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PIRÂMIDES

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DEFINIÇÃO
Consideremos uma região poligonal convexa
A1A2...An contida num plano e um ponto V fora desse
plano. Chamamos de PIRÂMIDE a reunião de todos os
segmentos com uma extremidade em V e a outra nos
pontos da região poligonal.
α

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ELEMENTOS
.V
base
vértice
A B
D C
ARESTAS DA BASE
AB, BC, CD, ...
ARESTAS LATERAIS
AV, BV, CV, ...
face
lateral
h
A ALTURA(h) da
pirâmide é a distância do
vértice ao plano da base.

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NOMENCLATURA
A nomenclatura das pirâmides é dada em função do
polígono situado na base.
pirâmide
quadrangular
pirâmide
hexagonal

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CLASSIFICAÇÃO
Uma pirâmide pode ser reta ou oblíqua, a depender da
posição da projeção ortogonal do seu vértice sobre o plano da
base.
V’
VV
V’=O
pirâmide reta
projeção do vértice coincide
com o centro da base
pirâmide oblíqua
projeção do vértice não coincide
com o centro da base

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*PROPRIEDADE.: As pirâmides retas possuem todas as
arestas laterais congruentes.
*OBS.: As pirâmides retas cujas bases são polígonos
regulares são chamadas de pirâmides REGULARES.
pirâmide
hexagonal
regular

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APÓTEMA DE UMA
PIRÂMIDE REGULAR
É a distância do vértice da pirâmide às arestas da
base.
A
.
Apótema da
pirâmide
*OBS.: O apótema da
pirâmide intercepta o
ponto médio da aresta
da base.
l/2
l/2

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l/2
h
a
A
L
R
L
a
h A
A
l/
2
L
R
h L
222
ahA +=
2
22
2






+=
l
AL
222
RhL +=
RELAÇÕES IMPORTANTES

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FORMULÁRIO
1. ÁREA DA BASE (Sb)
É a área do polígono que está na base.
2. ÁREA LATERAL (SL)
É a soma das áreas dos triângulos das faces laterais.
SL = p . A
3. ÁREA TOTAL (St)
É a soma da área da base com a área lateral.
St = Sb + SL

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4. VOLUME (V)
É um terço do produto da área da base pela altura.
Sb . hV =
3
Exemplo1: Uma pirâmide triangular regular tem apótema
com medida 5 cm e aresta da base cm. Calcule a área
lateral e o volume dessa pirâmide.
32
Exemplo2: Uma pirâmide quadrangular regular tem
aresta da base 8 cm e as faces laterais formam 60° com a
base. Calcular a área lateral dessa pirâmide.

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SÓLIDOS ESPECIAIS
I. TETRAEDRO REGULAR
Poliedro formado por 4 faces constituídas por
triângulos equiláteros. Como consequência, todas as
suas arestas são congruentes.
a a
aa
a
a

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II. OCTAEDRO REGULAR
Poliedro formado por 8 faces constituídas por
triângulos equiláteros. Como consequência, todas as
suas arestas são congruentes.
a
a
a
a
a
a a
a
*OBS.: O octaedro regular
é a “união” de duas
pirâmides quadrangulares
regulares congruentes.

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A área total de um octaedro regular é cm. Seu volume é:36
n.r.a.e)
cm6d)
cm32c)
cm6b)
cm23a)
3
3
3
3
2

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Um cubo tem área total de 150 m . O volume da pirâmide
quadrangular regular que tem como vértice o centro de uma das
faces desse cubo e como base a face oposta a esse vértice é:
2
3
3
3
3
3
m225e)
m150d)
m125c)
m
6
125
b)
m
3
125
a)

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Uma pirâmide e um prisma, ambos de bases quadradas, têm
o mesmo volume. Sabendo-se que o lado do quadrado da base
da pirâmide tem medida 2m e que o lado do quadrado da base
do prisma tem medida m, a razão entre as alturas da pirâmide e
do prisma, nesta ordem, é igual a:
4
1
e)
2
3
d)
4
3
c)
3
m
b)
3ma)

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Sugestão de exercícios:
LIVRO 3 - CAPÍTULO 4
Questões: 121, 127, 132, 141, 148 e 158.