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  1. 1. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabamba REPASO DE ALGEBRA MATRICIAL1. DEFINICIONES.-Una matriz: ! $ # a11 a12 ... a1k & # a a22 ... a2k & A = # 21 & # ... & # a " n1 an2 ... ank & %Cada elemento de la matriz se denota de la siguiente manera: afila,columnaLa matriz A es de dimensión n x k (de n filas y k columnas).Si la matriz A tiene el número de filas igual al número de columnas, decimos que A es unamatriz cuadrada.Si el elemento de la matriz A , a ij es igual al elemento a ji para todo i y j , decimos que lamatriz A es simétrica.Una matriz diagonal es aquella con elementos no nulos en la diagonal principal, y nulosfuera de la misma (la diagonal principal está constituida por los elementos a ij que cumplencon i = j , elementos que van desde el extremo superior izquierdo al extremo inferiorderecho).Una matriz escalar es una matriz diagonal con el mismo valor para los elementosdiagonales. La matriz identidad es una matriz escalar con el valor de 1 en los elementosdiagonales.Una matriz triangular es una matriz cuyos elementos son nulos encima o por debajo de ladiagonal. Por encima se denomina triangular inferior. Por debajo, triangular superior.Una matriz cero o nula, 0 , es aquella donde todos los elementos son iguales a cero.Un vector es un arreglo ordenado de números en una fila o una columna.Si el arreglo está ordenado en una sola fila se denomina vector fila.Si el arreglo está ordenado en una sola columna se denomina vector columna.A no ser que se diga lo contrario al referirnos a un vector, implícitamente nos referiremos aun vector columna. Es decir: 1
  2. 2. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabamba ⎡a 1 ⎤ ⎢ ⎥ a a = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢a n ⎥ ⎣ ⎦2. MANIPULACIÓN DE MATRICES Y VECTORESDos matrices, A y B , son iguales, si teniendo las mismas dimensiones, se cumple: a ij = bij para todo i y jMatriz transpuestaLa transpuesta de A , denotada como A , se obtiene creando una matriz cuya i − ava filaes la i − ava columna de la matriz original. Alternativamente, B es la transpuesta de A si secumple: B = A ⇔ a ij = b ji para todo i y jMatriz simétricaLa definición de matriz simétrica implica que si A es simétrica cuando: A = ALa transpuesta de la transpuesta de la matriz A es la misma matriz A . Es decir: ( A ) = AFinalmente, tenemos que la transpuesta del vector a (vector columna) es el vector fila a : [ a = a1 a2 ... a n ]Otros resultados de la transposición de matrices:1. C = A + B → C = ( A + B ) = A+ B2. ( AB ) = B AY en general ( ABCD ) = D C B A3. I = I 4. La transpuesta de un escalar es el mismo escalar.Adición y substracción de matrices [ C = A + B → c ij = a ij + bij ] C = A − B → c ij = [a ij −b ] ijSe supone implícitamente que ambas matrices (y la matriz resultante) tienen la mismadimensión. Otros resultados importantes son: 2
  3. 3. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabamba A+0 = A A+ B = B + A ( A + B) + C = A + ( B + C ) ( A + B ) = A + B Inner product o dot product (producto vectorial)La multiplicación del vector a por el vector b (vectores de la misma dimensión) está definidade la siguiente manera: a b = a 1 b1 + a 2 b 2 + ... + a n b nEl resultado de este producto de vectores es un escalar. Nótese que: a b = b aMultiplicación de matricesSea: a j vector (columna) correspondiente a la j − ava columna de la matriz A a i vector (columna) correspondiente a la i − ava fila de la matriz A . Por tanto, a i , es el vector fila que corresponde a la i − ava fila de la matriz ADe la misma manera se puede definir para cualquier matriz. Por ejemplo, para la matriz B ,tenemos b j y b i .La multiplicación de la matriz A de dimensión n x k por la matriz B de dimensión k x m ,genera la matriz C = AB , de dimensión n x m cuyo i − j − avo elemento es el productovectorial de la í − ava fila de A por la j − ava columna de B . Es decir: C = AB ⇔ c ij = a i b jNótese que: ♦ Para que exista la multiplicación, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B ♦ La dimensión de la matriz resultante corresponde al número de filas de A y al número de columnas de B . ♦ La multiplicación no goza de la propiedad conmutativa: AB ≠ BA y en general las matrices resultantes no tendrán las mismas dimensiones. Por tanto, se adopta la terminología pre multiplicación y post multiplicación.Multiplicación escalarConsiste en multiplicar cada elemento de una matriz por un escalar. Para el escalar c y una [ ]matriz A se denota por: B = cA → bij = ca ijFinalmente, el producto de una matriz y un vector es un vector con elementos igual alnúmero de filas de la matriz. Para la matriz A y el vector b , se denota por c = Ab 3
  4. 4. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaPor ejemplo: ⎡5⎤ ⎡4 2 1⎤ ⎡a ⎤ ⎢4⎥ = ⎢2 6 1⎥ ⎢b ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1⎥ ⎢1 1 0⎥ ⎢ c ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Dos interpretaciones: ♦ Es una forma compacta de escribir las tres ecuaciones siguientes: 5 = 4a + 2b + 1c 4 = 2a + 6b + 1c 1 = 1a + 1b + 0c ♦ El vector resultante es una combinación lineal de las columnas de la matriz donde los coeficientes son los elementos del vector. ⎡5⎤ ⎡4⎤ ⎡2⎤ ⎡1⎤ ⎢4⎥ = a ⎢2⎥ + b ⎢6⎥ + c ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎢1⎥ ⎢1⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ En el caso general: c = Ab = b1 a 1 + b2 a 2 + ... + b j a k En un caso aún más general, se tiene en C = AB que la j − ava columna de C es una combinación lineal de la matriz A y la j − ava columna de B . Es decir: C = AB ⇔ c j = Ab jSea e j un vector columna que tiene ceros como elementos, excepto en la j − ava posición.Se puede obtener a j multiplicando A por e j . Es decir, a j = Ae jOtros resultados de la multiplicación de matricesLey asociativa: ( AB )C = A( BC )Ley distributiva: A( B + C ) = AB + ACTranspuesta de productos: ( AB ) = B A ( ABC ) = C B ASi AB resulta ser un escalar entonces AB = ( AB ) = B ASumatoriasAlgunas propiedades de las sumatorias, que resultan útiles son: n1. ∑X i =1 i = X 1 + X 2 + ... + X n n2. Sea k una constante: ∑ k = nk i =1 4
  5. 5. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabamba n n3. ∑ kX i = k ∑ X i i =1 i =1 n n4. ∑ (a + bX i =1 i ) = na + b∑ X i i =1 n n n5. ∑ ( X i + Yi ) = ∑ X i + ∑ Y i i =1 i =1 i =1 n n n n n6. ∑ x i2 = ∑ ( X i − X ) 2 = ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + nX 2 = ∑ X i2 − nX 2 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 nNótese adicionalmente que: ∑x i =1 i = (Xi − X ) = 07. Sea el vector i con elementos iguales a 1. Entonces, n ∑X i =1 i = X 1 + X 2 + ... + X n = i x8. La suma de los elementos de un vector elevados al cuadrado se define como (suma decuadrados): n 2 ∑X i =1 i = x x9. De manera similar, la suma de productos de los n elementos en los vectores x y y , es: n ∑X i =1 i Y i = x y = y x10. Si todos los elementos en x son iguales a una constante a , entonces x = ai y n ∑X i =1 i = i (ai ) = a( i i ) = na11. Para cualquier constante a y vector x n n ∑ aX i =1 i = a ∑ X i = ai x i =1 Si a = 1 / n , entonces: 1 n 1 x= ∑ X i = n i x n i =112. Nótese que: n ∑Xi =1 i = i x = nx13. El elemento i − j − avo de la matriz X X es el producto vectorial entre la i − ava fila deX y la j − ava columna de X . Es decir: [X X ]ij = [x i x j ]O, alternativamente: n X X = ∑ x i x i i =1 5
  6. 6. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaLa matriz X X consiste en la suma de n matrices, formadas cada una a partir del productovectorial de cada fila de la matriz X con su transpuesta.Inversión de matricesLa inversa de una matriz cuadrada A , denotada por A −1 , si existe, es una matriz cuadradaúnica tal que: AA −1 = IAlguna de las propiedades de la inversión de matrices son las siguientes:1. ( AB ) −1 = B −1 A −12. ( A`)−1 = ( A−1 )Rango de una matrizEs el orden de la submatriz cuadrada más grande cuyo determinante es diferente de 0.Recordemos que una submatriz se obtiene al eliminar un cierto número de filas y columnas auna matriz. Actualmente, los computadores evalúan los determinantes de una matriz.Diferenciación matricialEn el curso serán importantes dos reglas de diferenciación: [ ]Regla 1: Si a = a1 , a 2 ....a n un vector fila de constantes y : ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ x x = ⎢ 2 ⎥ ⎢  ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xn ⎥ ⎣ ⎦Entonces: ⎡a1 ⎤ ⎢ ⎥ ∂ (a x) a = a = ⎢ 2 ⎥ ∂x ⎢  ⎥ ⎢ ⎥ ⎢a n ⎥ ⎣ ⎦Regla 2. Considérese el siguiente producto matricial: ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a a22 ... a2 n ⎥ ⎢ x2 ⎥ [ x Ax = x1 x2 ] ... xn ⎢ 21 ⎢  ⎥ ⎢  ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢an1 ⎣ an 2 ... ann ⎥ ⎢an ⎥ ⎦ ⎣ ⎦Entonces, ∂( x Ax) = 2 x A ∂x 6
  7. 7. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabamba3. GEOMETRÍA DE MATRICESEspacio vectorialEl vector columna a puede ser visto como un punto (coordenada ) en un espacio vectorial dedimensión k:Definamos ahora la multiplicación escalar y la adición La multiplicación escalar del vector a, es otro vector a* (o a**) cuyas coordenadas son múltiplos de las coordenadas de a. Por ejemplo si: La suma de dos vectores a y b es un tercer vector cuyas coordenadas son la suma de las coordenadas correspondientes de a y b. 7
  8. 8. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaUn espacio vectorial es un conjunto de vectores enmarcados por la multiplicación escalar y lasuma de vectores. Ej El espacio vectorial en ℜ 2Combinaciones lineales de vectores y base vectorialUn conjunto de vectores en un espacio vectorial es una base para dicho espacio vectorial sicualquier vector en el mismo puede ser escrito como una combinación lineal de tal conjuntode vectores.c puede ser escrito como una combinación lineal de a y b (a y b son una base vectorial enℜ2 )Las soluciones son:Dependencia linealUn conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno de los vectores en elconjunto puede ser escrito como combinación lineal de los otros. Si no son combinaciónlineal entonces son linealmente independientes (2 vectores linealmente independientesforman una base vectorial en ℜ 2 . En cambio si son linealmente dependientes no podránformar una base vectorial en ℜ 2 ). Formalmente, un conjunto de vectores es linealmenteindependiente si y solo si la solución a:esDe lo anterior se desprende que más de K vectores en ℜ K serán linealmente dependientes.Sub-espacios vectorialesEl conjunto de todas las combinaciones generadas por un conjunto de vectores se denominaespacio vectorial.Sin embargo, la utilización de un conjunto de vectores puede generar un subespaciovectorial (un subconjunto del espacio vectorial). Por ejemplo, considere un conjunto devectores de tres coordinadas cuya tercer coordinada sea igual a cero. 8
  9. 9. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaEstos dos vectores no pueden generar ℜ 3 , pero sí pueden generar un subespacio vectorialdentro de ℜ 3 (un plano).Rango de una matrizUna matriz es vista como un conjunto de vectores (iguales al número de columnas que tienela matriz) con un número de coordenadas iguales al número de filas de la matriz. El espaciocolumna de una matriz es el espacio vectorial generado por los vectores columna de lamatriz.El rango columna de una matriz, es la dimensión del espacio vectorial generado por losvectores columna de la matriz. Habíamos visto que el espacio vectorial corresponde alnúmero de columnas linealmente independientes.El rango columna y el rango fila de una matriz son iguales. El rango de una matrizcorresponderá al mínimo entre el número de filas y número de columnas que la matriz tenga.Si la matriz tiene rango igual al número de columnas que contiene, decimos que la matriztiene rango completo.Tres propiedades, utilizando el concepto de rango de una matriz, son: Para Ax = 0 , una solución diferente a la trivial para x, determina que A no tenga rango completo. Las columnas de A son linealmente dependientes. rango ( AB) ≤ min(rango ( A), rango ( B)) rango( A) = rango( A A) = rango( AA )Determinante de una matrizEl determinante de una matriz es diferente de cero sí y solo si la matriz es de rangocompleto.4. SOLUCION A UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONESConsiderando un conjunto de n ecuaciones lineales:En donde K elementos de x constituyen las incógnitas. A es conocida como la matriz decoeficientes y b es un vector específico de valores. ¿Existe la solución?¿Cómoobtenerla?...¿Es única la solución?Para n=K existen dos tipos de sistemas: 9
  10. 10. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaSistema de ecuaciones homogéneasEn esta formulación, A no tiene rango completo y su determinante es igual a 0.Sistema de ecuaciones no homogéneasEl vector b es escogido arbitrariamente (es expresado como una combinación lineal de lascolumnas de A). Para que exista la solución requerimos que el determinante de A seadistinto de 0. Es decir, que A genere un espacio vectorial en K.5. MATRICES PARTICIONADASUna matriz A puede ser particionada en submatricesUna matriz diagonal en bloque: ⎡1 6 0⎤ A = ⎢ 2 3 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦Donde A11 y A22 son matrices cuadradas.SumaMultiplicaciónDos casos frecuentemente utilizados son:El determinante de una matriz diagonal en bloque es: 10
  11. 11. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaY de una matriz particionada (2x2):La inversa de una matriz diagonal en bloques:Y de una matriz particionada (2x2):Donde:Producto KroneckerNo tiene requerimientos de conformabilidad. Si A es KxL y B es mxn, entonceses (Km)x(Ln).Adicionalmente, se tienen las siguientes propiedades:Si A es MxM y B es nxn, entonces: n M A⊗ B = A B ( A ⊗ B ) = A⊗ B tr ( A ⊗ B ) = tr ( A)tr ( B )Para A, B, C y D;6. RAICES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS 11
  12. 12. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabambac es el vector característico o vector propioλ es la raíz característica o valor propioc es normalizado de tal manera que c c = 1Operando, se puede obtener (una sistema de ecuaciones simultáneo)Que implica (si es que el vector característico es no nulo), que:Por ejemplo, si:Las raíces características son:En el caso general, las soluciones pueden ser números reales o números complejos. Cuandola matriz es simétrica, se garantiza que las soluciones son números reales. Las raícespueden ser cero o pueden repetirse.Los vectores característicos se derivan, considerando que:Sea:Si la matriz A es simétrica, los vectores son ortogonales (ci c j = 0 ∀i ≠ j ) y considerandoque: ci ci = 1Se obtiene: 12
  13. 13. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaY por tanto:Diagonalización de una matriz y descomposición espectralLa diagonalización de la matriz A es:La descomposición espectral, es:En esta representación la matriz A (KxK) es escrita como la suma de K matrices de rango 1.Dado que C y C’ son no singulares, se obtiene que:Encontrar el rango de esta última matriz es sencillo. Es solamente el número de valoresdiferentes de cero en su diagonal.Por tanto, el rango de una matriz simétrica es el número de raíces características distintas decero que dicha matriz contiene.Por otro lado, dado que rango de una matriz A coincide con el rango de A’A, se tiene que elrango de una matriz A, es el número de raíces características distintas de cero que contienela matriz A’A.Índice de condición de una matriz 1 ⎡ máx raíz ⎤ 2 γ = ⎢ ⎥ ⎣ min raíz ⎦Traza de una matrizLa traza de una matriz es la suma de sus raíces características. Recordemos que la traza deuna matriz está definida como la suma de los elementos de la diagonal.Se derivan algunas propiedades de trazas muy útiles: 13
  14. 14. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaDeterminante de una matrizEl determinante de una matriz es el producto de sus raíces características. Por tanto, unamatriz es singular si una de sus raíces características es cero.Potencias de una matrizSea:Por tanto, en una matriz simétrica A, las raíces características de A2 son las raícescaracterísticas de A elevadas al cuadrado. Los vectores característicos son los mismos.Este resultado, se puede generalizar: Si A −1 existe, las raíces características de A −1 son las recíprocas de A, y los vectores característicos los mismos. Las raíces características de A K son las de A elevadas a la K, y los vectores característicos los mismos. Es decir, Para una matriz A, definida positiva (valores característicos positivos) se tiene: . Si A es definida no negativa, entonces el resultado anterior se mantiene para r no negativo. 14
  15. 15. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaMatriz idempotenteLas matrices idempotentes son iguales a sus cuadrados. Para que una matriz seaidempotente se debe cumplir que λ = λ K que se cumple cuando λ = 1 ó λ = 0 . Ello implicaque: La única matriz simétrica de rango completo que es idempotente es la matriz identidad. Otras matrices simétricas pueden ser idempotentes pero no tienen rango completo. El rango de una matriz simétrica idempotente es igual a su traza.Descomposición espectral de una matrizEn algún momento (MCG) necesitaremos una matriz P, tal que:La matriz elegida es:Por tanto,7. FORMAS CUADRÁTICAS Y MATRICES DEFINIDASSea:Definamos: 1. Si x Ax > 0(< 0) para un x diferente de 0, entonces la matriz A está definida positiva (negativa). 2. Si x Ax ≥ 0(≤ 0) para un x diferente de 0, entonces la matriz A está semidefinida positiva (semidefinida negativa). Sí: Entonces: Por tanto: Donde: 15
  16. 16. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabamba Llegamos a la conclusión de que cuando todas los raíces características son positivas, A estará definida positiva. Si todas son negativas, entonces A está definida negativa. Si algunas son positivas (negativas) y las demás iguales a cero, entonces la matriz estará semidefinida positiva (semidefinida negativa). En otros casos, la matriz será indefinida. Veamos algunas propiedades de las matrices semidefinidas positivas: Si A es semidefinida positiva, entonces el determinante de A es mayor o igual a cero. Si A es definida positiva, entonces su inversa también estará definida positiva. La matriz identidad está definida positiva. Si A es N x k y de rango completo y N>k, entonces A’A es definida positiva y AA’ está semidefinida positiva. Si A es definida positiva y B es no singular, entonces B’AB es definida positiva.8. CÁLCULO Y ALGEBRA MATRICIAL Si y = f ( x ) y asumiendo que f ( x ) es una función continua y diferenciable, obtenemos:Aproximación de Taylor Aproximación lineal Aproximación cuadrática Sea: La gradiente o vector columna de derivadas parciales es: 16
  17. 17. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabambag ( x ) o g es utilizada para representar la gradiente. El Hessiano o matriz de segundasderivadas es:Una representación alternativa para el Hessiano es:En este caso, una aproximación lineal para f ( x ) :Una aproximación cuadrática o de segundo orden es: 17
  18. 18. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaOptimización Condición de primer orden Condición de segundo orden para un máximo, y: para un mínimo. Para una función de varias variables, las condiciones de primer orden y segundo orden son: a) Que la primera derivada sea igual a cero. b) Que la matriz Hessiana este definida positiva para un mínimo y definida negativa para un máximo. Donde, la matriz Hessiana es: En un máximo la función es globalmente cóncava, mientras que en el mínimo es convexa. Ejemplo: Maximizar R. donde a’: y: La condición de primer orden es: 18
  19. 19. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI Cochabamba La condición de segundo orden: Para que sea un máximo las raíces características deben ser todas negativas. Resolviendo se demuestra que esto es así. Afortunadamente, mediante el uso del computador podemos rápidamente obtener las raíces características. Un caso especial surge cuando: Si B tiene rango completo, se tiene, tal como se demostró anteriormente, que A es definida positiva (no es necesario calcular las raíces características para verificar que es un mínimo).Optimización bajo restricciones El lagrangiano: Las condiciones de primer orden: donde: Ejemplo: 19
  20. 20. Economía Matemática Escuela Militar de Ingeniería – EMI CochabambaTeníamos, el siguiente problema de minimización:Añadimos las siguientes restricciones:Por tanto:El Lagrangiano es:La condición de primer ordenóUtilizando matrices particionadas, las soluciones son: 20

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