Testes parametricos e nao parametricos

Testes Estatísticos Testes paramétricos e não paramétricos Rosário Cação rosario@evolui.com Março 2010 1

Índice 1. Princípios básicos dos testes estatísticos 2. Testes paramétricos e não paramétricos 3. Testes paramétricos 4. Testes não paramétricos 2

1. PRINCÍPIOS BÁSICOS DE TESTES ESTATÍSTICOS 3

1. Princípios Básicos de Testes Estatísticos Intervalos de Ao combinar a dimensão da amostra com a sua variabilidade, confiança gera-se um intervalo de confiança para a média da população. Níveis de confiança • Como se interpreta um intervalo de confiança? Tipos de erros • Se assumirmos que a amostra foi aleatoriamente seleccionada de uma população que segue uma distribuição normal, então, com 95% de confiança, Testes podemos dizer que o intervalo de confiança inclui a estatísticos média da população. 4

1. Princípios Básicos de Testes Estatísticos Intervalos de Com base nos intervalos de confiança, podem ser calculados confiança intervalos de confiança para a diferença das médias dos grupos. Podem ainda ser criados intervalos de confiança para Níveis de proporções, rácios, o declíve de uma regressão linear ou confiança outro qualquer parâmetro estatístico. Tipos de erros Testes estatísticos 5

1. Princípios Básicos de Testes Estatísticos Intervalos de A maioria dos intervalos de confiança são calculados para confiança 95% mas também podem ser utilizados outros níveis de confiança. Níveis de confiança Se se pretende um nível de confiança maior, i.e., se se quer mais confiança de que um intervalo contém o parâmetro real, Tipos de erros então o intervalo tem de ser maior. Assim sendo, os intervalos de confiança a 99% são mais amplos que os de 95% e os de Testes 90% são mais estreitos que os de 95%. estatísticos 6

1. Princípios Básicos de Testes Estatísticos Intervalos de Intuitivamente, somos levados a dizer que um p-value de confiança 0.01 seria estatisticamente mais significante do que um p- value de 0,005, mas tal não é correcto. A partir do momento Níveis de em que é definido o nível de confiança, todos os resultados confiança são ou ‘estatisticamente significantes’ ou ‘estatisticamente não significantes’. Tipos de erros No entanto, há autores que fazem uma distinção do grau de significância e utilizam simbolos para o fazer mas estas denominações e notações não estão estandardizadas. Testes estatísticos Por exemplo: P value Descrição Notação >0.05 Não significante ns 0.01 to 0.05 Significante * 0.001 to 0.01 Muito significante ** < 0.001 Extremamente significante *** 7

1. Princípios Básicos de Testes Estatísticos Intervalos de Tipos de erros: confiança Hipótese verdadeira Níveis de Ho H1 confiança Decisão do Rejeita Ho Erro do tipo I ✔ Tipos de erros teste Não rejeita Ho ✔ Erro do tipo II Testes P (erro do tipo I) =α estatísticos Tamanho do teste ou nível de significância: α = P (erro do tipo I) = P (rejeitar Ho | Ho verdadeiro) P (erro do tipo II) = β Potência do teste = 1- β = 1 - P (erro do tipo II) = P (rejeitar Ho | H1 verdadeiro) 8

1. Princípios Básicos de Testes Estatísticos Intervalos de • Os testes estatísticos procuram confirmar se uma confiança determinada hipótese (Ho) pode ser rejeitada. Níveis de • Os testes podem ser bilaterais ou unilaterais: confiança • Nos testes bilaterais: Tipos de erros • A hipótese nula (Ho) inclui sempre o sinal de igual • A hipótese alternativa (H1) inclui sempre o sinal Testes de desigual estatísticos • Nos testes unilaterais: • A hipótese nula (Ho) inclui o sinal de maior ou igual • A hipótese alternativa (H1) inclui o sinal oposto 9

1. Princípios Básicos de Testes Estatísticos Intervalos de Testes bilaterais versus unilaterais: confiança • Num teste t, o p-value é calculado para a hipótese nula Níveis de das duas populações terem médias iguais e que qualquer confiança discrepância que exista entre duas amostras é arbitrária. Tipos de erros • O p-value nos testes unilateriais é duas vezes o p-value dos testes bilaterais. Testes • Os testes unilaterais são apropriados quando se pode estatísticos afirmar com certeza (mesmo antes de recolher dados), que ou não haverá diferença entre as médias, ou a diferença é no sentido que se especifica. Caso contrário, devem usar-se testes bilaterais, que geralmente são aconselhados. 10

2. TESTES PARAMÉTRICOS E NÃO PARAMÉTRICOS 11

2. Testes Paramétricos e Não Paramétricos Existem dois tipos de testes: • Os testes paramétricos (também chamados testes t): • Exigem que a(s) amostra(s) tenha(m) uma distribuição normal, especialmente se tiverem uma dimensão inferior a 30. • Nas amostras de dimensão superior a 30, a distribuição aproxima-se da distribuição normal e também se aplicam os testes t. • Os testes não paramétricos: • Não necessitam de requisitos tão fortes, como a normalidade, como os testes paramétricos, para serem usados. São também indicados quando as amostras são pequenas. • São usados quando a amostra tem uma distribuição que não é normal ou quando, apesar da amostra ter uma dimensão superior a 30, se opta por conclusões mais conservadoras. • A desvantagem destes testes é que não são tão potentes quanto os testes paramétricos, ou seja, com os testes não paramétricos não se encontram tantas diferenças entre os dados, quando essas diferenças realmente existem. 12

2. Testes Paramétricos e Não Paramétricos • Os testes paramétricos pressupõem a normalidade em amostras de dimensão igual ou inferior a 30. Nas amostras de dimensão superior, a distribuição aproxima-se da distribuição normal e também se aplicam os testes t. • Quando não se pode pressupor a normalidade recorre-se aos testes não paramétricos. Paramétricos Não paramétricos Distribuição assumida Normal Qualquer uma Variância assumida Homogénea Qualquer uma Tipo de variáveis De intervalo ou rácio Ordinal ou nominal normalmente usadas Relação entre os dados Independentes Qualquer uma Medidas de localização Média Mediana central normalmente usadas 13

2. Testes Paramétricos e Não Paramétricos Tipo de dados Ordem, resultado ou Binomial (dois Medida (de medida (de Tempo de Objectivo resultados populações normais) populações não sobrevivência possíveis) normais) Mediana e amplitude Curva de sobrevivência Descrever um grupo Média e desvio padrão Teste de proporção inter-quartil de Kaplan Meier Teste para uma só Teste do chi- Comparar um grupo a Teste de amostra (one-sample t quadrado ou teste um valor hipotético Wilcoxon test) binomial Teste para duas Teste de Fisher ou o Comparar dois grupos amostras Teste de Teste de Log-rank ou chi-quadrado de independentes independentes Mann-Whitney Mantel-Haenszel amostra grande (Unpaired t test) Teste para amostras Comparar dois grupos Conditional proportional emparelhadas (Paired t Teste de Wilcoxon Teste de McNemar emparelhados hazards regression test) Comparar dois ou mais Regressão de Cox (Cox One-way ANOVA Teste de Kruskal-Wallis Teste do chi-quadrdo grupos independentes proportional hazard) Regressão condicional Comparar dois ou mais Repeated-measures proporcional (conditional Teste de Friedman Cochran Q** grupos emparelhados ANOVA proportional hazards regression) Quantificar a Correlação de Coeficientes de associação entre duas Correlação de Pearson Spearman contigência ** variáveis Prever valores apartir Regressão linear Regressão não Regressão logística Regressão de Cox (Cox de outra variável simples ou regressão paramétrica simples proportional hazard) medida não linear Prever valores apartir Regressão linear Regressão logística Regressão de Cox (Cox de várias variáveis múltipla múltipla proportional hazard) binomiais ou medidas 14

2. Testes Paramétricos e Não Paramétricos Testar a normalidade: Como os testes paramétricos pressupõem a normalidade em amostras de dimensão igual ou inferior a 30, pode ser necessário testar se a amostra tem uma distribuição normal. Para testar a aderência à normalidade, i.e., para testar se a amostra se pode pressupor normal, podem-se usar dois testes: • Teste de Kolmogorov-Smirnov com correcção de Lilliefors • Teste de Shapiro-Wilks 15

2. Testes Paramétricos e Não Paramétricos • Tipos de testes paramétricos: • Testes t: • Teste para duas amostras independentes (teste t e testes t simultâneos) (unpaired t test) • Teste para duas amostras emparelhadas (paired t test) • Teste para uma só amostra (one sample t test) • Testes ANOVA (I e II) • Os testes ANOVA (analysis of variance) diferencia-se dos testes t porque os testes t só podem ser usados para testar diferenças entre duas situações para uma variável. Os testes ANOVA podem ser usados para testar diferenças entre diversas situações e para duas ou mais variáveis. 16

2. Testes Paramétricos e Não Paramétricos • Tipos de testes não paramétricos: • Testes para amostras emparelhadas: • Teste do sinal • Teste de McNemar • Teste Q de Cochran • Testes de Wilcoxon • Teste de Friedman • Testes para amostras independentes: • Teste de Mann-Whitney • Teste de Kruskal-Wallis • Teste de Wald-Wolfowitz ou teste de aleatoriedade da amostra • Teste de Moses para reacções extremas • Outros testes: • Teste binomial • Teste de ajustamento do Qui-Quadrado • Teste de independência do Qui-Quadrado • Teste de Fisher 17

3. TESTES PARAMÉTRICOS 18

3. Testes Paramétricos Testes t Testes para amostras independentes: Para amostras independentes • A comparação das médias é feita entre os casos de Para amostras uma variável numa das amostras com os casos emparelhadas dessa variável na outra amostra (teste t) • A comparação das médias é feita entre os casos de Para uma um grupo de variáveis numa das amostras com os amostra casos dessa variável na outra amostra (testes Testes ANOVA simultâneos) ANOVA I ANOVA II Exemplo: Testar se o rendimento médio dos homens é semelhante ao das mulheres (teste de uma só variável) ou testar se o rendimento médio e os gastos médios são semelhantes entre homens e mulheres (testes simultâneos). Teste t Testes simultâneos Ho: UR homens = UR mulheres Ho: UR homens = UR mulheres Ho: UG homens = UG mulheres H1: UR homens ≠ UR mulheres H1: UR homens ≠ UR mulheres H1: UG homens ≠ UG mulheres Sendo UR o rendimento médio Sendo UR o rendimento médio Sendo UG os gastos médio 19

3. Testes Paramétricos Testes t Testes para amostras emparelhadas: Para amostras independentes Este teste é usado em duas situações: • Quando, para o mesmo grupo de sujeitos, se mede uma variável Para amostras antes e depois de um evento; ou emparelhadas • Quando se mede uma variável numa amostra que inclui dois Para uma grupos de sujeitos com características que podem ser amostra semelhantes Testes ANOVA Nas hipóteses do teste compara-se o valor da diferença ANOVA I entre os pares de observações e testa-se se a média das ANOVA II diferenças pode ser zero: Exemplo 1: Testar se a motivação de um indivíduo no final do evento é semelhante à motivação que tinha no início. Exemplo 2: Testar se o rendimento de dois anos pode ser considerado semelhante. Teste amostras emparelhadas Ho: Udiferença =UR 2010 - UR 2009 = 0 H1: Udiferença =UR 2010 - UR 2009 ≠ 0 Sendo UR o rendimento médio 20

3. Testes Paramétricos Testes t Testes para uma amostra Para amostras independentes • Este teste compara os valores observados da Para amostras amostra com um valor que se quer testar. emparelhadas Exemplo 1: Testar se a taxa de desemprego é de 10%. Para uma Exemplo 2: Testar se a satisfação média dos clientes pode ser 9,5. amostra Testes ANOVA ANOVA I ANOVA II Teste t uma amostra Ho: Us = 9.5 H1: Us ≠ 9.5 Sendo Us a satisfação média 21

3. Testes Paramétricos Testes t Teste ANOVA I Para amostras independentes Na análise da variância, a variabilidade observada na Para amostras amostra divide-se em duas componentes: emparelhadas • Variabilidade das observações dentro de um grupo, em torno da média (dentro dos grupos); Para uma • Variabilidade entre as médias dos grupos (entre amostra grupos). Testes ANOVA ANOVA I Se a variabilidade entre grupos for suficientemente grande face à variabilidade dentro dos grupos, rejeita-se a hipótese ANOVA II nula, que afirma que todas as médias da população iguais. Exemplo: Testar os resultados da aprendizagem resultantes da utilização de 4 métodos de ensino diferentes usados em 4 turmas ou grupos. Exemplo: Testar o número médio de horas de trabalho semanais por grau académico. 22

3. Testes Paramétricos Testes t Teste ANOVA II Para amostras independentes ANOVA II é utilizado quando existe mais do que um factor Para amostras para definir os grupos. emparelhadas Exemplo: Testar a motivação dos alunos por idade e por sexo Para uma A hipótese nula será que o efeito da idade sobre a motivação dos alunos é o amostra mesmo para homens e mulheres, ou seja, não há interacção entre a idade e o sexo. Testes ANOVA ANOVA I ANOVA II 23

4. TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 24

4. Testes Não Paramétricos Amostras independentes ou emparelhadas? • Ao comparar dois grupos, é necessário decidir se se usam testes para amostras independentes ou emparelhadas. • Usam-se testes para amostras emparelhadas para comparar valores que são diferentes medidas de um individuo (por exemplo, antes e depois de um evento) ou medidas de individuos emparelhados (por exemplo, um casal). • Os testes para amostras emparelhadas só são apropriados quando os individuos foram emparelhados antes de recolher os dados. Não se pode basear o emparelhamento nos dados recolhidos. 25

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste do sinal emparelhadas Teste do sinal A hipótese nula no teste do sinal afirma que a diferença média entre dois membros de um par é zero. Teste de McNemar Teste Q de Cochran Exemplo: Testar que a motivação de um aluno para um curso ou disciplina é Teste de igual à motivação que tem para outro curso ou disciplina. Wilcoxon Teste de Friedman Amostras independentes Outros testes 26

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de McNemar emparelhadas Teste do sinal O teste de McNemar é um teste do sinal aplicado a variáveis dicotómicas, ou seja, a variáveis que apenas tomam dois Teste de McNemar valores (por exemplo: sim/não). Teste Q de Cochran Exemplo: Testar se, numa determinada licenciatura, a hipótese nula de que há Teste de igualdade entre rapazes e raparigas de terem irmãos. Wilcoxon Teste de Friedman Amostras independentes Outros testes 27

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste Q de Cochran emparelhadas Teste do sinal O teste Q de Cochran é uma generalização do teste de McNemar. Este teste permite comparar proporções em mais Teste de McNemar do que duas amostras emparelhadas onde cada variável é dicotómica (assumindo os valores 1 e 0). Teste Q de Cochran Ho: a proporção p é igual em todas as amostras Teste de emparelhadas. Wilcoxon Teste de Exemplo: Testar se, numa determinada licenciatura, a hipótese nula de que a Friedman proporção de alunos reprovados nas 3 chamadas de exame de uma disciplina é igual. Amostras independentes Outros testes 28

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Wilcoxon emparelhadas Teste do sinal O teste de Wilcoxon é mais rico que o teste do sinal pois, ao contrário deste que apenas verifica qual dos dois números de Teste de McNemar um par é maior, o teste de Wilcoxon verifica a magnitude dessa diferença. Teste Q de Cochran Este teste exige que as diferenças sejam de uma amostra de Teste de uma distribuição simétrica, pelo que, antes de ser aplicado, Wilcoxon deve ser feito o histograma da amostra para ver se a sua Teste de distribuição se pode assumir como simétrica. Friedman Amostras independentes Outros testes 29

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Friedman emparelhadas Teste do sinal O teste de Friedman é usado quando existem mais do que 2 condições de emparelhamento, onde cada variável é Teste de McNemar classificada numa escala de nível, pelo menos, ordinal. Teste Q de Este teste é usado para comparar as preferências das Cochran pessoas. Teste de Wilcoxon Teste de Exemplo: Testar a hipótese nula de que não há preferência entre 3 produtos. Friedman Os inquiridos indicam porque ordem preferem os produtos e o teste verifica se há preferência. Rejeitada Ho, o rank dirá qual é o produto mais preferido (e o Amostras menos preferido) . independentes Outros testes 30

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Friedman emparelhadas Teste do sinal Este teste não usa os dados directamente mas sim a ordem por eles ocupada (o rank), depois de serem organizados de Teste de McNemar forma crescente. A ordenação é feita de forma separada para cada uma das amostras, e não em conjunto. Teste Q de Cochran Este teste funciona como uma análise de variância a dois Teste de critérios de variação. Por exemplo, em “A satisfação de clientes de vários Wilcoxon produtos pode ser avaliada por diferentes métodos”, os critérios seriam os produtos e os métodos. O teste procura responder à questão: É identica a Teste de avaliação da satisfação pelos vários produtos, em relação aos diferentes Friedman métodos? Ou, de outra forma, há concordância entre os diversos métodos em Amostras relação à avaliação dos produtos? independentes A organização dos dados é relevante: o factor principal deve Outros testes ser colocado em coluna. Ho será que a distribuição das ordens nas diversas colunas será mais ou menos equivalente, de modo a que a soma da ordem em cada coluna seja aproximadamente igual.31

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Mann-Whitney emparelhadas Amostras O teste de Mann-Whitney é a alternativa não paramétrica ao independentes teste t para amostras independentes. Teste de Mann- O requisito deste teste é que os grupos tenham a mesma Whitney distribuição (que não precisa de ser normal). Teste de Kruskal- Wallis Neste teste, a hipótese nula é que as médias da população Teste de Wald- são as mesmas para os dois grupos. Wolfowitz Teste de Moses para reacções extremas Outros testes 32

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Kruskal-Wallis emparelhadas Amostras O teste de Kruskal-Wallis é a alternativa não paramétrica ao independentes teste ANOVA I. Teste de Mann- É calculado como o teste de Mann-Whitney, com a diferença Whitney que podem existir mais grupos. Teste de Kruskal- Wallis Os requisitos deste teste são: Teste de Wald- • Que os grupos tenham a mesma distribuição (que não Wolfowitz precisa de ser normal); Teste de Moses para reacções Neste teste, a hipótese nula é que as médias da população extremas são as mesmas para os dois grupos. Outros testes 33

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Wald-Wolfowitz ou teste de aleatoriedade da emparelhadas amostra (runs test) Amostras independentes O teste de sequência de Wald-Wolfowitz, ou run test, testa a hipótese nula de que uma sequência de valores é aleatória. Teste de Mann- Whitney Este teste só se aplica em variáveis dicotómicas. Teste de Kruskal- Wallis Este teste avalia se o número de runs de uma série ordenada Teste de Wald- é aleatório ou não. Uma amostra de m valores independentes Wolfowitz da primeira população é combinada com uma amostra de n Teste de Moses valores da segunda população e na amostra combinada é para Reacções feito o rank. O teste foca-se no número de runs, sendo o run Extremas uma sucessão de valores adjacentes ordenados da mesma Outros testes população que são precedidos ou seguidos no rank por valores da outra população ou por nenhum outro valor. 34

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Wald-Wolfowitz ou teste de aleatoriedade da emparelhadas amostra (runs test) Amostras independentes Exemplo 1: Ao inquirir os individuos se gostam de um determinado Teste de Mann- professor, observa-se a seguinte sequência (S= sim e N= Whitney não): NNNNSSSNNSSSNNSSNNNNSSSSSN Teste de Kruskal- O que este teste faz é pegar na sequência de símbolos iguais Wallis (NNNN SSS NN SSS NN SS NNNN SSSSS N) e ver se eles Teste de Wald- podem ser aleatórios. Wolfowitz Teste de Moses Exemplo 2: para Reacções Fonte: http://www.quantitativeskills.com/sisa/statistics/ordhlp.htm Extremas Rank order 1 2 3 .................................................. 31 Outros testes Data MMMFFFMMMMFFMMMFFFFFFFMMFMMFFFF run number 1112223333445556666666778990000 O número de runs esperado é de 16. O p-value do teste será a probabilidade da diferença entre o número esperado e o número observado. 35

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Moses para reacções extremas emparelhadas Amostras Este teste aplica-se quando existe uma suspeita de que uma independentes determinada condição experimental afectou um grupo de indivíduos e, de forma oposta, outro grupo. Teste de Mann- Whitney É indicado quando existe um grupo experimental e um grupo Teste de Kruskal- de controle e se suspeita que no grupo experimental os Wallis valores estão concentrados numa (ou em ambas) as Teste de Wald- extremidades da série. Wolfowitz Teste de Moses Este teste exige que a escala seja, pelo menos, ordinal. para Reacções Extremas Outros testes 36

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste binomial emparelhadas Amostras O teste binomial compara a distribuição de uma variável independentes dicotómica com uma determinada probabilidade, obtida da amostra ou definida (cut point). Outros testes Teste binominal A hipótese nula deste teste é que a probabilidade de Teste de ocorrência de observação no primeiro grupo é x%. ajustamento Teste de Se a probabilidade de ocorrência para um grupo é p, então a independência probabilidade de ocorrência para o outro grupo é q = 1-p. Teste de Fisher Ao realizar o teste, se a variável é dicotómica, opta-se por obter a dicotomia dos dados. Caso contrário, define-se um cut point, ou seja, um ponto de transição que permita definir os grupos. Indica-se também a probabilidade que se pretende testar. 37

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste do ajustamento do Qui-Quadrado emparelhadas Amostras O teste do ajustamento do Qui-Quadrado compara as independentes frequências observadas na amostra com as frequências esperadas. Outros testes Teste binominal A hipótese nula deste teste afirma que os valores observados Teste de se ajustam aos valores esperados. ajustamento • Exemplo: que um pacote de Sugus contenha iguais proporções de Sugus vermelhos, azuis, amarelos e verdes. Teste de • Exemplo: que um pacote de Sugus contenha 30% deSugus independência vermelhos, 20% de azuis, 25% de amarelos e 25% verdes. Teste de Fisher Uma distribuição pode ser aproximada ao Qui-Quadrado se cumprir duas condições:  Não existirem mais de 20% de categorias com valores esperados inferiores a 5; e  Todas as categorias tenham valores esperados superiores ou iguais a 1. 38

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de independência do Qui-Quadrado emparelhadas Amostras O teste de independência do Qui-Quadrado permite verificar independentes se duas variáveis estão relacionadas. Outros testes A hipótese nula deste teste afirma que a variável X1 e a Teste binominal variável X2 não estão relacionadas. Teste de Por exemplo: verificar se há relação entre a variável nominal ajustamento grau académico de um individuo e a variável que indica se Teste de concorda que é bem pago. independência Nota: No SPSS, este teste é realizado através do menu Analyze/Descriptive Teste de Fisher statistics/Crosstabs 39

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Fisher emparelhadas Amostras O teste de Fisher é usado quando se quer fazer um teste de independentes independência do Qui-quadrado mas uma ou mais células têm um valor esperado igual ou inferior a 5. Outros testes Teste binominal (O teste do Qui-quadrado requer que todos os valores Teste de tenham um frequência esperada igual ou superior a 5 mas o ajustamento teste de Fisher não exige isso). Teste de independência Teste de Fisher 40

4. Testes Não Paramétricos Amostras Teste de Fisher ou Teste do Chi-quadrado? emparelhadas Amostras • Ao analisar tabelas de contigência de duas linhas e duas independentes colunas, pode-se usar o teste de Fisher ou o teste do chi- quadrado. Outros testes • O teste de Fisher é o mais adequado porque fornece Teste binominal sempre o valor exacto do p-value. • O teste do chi-quadrado é mais fácil de calcular mas apenas Teste de dá um p-value aproximado. ajustamento • O teste do chi-quadrado deve ser evitado quando os Teste de números na tabela de contigência são muito pequenos independência (qualquer um abaixo de 6). Se os números forem maiores, Teste de Fisher o p-value que o teste do chi-quadrado dá será semelhante ao p-value do teste de Fisher. • Para corrigir o p-value do teste do chi-quadrado pode-se usar a correcção de continuidade de Yates. Sem esta correcção, o p-value do teste do chi-quadrado será muito baixo. Há autoes que dizem que a correcção de Yates resulta num p-value demasiado alto. Esta correcção não é necessária em amostras grandes nem no teste de Fisher. 41

4. Testes Não Paramétricos Testes não paramétricos Duas amostras K amostras Uma amostra Amostras Amostras Amostras Amostras Escala emparelhadas independentes emparelhadas independentes Teste de Fisher Teste do Qui- Teste binomial Teste do qui- Teste Q de quadrado para k Nominal Teste do qui- Teste de McNemar quadrado para 2 Cochran amostras quadrado amostras independentes independentes Teste da mediana Teste de Mann- Whitney Teste de Teste de Kolmogorov- Kolmogorov- Smirnov para uma Teste do sinal Smirnov para duas amostra Teste de Kruskal- Ordinal amostras Teste de Friedman Wallis Teste de Wilcoxon Teste de iterações Teste de Wald- para uma amostra Wolfowitz Teste de Moses para reacções extremas Teste de Walsh Teste de aleatoriedade para Intervalo Teste de 2 amostras aleatoriedade para independentes pares 42 Fonte: Adaptado de Siegel, Sidney. Estatística Não-paramétrica Para as Ciências do Comportamento. São Paulo: McGraw-Hill, 1975.

Testes Estatísticos Testes paramétricos e não paramétricos Rosário Cação rosario@evolui.com Março 2010 43

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