Modelación en Flotación II

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  • Me gustó la manera como el autor describe el tema, asi mismo es bastante didactico en su presentación
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Modelación en Flotación II

  1. 1. Modelación en Flotación Mario A. Guevara Departamento de Metalurgia Universidad de Atacama Noviembre de 2001.
  2. 2. <ul><li>Objetivos </li></ul><ul><li>Conocer y representar mediante ecuaciones el fenómeno de flotación </li></ul><ul><li>Evaluar los parámetros de los modelos </li></ul><ul><li>Simular el proceso </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Temario </li></ul><ul><li>Conceptualización del sistema </li></ul><ul><li>Modelación flotación semibatch </li></ul><ul><li>Funciones de distribución continua </li></ul><ul><li>Funciones de distribución discreta </li></ul><ul><li>Evaluación de parámetros </li></ul><ul><li>Modelación contínua </li></ul>
  4. 4. Conceptualización del sistema de flotación Partículas libres Partículas unidas a burbujas Partículas unidas a burbujas Partículas libres Espuma Pulpa Alimentación Aire Relave Concentrado Aire
  5. 5. Conceptualización del sistema de flotación <ul><li>Tres son los enfoques </li></ul><ul><ul><li>Existencia de cuatro fases </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Una de partículas libres en la pulpa </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Partículas adheridas a burbujas en la pulpa </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Partículas libres en la espuma </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Partículas adheridas a burbujas en la espuma </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Dos fases </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Una de pulpa </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Otra de espuma </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Enfoque cinético </li></ul></ul>
  6. 6. Enfoque cinético <ul><li>Se considera que el evento de flotación ocurre análogo a una reacción química. </li></ul>+
  7. 7. Modelación flotación semi-batch <ul><li>Planteando el modelo en términos del componente residual en la celda </li></ul><ul><ul><li>donde: </li></ul></ul><ul><ul><li>M(t) = masa residual del componente en un tiempo t=t </li></ul></ul><ul><ul><li>M 0 = masa residual del componente para t=0 </li></ul></ul><ul><li>Integrando: </li></ul>
  8. 8. Modelación flotación semi-batch <ul><li>Resulta: </li></ul>1
  9. 9. Modelación flotación semi-batch <ul><li>Primer problema: </li></ul><ul><ul><li>La evidencia experimental muestra que, aún cuando el tiempo tienda a infinito, siempre existe una fracción de componente que no es flotable. </li></ul></ul><ul><ul><li>donde: </li></ul></ul><ul><ul><li>m 0 = masa residual flotable del componente en un tiempo t=0 </li></ul></ul><ul><ul><li>M 0 = masa residual del componente para t=0 </li></ul></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><ul><li>Se define un parámetro R  , que representa la fracción de masa flotable del componente de la mena (recuperación máxima obtenible) </li></ul></ul>
  10. 10. Modelación flotación semi-batch <ul><li>Aplicando el modelo ahora para el componente flotable remanente en la celda, m(t) , queda: </li></ul>10 0 10 -1 10 -2 10 -3 t 1 t 2 t 3 t 4 K = 1,0 K = 0,5
  11. 11. Modelación flotación semi-batch <ul><li>En flotación, la variable habitual que se utiliza es la recuperación, R , por lo tanto: </li></ul><ul><ul><li>como: </li></ul></ul>se obtiene
  12. 12. Modelación flotación semi-batch <ul><li>De acuerdo a la evidencia experimental, existen dos problemas más en el modelo derivado: </li></ul>1 2
  13. 13. Modelación flotación semi-batch <ul><li>De acuerdo a la evidencia experimental, existen dos problemas más en el modelo derivado: </li></ul><ul><ul><li>Si bien los valores tienden a representar un comportamiento lineal, la curva no tiende a f(t) = 1 en t=0 . </li></ul></ul><ul><ul><li>Esto se debe a que es difícil determinar el tiempo cero real de la experiencia </li></ul></ul><ul><li>Solución </li></ul><ul><ul><li>Se agrega un nuevo parámetro  , que permite obtener el tiempo real </li></ul></ul>
  14. 14. Modelación flotación semi-batch <ul><li>Tercer problema </li></ul><ul><ul><li>Para tiempos grandes, la pendiente varía haciéndose cada vez menos negativa, especialmente para f(t) < 0,1 . </li></ul></ul><ul><ul><li>Esto es debido al parámetro K , y puede deberse a dos factores </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Que K es función del tiempo </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Que K está estadísticamente distribuído </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Intuitivamente, es más razonable que K esté estadísticamente distribuído </li></ul></ul>
  15. 15. Modelación flotación semi-batch <ul><li>Se define como especie a todas aquellas partículas que tienen la misma velocidad de flotación </li></ul><ul><li>Este concepto agrupa la partícula misma como el medio ambiente, tanto químico como hidrodinámico. </li></ul><ul><li>Este concepto está basado en la respuesta de la mena frente a la flotación y no a las características de las partículas como individuos. </li></ul><ul><li>O sea, dos especies serán iguales si tienen la misma velocidad de flotación </li></ul><ul><li>Por lo tanto, cada mena en particular se caracterizará por una distribución inicial de especies que irá cambiando a medida de transcurra la flotación </li></ul>
  16. 16. Funciones de distribución p p+dp p 1 p 2 p 3  1  3  2
  17. 17. Modelación flotación semi-batch <ul><li>Estas funciones representan la probabilidad o frecuencia con que se presenta una cierta propiedad p . </li></ul><ul><ul><li> (p)dp representa la probabilidad o frecuencia con que se presenta la propiedad p , en el intervalo diferencial p a p+dp , en forma contínua. </li></ul></ul><ul><ul><li> j , representa la probabilidad o frecuencia con que se presenta la propiedad p j en forma discreta. </li></ul></ul>
  18. 18. Funciones de distribución continua f(0) k f(t 1 ) f(t 2 ) f(t 3 ) f(t 4 ) t 1 t 2 t 3 t 4 k + dk
  19. 19. Funciones de distribución continua <ul><li>La ecuación fundamental de modelación de flotación para una distrubución contínua de velocidades es, entonces: </li></ul><ul><li>el problema para resolverla es que la función distribución,  (k,t) , depende del tiempo </li></ul><ul><li>La suposición que se utiliza es que la velocidad de flotación sigue una cinética de primer orden , por lo tanto: </li></ul>
  20. 20. Funciones de distribución continua <ul><li>reordenando </li></ul>y resolviendo para: tenemos:
  21. 21. Funciones de distribución continua <ul><li>Reemplazando en la ecuación fundamental, se tiene: </li></ul><ul><li>esta ecuación se puede resolver conocido la distribución de velocidades inicial,  (k,0) , para el mineral. </li></ul>
  22. 22. Funciones de distribución continua Rectangular simple Rectangular doble Triangular Triangular invertida simple
  23. 23. Funciones de distribución continua Triangular invertida doble Gamma simple Gamma doble Triangular invertida simple
  24. 24. Funciones de distribución continua qxk m Rectangular simple k m <ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><ul><li>Encontrar la función distribución si la distribución de velocidades iniciales corresponde a una función rectangular simple </li></ul></ul>
  25. 25. Funciones de distribución continua <ul><li>Solución </li></ul>para esta ecuación, existen dos casos particulares cuando q toma los valores de cero y uno , y se obtiene:
  26. 26. Funciones de distribución discreta  1 t 1 t 2 t 3 k 1  2 k 2
  27. 27. Funciones de distribución discreta <ul><li>La ecuación fundamental de modelación de flotación para una distribución discreta de velocidades es, entonces: </li></ul><ul><li>el problema para resolverla es que la función distribución,  (k,t) , depende del tiempo </li></ul><ul><li>La suposición que se utiliza es que la velocidad de flotación sigue una cinética de primer orden , por lo tanto: </li></ul>
  28. 28. Funciones de distribución discreta <ul><li>reordenando </li></ul>y resolviendo para: tenemos:
  29. 29. Funciones de distribución discreta <ul><li>Reemplazando en la ecuación fundamental, se tiene: </li></ul><ul><li>esta ecuación se puede resolver conocido la distribución de velocidades inicial,  (k,0) , para el mineral. </li></ul>
  30. 30. Modelo de García-Zúñiga  t 1 t 2 t 3 k=0 1-  k=k
  31. 31. Modelo de Kelsall  t 1 t 2 t 3 k s 1-  k f
  32. 32. Modelo de Jowett  1 t 1 t 2 t 3 k s 1-  1 -  2 k f  2 k=0
  33. 33. Funciones de distribución discreta <ul><li>Observaciones: </li></ul><ul><ul><li>F(t), corresponde al sólido remanente en la celda </li></ul></ul><ul><ul><li>En términos de la recuperación, se debe utilizar la relación: </li></ul></ul>
  34. 34. Evaluación de parámetros Modelo de García-Zúñiga R  Método gráfico
  35. 35. Evaluación de parámetros Modelo de Kelsall  Método gráfico k s ln[1-  ] k f
  36. 36. Modelación de la flotación contínua <ul><li>La diferencia fundamental entre un sistema discreto y uno continuo se refiere al mecanismo de transporte de masa a través de la unidad </li></ul><ul><li>En un sistema semibatch, las partículas permanecen un mismo tiempo dentro de la celda </li></ul><ul><li>En una operación continua, la partículas muestran una distribución de tiempos de residencia </li></ul>
  37. 37. Modelación de la flotación contínua <ul><li>La metodología consiste en evaluar la función distribución de tiempos de residencia en una celda contínua y ponderarla de acuerdo al modelo semibatch. </li></ul>ó
  38. 38. Distribución de tiempos de residencia <ul><li>Para caracterizar el transporte de masa a través de un reactor se han planteado dos tipos de reactores ideales: </li></ul><ul><li>Flujo pistón </li></ul><ul><ul><li>La alimentación se desplaza dentro del reactor sin mezcla axial y con mezcla perfecta en dirección radial </li></ul></ul><ul><ul><li>las partículas tienen un mismo tiempo de residencia </li></ul></ul><ul><li>Mezcla perfecta </li></ul><ul><ul><li>El flujo de alimentación se dispersa homogenea e instantáneamente en todo el volumen de reactor </li></ul></ul><ul><ul><li>Las partículas tienen tiempos de residencia distintos </li></ul></ul>
  39. 39. Mezcla perfecta <ul><li>La distribución de tiempo de residencia para la mezcla perfecta tiene la expresión: </li></ul><ul><li>donde t es el tiempo promedio de la distribución (tiempo medio de residencia). </li></ul><ul><li>En forma adimensional </li></ul>
  40. 40. Mezcla perfecta <ul><li>para N reactores conectados en serie: </li></ul><ul><li>Se debe tomar en cuenta que si N tiende a infinito, el comportamiento de los reactores en serie es equivalente a un flujo pistón. </li></ul>
  41. 41. Modelo de García Zúñiga flotación continua <ul><li>Se debe resolver la ecuación: </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul>

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