Exponenciales y logaritmos
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Exponenciales y logaritmos Document Transcript

  • 1. EXPRESIONES EXPONENCIALESIntroducciónUna célula se reproduce partiéndose en dos; dos células se reproducenpartiéndose en 4; 4 células se reproducen partiéndose en 8; 8 células sereproducen partiéndose en 16. Matemáticamente este hecho lo podemosexpresar así: en la primera reproducción obtenemos 21 células; en lasegunda reproducción obtenemos 22 células; en la tercera reproducciónobtendremos 23 células; en la cuarta reproducción obtendremos 24células. En la reproducción x obtendríamos 2x células. Es ahí donde nacela función exponencial.Definición.Sea un número real positivo. La función que a cada número real x lehace corresponder la potencia se llama función exponencial debase a y exponente x.PropiedadesSean a y b reales positivos, entonces:1.2.3.4.5. .6. EXPRESIONES LOGARITMICASObservemos que pasa cuando tomamos como base 10 y desarrollamosla expresión exponencial 10x101 = 10 El exponente al que elevamos la base es 1
  • 2. 102 = 100 El exponente al que elevamos la base es 2103 = 1000 El exponente al que elevamos la base es 3104 = 10000 El exponente al que elevamos la base es 4105 = 100000 El exponente al que elevamos la base es 5106 = 1000000 El exponente al que elevamos la base es 6Se define logaritmo de un número el exponente al que hay que elevar labase para obtener el número. Así por ejemplo, si tomamos como base10:Logaritmo en base 100 de 10 es 2, porque 2 es el exponente al que hayque elevar 10 para que me de 100Logaritmo en base 10 de 10000 es 4, porque 4 es el exponente al quehay que elevar 10 para que me de 10000Logaritmo en base 10 de 1000000 es 6, porque 6 es el exponente al quehay que elevar 10 para que me de 1000000El logaritmo se denota loga B = C Se lee logaritmo en base a de B esigual a C. Significa que aC = B, es decir, la base se eleva al logaritmo yda el número.Observamos pues que las funciones exponenciales y las logarítmicas vanrelacionadas, dependiendo la una de la otra.Entonces:Las bases mas usadas.Se puede usar cualquier base para trabajar con expresionesexponenciales y logarítmicas, pero las mas usadas son: la base 10 ologaritmo decimal y la base e (llamado número Euler = 2.7182……) ologaritmo natural. Los logaritmos decimales se denotan por log, así porejemplo, log375 es el logaritmo en base 10 de 375 y corresponde alexponente que hay que elevar el 10 para que me de 375. Los logaritmosnaturales se denotan como ln, así por ejemplo, ln62 se lee logaritmonatural de 62 y representa el exponente al que hay que elevar e paraque me de 62Propiedades de los logaritmos
  • 3. . Por definición. Por definición Todo número elevado a la 0 da 1 Logaritmo de un producto Logaritmo de una división Logaritmo de un número elevado a un exponente . Cambia de la base b a la base aObserve que no hay una fórmula para expresar, logaritmo de una suma log(a+b), no tienepropiedad que permita resolverlaOperaciones con exponencialesEjemplo 1 con expresiones exponenciales: Simplificar a. 5x.5x+2 = 5x+x+2= 52x+2 Se suman los exponentes b. 2x.82x+1 = 2x(23)2x+1 = 2x.26x+3 = 27x+3Resuelva los siguientes ejercicios de expresiones exponenciales 1. Simplificar 2x + 1 / 2-x 2. Simplificar (1 + 3x) / 2x + 1 / 6x 3. Simplificar ex(3e-x) + e-x 4. Simplificar (2e2x – 2) / 2ex * e2x / (ex + 1 )Operaciones con logaritmosEjemplo 2 utilizar las propiedades con expresiones logarítmicas: a. Desarrollar la expresión log(x2 / y3z4) = logx2 – log(y3z4) = logx2 – logy3 – logz4 = = 2logx – 3logy – 4logz b. Simplificar ln 5x – ln (6x+1) = ln (5x / (6x+1))
  • 4. c. Transforme log3 8 a log10 log38 = log8 / log3Resuelva los siguientes ejercicios de expresiones logarítmicas 5. Si loga 2 = 0.3016 loga 7 = 0.8451 Encuentre el valor de loga14 6. Exprese en forma mas simple ln(x+y) + ln(x-y) – 2lnx 7. Encuentre el valor de log38.log825/ln39 Para esto, transforme la operación en ln 8. Escriba como una ecuación logarítmica y4 = 25x3Solución de ecuaciones exponencialesUna ecuación exponencial es aquella en la cual la incógnita se ubica en el exponenteEjemplo 3 de resolución de ecuaciones exponenciales: a. 33(x+1) = 32(x+2) Como es la misma base, los exponentes tienen que ser iguales, así: 3(x+1) = 2(x+2) Se resuelve esta ecuación para x b. 5(x + 1) + 5x = 750 Solución: 5x5 + 5x = 750 5x(5+1) = 750 5x = 750/6 5x = 125 5x = 55 x05Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales 9. 3(x + 1) + 2.3(2 - x) - 29 = 0 10. 27x-1 = 9x-2Solución de ecuaciones logarítmicasEn una ecuación logarítmica la incógnita está dentro del logaritmoEjemplo 4 Resolver para x las ecuaciones logarítmicas a. log232 = x Solución: log225 = x x=5 b. log3x = 4 Solución: 34 = x c. logx16 = 4 Solución: x4 =16 4lnx = 16 lnx = 4 x = antiln 4 d. log(x+1) – log2x = log1 Solución: log(x+1 / 2x) = log1 x+1 / 2x = 1 e. log3(2x+3) – log3x = 2 Solución: log3(2x+3 / x) =2 2x+3 / x = 32 f. 5x-2 = 22x+1 Solución: ln(5x+2) = ln(22x+1) (x+2)ln5 = (2x+1)ln2 g. Log(x+1) – log(x-2) = log(x+3) Solución log(x+1 / x-2) = log(x+3) x+1 / x-2 = x+3
  • 5. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas 11. Log(x-3) = ln(x-3) 12. Log(5x-1) – log(x-3) = 2 13. 2log2 (2x-1) -2log2x =log23 14. Ln(x+4)+ lnx = ln(x+1) 15. 125x/3 = 54x+1 16. (logx)2 = log x2 17. Loga(x+1) = 1 + logax 18. Log3(x-4) = 2