Your SlideShare is downloading. ×
  • Like
Skripsi Graph Cantik Imam Rofiki  043214013
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Now you can save presentations on your phone or tablet

Available for both IPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Skripsi Graph Cantik Imam Rofiki 043214013

  • 1,031 views
Published

Graph merupakan ilmu matematika yang aplikasinya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya dalam mencari lintasan terpendek, permasalahan pengiriman surat, …

Graph merupakan ilmu matematika yang aplikasinya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya dalam mencari lintasan terpendek, permasalahan pengiriman surat, transportasi,
komunikasi, perlokasian, desain komputer dan sebagainya.

Published in Technology
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
1,031
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
56
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. GRAPH CANTIK SKRIPSI Oleh: IMAM ROFIKI 043214013 UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2008
  • 2. GRAPH CANTIK SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Persyaratan Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh: IMAM ROFIKI 043214013 UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2008
  • 3. GRAPH CANTIK Telah layak untuk diujikan sebagai persyaratan mendapatkan Gelar Sarjana Sains IMAM ROFIKI 043214013 PEMBIMBING TANDA TANGAN Prof. I Ketut Budayasa, Ph.D. ________________ NIP. 132085319 Tanggal 20 Juni 2008 ii
  • 4. GRAPH CANTIK SKRIPSI Telah diuji Pada tanggal: 30 Juni 2008 PENGUJI TANDA TANGAN 1. Prof. I Ketut Budayasa, Ph.D. ________________ NIP. 132085319 2. Dr. Agung Lukito, M.S. ________________ NIP. 131948773 3. Budi Rahadjeng, S.Si., M.Si. ________________ NIP. 132163907 Mengetahui: Dekan FMIPA Universitas Negeri Surabaya Prof. Dr. dr. Tjandrakirana, M.S., Sp.And. NIP. 130368622 iii
  • 5. KATA PENGANTAR Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat, hidayah, dan anugerah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “GRAPH CANTIK” dengan lancar. Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan memperoleh gelar sarjana sains di bidang matematika murni pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya. Keberhasilan Penulis dalam menyusun skripsi ini tidak lepas dari bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ibu Prof. Dr. dr. Tjandrakirana, M.S., Sp.And. selaku Dekan FMIPA Unesa. 2. Bapak Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd., selaku Ketua Jurusan Matematika Unesa. 3. Bapak Dr. Abadi, M.Sc., selaku Dosen Penasehat Akademik. 4. Bapak Prof. I Ketut Budayasa, Ph.D., selaku Dosen Pembimbing skripsi yang telah dengan sabar memberikan bimbingan, motivasi dan nasehat sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan lancar. 5. Semua bapak dan ibu dosen jurusan Matematika yang telah memberikan ilmunya kepada penulis. 6. Ayah, ibu serta adikku “Fendi” dan “Dina” tersayang, yang tak henti-hentinya memberikan nasehat, doa, dan kasih sayang. iv
  • 6. 7. Sobat-sobatku: (Argo, Chubeb, Chocky, Fahmi) dan rekan bimbinganku Marta, Salisa, Titin canda tawa kalian akan selalu penulis kenang. 8. Adik-adikku di Himatrika (Dani, Fibriana, Fitri, Hadi, Ilmi, Saiful, Umu, dan Yulianti), kalian telah menjadi teman curahan hatiku. 9. Teman-teman seperjuanganku khususnya angkatan 2004B. 10. Dan semua pihak yang telah membantu terselesainya skripsi ini. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kelemahan pada skripsi ini, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Akhirnya penulis berharap, semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak. Surabaya, 20 Juni 2008 Penulis v
  • 7. GRAPH CANTIK Imam Rofiki ABSTRAK Semua graph yang dibicarakan dalam skripsi ini adalah graph sederhana. Graph cantik didefinisikan sebagai graph yang memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3. Sedangkan graph yang tidak memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3 disebut graph tak cantik. Dalam skripsi ini, kita tunjukkan bahwa setiap subdivisi dari graph kubik terhubung-3 dengan n ≥ 10 titik merupakan graph cantik. Ditunjukkan juga bahwa setiap graph kubik merupakan graph cantik. Akhirnya, ditunjukkan bahwa setiap subdivisi dari graph komplit dengan 5 titik merupakan graph cantik. Kata kunci: Graph cantik, Subdivisi. vi
  • 8. GOOD GRAPH Imam Rofiki ABSTRACT All graphs considered in this report are simple graphs. Good graph is defined as a graph which contains a cycle of length 0 modulo 3. While graph which does not contains a cycle of length 0 modulo 3 is called bad graph. In this report, we show that every subdivisions of 3-connected cubic graph with n ≥ 10 vertices is a good graph. It is also shown that every cubic graph is a good graph. Finally, it is shown that every subdivisions of complete graph on five vertices is a good graph. Key words: Good graph, Subdivisions. vii
  • 9. DAFTAR SIMBOL Simbol Arti V(G) Himpunan titik dari graph G V (G ) Banyaknya titik dari graph G E(G) Himpunan sisi dari graph G E (G ) Banyaknya sisi dari graph G dG(v) atau d(v) Derajat titik v di G δ (G) Derajat minimum dari graph G ∆ (G) Derajat maksimum dari graph G H⊆ G H subgraph dari G G[V] Graph bagian dari G yang dibangun oleh V Ck Sikel dengan panjang k Kn Graph komplit dengan n titik Z+ Himpunan bilangan bulat positif dG(u,v) atau d(u,v) Jarak dari titik u ke titik v NG(v) atau N(v) Persekitaran titik v pada graph G H∩ G H irisan G H∪ G H gabungan G G–e Penghapusan sisi e dari G G.e Pengkonstraksian sisi e dari G κ (G ) Konektivitas titik G κ ' (G ) Konektivitas sisi G ∧ G Pasangan G viii
  • 10. DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL..................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN ...................................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iii KATA PENGANTAR................................................................................... iv ABSTRAK.................................................................................................... vi ABSTRACT ................................................................................................. vii DAFTAR SIMBOL....................................................................................... viii DAFTAR ISI ................................................................................................ ix BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1 BAB II KAJIAN PUSTAKA ...................................................................... 3 BAB III PEMBAHASAN............................................................................. 18 BAB IV PENUTUP...................................................................................... 44 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 45 ix
  • 11. 1 BAB I PENDAHULUAN Banyaknya permasalahan dalam kehidupan sehari-hari mendorong manusia untuk mencari solusi yang secara tidak langsung permasalahan tersebut mendorong berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi. Matematika adalah salah satu ilmu yang banyak memberikan alternatif dalam menyelesaikan permasalahan di segala bidang. Salah satu cabang ilmu matematika yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan adalah teori graph. Teori graph mengalami perkembangan yang sangat pesat karena aplikasinya yang sangat luas dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya dalam pencarian lintasan terpendek, permasalahan pengiriman surat, transportasi, komunikasi, perlokasian, desain komputer dan sebagainya. Sebuah graph G berisi dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak kosong V(G) yang elemen- elemennya disebut titik dan himpunan berhingga (mungkin kosong) E(G) yang elemen-elemennya disebut sisi sedemikian hingga setiap elemen e dalam E(G) merupakan pasangan tak berurutan dari titik-titik di V(G). Karena struktur graph yang sangat sederhana, maka hal inilah yang mengakibatkan banyak permasalahan nyata yang dapat dimodelkan dalam bentuk graph. Misalnya titik menyatakan stasiun maka sisi menyatakan rel yang menghubungkan antar stasiun, jika titik menyatakan orang maka sisi menyatakan hubungan yang ada diantara orang tersebut, dan masih banyak lagi pemodelan yang lainnya. 1
  • 12. 2 Dalam skripsi ini tidak dimaksudkan untuk membahas aplikasi dari teori graph tetapi skripsi ini membahas suatu materi atau teoritis dalam teori graph yaitu graph cantik. Graph yang memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3 disebut graph cantik. Sedangkan graph yang tidak memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3 disebut graph tak cantik. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk membahas kelas-kelas graph cantik. Metodologi yang penulis gunakan adalah metodologi studi literatur. Secara garis besar sistematika penulisan skripsi ini dibagi dalam 4 BAB, yaitu BAB I tentang pendahuluan yang berisi tujuan dan garis besar isi skripsi, BAB II tentang kajian pustaka yang berisi beberapa definisi dan teorema yang akan digunakan dalam pembahasan, BAB III membahas tentang kelas-kelas graph cantik, dan BAB IV berisi tentang simpulan.
  • 13. 3 BAB II KAJIAN PUSTAKA Dalam bab ini akan diuraikan beberapa definisi dan teorema yang disertai dengan contoh-contoh yang digunakan dalam Bab III Pembahasan. Definisi dan teorema yang digunakan dalam skripsi ini mengacu pada Budayasa [2] dan Chartrand [4]. Definisi 2.1: Sebuah graph G berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak kosong V(G) dari obyek-obyek yang disebut titik dan himpunan berhingga (mungkin kosong) E(G) yang elemen-elemennya disebut sisi sedemikian hingga setiap elemen e dalam E(G) merupakan pasangan tak berurutan dari titik-titik di V(G). Himpunan V(G) disebut himpunan titik G dan himpunan E(G) disebut himpunan sisi G. Misalkan u dan v adalah dua titik di G dan e = {u, v} (sering ditulis e = uv) adalah sebuah sisi di G. Maka titik u dan titik v disebut berhubungan langsung (adjacent) di G atau sisi e terkait (incident) dengan titik u dan juga titik v. Jika G tidak memiliki sisi, maka G disebut graph kosong. Sebuah graph G dapat direpresentasikan dalam bentuk diagram (gambar), dimana setiap titik di G digambarkan dengan sebuah noktah dan setiap sisi yang menghubungkan dua titik di G digambarkan dengan sebuah kurva sederhana (ruas garis) dengan titik-titik akhir di kedua titik tersebut. 3
  • 14. 4 Contoh 2.1: v1 e2 v3 e7 v5 v3 e1 e3 e5 e6 e4 v1 v2 v2 v4 G1 G2 Gambar 2.1 Perhatikan Gambar 2.1. G1 adalah graph dengan V(G1) = {v1, v2, v3, v4, v5} dan E(G1) = {e1, e2,, e3, e4, e5, e6, e7} dengan e1 = v1v2, e2 = v1v3, e3 = v1v4, e4 = v2v4, e5 = v3v4, e6 = v4v5 dan e7 = v3v5. Titik v1 dan v2 berhubungan langsung, sisi e1 terkait dengan titik v1 dan v2. Karena E(G2) = φ , maka G2 adalah graph kosong. Definisi 2.2: Sebuah sisi graph G yang menghubungan sebuah titik dengan dirinya sendiri disebut gelung (loop). Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik u dan v di G, maka sisi-sisi tersebut disebut sisi rangkap. Sebuah graph yang tidak memiliki gelung (loop) dan tidak memiliki sisi rangkap disebut graph sederhana. Contoh 2.2: v1 v4 e5 e4 e3 G1 e1 e2 v3 G2 v5 v3 e5 e1 e3 e4 v2 v1 e2 v2 Gambar 2.2
  • 15. 5 Perhatikan Gambar 2.2. G1 bukan graph sederhana karena memiliki gelung yaitu sisi e5 dan memiliki sisi rangkap yaitu e1 dan e2. G2 merupakan graph sederhana. Definisi 2.3: Sebuah graph komplit adalah graph sederhana sedemikian hingga setiap dua titik yang berbeda dihubungkan oleh sebuah sisi. Graph komplit dengan n titik dilambangkan dengan Kn, dimana n adalah bilangan asli. Contoh 2.3: v4 v5 v3 v1 v2 Gambar 2.3: Graph komplit dengan 5 titik (K5) Definisi 2.4: Misalkan G sebuah graph dan v sebuah titik G. Derajat titik v, dilambangkan dengan dG(v) atau d(v), adalah banyaknya sisi G yang terkait dengan titik v (dengan catatan setiap gelung dihitung dua kali). Derajat minimum dan maksimum dari graph G berturut-turut dilambangkan dengan δ (G) dan ∆(G), didefinisikan sebagai berikut: δ (G) = minimum {d(v) | v ∈V(G)} ∆(G) = maksimum {d(v) | v ∈ V(G)}
  • 16. 6 Contoh 2.4: v3 G v1 v2 Gambar 2.4 Perhatikan graph G pada Gambar 2.4. Untuk setiap titik v di G derajat titiknya adalah d(v1) = 3, d(v2) = 3, dan d(v3) = 6. Sehingga δ (G) = 3 dan ∆(G) = 6. Definisi 2.5: Jika setiap titik di G berderajat k, maka G disebut graph beraturan-k. Graph komplit Kn adalah graph beraturan-(n-1). Karena setiap titik pada graph komplit berderajat (n-1). Contoh 2.5: v2 v3 v1 v4 Gambar 2.5: Graph beraturan-3
  • 17. 7 Definisi 2.6: Misalkan G adalah sebuah graph. Sebuah jalan (walk) di G adalah sebuah barisan berhingga (tak kosong) W = {v0, e1, v1, e2, v2, … ,vi-1, ei, vi, … , vk-1, ek, vk} yang suku-sukunya bergantian titik dan sisi, sedemikian hingga vi-1 dan vi adalah titik-titik akhir dari sisi ei, untuk 1 ≤ i ≤ k . Kita katakan W adalah sebuah jalan dari titik v0 ke titik vk, atau jalan-(v0,vk). Titik v0 dan titik vk berturut-turut disebut titik awal dan titik akhir W. Sedangkan titik-titik v1, v2, . . . , vk-1 disebut titik-titik internal W; dan k disebut panjang jalan W. Perhatikan bahwa panjang jalan W adalah banyaknya sisi dalam W. Sebuah titik G, mungkin saja muncul lebih dari satu kali dalam jalan W, begitu juga dengan sebuah sisi G, boleh muncul lebih dari satu kali pada jalan W. Jika titik awal dan titik akhir sama maka W disebut jalan tertutup, sebaliknya jika titik awal dan titik akhir berbeda maka W disebut jalan terbuka. Jika semua sisi dalam jalan W berbeda, maka W disebut jejak (trail). Jika semua titik dan semua sisi dalam jalan W berbeda, maka W disebut lintasan (path). Lintasan dari titik u ke titik v dapat ditulis sebagai lintasan-(u, v). Jejak tertutup disebut sirkit. Sikel (cycle) adalah sebuah jejak tertutup yang titik awal dan semua titik internalnya berbeda. Banyaknya sisi dalam suatu sikel disebut panjang dari sikel tersebut. Sikel dengan panjang k (memuat sebanyak k sisi) disebut k-sikel, disimbolkan dengan Ck. Contoh 2.6: v0 e4 v3 e7 v4 e3 e5 G e1 e6 e8 v1 e2 v2 Gambar 2.6
  • 18. 8 Perhatikan graph G pada Gambar 2.6. 1) Barisan (v0, e1, v1, e2, v2, e6, v3, e7, v4, e7, v3) adalah sebuah jalan di G dengan panjang 5. 2) Barisan (v0, e1, v1, e2, v2, e6, v3, e7, v4, e8, v2) adalah sebuah jejak buka di G dengan panjang 5. 3) Barisan (v0, e1, v1, e2, v2, e8, v4, e7, v3) adalah sebuah lintasan di G dengan panjang 4. 4) Barisan (v0, e1, v1, e5, v3, e6, v2, e8, v4, e7, v3, e4, v0) adalah sebuah sirkit di G dengan panjang 6. 5) Barisan (v0, e1, v1, e2, v2, e6, v3, e4, v0) adalah sebuah sikel di G dengan panjang 4. Catatan: Jika G graph sederhana, label sisi biasanya tidak ditulis dalam barisan. Misalnya lintasan (v0, e4, v3, e6, v2, e8, v4) pada graph G di Gambar 2.6 biasanya ditulis lintasan (v0, v3, v2, v4). Definisi 2.7: Sebuah graph H disebut graph bagian (subgraph) dari graph G, ditulis H ⊆ G , jika V ( H ) ⊆ V (G ) dan E ( H ) ⊆ E (G ) . Jika H ⊆ G dan V ( H ) = V (G ) , maka H disebut graph bagian rentang (spanning subgraph) dari G. Misalkan V ( H ) ⊆ V (G ) . Graph bagian dari G yang dibangun (diinduksi) oleh V, dilambangkan dengan G[V], adalah sebuah graph bagian dari G yang himpunan titiknya adalah V dan himpunan sisinya beranggotakan semua sisi G yang mempunyai titik-titik akhir di V.
  • 19. 9 Contoh 2.7: v2 v3 v2 v3 G H1 v1 v4 v1 v2 v3 v3 H2 H3 v1 v4 v1 v4 Gambar 2.7 Perhatikan Gambar 2.7. H1 adalah graph bagian G. H2 adalah graph bagian rentang dari G. H3 adalah graph bagian G yang dibangun oleh V = {v1, v3, v4}. Definisi 2.8: Sebuah graph G dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda di G terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Sebaliknya, jika hal tersebut tidak dipenuhi maka graph G disebut tak terhubung (disconnected). Sebuah komponen graph G adalah sebuah graph bagian terhubung maksimal (titik dan sisi) dari G. Graph H dikatakan graph bagian terhubung maksimal dari graph G, jika tidak ada graph bagian lain dari G yang terhubung dan memuat H. Jadi setiap graph terhubung memiliki tepat satu komponen sedangkan graph tak terhubung memiliki paling sedikit dua komponen.
  • 20. 10 Contoh 2.8: v1 v5 v3 v3 v3 v1 v4 v1 v2 v1 v2 v2 G1 G2 G3 G H Gambar 2.8 Perhatikan Gambar 2.8. G adalah graph terhubung dan H adalah graph tak terhubung dengan tiga komponen yaitu G1, G2, dan G3. Catatan: Sebuah komponen dari graph G yang hanya berupa satu titik disebut komponen trivial. Sedangkan komponen dari graph G yang memiliki minimal satu sisi disebut komponen nontrivial. Perhatikan graph H pada Gambar 2.8, komponen trivial dari graph H adalah G3 dan komponen nontrivial dari graph H adalah G1 dan G2. Definisi 2.9: Misalkan G sebuah graph terhubung dan V1 ⊂ V(G). Himpunan V1 disebut himpunan titik pemutus G, jika G–V1 graph tak terhubung atau graph trivial (graph dengan hanya satu titik). Minimum |V1| sedemikian hingga V1 himpunan titik pemutus G disebut konektivitas titik G, disimbolkan dengan κ (G ). Dengan kata lain, konektivitas titik graph G atau κ (G ) adalah minimum banyaknya titik G yang harus dihapus agar graph yang baru tak terhubung atau graph trivial.
  • 21. 11 Definisi 2.10: (Keterhubungan Titik) Graph G dikatakan graph terhubung-k, jika penghapusan sebanyak kurang dari k titik G, menghasilkan graph baru yang tetap terhubung. Kiranya jelas bahwa graph G terhubung-k jika dan hanya jika κ (G ) ≥ k . Catatan : Jika G dikatakan graph terhubung-3, maka G juga merupakan graph terhubung-2 dan graph terhubung-1, tetapi sebaliknya tidak berlaku. Contoh 2.9: G1 G2 Graph terhubung-3 Graph terhubung-2 Gambar 2.9 Perhatikan graph pada Gambar 2.9. G1 dikatakan graph terhubung-3 karena banyaknya titik yang dihapus itu kurang dari tiga sedemikian hingga graph tersebut tetap terhubung. Sedangkan G2 dikatakan graph terhubung-2 karena banyaknya titik yang dihapus itu kurang dari dua sedemikian hingga graph tersebut tetap terhubung.
  • 22. 12 Definisi 2.11: Misalkan G sebuah graph terhubung dan E1 ⊂ E(G). Himpunan E1 disebut himpunan sisi pemutus G, jika G–E1 graph tak terhubung. Minimum |E1| sedemikian hingga E1 himpunan sisi pemutus G disebut konektivitas sisi G, disimbolkan dengan κ ' (G ) . Dengan kata lain, konektivitas sisi suatu graph adalah minimum banyaknya sisi graph tersebut yang harus dihapus agar dihasilkan graph tak terhubung. Contoh 2.10: v2 e4 v5 e1 e7 v1 e2 e5 e8 G v8 v3 v6 e3 e9 v4 e6 v7 Gambar 2.10: Graph G dengan κ (G ) = κ ' (G ) = 3 Perhatikan graph G pada Gambar 2.10. Konektivitas titik dan konektivitas sisi dari graph tersebut bernilai sama yaitu 3. Dengan kata lain, κ (G ) = κ ' (G ) = 3. Dalam hal ini, himpunan {v2, v3, v4} adalah sebuah himpunan titik pemutus minimum G, sedangkan {e4, e5, e6} adalah sebuah himpunan sisi pemutus minimum G.
  • 23. 13 Definisi 2.12: Graph G disebut graph kubik jika setiap titik di G berderajat 3. Contoh 2.11: v3 G v4 v1 v2 Gambar 2.11 Perhatikan graph G pada Gambar 2.11. G adalah graph kubik karena setiap titik di G berderajat 3. Teorema 2.1: Jika G graph kubik, maka κ (G ) = κ ' (G ). Bukti: (Lihat [4], hal. 119) Definisi 2.13: Misalkan u dan v dua titik di graph G. Jarak dari titik u ke titik v, dinotasikan dengan dG(u, v) atau d(u, v), didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek antara titik u dan titik v di G. Contoh 2.12: p e1 u e2 e6 G q r e3 e5 t e4 s Gambar 2.12: d(u, t) = 3
  • 24. 14 Perhatikan graph G pada Gambar 2.12. Lintasan (u, p, q, t) adalah lintasan terpendek di graph G dengan panjang 3. Sehingga d(u, t) = 3. Definisi 2.14: Misalkan G sebuah graph. Himpunan lintasan di G disebut disjoin-internal jika titik-titik internalnya tidak ada yang bersekutu atau sama. Teorema 2.2: Misalkan G sebuah graph dengan paling sedikit 3 titik. Graph G terhubung-2 jika dan hanya jika setiap dua titik G dihubungkan oleh paling sedikit dua lintasan disjoin-internal. Bukti: Jika setiap dua titik G dihubungkan oleh paling sedikit dua lintasan disjoin-internal, maka jelas G terhubung dan tidak memiliki satu titik pemutus. Jadi G terhubung-2. Konversinya, dibuktikan dengan induksi pada jarak antara dua titik pada graph. Misalkan G graph terhubung-2. Pertama-tama misalkan d(u, v) = 1. Karena G terhubung-2, maka sisi uv bukan sisi pemutus G. Sehingga sisi uv terletak pada suatu sikel G. Ini berarti u dan v dihubungkan oleh dua lintasan disjoin-internal pada graph G. Sekarang, misalkan d(u, v) = k ≥ 2. Asumsikan pernyataan dalam teorema benar untuk setiap dua titik pada G yang berjarak kurang dari k. Pikirkan sebuah lintasan-(u, v) dengan panjang k di graph G dan misalkan w titik persis sebelum v pada lintasan tersebut. Karena d(u, w) = k-1, berdasarkan asumsi, maka terdapat dua lintasan-(u, w) disjoin-internal di graph G. Namakan lintasan tersebut
  • 25. 15 P dan Q. Karena G terhubung-2, maka graph G-w terhubung. Sehingga terdapat lintasan-(u, v) pada graph G-w dan namakan lintasan ini dengan R. Misalkan x adalah titik terakhir di R yang juga terletak di P ∪ Q. Tanpa menghilangkan keumuman, misalkan titik x terletak di lintasan P (lihat Gambar 2.13). R P x G u v w Q Gambar 2.13 Maka graph G memuat dua lintasan disjoin-internal, yaitu: lintasan pertama terdiri dari bagian lintasan P dari titik u ke titik x, kemudian dilanjutkan dengan bagian lintasan R dari titik x ke titik v; lintasan kedua terdiri dari lintasan Q dari titik u ke titik w dan dilanjutkan lintasan (sisi) wv. Dengan demikian lengkaplah bukti teorema. Definisi 2.15: Graph terhubung dan tidak memiliki sikel disebut pohon. Contoh 2.13: v4 G v1 v2 v3 Gambar 2.14: Graph G sebuah pohon
  • 26. 16 Definisi 2.16: Sebuah blok dari graph G adalah graph bagian maksimal G yang tidak memiliki titik pemutus. Contoh 2.14: C2 K4 C3 G Gambar 2.15: Graph G dengan 3 blok yaitu C3, C2, dan K4 Definisi 2.17: Persekitaran titik v pada graph G, dinotasikan dengan NG(v) atau N(v) didefinisikan sebagai NG(v) = { u ∈ V (G ) | uv ∈ E (G ) }. Contoh 2.15: v6 v5 G v4 v7 v2 v1 v3 Gambar 2.16: NG(v1) = {v2, v3, v4}
  • 27. 17 Definisi 2.18: Misalkan G sebuah graph dan e = uv sebuah sisi di G. Pengkonstraksian sisi e dari G adalah penghapusan sisi e dari G dan menyatukan titik u dan titik v. Graph baru yang diperoleh dilambangkan dengan G.e. Misalnya, graph G dan graph G.e dapat dilihat pada Gambar 2.17 berikut. Contoh 2.16: e G G.e Gambar 2.17: Graph G dan graph G.e Definisi 2.19: Misalkan m bilangan bulat positif dengan m > 1 untuk suatu a, b anggota himpunan bilangan bulat. Dikatakan a kongruen dengan b modulo m dan biasa ditulis a ≡ b (modulo m) jika m | (a – b) atau ekuivalen dengan a = b + km untuk sebarang k anggota himpunan bilangan bulat.
  • 28. 18 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan diawali dengan membahas definisi graph cantik dan subdivisi dari sebuah graph terlebih dahulu yang kemudian dilanjutkan dengan membahas kelas-kelas graph cantik. Selanjutnya semua graph yang dibicarakan adalah graph yang tidak memiliki sisi rangkap dan tidak memiliki loop. Berikut ini akan dibahas lebih lanjut mengenai graph cantik. Definisi 3.1: Graph yang memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3 disebut graph cantik (good). Sedangkan graph yang tidak memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3 disebut graph tak cantik (bad). Contoh 3.1: Misalnya graph G1 pada Gambar 3.1 merupakan graph cantik karena memuat sikel dengan panjang 3 ≡ 0 (modulo 3) yaitu sikel (v1, v2, v3, v1). Sedangkan graph G2 memuat sikel-sikel dengan panjang 5 dan 8, sehingga G2 merupakan graph tak cantik. v5 v4 v6 v5 v7 v4 G1 v6 v3 G2 v8 v3 v1 v2 v1 v2 Gambar 3.1: G1 adalah graph cantik dan G2 adalah graph tak cantik 18
  • 29. 19 Berikut ini akan ditunjukkan bahwa setiap graph cantik, subgraphnya juga cantik. Teorema 3.1: Graph G tak cantik jika dan hanya jika setiap subgraph G tak cantik. Bukti: Misalkan graph G tak cantik. Berdasarkan Definisi 3.1, maka graph G tidak memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3. Sehingga setiap subgraph G tidak memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3. Jadi setiap subgraph G tak cantik. Konversinya, misalkan setiap subgraph G tak cantik. Andaikan graph G cantik. Berdasarkan Definisi 3.1, maka graph G memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3. Sehingga, ada subgraph G yang memuat sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3 yang disebut subgraph G cantik. Kontradiksi bahwa setiap subgraph G tak cantik. Dengan demikian bukti teorema lengkap. Untuk selanjutnya akan dibahas graph subdivisi dari sebuah graph. Definisi 3.2: Misalkan G sebuah graph. Jika graph H dibentuk dari G dengan cara menyisipkan beberapa (mungkin nol) titik pada beberapa sisi G, maka graph H disebut graph subdivisi dari G. Contoh 3.2: Perhatikan Gambar 3.2 berikut. Graph H1 dan H2 masing-masing merupakan graph subdivisi dari G. Perhatikan bahwa operasi penyisipan titik pada beberapa sisi graph, dapat mengubah sifat quot;cantikquot; suatu graph. Artinya, jika G
  • 30. 20 graph cantik, maka subdivisi dari G mungkin tak cantik. Sebagai contoh G graph cantik, tetapi H2 sebuah subdivisi dari G adalah tak cantik. G H1 H2 Gambar 3.2: H1 dan H2 adalah graph-graph subdivisi dari G Perhatikan bahwa, jika pada beberapa sisi disisipkan cukup banyak titik, maka jelas bahwa pada graph subdivisinya akan memiliki titik yang cukup banyak. Sehingga kita akan mengalami kesulitan untuk menggambar graph tersebut. Untuk mengatasi masalah ini dapat digunakan teknik pelabelan sisi yang dijelaskan berikut ini. Misalkan e = uv sebuah sisi graph G. Jika pada sisi e disisipkan sebanyak a buah titik yang berbeda, maka sisi e akan terpartisi menjadi a + 1 sisi. Karena dalam pembahasan skripsi ini kita tertarik pada bilangan 0 modulo 3 maka untuk menggambar subdivisi dari G sebanyak a buah titik yang disisipkan pada sisi e tidak perlu digambar, tetapi cukup dilabel dengan bilangan x dimana a + 1 ≡ x (modulo3). Misalnya dari Contoh 3.2 graph H1 dan H2 yang merupakan subdivisi dari G dapat digambar dengan pelabelan berikut.
  • 31. 21 1 2 0 0 H1 0 H2 1 1 1 1 0 Gambar 3.3: Pelabelan H1 dan H2 Perhatikan bahwa, sebagai akibat dari definisi pelabelan tersebut, sangat mungkin beberapa subdivisi dari graph G bisa direpresentasikan dengan pelabelan yang sama. Misalnya graph H3 dan H4 pada gambar berikut merupakan subdivisi- subdivisi dari graph G. H3 H4 Gambar 3.4 Jika graph H3 dan H4 direpresentasikan dengan teknik pelabelan sisi, maka akan diperoleh representasi yang sama yaitu pelabelan H1. 1 2 H1 0 1 1 Gambar 3.5: Pelabelan H1
  • 32. 22 Definisi 3.3: Misalkan H sebuah subdivisi dari graph G yang direpresentasikan dalam bentuk pelabelan sisi. Jika setiap label sisi H dikalikan dengan 2 modulo 3, maka akan diperoleh pelabelan baru yang disebut pasangan H yang selanjutnya ∧ disimbolkan dengan H . Contoh 3.3: Perhatikan graph H1 pada Gambar 3.6. Sisi ux berlabel 1 di H1, jika ∧ dikalikan 2 maka labelnya menjadi 2 ≡ 2 (modulo 3), sehingga pada graph H 1 sisi ux berlabel 2. Sisi vw berlabel 2 di H1, jika dikalikan 2 maka labelnya ∧ menjadi 4 ≡ 1 (modulo 3), sehingga pada graph H 1 sisi vw berlabel 1. Jika ∧ dilakukan untuk semua sisi, maka akan diperoleh graph H 1 seperti terlihat pada Gambar 3.6. v v 1 2 2 1 H1 u 0 w ∧ u 0 w H1 1 1 2 2 x x ∧ Gambar 3.6: H 1 adalah pasangan H1 ∧ Perhatikan bahwa, H 1 merupakan sebuah subdivisi dari graph G pada ∧ Gambar 3.2. Graph H1 maupun H 1 adalah graph cantik. Ternyata ini berlaku secara umum. Kita buktikan hal tersebut pada teorema berikut.
  • 33. 23 Teorema 3.2: Graph G cantik jika dan hanya jika pasangan G cantik. Bukti: Jika G graph cantik, maka graph G memuat sebuah sikel C dengan panjang ∧ 0 modulo 3. Berarti panjang sikel C adalah 3k, untuk suatu k ∈ Z+. Graph G diperoleh dengan mengalikan label setiap sisi di G dengan 2 modulo 3 sehingga ∧ diperoleh pelabelan baru. Maka panjang sikel C pada graph G adalah 6k, untuk ∧ suatu k ∈ Z+. Karena 6k ≡ 0 (modulo 3), maka G graph cantik. Konversinya, misalkan graph G tak cantik. Maka graph G tidak memuat sikel dengan panjang 0 modulo 3 atau panjang sikel bukan kelipatan 3. Dengan demikian setiap sikel di G panjangnya p dengan: p = 3m + 1, untuk suatu m ∈ Z+ atau p = 3m + 2, untuk suatu m ∈ Z+. (i) Untuk p = 3m + 1. ∧ Panjang sikel G = 2 x (3m + 1) = 6m + 2 = 2(3m) + 2 (bukan kelipatan 3). (ii) Untuk p = 3m + 2. ∧ Panjang sikel G = 2 x (3m + 2) = 6m + 4 = 2(3m) + 4 (bukan kelipatan 3).
  • 34. 24 ∧ Dari (i) dan (ii), diperoleh G tidak memuat sikel dengan panjang 0 modulo 3. ∧ Sehingga G graph tak cantik. Dengan demikian bukti teorema lengkap. Perhatikan bahwa teorema di atas memberikan kita suatu cara untuk mengkonstruksi sebuah graph cantik baru dari suatu graph cantik tertentu. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap subdivisi dari graph kubik terhubung-3 dengan titik yang cukup banyak pasti merupakan graph cantik. Namun tidak demikian halnya dengan subdivisi dari graph kubik terhubung-2. Sebagai contoh berikut ini diberikan sebuah subdivisi dari graph kubik terhubung- 2 ternyata merupakan graph tak cantik. Contoh 3.4: 0 v21 v22 v2m 1 1 1 1 1 1 v11 0 0 … 0 0 0 v3m v31 v12 v32 v1m 1 1 1 1 1 1 v41 v42 v4m G Gambar 3.7: Subdivisi dari graph kubik terhubung-2 yang tak cantik Perhatikan bahwa, graph tersebut subdivisi dari graph kubik terhubung-2 dan memuat m jiplakan dari K4 - e, dimana m adalah bilangan bulat positif yang bukan kelipatan 3. Perhatikan sikel C = (v11, v21, v31, v12, v22, v32, ... , v1m, v2m, v3m, v11) pada G. Panjang sikel C adalah t, dengan t = 2m + 3(m-1) + 3
  • 35. 25 = 2m + 3m – 3 + 3 = 5m, untuk suatu m ∉ 3Z+. Jadi panjang sikel C bukan kelipatan 3. Perhatikan setiap blok G memuat 3 sikel. Misalkan pada blok ke-i, 1 ≤ i ≤ m, terdapat: 1) sikel (v1i, v2i, v3i, v4i, v1i) dengan panjang 4 ≡ 1 (modulo 3) 2) sikel (v1i, v2i, v4i, v1i) dengan panjang 2 ≡ 2 (modulo 3) 3) sikel (v2i, v3i, v4i, v2i) dengan panjang 2 ≡ 2 (modulo 3). Sehingga graph G tak cantik. Sebelum kita buktikan hasil utama, maka kita tinjau beberapa fakta berikut. Fakta 3.1: Setiap graph kubik dengan n ≤ 14 titik merupakan graph cantik. Berikut ini diberikan beberapa contoh graph kubik dengan n ≤ 14 titik ternyata merupakan graph cantik. Tabel 3.1: Graph kubik dengan n ≤ 14 titik No Titik Graph Kubik 1 n=4
  • 36. 26 2 n=6 3 n=8 4 n = 10 5 n = 12
  • 37. 27 6 n = 14 Untuk lebih lengkapnya daftar semua graph kubik dengan n ≤ 14 titik dapat dilihat pada Bussemaker [3]. Subdivisi graph kubik belum tentu merupakan graph cantik. Berikut khusus untuk n ≤ 8 titik, diberikan daftar graph tak cantik yang merupakan subdivisi dari graph kubik. Fakta 3.2: Daftar semua subdivisi graph kubik terhubung-3 dengan n ≤ 8 titik merupakan graph tak cantik dapat dilihat pada Gambar 3.8 berikut. 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 1 1 1 1 2 0 2 2 1 1 1 1 1 2 0 0 2 2
  • 38. 28 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 0 1 0 2 1 0 0 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 1 Gambar 3.8: Subdivisi graph kubik terhubung-3 dengan n ≤ 8 titik yang tak cantik
  • 39. 29 Berikut ini akan ditunjukkan bahwa setiap subdivisi graph kubik terhubung-3 dengan 10 titik merupakan graph cantik. Subdivisi dari graph kubik terhubung-3 dengan 10 titik, diperoleh dari subdivisi graph kubik terhubung-3 dengan 8 titik yang tak cantik dengan menambahkan dua titik yang disisipkan pada 2 sisi sebarang yang berbeda dan menghubungkan dua titik itu dengan sebuah sisi baru. Pada Gambar 3.8 diberikan daftar semua graph kubik terhubung-3 dengan 8 titik yang tak cantik. Padahal penambahan dua titik pada dua sisi yang berbeda dengan menghubungkan kedua titik tersebut dengan sebuah sisi baru, akan diperoleh graph terhubung-3 dengan 10 titik dan ternyata setiap graph yang diperoleh merupakan graph cantik. Seperti diperlihatkan oleh beberapa contoh berikut (lihat Gambar 3.9). Untuk lebih lengkapnya dapat dilihat pada Bussemaker [3]. v7 v7 v7 v8 0 0 v8 0 0 v8 0 0 v6 v6 v6 1 1 1 1 1 1 v9 0 v5 v9 1 v5 v9 2 v5 0 0 0 0 0 0 v10 1 1 v4 v10 1 1 v4 v10 1 1 v4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v1 v3 v1 v3 v1 v3 1 v2 1 1 v2 1 1 v2 1 v8 1 v7 v8 0 v7 v8 2 v7 0 0 0 0 0 0 v9 v6 v9 v6 v9 v6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v10 v5 v10 v5 v10 v5 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v1 v4 v1 v4 v1 v4 1 v 1 1 v 1 1 v 1 2 0 v3 2 2 v3 2 2 v3
  • 40. 30 v7 v7 v7 v8 0 0 v8 0 0 v8 0 0 v6 v6 v6 1 1 2 2 0 1 v9 1 v5 v9 2 v5 v9 2 v5 1 1 1 1 1 1 v10 1 1 v4 v10 1 1 v4 v10 1 1 v4 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 v1 v3 v1 v3 v1 v3 2 v2 2 2 v2 2 2 v2 2 v8 0 v7 v8 1 v7 v8 1 v7 0 0 0 0 0 0 v9 v6 v9 v6 v9 v6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v10 v5 v10 v5 v10 v5 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 v1 v4 v1 v4 v1 v4 2 v 2 2 v v 2 2 v 2 2 0 v3 2 1 3 2 2 v3 v8 0 v7 v8 0 v7 v8 0 v7 0 1 0 1 0 1 v9 v6 v9 v6 v9 v6 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 v10 1 v5 v10 1 v5 v10 1 v5 2 1 2 1 2 1 0 0 0 v1 v4 v1 v4 v1 v4 2v 2 2v 2 2v 2 2 1 v3 2 1 v3 2 1 v3 v7 v7 v7 0 1 0 1 0 1 v8 1 v6 v8 1 v6 v8 1 v6 0 1 0 0 1 0 0 1 0 v9 1 v5 v9 1 v5 v9 1 v5 2 0 1 2 0 1 2 0 1 v10 v4 v10 v4 v10 v4 1 2 0 0 2 2 2 2 1 v1 v3 v1 v3 v1 v3 2 v 2 2 v 2 2 v 2 2 2 2
  • 41. 31 v8 2 v7 v8 0 v7 v8 0 v7 1 1 1 1 1 1 v9 v6 v9 v6 v9 v6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 v10 1 v5 v10 1 v10 1 v5 v5 0 0 0 0 0 0 1 1 1 v1 v4 v1 v4 v1 v4 1 v2 1 v3 0 1 v2 1 v3 0 1 v2 1 v3 0 v7 v7 v7 1 1 1 1 1 1 v8 0 v6 v8 0 v6 v8 0 v6 0 0 1 0 0 1 0 0 1 v9 1 v5 v9 1 v5 v9 1 v5 0 1 0 0 0 0 0 v10 v4 v10 1 v4 v10 1 v4 0 2 1 2 2 0 1 2 1 v1 v3 v1 v3 v1 v3 1 v 0 1 v 0 1 v 0 2 2 2 v7 v7 v7 0 1 0 1 0 1 v8 1 v6 v8 1 v6 v8 1 v6 2 1 2 2 1 2 2 1 2 v9 2 v5 v9 2 v5 v9 2 v5 1 2 1 0 2 1 0 2 v10 0 v4 v10 v4 v10 v4 0 0 0 1 1 0 0 1 2 v1 v3 v1 v3 v1 v3 1 v 1 1 v 1 1 v 1 2 2 2 v8 2 v7 v8 0 v7 v8 2 v7 0 2 0 2 0 2 v9 v6 v9 v6 v9 v6 2 2 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 v10 1 v5 v10 1 v5 v10 1 v5 1 0 1 0 1 0 0 0 0 v1 v4 v1 v4 v1 v4 1 1 1v v2 0 v3 1 v2 0 v3 1 2 2 v3 1
  • 42. 32 v7 v7 v7 0 2 0 2 0 2 v8 2 v6 v8 2 v6 v8 2 v6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v9 1 v5 v9 1 v9 1 v5 v5 1 0 0 1 0 1 0 v10 v4 v10 0 v4 v10 0 v4 2 1 0 0 1 0 2 1 2 v1 v3 v1 v3 v1 v3 1 v 1 1 v 1 1 v 1 2 2 2 v8 0 v7 v8 0 v7 v8 0 v7 0 1 0 1 0 1 v9 v6 v9 v6 v9 v6 1 1 1 2 1 0 2 2 1 1 2 2 1 2 2 v10 2 v5 v10 2 v5 v10 2 v5 1 2 1 2 1 2 0 0 0 v1 v4 v1 v4 v1 v4 1 v 1 1v 1 2 1 v3 2 2 v3 1 v2 2 v3 1 Gambar 3.9: Subdivisi dari graph kubik terhubung-3 dengan10 titik Dari uraian di atas, dapat disimpulkan fakta berikut. Fakta 3.3: Setiap subdivisi graph kubik terhubung-3 dengan 10 titik merupakan graph cantik. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa jika G graph terhubung-3 dengan titik yang cukup banyak, maka G memuat sisi e sedemikian hingga graph G.e adalah graph terhubung-3 dan G - e merupakan subdivisi graph terhubung-3. Lemma 3.1: Misalkan G sebuah graph terhubung-3 dengan V (G ) ≥ 5 . Maka G memuat sisi e sedemikian hingga graph G.e merupakan graph terhubung-3 dan G − e merupakan subdivisi dari graph terhubung-3.
  • 43. 33 Bukti: Andaikan bahwa untuk setiap e di E(G), graph G.e tak terhubung-3. Karena G.e tak terhubung-3, maka ada 2 titik di G.e, misalkan titik u dan titik v sedemikian hingga G.e – {u,v} graph tak terhubung dan himpunan titik pemutus tersebut pasti memuat sebuah titik di G.e yang diperoleh dengan mengkontraksi sisi e = xy. Tanpa menghilangkan keumuman, misalkan titik ' xy ' = u maka {x, y, v} adalah himpunan titik pemutus di G. Dengan kata lain G - {x, y, v} merupakan graph tak terhubung. Misalkan H adalah sebuah komponen dari G - {x, y, v} yang memiliki titik sebanyak mungkin dan H ' adalah sebuah komponen yang lain dari G - {x, y, v} (lihat Gambar 3.10). v G x y Gambar 3.10 Karena G terhubung-3, maka {x, y, v} merupakan titik pemutus minimal di G. Sehingga setiap titik tersebut memiliki persekitaran di H dan H ' . Misalkan a sebuah titik persekitaran v di H. Misalkan b sebuah titik di G sedemikian hingga {v, a, b} merupakan himpunan titik pemutus di G. Jelas bahwa graph bagian G yang dibangun oleh V ( H ) ∪ {x, y} atau G[V ( H ) ∪ {x, y}] adalah graph terhubung. Jika b adalah sebuah titik di G[V ( H ) ∪ {x, y}] , maka G[V ( H ) ∪ {x, y}] - {b} adalah graph terhubung, sebab jika tidak, maka G - {v, b}
  • 44. 34 tak terhubung. Hal ini kontradiksi dengan G terhubung-3. Oleh sebab itu G[V ( H ) ∪ {x, y}] - {b} adalah sebuah komponen dari G - {v, a, b} yang memiliki titik melebihi titiknya H. Hal ini kontradiksi dengan H memiliki titik sebanyak mungkin. Misalkan sisi e menghubungkan titik s dan titik t di G. Karena G - e, maka derajat titik s dan titik t di G - e paling sedikit 2. Jadi G - e merupakan subdivisi dari graph terhubung-3. Dengan demikian lemma terbukti. Berikut ini akan ditunjukkan hasil utama bahwa setiap subdivisi dari graph kubik terhubung-3 dengan titik yang cukup banyak merupakan graph cantik. Teorema 3.3: Setiap subdivisi dari graph kubik G terhubung-3 dengan n ≥ 10 titik merupakan graph cantik. Bukti: Kita buktikan dengan induksi pada n. Berdasarkan Fakta 3.2, G merupakan graph cantik untuk n = 10. Asumsikan, pernyataan benar untuk graph G < n titik. Artinya, setiap subdivisi dari graph kubik G terhubung-3 kurang dari n titik, maka G merupakan graph cantik. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa pernyataan benar untuk graph G dengan n titik, n ≥ 12. Misalkan G merupakan subdivisi dari graph terhubung-3 dengan n titik. Andaikan G graph tak cantik. Berdasarkan Lemma 3.1, maka ada sisi e = uv di G sedemikian hingga G-e merupakan subdivisi dari graph kubik terhubung-3. Misalkan sisi uv di G dan P berkorespondensi dengan lintasan-(u, v) di G. Maka komponen nontrivial dari G-
  • 45. 35 E(P) merupakan subdivisi dari graph kubik terhubung-3 yang tak cantik dengan paling banyak n – 2 ≥ 10 titik. Hal ini kontradiksi dengan hipotesis induksi. Dengan demikian teorema terbukti. Lemma 3.2: Jika G sebuah graph kubik terhubung-2, maka G memuat subgraph Hi untuk suatu i = 1, 2 yang memenuhi: (i) V(H1) ∩ V(H2) = φ (ii) Hi memuat dua titik ui dan vi berderajat 2 dan semua titik yang lainnya masing-masing berderajat 3 (iii) u i vi ∉ E (G ) (iv) G memuat dua lintasan disjoin-internal yaitu lintasan-Pu = (u1, u2) dan lintasan-Pv = (v1, v2) sedemikian hingga (V(Pu) ∪ V(Pv)) ∩ V(Hi)= {ui, vi} (v) κ ( H i + u i v i ) = 3. Bukti: Karena G graph kubik, berdasarkan Teorema 2.1, κ (G ) = κ ' (G ). Karena κ (G ) = 2 , maka κ ' (G ) = 2. Misalkan { e'1 , e' 2 } merupakan himpunan sisi pemutus di G dan misalkan H ' i untuk suatu i = 1, 2 adalah komponen-komponen dari G - { e'1 , e' 2 }. Dari semua kemungkinan subgraph H ' i , yang mungkin diperoleh sebagai sebuah komponen dari G - { ei ,1 , ei , 2 } untuk suatu ei ,1 , ei , 2 ∈ E (G ) . Misalkan Hi adalah komponen yang memiliki titik sesedikit mungkin. Jelas Hi memenuhi (i) dan (ii). Karena G graph kubik, maka Hi
  • 46. 36 memenuhi (iii) (lihat Gambar 3.11). Karena G graph terhubung-2, berdasarkan Teorema 2.2, G memuat dua lintasan disjoin-internal yaitu lintasan-Pu = (u1, u2) dan lintasan-Pv = (v1, v2) sedemikian hingga (V(Pu) ∪ V(Pv)) ∩ V(Hi)= {ui, vi}. Karena Hi minimalitas (titik paling sedikit), maka himpunan sisi-sisi dari Hi tidak memuat sisi pemutus di G. Akibatnya, jika Hi ditambahkan sebuah sisi yang menghubungkan titik ui dan titik vi, maka Hi merupakan graph terhubung-3. Sehingga κ ( H i + u i vi ) = 3. Dengan demikian bukti lemma lengkap. u1 u2 H1 H2 v1 v2 Gambar 3.11: Subgraph Hi Berikut ini akan ditunjukkan bahwa setiap graph kubik merupakan graph cantik. Teorema 3.4: Setiap graph kubik G merupakan graph cantik. Bukti: Kita tinjau 3 kasus yaitu κ (G ) = 3 , κ (G ) = 2 , dan κ (G ) = 1. Kasus 1. κ (G ) = 3. Berdasarkan Fakta 3.1 dan Teorema 3.3, maka graph kubik G merupakan graph cantik.
  • 47. 37 Kasus 2. κ (G ) = 2. Andaikan G graph tak cantik. Maka graph Hi + uivi untuk suatu i = 1, 2, dideskripsikan pada Lemma 3.2 merupakan subdivisi dari graph kubik terhubung- 3 yang tak cantik ketika diberi label sebagai berikut. Setiap sisi kecuali uivi diberi label 1. Label sisi uivi adalah label sebarang lintasan-(ui, vi) di G yang memuat u3-i dan v3-i. Oleh karena itu, graph Hi + uivi merupakan subdivisi dari graph kubik terhubung-3 yang tak cantik dengan sisi uivi mempunyai label kecuali 1 modulo 3. Berdasarkan Fakta 3.2 dan Teorema 3.3, tidak ada graph yang demikian. Kita simpulkan bahwa G merupakan graph cantik. Kasus 3. κ (G ) = 1. Misalkan H blok terakhir G dan misalkan v titik pemutus G di V(H). Asumsikan u dan w dua titik di H berhubungan langsung dengan v. Subkasus 3.1. Jika titik u dan titik w berhubungan langsung di G, maka sikel (u, v, w, u) mempunyai panjang 3 ≡ 0 (modulo 3) di G. Sehingga G graph cantik. Subkasus 3.2. Jika titik u dan titik w tidak berhubungan langsung di G, maka berdasarkan Lemma 3.2 graph H – v + uw memiliki κ ( H – v + uw) = 3. Sehingga graph H – v + uw merupakan graph kubik terhubung-3. Andaikan graph G tak cantik. Maka graph H – v + uw merupakan subdivisi dari graph kubik terhubung-3 yang tak cantik ketika diberi label sebagai berikut. Setiap sisi kecuali uw diberi label 1. Label sisi uw adalah label sebarang lintasan-(u, w) di G. Oleh karena itu, graph H – v + uw merupakan subdivisi dari graph kubik terhubung-3
  • 48. 38 yang tak cantik dengan sisi uw mempunyai label kecuali 1 modulo 3. Berdasarkan Fakta 3.2 dan Teorema 3.3, tidak ada graph yang demikian. Kita simpulkan bahwa G merupakan graph cantik. Dengan demikian bukti teorema lengkap. Teorema 3.3 menunjukkan bahwa setiap subdivisi dari graph kubik terhubung-3 dengan titik yang cukup banyak adalah graph cantik. Tetapi, jika kata kubik dihilangkan belum tentu graph subdivisinya merupakan graph cantik. Misalkan T sebuah pohon dengan n – 2 ≥ 2 titik. Misalkan graph Gn dibentuk dari T dengan menambahkan dua titik baru x dan y diluar T dengan cara menghubungkan titik x dan titik y ke setiap titik di T dan titik x dan y dihubungkan oleh sebuah sisi. Karena graph Gn mempunyai n ≥ 4 titik, jelas Gn merupakan graph terhubung-3. Misalkan subdivisi dari Gn diperoleh dengan cara pelabelan berikut: Setiap sisi Gn di T diberi label 0; setiap sisi yang menghubungkan titik x ke setiap titik T diberi label 1; setiap sisi yang menghubungkan titik y ke setiap titik T diberi label 1; dan sisi xy diberi label 0. Maka dapat ditunjukkan subdivisi graph tersebut merupakan graph tak cantik. Ambil 2 titik u dan v di T. Karena T pohon, maka u dan v dihubungkan oleh sebuah lintasan P = (u = z0, z1, z2, . . . , v = zk) di T. Karena u dan v masing- masing berhubungan langsung dengan x dan y, dan x dan y berhubungan langsung, maka terdapat 4 jenis sikel di Gn yaitu: 1) (x, zi, zi + 1, . . . , zt, x) dengan 0 ≤ i ≤ k; 0 ≤ t ≤ k ; i < t merupakan sikel dengan panjang 2 modulo 3.
  • 49. 39 2) (y, zi, zi + 1, . . . , zt, y) dengan 0 ≤ i ≤ k; 0 ≤ t ≤ k ; i < t merupakan sikel dengan panjang 2 modulo 3. 3) (x, zi, zi + 1, . . . , zt, y, x) dengan 0 ≤ i ≤ k; 0 ≤ t ≤ k ; i < t merupakan sikel dengan panjang 2 modulo 3. 4) (x, zi, y, zt, x) dengan 0 ≤ i ≤ k; 0 ≤ t ≤ k ; i ≠ t merupakan sikel dengan panjang 4 ≡ 1 (modulo 3). Jadi dari uraian di atas menunjukkan bahwa subdivisi dari graph Gn tidak memuat sikel dengan panjang 0 modulo 3. Sehingga subdivisi dari graph Gn merupakan graph tak cantik. x 1 Gn : 0 T y 1 Gambar 3.12: Subdivisi dari graph terhubung-3 yang tak cantik dengan n titik Berikut ini akan ditunjukkan bahwa subdivisi dari graph Gn merupakan graph tak cantik maksimal. Artinya, tidak ada graph lain yang memuat subdivisi graph Gn yang tak cantik. Teorema 3.5: Jika subdivisi graph Gn yang diperoleh dengan cara pelabelan berikut: setiap sisi T di Gn dan sisi xy diberi label 0; sedangkan setiap sisi yang lain diberi label 1, maka subdivisi dari graph Gn yang demikian merupakan graph tak cantik maksimal.
  • 50. 40 Bukti: Perhatikan subdivisi dari graph Gn pada Gambar 3.12. Subdivisi dari graph Gn merupakan graph tak cantik. Jika graph G dibentuk dari subdivisi graph Gn dengan menambahkan sebuah sisi baru yang menghubungkan dua titik T yang tidak berhubungan langsung, maka graph G dapat ditunjukkan merupakan graph cantik. Misalkan sisi baru tersebut adalah e = uv dan lintasan P = (u = z0, z1, z2, ... , v = zk) di T. Ada tiga kemungkinan melabel sisi e tersebut yaitu 0, 1, atau 2 modulo 3. Kasus 1. Sisi e = uv dilabel 0 modulo 3. Graph G memuat sebuah sikel (u, z1, z2, . . . , v, u) dengan panjang 0 modulo 3. Sehingga G merupakan graph cantik. Kasus 2. Sisi e = uv dilabel 1 modulo 3. Graph G memuat sebuah sikel (u, v, x, u) dengan panjang 3 ≡ 0 (modulo 3). Sehingga G merupakan graph cantik. Kasus 3. Sisi e = uv dilabel 2 modulo 3. Graph G memuat sebuah sikel (u, v, y, zi, x, u), 0 < i < k dengan panjang 6 ≡ 0 (modulo 3). Sehingga G merupakan graph cantik. Jadi untuk semua kemungkinan didapat G merupakan graph cantik dan memuat subdivisi dari graph Gn. Dengan demikian teorema terbukti.
  • 51. 41 Berikut ini akan ditunjukkan bahwa setiap subdivisi dari K5 merupakan graph cantik. Fakta 3.4: Setiap subdivisi dari K5 merupakan graph cantik. Bukti: Berdasarkan Fakta 3.2, daftar semua subdivisi dari K4 merupakan graph tak cantik dapat dilihat pada Gambar 3.8. Misalkan Graph G = K5 – e. Perhatikan bahwa G dikurangi titik v2 adalah graph K4 (lihat Gambar 3.13). v5 G = K5 – e v4 v1 v3 v2 Gambar 3.13: G adalah graph K5 – e Padahal pada Fakta 3.2, setiap subdivisi dari K4 adalah graph tak cantik. Penghapusan titik v2 pada G mengakibatkan 3 sisi yang terkait dengan titik v2 terhapus yaitu sisi v1v2, v2v3, dan v2v4. Kemudian setiap sisi mungkin dilabel dengan 3 cara yaitu 0, 1, atau 2 modulo 3. Sehingga seluruhnya terdapat 33 = 27 kemungkinan melabel ketiga sisi tersebut. Dari semua kemungkinan tersebut hanya pelabelan berikut yang mengakibatkan subdivisi dari graph G yang tak cantik.
  • 52. 42 v5 v5 v5 1 0 1 1 0 1 0 1 0 v4 v4 v4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 v1 1 v2 1 v3 v1 1 v2 1 v3 v1 1 v2 1 v3 0 2 2 G1 G2 G3 Gambar 3.14: Subdivisi dari K5 - e yang tak cantik Selanjutnya, jika titik v2 dan v5 di G1, G2, maupun G3 dihubungkan oleh sebuah sisi baru, maka akan terbentuk K5. Kemudian sisi baru tersebut, dilabel dengan 3 cara yaitu 0, 1, atau 2 modulo 3. Setiap kemungkinan akan diperoleh sebuah sikel dengan panjang 0 modulo 3 seperti terlihat pada Gambar 3.15 berikut. v5 v5 v5 0 0 1 1 0 v4 1 1 0 v4 1 0 0 v4 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 v1 1 v2 1 v3 v1 1 v2 1 v3 v1 1 v2 1 v3 0 2 2 G11 G21 G31 v5 v5 v5 0 0 1 1 1 v4 1 1 1 v4 1 0 1 v4 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 v1 1 v2 1 v3 v1 1 v2 1 v3 v1 1 v2 1 v3 0 2 2 G12 G22 G32
  • 53. 43 v5 v5 v5 0 0 1 1 2 v4 1 1 2 v4 1 0 2 v4 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 v1 1 v2 1 v3 v1 1 v2 1 v3 v1 1 v2 1 v3 0 2 2 G13 G23 G33 Gambar 3.15 Perhatikan Gambar 3.15. Misalnya pada graph G11 terdapat sikel (v2, v4, v5, v2) dengan panjang 0 modulo 3. Sehingga G11 adalah graph cantik. Misalnya pada graph G12 terdapat sikel (v1, v2, v5, v1) dengan panjang 3 ≡ 0 (modulo 3). Sehingga G12 adalah graph cantik. Misalnya pada graph G13 terdapat sikel (v1, v2, v5, v3, v4, v1) dengan panjang 6 ≡ 0 (modulo 3). Sehingga G13 adalah graph cantik. Misalnya pada graph G21 terdapat sikel (v2, v4, v5, v2) dengan panjang 0 modulo 3. Sehingga G21 adalah graph cantik. Misalnya pada graph G22 terdapat sikel (v2, v4, v3, v5, v2) dengan panjang 3 ≡ 0 (modulo 3). Sehingga G22 adalah graph cantik. Misalnya pada graph G23 terdapat sikel (v1, v3, v2, v5, v1) dengan panjang 6 ≡ 0 (modulo 3). Sehingga G23 adalah graph cantik. Misalnya pada graph G31 terdapat sikel (v2, v5, v3, v4, v1, v2) dengan panjang 3 ≡ 0 (modulo 3). Sehingga G31 adalah graph cantik. Misalnya pada graph G32 terdapat sikel (v4, v5, v2, v3, v1, v4) dengan panjang 6 ≡ 0 (modulo 3). Sehingga G32 adalah graph cantik. Misalnya pada graph G33 terdapat sikel (v2, v3, v5, v2) dengan panjang 3 ≡ 0 (modulo 3). Sehingga G33 adalah graph cantik. Dari semua kemungkinan tersebut dapat disimpulkan bahwa setiap subdivisi dari K5 merupakan graph cantik.
  • 54. 44 BAB IV PENUTUP Dari hasil pembahasan pada BAB III, dapat disimpulkan bahwa: 1. Graph G tak cantik jika dan hanya jika setiap subgraph G tak cantik. 2. Graph G cantik jika dan hanya jika pasangan G cantik. 3. Setiap subdivisi dari graph kubik terhubung-3 dengan n ≥ 10 titik merupakan graph cantik. 4. Setiap graph kubik merupakan graph cantik. 5. Misalkan T sebuah pohon dengan n – 2 ≥ 2 titik. Misalkan graph Gn dibentuk dari T dengan menambahkan dua titik baru x dan y diluar T dengan cara menghubungkan titik x dan titik y ke setiap titik di T dan titik x dan y dihubungkan oleh sebuah sisi. Jika subdivisi graph Gn yang diperoleh dengan cara pelabelan berikut: setiap sisi T di Gn dan sisi xy diberi label 0; sedangkan setiap sisi yang lain diberi label 1, maka subdivisi dari graph Gn yang demikian merupakan graph tak cantik maksimal. 6. Setiap subdivisi dari K5 merupakan graph cantik. 44
  • 55. 45 DAFTAR PUSTAKA [1] Barefoot, C. A. dkk. 1991. Cycle of Length 0 Modulo 3 in Graphs. Graph Theory Combinatorics and Applications. Vol. 1: 87-101. Newyork/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore: John Wiley & Sons, Inc. [2] Budayasa, Ketut. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa University Press Surabaya. [3] Bussemaker, F.C. dkk. 1976. Computer Investigation of Cubic Graphs. T. H. Report 76-WSK-01 (Online), (http://www.sciencedirect.com, diakses pada 17 April 2008). [4] Chartrand, Gary dan Ping Zhang. 2005. Introduction to Graph Theory. Newyork: The McGraw Hill Companies, Inc. 45
  • 56. 46 PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI Saya yang bertanda tangan dibawah ini: Nama : Imam Rofiki No. Registrasi : 043214013 Program Studi : S-1 Jurusan : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Menyatakan dengan sebenarnya dan sungguh-sungguh bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri; bukan merupakan pengambil-alihan tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri. Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan atau ada pihak yang mengajukan gugatan, maka saya bersedia menerima seluruh sanksi atas perbuatan tersebut, termasuk pembatalan ijazah yang saya peroleh dari Universitas Negeri Surabaya. Surabaya, 20 Juni 2008 Yang membuat pernyataan, Imam Rofiki