CONJUNTO DOS
NÚMEROS
COMPLEXOS
PROFESSORA ROSÂNIA
Girolamo Cardano nasceu em Pavia, em 1501 e
faleceu em Roma, em 1576. Sua vida foi
marcada por contrastes e extremos. Sabe...
Nicolo Fontana, apelidado de Tartaglia, só tinha em
comum com Cardano a nacionalidade
italiana e o talento matemático. Nas...
Consta que, por volta de 1510, um matemático
italiano de nome Scipione del Ferro encontrou
uma forma geral de resolver equ...
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a se destacar nos meios culturais da época, Fior
propôs a Tartaglia um desafio. Ta...
Nesta época Cardano, ao saber que Tartaglia achara a
solução geral
da equação de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, para qu...
Professora Rosânia
PARA COMPREENDER VAMOS RELEMBRAR OS
TIPOS DE CONJUNTOS

N
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ....}
IN

Z

(naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....}
(inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}
Q
N

Z

Q

(naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....}
(inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}

(racionais) Q = ...
Q
N

Z

Q

I
(naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....}
(inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}
(racionais) Q =...
N
Z

Q

I

Reais (R) = são todos os números exceto as
raízes quadradas nos números negativos
N
Z

Q

I

Complexos (C) = são todos os reais além das
raízes quadradas nos números negativos.
NÚMEROS COMPLEXOS-NÚMEROS
IMAGINÁRIOS
• Iremos representar
essa proposição
utilizando uma
unidade imaginária i,
assim pode...
UNIDADE IMAGINÁRIA ( i )
convenção

−𝟏 = i
i² = -1
FORMA ALGÉBRICA
Z = a + bi
a = parte real
b = parte imaginária
a = 0 e b ≠ 0 .......... imaginário puro
b = 0 ...............
z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4
z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2
Professora Rosânia
Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a
parte imaginária de um número complexo:
z = - 3 + 5i
Re(z) = -3
...
As coordenadas a e b podem assumir
qualquer valor real, dependendo do valor
que eles assumirem o número complexo irá
receb...
Quando o valor de a é igual a
zero e o de b é diferente de zero
dizemos que o número complexo
é imaginário puro:
z = 0 + 2...
Quando a diferente de zero e b
igual a zero dizemos que o
número complexo será real.
z = 5 – 0i
z=5

Professora Rosânia
Tornar um complexo real ou
imaginário puro
Z = (x – 3) + (x² - 25)i
REAL – TORNAR A PARTE IMAGINÁRIA NULA
(x² - 25) = 0
IM...
EQUAÇÕES EM C
CASO 1
A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de
ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas
pod...
CASO 2
2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
a = 2, b = -16, c = 50
∆ = b² - 4ac
∆ = (-16)² - 4 . 2 . 50
∆ = 25...
EQUAÇÕES EM C
x² + 2x + 10 = 0
−𝟐 ±

−𝟐 ±

𝟐 𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟏𝟎
𝟐. 𝟏

−𝑏 ±

𝟒 − 𝟒𝟎
𝟐.

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𝟐

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𝟐
...
Potências de i
i0 = 1
i1 = i

i5 = i4 . i = 1 . i = i

i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1

i2 = -1

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i7 = i4 . i3 = 1 ...
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i² = -1
Professora Rosânia

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IGUALDADE DE COMPLEXOS
Z1 = (a + 1) + 3i e Z2 = 4 + ( 2- b)i

Real = Real
Imaginária = Imaginária
a+1=4
a=4–1
a=3

2–b=3
-b=3-2
-b=1
b = -1
Aritmética dos números
complexos
Adição e Subtração

Professora Rosânia
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as...
Exemplos
(3 + 4i) + (- 7 + 8i) =
(3 - 7) + (4 + 8) i = - 4 + 12i
Na prática temos:
(3 + 4i) + (-7 + 8i) =

Professora Rosâ...
Subtração
(a + bi) - (c + di) =
(a – c) + (b – d)i
Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e a...
EXEMPLOS

(- 5 + 6i) - (4 - 2i) =
(- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i = - 9 + 8i
NA PRATICA TEMOS:

Professora Rosânia
Exemplos

Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
bi...
O conjugado e a divisão
O conjugado de um número complexo a
+ bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a
+ bi.
Os números co...
Dividindo dois números complexos
Para escrevermos o quociente
na forma a + bi:

multiplicamos o numerador e o
denominador ...
Exemplo:

Professora Rosânia
BONS ESTUDOS!
Conjunto dos números complexos
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  1. 1. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS PROFESSORA ROSÂNIA
  2. 2. Girolamo Cardano nasceu em Pavia, em 1501 e faleceu em Roma, em 1576. Sua vida foi marcada por contrastes e extremos. Sabe-se que era excepcional cientista, mas que também era violento, traidor, invejoso e outras qualificações não muito edificantes. Foi autor do Liber de Ludo Aleae, onde introduziu a ideia de probabilidade e também ensinou maneiras de trapacear nos jogos. Sua maior obra, entretanto, foi o Ars Magna, publicada na Alemanha em 1545, que na época era o maior compendio algébrico existente.
  3. 3. Nicolo Fontana, apelidado de Tartaglia, só tinha em comum com Cardano a nacionalidade italiana e o talento matemático. Nascido em Brescia em 1500, na infância, pobre, foi gravemente ferido por golpes de sabre e, por causa deste incidente, com com profunda cicatriz na boca que lhe provocou um permanente defeito na fala. Da ter sido apelidado de Tartaglia, que significa gago. Ao longo de sua vida publicou diversas obras mas o que o colocou definitivamente nos anais da Matemática foram suas disputas com Cardano.
  4. 4. Consta que, por volta de 1510, um matemático italiano de nome Scipione del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x³ + px + q = 0, mas morreu sem publicar sua descoberta. Seu aluno Antonio Maria Fior conhecia tal solução e tentou ganhar notoriedade com ela. Na época eram comuns os desafios entre sábios.
  5. 5. Como Tartaglia era um nome que começava a se destacar nos meios culturais da época, Fior propôs a Tartaglia um desafio. Tartaglia, apesar de não saber resolver ainda tais equações, aceitou o desafio, confiando em seu potencial. Sabendo que Fior conhecia a solução das equações acima citadas, não só deduziu a resolução para este caso, como também resolveu as equações do tipo x³ + px² + q = 0. O resultado deste desafio foi que Fior saiu humilhado.
  6. 6. Nesta época Cardano, ao saber que Tartaglia achara a solução geral da equação de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, para que fosse publicada em seu próximo livro. Tartaglia não concordou, alegando que ele mesmo iria publicar sua descoberta. Cardano acusou-o de mesquinho e egoísta, e não desistiu. Apos muitas conversas e suplicas este, jurando não divulgar tal descoberta, conseguiu que Tartaglia lhe revelasse a solução. Conforme qualquer um poderia prever, Cardano quebrou todas as promessas e, em 1545, fez publicar na Ars Magna a formula de Tartaglia. No final, como em muitos outros casos, a posteridade não fez justica a Tartaglia: sua formula e ate hoje conhecida como “Formula de Cardano."
  7. 7. Professora Rosânia
  8. 8. PARA COMPREENDER VAMOS RELEMBRAR OS TIPOS DE CONJUNTOS N N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ....}
  9. 9. IN Z (naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....} (inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}
  10. 10. Q N Z Q (naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....} (inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....} (racionais) Q = {podem ser escritos na forma de fração} Os N, Z, dízimas periódicas.
  11. 11. Q N Z Q I (naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....} (inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....} (racionais) Q = {podem ser escritos na forma de fração} Os N, Z, dízimas periódicas. (irracionais) I = {não podem ser escritos na forma de fração} ∏, 𝟐 , 𝟑 𝟕
  12. 12. N Z Q I Reais (R) = são todos os números exceto as raízes quadradas nos números negativos
  13. 13. N Z Q I Complexos (C) = são todos os reais além das raízes quadradas nos números negativos.
  14. 14. NÚMEROS COMPLEXOS-NÚMEROS IMAGINÁRIOS • Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo • então i . i = - 1, isto é, i² = - 1 . Professora Rosânia
  15. 15. UNIDADE IMAGINÁRIA ( i ) convenção −𝟏 = i i² = -1
  16. 16. FORMA ALGÉBRICA Z = a + bi a = parte real b = parte imaginária a = 0 e b ≠ 0 .......... imaginário puro b = 0 ....................... real puro
  17. 17. z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4 z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2 Professora Rosânia
  18. 18. Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo: z = - 3 + 5i Re(z) = -3 Im(z) = 5 z = -5 + 10i Re(z) = -5 Im(z) = 10 z = 1/2 + (1/3)i Re(z) = 1/2 Im(z) = 1/3 Professora Rosânia
  19. 19. As coordenadas a e b podem assumir qualquer valor real, dependendo do valor que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente: Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número complexo é imaginário: z = 2 + 5i Professora Rosânia
  20. 20. Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo é imaginário puro: z = 0 + 2i z = 2i Professora Rosânia
  21. 21. Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo será real. z = 5 – 0i z=5 Professora Rosânia
  22. 22. Tornar um complexo real ou imaginário puro Z = (x – 3) + (x² - 25)i REAL – TORNAR A PARTE IMAGINÁRIA NULA (x² - 25) = 0 IMAGINÁRIO – TORNAR A PARTE REAL NULA x–3=0
  23. 23. EQUAÇÕES EM C CASO 1 A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma: x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau) x² = –81 x = ±√–81 Temos x = ±9i Professora Rosânia
  24. 24. CASO 2 2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau) a = 2, b = -16, c = 50 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-16)² - 4 . 2 . 50 ∆ = 256 – 400 ∆ = -144 Temos (±12i)² = 144i² = 144.(-1) = -144. x’ = 4 + 3i e x’’ = 4 – 3i Professora Rosânia
  25. 25. EQUAÇÕES EM C x² + 2x + 10 = 0 −𝟐 ± −𝟐 ± 𝟐 𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟏𝟎 𝟐. 𝟏 −𝑏 ± 𝟒 − 𝟒𝟎 𝟐. −𝟐 ± − 𝟑𝟔 𝟐 x’ = - 1 + 3i −𝟐 ± 𝟔 𝒊 = 𝟐 x’’ = - 1 – 3i 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
  26. 26. Potências de i i0 = 1 i1 = i i5 = i4 . i = 1 . i = i i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1 i2 = -1 i3 = i2 i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i . i = -1 . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1 Professora Rosânia 𝒊𝒏 = 𝒊𝒓
  27. 27. Então, para simplificar 𝒏 𝒊 = 𝒊 Ex: i26 26 4 2 6 i² = -1 Professora Rosânia 𝒓
  28. 28. IGUALDADE DE COMPLEXOS Z1 = (a + 1) + 3i e Z2 = 4 + ( 2- b)i Real = Real Imaginária = Imaginária
  29. 29. a+1=4 a=4–1 a=3 2–b=3 -b=3-2 -b=1 b = -1
  30. 30. Aritmética dos números complexos Adição e Subtração Professora Rosânia
  31. 31. Adição (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Para adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias Professora Rosânia
  32. 32. Exemplos (3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i = - 4 + 12i Na prática temos: (3 + 4i) + (-7 + 8i) = Professora Rosânia
  33. 33. Subtração (a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i Para subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias Professora Rosânia
  34. 34. EXEMPLOS (- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i = - 9 + 8i NA PRATICA TEMOS: Professora Rosânia
  35. 35. Exemplos Multiplicação (a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i Multiplicamos números complexos como multiplicamos binômios, usando i2 = - 1 6 – 8i + 9i – 12i2 6 + i – 12 . (-1) = = 6 + i + 12 = 18 + i Professora Rosânia
  36. 36. O conjugado e a divisão O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi. Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados. Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi. Professora Rosânia
  37. 37. Dividindo dois números complexos Para escrevermos o quociente na forma a + bi: multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador Professora Rosânia
  38. 38. Exemplo: Professora Rosânia
  39. 39. BONS ESTUDOS!
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