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Cálculo numérico clase n° 3 blog
 

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    Cálculo numérico clase n° 3 blog Cálculo numérico clase n° 3 blog Presentation Transcript

    • Clase III
    • Error de lasuma máximo de la suma es igual a la suma de los erroresEl errormáximos de los sumandos.Error de unadiferenciaEl error máximo de una diferencia es igual a la suma de loserrores máximos del minuendo y del sustraendo.
    • Error de un producto o de unadivisiónSi las cantidades están multiplicadas o divididas, los erroresde las mismas deben ser convertidos en relativos y luegosumados. Entonces por ejemplo: el error relativo de unproducto es igual a la suma de los errores relativos de losfactores.
    • Error de un producto o de unadivisión de expresión está dada por:El error relativo Ejemplo
    • Error de un producto o de unadivisión
    • Cualquier otro valor del área estará comprendido entre elmáximo y el mínimo valor.
    • Los correspondientes errores residuales o desvíos del área son:Redondeando estas cantidades a dos decimales, obtenemos elerror máximo del área es:De manera que el valor del área será:
    • A parte de los errores considerados, existen dos tipos más deerrores de carácter estrictamente matemático, que aparecen enlos procesos de cálculo aritmético.Estos errores se los conoce como errores por truncamiento yerrores por redondeo.
    • Error por truncamientoEl error por truncamiento cosiste en representar de maneraaproximada un procedimiento matemático exacto.Los errores de truncamiento o discretización provienen, porejemplo, de la sustitución de una expresión continua por otradiscreta (por ejemplo al aproximar la derivada de f por unaexpresión en diferencias).Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es alaproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo,truncando los términos de una serie).
    • Error por truncamiento
    • Error por redondeoLos errores por redondeo son mucho más frecuentes que loserrores por truncamiento y se producen cuando por distintasrazones, como por ejemplo: número limitado de dígitos de lacomputadora o de la calculadora, datos de entradaaproximados, uso de tablas, etc. la maquina toma solamente unnumero finito de dígitos en el proceso de cálculo. Unacomputadora típica trabaja con una cantidad reducida dedígitos, en consecuencia la operación de redondeo ocurre confrecuencia. El redondeo consiste en representar de maneraaproximada un número exacto.El redondeo para aproximar un número a su verdadero valor sepuede hacer de dos maneras:
    • Error por redondeoSuprimiendo directamente la fracción decimal a partir de “k”dígitos significativos. Este procedimiento se llama redondeopor cortadura.Sumando uno al último digito retenido si el primer númeroque se pierde es mayor que 5. Dicho de otra manera, el últimodigito retenido se aumenta en 1 si el primer digito descartadoes mayor que 5, de otra manera se deja igual. Si el primerdigito descartado es 5 o es 5 seguido de ceros, entonces elúltimo digito retenido se aumenta en 1, solamente si es impar.Este segundo procedimiento se conoce como redondeosimplemente.
    • Error por redondeoSi bien es cierto que el costo computacional es mayor cuandose utiliza el redondeo simple, ya que el tiempo deprocesamiento y la memoria utilizada es mayor, la mayoría delas computadoras utilizan este sistema para salvar la escasaextensión de palabra o capacidad de dígitos que tienen.
    • Error por redondeo
    • Error por redondeo
    • Error por redondeoObservaciones:En general, el redondeo en las operaciones con unacantidad de dígitos finitos conduce a resultados conaproximaciones muy aceptables, pero hay dossituaciones que pueden resultar críticas en laaplicación de algunos métodos numéricos y producirerror de importancia.
    • Error por redondeo Hay algunos métodos numéricos que requieren de un gran número de iteraciones para obtener un resultado satisfactorio, y a menudo los sucesivos cálculos dependen de los anteriores. En consecuencia aunque un error de redondeo individual resulte pequeño, su acumulación en las sucesivas iteraciones puede hacer que dicho error se transforme en un error significativo. El error de redondeo puede resultar de mucha importancia cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy agrandes simultáneamente.
    • Reglas de RedondeoSi bien es cierto que estas reglas no se aplican cuando serealizan cálculos extensos con computadoras, es importantetenerlas presente para cuando se tenga que realizar cálculosmanualmente.1. En el redondeo se conservan las “k” cifras significativas con que se va a trabajar. El último digito que se conserva se aumenta en uno si el primer digito descartado es mayor que 5. De lo contrario se deja igual. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 seguido de ceros, entonces el último digito retenido se aumenta en 1, solamente si el dígito es impar.
    • Reglas de Redondeo1. 1.- El último digito que se conserva se aumenta en uno si el primer digito descartado es mayor que 5.Ejemplo: tomamos k=4; Último Primer dígito dígito retenido dígitos dígitos descartado retenid descartad os os
    • Reglas de Redondeo1. 2.- El último digito que se conserva se deja igual si el primer digito descartado es menor que 5.Ejemplo: tomamos k=4; Último Primer dígito dígito retenido dígitos dígitos descartado retenid descartad os os
    • Reglas de Redondeo1. 3. a.- Si el primer digito descartado es 5 ó es 5 seguido de ceros, entonces el último dígito retenido se aumenta en 1, solamente si el dígito es impar.Ejemplo: tomamos k=4; Último Primer dígito dígito retenido dígitos dígitos descartado retenid descartad os os
    • Reglas de Redondeo1. 3. b.- Si el primer digito descartado es 5 ó es 5 seguido de ceros, entonces el último dígito retenido queda igual, si el dígito es par.Ejemplo: tomamos k=4; Último Primer dígito dígito retenido dígitos dígitos descartado retenid descartad os os
    • Reglas de RedondeoEjemplos: 3 cifras significativas 4 cifras significativas 2 cifras significativas 5 cifras significativas 2 cifras significativas
    • Reglas de Redondeo2. En la suma y en la resta el redondeo se hace de manera que el último dígito retenido en el resultado corresponda al último dígito más significativo de los números que se están sumando o restando. Un dígito de la columna de las centésimas es más significativo que un dígito de la columna de las milésimas. Por ejemplo:
    • Reglas de Redondeo2. En la suma y en la resta el redondeo se hace de manera que el último dígito retenido en el resultado corresponda al último dígito más significativo de los números que se están sumando o restando. Un dígito de la columna de las centésimas es más significativo que un dígito de la columna de las milésimas. Por ejemplo: el último dígito del el último dígito del primer número es 4 segundo número es 8
    • Reglas de Redondeo2. En la suma y en la resta el redondeo se hace de manera que el último dígito retenido en el resultado corresponda al último dígito más significativo de los números que se están sumando o restando. Un dígito de la columna de las centésimas es más significativo que un dígito de la columna de las milésimas. Por ejemplo: el número de cifras significativas que se debe conservar el último dígito del es 3 el último dígito del primer número es 4 segundo número es 8
    • Reglas de Redondeo3. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación. Por ejemplo:
    • Reglas de Redondeo4. Para combinación de operaciones aritméticas, existen dos casos generales.