5 Problemas con ejemplos
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5 Problemas con ejemplos 5 Problemas con ejemplos Document Transcript

  • Procesos Industriales Área ManufacturaEjemplos de: Bernoulli, Distribución Binomial,Poisson, Distribución Normal, Distribución Gamma YT Student Oscar Rolando de Santiago Gaytán 2 “A”
  • EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DEPROBABILIDAD NORMAL 1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80 σ = 14 z a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90 μ Probabilidad acumulada. 0.7611 z = 0.3594 z = p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017 b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. 0.3594 z p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 μ c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
  • p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. 0.2389 z = 55 70 80 0.0367 μ z = p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.20222.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos enDown River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibióuna solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: µ= $70,00 σ =$20,0 za) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 z = p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000 μ
  • b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 z = 0.4013 z = 65000 70000 80000 μ p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) 65000 70000 μ Probabilidad acumulada. 0.4013 z = p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.
  • µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. za) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad acumulada. 0.1335 z = p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3 μ 30 35 38.3 μb) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad acumulada. 0.3300 z = 0.1335 z = p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad acumulada. 0.5910 0.1335
  • z = z = 30 38.3 µ = 1,200 μ p(30 ≤ x ≤ 40) = σ = 225 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 z = 45.75% Probabilidad acumulada. 5% = .0500 4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 5% ó 0.0500 z 1.65 X= 1,571.25 x = 1,571.25
  • 5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidadprivada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que ladistribución de los costos anuales se rigen por una distribución deprobabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de¿Qué cantidad? 95% ó 0.9500z 1.64 x = 27,462. X= 27,46275 µ = 20,082 z σ = 4,500 Probabilidad Valor acumulada. de z 95% = .9500 =
  • EJEMPLOS DE POISSON-Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el3% de los alumnos de contabilidad son muyinteligentes ¿ Calcular la probabilidad de quesi tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellossean muy inteligentes- n= 100- P=0.03- =100*0.03=3- x=5-Ejemplo2.- La producción de televisores enSamsung trae asociada una probabilidad de
  • defecto del 2%, si se toma un lote o muestrade 85 televisores, obtener la probabilidad queexistan 4 televisores con defectos.- n=85- P=0.02- P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746- X=4- =1.7-Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 deellos hablan ruso calcular la probabilidad deque si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablanruso- n=20- P=0.15 P (x=3)=(e^8)(3^3)/3!=0.2240418- X=3- =3- Ejemplo4.- El 8% de los registros contablesde una empresa presentan algún problema,si un auditor toma una muestra de 40registros ¿Calcular probabilidad de queexistan 5 registros con problemas?
  • - n=40- P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793- =3.2- X=5 -Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas? n=40 P=0.08 =10
  • EJEMPLOS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIALEJEMPLO 1.-
  • En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales seresponde declarando“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el75% de los casos larespuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examentirando dos monedas, pone“falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si almenos hay una cruz. Sedesea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14aciertos.Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de ladistribución y el punto k a partirdel cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y elpunto k=14.Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretasBinomial (n,p)n: Número de pruebas 20p: Probabilidad de éxito 0,7500Punto K 14Probabilidad Pr[X=k] 0,1686Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172Media 15,0000Varianza 3,7500La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúaen 0,61.
  • T-STUDENTEjemplo1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará unpromedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedioesta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado caeentre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con estaafirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25focos cuya duración fue?:520 521 511 513 510 µ=500 h513 522 500 521 495 n=25496 488 500 502 512 Nc=90%510 510 475 505 521 X=505.36506 503 487 493 500 s=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
  • Ejemplo 2.- El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 decada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días enlos que pone el despertador acaba no levantándose a tiempo de darsu primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvidaponer el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en elenunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue atiempo a dar su primera clase?Solución: En primer lugar conviene identificar el experimentoaleatorio que estamos realizando. Este consiste en tomar un dia alazar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en base a lossiguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completode sucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidadde los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en elenunciado.P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario deT , por tanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} esun sistema completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de laprobabilidad total, de donde tenemos que:P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
  • En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos haproporcionando el enunciado, sin embargo no conocemosdirectamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresiónanterior se puede escribir como: P(T¯) = + =0.69Ejemplo 3.- La longitud de los tornillos fabricados en una fábricatienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular laprobabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitudmedia del tornillo sea inferior a 20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1grados de libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillossea inferior a 20.5 mm es del 99.02%Ejemplo4.- Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cadauno de los siguientes casos:
  • 1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real queverifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad,en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, ennuestro caso: 0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde lasposiciones anteriores hasta cruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 gradosde libertad será el valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemoshorizontalmente hasta la primera columna, llegaremos alvalor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmentehacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95(probabilidad acumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van desde 0=75hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremosque realizar la siguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
  • Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similaral caso anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla.Resultando:w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828Ejemplo.-5 Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99hemos de tener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentilbuscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840
  • EJEMPLOS DE BERNOULLI1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es laprobabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poderdarles un premio, pero la maestra los seleccionará con los ojoscerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga el alumno numero16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.93753) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, almomento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para quepueda salir premiado el boleto número 342?
  • ° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 =0.00292° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342. P(x=0) = (1/342) 0 * (341/342)1 = 341/342 =0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: eléxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) quesaliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en unlanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ningunacruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumpletodos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5