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Projetoaprendizagemexecuçao
 

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    Projetoaprendizagemexecuçao Projetoaprendizagemexecuçao Document Transcript

    • O SURGIMENTO E A EVOLUÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOSOs números são bastante utilizados em nosso dia a dia. Eles nos cercam e ajudam a entender omundo no qual vivemos. O surgimento dos números iniciasse na pré-história, quando ele passaa comparar conjuntos de objetos para aprender a contar. Surgi nesse período, o conjunto dosnúmeros naturais. Com as operações comerciais sobre ganhos e perdas (dívidas) e anecessidade de representar o valor de perdas (números negativos) surgiram os númerosinteiros. Com o comércio e a necessidade de medir comprimento surgiram os númerosracionais. Os irracionais surgiram, também, da necessidade de medir. E eles foram ocomplemento dos números racionais para formar o conjunto dos números reais. Todos essesnúmeros não apareceram gradativamente. Eles existiam nas sociedades antigas, mas asoperações matemáticas que resultavam em números fora do conjunto numérico conhecido daépoca eram chamadas de números absurdos. Somente com a evolução da sociedade foramaceitos e preencheram nossas necessidades de interpretar o mundo.Vídeo:http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=j8IQjaD1m3gAlguns símbolos antigosNo começo da história da escrita de algumas civilizações como aegípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiroseram anotados pela repetição de traços verticais: I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII 1 2 3 4 5 6 7 8 9Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contarmais do que quatro termos: IIII IIII IIII IIII IIII I II III IIII IIII I II III IIII I 1 2 3 4 5 6 7 8 9Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notíciaé o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e eracomposto pelos seguintes símbolos numéricos:
    • Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia,criado a aproximadamente 4 mil anos.Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas comas partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias osindivíduos chegavam a contar até o número 33.O ábacoO ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular comfileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimaldiferente, nas quais correm pequenas bolasNo princípio, os sistemas de numeração não facilitavam oscálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar oscálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizaçõesorientais e ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado de sorobane na China de suánpan, que significa bandeja de calcular.
    • O Sistema de numeração Indo-ArábicoNosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculosno Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem esua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher dafamília, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos,multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve terocorrido por acaso. Inglês Francês Latim Grego Italiano Espanhol three trois tres treis tre tres Sueco Alemão Russo Polonês Hindu Português tre drei tri trzy tri trêsNotas históricas sobre a atual notação posicionalFoi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, quenasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o queé comprovado por vários documentos, além de ser citado porárabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrionalusaram por muito tempo uma numeração rudimentar que apareceem muitas inscrições do século III antes de Cristo.Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno.Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9o que significava que um número como o 5 não era entendidocomo 5 unidades mas como um símbolo independente.Por muito tempo, estes algarismos foram denominadosalgarismos arábicos, de uma forma errada.Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hinduspassaram a usar a notação por extenso para os números, poisnão podiam exprimir grandes números por algarismos.
    • Sem saber, estavam criando a notação posicional e também ozero.Cada algarismo tinha um nome: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 eka dvi tri catur pañca sat sapta asta navaQuando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cadacentena e cada milhar, recebeu um nome individual:10 = dasa100 = sata1.000 = sahasra10.000 = ayuta100.000 = laksa1.000.000 = prayuta10.000.000 = koti100.000.000 = vyarbuda1.000.000.000 = padmaAo invés de fazer como hoje, de acordo com as potênciasdecrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordemcrescente das potências de 10 por volta do século IV depois donascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades,depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. Onúmero 3.709 ficava: 9 700 3000 nove sete centos três mil nava sapta sata tri sahasraPoderiamos escrever o número 12.345 como
    • pañca caturdasa trisata dvisahasra ayutapois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo:5 = pañca40 = catur dasa300 = tri sata2.000 = dvi sahasra10.000 = ayutapañca caturdasatrisatadvisahasraayutaEsta já era uma forma especial.Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de10, por volta do século V depois do nascimento de Jesus Cristo,os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar anotação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos númerosgrandes, assim o número 12.345 que era escrito como:pañca caturdasa trisata dvisahasra ayutapassou a ser escrito apenas:54321 = pañca catur tri dvi dasa12345 = 5 +4×10 +3×100 +2×1000 +1×10000e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicionalexcelente para a época, mas começaram a acontecer algunsproblemas como escrever os números 321 e 301.321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100321 = dasa dvi tri301 = 1 + 3 x 100301 = dasa tri
    • É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois:31 = 1 + 3 x 1031 = dasa triNo número 301 faltava algo para representar as dezenas.Para construir este material, usamos algumas partes doexcelente livro: "Os números: A história de uma grandeinvenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985, com apermissão da Editora.Notas históricas sobre a criação do zeroTendo em vista o problema na construção dos números como 31e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio(ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem umacento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela).Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de umalgarismo para representar as dezenas no número 301 e assimpassaram a escrever: 301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100 301 = dasa sunya triOs hindus tinham acabado de descobrir o zero.Porém, estas notações só serviam para as palavras e não paraos números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zerobem como o atual sistema de notação posicional.Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é umtratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado nadata de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por ummovimento religioso hindú para enaltecer as suas própriasqualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número14.236.713 escrito claramente: triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam
    • três um sete seis três dois quatro umEscrever tais números na ordem invertida, fornece: um quatro dois três seis sete um três 1 4 2 3 6 7 1 3Números como 123.000 eram escritos como:sunya sunya sunya tri dvi dasaque significa:zero zero zero três dois umque escrito na ordem invertida fornece:um dois três zero zero zeroNo texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "porordem de posição".Observamos que tal notação posicional já era então conhecida noquinto século de nossa era por uma grande quantidade decientistas e matemáticos.Para escrever este material, usamos alguns tópicos do excelentelivro: "Os números: A história de uma grande invenção", GeorgesIfrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985.Notação PosicionalO sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta doséculo V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nossistemas dos egípcios e chineses.No sistema de numeração indiana não posicional que aparece noséculo I não existia a necessidade do número zero.
    • Notação (ou valor) posicional é quando representamos umnúmero no sistema de numeração decimal, sendo que cadaalgarismo tem um determinado valor, de acordo com a posiçãorelativa que ele ocupa na representação do numeral.Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando ovalor do número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudandoas posições dos algarismos teremos 21. 12 = 1 × 10 + 2 21 = 2 × 10 + 1O zero foi o último número a ser inventado e o seu usomatemático parece ter sido criado pelos babilônios. Osdocumentos mais antigos conhecidos onde aparece o númerozero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nestaépoca, os números continham no máximo três algarismos.Um dos grandes problemas do homem começou a ser arepresentação de grandes quantidades. A solução para isto foiinstituir uma base para os sistemas de numeração. Os numeraisindo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeraçãousam a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu emcorrespondência com os dedos das mãos de um indivíduonormal.Na base dez, cada dez unidades é representada por umadezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.Alguma vez você questionou sobre a razão pela qual há 360graus em um círculo? Uma resposta razoável é que 360=6x60 e60 é um dos menores números com grande quantidade dedivisores, como por exemplo: D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}Os indianos reuniram as diferentes características do princípioposicional e da base dez em um único sistema numérico. Estesistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos
    • árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posiçãoque um número se encontra seu valor é diferente.O Sistema Romano de NumeraçãoO sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja,sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje emrepresentações de séculos, capítulos de livros, mostradores derelógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos derepresentações oficiais em documentos. Estas eram as primeirasformas da grafia dos algarismos romanos.Tal sistema não permite que sejam feitos cálculos, não sedestinavam a fazer operações aritméticas mas apenasrepresentar quantidades. Com o passar do tempo, os símbolosutilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma com umvalor numérico: Letra I V X L C D M Valor 1 5 10 50 100 500 1000 Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos MilEstas letras obedeciam aos três princípios: 1. Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior. VI = 5 + 1 = 6 XII = 10 + 1 + 1 = 12 CLIII = 100 + 50 + 3 = 153 2. Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do maior. IX = 10 - 1 = 9 XL = 50 - 10 = 40 VD = 500 - 5 = 495
    • 3. Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa milhão. Relação entre os conjuntos