Criterio de la Derivada

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Criterio de la Derivada

  1. 1. PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información. PDF generated at: Thu, 11 Nov 2010 16:41:00 UTC Criterio de la Derivada
  2. 2. Contenidos Artículos Criterio de la derivada de mayor orden 1 Criterio de la primera derivada 2 Criterio de la segunda derivada 3 Criterio de la tercera derivada 4 Extremos de una función 5 Punto de inflexión 6 Punto crítico 8 Punto de ebullición 9 Punto de fusión 10 Punto triple 11 Referencias Fuentes y contribuyentes del artículo 13 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 14 Licencias de artículos Licencia 15
  3. 3. Criterio de la derivada de mayor orden 1 Criterio de la derivada de mayor orden En matemáticas, el criterio de la derivada de mayor orden es usado para encontrar máximos, mínimos, y puntos de inflexión en la curva de un polinomio de grado n. El criterio Sea una función derivable en el intervalo y sea en el mismo tal que 1. ; 2. existe y no es cero. Entonces, 1. si n es par 1. es un punto máximo local. 2. es un punto mínimo local. 2. si n es impar es un punto de inflexion. Véase también • Criterio de la primera derivada • Criterio de la segunda derivada • Criterio de la tercera derivada • Extremos de una función • Punto de inflexión • Punto crítico • Punto estacionario
  4. 4. Criterio de la primera derivada 2 Criterio de la primera derivada Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico . Teorema valor máximo y mínimo "Sea un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto que contiene a . Si es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces puede clasificarse como sigue." 1. Si cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mínimo relativo en . 2. Si cambia de positiva a negativa en , entonces tiene un máximo relativo en . 3. Si es positiva en ambos lados de o negativa en ambos lados de c, entonces no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide. Véase también • Criterio de la segunda derivada • Criterio de la tercera derivada • Extremos de una función • Punto de inflexión • Punto crítico • Punto estacionario Enlaces externos • Criterio de la Primera Derivada. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo [1] • Criterio de la Primera Derivada. Uacj.mx [2] Referencias [1] http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_primera_derivada.htm [2] http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/crideri/cri_cri.html
  5. 5. Criterio de la segunda derivada 3 Criterio de la segunda derivada El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a , y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a y debe ser un máximo relativo de . Teorema Sea una función tal que y la segunda derivada de existe en un intervalo abierto que contiene a 1. Si , entonces tiene un mínimo relativo en . 2. Si , entonces tiene un máximo relativo en . Si , entonces el criterio falla. Esto es, quizás tenga un máximo relativo en , un mínimo relativo en o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada Véase también • Criterio de la primera derivada • Criterio de la tercera derivada • Extremos de una función • Punto de inflexión • Punto crítico • Punto estacionario Enlaces externos Criterio de la Segunda Derivada. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo [1] Referencias [1] http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_segunda_derivada.htm
  6. 6. Criterio de la tercera derivada 4 Criterio de la tercera derivada El Criterio o prueba de la Tercera Derivada es un método del cálculo matemático en el que se utiliza la tercera derivada para confirmar o comprobar los puntos de inflexión obtenidos a partir de la segunda derivada. Estos puntos de inflexión siempre son catalogados como posibles, ya que para comprobarlos hay que hacer la gráfica correspondiente. En algunos casos especiales cuando la segunda derivada es 0 en un punto que no es un punto de inflexión, es recomendable aplicar este criterio. Al utilizarlo no es necesario graficar para comprobar la veracidad de los puntos de inflexión. Procedimiento 1. Calculamos la primera, segunda y tercera derivada de 2. El resultado de la segunda derivada lo igualamos a 0 y obtenemos las raíces o posibles puntos de inflexión. 3. Se evalúa la tercera derivada con los valores de las raíces o posibles puntos de inflexión obtenidos en el paso anterior. Al momento de evaluar, en la raíz donde se anule (o se haga cero) la tercera derivada, allí no habrá un punto de inflexión. Si la tercera derivada no se anula, en esa raíz si habrá un punto de inflexión. 4. En la función original calculamos los valores de las ordenadas según se trate de una o de varias. Véase también • Criterio de la primera derivada • Criterio de la segunda derivada • Extremos de una función • Punto de inflexión • Punto crítico • Punto estacionario Enlaces externos • Puntos de inflexión (Thalex.cica.es) [1] • Puntos de inflexión (docentes.uacj.mx) [2] Referencias [1] http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto7/punto7.html [2] http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/concavidad/conc_puntos.html
  7. 7. Extremos de una función 5 Extremos de una función Extremos relativos o locales Sea , sea y sea un punto perteneciente a la función. Se dice que es un máximo local de si existe un entorno reducido de centro , en símbolos , donde para todo elemento de se cumple . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse . Análogamente se dice que el punto es un mínimo local de si existe un entorno reducido de centro , en símbolos , donde para todo elemento de se cumple . Extremos absolutos Sea , sea y sea un punto perteneciente a la función. Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de . Esto es: máximo absoluto de . Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de pertenenciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de . Esto es: mínimo absoluto de . Cálculo de extremos locales Dada una función suficientemente derivable , definida en un intervalo abierto de , el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo: 1. Se halla la primera derivada de 2. Se halla la segunda derivada de 3. Se iguala la primera derivada a 0: 4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: . 5. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable independiente en la función. 6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada : 1. Si , se tiene un máximo en el punto . 2. Si , se tiene un mínimo en el punto . 3. Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es: 1. Si la derivada es par, se trata de un extremo local; un máximo si y un mínimo si 2. Si la derivada no es par, se trata de un punto de inflexión, pero no de un extremo.
  8. 8. Extremos de una función 6 Ejemplo Sea . Hallar sus extremos locales y sus puntos de inflexión. Dada la función , se tiene que: • Extremos: existe un máximo en . existe un mínimo en . • Puntos de inflexión . existe un punto de inflexión en . Véase también • Criterio de la derivada de mayor orden Punto de inflexión Gráfico de y = x 3 con un punto de inflexión en el punto (0,0). Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe. En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura. Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:
  9. 9. Punto de inflexión 7 Gráfico de y = x 3 , rotado, con tangente en el punto de inflexión en el punto (0,0). 1. Se halla la primera derivada de 2. Se halla la segunda derivada de 3. Se halla la tercera derivada de 4. Se iguala la segunda derivada a 0: 5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: . 6. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función. 7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada : 1. Si , se tiene un punto de inflexión en . 2. Si , debemos sustituir en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es: 1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión. 2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión. La ecuación no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en es la derivada cuarta, que es positiva. Obsérvese que tampoco presenta un extremo en . Véase también • Criterio de la tercera derivada • Criterio de la segunda derivada • Criterio de la primera derivada • Extremos de una función • Punto crítico • Punto de silla • Punto estacionario • Teoría de la bifurcación • Teoría de las catástrofes
  10. 10. Punto crítico 8 Punto crítico Un típico diagrama de fase. La curva roja muestra la variación de la temperatura de sublimación de una sustancia. La curva verde marca la variación del punto de congelación (el tramo de curva verde con puntos muestra el comportamiento anómalo del agua) y la curva azul, la del punto de ebullición. Se muestra cómo la temperatura de sublimación, la de congelación y la de ebullición varían con la presión. El punto de unión entre las tres curvas. la roja, la verde y la azul, es el punto triple. El punto crítico se ve en el extremo derecho de la curva azul. En las matemáticas un punto crítico es un lugar donde una función tiene el gradiente idéntico a cero, pero en las ciencias físicas un punto crítico es aquel límite para el cual el volumen de un líquido es igual al de una masa igual de vapor o, dicho de otro modo, en el cual las densidades del líquido y del vapor son iguales. Si se miden las densidades del líquido y del vapor en función de la temperatura y se representan los resultados, puede determinarse la temperatura crítica a partir del punto de intersección de ambas curvas. Temperatura y presión por encima de la cual no se puede condensar un gas. Condiciones matemáticas del punto crítico En el punto crítico se verifica: siendo la presión , el volumen molar, la temperatura y la temperatura crítica del sistema considerado. Véase también • Punto de ebullición • Punto de fusión • Punto triple • Teoría de las catástrofes
  11. 11. Punto de ebullición 9 Punto de ebullición Puntos de fusión en azul y puntos de ebullición en rosa de los primeros ocho ácidos carboxilicos (en °C). El punto de ebullición es aquella temperatura en la cual la materia cambia de estado líquido a gaseoso, es decir se ebulle. Expresado de otra manera, en un líquido, el punto de ebullición es la temperatura a la cual la presión de vapor del líquido es igual a la presión del medio que rodea al líquido. [1] En esas condiciones se puede formar vapor en cualquier punto del líquido. La temperatura de una sustancia o cuerpo depende de la energía cinética media de las moléculas. A temperaturas inferiores al punto de ebullición, sólo una pequeña fracción de las moléculas en la superficie tiene energía suficiente para romper la tensión superficial y escapar. Este incremento de energía constituye un intercambio de calor que da lugar al aumento de la entropía del sistema (tendencia al desorden de las partículas que lo componen). El punto de ebullición depende de la masa molecular de la sustancia y del tipo de las fuerzas intermoleculares de esta sustancia. Para ello se debe determinar si la sustancia es covalente polar, covalente no polar, y determinar el tipo de enlaces (dipolo permanente - dipolo inducido o puentes de hidrógeno) Cálculo del punto de ebullición El punto de ebullición normal puede ser calculado mediante la fórmula de Clausius-Clapeyron: donde: =Punto de ebullición normal en Kelvin = Constante ideal del gas, 8,314 J · K -1 · mol -1 = Presión del vapor a una temperatura dada, en atmósferas (atm) = Calor de vaporización del líquido, J/mol = La temperatura dada en Kelvin = logaritmo en base e Referencias [1] Química. Problemas y ejercicios de aplicación para Química Autor: Mohina, Davel Editorial: Eudeba Edición: 1º-2010 ISBN : 978-950-23-1702-1 pagina 27 Véase también • Punto de fusión • Elevación del punto de ebullición • Punto crítico • Propiedades físicas de los cuerpos
  12. 12. Punto de fusión 10 Punto de fusión Puntos de fusión (en azul) y puntos de ebullición (en rosado) de los ocho primeros ácidos carboxilicos (°C). El punto de fusión es la temperatura a la cual la materia pasa de estado sólido a estado líquido, es decir, se funde. Al efecto de fundir un metal se le llama fusión (no podemos confundirlo con el punto de fusión). También se suele denominar fusión al efecto de licuar o derretir una sustancia sólida, congelada o pastosa, en líquida. En la mayoría de las sustancias, el punto de fusión y de congelación, son iguales. Pero esto no siempre es así: por ejemplo, el Agar-agar se funde a 85 °C y se solidifica a partir de los 31 °C a 40 °C; este proceso se conoce como histéresis. Aplicación A diferencia del punto de ebullición, el punto de fusión es relativamente insensible a la presión y, por tanto, pueden ser utilizados para caracterizar compuestos orgánicos y para comprobar la pureza. El punto de fusión de una sustancia pura es siempre más alto y tiene una gama más pequeña que el punto de fusión de una sustancia impura. Cuanto más impuro sea, más bajo es el punto de fusión y más amplia es la gama. Eventualmente, se alcanza un punto de fusión mínimo. El cociente de la mezcla que da lugar al punto de fusión posible más bajo se conoce como el punto eutéctico. perteneciente a cada átomo de temperatura de la sustancia a la cual se someta a la fusión. Véase también • Punto de ebullición • Punto de congelación • Punto triple • Punto crítico • Propiedades físicas de los cuerpos
  13. 13. Punto triple 11 Punto triple Un típico diagrama de fase. La línea verde marca el punto de congelación, la azul, el punto de ebullición y la roja el punto de sublimación. Se muestra como estos varían con la presión. El punto de unión entre las líneas verde, azul y roja es el punto triple. La línea con puntos muestra el comportamiento anómalo del agua. El punto triple es aquel en el cual coexisten en equilibrio el estado sólido, el estado líquido y el estado gaseoso de una sustancia. Se define con una temperatura y una presión de vapor. El punto triple del agua, por ejemplo, está a 273,16 K (0,01 °C) y a una presión de 611,73 Pa ITS90. Esta temperatura, debido a que es un valor constante, sirve para calibrar las escalas Kelvin y Celsius de los termómetros de mayor precisión. Punto triple del agua La única combinación de presión y temperatura a la que el agua, hielo y vapor de agua pueden coexistir en un equilibrio estable se produce exactamente a una temperatura de 273,1598 K (0,0098 °C) y a una presión parcial de vapor de agua de 611,73 pascales (6,1173 milibares, 0,0060373057 atm). En ese momento, es posible cambiar el estado de toda la sustancia a hielo, agua o vapor arbitrariamente haciendo pequeños cambios en la presión y la temperatura. Se debe tener en cuenta que incluso si la presión total de un sistema está muy por encima de 611,73 pascales (es decir, un sistema con una presión atmosférica normal), si la presión parcial del vapor de agua es 611,73 pascales, entonces el sistema puede encontrarse aún en el punto triple del agua . Estrictamente hablando, las superficies que separan las distintas fases también debe ser perfectamente planas, para evitar los efectos de las tensiones de superficie. El agua tiene un inusual y complejo diagrama de fase (aunque esto no afecta a las consideraciones generales expuestas sobre el punto triple). A altas temperaturas, incrementando la presión, primero se obtiene agua líquida y, a continuación, agua sólida. Por encima de 109 Pa aproximadamente se obtiene una forma cristalina de hielo que es más denso que el agua líquida. A temperaturas más bajas en virtud de la compresión, el estado líquido deja de aparecer, y el agua pasa directamente de sólido a gas. A presiones constantes por encima del punto triple, calentar hielo hace que se pase de sólido a líquido y de éste a gas, o vapor. A presiones por debajo del punto triple, como las encontradas en el espacio exterior, donde la presión es cercana a cero, el agua líquida no puede existir. En un proceso conocido como sublimación, el hielo salta la fase líquida y se convierte directamente en vapor cuando se calienta. La presión del punto triple del agua fue utilizada durante la misión Mariner 9 a Marte como un punto de referencia para definir "el nivel del mar". Misiones más recientes hacen uso de altimetría láser y gravimetría en lugar de la presión atmosférica para medir la elevación en Marte.
  14. 14. Punto triple 12 Tabla de puntos triples En esta tabla se incluyen los puntos triples de algunas sustancias comunes. Estos datos están basados en los proporcionados por la National Bureau of Standards (ahora NIST) de los EE.UU de América. [1] Sustancia T (K) P (kPa) Acetileno 192,4 120 Amoníaco 195,40 6,076 Argón 83,81 68,9 Grafito 3900 10100 Dióxido de carbono 216,55 517 Monóxido de carbono 68,10 15,37 Deuterio 18,63 17,1 Etano 89,89 8 × 10 −4 Etileno 104,0 0,12 Helio-4 2,19 5,1 Hidrógeno 13,84 7,04 Cloruro de hidrógeno 158,96 13,9 Mercurio 234,2 1,65 × 10 −7 Metano 90,68 11,7 Neón 24,57 43,2 Óxido nítrico 109,50 21,92 Nitrógeno 63,18 12,6 Óxido nitroso 182,34 87,85 Oxígeno 54,36 0,152 Paladio 1825 3,5 × 10 −3 Platino 2045 2,0 × 10 −4 Dióxido de azufre 197,69 1,67 Titanio 1941 5,3 × 10 −3 Hexafluoruro de uranio 337,17 151,7 Agua 273,16 0,61 Xenón 161,3 81,5 Zinc 692,65 0,065 Referencias [1] Yunus A. Cengel, Robert H. Turner. Fundamentals of thermal-fluid sciences. McGraw-Hill, 2004, p. 78. ISBN 0-07-297675-6
  15. 15. Fuentes y contribuyentes del artículo 13 Fuentes y contribuyentes del artículo Criterio de la derivada de mayor orden  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38013425  Contribuyentes: GermanX, Veon, 5 ediciones anónimas Criterio de la primera derivada  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38013484  Contribuyentes: Caritdf, GermanX, 6 ediciones anónimas Criterio de la segunda derivada  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38013512  Contribuyentes: Antocero, Caskete, Diegusjaimes, GermanX, 9 ediciones anónimas Criterio de la tercera derivada  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38013546  Contribuyentes: Bedwyr, GermanX, Javialacarga, 10 ediciones anónimas Extremos de una función  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40343407  Contribuyentes: Grt, Jeanne, Manuel Trujillo Berges, Tano4595, Tuncket, 20 ediciones anónimas Punto de inflexión  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41586045  Contribuyentes: .José, Airunp, Alfredobi, Amontero, Davidfierro, Diegusjaimes, Dodo, Erik Mora, Gaianauta, GermanX, Greek, Ingenioso Hidalgo, Isha, Jeanne, Matdrodes, Maurete, Netito777, Oscar León, Sargentgarcia89, Tano4595, 17 ediciones anónimas Punto crítico  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40242320  Contribuyentes: .José, Aadrover, Emijrp, GermanX, Ialad, Juan Marquez, Khesus99, Siquisai, Tano4595, Wikicarlos, Xuankar, 32 ediciones anónimas Punto de ebullición  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41507421  Contribuyentes: 4lex, Alvaro qc, Amanuense, Angel GN, Antur, AstroNomo, Avex trax, BetoCG, BlackBeast, Chicoquark, Damifb, Deshgloshe, Diegusjaimes, Dreitmen, Eduardosalg, Emijrp, Equi, Er Komandante, Error de inicio de sesión, EwARo, Furado, GermanX, Gonis, HUB, Hernandezricopablo, Humberto, Ialad, Internete, Interwiki, Isha, J'88, JaviMad, Javierito92, Jorge c2010, Kojie, Kokoo, LMLM, Lucien leGrey, Magister Mathematicae, Manwë, Matdrodes, Maveric149, Mel 23, Moriel, Muro de Aguas, Nacho haller, Netito777, Neverynnubugs, Ninovolador, Nioger, Ooscarr, Ortisa, PhJ, PoLuX124, Poco a poco, Retama, Roberpl, Sergiportero, Snow white dntwry, Tano4595, Tirithel, Wastingmytime, Wikisilki, Wolverine26, Xuankar, 236 ediciones anónimas Punto de fusión  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41601159  Contribuyentes: Aibdescalzo, Airunp, Anderander, Andre Engels, Andreasmperu, Avex trax, Ayleen, Camila ramirez baez, Cobalttempest, Ctrl Z, Darolu, Dem, Dianai, Diegusjaimes, Dodo, Dreitmen, Edmenb, Emijrp, Equi, Er Komandante, Fabiodominguez, Fmariluis, Foundling, Furti, GermanX, Grancibertruan, Gustronico, HUB, Icvav, Internete, Interwiki, Isha, JMCC1, JaviMad, JerryFriedman, Jorge c2010, Manwë, Matdrodes, Maveric149, Moriel, Netito777, Ortisa, PhJ, PoLuX124, Poromiami, R2D2!, Roberpl, S3b4s, Santiperez, Tano4595, Tirithel, Troodon, Xenoforme, Xuankar, Xvazquez, Yeza, ZrzlKing, 148 ediciones anónimas Punto triple  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41243995  Contribuyentes: AdeVega, Af3, Alex28, Ascánder, BludgerPan, Cárdenas, Dodo, Drivera90, Echani, Emijrp, Ener6, FAR, GermanX, GomoX, Gonis, Joseaperez, Khesus99, Llull, Loqu, Lsg, Mar del Sur, Matdrodes, Moriel, Mpeinadopa, Numbo3, Raulgotor, Taichi, Tano4595, Vitamine, Xatufan, Xenoforme, Xuankar, Youssefsan, conversion script, 32 ediciones anónimas
  16. 16. Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 14 Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:x cubed plot.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:X_cubed_plot.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Darapti, EugeneZelenko, Juiced lemon, Qualc1, StuRat, W!B: Archivo:X cubed rotated plot.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:X_cubed_rotated_plot.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Darapti, EugeneZelenko, Kilom691, StuRat Archivo:Phase-diag es.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Phase-diag_es.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: No author info on original file Phase-diag.svg; Translation by khesus99 Archivo:Carboxylic.Acids.Melting.&.Boiling.Points.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Carboxylic.Acids.Melting.&.Boiling.Points.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Bender235, Kurgus, Rhadamante
  17. 17. Licencia 15 Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

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