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Equazioni di 2° grado
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Equazioni di 2° grado

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Teoria con esempi di equazioni di secondo grado

Teoria con esempi di equazioni di secondo grado

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  • 1. Equazione di 2° grado Creato da: Rosangela Mapelli Licenza Cretive Commons: Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere i derivati sotto la stessa licenza.
  • 2.
    • Si chiama equazione di 2° grado un polinomio in x di grado due posto uguale a zero, del tipo ax² + bx + c = 0 , con a diverso da zero , altrimenti l’equazione sarebbe di 1° grado.
    • Esempi di equazioni di secondo grado
    • x 2 - 3x = 4 4x 2 - 1= 0 3x 2 - 2x + 4 = 0
    prof. Mapelli Rosangela
  • 3. Cosa significa risolvere un’equazione?
    • Risolvere un’equazione significa trovare gli eventuali valori numerici che assegnati all’incognita rendono l’equazione un’uguaglianza sempre vera.
    • Questi valori vengono detti soluzioni o radici dell’equazione.
    prof. Mapelli Rosangela
  • 4. Soluzioni di un’equazione di secondo grado
    • Un’equazione di secondo grado può avere:
    • 1) due soluzioni reali distinte
    • 2) due soluzioni reali coincidenti
    • 3) nessuna soluzione
    • 4) infinite soluzioni
    Equazione determinata Equazione impossibile Equazione indeterminata prof. Mapelli Rosangela
  • 5. Per trovare la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado completa occorre manipolarla algebricamente fino a trasformarla in un’equazione del tipo: (Ax+B) 2 =C In questo modo basterà estrarre la radice quadrata di ambo i membri dell’equazione prof. Mapelli Rosangela
  • 6. Equazioni Incomplete Se manca il termine di primo grado o il termine noto o entrambi l’equazione si dice incompleta Le equazioni incomplete si suddividono in:
      • Spurie: c = 0
      • Pure: b = 0
      • Monomie: b = c= 0
    prof. Mapelli Rosangela
  • 7. Equazioni Spurie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine noto, c=0, e l’equazione assume la forma: ax²+bx=0 si dice equazione spuria. Si risolve raccogliendo a fattor comune: x(ax+b)=0, si applica la legge di annullamento del prodotto e si trova: 1ª soluzione x=0 2ª soluzione ax+b=0 --> x=-b/a !!! Possiamo concludere che un’ equazione spuria è sempre determinata , e una soluzione è sempre x=0 Esempio prof. Mapelli Rosangela
  • 8. Equazioni Pure Esempio prof. Mapelli Rosangela Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado, cioè b=0, e l’equazione assume la forma ax²+c=0 si chiama equazione pura . L’equazione pura ammette 2 soluzioni opposte con se a e c sono discordi Non ammette soluzioni se a e c sono concordi
  • 9. Equazioni Monomie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado e il termine noto, cioè b=c=0, e l’equazione assume la forma ax²=0 e si chiama equazione monomia . L’equazione monomia ammette sempre 2 soluzioni entrambe x =0 Esempio prof. Mapelli Rosangela
  • 10. Equazioni Complete Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale o canonica se è del tipo ax 2 +bx+c=0 con a , b e c reali e a≠0 es. 3x 2 +2x-5=0 con a=3, b=2 e c=-5 a è detto coefficiente del termine di 2° grado, b è detto coefficiente del termine di 1° grado, il terzo termine è detto termine noto Se una equazione non è scritta in forma normale la prima cosa da fare è quella di riportarla in tale forma attraverso operazioni e passaggi tra i due membri dell’uguaglianza Esempio : 4x-2=3(x 2 –x)↔ 4x-2=3x 2 –3x↔ -3x 2 +7x-2=0 prof. Mapelli Rosangela
  • 11. Troviamo la formula risolvente Partendo dall’equazione completa ax 2 +bx+c=0 Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per 4a 4a ax+ 4a bx+ 4a c=0 Sommiamo b 2 ad ambo i membri: 4a 2 x 2 +4abx+4ac+ b 2 = b 2 Trasferiamo 4ac al secondo membro 4a 2 x 2 +4abx+b 2 = b 2 - 4ac prof. Mapelli Rosangela
  • 12. Ora il 1° membro dell’equazione è il quadrato di un binomio, infatti: 4a 2 x 2 +4abx+b 2 = (2ax+b) 2 L’equazione diventa quindi: (2ax+b) 2 = b 2 -4ac Estraendo la radice quadrata di ambo i membri, si ottiene: Ricavando la x si ottiene la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado!!! prof. Mapelli Rosangela
  • 13. Formula Risolutiva Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta Che si può anche esprimere Le soluzioni (radici) dell’equazione di secondo grado si ricavano dalla formula: N.B. La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete Dove  viene chiamato discriminante ed è: prof. Mapelli Rosangela
  • 14. Discriminante
    • Se Δ >0 le soluzioni sono 2 e distinte
    • Se Δ =0 le soluzioni sono 2 coincidenti
    • Se Δ <0 le soluzioni non esistono
    Si chiama discriminante di una equazione di 2° grado, e si indica con Δ (delta) , il numero b 2 -4ac Δ ha un’importanza fondamentale nella ricerca delle radici di una equazione di secondo grado infatti: !!!!!! Se i coefficienti a e c dell’equazione di secondo grado sono discordi il discriminante è sicuramente positivo ( non vale il viceversa ) prof. Mapelli Rosangela
  • 15. Esempio 1-  > 0 prof. Mapelli Rosangela
  • 16. Esempio 2 -  = 0 !!!!! Quando il  = 0 l’equazione è il quadrato di un binomio, nel nostro caso: prof. Mapelli Rosangela
  • 17. Esempio 3-  < 0 prof. Mapelli Rosangela
  • 18. Esempio 4 – formula ridotta prof. Mapelli Rosangela
  • 19. Equazioni frazionarie Nelle equazioni frazionarie , una volta ridotte a forma normale per eliminare i denominatori bisogna porre le condizioni di esistenza (C.E.). E’ necessario confrontare le radici trovate con le condizioni di esistenza cioè con i valori che annullano il m.c.m. dei denominatori. Se entrambe le radici sono da scartare, l’equazione è impossibile prof. Mapelli Rosangela
  • 20. Esempio 6 – equazione fratta prof. Mapelli Rosangela
  • 21. A cura di Rosangela Mapelli www.nonsolomatematica.it prof. Mapelli Rosangela Fine

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