Ecuaciones diferenciales

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clasificación de ecuaciones diferenciales y curvas solución.

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Ecuaciones diferenciales

  1. 1. CONSIDERACIONES HISTÓRICAS En física, ingeniería y química, y a veces en materias como biología, fisiología y economía, es necesario elaborar un modelo matemático para representar ciertos problemas. A menudo ocurre que estos modelos matemáticos suponen la búsqueda de una función desconocida que satisface una ecuación en la que las derivadas de la función desconocida desempeñan un importante papel. Tales ecuaciones se conocen como ecuaciones diferenciales EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES: x dx dy cos= 02 2 2 =+ yk dx yd 02)( 22 =−+ xydydxyx       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 y u x u h t u wtEwi Cdt di R dt id L cos 1 2 2 =++ 02 2 2 2 =+ dy Vd dx Vd (1) (2) (3) (6) (5) (4)
  2. 2. EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES: 0 3 2 2 =+−      w dx dw xy dx wd 043 3 =−+ xy dy dx x dy xd 087 3 2 2 =−      + y dx dy dx yd x dt xd dt yd =+ 2 2 2 2 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ (11) (10) (9) (8) (7)
  3. 3. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA Ecuación diferencial (ED): Es aquella ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes Para referirse a ellas, se clasifica a las ecuaciones diferenciales por su tipo, orden y linealidad. Clasificación por su tipo: Por su tipo las ecuaciones diferenciales se dividen en ordinarias y parciales Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) Ejemplos: x ey dx dy =+ 5 062 2 =+− y dx dy dx yd yx dt dy dt dx +=+ 2 Una EDO puede contener más de una variable dependiente
  4. 4. Si una ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial (EDP) Ejemplos: 02 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u t u t u x u ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ 22 2 2 2 x v y u ∂ ∂ −= ∂ ∂ En la mayoría de los libros las derivadas ordinarias se escriben con la notación de Leibniz, o bien, con la notación de Prima x ey dx dy =+5 x eyy =+′ 5 Ventaja de la notación de Leibniz sobre la notación de Prima Aunque es menos conveniente para escribir y componer tipográficamente, la notación de Leibniz tiene una ventaja sobre la notación de Prima en que muestra de manera clara tanto la variable dependiente como la independiente. 0162 2 =+ x dt xd Función desconocida o variable dependiente variable independiente
  5. 5. Clasificación por su orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. Por ejemplo: x ey dx dy dx yd =−      + 45 3 2 2 04)( =+− xdydxxy 02 =+′−′′ yyy Segundo orden Primer orden Clasificación por su linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en todas sus derivadas, es decir, la potencia de cada termino en que interviene y es 1 2 Propiedades características de una EDO lineal •La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´…..son de primer grado •Los coeficientes a0, a1,…..an de las derivadas dependen solo de la variable independiente x Ejemplos: x ey dx dy x dx yd =−+ 53 3 EDO de Segundo orden EDO de Primer orden EDO de Tercer orden
  6. 6. ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que es no lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o sus derivadas, como sen (y) o , no pueden aparecer en una ecuación lineal por consiguiente:y e ′ x eyyy =+′− 2)1( 02 2 =+ seny dx yd 02 4 4 =+ y dx yd Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primero, segundo y cuarto orden, respectivamente. Término no lineal: función no lineal de y Término no lineal el coeficiente depende de y Término no lineal potencia diferente de 1
  7. 7. x dx dy cos= 02 2 2 =+ yk dx yd 02)( 22 =−+ xydydxyx       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 y u x u h t u wtEwi Cdt di R dt id L cos 1 2 2 =++ 02 2 2 2 =+ dy Vd dx Vd (1) (2) (3) (6) (5) (4) EJERCICIOS PARA LA CARPETA En cada uno de los ejercicios siguientes indique si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal e indique su orden. 0 3 2 2 =+−      w dx dw xy dx wd 043 3 =−+ xy dy dx x dy xd 087 3 2 2 =−      + y dx dy dx yd x dt xd dt yd =+ 2 2 2 2 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ (7) (8) (9) (10) (11)
  8. 8. Solución de una EDOSolución de una EDO La función es una soluciónLa función es una solución de la ecuación diferencialde la ecuación diferencial xxy −= 2 12 −= x dx dy
  9. 9. SoluciónSolución cxxy +−= 2
  10. 10. SoluciónSolución 12 3 += x ey
  11. 11. Solución generalSolución general 13 += x cey
  12. 12. Solución de laSolución de la EDOEDO 2 xy = 02 =− ydyxdx
  13. 13. Solución generalSolución general 2 cxy =

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