Diario metacognitivo

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Diario metacognitivo

  1. 1. RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL DE LA CLASE #1: 2do”C” PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012Clase No. 1: PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 17 de abril-jueves, 19 de Abril del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarTema discutido: Unidad I:Análisis de funcionesProducto cartesianoDefinición: Representación gráficaRelaciones:  Definición, dominio y recorrido de una relación.Funciones:Definición, notación  Dominio, recorrido o rango de una función  Variables: dependiente e independiente  Constante  Representación gráfica de una función  Criterio de recta vertical.Objetivos de desempeño:  Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones  Definir y reconocer: dominio e imagen de una función  Definir y graficar funciones, identificación de las misma aplicando criterios.Competencia general:Definiciones, identificación y trazos de gráficas.
  2. 2. INTRODUCCIÓNEn el siguiente resumen se da a conocer información sobre la clase#1 de cálculo diferencial enla cual se ha iniciado con una breve explicación sobre el capítulo respectivo.En la primera clase se tomaron en cuenta varios factores acerca de las funciones como: 1. Dominio. 2. Co-dominio. 3. Imagen. RESUMENSe comenzó con la presentación del profesor, con la forma de trabajar de él, nos mostró unvideo titulado “Oración a mismo”, uno de cada miembros de estudiante dio su reflexión acercadel video, se eligió el asiste, nos presentó el portafolio del docente del semestre anterior y elportafolio del docente actual, también vimos el portafolio estudiantil.En la primera clase del “Capitulo #1” se dio la explicación correspondiente sobre el temarelacionado a “Funciones” correspondiente al capítulo antes mencionado, tomando comoprincipio de la clase el siguiente tema: “Relaciones, Funciones - Variables, Producto Cartesiano”Las relaciones de funciones se basa en una relación entre dos conjuntos en el cual el conjunto Aserá el Dominio y el conjunto B el Co-dominio. La relación entre el dominio y el Co-dominio sedenomina imagen, recorrido o rango.Datos interesantes discutidos:Después comenzamos con la presentación del tema, nos explicó que:  La función relaciona los elementos de 2 conjuntos, que siempre será relación pero una relación nunca será función.  La relación es comparar los elementos.  Dominio es el conjunto de elementos que tienen imágenes  Condominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable La imagen (I) o rango (Ra), recorrido (R), es un conjunto de llegada que se conecta con el dominio respectivo. Imagen (I) Recorrido (R) Rango (Ra) A B -4 1 -3 -2 0 -1 Dominio 4 Condominio 0 1 25 2 3 16 4 9
  3. 3. A B 2 -1 5 5 Imagen 7 14 Dominio Co-dominioUna imagen es la agrupación entre el dominio y el Co-dominio que da como resultado un par.La relación entre el dominio y el Co-dominio produce un conjunto de pares. A B= {(2,14) ;(1,7)…}En una función podemos encontrar dos tipos de variables: Dependientes e Independientes, y aesto se agregan las constantes. Las variables independientes son aquellas que no dependen deningún otro valor, en cambio las dependientes dependen de la otra variable. Las constantes sonvalores que no cambian durante la función por lo tanto no se alteran ni cambian sus valores.Variable dependiente Y = X² + 2X – 1 constante Variable independienteLas funciones son representadas por el símbolo “f(x)”, en el que la f no es indispensable, ya quepuede ser reemplazado por cualquier otra letra (esto denota que se habla de una funciónmatemática).Dependiendo de lo dicho anteriormente referente a las funciones podemos encontrar dos tiposde funciones:  Funciones Explicitas.  Funciones Implícitas.Las funciones Explicitas se refieren a una función definida en su totalidad. Y = X² + 2X – 1Las funciones Implícitas son contrarias a las explicitas, por lo consiguiente no se encuentrandefinidas. Y + 5 = 2X + 3 – X
  4. 4.  Variable dependiente, no depende de otra variable mediante el proceso matemático, ejemplo: f(x)=x,y o f(x)es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se subministra a x.  Variables Independiente, depende de otra variable, ejemplo: x ya que la y es la que depende de los valores de x.  Función implícita, no está definida con ninguna de las variables, ejemplo: y2+x-1=x2-6  Función explicita, está definida con las variables, ejemplo: Y=x2-2x+1  Función creciente, al medida que aumenta el dominio aumento la imagen  Función decreciente, a medida que aumenta su dominio disminuye su imagen  Función constante, a medida que aumenta su dominio igual será su imagen  Par, de estar formado por un dominio y un condominio  Plano cartesiano, está formando por dos rectas, una horizontal y otra vertical que se corta en un punto.También nos vimos como poder reconocer una función medianteel criterio de recta vertical, en un plano cartesiano, esto se realizapasando una recta perpendicular paralela a la ordenada (y) sicorta un punto es función, si corta 2 o más no es función.Producto cartesiano._ El producto cartesiano nos permiterepresentar de manera gráfica cualquier función, siempre ycuando sea de forma explícita y se realice la comprobacióncorrespondiente aplicando el “Criterio de la recta”. Función No funciónEl criterio de la recta._ El criterio de la recta nos indica, al trazar una recta vertical seforma una paralela a la ordenada porque corta un punto de la gráfica y su dominio A se conectauna y solamente una vez con su imagen B.
  5. 5. Realizamos ejercicios donde podemos verificar si hay funciones en las relacionesy=2x+1Esta es una función por que la y tiene un resultado.y2=4-x2Si resolvemos este ejercicio nos quedaría así:y2=2-x2y= √Esta no es una función porque y tiene como dos resultado con signo diferentes.Otros detalles que analizamos fueron:Resultado f(x)OrdenarGalare, es la tabla de resumen de datos ejemplo: x y -4 25-3 16-2 9-1 40 1¿Qué cosas fueron difíciles?La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la metodología delprofesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.¿Cuáles fueron fáciles?Se me hizo fácil reconocer en el plano cartesiano cuales eran funciones gracias al método que elprofesor nos enseñó y como se forman las imágenes saber reconocer una imagen.¿Qué aprendí hoy?En esta clase aprendí a poder diferenciar en el plano cartesiano cuales de las figuras sonfunciones y cuales no son.
  6. 6. RESUMEN DE CALCULO DIFERENCIAL DE LA CLASE #1: 2do”C” PERIODO ABRIL-SEPTIEMBRE 2012Clase No. 2 PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 24 de abril-jueves, 26 de Abril del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarTema discutido: Unidad I:Funciones:  Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función  Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva  Gráfica, criterio de recta horizontalTipos de Funciones:  Función Constante  Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola y función raízObjetivos de desempeño:  Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función  Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.Competencia general:  Definir de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de funciones.Datos interesantes discutidos hoy:Comenzamos con el video de reflexión con el nombre “Lluvia de Ideas”, este se tratadade decir en pocas palabras como había uno amanecido con sus alegrías y suspreocupaciones. Abrimos el programa de MATLAB, para verificar el manejo de dichoprograma, realizando algunos ejercicios como:>>figure (4) y=(x-1)/(x) y= (x-1)/x>>ezplot(4)
  7. 7. FUNCION INYECTIVA FUNCION SOBREYECTIVA
  8. 8. Función: ( )>>syms x>> y=x^3y=x^3>>ezplot(y);gridon>>title(it{Función cúbica f(x)=x^3},FontSize,16)
  9. 9. ¿Qué cosas fueron difíciles?Las cosas que fueron un poco difícil fue hallar imagen y dominio. Con las funciones dadas en laclase¿Cuáles fueron fáciles?Se me hizo fácil reconocer las función inyectiva,. sobreyectiva y biyectiva.fue trabajar en el software matemático Matlab en el cual empezamos a graficarfunciones¿Qué aprendí hoy?En esta clase aprendí a poder diferenciar los tipos de funciones y le crierio de las recta verticalempleada en la funciones dadasHoy aprendí muchas cosas que me van a servir mucho en mi etapa de estudiantePORQUE no solo aprendí a resolver ejercicios sino que también aclare mis dudas deunos comandos que se me hacían difíciles al momento de graficar un función elsoftware matemático Matlab. Entre los temas que aprendí están: 1. Que la reflexión con la que empezamos la clase me lleno de gran emoción y me pude dar cuenta uno debe tomar sus propias opiniones y no dejarse llevar por las demás personas. 2. Hallar dominio e imagen. 3. A graficar funciones por medio del software matemático Matlab.
  10. 10. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 3CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERAPERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012TIEMPO: 2 HORASFECHA: Jueves, 3 de mayo del 2012.DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS:TIPOS DE FUNCIONES:  Función polinomio,  Función racional,  Funciones seccionadas,  Función algebraica.  Funciones trigonométricas.  Función exponencial  Función inversa,  Función logarítmica: definición y propiedades,  Funciones trigonométricas inversa,  Transformación de funciones: técnica de graficacion rápida de funciones, OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.COMPETENCIA GENERAL:  Trazar graficas de diferentes tipos de funciones Datos interesantes discutidos hoy:  En el día de hoy en los temas discutidos empezamos con el video de reflexión sobre AQUÍ ESTOY YO el cual nos mostró que dios esta con todos para ayudarnos en todo los problemas, el cual aprendemos hacer todas las clases de funciones.
  11. 11. FUNCIÓN POLINOMIOTIPOS DE FUNCIONES
  12. 12. Funciones Seccionadas
  13. 13. ¿Qué cosas fueron difíciles?Las cosas que se me hicieron muy difícil fueron las funciones trigonometrías¿Cuáles fueron fáciles?En los temas que vimos el día de hoy fueron la trasformación de funciones con la técnica rapicade graficacion¿Qué aprendí hoy?En la reflexión aprendí que dios nunca nos abandona ni en nuestros peores momento aunqueparezca algo imposible siempre le va estar p ara ayudarnos
  14. 14. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 4CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE CARRERAPERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORASFECHA: Martes, 8 de mayo-jueves, 10 de mayo del 2012.DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS:COMBINACIÓN DE FUNCIONES:  Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones, Silva Laso, 994  Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.LIMITE DE UNA FUNCIÓN  Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68, Larson, 46  Límites indeterminados, Silva Laso, 1090LIMITES UNILATERALES  Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041  Límite lateral izquierdo  Límite bilateralOBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Definir operaciones con funciones.  Definir y calcular límites.COMPETENCIA GENERAL:  Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones aplicando criterios
  15. 15. Algebra De Funciones
  16. 16. Concepto de limites
  17. 17. ¿Qué cosas fueron difíciles?La clase se me complico un poco por motivo de no estar acostumbrado a la metodología delprofesor pero si logre entender gracias a las explicaciones del docente.¿Cuáles fueron fáciles?Se me hizo fácil aplicar las propiedades de límites y saber desarrollarla pero gracias al docentelas logre entender¿Qué aprendí hoy?En esta clase aprendí a poder aplicar límites de funciones y su manejo en todas la áreas
  18. 18. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 5CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 15 de mayo-jueves, 17 de mayo del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS: CONTENIDOS:LIMITE INFINITO:  Definición, teoremas,LIMTE AL INFINITO:  Definición, teoremas.  Limite infinito y al infinito,ASÍNTOTAS:  Asíntotas verticales, definición, gráficas,  Asíntotas horizontales, definición, gráficas.  Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.OBJETIVO DE DESEMPEÑO  Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.  Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.COMPETENCIA GENERAL:  Definición y cálculo de límites aplicando criterios, aplicación en trazado de asíntotas.
  19. 19. ¿Qué cosas fueron difíciles?La clase se me complico un las asíntotas y su aplicaciones en las diferentes recta .¿Cuáles fueron fáciles?Se me hizo fácil aplicar los límite infinitos ya que había visto un poco de esta claseanteriormente¿Qué aprendí hoy?En esta clase aprendí a desarrollar otras funciones de las rectas y saberlas aplicar
  20. 20. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 6CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 22 de mayo-jueves, 24 de mayo del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS:LÍMITES TRIGONOMETRICOS:  Límite trigonométrico fundamental,  Teoremas.CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO:  Definición,  Criterios de continuidad.  Discontinuidad removible y esencial.OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Definir y calcular límites trigonométricos.  Definir y demostrar la continuidad o discontinuidad de una función.COMPETENCIA GENERAL:  Definición y cálculo de límites trigonométricos, demostración de continuidad y discontinuidad de funciones aplicando criterios.
  21. 21. Límite trigonométrico fundamentalCONTINUIDADCriterios de continuidadPara que una función sea continua en un punto debe cumplir los siguientes criterios:  El límite en ese punto debe existir  La función evaluada en ese punto debe existir  El resultado de los dos criterios anteriores deben ser iguales
  22. 22. Discontinuidad removible y esencial¿Qué cosas fueron difíciles?La clase se me hizo difícil fue aprender los teoremas y los límites de las funcionestrigonométricas por la cual le pide al docente que me las explicar nuevamente¿Cuáles fueron fáciles?Se me hizo fácil reconocer loos criterios de continuidad en los ejercicios dados .¿Qué aprendí hoy?En esta clase aprendí a desarrollar teoremas de limites y sus funciones trigonométricas
  23. 23. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 7CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 29 de mayo-jueves, 31 de mayo del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS:CALCULO DIFERENCIAL.PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE:  Definiciones,  DERIVADA:  Definición de la derivada en un punto,  Interpretación geométrica de la derivada.  La derivada de una función  Gráfica de la derivada de una función,  Diferenciabilidad y continuidad.OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Definir y demostrar la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva.  Definir la derivada de una función.COMPETENCIA GENERAL:  Aplicación de la definición de la pendiente de la recta tangente y derivada en diferentes tipos de funcionesPENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
  24. 24. EJEMPLO:
  25. 25. DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muypróximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h acero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos ( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de lafigura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )). que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices
  26. 26. (x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmentode la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acercaa la línea azul por lo que:tg ah tiende a tg a, es decir,a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).Esto se expresa matemáticamente así:NOTA: Es importante que entiendas esto, pueses el núcleo porel que después entenderás otros conceptos,si no es así, dímeloLa derivada de una funciónEn la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a unacurva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se obtuvocomo resultado dos límites:
  27. 27. Gráfica de la derivadaAquí está la gráfica de una función continuay diferenciable f (x).
  28. 28. CIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No9 CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 19 de junio-jueves, 21 de junio del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS:CONTENIDOS:CALCULO DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES DE TIPO ALGEBRAICO.  Derivada de la función Constante,  Derivada de la función Idéntica.  Derivada de la función potencia.  Derivada de una constante por una función.  Derivada de la suma de funciones.  Derivada del producto de funciones.  Derivada del cociente de dos funciones.DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA.  Regla de la cadena,  Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Definir y calcular la derivada de algunas funciones de tipo algebraico.  Definir y calcular derivadas de funciones compuestas.  Definir y aplicar la regla de la cadena abierta.COMPETENCIA GENERAL:  Aplicación directa de modelos matemáticos de la variación de diferentes tipos de funciones.Derivada de la función Constante
  29. 29. Derivada de una función constanteSea una función constante f(x) = C.Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquiervalor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es unpunto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo queLuego la derivada de una constante es siempre cero.
  30. 30. Derivada de una sumaLa derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichasfunciones.Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.EjemplosDerivada de un productoLa derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada delsegundo más el segundo factor por la derivada del primero.Derivada de un cocienteLa derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por eldenominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por elcuadrado del denominador. Apliquemos ln a: y = u/vlny = ln u - ln v; derivemos en forma implícita, recordando que tanto y, u como v son f(x):(1/y)*(dy/dx) = (1/u)*(du/dx) - (1/v)*(dv/dx); restamos a la derecha, sacando uv como factorcomún:(1/y)*(dy/dx) = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)] / uv;dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* y / uv; pero como y= u/v:dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* u / uv*v;dy/dx = [v*(du/dx) - u*(dv/dx)]* / v^2Esto explica: y = (uv - vu) / v^2
  31. 31.  Regla de potencias combinadas con la regla de la cadena.¿Qué cosas fueron difíciles?
  32. 32. La clase se me hizo un poco difícil porque no podía entender las DERIVADA DE UNA FUNCIÓNCOMPUESTA. Ya que son temas que no he visto¿Cuáles fueron fáciles?Se me hizo fácil entender las derivadas de lagunas de la funcione y sus modelos matemático¿Qué aprendí hoy?En esta clase aprendí a poder desarrollar temas de derivadas como son sus funcionetrigonométricas .
  33. 33. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 10CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 26 de junio-jueves, 28 de junio del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS:DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA PARA EXPONENTES RACIONALES.,DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.DERIVADA IMPLICITA:  Método de diferenciación implícita.DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS:  Derivada de funciones exponenciales.  Derivada de funciones exponenciales de base e.  Derivada de funciones logarítmicas.  Derivada de función logaritmo natural.  Diferenciación logarítmica.OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Definir y calcular derivadas de funciones con exponentes racionales.  Definir y calcular derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.  Definir y calcular derivadas de función implícita.COMPETENCIA GENERAL:  Aplicación de modelos matemáticos directos para derivada en diferentes tipos de funciones
  34. 34. Derivación de Funciones Exponenciales
  35. 35. Sabemos que e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda. Como e > 1, la función f(x) = e x es una función creciente. El dominio es elconjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los númerosreales positivos.Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e x.Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto(x,ex) es igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica def(x) = ex en el punto (0,1) la pendiente es 1.
  36. 36. El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano,aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmoneperiano.En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperianoal logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es2,7182807066232140698591273860753 El logaritmo natural se le suele denominarcomo ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad deque el logaritmo vale 1.El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevadoel número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya quee2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier númeroreal positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de estadefinición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con estabase concreta. Esta definición puede extenderse a los números complejos.El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición losnúmeros reales positivos:y corresponde a la función inversa de la función exponencial:¿Qué cosas fueron difíciles?En esta clase no se me hizo difícil nada.PORQUE esta clase fue más de refuerzo de lo aprendido y sobretodo deentrega de varias cosas solicitado por el docente.¿Cuáles fueron fáciles?Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo.PORQUE fue más de fortalecimiento de lo ya aprendido y como hemospracticado bastante se me hizo fácil.¿Qué aprendí hoy?Aprendí todo lo que se me hizo complicado durante todo el parcial y graciasa la explicación y fortalecimiento del docente pude comprender.Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lopude hacer de una forma muy rápida UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 11CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA
  37. 37. PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 3 de julio-jueves, 5 de julio del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS:DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. Smith, 459, Larson, 432DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.  Notaciones comunes para derivadas de orden superior. Silva Laso, 1163, Smith, 149APLICACIÓN DE LA DERIVADA. Silva Laso, 1173ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL A LA CURVA EN UN PUNTO.VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Silva Laso, 1178, Smith,, 216, Larson, 176  Máximos y mínimos absolutos de un a función.  Máximos y mínimos locales de una función.  Teorema del valor extremo.  Puntos críticos.OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Definir y calcular derivadas de orden superior  Aplicar la derivada en ecuación de la recta tangente, valores máximos y mínimos.COMPETENCIA GENERAL:  Aplicación de la derivada.Notaciones comunes para derivadas de orden superior.
  38. 38. Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadasparciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero ysuperiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas deorden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintasde encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).1. Derivar dos veces respecto de x:2. Derivar dos veces respecto de y:3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Sedebe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas,según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial Orden de derecha a izquierdaindica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial (fy)x=fyx Orden de izquierda a derechaindica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambasnotaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f.
  39. 39. Máximos y mínimos MáximosSi f y f son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:1. f(a) = 02. f(a) < 0Mínimos Si f y f son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:1. f(a) = 02. f(a) > 0Cálculo de los máximos y mínimos relativosf(x) = x3 − 3x + 21. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.f(x) = 3x2 − 3 = 0x = −1 x = 1.2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros dederivada primera y si:f(x) > 0 Tenemos un mínimo.f(x) < 0 Tenemos un máximo.f(x) = 6xf(−1) = −6 Máximof (1) = 6 Mínimo3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
  40. 40. Qué cosas fueron difíciles?Se me hizo difícil la derivación de orden superior.PORQUE era algo nuevo que aprendía en esta clase.¿Cuáles fueron fáciles?Prácticamente en esta clase se me hizo fácil la derivación de la funciónimplícita, y el cálculo para sacar máximos y mínimos.PORQUE es el mismo procedimiento de una derivada normal pero solotenemos que tener en cuenta que la y prima no se deriva y al final se ladeja en uno de sus miembros.¿Qué aprendí hoy?Aprendí a derivar la función implícita, también las funciones de ordensuperior y a calcular máximos y mínimos.Porque en mi casa me puse a practicar
  41. 41. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 12 CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 10 de julio-jueves, 12 de julio del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar CONTENIDOS:FUNCIONES MONOTONAS Y PRUEBA DE LA 1RA. DERIVADA:  Función creciente y función decreciente: definición. Silva Laso, 1179, Smith, 225, Larson, 176  Pruebas de las funciones monótonas.  Prueba de la primera derivada para extremos locales.CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXIÓN:  Concavidades hacia arriba y concavidades hacia abajo: definición. Silva Laso, 1184, Smith, 232  Prueba de concavidades.  Punto de inflexión: definición.  Prueba de la 2da. Derivada para extremos locales.TRAZOS DE CURVAS:  Información requerida para el trazado de curvas: dominio, coordenadas al origen, punto de corte con los ejes, simetría y asíntotas.  Información de la 1ra. y 2da. Derivada.OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Aplicar la información de la 1ra. y 2da derivada en el trazo de graficas.COMPETENCIA GENERAL: Aplicación de la derivada.
  42. 42. Función creciente y decrecienteUna función es creciente en un intervalo , si para dos valorescualesquiera del intervalo, y , se cumple que:Es creciente cuando los valores de Y van incrementándose o manteniéndose conforme seincrementa X.Es creciente cuando los valores de Y van decreciendo o manteniéndose conforme seincrementa X.Si una función tiene el valor de Y constante, entonces es constante, pero también entra en ladefinición tanto de creciente como de decreciente.Si la función sólo crece o sólo decrece (no tiene ningún tramo en que esté estable, sin crecer nidecrecer), entonces se dice que es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, segúnel caso. Definición: Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ((x) también se incrementa, sedice que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor xaumenta disminuye ((x), decimos que la función decrece.Simbólicamente podríamos definir:( es creciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1 ( x 2 ((x1) ( ((x2)( es decreciente en un intervalo [a, b] ( (x1 (x2 ([a, b]: x1( x 2 ((x1) ( ((x2)[pic]Criterios para Crecimiento y DecrecimientoSea f una función de variable real continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable enel intervalo abierto (a, b). i. Si [pic]para todo [pic]entonces f es creciente en [a, b]. ii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es decreciente en [a, b].iii. Si [pic]para todo [pic]entonces f es constante en [a, b].Observación:El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primeraderivada. Así:Donde [pic](derivada positiva), f(x) es creciente.[pic](derivada negativa), f(x) es decreciente.El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos ymínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primeraderivada.
  43. 43. Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos enlos cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntosde inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambioen la concavidad de la curva.Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observacionesde tipo intuitivo.Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que lacurva que f representa, tiene tangente en todos sus puntosSe observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva seencuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva escóncava hacia abajo en el punto x1.Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2, lacurva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curvaes cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual laconcavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva.Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:Definiciones:Sea f una función derivable en un punto c.i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe unintervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x≠ c se cumple que:
  44. 44. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe unintervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x≠ c se cumple que:Z x = f x − f c x−c − f c <iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto deI. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervaloabierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los suintervalos: (a, c) y (c, b).Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncavapositiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva es cóncavahacia abajo o cóncava negativa.El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condiciónsuficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.¿Qué cosas fueron difíciles?Se me hizo difícil cuando la función es cóncava y hacia qué dirección va.PORQUE era algo nuevo que aprendía en esta clase.¿Cuáles fueron fáciles?Prácticamente en esta clase se me hizo fácil el cálculo para sacar máximosy mínimos.PORQUE fue un refuerzo de la clase pasada.¿Qué aprendí hoy?Aprendí a ver cuándo hay punto de inflexión, cuando es cóncava y acalcular máximos y mínimos.Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lopude hacer de una forma muy rápida.
  45. 45. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 13 CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 17 de julio-jueves, 19 de julio del 2012. . DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS:PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.  Problema de máximos y mínimos.OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Aplicar la información de la derivada en problemas de máximos y mínimos.COMPETENCIA GENERAL:  Definición de problemas de optimización.
  46. 46. Problema de máximos y mínimos.Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin taparecortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser lalongitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja seamáximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.Solución:Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (fig.4.25 (a)), donde 20ax≤≤. Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la fig. 4.25 (b).Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el intervalo entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho intervalo.Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:
  47. 47. Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segundaderivada.lo cual indica que x=a2 corresponde a un mínimo relativo. (Interprete geométricamente elresultado).máximo relativo.En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la cartulinacuadrados de lado 6a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene dado por:
  48. 48. El volumen V del cono es: V = (⅓)πr²h1.1) del triángulo rectángulo ABC en la figura se puede deducir que:r² = R² - (R-h)² =>r² = R² - (R² - 2Rh + h²) =>r² = R² - R² + 2Rh - h² =>r² = h(2R - h)1.2) sustituimos la expresión anterior en la fórmula del volumen del cono:V = (⅓)πr²h =>V = (⅓)πhh(2R - h) =>V = (⅓)πh²(2R - h) =>V = (⅔)πRh² - (⅓)πh³1.3) derivamos la expresiónanterior con respecto a h:dv/dh = (4/3)πRh - πh²1.4) como el volumen tiene que ser máximo, hacemos dV/dh = 0:dv/dh = (4/3)πRh - πh² = 0 =>h[(4/3)πR - πh] = 0 =>(4/3)πR - πh = 0 =>h = -(4/3)πR/-π =>
  49. 49. 1.5) h = (4/3)R => para este valor de h, el volumen del cono es máximo. Sustituimoseste valor de h para obtener el volumen máximo V Max:V Max = (⅔)πRh² - (⅓)πh³ =>V Max = (⅔)πR((4/3)R)² - (⅓)π((4/3)R)³ =>V Max = (⅔)(16/9)πR³ - (⅓)(64/27)πR³ =>V Max = (32/27)πR³ - (64/81)πR³ =>V Max = πR³(32/27 - 64/81) =>V Max = πR³(96/81 - 64/81) =>V Max = πR³(32/81) SOLUCIONQué cosas fueron difíciles?Se me hizo difícil cuando la función es cóncava y hacia qué dirección va.PORQUE era algo nuevo que aprendía en esta clase.¿Cuáles fueron fáciles?Prácticamente en esta clase se me hizo fácil el cálculo para sacar máximosy mínimos.PORQUE fue un refuerzo de la clase pasada.¿Qué aprendí hoy?Aprendí a ver cuándo hay punto de inflexión, cuando es cóncava y acalcular máximos y mínimos.Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lopude hacer de una forma muy rápida.
  50. 50. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 14 CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 24 de julio-jueves, 26 de julio del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOSINTRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTOS:  Cálculo integral: definición.  Diferenciales: definición.  Integral indefinida: definición  Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata.OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Definir y calcular anti derivadas.COMPETENCIA GENERAL:  Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.
  51. 51. Cálculo integral: definición.Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominancomo “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, quedenominan “Cálculo Integral”.Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda unafamilia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre deantiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario al dela derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos concluirque el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil, podemoshallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se sus puntos,podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña definición deintegración, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso, podemosencontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada; ahora,veremos de que se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el motivo realde este trabajo EL CONCEPTO DE DIFERENCIALExisten muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamosestimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores defunciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valoraproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando lavariable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como lamejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia,aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la quellamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.DEFINICION Y EJEMPLOSConsideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su rectatangente.
  52. 52. Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en lascercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos a la variación de fcuando x varía de xo a xo + h y a la variación de la recta tangente en el mismo rango devariación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variacionesson muy parecidas, es decir,  f   RT  Integral indefinida: definiciónLa integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, unaintegral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.El cálculointegral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en elproceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en lamatemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenesde regiones y sólidos de revolución.Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo másimportante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemasmatemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales (potencias,raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales ycombinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicadotrabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie yusamos los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuacionesdiferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Unaintegral definida,0.1por ejemplo,∫e−x0dx , para la cual no hay solución en términos de funcioneselementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrandotérmino atérmino dicha serie.¿Qué cosas fueron difíciles?En esta clase no se me hizo difícil nada.PORQUE pude comprender todo lo explicado por el docente facilitador.¿Cuáles fueron fáciles?Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo.PORQUE fue una clase muy interesante ya que aprendimos varios modelosde integrales.¿Qué aprendí hoy?Aprendí a calcular lo que fue integrales y con sus diferentes modelos loscuales se me hicieron fáciles.Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lopude hacer de una forma muy rápida.
  53. 53. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ-FACULTAD DECIENCIAS INFORMÁTICAS-DISEÑ0 MICROCURRICULAR No 15 CALCULO DIFERENCIAL SEGUNDO SEMETRE DE CARRERA PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 31 de julio-jueves, 2 de agosto del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarCONTENIDOS:INTRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTOS:  Modelos matemáticos de apoyo para integración inmediata. OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:  Definir y calcular antiderivadas.COMPETENCIA GENERAL:  Definición y aplicación de modelos matemáticos de integración indefinida.
  54. 54.  Definir y calcular antiderivadas.Definición :Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra funcióng derivable en D tal que se cumpla que:Teorema :Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de númerosreales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entoncescualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como , c constante real.Técnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivación de funciones compuestas.Propiedades de las antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquierpropiedad de las derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y sean :antiderivadasSi es un número real, entonces se cumple :1)2)
  55. 55. ¿Qué cosas fueron difíciles?En esta clase no se me hizo difícil nada.PORQUE pude comprender todo lo explicado por el docente facilitador.¿Cuáles fueron fáciles?Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo.PORQUE fue una clase muy interesante ya que aprendimos varios modelosde integrales.¿Qué aprendí hoy?Aprendí a calcular lo que fue integrales y anti derivadas y con susdiferentes modelos los cuales se me hicieron fáciles.Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lopude hacer de una forma muy rápida
  56. 56. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS DIARIO METACOGNITIVO PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012 TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS FECHA: Martes, 31 de julio-jueves, 2 de agosto del 2012. DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos SalazarTEMA DISCUTIDO:CONTENIDOS:INTRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTOS:OBJETIVOS DE DESEMPEÑO: rivadas.COMPETENCIA GENERAL:
  57. 57. ¿Qué cosas fueron difíciles?En esta clase no se me hizo difícil nada.PORQUE pude comprender todo lo explicado por el docente facilitador.¿Cuáles fueron fáciles?Prácticamente en esta clase se me hizo fácil todo.PORQUE fue una clase muy interesante ya que aprendimos varios modelosde integrales.¿Qué aprendí hoy?Aprendí a calcular lo que fue integrales y anti derivadas y con susdiferentes modelos los cuales se me hicieron fáciles.Porque en mi casa me puse a practicar para las futuras evaluaciones y lopude hacer de una forma muy rápida.

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