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Mat 350 ejemplos integracion

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Ejemplos resueltos de integracion

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  • 1. CÁLCULO Y GEOMETRIA ANALITICA II MAT-350Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Peña Olivares Santo Domingo, D. N. Marzo, 2013 Ejemplos que corresponde a casos propuestos en el texto de Thomas :1. Sustitución de variables.2. Completar cuadrado .3. Integración trigonométrica.4. Fracción impropia.5. Separación de fracciones.6. Multiplicación por una forma de uno.7. Eliminación de raíces cuadradas. 1
  • 2. Ejemplos propuestos1. Sustitución de variables. ∫ ( ) Para evaluar la integral dada, vamos a realizar la sustitución: u = lnx du= Por lo que : ∫ ( ) ∫ ∫ ver en tabla de integración inmediata caso No. 16 que: ∫ = ∫ ( ) ∫( ) = ln(secu+tgu) +C Debido a que: W = tgu + secu dw = (sec2u + secu tgu ) du Sustituyendo u por su equivalente tendremos: ∫ ( ) = ln(sec lnx+tg lnx) + C2. Completar cuadrado. Organizamos el divisor para factorizar. ∫ ∫ ( ) ∫( ) Realizando la sustitución: z = x-1 dz= dx ∫ = 8 arctg z + C = 8 arc tg (x-1) + C ∫ 8 arc tg (x-1) + C 2
  • 3. 3. Integración trigonométrica. Desarrollando el binomio tenemos: ∫( ) ∫ ∫ ∫ En la distribución nos quedan las tres integraciones siguientes: a) ∫ b) ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) c) ∫ ∫( ) ∫ ∫ -x Sustituyendo en la integral inicial: ∫( ) tgx + ( ) -ctgx – x + C 3
  • 4. 4. Fracción impropia∫Se divide x entre x+1 : x x+1 -x-1 1 -1Sustituimos la fracción impropia por su equivalente:∫ =∫( ) =∫ -∫En la segunda parte de la integral podemos hacer una sustitución para teneruna integral inmediata:Es decir si : u = x+1 du = dx∫ =x-∫ = x - ln| | + C = x-ln | |+C∫ = x-ln | |+C 4
  • 5. 5. Separación de fracciones. En este ejemplo, tenemos dos términos en el numerador, por lo que tendremos dos integrales. Una para cada término del numerador entre el mismo divisor, como indicamos a continuación:∫ ∫ ∫ √ √ √Resolvemos cada integral por separado de modo que para la primera,∫√ Corresponde a la formula No. 21 dentro de las integralesinmediatas. Donde : a2 =1 ^ v2 = x2, Es decir: a = 1, v = x∫√ sen-1( ) + C = sen-1 x + C = arc sen x + CPor otra parte:∫√ Haremos u = 1- du = - 2x dx xdx= - ( ) ( )∫√ ∫ =- ∫ = ( )( ) √ √ +C=- √ +C∫√ sen-1 x - √ +C 5
  • 6. 6. Multiplicación por una forma de uno.Procedemos a multiplicar la integral a resolver por la forma de uno a utilizaren este caso que es: ( )De este modo:∫ ∫( )( ) ∫( ) ∫( ) ∫ ∫Como : ^∫ ∫ =∫ ∫∫ 6
  • 7. 7. Eliminación de raíces cuadradas.∫ √Mediante el uso de identidades, como:Sustituyendo dentro del radical:∫ √ ∫ √ =∫ √=√ ( )| = -√ cos √ cos 0 = -√ (-1) √ (1) =√ √ = 2√∫ √ = 2√ 7

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