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Unidad4 matrices_algebra superior_rosa_depena
 

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Matrices

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    Unidad4 matrices_algebra superior_rosa_depena Unidad4 matrices_algebra superior_rosa_depena Document Transcript

    • MatricesUNIDAD 4Prof. Rosa De Peña
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 Índice4.1 Definición y notación…………………………………………………………………….......... 24.2 Orden y dimensión………………………………………………………………………..….. 34.3 Matríz cuadrada y rectangular. Diagonal principal de una matríz cuadrada. Traza de una matríz cuadrada…………………………………………………………..…..34.4 Igualdad de matrices. Propiedades………………………………………………………..….44.5 Operaciones con matrices:……………………………………………………………………..54.5.1 Suma o adición de matrices………………………………………………………………....54.5.2 Diferencia o sustracción de matrices……………………………………………………….74.5.3 Multiplicación de un escalar por una matríz……………………………………………...84.5.4 Multiplicación de matrices. Propiedades: Asociativa, distributiva con relación a la adición, no cancelativa. Divisores de cero…………………………………………..94.5.5 Potencia entera positiva de una matriz cuadrada………………………………………...114.6 Tipos especiales de matrices: Triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar, unidad o matriz identidad, conmutativa, anticonmutativa, simétrica y antisimétrica………………………………………………………………………………………114.7 Matríz traspuesta. Propiedades de la matríz traspuesta…………………………………….134.8 Matríz inversa. Matrices inversibles…………………………………………………………....144.9 Dependencia lineal de las filas y columnas de una matríz………………………………....154.10 Rango o característica de una matríz..............................................................................164.11 Operaciones elementales en una matríz………………………………………………..….. 164.12 Matrices equivalentes. Notación. Propiedades como relación de equivalencia….……..164.13 Matrices escalonadas.………………………………………………………………….………174.14 Matríz en la forma escalonada reducida……………………………………………………..174.15 Determinación del rango o característica de una matríz………………………………….184.16 Cálculo de la inversa de una matríz cuadrada usando las operaciones elementales de filas…………………………………………………………………………….194.17 Ecuaciones con matrices………………………………………………………………………21Bibliografia Consultada ….............…………………………………………………………22 1
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 MATRICESIntroducción Por el uso creciente de las matemáticas en la ciencia y la tecnología, así como en otros campos del saber humano, se hace necesario dedicar nuestra atención al estudio de las matrices, las cuales constituyen herramientas eminentemente útiles por su valor estructural y operativo. Ellas se manejan en la mayoría de las ciencias, y gran cantidad de las operaciones realizadas por las computadoras son efectuadas tomando elementos a las matrices. La teoría de matrices, introducida en 1858 tiene hoy aplicaciones en campos tan diversos como el control de inventarios en las fabricas; teoría cuántica en física; análisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos, en sociología y psicología.4. 1 Definición Una matriz es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas. Los elementos pueden ser números reales, números complejos, funciones, etc., y se acostumbran a colocar entre corchetes. Notación A las matrices, en general, se le acostumbra denotar por letras mayúsculas y sus elementos se suelen designar con letras minúsculas seguidas de dos subíndices, indicando el primero en qué fila está el elemento y el segundo en qué columna. Por ejemplo: a i j , donde la “i” señalará la fila y la “j” la columna. De manera que, en general, una matriz se escribe así:  a11 a12 ... a1n  a a 22 ... a 2 n   21   . . ... .  A   . . ... .   . . ... .    a m1  a m2 ... a mn  Es bueno tener presente que una matriz no tiene valor numérico y que es solo una manera de ordenar números. A las filas y las columnas se les llama líneas, cuando no hay necesidad de distinguirlas. El conjunto de matrices definen un espacio vectorial, pues con ellas podemos verificar todas las propiedades que se satisfacen en los espacios vectoriales. 2
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 4.2 Orden o Dimensión Si una matiz tiene “m” filas y “n” columnas, entonces decimos que la matriz es de orden " mxn" . Siempre se indicará el orden de una matriz escribiendo primero el numero de filas y luego el numero de columnas de la matriz. Otra notación usada para las matrices es:   A  aij mxn donde A es de orden mxn y sus elementos los a ij , deben variar “i” de “1” a “m” y “j” de “1” a “n” . 4.3 Si en una matriz el número de filas es igual al número de columnas se dice que la matriz es cuadrada. Cuando se tiene una matriz cuadrada mxm, decimos que su orden es m en lugar de decir que su orden es mxm.  1 2 Así, la matriz B cuadrada 2x2: B =   es una matriz cuadrada de orden dos.  3 0 En una matriz cuadrada de orden “n” se le llamará a los elementos: a ij siendo i = j , es decir a11 , a 22 ,..., a nn , la Diagonal Principal. a ij siendo i  j , es decir a1n , a 2( n 1) ,..., a n1 , la Diagonal Secundaria. Es decir, en la matriz:  1 2  3A 0 4 5     2 0 3    La diagonal principal la forman los elementos 1,4,3 y la diagonal secundaria  3,4,2 . La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se llama traza de A. Es decir Traza de A  a11  a 22  a 33  ...  a nn Ejemplo.: La traza de A es: A  a11  a 22  a 33  1  4  3  8 Si el número de filas de una matriz es uno, dicha matriz se llama matriz de una fila o vector fila. 3
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 Ejemplos:A  2 8  3 B   0 1 1 A  B son puntos del espacio, expresado en términos de sus coordenadas rectangulares. Si el número de columnas de una matriz es uno, dicha matriz se llama matriz de una columna o vector columna. Ejemplos:  2 1 1  A  B 1    C  1  0 0 1    4.4 Igualdad de Matrices Dos matrices A y B son iguales si se cumple que: 1) A tiene el mismo orden de B. 2) Cada elemento de A es igual al elemento correspondiente de B simbólicamente: Dada las matrices y entonces:   A  aij mxn   B  bij mxn A  B a ij  bij para todo ij . Ejemplos:  2 1 2 1 2 0a) 0 3  0 3  1 3       b) Resuelva la siguiente ecuación.  x  y 3u  v  3 5  x  y u  2v   7 3     4
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 Resolver la ecuación matricial planteada significa hallar los valores de x, y, u, v que satisfacen la igualdad, con este propósito formamos dos sistemas:1) a) x  y  3 2) a) 3u  v  5 b) x  y  7 b) u  2v  2De 1 Sumando las ecuaciones a, b anteriores: De 2 Multiplicando a por 2: 2 x  10 6u  2v  10 10 x 5 u  2v  2 2Sustituyendo x en a :y  x 3  53  2 7u  12 12 u 7 De 2 Sustituyendo u en a tenemos:  12  3   v  5 7 36 35  36 1 Despejando v: v  5    7 7 7 Propiedades de la Igualdad de Matrices a) A  A Propiedad Reflexiva b) A  B B  A Propiedad Simétrica c) Si A  B B  C  A  C  Propiedad Transitiva 4.5 Operaciones con Matrices. 4.5.1 Suma de Matrices Si no se definen operaciones entre las matrices, éstas tendrían relativamente poco interés. Lo que las hace útiles dentro de la ciencia y la tecnología es el hecho de que se pueden definir entre ellas las operaciones suma y multiplicación. Veamos en primer lugar la suma de matrices. Si y entonces se define: para todo i, j.   A  aij mxn  B  bij mxn  A  B  aij  bij  mxn 5
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4Nota: Obsérvese que para poder sumar dos matrices, éstas deben ser del mismo orden.Ejemplos:  2 1 0 1 1 3  3 2 3a) Si A  B  A B     1 3 4 0 1 2   1 4 6  x  y u  3v   x  y 2u  2v  2 x 3u  v b) Si A   B A B    y 4   x  y 3   x 7  Si consideramos el conjunto de todas las matrices de orden " mxn" , Rmxn , entonces si:A  R mxn y B  R mxn , se sigue que A  B  R mxn , es decir que la suma de matrices es unaoperación interna en Rmxn .Propiedades de la suma de matrices1) Existe 0 mxn  R mxn , tal que Amxn  0 mxn 0 mxn  Amxn  AmxnLa matriz 0 mxn es aquella cuyos elementos son todos iguales a cero, y a ella llamaremosMatriz Cero o Matriz Nula. Se representará por 0 n . Si m = n.La matriz cero es el elemento identidad para la suma de matrices. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 002    0 3  0 0 0   04    0 0 0 0 0 0 0 0 0     0 0 0 0 6
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4  a11 a12  a a12  0 0  a11  0 a12  0  Si A   luego, A  0 2   11   A a 21 a 22    a 21 a 22  0 0 a 21  0 a 22  0      2) En Rmxn la suma de matrices es una operación conmutativa por ser los elementos de las matrices números reales y por verificarse la conmutatividad de la suma de números reales. O sea: Amxn  Bmxn  B mxn  Amxn3) En el conjunto Rmxn , la suma de matrices es asociativa, es decir, A, B, C  Rmxn entonces : A  B  C  A  B  C 4) Toda matriz Amxn ,  Rmxn , tiene una inversa aditiva  Amxn , tal que: Amxn   Amxn   0 mxn La matriz  Amxn es aquella cuyos elementos son los de Amxn cambiados de signo, es decir los inversos aditivos de los elementos de Amxn . A la matriz  Amxn también se le llama la negativa de Amxn . 4.5.2 Diferencia de Matrices Si A, B  R mxn , entonces la diferencia entre A, B , que se denota por A  B es una matriz C  Rmxn , tal que C es la suma de la matriz A A y la opuesta de B , es decir: C  A  B  A   B  Ejemplos: Dadas las matrices 1 2  2 1 A  0 4   B   3  1   6 5    0  1 Hallar a) A – B b) B – A 7
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 1 2   2 1  1 2  2  1  3 1  A  B  0 4   3  1 =      0 4 +   3 1  =   3 5        6 5  0    1 6 5  0  1  6 4        2 1  1 2   2 1    1  2   3  1B  A   3  1    0 4 =  3  1 +  0  4       =  3  5    0  1 6 5  0      6  5 1    6  4  4.5.3 Multiplicación de una Matriz por un Escalar Si A= [aij ]mxn y k R  k.A = [ kaij]mxnNota: El producto de una matriz por un número, es una matriz y no un número.Propiedades de la Multiplicación de una Matriz por un EscalarSean A y B matrices de orden " mxn" y " k " ^ "t" escalares  R , entonces se cumple :1) kA es una matriz de orden " mxn"2) k tA  kt A3) k A  B   kA  kB4) k  t A  kA  tA5) 1. A  A 8
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 4.5.4 Multiplicación de dos Matrices Si A es una matriz de orden mxp y B una matriz de orden pxn , entonces la matriz producto C = A. B es de orden " mxn" , en la cual el elemento cij viene dado por la suma de los productos formados multiplicando los elementos de la i-ésima fila de A i1 , ai 2 ,...,a ip  por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de a B  1 j , b2 j ,..., b pj  b  b1 j  b   2j  .   C ij  ai1 ai 2  ... a ip    ai1b1 j  ai 2 b2 j  ...  aip b pj  .   .    b pj   Simbólicamente:Dadas A  a ik mxp y , se define C=A.B   B  bkj pxn pdonde y C ij   a ik bkj C  cij  mxn k 1Debe tenerse en cuenta: a) Sólo es posible multiplicar una matriz A, por una matriz B, si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. En ese caso se dice que A es conforme con B respecto de la multiplicación. b) La matriz producto C  AB tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas de B. c) A fin de obtener el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de AB multiplicamos los elementos de la i-ésima fila de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B y sumamos los productos obtenidos. 9
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4Ejemplos  3  2  2 3 1a) Si A    B  1 0      1 0 3 4  1   3  2  2 3 1   23 3  14 1 2 2 30  1 1 a.1) Hallar AB   1 0   1 0 3     13 0  34  1  1 2  00  3 1   4  1   63 4  4  0  1 13  5AB      3  0  12 2  0  3   9  1Siendo la matriz A de orden 2x3, B de orden 3x2 la matriz que resulta al multiplicar AB es deorden 2.a.2) Hallar  3  2 32   2  1 33 20  3   23 1  2 3 1  BA  1 0      1 0 3   12 0 1 13 00  1  03  1     4  1    42   1 1 43  10 4   13 1  6  2 9  0 3  6  8 9  3BA   2  0 3  0 1  0   2 3 1       8  1 12  0 4  3 9 12 1     Siendo la matriz B de orden 3x2 , A de orden 2x3 la matriz que resulta al multiplicar BA es deorden 3.Propiedades de la Multiplicación de Matricesa) AB  C   AB  AC 1ra. Propiedad Distributivab) A  B C  AC  BC 2da. Propiedad Distributivac) ABC   AB C Propiedad AsociativaSin embargo,d) AB  BA En general no se cumple la propiedad conmutativa. 10
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4e) AB  0 Esto no implica necesariamente que A = 0 ó B=0f) AB  AC Esto no implica necesariamente que B = C4.5.5 Potencia Entera Positiva de una Matriz CuadradaSea una matriz cuadrada de orden “n”, luego si queremos obtener una potencia A  aij  entera positiva de dicha matriz cuadrada, sólo tenemos que multiplicarla por si mismatantas veces como lo indique la potencia.  2  1 1Ejemplos: Sea A  0 1 2 , entonces   1 0 1    2  1 1 2  1 1  22   10  1  2 1  1  10 2   12 1  1 1 1 1 2 0 1 2 0 1 2   02 10 2 A  AA   1 0 1 1  20 1 0  12  2   1 1     1 0 1 1 0 1   12 00  1      1 1 1 0  10  1 1  02 1   1 1  5  3 1 A   2 1 4  2   3  1 2   5  3 1   2  1 1 11  8 0A  A A   2 1 4 0 1 2   8  1 8 y así sucesivamente 3  2      3  1 2   1 0 1   8  4 3     A0  I4.6 Tipos Especiales de MatricesUna matriz cuadrada A cuyos elementos aij  0 para i  j se llama Matriz TriangularSuperior. 11
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4Ejemplo:  a11 a12 a13 a14  0 a 22 a 23 a 24 A  Los elementos debajo de la diagonal principal son cero. 0 0 a 33 a 34    0 0 0 a 44 Una matriz cuadrada A cuyos elementos aij  0 para i  j se denomina Matriz TriangularInferior.Ejemplo:  a11 0 0 0  a a 22 0 0 A  Los elementos encima de la diagonal principal son cero. 21  a31 a32 a33 0    a 41 a 42 a 43 a 44 La matriz que es a la vez triangular superior e inferior se identifica como Matriz Diagonal.En esta matriz tenemos aij  0 siendo i = jEjemplos a11 0 0 0  6 0 0 0 0 a 22 0 0  0 4 0 0 D  H   0 0 a33 0  0 0 3 0     0 0 0 a 44  0 0 0 5Matriz Escalar es una matriz diagonal donde se verifica que aij  0  k siendo k un escalar .Ejemplo: 6 0 0 0 0 6 0 0 C  0 0 6 0   0 0 0 6Matriz Unidad o Matriz Identidad es una matriz escalar donde el valor asignado ak =1Se representa por “I”. 12
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0  I2    I 3  0 1 0   I4    I 5  0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0   0 0 1      0 0 0 1 0 0 0 0 1 0  0 0 0 1 La matriz unidad I es el elemento idéntico o neutro para la multiplicación de matrices.Matrices Conmutativas y AnticonmutativasSi A y B son dos matrices cuadradas y se verifica que AB  BA , entonces dichas matrices sellaman Conmutativas. En las condiciones anteriores, si A y B son tales que AB   BA , entonces las matrices A y B se llaman Anticonmutativas.4.7 Matriz TraspuestaLa matriz traspuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz At , traspuesta de A, de ordennxm obtenida intercambiando las filas por las columnas. Abreviadamente si: , entonces  A  a ij mxn   A t  a ji nxmEjemplo  1  4  1 3 2Si A  3 6    At    2 5   4 6 5   Propiedades de la Matriz TraspuestaSean At y Bt, respectivamente, las traspuestas de las matrices A y B, “k” un escalar cualquiera,entonces vale que:1) A   A t t2) A  B t  A t  B t3) kAt  kAt4) AB t  B t At 13
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4Matriz SimétricaUna matriz cuadrada A tal que At =A se llama Matriz Simétrica. Por tanto, en una matrizcuadrada simétrica se verifica que aij  a ji para todos los valores de “i” y de “j”.   A  aijEjemplos: 1 2 3  2 4  1  2 4  5A B4 3 0    3  5 6     1 0 1   A y B son matrices simétricas.Matriz Antisimétrica (o hemisimétrica)Es una matriz cuadrada A tal que A t   A . Por tanto en una matriz cuadrada A antisimétricase verifica aij   a ji , para todo valor de “i” y de “j”.Evidentemente que los elementos de la diagonal principal deben ser nulos .Ejemplo:  0  1 2 A 1  0 4    2  4 0  4.8 Matriz Inversa. Matrices InversiblesSe dice que una matriz cuadrada A es inversible si existe una matriz B con la cual sesatisfaga la relación AB  BA  I , donde I es la Matriz Unidad. En estas condiciones, lamatriz B se llama la inversa de A y se escribe B  A 1 (B es igual a la inversa de A ).Recíprocamente, la matriz A es la inversa de B, y se puede escribir A  B 1 .Importante:No todas las matrices poseen inversa, pero si la tienen, es única.Ejemplo 2  3Hallar la inversa de A  1  1Una manera de hallar la inversa, consiste en suponer una matriz desconocida de orden igual ala que se conoce, donde cada elemento es una incógnita a determinar, que se obtienerealizando un producto matricial y posteriormente una igualdad de matrices, considerando lamatriz unidad de orden igual a la matriz dada. 14
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4Sea B la matriz inversa a determinar, I 2 la matriz unidad a considerar. a b  1 0B  I2    c d  0 1 2  3  a b  1 0 2a  3c 2b  3d  1 0AB  I 2         1  1  c d  0 1   a  c b  d  0 1    Planteando la igualdad de matrices: 1) 2a  3c  1 3) 2b  3d  0 2) a  c  0 4) b  d  1Resolviendo simultáneamente 1 y 2:De 2) a = c Sustituyendo en 1) 2a – 3a = 1 a = -1 c = -1Resolviendo simultáneamente 3 y 4:Multiplicando 4) por –3 y sumando con 3): 2b  3d  0  3b  3d  3  b  3 2b 23 b=3 ; d   2 3 3 luego d = 2Entonces: a b   1 3B   A 1 siendo la matriz B la inversa de A  c d    1 2   4.9 Dependencia Lineal de las Filas y las Columnas de una MatrizLlamaremos combinación lineal de varias líneas (filas y columnas) de una matriz, a otra líneaque resulte de sumar sus elementos después de multiplicarlos por ciertos números llamadoscoeficientes; con ello una línea (fila o columna) de una matriz se dice que es linealmentedependiente de otras paralelas a élla cuando es una combinación lineal de éllas.Por ejemplo, en la matriz A la tercera fila es linealmente dependiente de las dos primeras,pues F3  3F1  2 F2 15
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 1  2 3 4  0 1  2  5 A  3  4 5  2F1 = ( 1 -2 3 4) 3F1 = ( 3 - 6 9 12)F2 = ( 0 1 -2 -5) 2F2 = ( 0 2 - 4 -10)F3 = ( 3 - 4 5 2 ) 3F1 + 2F2 = ( 3 - 4 5 2 ) = F3En cambio , diremos que varias líneas paralelas son linealmente independientes ( o que noexiste una relación lineal entre éllas) cuando ninguna se puede expresar como combinaciónlineal de las otras. Por ejemplo en la matriz B: 1  2 3 4  0 1  2  5B Sus tres filas son linealmente independientes  0  4 5  24.10 Rango o Característica de una MatrizViene dado por el máximo número de líneas (filas o columnas) linealmente independientesque hay en una matriz. Si una línea de una matriz es combinación de otras paralelas a élla,al suprimirla se obtiene otra matriz de igual característica.4.11 Operaciones Elementales en MatricesSon operaciones que se efectúan con las líneas (filas o columnas) de una matriz que nomodifican ni su orden ni su característica. Las tres operaciones elementales sobre líneas son:1.- Intercambio de dos líneas (filas o columnas).2.- Producto (o división) de todos los elementos de una línea por su escalar  0 .3.- Suma de los elementos de una línea con los correspondientes de otra línea, luego demultiplicarlos por un escalar . 0 .4.12 Matrices EquivalentesDos matrices A y B se denominan equivalentes, A ~ B, si una de ellas se deduce de la otracomo consecuencia de de la aplicación de una o varias operaciones elementales de líneas. Lasmatrices equivalentes tienen el mismo orden e igual característica. 16
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 44.13 Matrices EscalonadasUna matriz está en la forma escalonada si se cumplen las condiciones siguientes:1) Todas las filas que consisten únicamente de ceros (si existen) aparecen en la parte de abajo de la matriz.2) El primer número distinto de cero (si empezamos por la izquierda) en cualquier fila que no consista únicamente de cero es igual a la unidad.3) Si dos filas sucesivas no consisten únicamente de ceros, entonces el primer uno en la fila inferior está más a la derecha que el primer uno de la fila superior.Ejemplos de matrices en la forma escalonada: 1 2 3 1  1 6 4  1 2 1 0 2 5A   0 1 5   B   0 1 2  8   C  D   0 0 1 0 0 0 1  0 1  0 0 1 2    4.14 Matriz en la Forma Escalonada ReducidaUna matriz está en la forma escalonada reducida si se verifican las tres condiciones requeridaspara tener una matriz escalonada y además se cumple que:“Cualquier columna que contenga el primer uno de una fila tendrá ceros en los demás lugares”.La diferencia entre las dos formas es clara. En la forma escalonada todos los números que estánabajo del primer uno de una fila son cero. En la forma escalonada reducida todos los números queestán arriba y abajo del primer uno de una fila son cero. Así, la forma escalonada reducida esmás exclusiva. Esto es, cualquier matriz en forma escalonada reducida está en formaescalada pero no inversamente.EjemploReduzca la siguiente matriz a la forma escalonada y escalonada reducida: 2  6 0 F1 A  2  2 2 F2   3  4 3 F3  Para formar la matriz escalonada realizamos en la matriz A las operaciones elementalessiguientes: 17
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 41 2  F 1 1  3 0  F1 1  3 0 F1 1  3  0 F1  F2 0  4  2 ;      1 F 2 0 1 4  1 ; 2 F2 0 1 1  2 F 3 3  4 3     3F1  F 3 0 5  3  5 F2  F 3 0 0   1   2 F1 1  3 0 F2 0 1  1  Esta matriz está escalonada 22 F 3 0 0  1 F1 1  3 0 3F2  F1 1 0 0  1 F3  F2 0 1 0 ; 2   F2 0 1 0   F3 0 0 1    F3  0 0 1  Esta matriz está en la forma escalonada reducida.4.15 Determinación del Rango o Característica de una MatrizEl rango o característica de una matriz podemos obtenerlo expresando dicha matriz en suforma escalonada mediante las operaciones elementales (matrices equivalentes). En ésta, elrango viene dado por el número de filas que no consista únicamente de ceros, lo cual secorresponde con el número de filas linealmente independiente de la matriz.EjemplosDetermine la característica en cada caso aplicando operaciones elementales. 1 2 1 4  21) A   4 3 5  Para A escalonamos la matriz:   1  2 6  7   F1 1 2  1 4 F1 1 2  1 4F1  F3  F2 0 0  10 6  ;   F2 0 0  10 6    F 1 F3 0 0  5  3  F 22 F3 0 0  0 0  18
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 F1 1 2  1 4   1 F2 10  0 0 1  6  Como la última fila es cero, entonces el rango de A es dos. 10 F3 0 0 0  0 Por tanto, r(A) = 2 1 2 3 22) B   2 3 5 1   Para B escalonamos la matriz: 1 3 4 5   F1 1 2 3 2 F1 1 2 3 2 2 F1  F2 0 1 1 3   ; F2 0 1 1 3   F3  F1 0 1 1 3   F2  F3 0 0 0 0  Como la ultima fila es cero, entonces el rango de B es dos (2)4.16 Cálculo de la Inversa de una Matriz Cuadrada A aplicando lasOperaciones Elementales de FilasProcedimento:1) Escribir la matriz aumentada A I  Utilizar las operaciones elementales para reducir la matriz A a su forma escalonada reducida.2) Decidir si la matriz A es invertible:   a) Si A puede ser reducida a la matriz identidad I, entonces la inversa de A A 1 es la matriz que está a la derecha de la barra vertical. b) Si al aplicar las operaciones por filas se obtiene alguna fila de ceros a la izquierda de la barra vertical, la matriz A no es invertible.Ejemplo 1 2 3 Hallar la inversa de A, si : A  1 3 3   1 2 4   19
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 Escribimos la matriz A y la matriz identidad de orden tres I3 , por ser A de orden tres. F1 1 2 3 1 0 0   F2 1 3 3 0 1 0 ; F3 1 2 4  0 0 1  F1  1 2 3 1 0 0    F2  F 1 1  1 3  2 3  3 0  1 1  0 0  0 F3  F 1 1  1 2  2 4  3  0 1 0  0 1 0  F1 1 2 3 1 0 0   F2 0 1 0  1 1 0 ; F3 0 0 1   1 0 1  2 F2  F1 0  1  2  2 0  3 2  1  2  0 0  0   F2  0 1 0 1 1 0  F3  0  0 1 1 0 1  F1 1 0 3 3  2 0   F2 0 1 0  1 1 0 F3 0 0 1   1 0 1   3F3  F1 0  1 0  0  3  0 3  3 0  2  3  0   F2  0 1 0 1 1 0  F3  0  0 1 1 0 1   F1 1 0 0 6  2  3   F2 0 1 0 1 1 0 F3 0 0 1  1 0 1 20
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4La matriz inversa es:  6  2  3 A   1 1 1  0  1 0  14.17 Ecuaciones con matrices. a) En la ecuación matricial: A+X = B donde A y B son matrices del mismo orden, podemos hallar la solución y dicha solución es única si : X = B + (-A) X es una matriz de igual orden que los sumandos A, B. b) Si la ecuación matricial es de la forma: AX= B donde A y B existen, entonces X existe siempre que exista la inversa de la matriz A y esté definido el producto de A 1 B . A 1 AX  A 1 B En éste caso: X  A 1 B 21
    • Algebra Superior Rosa De Peña Matrices Unidad 4 Bibliografía ConsultadaPoole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición).Mexico: Thomson Learning Iberoamerica.Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-HillInteramericana.Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda ediciónactualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). RepúblicaDominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto.Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas (Décimaedición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD.Notas de Cátedra de:Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior.Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.Direcciones Electrónicas:http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/index.htmhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices_jgrb/matrices_intro.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/index.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica) 22