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Conjunto dos números complexos
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Conjunto dos números complexos

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Introdução aos números complexos.

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  • 1. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS PROFESSORA ROSÂNIA
  • 2. Girolamo Cardano nasceu em Pavia, em 1501 e faleceu em Roma, em 1576. Sua vida foi marcada por contrastes e extremos. Sabe-se que era excepcional cientista, mas que também era violento, traidor, invejoso e outras qualificações não muito edificantes. Foi autor do Liber de Ludo Aleae, onde introduziu a ideia de probabilidade e também ensinou maneiras de trapacear nos jogos. Sua maior obra, entretanto, foi o Ars Magna, publicada na Alemanha em 1545, que na época era o maior compendio algébrico existente.
  • 3. Nicolo Fontana, apelidado de Tartaglia, só tinha em comum com Cardano a nacionalidade italiana e o talento matemático. Nascido em Brescia em 1500, na infância, pobre, foi gravemente ferido por golpes de sabre e, por causa deste incidente, com com profunda cicatriz na boca que lhe provocou um permanente defeito na fala. Da ter sido apelidado de Tartaglia, que significa gago. Ao longo de sua vida publicou diversas obras mas o que o colocou definitivamente nos anais da Matemática foram suas disputas com Cardano.
  • 4. Consta que, por volta de 1510, um matemático italiano de nome Scipione del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x³ + px + q = 0, mas morreu sem publicar sua descoberta. Seu aluno Antonio Maria Fior conhecia tal solução e tentou ganhar notoriedade com ela. Na época eram comuns os desafios entre sábios.
  • 5. Como Tartaglia era um nome que começava a se destacar nos meios culturais da época, Fior propôs a Tartaglia um desafio. Tartaglia, apesar de não saber resolver ainda tais equações, aceitou o desafio, confiando em seu potencial. Sabendo que Fior conhecia a solução das equações acima citadas, não só deduziu a resolução para este caso, como também resolveu as equações do tipo x³ + px² + q = 0. O resultado deste desafio foi que Fior saiu humilhado.
  • 6. Nesta época Cardano, ao saber que Tartaglia achara a solução geral da equação de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, para que fosse publicada em seu próximo livro. Tartaglia não concordou, alegando que ele mesmo iria publicar sua descoberta. Cardano acusou-o de mesquinho e egoísta, e não desistiu. Apos muitas conversas e suplicas este, jurando não divulgar tal descoberta, conseguiu que Tartaglia lhe revelasse a solução. Conforme qualquer um poderia prever, Cardano quebrou todas as promessas e, em 1545, fez publicar na Ars Magna a formula de Tartaglia. No final, como em muitos outros casos, a posteridade não fez justica a Tartaglia: sua formula e ate hoje conhecida como “Formula de Cardano."
  • 7. Professora Rosânia
  • 8. PARA COMPREENDER VAMOS RELEMBRAR OS TIPOS DE CONJUNTOS N N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ....}
  • 9. IN Z (naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....} (inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}
  • 10. Q N Z Q (naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....} (inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....} (racionais) Q = {podem ser escritos na forma de fração} Os N, Z, dízimas periódicas.
  • 11. Q N Z Q I (naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....} (inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....} (racionais) Q = {podem ser escritos na forma de fração} Os N, Z, dízimas periódicas. (irracionais) I = {não podem ser escritos na forma de fração} ∏, 𝟐 , 𝟑 𝟕
  • 12. N Z Q I Reais (R) = são todos os números exceto as raízes quadradas nos números negativos
  • 13. N Z Q I Complexos (C) = são todos os reais além das raízes quadradas nos números negativos.
  • 14. NÚMEROS COMPLEXOS-NÚMEROS IMAGINÁRIOS • Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo • então i . i = - 1, isto é, i² = - 1 . Professora Rosânia
  • 15. UNIDADE IMAGINÁRIA ( i ) convenção −𝟏 = i i² = -1
  • 16. FORMA ALGÉBRICA Z = a + bi a = parte real b = parte imaginária a = 0 e b ≠ 0 .......... imaginário puro b = 0 ....................... real puro
  • 17. z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4 z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2 Professora Rosânia
  • 18. Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo: z = - 3 + 5i Re(z) = -3 Im(z) = 5 z = -5 + 10i Re(z) = -5 Im(z) = 10 z = 1/2 + (1/3)i Re(z) = 1/2 Im(z) = 1/3 Professora Rosânia
  • 19. As coordenadas a e b podem assumir qualquer valor real, dependendo do valor que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente: Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número complexo é imaginário: z = 2 + 5i Professora Rosânia
  • 20. Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo é imaginário puro: z = 0 + 2i z = 2i Professora Rosânia
  • 21. Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo será real. z = 5 – 0i z=5 Professora Rosânia
  • 22. Tornar um complexo real ou imaginário puro Z = (x – 3) + (x² - 25)i REAL – TORNAR A PARTE IMAGINÁRIA NULA (x² - 25) = 0 IMAGINÁRIO – TORNAR A PARTE REAL NULA x–3=0
  • 23. EQUAÇÕES EM C CASO 1 A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma: x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau) x² = –81 x = ±√–81 Temos x = ±9i Professora Rosânia
  • 24. CASO 2 2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau) a = 2, b = -16, c = 50 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-16)² - 4 . 2 . 50 ∆ = 256 – 400 ∆ = -144 Temos (±12i)² = 144i² = 144.(-1) = -144. x’ = 4 + 3i e x’’ = 4 – 3i Professora Rosânia
  • 25. EQUAÇÕES EM C x² + 2x + 10 = 0 −𝟐 ± −𝟐 ± 𝟐 𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟏𝟎 𝟐. 𝟏 −𝑏 ± 𝟒 − 𝟒𝟎 𝟐. −𝟐 ± − 𝟑𝟔 𝟐 x’ = - 1 + 3i −𝟐 ± 𝟔 𝒊 = 𝟐 x’’ = - 1 – 3i 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
  • 26. Potências de i i0 = 1 i1 = i i5 = i4 . i = 1 . i = i i6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1 i2 = -1 i3 = i2 i7 = i4 . i3 = 1 (-i) = -i . i = -1 . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1 Professora Rosânia 𝒊𝒏 = 𝒊𝒓
  • 27. Então, para simplificar 𝒏 𝒊 = 𝒊 Ex: i26 26 4 2 6 i² = -1 Professora Rosânia 𝒓
  • 28. IGUALDADE DE COMPLEXOS Z1 = (a + 1) + 3i e Z2 = 4 + ( 2- b)i Real = Real Imaginária = Imaginária
  • 29. a+1=4 a=4–1 a=3 2–b=3 -b=3-2 -b=1 b = -1
  • 30. Aritmética dos números complexos Adição e Subtração Professora Rosânia
  • 31. Adição (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Para adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias Professora Rosânia
  • 32. Exemplos (3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i = - 4 + 12i Na prática temos: (3 + 4i) + (-7 + 8i) = Professora Rosânia
  • 33. Subtração (a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i Para subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias Professora Rosânia
  • 34. EXEMPLOS (- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i = - 9 + 8i NA PRATICA TEMOS: Professora Rosânia
  • 35. Exemplos Multiplicação (a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i Multiplicamos números complexos como multiplicamos binômios, usando i2 = - 1 6 – 8i + 9i – 12i2 6 + i – 12 . (-1) = = 6 + i + 12 = 18 + i Professora Rosânia
  • 36. O conjugado e a divisão O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi. Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados. Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi. Professora Rosânia
  • 37. Dividindo dois números complexos Para escrevermos o quociente na forma a + bi: multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador Professora Rosânia
  • 38. Exemplo: Professora Rosânia
  • 39. BONS ESTUDOS!