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Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funções
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Cálculo Numérico - Aula 03: Zeros de funções Presentation Transcript

  • 1. Tópicos deMétodos Numéricos em Zeros de funçõesRodolfo Maduro Almeida
  • 2. FunçãoDefinição: Uma função consta de três partes: o um conjunto A chamado de domínio de f o um conjunto B chamado de imagem ou contra-domínio o uma regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento a A, um único elemento b=f(a) B.
  • 3. Raízes ou Zeros de Funções Definição: Dada uma função f(x), a é raiz de f se f(a) = 0. Para encontrar as raízes de uma função f(x), basta resolver a equação: f(x) = 0 f ( x) x2 4x 3 Raízes: X1 = 1 X2 = 3 Interseção com o eixo-x
  • 4. Raízes ou Zeros de FunçõesFormas de obter zeros de uma função: o Método gráfico o Métodos numéricos
  • 5. Método gráficoMétodo gráfico• Interpretação visual: f ( x) ex 3xXR1 [0,5; 1]XR2 [1,5; 2]• Estimativa grosseira:XR1 0,6XR2 1,5f(0,6) = 0,0221f(1,5) =-0,0183
  • 6. Raízes de funçõesMétodos numéricos para encontrar raízes de funçõesTratam-se de procedimentos numéricos para resoluçãode equações.Como resolver??Métodos iterativos:• Conjunto de operações aplicadas sucessivas vezes até que um critério de solução seja estabelecido.• Sucessivas soluções do problema são encontradas
  • 7. Métodos Iterativos1. Método da bisseção2. Método da falsa posição3. Método de Newton4. Método da Secante5. Método do ponto fixo
  • 8. Método da BissecçãoTeorema: Se y = f(x) é uma função contínua e muda desinal no intervalo [a,b], isto é, se f(a)f(b)<0, então existepelo menos um ponto x* [a,b] tal que f(x*)=0. Alémdisso, se f’(x) não muda de sinal em *a,b+ então x* é aúnica raiz de f(x) nesse intervalo. y y =f(x) f(b) a 0 x b f(a)
  • 9. Método da Bissecção• Passo 1: forneça um intervalo inicial y y =f(x) f(b) a 0 x b f(a)
  • 10. Método da Bissecção• Passo 2: Calcula o Xm y y =f(x) f(b) a c 0 x b f(a) a b c 2
  • 11. Método da Bissecção• Passo 2: Testa onde se encontra a raiz: y y =f(x) f(b) a c 0 x b f(a)Se f(c)f(a) < 0 então a raiz está entre a e c.Caso contrário, está entre b e c.
  • 12. AlgoritmoDados: f(x), a e b tais que f(a)f(b)<0, NMAX e tol. 1: Para n = 0:NMAX, faça 2: c = (a+b)/2 3: Se f(a)f(c)<0 entao 4: b = c 5: Caso Contrario 6: a = c 7: FimSe 8: Se |f(c)| < tol entao 9: solucao = (b+a)/2 10: pare 11: FimSe 12: Se n = KMAX entao 13: pare: metodo não convergiu. 14: FimSe 15: FimPara
  • 13. Método da Falsa PosiçãoTeorema: É um método semelhante ao método dabisseção, porém o cálculo do valor intermediário é maiselaborado. y y =f(x) f(b) a c 0 x b f(a)
  • 14. Algoritmo
  • 15. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  • 16. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  • 17. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  • 18. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x Este procedimento é repetido várias vezes...
  • 19. Método de Newton• Também chamado de Método das Tangentes y y =f(x) 0 x
  • 20. Algoritmo
  • 21. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  • 22. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  • 23. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  • 24. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  • 25. Método da Secante• Método de Newton modificado• Aproximação para a reta tangente: reta secante y y =f(x) x
  • 26. Algoritmo
  • 27. Método do ponto fixo
  • 28. Método do ponto fixo
  • 29. Método do ponto fixo
  • 30. Algoritmo