMPQ = α. Recuerda que
en notación de ángulos, m significa medida y f significa
ángulo.
Observa la figura y de acuerdo con ella, analiza la
siguiente justificación:
Como PM = PR + RM y RM = QN
sen
PM
OP
PR QN
OP
PR
OP
QN
OP
( + ) = =
+
= +
= +
=
PR PQ
OP PQ
QN OQ
OP OQ
.
.
.
.
PR PQ
PQ OP
QN OQ
OQ OP
.
.
.
.
+
2
en este ejemplo, d =45 pies y θ = 34º.
Debes determinar r, r
= d
tan
2
r
pies
º pies se lee aproxi = 45
34
2
147 19
tan
 . ( madamente)
Es decir sen (α + β) = sen α . cos β + cos α . sen β.
Para encontrar la expresión para sen(α – β), se procede de
la siguiente forma:
sen sen
sen
= cos . (− ) + sen
(− )
= − +
sen sen
. cos
cos . . cos
. cos cos .
= sen − sen
Esto, debido a que sen (–x) = – sen x, cos (–x) = cos x.
Entonces: sen(α – β) = sen α . cos β – cos α . sen β
En forma análoga se puede obtener la expresión para
cos(α + β) y para cos(α – β).
cos(α + β) = cos α . cos β – sen α . sen β
cos(α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β

33. UNIDAD 5
1. Usando identidades trigonométricas determina:
Resumen
= 1 = 1
se
Segundo Año - Matemática 87
a) sen 75º
b) cos
2
3
π rad
c) tan
5
6
π rad
2. Comprueba para valores de ángulos internos α, β, γ de un
triángulo no rectángulo, que ,
para calcular esos valores, se aplican las identidades.
Ahora sustituyes los valores que ya conoces para las
diferentes funciones trigonométricas y simplificas la
expresión:
2
1
2
3
2
6
2 +
. + . = + =
6
2
2
2
2
4
4
4
de
donde el valor exacto de sen
7
12
es
+
2 6
4
.
Ejemplo 8
Calcula el valor exacto de cos 15º
Solución:
En igual forma, se expresa 15º en términos de ángulos
cuyos valores para las funciones trigonométricas se
conozcan: 15º = 45º – 30º
cos 15º = cos (45º – 30º) = cos45º cos30º + sen45º sen30º
Se sustituyen los valores de las diferentes funciones
trigonométricas y se simplifica la expresión:
2
1
+ 2
3
= 2
+ 6
2 +
6
. . =
2
2
2
2
4
4
4
Ejemplo 9
Calcula el valor exacto de tan
5
12
Solución:
En la misma forma, se descompone
π
en términos
5
12
de
π π
6 4
y como
= + , luego se utiliza la
5
12 6 4
fórmula para la suma de ángulos para la tangente y se
obtiene:
5 tan
12 6 4
6
tan tan
= +
=
+ tan
tan .tan
4
1
6 4
−
al sustituir los valores de las funciones trigonométricas y
simplificar la expresión obtienes:
3
3
1
1
3
3
1
3 3
3 3
6 3 12
6
2 3
+
−
=
+
−
=
+
= +
.
Actividad 1
Por lo tanto, tan
5
12
2 3
= +
Estas son las identidades que has estudiado en esta
lección
1. sen
sen
o
= 1 = 1
csc
csc
2. cos
c
sec
cos
o
3. tan
cot
cot
tan
o
= 1 = 1
4. sen 2 + cos2 = 1
5. tan2 + 1 = sec2
6. 1 + cot 2 = csc2
7. sen ( + ) = sen . cos + cos .sen
8. sen ( − ) = sen . cos − cos .sen
9. cos( + ) = cos . cos − sen .sen
10. cos( − ) = cos . cos + sen .sen
11. tan
tan tan
tan tan
( + ) =
1 −

34. UNIDAD 5
Soluciones 1. c. 2. b. 3. a. 4. c.
POTENCIA DE UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA
88 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
Al escribir tan x cos x únicamente en términos de
sen θ, resulta:
a) sen2 x
b) 1
sen x
c) sen x
d) 1
sen 2x
4
El valor de sen 2 2 3
4
3
4
+ cos es:
a) 0
b) 1
c) 0.71
d) 0.87
2
La expresión cos 75º equivale a:
a) cos( 90º – 15º)
b) cos(90º + 15º)
c) 1
d) 0
Un ejemplo de identidad trigonométrica es: 3
a) cos 60º = 0.5
b) sen
2
= 1
c) tan
cos
= sen
d) cot = 3
5
1
Las aplicaciones de las identidades
trigonométricas se dan en muchas áreas del
conocimiento. Por ejemplo, en un circuito de
corriente alterna con reactancia, la potencia es:
P = Vmáx Imáx cos θ t sen θ t
Mediante identidades trigonométricas se
demuestra que: P
V ax
= sen t max Im
2
2
Donde:
P = potencia
V = voltaje
I = intensidad de la corriente

35. Ecuaciones trigonométricas
¿Qué es una ecuación trigonométrica?
Segundo Año - Matemática 89
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
1
2
Identificarás, resolverás y explicarás, con seguridad y confianza, ecuaciones
trigonométricas de una sola función.
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene
funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.
Si la ecuación trigonométrica es verdadera para
todo valor posible de los ángulos, se llama identidad
trigonométrica.
Por ejemplo la ecuación sen2 θ + cos2 θ = 1 es una
identidad, ya que, como lo puedes comprobar, es cierta
para todo valor del ángulo θ.
Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se
llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos
valores del ángulo.
Por ejemplo, la ecuación sen = 1
2
, es una ecuación
condicional:
es cierta para los valores
= 30º =
6
rad y
= 150º =
5
6
rad ,
en el intervalo [0, 2π]
Compruébalo en tu cuaderno.
Resolverás problemas, con perseverancia, utilizando ecuaciones
trigonométricas.
En un taller de mecánica industrial, se desea fabricar
una pieza como la que aparece a la derecha.
¿Cuáles deben ser los valores del ángulo θ para que la
pieza tenga las medidas que se indican?
Este problema sugiere la ecuación sen = 1
2
¿qué valores de θ cumplen con esta ecuación?
En esta lección aprenderás a calcular los valores del
ángulo que satisfacen ecuaciones con funciones
trigonométricas.
Lección 5
Al conjunto de números reales que satisfacen la
ecuación se denomina conjunto solución, el cual se
denota { por S. Así para el ejemplo anterior,
S = 5
,
} en [0, 2π].
6
6
Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad
de que la incógnita está relacionada con un ángulo.
Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes,
sin embargo, las soluciones, como números reales que
son, se expresarán en radianes, salvo que en el ejemplo o
ejercicio se especifique lo contrario.
Los métodos para resolver una ecuación trigonométrica
son similares a los utilizados para resolver ecuaciones
algebraicas. Igual que en la verificación de identidades
trigonométricas, con frecuencia se requerirá el uso de
algunas propiedades trigonométricas fundamentales.
En la solución de una ecuación de este tipo se debe
tomar en cuenta la periodicidad de las funciones
trigonométricas.

36. UNIDAD 5
Es muy importante recalcar que al resolver una ecuación
trigonométrica, es suficiente encontrar sus soluciones entre
0 y 2π. Luego, de acuerdo con el período de la respectiva
función, basta sumar a estas soluciones múltiplos de π ó 2π,
según corresponda al período de las funciones que contiene
la ecuación, para obtener las demás soluciones.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación 2cos θ – 1 = 0
Solución:
Al despejar el valor de cos θ de la ecuación, se tiene:
cos = 1
2
¿Para qué valores de θ, el coseno de θ es igual a
90 Matemática - Segundo Año
1
2
? De
los triángulos básicos de las funciones trigonométricas, o por
calculadora, obtienes: cos
3
1
2
= , es decir,
=
3
es
solución de la ecuación dada. Además, como la función cos x
es positiva en el primero y en el cuarto cuadrante, y
=
3
pertenece al primer cuadrante, la ecuación
tiene otra solución en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de
referencia es
π
3
, esta solución sería
= 2 − =
3
5
3
Con esto, las únicas soluciones de la ecuación cos = 1
2
en el intervalo [0, 2π], son
=
3
y
= 5
3
; es decir, el
conjunto solución de la ecuación es: S = { 5
,
} 3
3
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación tan θ = – 1 en [0, 2π]
Solución:
Para resolver la ecuación tan θ = – 1, lo primero que debes
notar es que las soluciones que se buscan se ubican en el
segundo y cuarto cuadrante, pues la tangente es negativa en
esos dos cuadrantes. De los triángulos básicos se sabe que
tan
4
= 1 y por ello
=
4
corresponde al ángulo de
referencia para las soluciones.
La solución cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante
y tiene ángulo de referencia
=
4
es
− =
3
4
4
. Falta encontrar el ángulo
que se encuentra en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de
referencia es
π
4
, este es 2
4
7
4
− = .
Así, el conjunto solución de la ecuación tan θ = – 1 en el
3
7
intervalo [0, 2π[ es S = { ,
} 4
4
1
1
2
1
3
2
y
x
5
3
-1 3 1
y
2
0
0
3
4
7
4

37. UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 91
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación 2sen + 3 = 0
Solución:
Al despejar sen θ de la ecuación, se tiene: sen = − 3
2
Para resolver esta ecuación, primero debes notar que las
soluciones que se buscan se ubican en el tercer y cuarto
cuadrante, pues sen x es negativa en esos cuadrantes. De
la tabla de valores para las funciones trigonométricas,
sabes que sen
3
3
2
= y por ello
=
3
corresponde
al ángulo de referencia. La solución cuyo lado terminal
está en el tercer cuadrante con este ángulo de referencia
es
+ =
4
3
3
. Falta encontrar el ángulo que se
encuentra en el cuarto cuadrante con ese mismo
ángulo de referencia, este es 2
3
5
3
− = .
Así, las soluciones de la ecuación 2sen + 3 = 0 , en
el intervalo [0, 2π], son
= 4
3
y
= 5
3
.
El conjunto solución de la ecuación dada es:
S = { 4
5
,
} 3
3
2
Ejemplo 4
Resuelve la ecuación sen θ tan θ = sen θ en el intervalo
[0, 2π]
Solución:
La ecuación dada es equivalente a la ecuación
sen θ tan θ – sen θ = 0. Factorizando obtienes:
sen θ(tan θ – 1) = 0
Las soluciones de esta ecuación corresponden a las
soluciones de las ecuaciones
sen θ = 0 y tan θ – 1 = 0.
Las soluciones de sen θ = 0, en el intervalo[0, 2π] son
θ = 0 y θ = π
Para resolver la ecuación tan θ = 1, se obtiene primero
la solución
=
4
en el
primer cuadrante, y como la tangente es positiva en
el primer y tercer cuadrante, falta encontrar el ángulo
que se encuentra en el tercer cuadrante cuyo ángulo
de referencia es
π
4
, este es
+ =
4
5
4
Así, las soluciones de la ecuación tan θ = 1, en el intervalo
[0, 2π] son
π 5
π
y
4
4
y
x
5
4
-1 4 1
En conclusión, el conjunto solución de la ecuación
dada se obtiene de la unión de las soluciones de las dos
ecuaciones {anteriores, es decir,
S = 5
0 , , ,
}
4
4
y
0
0
4
3
5
3
1
−
3
2
2

38. UNIDAD 5
¿Cómo encuentras una solución sin restricciones?
El hecho de poner un intervalo donde deben estar las soluciones es una restricción
sobre ellas; el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 sin poner restricciones es
sin duda, S = {– 2, 2}; sin embargo, el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 en el
intervalo ]– ∞, 0] es S = {– 2}.
Observa que, como la función sen x, tiene período 2π y la función tan x tiene período π,
el conjunto solución del ejemplo anterior si no se pide la solución restringida al
intervalo [0, 2π], es S = {k + k con k Z }
= 0 ,
cos ,
cos ,
Todas las soluciones de la ecuación dada corresponden a los ángulos coterminales a
θ = 0 y a θ = π, que se pueden escribir como el conjunto solución S ={kπ, con k ∈ Z}.
Ejemplo 6
Resuelve la ecuación 2 sen (4 ) − 1 = 0 , en el intervalo[0, 2π].
Solución:
Despejas el valor de sen (4θ) de la ecuación, y tienes: sen 4
92 Matemática - Segundo Año
1
2
( ) = .
¿Cuál es el ángulo x tal que sen x = 1
2
?
Se cumple para x = + k
4
2 , y x = 3 + k
4
2
.
, ,
4
.
Nota además que en este conjunto solución encuentras incluidas las soluciones
particulares 0, π
π 5
π
, ,
4
4
, que se obtienen dando a k los valores de 0 y 1.
Ejemplo 5
Halla el conjunto solución de la ecuación cos2 θ = cos2θ
Solución:
¿Recuerdas la identidad trigonométrica cos 2 θ = 2 cos2θ – 1?
Sustituyes cos 2 θ en la ecuación y tienes:
cos cos –
cos cos
2 2
2 2
2 1
2
=
− + 1 0
1
= Igualas a cero
− cos
( cos
2 0
1
= Reduces términos semejantes
− ) (1 + cos ) = 0 Descompones en factores
1 0
1
− =
=
1 + cos = 0 Igualas a cero cada factor
cos = − 1 Despejas cos
= Resuelves para

39. UNIDAD 5
= , y
Segundo Año - Matemática 93
= + k y 4
2
Sustituyes x = (4θ) y obtienes 4
4
3
4
2
= + k
Al dividir por 4 los valores de θ son:
= +
16 2
k y
k
= 3 +
16 2
Si tomas los valores para k = 0, 1, 2, 3, las soluciones son:
π 3
π 9
π 11
π 17
π 19
π 25
π
27
π
, , , , , , ,
16
16
16
16
16
16
16
16
que corresponden a los ángulos en
[0, 2π[. Compruébalo en tu cuaderno.
Fíjate que en el ejemplo anterior la función sen4θ tiene un período de 2
4 2
así, la función completa 4 períodos en el intervalo [0, 2π]. En cada período se tienen 2
soluciones y como son 4 períodos, se obtienen 8 soluciones en total.
Ejemplo 7
Resuelve 3 sen θ = 2 cos2 θ. Expresa la solución en grados y radianes.
Solución:
Al usar la identidad fundamental cos2 θ = 1 – sen2 θ, la ecuación dada se transforma en la
ecuación: 3 sen θ = 2(1 – sen2 θ) = 2 – 2 sen2 θ. Así, 3 sen θ = 2 – 2 sen2 θ.
Resuelves esta ecuación y tienes:
2sen 2 + 3sen − 2 = 0 Transponiendo terminos
sen =
− ± 2
− ( )(− )
3 3 4 2 2
( )
2 2
Fórmula cuadrática para despejarsen
− 3 ±
5 = 1
=
4
2
sen luegosen ysen
=
− 2
Para resolver la ecuación sen = 1
2
buscas el ángulo
de referencia, el cual es
π
6
ó 30º, y trasladas este
ángulo a los cuadrantes donde la función sen x es positiva (I y II).
Así, las soluciones en [0º, 360º[ son
= = º
6
30
= = º 5
6
150
La ecuación sen θ = – 2 no tiene soluciones pues el
sen x sólo toma valores entre – 1 y 1 y por ello, ningún valor θ cumple con la ecuación
sen θ = – 2.
El conjunto solución es { 5
S = + 2
k
+ k
conk Z }
6
6
; 2 , que expresado
en grados corresponde al conjunto {30º + 360º k; 150º + 360º k, con k ∈ Z}

40. UNIDAD 5
Ejemplo 8
Resuelve la ecuación sen 2θ cos θ+ sen θ cos 2 θ = 0
Solución:
Usas las fórmulas del ángulo doble:
sen 2 θ = 2 sen θ cos θ y cos 2 θ = cos2 θ – sen2 θ
La ecuación dada es equivalente a:
(2sen θ cos θ) cos θ + sen θ (cos2 θ – sen2 θ) = 0
Factorizando obtienes la ecuación:
sen θ (2 cos2 θ + cos2 θ – sen2 θ) = 0
La cual es equivalente a sen θ (3 cos2 θ – sen2 θ) = 0.
Al usar la fórmula sen2 θ = 1 – cos2 θ, la última ecuación se
transforma en la ecuación sen θ (4 cos2 θ – 1) = 0. Luego
sen θ = 0 ó 4 cos2 θ – 1 = 0
Por último, se procede a resolver las dos ecuaciones.
Resuélvelas en tu cuaderno.
Ejemplo 9
En una ciudad, el número de horas de claridad D(t) en
cierto período del año se aproxima mediante la ecuación
D ( t ) = sen ( t − ) , en donde t está
2
365
3 +
79 12
en días y t = 0 corresponde al día 1 de enero. ¿Cuáles días
del año tienen exactamente 10.5 horas de claridad?
Solución:
Para responder a la pregunta planteada necesitas resolver
la ecuación:
3
( ) . −
2
365
+ =
79 12 10 5
sen t
3
− 9 1 5 ( )
2
365
7
sen t
= − .
Al dividir entre 3, esta ecuación resulta equivalente a la
ecuación:
sen t
( ) −
2
365
79
1
2
= −
94 Matemática - Segundo Año
(t − ) = ó (t − ) =
y
t
7
6
6
6
11
6
y
t
330º
210º
30º 30º
Si se llama
= 2 −
365
(t 79) la ecuación anterior se
escribe como sen = − 1
2
el ángulo de referencia
es
π
6
y las soluciones buscadas están en el tercer y
cuarto cuadrante (pues el seno es negativo es estos
cuadrantes)
La solución en el tercer cuadrante es
=
+ =
6
7
6
y la solución en el cuarto
cuadrante es
= 2 − =
6
11
6
, estos dos valores
corresponden a las soluciones en [0, 2π[. De esta manera,
se deben determinar los valores t tales que:
2
7
2
11
79
79
365
6
365
6

41. UNIDAD 5
El día 292 corresponde al 19 de octubre, el día
414 – 365 = 49 del año, que corresponde al 18 de febrero.
¿Por qué no se considera la segunda de las respuestas?
Resumen
(t − )= es equivalente a la
( )
( )
(t − ) = es equivalente a la
( )
( ) ; al simplificar y luego
1 Actividad
despejar el valor de t obtienes:
t = + 4015
12
79 414
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.
Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para
algunos valores del ángulo.
Para resolver una ecuación trigonométrica se usan los mismos principios que en una ecuación algebraica. Al
conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S.
Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo.
Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales
que son, se expresan en radianes, salvo que se especifique lo contrario. A veces, es necesario aplicar alguna
identidad que permita despejar la variable de interés.
Segundo Año - Matemática 95
La ecuación 2
365
79
7
6
ecuación t − 79 =
7 365
6 2
; si simplificas y luego
despejas el valor de t = + 2555
12
79 292
La ecuación 2
365
79
11
6
ecuación t − 79 =
11 365
6 2
1. Determina las soluciones de la ecuación cos x = − 2
2
.
2. Determina las soluciones de las ecuaciones:
a) sen x = − 1
2
; b) tan θ = 1 en el intervalo [–π, π]
3. Encuentra las soluciones de la ecuación csc x = –14.07 en el intervalo [0, 2 π [
4. Resuelve la ecuación sen2x = sen x en el intervalo [0, 2 π [

42. UNIDAD 5
1 Al resolver 2cos θ = 0, la solución para θ es:
7
6
{ , }
7
4
{ , } d) {1.31, 2.63}
2 La solución de 2cos x = 3 es
96 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
3
2
{ , } c)
3
4
{ , }
5
3
{ , } c)
3
4
{ , }
11
6
{ , } d)
3
2
{ , }
1. c. 2. a. 3. a. 4. b.
Al igual que las identidades, las ecuaciones
trigonométricas se aplican en casi todas
las áreas del conocimiento. Por ejemplo,
el desplazamiento de un pistón puede
determinarse al sustituir los valores de π y t en
la ecuación d = sen π t + cos π t.
En dicha ecuación tenemos:
d = desplazamiento
π = velocidad angular
t = tiempo
Soluciones
Al resolver 3tan x = 3, las soluciones para x son:
a) {0.62 , 2.10} c)
6
b)
4
a)
2
2 4
{ , }
b) { , 0} d)
4
3
Al resolver cos 4
2
2
x = , las soluciones para x
son:
a) 11.25 , 191.25 {  }
b) 180 191 25   { , . }
c) 11.25 , 150.8 {  }
d) 45 315   { , }
a)
3
4
b)
6
2
4
DESPLAZAMIENTO DE UN PISTÓN

43. 4
2 8
Segundo Año - Matemática 97
Solucionario
Lección 1
Actividad 1: 2. 75 + 360 = 435º 75 + 2(360) = 795º
75 – 360 = – 285º 75 – 3(360) = –1005º
4. b) 180º – 150º = 30º d) 360º – 300º = 60º
Actividad 2: 1. a) sen 0º = 0 b) sen 90º = 1
j) tan 90º = ∞ o) cot 180º = –∞
Lección 2:
Actividad 1:
π
2
π
rad = 135º ; π rad = 180º, etc.
rad = 90º; 3
4
Actividad 2: 1. a)
d)
= c) −
3
1
3
1
2. a) A = 4 b) 2
2
=
−
C = −
B
y
x
-0.25
0
0
2
-1
-2
-3
0.5 1.5 2
y
0 x
0
2
-1
-2
-3
0.25 0.75 1.25 1.75 2.25

44. Lección 4
Actividad 1: b) Desarrollando cos
98 Matemática - Segundo Año
π
asi:
2
3
cos 2 = cos
3 3
+
= cos
π
3
cos
π
3
Solucionario
– sen
π
3
sen
π
3
c) Desarrollando tan 5
6
π asi:
= +
5
6 2 3
tan tan
tan tan
2 3
1
=
2 3
− tan tan
Lección 5
Actividad 1: 1. cos x = − 2
2
está asociado con un triángulo de referencia de
45º en el 2º y 3º cuadrante. Luego, las soluciones para x son
3
π 5
π
,
4
4
=
4
2. b) Como tan θ = 1, este valor corresponde a
rad y
7
π
rad, pero como este último valor cae fuera del
4
intervalo [–π, π], no forma parte de la solución, − 3
4
también es solución.
4. sen 2x = sen x; pero sen 2x = 2 sen x cos x, por lo que
2 sen x cos x = sen x; por lo que 2 sen x cos x – sen x = 0
y al factorizar: sen x (2 cos x – 1) = 0. Luego, sen x = 0,
lo que nos da x = 0, π, y 2 cos x – 1 = 0 nos da cos x =
1
2
lo que implica x =
π 5
π
3
3
, , por lo que x = 0, π,
π 5
π
,
3
3

45. Segundo Año - Matemática 99
Proyecto
La cooperativa pesquera de la playa El Cuco, con el apoyo del Servicio
Meteorológico, determina que la marea sobre su nivel medio está dada por la
expresión y = 2.1 cos 0.45 t, donde y está dado en metros y t en horas, para fines de
hacerse a la mar, los pescadores están interesados en averiguar:
a) La altura de la marea a las 9:30 a.m y a las 2:50 p.m.
b) A qué horas la altura sobre el nivel medio es de 2.5 m
c) Trazar dos periodos de la gráfica.
Ayúdale a los pescadores a resolver esta situación.
Nota: considera t = 0 a las 6:00 a.m por lo que se comienza con 2.1 metros, ya que
y = 2.1 cos(0.45)(0) = 2.1 cos 0 = 2.1

46. 100 Matemática - Segundo Año
Recursos
BARNETT, Raymond, Álgebra y trigonometría. Editorial Mc Graw Hill,
tercera edición, Colombia, 1990
FLEMING, Walter y Varberg, Dale. Álgebra y trigonometría con geometría
analítica. Editorial Prentice Hall, tercera edición, México, 1991
JURGENSEN, Ray; Donnelly, Alfred y Dolciani, Mary, Geometría moderna.
Editorial Publicaciones Cultural, tercera reimpresión, México, 1972
http://www.youtube.com/watch?v=pslHAPjZNv0
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sinusoidal

47. UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 101
Colofón

48. UNIDAD 5
102 Matemática - Segundo Año