Bloque I de Matemáticas 1° Secundaria

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Bloque I de Matemáticas 1° Secundaria

  1. 1. Bloque I 1BLOQUE II OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS ENTEROS YDECIMALES.1.1 SUMA. Suma es el nombre que recibe la operación que cuenta el aumento proporcionalo desproporcional de personas, animales, cosas o situaciones o valores. El símbolo querepresenta a la suma es: + . Para realizar dicho conteo se debe tomar en cuenta la especie de procedencia yentender que y como se pretende sumar. En el caso de los números se deberá llevar acabo los siguientes pasos:1.- Reconocer las cantidades a sumar (sumandos).2.- Acomodar las cantidades respetando la posición del último número, esto es de derecha a izquierda. Por ejemplo: Si tenemos: 4560 + 451, entonces se colocaría la operación de la siguiente forma: 4560 Los últimos números se acomodan + 451 alineados en la misma dirección3.- Para obtener el resultado se debe ir agregando una de las cantidades a la otra, al finalse escribe el último número de la cifra resultante (suma) de dicha unión, sumando elotro al siguiente número de la izquierda. Por ejemplo: Si tenemos 486 + 24, esto sería: En este caso 6 + 4 = 10, se escribe el 486 0 y se suma uno a 8 + 2, y así + 24 sucesivamente. 5104.- Si se trata de una suma donde los sumandos tengan punto decimal, entonces lascantidades deberán estar escritas una debajo de la otra cuidando que los puntos esténalineados. Finalmente se resuelve con los mismos pasos y el resultado tendrá el puntodecimal justo en la misma dirección que en los sumandos. Por ejemplo: 457. 12 + 123. 3 680. 42 Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  2. 2. Bloque I 2EJERCICIO 1. Resuelve las siguientes sumas, primero deberás ordenar los números ensuma vertical.1.- 456.3 + 98.93 + 2984.232 2.- 487.465 + 298.45 + 29.298473.- 387.39 + 298.3 + 23.495 4.- 29.487 + 0.098 + 1.9385.- 373 + 12.75 + 132.4 6.- 35.9 + 376.12 + 0.006541.2 RESTA. Resta es la operación que cuenta la disminución o diferencia que existe entre doso más cantidades. El símbolo que representa a la resta es: - . Para realizar la diferencia de cantidades se debe conocer la cantidad a la que serequiere restar (minuendo) y la cantidad que se desea restar (sustraendo) para obtener elresultado (diferencia). Al minuendo se le restará el sustraendo comenzando de derecha a izquierda, si elsustraendo es mayor que el minuendo entonces se toma al minuendo como la cantidadpróxima superior que tenga en su decena el número que se observa, por ejemplo si lacantidad es 8 en el minuendo y en el sustraendo es 7 entonces se dice 18 menos 7 o 7 Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  3. 3. Bloque I 3para 18, se coloca la diferencia y se lleva uno el cual se le suma al número siguiente delsustraendo y ahora se procede con el siguiente minuendo, así sucesivamente con todoslos números hasta el final. En caso de ser cantidades con punto decimal se respeta lamisma característica que en la suma.Por ejemplo: 12983 . 487 Minuendo - 4875 . 34 . Sustraendo 8108 . 147 Diferencia o resultadoEJERCICIO 2. Resuelve las siguientes restas, primero debes ordenar las cantidades enresta vertical.1.- 3764.29 – 384.9 2.- 874.4 – 245.373.- 9837.47 – 2873.984 4.- 287.37 – 29.395.- 412.09 – 345.009 6.- 37.58 – 4.09581.3 MULTIPLICACIÓN. La multiplicación es una operación en la cual se abrevia la suma de un númerodeterminadas veces, o sea el número que multiplica (múltiplo) indica el número deveces en que se suma el multiplicando, ambas cantidades reciben el nombre de factor.Por ejemplo si se quiere saber a cuanto corresponde 3 x 5, entonces se debería sumar 5veces 3 o 3 veces 5, esto es: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 o 5 + 5 + 5 = 15 Esa es la razón por la cual cuando multiplicamos 3 x 5 o 5 x 3 el resultado queobtenemos es 15. Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  4. 4. Bloque I 4 Los símbolos con los que se representa la multiplicación son: x ; * ; ( ) ; [ ]; { };letra con letra “ab”, número con letra “2a". La multiplicación cuando tiene factores con más de 1 número se resuelveempezando con los números de derecha a izquierda, cada producto se va colocando enlíneas horizontales, dejando cada vez en la escritura un espacio, al final se suman lascantidades que aparecen y ese es el resultado (producto) de dicha operación; finalmentese cuentan cuantos números en total hay en los factores que sean decimales y eseindicará la posición en que debe escribirse el punto decimal en el resultado, esto se veráde derecha a izquierda. Por ejemplo: 3456 Factores x 1.32 6912 10368 3456 456192 Producto La cantidad de decimales que hay en los factores son 2, se presentan sólo en el1.32, por lo tanto el resultado será: 4561.92EJERCICIO 3. Resuelve las siguientes multiplicaciones, ordénalas primero enmultiplicación horizontal.1.- (139.1)(48.3) 2.- (384.21)(29)3.- (487.13)(53.2) 4.- (48.29)(1.00938)5.- (243)(0.027) 6.- (398.48)(758.2) Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  5. 5. Bloque I 51.4 DIVISIÓN. La división es el número de partes en que se puede partir o fraccionar un valorentre otro, sus partes son: Cociente Divisor Dividendo Residuo Los símbolos o representaciones de la división son: ÷ ; / ; la forma de fracción. Existen cuatro casos en que se puede presenta la división, que son: sin puntodecimal, con punto decimal en el divisor, con punto decimal en el dividendo y conpunto decimal en el divisor y en el dividendo. Toda operación tiene su comprobación yen este caso será la multiplicación del resultado por el divisor más el residuo.  Sin punto decimal: se observa cuanto números componen al divisor, las cifras que tenga el divisor serán el número de cifras que se tomen en el dividendo para comenzar a resolver, se tiene que verificar si el número que se toma en el dividendo es mayor al del divisor sí es así entonces se toma un número que haga referencia a las veces en que se puede repartir el dividendo entre el divisor, de tal forma que dicho número sea de 0 a 9. El número de veces en que pueda repartirse se escribe justo arriba del último que compone a la parte del dividendo tomado para la división, dicho número multiplica al divisor y ese resultado se le resta al dividendo, se baja el siguiente número y se procede a dividir el residuo con el número que se bajó entre el divisor, si este es menor que el divisor entonces se escribe 0 arriba, junto al número anterior en la parte del cociente, se baja otro número y se procede a dividir, el número se escribe ahora en el resultado y este se multiplica por el divisor su producto se le resta al residuo y la diferencia ahora se acompaña con el siguiente número, todo se vuelve a repetir hasta que ya no se tengan números para bajar. Por ejemplo: Comprobación 1 5.07 1387/92 92 1 3 8 7 15 . 07 4 67 x 92 0 7 00 3014 56 1356 3 1386 44 + 56 1 3 8 7. 0 0 Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  6. 6. Bloque I 6 Sólo con punto decimal en el divisor: - El punto decimal del divisor se corre hacia la derecha hasta llegar a la estructura de la división, ya que se pretende desaparecerlo. - En el dividendo, el cual no tiene punto decimal, se le aumentará en ceros las veces que se haya corrido el punto decimal. - Se resuelve la división de forma habitual y el punto decimal se colocará en el resultado ubicándolo en donde corresponda según la solución. - Finalmente se realiza la comprobación multiplicando el cociente por el divisor, al resultado se le suma el residuo y deberá dar el dividendo. Por ejemplo: 3762/12.3 3 0 5. 85 Comprobación 12.3 37620 00720 305.85 1050 x 123 0660 91755 045 6 1170 30 585 37 61955 + 45 3 7 6 2 0.0 0 Punto decimal sólo en el dividendo: Se resuelve la operación de forma habitual y se ubicará el punto decimal en el resultado donde indique la propia solución, finalmente se debe lleva a cabo la comprobación de la misma forma que en el punto anterior. Por ejemplo: 2 3. 91 Comprobación 765.4/32 32 7 6 5.4 125 23.91 294 x 32 060 4782 28 7173 76512 + 28 7 6 5.4 0 Punto decimal en el divisor y en el dividendo: el punto decimal del divisor se mueve hacia la derecha hasta que llegue a la estructura de la división, el número de veces que se movió en el divisor es el mismo número de veces que se Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  7. 7. Bloque I 7 moverá, hacia la derecha, el punto decimal del dividendo. Ahora las nuevas cantidades de divisor y dividendo serán con las que se resuelva, de forma habitual, la división, en el resultado el punto decimal se colocará según indique la solución. Por ejemplo: 2 0 .6 2 Comprobación 476.47 / 23.1 23 . 1 4 7 6 . 4 7 014 47 20.62 0 610 x 23.1 148 20 62 618 6 4124 4763 22 + 1 48 4764.70EJERCICIO 4. Resuelve las siguientes divisiones según sea el caso y realiza lacomprobación correspondiente.1.- 476.38 / 122.- 3654.2 / 4.53.- 7645 / 2.34 Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  8. 8. Bloque I 84.- 576.34 / 5.15.- 657.265 / 32.36.- 7645 / 354II SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, marcas en bastones,nudos en un cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número a otro. Amedida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación máspráctico. En diferentes partes del mundo y en distintas partes del mundo y en distintasépocas se llega a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número (quepuede ser diferente del anterior). La base que más se utiliza a lo largo de la historia es de base 10 (decimal), comola indo arábiga, la nuestra. La babilónica usa base decimal y sexagesimal (de 60), lanumeración maya es vigesimal pues su base es 20, en el caso de la binaria utiliza solodos símbolos o números que son el uno y el cero. A continuación se presentan algunos de los antes mencionados. Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  9. 9. Bloque I 92.1 SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO. El sistema egipcio emplea símbolos de diferente denominación, cada símboloaparece una vez que nueve veces, máximo, se escribió el anterior, estos son: uno diez cien mil diez mil cien mil un millón 1 10 100 1000 10000 100000 1000000Los símbolos no pueden aparecer más de nueve veces ya que después de ello deberáaparecer el siguiente signo. 99 101 1302 90 + 9 100 + 1 1000 + 300 + 2EJERCICIO 5. Convierte las siguientes cantidades de numeración egipcia a númerosindo arábigos y aquel indo arábigo a egipcio.1.- 143 4.-2.- 545 5.-3.- 19892.2 SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA. Las características del sistema de numeración maya son las siguientes:  Se escribe en celdas verticales.  Los números se encuentran representados por 3 signos, que son: 0 1 5  Su lectura es de abajo hacia arriba y deben seguirse los pasos citados a continuación: - Saber el valor que existe en cada celda. Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  10. 10. Bloque I 10 - El valor de la primera celda se multiplica por uno. - El valor de la segunda celda se multiplica por veinte. - El valor de la tercera celda se multiplica por la potencia de veinte al cuadrado y así sucesivamente con el resto de las celdas. (Ver imagen) - Finalmente se suman los resultados obtenidos y ese es el valor del número maya. Estructura y múltiplos del sistema maya. Valor en indo arábigo X 1600 Valor en indo arábigo X 400 Valor en indo arábigo X 20 Valor en indo arábigo X 1 Por ejemplo: 7 x 400 = 2800 0 x 20 = 0 10 x 1 = 10 Valor 2810EJERCICIO 6. Calcula el valor de los siguientes números mayas.1.- 2.-3.- 4.- Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  11. 11. Bloque I 112.3 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO. El sistema de numeración binario recibe su nombre por que utiliza dos símbolos ovalores, estos son: 1 y 0. Para dar lectura a estos números se debe realizar lo siguiente: - Observar que la cantidad escrita tiene al final un subíndice 2. - Sin importar el símbolo escrito a la izquierda del subíndice 2, escribir un número 1 debajo de dicho símbolo. - Multiplicar el subíndice 2 por el número 1 y escribir el resultado en el símbolo siguiente a la izquierda. Repetir el paso hasta que ya no halla símbolos. - Eliminar las cantidades escritas debajo de los ceros, sumar solo aquellas que están debajo de los unos. Por ejemplo: 1 0 1 1 02 En este caso se eliminan 1 y 8 que están debajo de 0 y se suman 16 8 4 2 1 16 + 4 + 2 dando como resultado el valor del número binario, o sea 22EJERCICIO 7. Convierte las siguientes cifras binarias a número indo arábigo.1.- 1 1 0 1 0 12 = 2.- 1 1 0 1 1 1 02 =3.- 1 1 0 1 0 1 02 = 4.- 1 1 0 1 1 0 12 =5.- 1 0 1 0 1 02 = 6.- 1 0 1 1 12 =2.4 SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO. El sistema de numeración romano es un sistema no posicional, puede serreconocido también como sumativo o sustractivo, actualmente se emplea para clasificarla escritura. Algunas de las características que presenta para su lectoescritura son: - Consta de 8 símbolos que son: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000 y finalmente una línea horizontal “–“que multiplica por 1000 todo aquel valor que está escrito debajo de ella. - Ningún valor puede repetirse más de 3 veces. Por ejemplo: III = 3 IV= 4 XXX = 30 XL = 40 MMM = 3000 IV = 4000 - Cuando un símbolo de menor valor está escrito a la izquierda de uno de mayor valor entonces al mayor se le debe restar el menor. Por ejemplo: IX = 9 IC = 99 CD = 400 Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  12. 12. Bloque I 12 - Cuando un número romano se encuentra escrito a la derecha de otro y éste es de menor valor entonces deberán sumarse. Por ejemplo: XI = 11 CI = 101 DC = 600 - Para expresiones arriba de 3000 se debe emplear una raya horizontal sobre el número expreso en romano de la significancia principal. La línea indicará que debe multiplicarse la cifra escrita debajo de ésta por mil. Por ejemplo: IV = 4000 VI = 6000 XL = 40000EJERCICIO 8. Resuelve las siguientes operaciones realizando primero la conversión desistema romano al sistema indo arábigo correspondiente y por último expresa enromano el resultado.1.- XIII + CXII = =2.- MCD + VDCXI = =3.- VI + XV - MMM = =4.- CCCLX + CDXX = =5.- DLXXX - CCLIII = =2.5 OPERACIONES CON COMBINACIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Para resolver operaciones donde los sistemas de numeración o las unidades demedición son diferentes, primero debemos convertirlas a una unidad o sistema encomún, en el caso para los sistemas de numeración deberán convertirse al sistema indoarábigo y finalmente cambiar al sistema que se indica o pide.Por ejemplo: Resultado expresado en el Operación en diferentes Operación en indo arábigo sistema de numeración sistemas de numeración indicado En romano:10112 + - LXIII 11 + 110 – 63 = 58 LVIII8421 Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  13. 13. Bloque I 13EJERCICIO 9. Resuelve en la siguiente tabla las operaciones combinadas y expresa suresultado en el sistema de numeración que se pide. Resultado expresado en el Operación en diferentes Operación en indo arábigo sistema o sistemas de sistemas de numeración numeración indicados En egipcio: + 17 + IV En indo arábigoMCDII + 101012 - En romano: + MDXLI En egipcio y en romano: + 110102 - 452III NÚMEROS NATURALES Y NÚMERO FRACCIONARIOS.3.1 NÚMEROS NATURALES. Los números naturales son aquellos que pertenecen al sistema decimal denumeración, emplea 10 símbolos y agrupa los elementos de 10 en 10, sus símbolos son: 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9. Siguen un orden de ubicación en unidades, decenas, centenas, millares, etc., sesugiere que cada tres cifras se coloque una coma para indicar que el número, tieneunidades que rebasan las 3 posiciones de cada bloque de unidades.3.2 NÚMEROS FRACCIONARIOS. Los números fraccionarios no son números naturales, pueden ser expresados através de un numerador con denominador o también con cifras decimales. Sus partes yestructura son: Línea divisora Número entero Numerador Número entero Denominador Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  14. 14. Bloque I 14EJERCICIO 10. Identifica de las siguientes fracciones el numerador y denominador. Fracción Numerador Denominador 13 5 25 10 17 28 3 4 21 7 El reconocimiento esquemático o comprensión física de las fracciones esnecesaria puesto que de ahí dependerá que puedas realizar fácilmente el razonamientopara la solución de problemas o situaciones. Por ejemplo: Un automóvil necesita recorrer 1 Km y ahora solo ha recorrido 3/5 partes deKm, ¿cuál de las siguientes rectas representa el recorrido del auto? A) 0 5 B) 0 1 C) 0 1En este ejemplo como puedes observar se sabe que hay 3/5 partes que ha recorrido elautomóvil, por lo tanto significa que 1Km corresponde a 5/5, sabiendo esto entonces sedescarta la opción A y la opción C quedando como respuesta correcta la opción B. Otraforma es saber que el denominador nos indica el número de partes en que se divide unentero y el numerador es el número de partes que se toman de las que forman el entero.EJERCICIO 11. En tu cuaderno representa e indica las fracciones que corresponden alas respuestas de los siguientes enunciados por medio de esquemas o dibujos.1.- Una niña tiene 5 muñecas y solo dos de ellas tienen vestido azul.2.- Una señora hizo 30 pasteles de los cuales solo quedan 4, ¿cuántos vendió?3.- Una rana brinca en 8 charcos y sólo en 3 de ellos ha puesto huevos, ¿En cuántos lefaltó poner huevos? Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  15. 15. Bloque I 154.- Una costurera compra 23 m de tela y sólo ocupa 15, ¿cuántos metros ocupó ycuantos metros le sobraron?5.- En un edificio hay 5 ventanales y sólo dos de ellos ocupan cortinas largas, ¿cuántosno tienen cortinas largas? Es importante saber que existen números positivos y negativos estos pueden sernúmeros naturales como los números fraccionarios pueden ser positivos o negativos.Para ello se debe tomar en cuenta que el número 0 además de ser un número natural esel único que no tiene signo, o sea no es positivo ni negativo sino neutro. Para comprender cuales son positivos y cuales negativos se debe tomar encuenta su posición en la recta numérica.3.3 RECTA NUMÉRICA. La recta numérica está distribuida de tal forma que ubica a las cantidadesnegativas a la izquierda antes del 0 y los números positivos a la derecha después del 0.El signo que corresponde a un número es el escrito inmediatamente a su izquierda, si espositivo puede o no aparecer el signo de + y si es negativo siempre aparecerá el signode - . La estructura de la recta numérica es la siguiente: ∞- ∞+ …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4…∞ este símbolo hace referencia al infinito, o sea que hay un número desconocido y portanto no hay una cantidad definida.# símbolo que significa número.3.4 NÚMEROS PRIMOS. Es un número natural que solo tiene 2 factores que son el número mismo y eluno, es un número que no puede expresarse como resultado de 2 números distintos de símismo y uno, se sugiere verificar en los resultados de múltiplos o divisores. Porejemplo:15 no es número primo su razón es porque puede dividirse entre 15, 5, 3, 1, o sea puedeser resultado de los múltiplos de 15 x 1 ; 5 x 3; 1 x 15.13 si es número primo su razón es porque solo puede dividirse entre 13 y 1, o sea esresultado únicamente de 13 x 1. Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  16. 16. Bloque I 16EJERCICIO 12. Identifica en los siguientes números cuáles son primos y cuáles no, asímismo escribe la razón que lo argumenta. Número Razón 3 12 23 151 1313 Las fracciones para poder expresarse en decimal es necesario realizar unadivisión, debe dividirse el numerador entre el denominador. Recordar las partes de ladivisión nos ayuda a reconocer fácilmente el lugar que ocupará el numerador y eldenominador en esta para convertir una fracción a número decimal, por lo tanto se tieneque: Partes de la división. Ubicando las partes de la fracción en una división tenemos Cociente CocienteDivisor Dividendo Denominador Numerador Residuo Residuo Para convertir una fracción a decimal se debe realizar una división, en cualquierade los casos en que se presente.3.5 REDONDEO DE CANTIDADES. El redondeo se emplea para acortar cantidades, generalmente se usa cuando haymuchos decimales en algún valor dado. Para redondear se deben hacer los siguientespasos: - Conocer cuántos decimales se desean tener en la cantidad. - Para acortar la cantidad se toma en cuenta el número inmediato posterior al requerido, se observa si es infinito, mayor, igual o menor a 5. - Si el número inmediato posterior es igual o mayor a 5 entonces al número requerido deberá aumentar 1, si este llega aparecer infinito entonces se aplicará el mismo criterio. - Si el número inmediato posterior es menor a 5 entonces sólo deberán borrarse los números escritos después del requerido. Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  17. 17. Bloque I 17Por ejemplo:Redondear a dos decimales 34.2382Número requerido 3Número inmediato posterior 8, como es mayor a 5 entonces se le suma 1 al requerido ypor tanto la cantidad quedará redondeada: 34.24Redondear a dos decimales 148.945298Número requerido 4Número inmediato posterior 5, como es igual a 5 entonces se le suma 1 al requerido ypor tanto la cantidad quedará redondeada: 148.95Redondear a tres decimales 1785.98577777777Número requerido 5Número inmediato posterior 7, como es infinito entonces se le suma 1 al requerido y portanto la cantidad quedará redondeada: 1785.986Redondear a 4 decimales 18756.389318759Número requerido 3Número inmediato posterior 1, como es menor que 5 entonces sólo se tendrá comoresultado escrito hasta el número requerido, quedando así: 18756.3893EJERCICIO 13. Redondea las siguientes cantidades al número de decimales requeridos. Cantidad Redondear 1 decimales 147.683 89.23876 Cantidad Redondear 2 decimales 495.28746 387.74555 Cantidad Redondear 3 decimales 27.947165 465.19873 Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I
  18. 18. Bloque I 18IV APLICACIÓN EN PROBLEMAS. Resuelve los siguientes problemas aplicando la solución, operaciones necesariasy comprobación correspondiente. Debes aplicar notación científica a un decimal,también encierra en un rectángulo el resultado correcto.1.- Una ballena que pesaba 4275.33 Kg, se tragó 3 atunes de 120.8 Kg cada uno, fuecapturada por un barco después de su comida. Calcula el peso que arrojó la báscula.2.- ¿Cuántos trajes se podrán confeccionar con 494.5 m de tela, si cada traje necesita 5.3m?3.- Un señor tiene 4 anaqueles en su tienda, cada anaquel tiene 5 entrepaños, compramercancía para la tienda y desea saber si los anaqueles son suficientes. En cadaentrepaño solo puede colocar 10 productos, el compró 1430 productos.4.- Una señora gana $ 3550 quincenalmente y debe pagar $ 1300 de colegiatura, $ 600de pasajes, $ 450 de abono a la tarjeta de crédito y el resto es para las comidas, ¿Cuántodinero le queda para cada día?5.- Un señor compra un terreno que tiene 4530.24 m2, construye una casa y una bodegacon un área de 930 m2 en total, el resto del terreno decide sembrarlo en hortalizas consuperficies iguales, en total son 5 porciones de zanahoria, 3 porciones de chile jalapeñoy 2 porciones de uva. ¿Qué área tiene cada porción de terreno? Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I

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