Uploaded on

tugas kampus

tugas kampus

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • tugass
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
35,670
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
814
Comments
1
Likes
5

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Tugas Kelompok Disusun untuk memenuhi salah satu tugas Mata kuliah : FISMAT I Dosen: Adila, S.Pd Disusun oleh : Kelompok : V Muhammad Sukma Rohim (0801130133) SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN) PALANGKARAYA JURUSAN TARBIYAH PRODI FISIKA TAHUN 2009
  • 2. BAB I PEMBAHASAN A. PENGERTIAN MATRIKS Teori tentang matriks pertama kali dikembangkan oleh Arthur Cayley (1821– 1895) pada 1857. Sekarang, matriks telah menjadi alat yang berguna di berbagai bidang. Adapun metode determinan ditemukan oleh Seki Kowa (1642–1708) pada 1683 di Jepang dan ditemukan pula oleh Gottfried Wilhelm Von Leibnitz (1646– 1716) di Jerman. Keduanya hanya menggunakan matriks dalam persamaan linear. Matriks merupakan kumpulan bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom sedemikian sehingga tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau sistem penulisan objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom. Objek matriks dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks ataupun fungsi. Sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A. Setiap bilangan yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut kolom. Elemen matriks bisa dinyatakan dengan notasi a 1j, dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom. Bentuk umum sebuah matriks dengan elemen a 1j dinyatakan sebagai berikut : a11 a12 a13 ... a 1n a21 a22 a23 ... a 2n A= : : : : am1 am2 am3 ... amn m = jumlah baris n = jumlah kolom i = 1, 2, 3, …. M j = 1, 2, 3, ….n matriks A dengan elemen a i j dapat dituliskan dengan bentuk A = ( a ij ) = [ a 1j ] . . . . . . . . . . . . (i)
  • 3. Matriks A yang mempunyai baris m dan kolom m dikatakan matriks A dengan ordo m x n atau ditulus sebagai A m x n . Contoh : A = 3 -1 0 2 5 7 Matriks diatas adalah matriks dengan m = 2 dan n = 3 atau ordo A 2 x 3. jika kita ingin mengetahui elemen a 23 kita harus melihat elemen yang terdapat pada baris 2 dan kolom 3. dalam contoh ini a 23 = 7 Matriks berordo 2 x 1 karena kolomnya hanya satu maka matriks ini disebut kolom secara umum matriks kolom disebut matriks ordo n x 1. Sedangkan matriks 1 x 3, karena hanya terdiri dari satu baris, maka matriks ini dinamakan matriks baris secara umum disebut matriks ordo 1 x n. Matriks yang mempunyai m = n disebut matriks bujur sangkar. B. JENIS-JENIS MATRIKS Matriks terdiri atas berbagai jenis antara lain, matriks nol, matriks baris, matriks kolom, matriks persegi, matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, matriks diagonal, dan matriks identitas. a. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol, contohnya A= 0 0 B= 0 0 C= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Semua unsur pada matriks A, B, dan C adalah angka 0, sehingga disebut sebagai matriks nol. b. matriks baris. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja, contohnya 5 3 1 3 -1 P= Q= 0 0 0 0 0 0 0 Matriks P berordo 1 × 3, Q berordo 1 × 2, Matriks P an Q di atas hanya memiliki satu baris saja sehingga disebut sebaai matriks baris.
  • 4. c. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom, contohnya K= 5 L= 5 Matriks K berordo 2 × 1, matriks L beordo 3 × 1. Matriks K, dan L di atas hanya memiliki satu kolom saja sehingga disebut sebagai matriks kolom. d. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan banyak kolomnya sama, contohnya 2 3 5 N= 2 3 M= 0 -1 7 3 4 4 0 -1 Matriks N berordo 2 × 2 dan matriks M berordo 3 × 3. Karena banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, maka matriks N dan M disebut sebagai matriks persegi. e. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol, sebagai contohnya. a b c N= 0 d e 0 0 f f. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol, contohnya a 0 0 b c 0 d e f g. Matriks Diagonal Ialah suatu matrix dimana semua elemen di luar diaogonal pokok mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok ≠ 0,biasanya diberi simbol D.
  • 5. Contoh: 1 0 0 D= 0 2 0 0 0 5 h. Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Contoh: 1. n = 2 2. n = 3 1 0 0 1 0 0 1 0 I2 = I3 = 0 1 0 0 1 i. Matriks skalar Ialah suatu bilangan konstan. Kalau k, suatu bilangan konstan, maka hasil k.I dinamakan scalar matrix. 1 0 0 k 0 0 k.I3 = k 0 1 0 = 0 k 0 0 0 1 0 0 k Contoh: K=4 1 0 0 4 0 0 4.I3 = 4 0 1 0 = 0 4 0 0 0 1 0 0 4 A. Operasi Matriks Dua buah matriks A dan B dikatakan sama yaitu A=B, apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama dan disamping itu elemen-elemen pada baris dan kolom yang bersangkutan harus sama artinya aij = bij untuk semua nilai I dan j, dimana: aij = elemen matrix A dari baris i dan kolom j bij = elemen matrix B dari baris i dan kolom j
  • 6. contoh: 1. 2 4 2 4 A= dan B = 3 5 3 5 A =B 2. 1 0 0 1 0 A= 0 1 0 dan B= 0 1 A ≠ B; jumlah kolom tidak sama. 1) Penjumlahan matrix Kalau matrix A = (bij), dengan m = baris dan n = kolom dan matrix B = (bij), dengan m = baris dan n = kolom, dijumlahkan (dikurangi) maka diperoleh matrix yang ketiga, yaitu matrix c = (cij), dengan m = baris dan n= kolom. Dimana elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan (mengurangkan) elemen-elemen matrix A dan B yaitu bahwa: cij = aij + bij. a11…a12...a1j…a1n b11…b12…b1j…b1n A+B= a21…a22…a2j…a2n + b21…b22…b2j…b2n = ai1…..ai2…aij….ain bi1….bi2….bij….bin am1…am2..amj...amn bm1..bm2..bmj…bmn c11…c12…c1j…c1n C= c21…c22…c2j….c2n ci1….c12…cij…..cin cm1…cm2..cmj..cmn 1 3 2 5 5 7 A= 4 2 5 dan B = 3 1 4 A+B=C 3 1 6 6 2 10 Untuk bisa melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matriks A dan B, kedua matrix ters3ebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama.
  • 7. 2) Pengurangan matrix A – B = A + (-1) B Contoh: 4 3 4 2 A= dan B = 2 5 1 3 4 3 -4 -2 0 1 A – B = A + (-1) B = - = 2 5 -1 -3 1 2 Untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matrix A dan B kedua matrix tersebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Hukum bagi penjumlahan matrix: a. A + B = (aij + bij) = (bij + aij) = B + A b. A + B + C = (aij + bij ) + c = (A + B) + C = aij + (bij + cij) = A + (B+C) 3) Perkalian matriks a. Perkalian dengan scalar Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan atau mengalikan masing- masing elemennya dengan bilangan tersebut. Apabila matrix A harus dikalikan dengan scalar k ini berarti bahwa semua elemen dari matrix A harus dikalilan dengan k, jadi apabila A = (aij), maka kA = k(aij) = (aij) k = Ak. Contoh: 4x 3 2 5 = 12 8 20 6 1 7 24 4 28 Yaitu secara umum k[aij] = [k aij] b. Perkalian 2 buah matrix Dua buah matrix dapat dikalikan, satu terhadap yang lain, hanya jika banyaknya kolom dalam matrix yang pertama sama dengan banyaknya baris dalam matrix yang ke dua. b1 A = (a11) = a11 a12 a13 B = (bij) = b2 a21 a22 a23 b3
  • 8. b1 a11 a12 a13 a11b1 + a12b2 + a13b3 Maka A . B = . b2 = a21 a22 a23 a21b1 + a22b2 + a23b3 Contoh: b3 1. 8 A= 4 7 6 B= 5 2 3 1 9 A .B = 4.8 + 7.5 + 6.9 = 32 35 54 = 121 2.8 + 3.5 + 1.9 16 15 9 40 2. 5 8 4 3 1 A= 7 B= 2 5 8 6 4 1 5 2 7 8 4 3 1 A.B= 3 4 . 2 5 8 6 1.8 + 5.2 1.4 + 5.5 1.3 + 5.8 1.1 + 5.6 2.8 + 7.2 2.4 + 7.5 2.3 + 7.8 2.1 + 7.6 = 3.8 + 4.2 3.4 + 4.5 3.3 + 4.8 3.1 + 4.6 8+10 4+25 3+40 1+30 18 29 43 31 = 16+14 8+35 6+56 2+42 30 43 62 44 28+8 12+20 9+32 3+42 36 32 41 27 4). Perpangkatan Matriks Sifat perpangkatan pada matriks sama halnya seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, berlaku : a2 = a x a a3 = a x a x a : an = a x a x . . . x a ( sebanyak n faktor )
  • 9. contoh : diketahui matriks A = -1 1 2 0 Tentukan : a. A2 dan A3 b. 3A2 - 2A3 Penyelesaian : -1 1 -1 1 3 -1 a. A2 = A X A = 2 0 2 0 = -2 2 -1 1 3 -1 -5 3 A3 = A X A2 = = 6 -2 2 0 -2 2 b. 3A2 - 2A3 = 3 3 -1 - 2 -5 3 -2 2 6 -2 9 6 -10 6 = -6 6 12 -4 19 -9 = -18 10 D. Matrik Transpose Matriks A transpose didapatkan dari matriks A dengan memindahkan elemen baris menjadi elemen kolom atau dengan memindahkan elemen kolom menjadi elemen baris. Jika kita memiliki matriks A, maka matriks transpose dari A biasa ditulis sebagai A T, misalnya : a d  a b c  A= maka matriks transpose AT adalah : AT= b e  d f d   c  f 
  • 10. E. Matriks invers A-1 Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang bila diperkalikan dengan matrik A memberikan matriks satuan I, yakni : AB=I Selanjutnya, notasi matriks invers A dinyatakan dengan A-1 dapat dibuktikan bahwa AB-1=A-1A=I Cara mencari matriks invers Sebuah matrik yang dikalikan matriks inversnya akan menghasilkan matrik satuan. A A-1 = I Contoh 5 2 Jika A =  , hitunglah A-1  − 3 1  5 2 Penyelesaian A =  , − 3 1 a b Misalkan A-1=   c d  Gunakan persamaan AB-1=A-1A=I Metode matriks kofaktor 1 A-1= KT det A Dengan K adalah matrik kofaktor dari matrik A Contoh 5 2 Hitunglah invers dari matrik A =   − 3 1 Penyelesaian 5 2 det A =   = 5 + 6 = 11 − 3 1 matrik kofaktor K yang diperoleh dari persamaan adalah: K = dan
  • 11. 5 2 KT =   − 3 1 Dengan menggunakan persamaan (5.4) diperoleh : T -1 1 1 − 2 A =  11  3 5   Catatan 1. jika matrik A adalah matrik ordo n x n dan det A ≠ 0 maka matrik tersebut mempuyai matrik invers A-1 matrik A disebut matrik nonsingular 2. jika det A = 0 maka matriks A disebut matriks singular matriks singular tidak mempunyai matrik invers. Determinan Pada Sub bab A telah dikenalkan pada matriks persegi, yaitu matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Pada bagian ini, akan dikenalkan pada determinan dari suatu matriks persegi. a. Determinan Matriks 2 × 2 Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2 × 2 berikut. A = a b c d Determinan dari matriks A didefinisikan sebagai selisih antara hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau A. Berdasarkan definisi determinan, diperoleh determinan dari matriks A sebagai berikut. a b Det A = │A│ = c d = (a x d) - (b x c) = ad - bc Contoh : Tentukan nilai determinan dari matriks berikut : - 4 -3 A = 2 -1
  • 12. Penyelesaian : Det A = -4 -3 = (-4x( - 1)) – ( - 3 x 2 ) 2 -1 = 4 + 6 = 10 b. Determinan Matriks 3 × 3 Determinan dari matriks A adalah pengurangan D1 oleh D2, maka det A = D1 – D2 Det A = a b c a b d e f d e g h i g h = (a)(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) – (g)(e)(c) – (h)(f)(a) – (i)(d)(b) = D1 – D2 Berdasarkan nilai diskriminannya suatu matriks dibedakan menjadi 2 jenis yaitu matriks singular dan matriks non singular. Matriks singular adalah matriks yang determinannya nol, sedangkan matriks non singular adalah matiks yang determinannya tidak sama dengan nol. cara menentukan invers dari suatu matriks : a. Adjoin Matriks Berordo 2 × 2 Adjoin dari matriks berordo 2 × 2 diperoleh dengan cara menukar elemen pada diagonal utama dan elemen pada diagonal sekunder dikalikan dengan (–1). Misalkan, jika A = a b maka, adjoin A = d -b c d -c a b. Minor, Kofaktor, dan Adjoin matriks 1) Minor Misalkan matriks A berordo 3 × 3 sebagai berikut: a11---a12--- a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33
  • 13. Contoh : M22 = 2 3 = - 4 – 9 = -13 3 -2 Jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks tersebut dihilangkan maka akan diperoleh matriks baru dengan ordo 2 × 2, determinan dari matriksnya dinamakan minor. Karena kita menghilangkan baris kesatu dan kolom kedua maka minor tersebut dinamakan minor dari baris ke-1 kolom ke-2 yang dilambangkan oleh M12. 2) Kofaktor Jika Mij merupakan minor ke-ij dari matriks A maka kofaktor adalah hasil perkalian elemen minor Mij dengan (–1) I + j. Dengan demikian, Kij = (–1) I + j Mij Sehingga diperoleh matriks kofaktor dari matriks A adalah : K11 K12 K13 K= K21 K22 K23 K31 K32 K33 Contoh : K21 = (–1)2 + 1 · M21 = (–1)(–1) = 1 3) Adjoin Matriks Matriks adjoint Matriks adjoint A, dinotasikan denagn kT, adalah matriks yang elemenya terdiri dari elemen kofaktor A yang ditransposkan. K disebut matriks kofaktor. Contoh 1 Carilah matriks adjoint A=kT dari; A= 1 3 2 4 Penyelesaian : Kofaktor baris 1: + 4 -2 Kofaktor baris 2:-3 +1 Jadi,
  • 14. -2 -3 T K= dan k = -3 1 -2 1 Catatan : Untuk matriks k, elemenya terdiri dari kofaktor matriks A, yakni(-1)i+j Mij, dan kT sering dinyatakan juga dengan A. KESIMPULAN Matriks merupakan kumpulan bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom sedemikian sehingga tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau sistem penulisan objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom. Objek matriks dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks ataupun fungsi. Sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A. Setiap bilangan yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut kolom.  Operasi yang yang ada pada matriks meliputi: penjumlahan matriks, pengurangan matriks ,perkalian matriks , dan determinan.  Fungsi determinan dinotasikan dengan detA sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari A. angka detA disebut determinan dari A atau determinant of A Matriks A transpose didapatkan dari matriks A dengan memindahkan elemen baris menjadi elemen kolom atau dengan memindahkan elemen kolom menjadi elemen baris. Jika kita memiliki matriks A, maka matriks transpose dari A biasa ditulis sebagai A T, misalnya : a d  a b c T  A=  maka matriks transpose A adalah : A = b T e  d f d  c f   Matriks adjoint A, dinotasikan denagn kT, adalah matriks yang elemenya terdiri dari elemen kofaktor A yang ditransposkan. K disebut matriks kofaktor.