7. Сеть (теория графов)
3
5 2
исток 2 1 сток
(source) (sink)
2 4 2
Пропускная способность ребра
8. Поток (flow)
Величина потока: 4 2/3
2/5 2/2
4 0/2 0/1 4
2/2 2/4 2/2
Поток: функция f( )→R
С ограничениями:
1. В узлах вода не проливается
2. Трубы не лопаются
9. Разрез (s-t cut)
S
исток сток
(source) (sink)
T
Максимальный поток ≤ Пропускной способности разреза
10. Разрез (s-t cut)
3
S 5 2
исток 2 1 сток
(source) (sink)
2 4 2
T
Пропускная способность разреза: 7
11. Min-cut → Max-flow
• Теорема Форда-Фалкерсона:
– Задачи Min-cut и Max-flow равносильны
Min-cut
Max-flow
12. Семейство функций
1 шаг 2 шаг
+ условие субмодулярности
на Eij(∙, ∙) • NP-complete
• Приближенное решение
• Точный эффективный алгоритм • Эффективные алгоритмы
• Глобальное решение • Частные случаи
13. Минимизация E → Min-cut
0
+ условие субмодулярности
на Eij(∙, ∙)
Условие субмодулярности
1
14. Max-flow: алгоритмы решения
IBFS with dynamic trees
data structure
Реализации
• BK (Boykov, Kolmogorov)
• IBFS (Goldberg et. al)
• Доступен исходный код
15. Расширение задачи
+ условие субмодулярности на Eij(∙, ∙)
«Minimizing Nonsubmodular Functions with QPBO
Graph Cuts» Quadratic Pseudo-Boolean Optimization
Kolmogorov & Rother, PAMI 2007
Приближенное решение
Оценка снизу оптимального значения E(x)
NP-complete
16. Расширение задачи
+ ограничения
Множество методов: Совсем универсального метода нет
• α-expansion
Вернее есть (TRW), но
• αβ-replace основан не на graph-cuts.
• SMD Работает значительно
• SMR дольше.
• Модификации α,β-замены
• …
(учет специфики задачи, различные ограничения)
NP-complete
17. Приложения
Анализ
медицинских
изображений
GrabCut, вырезание фона MS Office
Разметка изображения
Прогнозирование вспышек
Метрический классификатор
Карта глубины по стерео
Визильтер, 2011
изображению
18. Что читать дальше
Energy Minimization Methods in Computer Vision and Pattern Recognition
Boykov, Y.; Kahl, F.; Lempitsky, V.; Schmidt, F.R. (Eds.), 2011
Kolmogorov, Zabin, PAMI 2004
«What energy functions can be minimized via graph cuts?»
Structured Learning and Prediction in Computer Vision
Nowozin, Lampert, 2011 Now Publishers
