Apostila petrobras   português e matemática
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Apostila petrobras português e matemática

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    Apostila petrobras   português e matemática Apostila petrobras português e matemática Document Transcript

    • APOSTILA CONCURSO CARGO:TÉCNICO DE OPERAÇÃO JÚNIOR Português - Matemática Direitos Reservados CENTER7 - ELABORAÇÃO DE APOSTILAS Material Exclusivo.
    • INDÍCE PORTUGUÊS Compreensão, Interpretação e Reescritura de Textos................................................................ 03 Tipologia Textual....................................................................................................................... 11 Paráfrase, Perífrase, Síntese e Resumo.......................................................................................14 Significação Literal e Contextual de Vocábulos.........................................................................17 Processos Coesivos de Referência..............................................................................................20 Coordenação e Subordinação......................................................................................................21 Emprego, Estrutura, Formação e Representação de Palavras.................................................... 27 Ortografia Oficial........................................................................................................................33 Pontuação.................................................................................................................................. .41 Concordância..............................................................................................................................48 Regência.................................................................................................................................... 60 Crase ..........................................................................................................................................72 Significação das palavras (Semântica).......................................................................................80 Colocação pronominal................................................................................................................81 MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos................................................................................................................79 Sistema Legal de Medidas........................................................................................................ 92 Razões e Proporções..................................................................................................................96 Equações e Inequações do 1º e de 2 º Graus............................................................................121 Sistemas Lineares.....................................................................................................................146 Funções e Gráficos................................................................................................................... 113 Noções de Estatística...............................................................................................................154 Progressões Aritméticas e Geométricas................................................................................. ..157 Matemática Financeira.............................................................................................................171 Princípios de Contagem e Probabilidade.................................................................................174 Geometria Plana.......................................................................................................................179 Geometria Espacial..................................................................................................................203 Álgebra e Trigonometria Básicos.............................................................................................247 ATENÇÃO:A comercialização desta apostila é exclusiva de CENTER7 APOSTILAS, caso você a tenha compradoatravés de outro vendedor, favor envie um e-mail para center7@gmail.com com uma denúncia. Esta medidavisa coibir o plágio e dar início às medidas cabíveis contra a pirataria. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 2 center7@gmail.com
    • Compreensão, Interpretação e Reescritura de Textos Erros comuns de interpretação:As questões de interpretação de textos vêm ganhandoespaço nos concursos públicos. Também é a partir de EXTRAPOLAÇÃO (viagem):textos que as questões normalmente cobram a aplicaçãodas regras gramaticais nos grandes concursos de hoje. • Ocorre quando o candidato sai do contexto,Por isso, é cada vez mais importante observar os acrescentando idéias que não estão no texto,comandos das questões. Normalmente o candidato é normalmente porque já conhecia o tema por uso deconvidado a: sua imaginação criativa.• idenficar: • Portanto, é proibido viajar.Reconhecer elementos fundamentais apresentados notexto. REDUÇÃO:• comparar:Descobrir as relações de semelhanças ou de diferençasentre situações apresentadas no texto. • É o oposto da extrapolação.• comentar: • Dá-se atenção apenas a um ou outro aspecto,Relacionar o conteúdo apresentado com uma realidade, esquecendo-se de que o texto é um conjunto deopinando a respeito. idéias.• resumir:Concentrar as idéias centrais em um só parágrafo. CONTRADIÇÃO:• parafrasear:Reescrever o texto com outras palavras. • É comum as alternativas apresentarem idéias• continuar: contrárias às do texto, fazendo o candidato chegar aDar continuidade ao texto apresentado, mantendo amesma linha temática. conclusões equivocadas, de modo a errar a questão. • Portanto, internalize as idéias do autor e ponha- se no lugar dele. Por isso, consideramos que são condições básicas • Só contradiga o autor se isso for solicitado nopara o candidato interpretar textos: o conhecimento comando da questão. Exemplo: “Indique a alternativahistórico (aí incluída a prática da leitura), o conhecimento que apresenta idéia contrária à do texto”.gramatical e semântico (significado das palavras, aíincluídos homônimos, parônimos, sinônimos, denotação,conotação), e a capacidade de observação, de síntese ede raciocínio. Roteiro para interpretar textos: INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS .1. Ler atentamente todo o texto, procurando focalizar A Interpretação de Textos e os Modernossua idéia central. Vestibulares2. Interpretar as palavras desconhecidas através do Interpretar exige raciocínio, discernimento econtexto. compreensão do mundo.3. Reconhecer os argumentos que dão sustentação àidéia central. A interpretação de textos é de fundamental4. Identificar as objeções à idéia central; importância para o vestibulando. Você já se perguntou5. Sublinhar os exemplos que forem empregados por quê? Há alguns anos, as provas de Português,como ilustração da idéia central. nos principais vestibulares do país, traziam uma frase, e6. Antes de responder às questões, ler mais de uma dela faziam-se as questões. Eram enunciadosvez todo o texto, fazendo o mesmo com o enunciado de soltos, sem conexão, tão ridículos que lembravamcada questão. muito aquelas frases das antigas cartilhas: "Ivo viu a7. Evite responder “de cabeça”. Procure localizar a uva". Os tempos são outros, e, dentro das modernasresposta no texto. tendências do ensino de línguas, fica cada vez mais8. Se preferir, faça anotações à margem ou claro que o objetivo de ensinar as regras da gramáticaesquematize o texto. normativa é simplesmente o texto. Aprendem-se as9. Se o comando pede a idéia principal ou tema, regras do português culto, erudito, a fim de melhorar anormalmente deve situar-se no primeiro parágrafo qualidade do texto, seja oral, seja escrito.(introdução) ou no último (conclusão). Nesse sentido, todas as questões são extraídas de10. Se o comando busca argumentação, deve textos, escolhidos criteriosamente pelas bancas, emlocalizar-se os parágrafos intermediários(desenvolvimento).
    • função da mensagem/conteúdo, em função da estrutura três textos desse gênero. Geralmente um deles tratarágramatical. Ocorrem casos de provas contextualizadas, de política; outro, de economia; um outro, de temasem que todos os textos abordam o mesmo assunto, ou internacionais. A diferença em relação ao artigo é que oseja, provas monotemáticas - exemplo adotado pela autor, o editorialista, não expressa sua opinião,PUC/RS. Por sua vez, a Unisinos prefere o tema único apenas serve de intermediário para revelar o ponto denas 50 questões de humanas (Português, Língua vista da instituição, da empresa, do órgão deEstrangeira, Geografia e História ). comunicação. Muitas vezes, esses editoriais são produzidos por mais de um profissional. O editorialistaDessa maneira, fica clara a importância do texto como é, quase sempre, antigo na casa e, obviamente, daobjetivo último do aprendizado de língua. confiança do dono da empresa de comunicação. Os temas, por evidente, são a pauta do momento, os assuntos da semana.Quais são os textos escolhidos? Textos retirados de revistas e de jornais de circulação As Notíciasnacional têm a preferência. Portanto, o romance, apoesia e o conto são quase que exclusividade das Aqui temos outro gênero, bem diverso. As notíciasprovas de Literatura (que também trabalham são autorais, isto é, produzidas por um jornalistainterpretação, por evidente). Assim, seria interessante claramente identificado na matéria. Possuem umaobservar as características fundamentais desses estrutura bem fechada, na qual, no primeiro parágrafoprodutos da imprensa. (também chamado de lide), o autor deve responder às cinco perguntinhas básicas do jornalismo: Quem? Quando? Onde? Como? E por quê?Os Artigos Essa maneira de fazer texto atende a uma regra do São os preferidos das bancas. Esses textos autorais jornalismo moderno: facilitar a leitura. Se otrazem identificado o autor. Essas opiniões são de leitor/receptor desejar mais informações sobre aexpressa responsabilidade de quem as escreveu - notícia, que vá adiante no texto. Fato é que, lendochamado aqui de articulista - e tratam de assunto da apenas o parágrafo inicial, terá as informaçõesrealidade objetiva, pautada pela imprensa. Vejamos um básicas do assunto. A grande diferença em relação aoexemplo: um dado conflito eclode em algum ponto do artigo e ao editorial está no objetivo. O autor querplaneta (a todo o instante surge algum), e o professor apenas "passar" a informação, quer dizer, não buscaDécio Freitas, historiador, abordará, em seu artigo em convencer o leitor/receptor de nada. É aquele textoZH, os aspectos históricos do embate. Portanto, os que os jornalistas chamam de objetivo ou isento,temas são, quase sempre, bem atuais. despido de subjetividade e de intencionalidade.Trata-se, em verdade, de texto argumentativo, no qual oautor/emissor terá como objetivo convencer o leitor/receptor. Nessa medida, Exemplo de Notíciaé idêntico à redação escolar, tendo a mesma estrutura: introdução, “O juiz aposentado Nicolau dos Santos Neto, ex-presidentedesenvolvimento e conclusão. do Tribunal Regional do Trabalho de São Paulo, negou-se a responder ontem à CPI do judiciário todas as perguntas sobre sua evolução patrimonial. Ele invocou a ConstituiçãoExemplo de Artigo para permanecer calado sempre que era questionado sobre seus bens ou sobre contas no exterior.” “Os nomes de quase todas as cidades que chegam ao fimdeste milênio como centros culturais importantes seriam (Folha de S. Paulo, 05/05/99)familiares às pessoas que viveram durante o final do séculopassado. O peso relativo de cada uma delas pode ter variado,mas as metrópoles que contam ainda são basicamente as As Crônicasmesmas: Paris, Nova Iorque, Berlim, Roma, Madri, SãoPetesburgo.” Estamos diante da Literatura. Os cronistas não possuem compromisso com a realidade objetiva. Eles (Nelson Archer - caderno Cidades, Folha de S. Paulo, retratam a realidade subjetiva. Dessa maneira, Rubem 02/05/99) Braga, cronista, jornalista, produziu, por exemplo, um texto abordando a flor que nasceu no seu jardim. Não importa o mundo com suas tragédias constantes, masOs Editoriais sim o universo interior do cronista, que nada mais é do que um fotógrafo de sua cidade. É interessante Novamente, são opinativos, argumentativos e possuem verificar que essas características fundamentais daaquela mesma estrutura. Todos os jornais e revistas têm crônica vão desaparecendo com o tempo. Não há, poresses editoriais. Os principais diários do país produzem CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 4 center7@gmail.com
    • exemplo, um cronista de Porto Alegre (talvez o último deteve, eu tentei subornar a autoridade com dinheiro, odeles tenha sido Sérgio da Costa Franco). guarda não aceitou o dinheiro, preferiu a loura. Eu fiquei sem a multa e sem a mulher. Nelson não ficou sem assunto.” Se observarmos o jornal Folha de S. Paulo, teremos,junto aos editoriais e a dois artigos sobre política oueconomia, uma crônica de Carlos Heitor Cony, A interpretação serve para Química!descolada da realidade, se assim lhe aprouver (Cony, Responda rápido a uma pergunta: O que há emmuitas vezes, produz artigos, discutindo algo da comum entre os vestibulandos aprovados nosrealidade objetiva). O jornal busca, dessa maneira, primeiros lugares? Será que possuem semelhanças?arejar essa página tão sisuda. A crônica é isso: uma Sim, de fato, o que os identifica é a leitura e ajanela aberta ao mar. Vale lembrar que o jornalismo, ao curiosidade pelo mundo que os cerca. Eles lêemseu início, era confundido com Literatura. Um texto bastante, e lêem de tudo um pouco. As instituições desobre um assassinato, por exemplo, poderia começar ensino superior não querem mais aquele aluno queassim: " Chovia muito, e raios luminosos atiravam-se à decora regrinhas. Elas buscam o cidadão que possuiterra. Num desses clarões, uma faca surge das trevas..." leitura e conhecimento de mundo. Nesse aspecto, asDá-se o nome de nariz de cera a essas matérias questões, inclusive das provas de exatas, muitasempoladas, muito comuns nos tempos heróicos do vezes pedem criticidade e compreensão dejornalismo. enunciados. Quantas vezes você, caro vestibulando, não errou uma questão de Física ou de Biologia por Sobre a crônica, há alguns dados interessantes. não entender o que foi pedido. Pois estamos falandoConsiderada por muito tempo como gênero menor da de interpretação de textos. A leitura e a interpretaçãoLiteratura, nunca teve status ou maiores tornam-se, dessa maneira, exigência de todas asreconhecimentos por parte da crítica. Muitos autores disciplinas. E não pense que essa capacidade críticafamosos, romancistas, contistas ou poetas, produziram de entender o texto escrito (e até falado) éexcelentes crônicas, mas não são conhecidos por isso. exclusividade do vestibular. Quando você for buscarCarlos Drummond de Andrade é um belo exemplo. Pela uma vaga no mercado de trabalho, a criticidade, agrandeza de sua poesia, o grande cronista do cotidiano capacidade de comunicação e de compreensão dodo Rio de Janeiro foi abafado. O mesmo pode-se falar de mundo serão atributos importantes nessaOlavo Bilac, que, no início do século passado,passou a produzir crônicas num jornal carioca, em concorrência. Lembre-se disso na hora de planejar ossubstituição a outro grande escritor, Machado de Assis. estudos para os próximos vestibulares. Essa divisão dos textos da imprensa é didática e Instruções Geraisobjetiva esclarecer um pouco mais o vestibulando. Noentanto, é importante assinalar que os autoresmodernos fundem essa divisão, fazendo um trabalho Em primeiro lugar, você deve ter em mente quemisto. É o caso de Luis Fernando Veríssimo, que ora interpretação de textos em testes de múltipla escolhatrabalha uma crônica, com os personagens conversando pressupõe armadilhas da banca. Isso significa dizerem um bar, terminando por um artigo, no qual faz que as questões são montadas de modo a induzir ocríticas ao poder central, por exemplo. Martha Medeiros, incauto e sofrido vestibulando ao erro. Nesse sentido, épor seu turno, produz, muitas vezes, um artigo, importante observar os comandos da questão (derevelando a alma feminina. Em outros momentos, faz acordo com o texto, conforme o texto, segundo ouma crônica sobre o quotidiano. autor...). Se forem esses os comandos, você deve-se limitar à realidade do texto. Muitas vezes, as alternativas extrapolam as verdades do texto; ou aindaExemplo de Crônica diminuem essas mesmas verdades; ou fazem “Quando Rubem Braga não tinha assunto, ele abria a janela e afirmações que nem de longe estão no texto.encontrava um. Quando não encontrava, dava no mesmo, eleabria a janela, olhava o mundo e comunicava que não havia Exemplo de Editorialassunto. Fazia isso com tanto engenho e arte que também dava nomesmo: a crônica estava feita.Não tenho nem o engenho nem a arte de Rubem, mas tenho a UFRGS - 1998varanda aberta sobre a Lagoa - posso não ver melhor, mas Em 1952, inspirado nas descrições do viajante Hansvejo mais. Otto Maria Carpeaux não gostava do gênero Staden, o alemão De Bry desenhou as cerimônias de"crônica", nem adiantava argumentar contra, dizer, por canibalismo de índios brasileiros. São documentos de altoexemplo, que os cronistas, uns pelos outros, escreviam bem. valor histórico (...)Carpeaux lembrava então que escrever é verbo transitivo, pedeobjeto direto: escrever o quê? Maldade do Carpeaux. (...) NelsonPorém não podem ser vistos como retratos exatos: o artista,Rodrigues não tinha problemas. Quando não havia assunto, sob influência do Renascimento, mitigou a violênciaele inventava. Uma tarde, estacionei ilegalmente o Sinca- antropofágica com imagens idealizadas de índios, queChambord na calçada do jornal. Ele estava com o papel na ganharam traços e corpos esbeltos de europeus. As índiasmáquina e provisoriamente sem assunto. Inventou que eu descia ficaram rechonchudas como as divas sensuais do pintorde um reluzente Rolls Royce com uma loura suspeita, mas holandês Rubens.equivalente à suntuosidade do carro. Um guarda nos No século XX, o pintor brasileiro Portinari trabalhou o mesmo tema. Utilizando formas densas, rudes e nada CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 5 center7@gmail.com
    • idealizadas, Portinari evitou o ângulo do colonizador e elaboraram o texto desconhecem a tipologia e aprocurou não fazer julgamentos. A Antropologia persegue a nomenclatura textual do moderno jornalismo.mesma coisa: investigar, descrever e interpretar as culturas emtoda a sua diversidade desconcertante.Assim, ela é capaz de revelar que o canibalismo é umaexperiência simbólica e transcendental - jamais alimentar. TestesAté os anos 50, waris e kaxinawás comiam pedaços doscorpos dos seus mortos. Ainda hoje, os ianomâmis misturam as Vamos aproveitar os textos das provas da UFRGScinzas dos amigos no purê de banana. Ao observar esses 2000 e 1999, para formularmos algumas questõesrituais, a Antropologia aprendeu que, na antropogafia que bem emblemáticas em relação à interpretação dechegou ao século XX, o que há é um ato amoroso e religioso, textos.destinado a ajudar a alma do morto a alcançar o céu. ASUPER, ao contar toda a história a você, pretende superar osolhares preconceituosos, ampliar o conhecimento que os Questão 1brasileiros têm do Brasil e estimular o respeito às culturas Qual das alternativas abaixo é a correta:indígenas. Você vai ver que o canibalismo, para os índios, étão digno quanto a eucaristia para os católicos. É sagrado. UFRGS 2000 (adaptado de: Superinteressante, agosto, 1997, p.4) No Brasil colonial, os portugueses e suas autoridades evitaram a concentração de escravos de uma mesma etnia nas propriedades e nos navios negreiros.Questão 15 da prova de 98 A) Os portugueses impediram totalmente a concentração de escravos de mesma etnia nas propriedades e nos naviosConsidere as seguintes informações sobre o texto: negreiros.I - Segundo o próprio autor do texto, a revista tem como Essa política, a multiplicidade lingüística dos negros e asúnico objetivo tornar o leitor mais informado acerca da hostilidades recíprocas que trouxeram da Áfricahistória dos índios brasileiros. dificultaram a formação de núcleos solidáriosqueII - Este texto introduz um artigo jornalístico sobre o retivessem o patrimônio cultural africano, incluindo-se aí acanibalismo entre índios brasileiros. preservação das línguas.III - Um dos principais assuntos do texto é a história daarte no Brasil. B) A política dos portugueses foi ineficiente, pois apenas aQuais são corretas? multiplicidade cultural dos negros, de fato, impediu a formação de núcleos solidários.a) Apenas I b) Os negros, porém, ao longo de todo o período colonial,Apenas II c) tentaram superar a diversidade de culturas que os dividia,Apenas III juntando fragmentos das mesmas mediante procedimentosd) Apenas I e III diversos, entre eles a formação de quilombos e a realizaçãoe) Apenas II e III de batuques e calundus. (...)Resposta correta: B C) A única forma que os negros encontraram para impedirComentários: essa ação dos portugueses foi formando quilombos e realizando batuques e calundus. A afirmação I usa a palavra único, o vestibulando deve As autoridades procuraram evitar a formação desses núcleoscuidar muito com essa palavrinha, geralmente ela traz solidários, quer destruindo os quilombos, que causavamuma armadilha. A afirmação reduz o texto, que vai bem pavor aos agentes da Coroa - e, de resto, aos proprietários dealém de ter como único objetivo informar sobre a história escravos em geral -, quer reprimindo os batuques e osdos índios. Aliás, não é a história dos índios, mas sim da calundus promovidos pelos negros. Sob a identidadeantropofagia deles. cultural, poderiam gerar uma consciência danosa para a ordem colonial. Por isso, capitães-do-mato, o JuízoA afirmação III está erradíssima, pois a história da arte Eclesiástico e, com menos empenho, a Inquisição foramestá longe de ser um dos assuntos principais do texto. colocados em seu encalço. D) A Inquisição não se empenhou em reprimir a cultura dos Essas afirmações da banca merecem algumas negros, porque estava ocupada com ações maiores.observações. Em primeiro lugar, a afirmação I diz: Porém alguns senhores aceitaram as práticas culturais"Segundo o próprio autor do texto". Mas quem é esse africanas - e indígenas - como um mal necessário àautor, tendo em vista que se trata de editorial? Não há manutenção dos escravos. Pelo imperativo de convertê-losum autor expresso. A afirmação II, considerada como ao catolicismo, ainda, alguns clérigos aprenderam as línguascerta, traz uma imprecisão. O texto não introduz um africanas, como um jesuíta na Bahia e o padre Vieira, ambosartigo jornalístico. Como vimos, artigo é bem diferente. O no Seiscentos. Outras pessoas, por se envolverem no tráficoeditorial introduz matéria ou reportagem, nunca um negreiro ou viverem na África - como Matias Moreira,artigo. Percebe-se aqui que os professores que residente em Angola no final do Quinhentos -, devem igualmente ter-se familiarizado com as línguas dos negros. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 6 center7@gmail.com
    • E) Apesar do empenho dos portugueses, a cultura africana B) O autoritarismo era dos proprietários deteve penetração entre alguns senhores e entre alguns clérigos. escravos e das autoridades. Busca-se aquiCada um, é bem verdade, tinha objetivos específicos para confundir o aluno dizendo que era otanto. autoritarismo dos religiosos. Há uma troca, uma inversão das afirmações do texto. (Adaptado de: VILLALTA, Luiz Carlos. O que se fala e o que se C) Resposta Correta: Essa afirmação está no lê: língua, instrução e leitura. In: MELLO e SOUZA. texto. História da Vida Privada no Brasil. São Paulo: Cia. das D) A afirmação contradiz o que está no texto. As Letras, 1997. V1. P.341-342.) línguas africanas foram, inclusive, aprendidas por alguns clérigos.Resolução da Questão 1 E) A afirmação exagera a verdade textual. O autor não chega a tanto. Se o vestibulando A) Observe o advérbio totalmente. Além disso, o chegar a essa conclusão é por sua conta e texto usa o verbo evitar, a afirmação utiliza risco. impedir. Eles são semanticamente bem distintos. Logo, a afirmação exagera, extrapola o texto. Cuidado com os advérbios. Questão 03 ( UFRGS/99) B) A afirmativa b diz apenas a multiplicidade Marque a alternativa correta, segundo o texto cultural dos negros. No texto, foram a multiplicidade e as hostilidades recíprocas. O avanço do conhecimento é normalmente concebido Portanto, a afirmativa b reduz a verdade do como um processo linear, inexorável, em que as descobertas texto. são aclamadas tão logo venham à luz, e no qual as novas C) Na afirmativa, há a expressão a única forma, e o teorias se impõem com base na evidência racional. texto usa entre eles. Novamente, temos uma Afastados os entraves da religião desde o século 17, o redução, uma diminuição da verdade textual. conhecimento vem florescendo de maneira livre, contínua. D) O texto não explica a falta de empenho da Inquisição, dessa maneira a afirmação não está a) O avanço do conhecimento sempre será por um processo no texto. Trata-se de um acréscimo à realidade linear, do contrário não será avanço. textual. Um pequeno livro agora publicado no Brasil mostra que E) Resposta Correta. nem sempre é assim. Escrito na juventude (1924) pelo romancista francês Louis-Ferdinand Céline, A Vida e a Obra de Semmelweis relata aquele que é um dos episódios mais lúgubres no crônica da estupidez humana e talvez aQuestão 2 pior mancha na história da medicina.Assinale a alternativa que apresenta uma afirmaçãocorreta de acordo com o texto. b) O episódio de Semmelweis é indiscutivelmente a pior mancha na história da medicina.A) Sendo a cultura negra um mal necessário para amanutenção dos escravos, sua eliminação foi um erro dasautoridades coloniais portuguesas. c) O livro de Céline prova que nem sempre a racionalidade preponderava no cientificismo.B) Os religiosos eram autoritários, obrigando os escravos Ignác Semmelweis foi o descobridor da assepsia. Médiconegros a se converterem ao catolicismo europeu e a húngaro trabalhando num hospital de Viena, constatou que aabandonarem sua religião de origem. mortalidade entre as parturientes, então um verdadeiro flagelo, era diferente nas duas alas da maternidade. NumaC) As autoridades portuguesas conduziam a política delas, os partos eram realizados por estudantes; na outra, porescravagista de modo que africanos de uma mesma origem parteiras.não permanecessem juntos. Não se conhecia a ação dos microorganismos, e a febre puerperal era atribuída às causas mais estapafúrdias. EmD) As línguas africanas foram eliminadas no Brasil colonial, 1846, um colega de Semmelweis se cortou enquantotendo os escravos preservado apenas alguns traços culturais, dissecava um cadáver, contraiu uma infecção e morreu.como sua religião. Semmelweis imaginou que o contágio estivesse associado à manipulação de tecidos nas aulas de anatomia.E) A identidade cultural africana, representada pelos batuques e Mandou instalar pias na ala dos estudantes e tornoucalundus, causava danos às pessoas de origem européia. obrigatório lavar as mãos com cloreto de cal. No mês seguinte, a mortalidade entre as mulheres caiu para 0,2%! Mais incrível é o que aconteceu em seguida. Os dados de Semmelweis foram desmentidos, ele foi exonerado, e asResolução da Questão 02 pias - atribuídas à superstição -, arrancadas. A) O texto não classifica como erro das d) A ala dos estudantes apresentava menores problemas de autoridades coloniais. Essa é uma inferência contágio. que o leitor poderá fazer por sua conta e risco. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 7 center7@gmail.com
    • Nos dez anos seguintes, Semmelweis tentou alertar os médicos emtoda a Europa, sem sucesso. A Academia de Paris rejeitou seu (B) A comunidade científica sempre deixa de reconhecer ométodo em 1858. Semmelweis enlouqueceu e foi valor de uma descoberta.internado. Em 1865, invadiu uma sala de dissecação, feriu-secom o bisturi e morreu infeccionado. Pouco depois, Pasteur (C) A higiene das mãos com cloreto de cal reduziuprovou que ele estava certo. moderadamente a incidência de febre puerperal.e) A rejeição aos métodos de Semmelweis ocorreu em função da (D) Semmelweis feriu-se com o bisturi infectado porqueinveja comum ao meio. queria provar a importância de sua descoberta.Para o leitor da nossa época, o interessante é que Semmelweis foivítima de um obscurantismo científico. Como nota o (E) Ignorar a redução nas estatísticas obituárias resultantetradutor italiano no prefácio agregado à edição brasileira, da introdução da assepsia foi uma grande estupidez.qualquer xamã de alguma cultura dita primitiva isolariacadáveres e úteros por meio de rituais de purificação. Nocientífico século 19, isso parecia crendice. Questão 05 A partir da leitura do texto, é possível concluir que (Adaptado de: FRIAS FILHO, Otávio. Ciência e superstição. Folha de S. Paulo, São Paulo 30 abril de 1998.) (A) o livro A Vida e a Obra de Semmelweis recebeu recentemente uma cuidadosa tradução para o italiano.Vocabulário (B) a teoria de Semmelweis foi rejeitada porque propunha aInexorável - inabalável - inflexível existência de microorganismos, que não podia ser provadaLúgubre - triste - sombrio - sinistro cientificamente.Estapafúrdia - extravagante - excêntrico - esdrúxulo -Obscurantismo - oposição ao conhecimento - política de (C) a nacionalidade húngara do médico pode ter sido umfazer algo para impedir o esclarecimento das massas empecilho para sua aceitação na Europa do século passado. (D) Semmelweis foi execrado pelos seus pares porque transformou a assepsia numa obsessão.Resolução da Questão 03 Atente para este texto: trata-se de um artigo (E) Semmelweis enlouqueceu em conseqüência da rejeiçãojornalístico. Observe como ele atende às características de sua descoberta.assinaladas na tipologia textual do jornalismo. A) Observe que o texto usa o advérbio normalmente, mas a afirmação emprega Resolução da Questão 04 sempre, mudando a verdade do texto. B) Novamente, se compararmos com o texto, Instruções: veremos que o autor afirma que o episódio As questões 4 e 5 devem merecer atenção. Estamos talvez seja a pior mancha da história. Na diante de questões de inferências. As alternativas afirmação, foi usado o advérbio corretas não estão propriamente no texto, mas indiscutivelmente acrescido de a pior mancha. poderemos chegar facilmente a elas, ou seja, o autor Trata-se de um exagero, um acréscimo à nos autoriza a concluir por elas. realidade do texto. C) Resposta Correta: O texto afirma que nem A) O autor não classifica de atrasada a medicina sempre o avanço do conhecimento é um européia da época. processo linear. B) Novamente o advérbio colocado para trair a D) A ala dos estudantes apresentava maiores atenção do aluno: sempre. Trata-se de um problemas de contágio, pois as pias foram acréscimo, de um exagero. instaladas lá, justamente para lavar as mãos C) Não foi moderadamente. De novo o advérbio. dos estudantes que trabalhavam na dissecação Veja como as armadil has são sempre as de cadáveres. mesmas. Se você as conhecer, ficará bem E) A inveja não é abordada pelo texto, portanto mais fácil chegar à resposta correta. trata-se de uma exterioridade. O vestibulando D) O texto simplesmente diz que ele se feriu. pode achar verdadeiro, mas a conclusão será Não dá as causas. pessoal E) Resposta Correta: Foi de fato uma estupidez. Essa é uma conclusão possível do texto. Observe que o autor declara:Questão 04 "Mais incrível é o que aconteceu emCom base no texto, assinale a alternativa correta. seguida".(A) Em relação aos povos primitivos, a Europa do séculopassado praticava uma medicina atrasada. Resolução da Questão 05 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 8 center7@gmail.com
    • empregadas do estado. O funcionalismo público terá uma A) O livro foi recentemente publicado no Brasil. nova categoria: a dos reprodutores. B) Os microorganismos eram desconhecidos à 09 Este exercício de futurologia foi apresentado época. Essa alternativa é perigosa, pode seriamente pelo professor do Instituto de Biociências da confundir o aluno. USP Osvaldo Frota Pessoa, em palestra no colóquio Brasil C) Não há referência sobre essa afirmação. Os Alemanha - Ética e Genética, quarta-feira à noite. [...] Nas motivos, como já vimos, foram outros. conferências de segunda e terça, a eugenia foi citada como D) Semmelweis foi execrado por ter sido um perigo 24 das novas tecnologias, uma idéia que não é desmentido e por suas descobertas serem cientificamente e muito menos eticamente defensável. atribuídas à superstição. E) Resposta Correta: Pode-se, tranqüilamente (TEIXEIRA, Jerônimo. Brasileiro apresenta a visão do chegar a esse conclusão. horror. Zero Hora, 6.10.95, p. 5, 2º Caderno)Questão 06Supondo que o leitor não saiba o significado da palavra Questão 07 (UFRGS/96-1)xamã, o processo mais eficiente para buscar no próprio Considere as seguintes afirmações sobre a posiçãotexto uma indicação que elucide a dúvida consistirá em do autor com relação ao assunto de que trata o texto.(A) considerar que a palavra encontra sua referência na cultura I. O autor do texto é favorável à eugenia como soluçãoitaliana, já que foi empregada pelo tradutor da obra para o para a futura queda no crescimento demográfico,italiano. como indica o primeiro parágrafo. II. O autor trata as idéias do professor Osvaldo Frota-(B) Observar o contexto sintático em que ela ocorre: depois de Pessoa com certa ironia, como demonstra o uso dapronome indefinido e antes de preposição. palavra seriamente na linha 09. III. Ao relatar posições contraditórias por parte dos(C) Relacionar o seu significado às palavras leitor e prefácio. cientistas com relação à eugenia humana, o autor revela que esta é uma concepção controversa.(D) Relacionar o seu significado às expressões cultura dita Quais estão corretas?primitiva e rituais de purificação. (A) Apenas I. (B) Apenas II.(E) relacionar a palavra a outras que tenham a mesma (C) Apenas III.terminação, como iansã, romã e anã. (D) Apenas II e III.Resolução da Questão 06 (E) I, II e III. Todas as provas de vestibular no Estado trazemquestões de vocabulário. Esta é bem característica da Questão 08 (UFRGS/96-1)UFRGS. Empiricamente, você, candidato, quando não Assinale a alternativa que está de acordo com o texto.sabe o significado de uma palavra, busca o contexto.Cuidado! Não é o contexto sintático. Saber se uma (A) Segundo lemos na primeira frase do texto,palavra exerce a função de sujeito ou de objeto não vivemos num mundo em que o número de pessoas édefine o seu valor semântico. Não confunda semântica considerado excessivo.com sintaxe. Xamã está no campo de ação de palavras (B) Como se conclui da leitura do primeiro parágrafo, adessa cultura primitiva. A resposta correta, portanto, é escolha dos melhores seres humanos para aD. Atente para a alternativa E: dá a nítida impressão de reprodução, através da eugenia, causará uma quedabom humor. A banca também se diverte. O que anã e na população mundial.romã tem em comum com xamã? Gozação. (C) A partir da leitura do segundo parágrafo do texto, concluímos que a especialidade do professor Frota- Pessoa é a futurologia.As questões a seguir estão baseadas no seguinte texto: (D) De acordo com o significado global do último parágrafo, o maior perigo das novas tecnologias é a 01 Lá pela metade do século, já não haverá superpopulação ética.humana, como hoje. Os governos de todo o mundo (E) A eugenia humana, ao tornar os reprodutorespresumivelmente, todos democráticos poderão incentivar as candidatos a funcionários públicos, constituirá umapessoas à reprodução. E será melhor que o façam com as oportunidade de trabalho apenas para homens.melhores pessoas. 04 A eugenia humana isto é, a escolha dos melhores Questão 09 (UFRGS/96-1)exemplares para a reprodução, de modo a aprimorar a média da Considere as seguintes afirmações sobre a eugeniaespécie, como já se fez com cavalos encontrará o período ideal humana:para sair da prancheta dos cientistas para a vida real. Pessoasselecionadas por suas características genéticas serão I. O uso restritivo da palavra humana (linha 04), no texto, indica que a palavra eugenia (linha 04) não se CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 9 center7@gmail.com
    • refere apenas à reprodução humana, mas à reprodução nível constante, que varia em função de cada indivíduo. Ode qualquer espécie. estudo sugere que conservar o peso do corpo é um fenômenoII. Pelos princípios expostos no texto, o vigor físico e a biológico, não apenas uma atividade voluntária. O corpointeligência serão os critérios de eugenia a partir dos ajusta seu metabolismo em resposta a aumentos ou perdas dequais será feita a seleção dos melhores exemplares. peso. Dessa forma, depois de cada dieta restrita, oIII. Conforme o texto, a eugenia humana já existe na metabolismo queimará menos calorias do que antes. Umaforma de projeto científico. pessoa que perdeu recentemente pouco peso vai consumirQuais estão corretas? menos calorias que uma pessoa do mesmo peso que sempre foi magra.(A) Apenas I. A pesquisa conclui que emagrecer não é impossível, mas(B) Apenas II. muito difícil e requer o consumo do número exato de calorias(C) Apenas I e III. queimadas. Ou seja, uma alimentação moderada e uma(D) Apenas II e III. atividade física estável a longo prazo.(E) I, II e III. (Zero Hora, encarte VIDA, 06/05/1995) Questão 10 (IPA/95-2)Resolução da Questão 07 Segundo o texto, é correto afirmar: Os últimos vestibulares da UFRGS solicitam do aluno A) Uma dieta alimentar rígida determina o equilíbrio internoeste tipo de informação: saber de quem é a opinião. do peso corpóreo.Muitas vezes, como é este o caso, o autor apenasexpressa o ponto de vista de outra pessoa. A resposta B) O equilíbrio interno é um fenômeno biológico.correta é d. C) Conservar o peso não depende somente da vontade individual. D) O ajuste de peso significa queima de calorias.Resolução da Questão 08 E) O número exato de calorias queimadas vincula-se a uma A) Resposta Correta: Hoje existe dieta. superpopulação. B) A causa da queda da população não foi revelada no texto. Questão 11 C) Esta conclusão é falsa. O tal professor fez apenas Das opções abaixo, todas podem substituir, sem um exercício de futurologia. Novamente a banca prejuízo ao texto, a palavra rígida (l. 01), menos tenta iludir e confundir o vestibulando. Cuidado! D) Aqui temos uma troca: o maior perigo das novas A) rigorosa tecnologias não é a ética, mas sim a eugenia. E) Em absoluto o texto afirma que são os homens: B) austera aborda as pessoas em geral. Além disso, também não faz afirmações sobre o mercado de trabalho. C) severa D) íntegraResolução da Questão 09 E) séria O uso restritivo de humana diz exatamente isto:humana. Logo, não se estende a outras espécies. Resolução da Questão 10Resposta Correta: D Antes de mais nada, observe que o texto é um editorial de um caderno de Zero Hora. Portanto, nãoO peso original volta depois das dietas há um autor em especial declarado. O corpo humano, mesmo submetido ao sacrifício de uma dieta A) O texto busca exatamente mostrar o contrário.alimentar rígida, tem tendência a voltar ao peso inicial B) Conservar o peso é um fenômeno biológico.determinado por um equilíbrio interno, segundo recente estudo Temos, de novo, uma inversão com o objetivorealizado por cientistas norte-americanos. de confundir o aluno. Depois do aumento de alguns quilos supérfluos, o C) Resposta Correta: Existem outros fatores.metabolismo buscará eliminar o peso excessivo. O corpo D) Essa afirmação não está no texto.dispõe de um equilíbrio que tenta manter seu peso em um E) O número exato de calorias queimadas depende de outros fatores. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 10 center7@gmail.com
    • • Conotação: É o sentido figurado: “Seu olharResolução da Questão 11 eram raios de sol a iluminar-me”.Esse tipo de questão é muito comum: ele propõe a PARÁFRASE x PERÍFRASE:substituição de palavras. Em alguns vestibulares, emvez de uma, aparecem três palavras, tornando o • Paráfrase: É a reescritura do texto, mantendo-seexercício mais trabalhoso. A palavra rígida só não o mesmo significado.pode ser substituída por íntegra, que vem deintegridade, honestidade. • Perífrase: É a substituição de palavras por expressões que indicam algo de si: Tipologia Textual “Fui à Cidade Maravilhosa” (=RJ). “O Rei do Futebol chegou” (=Pelé). SÍNTESE:DISSERTAÇÃO:• É a exposição de opiniões fundamentadas em Resumo e retomada análise dos principais pontos argumentos e raciocínio. Divide-se em introdução (apresenta o assunto de forma direta, sem rodeios), abordados nos momentos anteriores, seguidos da desenvolvimento (mostra dados, idéias, argumentos introdução de novos conhecimentos . e exemplos que sustentam a sua posição), e conclusão (fecha o assunto; pode ser na forma de síntese ou sugestões, sem espaço para continuar a discussão). Denotação e ConotaçãoNARRAÇÃO:• É discorrer sobre um fato, um acontecimento. Nela predominam os verbos de ação. Os elementos da Estes dois conceitos são muito fáceis de entender se narração são personagem (quem participa do fato), lembrarmos que duas partes distintas, mas tempo (momento do fato), ambiente (local), narrador a a interdependentes, constituem o signo lingüístico: o (quem conta: 1 ou 3 pessoa) e enredo (o significante ou plano da expressão - uma parte encadeamento das ações). perceptível, constituída de sons - e o significado ou plano do conteúdo - a parte inteligível, o conceito. PorDESCRIÇÃO: isto, numa palavra que ouvimos, percebemos um conjunto de sons ( o significante), que nos faz lembrar• É um “retrato verbal” do que vemos ou sentimos. É de um conceito (o significado). difícil encontrar um texto exclusivamente descritivo. Normalmente encontramos trechos descritivos A denotação é justamente o resultado da união inseridos numa narração ou dissertação. existente entre o significante e o significado, ou entre o plano da expressão e o plano do conteúdo. A conotação resulta do acréscimo de outros significados Saiba Diferenciar paralelos ao significado de base da palavra, isto é, um outro plano de conteúdo pode ser combinado ao planoCOESÃO x COERÊNCIA: da expressão. Este outro plano de conteúdo reveste- se de impressões, valores afetivos e sociais, negativos ou positivos, reações psíquicas que um• Coesão: Aspectos formais do text o. São erros de signo evoca. coesão: má concordância, pronomes indevidos e palavras inapropriadas. Portanto, o sentido conotativo difere de uma cultura para outra, de uma classe social para outra, de uma• Coerência: Aspectos implícitos do texto (ligados ao época a outra. Por exemplo, as palavras senhora, sentido textual). Exemplo de erro de coerência: “A esposa, mulher denotam praticamente a mesma polícia e a justiça são as duas mãos de um mesmo coisa, mas têm conteúdos conotativos diversos, braço”. principalmente se pensarmos no prestígio que cada uma delas evoca.DENOTAÇÃO x CONOTAÇÃO: Desta maneira, podemos dizer que os sentidos das• Denotação: É o sentido real: “Os raios de sol palavras compreendem duas ordens: referencial ouadentraram pela imensa janela”. denotativa e afetiva ou conotativa. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 11 center7@gmail.com
    • A palavra tem valor referencial ou denotativo quando é explícito, constante. Ela designa ou denotatomada no seu sentido usual ou literal, isto é, naquele que determinado objeto, referindo-se à realidade palpável.lhe atribuem os dicionários; seu sentido é objetivo, Denotação é a significação objetiva da palavra; é a palavra em "estado de dicionário"Além do sentido referencial, literal, cada palavra remete a inúmeros outros sentidos, virtuais, conotativos, que sãoapenas sugeridos, evocando outras idéias associadas, de ordem abstrata, subjetiva. Conotação é a significação subjetiva da palavra; ocorre quando a palavra evoca outras realidades por associações que ela provocaO quadro abaixo sintetiza as diferenças fundamentais entre denotação e conotação: DENOTAÇÃO CONOTAÇÃO palavra com significação restrita palavra com significação ampla palavra com sentido comum do dicionário palavra cujos sentidos extrapolam o sentido comum palavra usada de modo automatizado palavra usada de modo criativo linguagem comum linguagem rica e expressivaa) Exemplos de conotação e denotação (textos 1 e 2) Para exemplificar, de maneira simples e clara, estes dois conceitos, vamos tomar a palavra cão: terá um sentido denotativo quando designar o animal mamífero quadrúpede canino; terá um sentido conotativo quando expressar o desprezo que desperta em nós uma pessoa sem caráter ou extremamente servil. (Otto M.Garcia, 1973)Nas receitas abaixo, as palavras têm, na primeira, um sentido objetivo, explícito, constante; foram usadasdenotativamente. Na segunda, apresentam múltiplos sentidos, foram usadas conotativamente. Observa-se que osverbos que ocorrem tanto em uma quanto em outra - dissolver, cortar, juntar, servir, retirar, reservar - são aquelesque costumam ocorrer nas receitas; entretanto, o que faz a diferença são as palavras com as quais os verboscombinam, combinações esperadas no texto 1, combinações inusitadas no texto 2. TEXTO I TEXTO IIBolo de arroz Receita3 xícaras de arroz Ingredientes1 colher (sopa) de manteiga1 gema 2 conflitos de gerações1 frango 4 esperanças perdidas1 cebola picada 3 litros de sangue fervido CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 12 center7@gmail.com
    • 1colher (sopa) de molho inglês 5 sonhos eróticos1colher (sopa) de farinha de trigo 2 canções dos beatles1 xícara de creme de leite salsa picadinha Modo de prepararPrepare o arroz branco, bem solto.Ao mesmo tempo, faça o frango ao molho, bem Dissolva os sonhos eróticostemperado e saboroso. nos dois litros de sangue fervidoQuando pronto, retire os pedaços, desosse e e deixe gelar seu coração.desfie. Reserve.Quando o arroz estiver pronto, junte a gema, a Leve a mistura ao fogo,manteiga, coloque numa forma de buraco e leve ao adicionando dois conflitosforno. de gerações às esperanças perdidas.No caldo que sobrou do frango, junte a cebola, omolho inglês, a farinha de trigo e leve ao fogo paraengrossar. Corte tudo em pedacinhosRetire do fogo e junte o creme de leite. e repita com as canções dosVire o arroz, já assado, num prato. beatles o mesmo processo usadoColoque o frango no meio e despeje por cima o com os sonhos eróticos, mas destamolho. vez deixe ferver um pouco mais eSirva quente. mexa até dissolver.(Terezinha Terra) Parte do sangue pode ser substituído por suco de groselha, mas os resultados não serão os mesmos. Sirva o poema simples ou com ilusões. (Nicolas Behr)b) Exemplo de texto denotativo (texto 3)Os textos informativos (científicos e jornalísticos), por serem, em geral, objetivos, prendem-se ao sentidodenotativo das palavras. Vejamos o texto abaixo, em que a linguagem está estruturada em expressões comuns,com um sentido único.Texto 3 - texto técnico-científico Canibalismo entre insetos Seres que nascem na cabeça de outros e que consomem progressivamente o corpo destes até aniquilá-los, ao atingir o estágio adulto. ... Esse é um enredo que mais parece de ficção científica. No entanto, acontece desde a pré-história, tendo como protagonistas as vespas de certas espécies e as paquinhas, e é um exemplo da curiosa relação dos ‘inimigos naturais’, aproveitada pelo homem no controle biológico de pragas, para substituir com muitas vantagens os inseticidas químicos. (Revista Ciência Hoje, nº 104, outubro de 1994, Rio, SBPC)c) Exemplo de texto conotativo (texto 4)Além dos poetas, os humoristas e os publicitários fazem um amplo uso das palavras no seu sentido conotativo, oque contribui para que os anúncios despertem a atenção dos prováveis consumidores e para que o dito humorísticoatinja o seu objetivo de fazer rir, às vezes até com uma certa dose de ironia. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 13 center7@gmail.com
    • Por exemplo, na propaganda de um ‘shopping’, foi usada a seguinte frase:Texto 4 - propaganda O Rio Design Center acaba de ganhar um novo piso. Marmoleum o piso natural (Revista Veja Rio, maio/junho,96)O anúncio tem aí um duplo sentido, pois transmite duasinformações: 1. o Rio Design Center ganhou uma nova loja - PAVIMENTO SUPERIOR -onde estão à venda pisos especiais; Paráfrase, Perífrase, Síntese e Resumo 2. nesta loja é possível encontrar o material para piso, importado da Holanda, que se chama Marmoleum. PARÁFRASENa frase que fecha o anúncio, desfaz-se a ambigüidade:"Venha até a (ao invés de o) Pavimento Superior e confira Paráfrase é a reprodução explicativa de um texto ouesta e outras novidades de revestimentos para pisos". Mas de unidade de um texto, por meio de umaa frase de abertura faz pensar em outros sentidos: o linguagem mais longa. Na paráfrase sempre secentro comercial ganhou um novo andar, um novo conservampavimento, ou ganhou um revestimento novo em todo oseu piso, em todo o seu chão. basicamente as idéias do texto original. O que se inclui são comentários, idéias e impressões de quem faz ad) Exemplo de conotação paráfrase. Na escola, quando o professor, ao comentar um texto, inclui outras idéias, alongando-se em funçãoOs provérbios ou ditos populares são também um outro do propósito de ser mais didático, faz uma paráfrase.exemplo de exploração da linguagem no seu usoconotativo. Assim, "Quem está na chuva é para se Parafrasear consiste em transcrever, com novasmolhar" equivale a "/Quando alguém opta por uma palavras, as idéias centrais de um texto. O leitor deverádeterminada experiência, deve assumir todas as regras e fazer uma leitura cuidadosa e atenta e, a partir daí,conseqüências decorrentes dessa experiência". Do reafirmar e/ou esclarecer o tema central do textomesmo modo, "Casa de ferreiro, espeto de pau" apresentado, acrescentando aspectos relevantes designifica O que a pessoa faz fora de casa, para os outros, uma opinião pessoal ou acercando-se de críticas bemnão faz em casa, para si mesma. fundamentadas. Portanto, a paráfrase repousa sobre o texto-base, condensando-o de maneira direta eA respeito de conotação, Othon M. Garcia (1973) imperativa. Consiste em um excelente exercício de redação, uma vez que desenvolve o poder de síntese,observa: "Conotação implica, portanto, em relação à clareza e precisão vocabular. Acrescenta-se o fato decoisa designada, um estado de espírito, uma possibilitar um diálogo intertextual, recurso muitoopinião, um juízo, um sentimento, que variam utilizado para efeito estético na literatura moderna.conforme a experiência, o temperamento, asensibilidade, a cultura e os hábitos do falante ou Como ler um textoouvinte, do autor ou leitor. Conotação é, assim, uma Recomendam-se duas leituras. A primeira chamaremosespécie de emanação semântica, possível graças à de leitura vertical e a segunda, de leitura horizontal.faculdade que nos permite relacionar coisas análogasou semelhadas. Esse é, em essência, o traço Leitura horizontal é a leitura rápida que tem comocaracterístico do processo metafórico, pois finalidade o contato inicial com o assunto do texto. Demetaforização é conotação". posse desta visão geral, podemos passar para o CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 14 center7@gmail.com
    • próximo passo. Mas os sardenhos ficam doentes apenas durante a primavera, o que indica que a falta de G-6-PD daLeitura vertical consiste em uma leitura mais atenta; é o vítima não aciona por si só a doença - que há algo nolevantamento dos referenciais do texto-base para a meio ambiente que tira proveito da deficiência. Aperfeita compreensão. É importante grifar, em cada deficiência genética pode ser a arma, mas um fatorparágrafo lido, as idéias principais. Após escrever à parte ambiental é quem a dispara.as idéias recolhidas nos grifos, procurando dar uma Entre as plantas que desabrocham durante a primaveraredação própria, independente das palavras utilizadas na Sardenha encontra-se a fava ou feijão italiano -pelo autor do texto. A esta etapa, chamaremos de observou o Dr. Siniscalco. Esta planta não tem umalevantamento textual dos referenciais. A redação final é a boa reputação desde ao ano 500 a.C. , quando ounião destes referenciais, tendo o redator o cuidado filósofo grego e reformador político Pitágoras proibiuespecial de unir idéias afins, de acordo com a identidade que seus seguidores a comessem, ou mesmoe evolução do texto-base. andassem por entre os campos onde floresciam. Agora, o motivo de tal proibição tornou-se claro; apenas aquelas pessoas que carregam o gene defeituoso eExemplo de paráfrase comiam favas cruas ou parcialmente cozidas (ou inspiravam o pólen de uma planta em flor)Profecias de uma Revolução na Medicina apresentavam problemas. todos os demais eram imunes.Há séculos, os professores de segundo grau da Sardenhavêm testemunhando um fenômenos curioso. Com a Em dois anos, o Dr. Motusky desenvolveu um teste dechegada da primavera, em fevereiro, alguns de seus sangue simples para medir a presença ou ausência dealunos tornam-se apáticos. Nos três meses subseqüentes, G-6-PD. Atualmente, os cientistas têm um modo desofrem uma baixa em seu rendimento escolar, sentem-se determinar com exatidão quem está predisposto àtontos e nauseados, e adormecem na sala de aula. doença e quem não está; a enzima hemolítica, osDepois, repentinamente, suas energias retornam. E ficam geneticistas começaram a fazer a triagem da populaçãoativos e saudáveis até o próximo mês de fevereiro. da ilha. Localizaram aqueles em perigo e advertiram- lhes para evitar favas de feijão durante a estação deOs professores sardenhos sabem que os adultos também floração. Como resultado, a incidência de anemiaapresentam sintomas semelhantes e que, na realidade, hemolítica e de estudantes apáticos começou aalguns chegam a morrer após urinarem uma grande declinar. O uso de marcadores genéticos comoquantidade de sangue. Por vezes, aproximadamente 35% instrumento de previsão da reação dos sardenhos àdos habitantes da ilha chegam a ser acometidos por este fava de feijão há 20 anos foi uma das primeiras vezesmal. em que os marcadores genéticos eram empregados deste modo; foi um avanço que poderá mudar o aspectoO Dr. Marcelo Siniscalco, do Centro de Cancerologia da medicina moderna. Os marcadores genéticos podemSloan-Kedttering, em Nova Iorque, e o Dr. Arno G. prever agora a possível eclosão de outras doenças e, talMotulsky, da Universidade de Washington, depararam pela como a anemia hemolítica, podem auxiliar os médicos aprimeira vez com a doença em 1959, enquanto prevenirem totalmente os ataques em diversos casos.desenvolviam um estudo sobre padrões de hereditariedade (Zsolt Harsanyi e Richard Hutton, publicado no jornal Oe determinaram que os sardenhos eram vítimas de anemia Globo).hemolítica, uma doença hereditária que faz com que osglóbulos vermelhos do sangue se desintegrem no interiordos veios sangüíneos. Os pacientes urinavam sangueporque os rins filtram e expelem a hemoglobina não PERÍFRASEaproveitada. Se o volume de destruição for mínimo, oresultado será a letargia; se for aguda, a doença poderáacarretar a morte do paciente. Observe: O povo lusitano foi bastante satirizado por Gil Vicente. Utilizou-se a expressão "povo lusitano" para substituirA anemia hemolítica pode ter diversas origens. Mas na "os portugueses". Esse rodeio de palavras queSardenha, as experiênci as indicam que praticamente todas substituiu um nome comum ou próprio chama-seas pessoas acometidas por este mal têm deficiência de perífrase.uma única enzima, chamada deidrogenase fosfo-glucosada-6 (ou G-6-PD), que forma um elo de suma Perífrase é a substituição de um nome comum ouimportância na corrente de produção de energia para as próprio por um expressão que a caracterize. Nadacélulas vermelhas do sangue. mais é do que um circunlóquio, isto é, um rodeio de palavras. Outros exemplos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 15 center7@gmail.com
    • astro rei (Sol) | última flor do Lácio (língua portuguesa) | Cordulina ofegava de cansaço. A Limpa-TrilhoCidade-Luz (Paris) gania e parava, lambendo os pés queimados.Rainha da Borborema (Campina Grande) | Cidade Os meninos choramingavam, pedindo de comer.Maravilhosa (Rio de Janeiro) E Chico Bento pensava: – Por que, em menino, a inquietação, o calor, oObservação: existe também um tipo especial de perífrase cansaço, sempre aparecem com o nome de fome?que se refere somente a pessoas. Tal figura de estilo é – Mãe, eu queria comer... me dá um taquinho dechamada de antonomásia e baseia-se nas qualidades ou rapadura!ações notórias do indivíduo ou da entidade a que a – Ai, pedra do diabo! Topada desgraçada! Papai,expressão se refere. vamos comer mais aquele povo, debaixo desse pé de pau? O juazeiro era um só. O vaqueiro também se achou no direito de tomar seu quinhão de abrigo e de frescura. Exemplos: E depois de arriar as trouxas e aliviar a burra, reparou nos vizinhos. A rês estava quase esfolada. AA rainha do mar (Iemanjá) cabeça inchada não tinha chifres. Só dois ocosO poeta dos escravos (Castro Alves) podres, mal cheirosos, donde escorria uma águaO criador do teatro português (Gil Vicente) purulenta. Encostando-se ao tronco, Chico Bento se dirigiu aos esfoladores:SÍNTESE – De que morreu essa novilha, se não é da minha conta?A síntese de texto é um tipo especial de composição que Um dos homens levantou-se, com a facaconsiste em reproduzir, em poucas palavras, o que o autor escorrendo sangue, as mãos tintas de vermelho, umexpressou amplamente. Desse modo, só devem ser fartum sangrento envolvendo-o todo:aproveitadas as idéias essenciais, dispensando-se tudo o – De mal-dos-chifres. Nós já achamos ela doente.que for secundário. E vamos aproveitar, mode não dar para os urubus. Chico Bento cuspiu longe, enojado:Procedimentos: – E vosmecês têm coragem de comer isso? Me ripuna só de olhar...1. Leia atentamente o texto, a fim de conhecer o O outro explicou calmamente:assunto e assimilar as idéias principais; – Faz dois dias que a gente não bota um de-comer2. Leia novamente o texto, sublinhando as partes de panela na boca...mais importantes, ou anotando à parte os pontos que Chico Bento alargou os braços, num grande gestodevem ser conservados; de fraternidade:3. Resuma cada parágrafo separadamente, – Por isso não! Aí nas cargas eu tenho um resto demantendo a seqüência de idéias do texto original; criação salgada que dá para nós. Rebolem essa4. Agora, faça seu próprio resumo, unindo os porqueira pros urubus, que já é deles! Eu vou láparágrafos, ou fazendo quaisquer adaptações conforme deixar um cristão comer bicho podre de mal, tenho umdesejar; bocado no meu surrão!5. Evite copiar partes do texto original. Procure Realmente a vaca já fedia, por causa da doença.exercitar seu vocabulário. Mantenha, porém, o nível de Toda descarnada, formando um grande blocolinguagem do autor; sangrento, era uma festa para os urubus vê-la, lá de6. Não se envolva nem participe do texto. Limite-se a cima, lá da frieza mesquinha das nuvens. E parasintetizá-lo. comemorar o achado executavam no ar grandes rondas festivas, negrejando as asas pretas em espirais descendentes.UFPB/89. Sem copiar frases, RESUMIR, o texto abaixo: Rachel de QueirozO QUINZE Debaixo de um juazeiro grande, todo um bando de MODELOretirantes se arranchara: uma velha, dois homens, umamulher nova, algumas crianças. Arranchados sob um juazeiro, em meio àquela O sol, no céu, marcava onze horas. Quando Chico desolação, um bando de retirantes tentavaBento, com seu grupo, apontou na estrada, os homens aproveitar uma vaca já em estado de putrefação,esfolavam uma rês e as mulheres faziam ferver uma lata de para combater-lhe a fome de dois dias. Quandoquerosene cheia de água, abanando o fogo com umchapéu de palha muito sujo e remendado. Chico Bento, com o seu bando, aproxima-se Em toda a extensão da vista, nenhuma outra árvore também em busca de abrigo e, compadecendo-sesurgia. Só aquele juazeiro, devastado e espinhento, daquela situação, divide com os miseráveis o restoverdejava a copa hospitaleira na desolação cor de cinza dapaisagem. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 16 center7@gmail.com
    • de alimento que trazia, deixando o animal para os encerra uma idéia diferente.urubus. 6. Ler os parágrafos resumidos e observar se há uma estrutura coerente, isto é, se todas as partes estãoCOMO RESUMIR UM TEXTO bem encadeadas e se formam um todo.Ler não é apenas passar os olhos no texto. É preciso saber 7. Num resumo, não se devem comentar as idéias dotirar dele o que é mais importante, facilitando o trabalho da autor. Deve-se registrar apenas o que ele escreveu,memória. Saber resumir as idéias expressas em um texto sem usar expressões como "segundo o autor", "o autornão é difícil. Resumir um texto é reproduzir com poucas afirmou que".palavras aquilo que o autor disse. 8. O tamanho do resumo pode variar conforme o tipoPara se realizar um bom resumo, são necessárias de assunto abordado. É recomendável que nuncaalgumas recomendações: ultrapasse vinte por cento da extensão do texto original.1. Ler todo o texto para descobrir do que se trata. 9. Nos resumos de livros, não devem aparecer2. Reler uma ou mais vezes, sublinhando frases ou diálogos, descrições detalhadas, cenas oupalavras importantes. Isto ajuda a identificar. personagens secundárias. Somente as personagens, os ambientes e as ações mais importantes devem ser3. Distinguir os exemplos ou detalhes das idéias registrados.principais.4. Observar as palavras que fazem a ligação entre asdiferentes idéias do texto, também chamadas deconectivos: "por causa de", "assim sendo", "além domais", "pois", "em decorrência de", "por outro lado", "damesma forma".5. Fazer o resumo de cada parágrafo, porque cada um Significação Literal e Contextual de Vocábulos SINÔNIMOS HOMÔNIMOS São palavras que apresentam, entre si, o mesmo significado. São palavras iguais na forma e diferentes na triste = melancólico. significação. Há três tipos de homônimos: resgatar = recuperar maciço = compact o HOMÔNIMOS PERFEITOS ratificar = confirmar digno = decente, honesto Têm a mesma grafia e o mesmo som. reminiscências = lembranças cedo (advérbio) e cedo (verbo ceder); insipiente = ignorante. meio (numeral), meio (adjetivo) e meio (substantivo). ANTÔNIMOS HOMÔNIMOS HOMÓFONOS São palavras que apresentam, entre si, sentidos opostos, contrários. Têm o mesmo som e grafias diferentes. bom x mau sessão (reunião), seção (repartição) e cessão (ato bem x mal de ceder); condenar x absolver concerto (harmonia) e conserto (remendo). simplificar x complicar HOMÔNIMOS HOMÓGRAFOS sede (vontade de beber) e sede (residência). Têm a mesma grafia e sons diferentes. PARÔNIMOS almoço (refeição) e almoço (verbo almoçar); CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 17 center7@gmail.com
    • São palavras de significação diferente, mas de emergir e imergir.forma parecida, semelhante. Eis uma lista com alguns homônimos e parônimos:retificar e ratificar; coser = costuraracender = atear fogo cozer = cozinharascender = subir deferir = concederacerca de = a respeito de, sobre diferir = adiarcerca de = aproximadamente descrição = representaçãohá cerca de = faz aproximadamente, existe discrição = ato de ser discretoaproximadamente, acontece aproximadamente descriminar = inocentarafim = semelhante, com afinidade discriminar = diferençar, distinguira fim de = com a finalidade de despensa = compartimentoamoral = indiferente à moral dispensa = desobrigaçãoimoral = contra a moral, libertino, devasso despercebido = sem atenção, desatentoapreçar = marcar o preço desapercebido = desprevenidoapressar = acelerar arrear discente = relativo a alunos= pôr arreios docente = relativo a professoresarriar = abaixar emergir = vir à tonabucho = estômago de ruminantes imergir = mergulharbuxo = arbusto ornamental emigrante = o que saicaçar = abater a caça imigrante = o que entracassar = anular eminente = nobre, alto, excelentecela = aposento iminente = prestes a acontecersela = arreio esperto = ativo, inteligente, vivocenso = recenseamento experto = perito, entendido espiarsenso = juízo = olhar sorrateiramente expiar =cessão = ato de doar sofrer pena ou castigo estada =seção ou secção = corte, divisão permanência de pessoasessão = reunião estadia = permanência de veículochá = bebida flagrante = evidentexá = título de soberano no Oriente fragrante = aromáticochalé = casa campestre fúsil = que se pode fundirxale = cobertura para os ombros fuzil = carabinacheque = ordem de pagamento fusível = resistência de fusibilidade calibradaxeque = lance do jogo de xadrez, contratempo incerto = duvidoso insertocomprimento = extensão = inserido, incl usocumprimento = saudação incipiente = inicianteconcertar = harmonizar, combinar insipiente = ignoranteconsertar = remendar, reparar indefesso = incansávelconjetura = suposição, hipótese indefeso = sem defesaconjuntura = situação, circunstânciainfligir = aplicar pena ou castigo suar = transpirarinfringir = transgredir, violar, desrespeitar sortir = abastecerintemerato = puro, íntegro, incorrupto surtir = originarintimorato = destemido, valente, corajoso sustar = suspenderintercessão = súplica, rogo suster = sustentarinterse(c)ção = ponto de encontro de duas tacha = brocha, pequeno pregolinhas taxa = tributolaço = laçada tachar = censurar, notar defeito emlasso = cansado, frouxo taxar = estabelecer o preçoratificar = confirmar vultoso = volumosoretificar = corrigir vultuoso = atacado de vultuosidade (congestãosoar = produzir som na face) 1) Assinale a alternativa cujas palavras substituemEXERCÍCIOS adequadamente as palavras e expressões destacadas ao lado: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 18 center7@gmail.com
    • nordestinos ________ para o Sul, pelo mesmoPassou-me sem atenção que a sua intenção era motivo.estabelecer uma diferença entre os ignorantes eos valentes, corajosos. a) imigraram - emigram - migram b) migraram - imigram - emigrama) desapercebido - descriminar - incipientes - c) emigraram - migram - imigram.intemeratos. d) emigraram - imigram - migram.b) despercebido - discriminar - insipientes - e) imigraram - migram - emigram.intimoratos.c) despercebido - discriminar - insipientes -intemeratos. 7) Há erro de grafia em:D) desapercebido - descriminar - insipientes -intemeratos. a) Eucláudia trabalha na seção de roupas.e) despercebido - discriminar - incipientes - b) Hoje haverá uma sessão extraordinária naintimoratos. Câmara de Vereadores. c) O prefeito da cidade resolveu fazer a cessão de2) O apaixonado rapaz ficou extático diante da seus rendimentos à creche municipal.beleza da noiva. d) Voto 48ª sessão, da 191ª zona eleitoral. e) Ontem, fui ao cinema na sessão das dez.A palavra destacada é sinônima de:a) imóvel 8) Assinale a letra que preenche corretamente asb) admirado lacunas das frases apresentadas.c) firme A ___________ da greve era ________, mas o líderd) sem respirar dos trabalhadores iria ___________ o aumentoe) indiferente mais uma vez.3) Indique a alternativa errada:a) As pessoas mal-educadas, sempre se dão mal a) deflagração - eminente - reivindicar.com os outros. b) defragração - iminente - reinvidicar.b) Os meus ensinamentos foram mal interpretados. c) c) deflagração - iminente - reivindicar.Vivi maus momentos, naquela época. d) defragração - eminente - reinvindicar.d) Temos que esclarecer os mau-entendidos. e) defragração - eminente - reivindicare) Os homens maus sempre prejudicam os bons. 9) Assinale a letra que preenche corretamente as lacunas das frases apresentadas.4) os sinônimos de exilado, assustado, sustentar e Apesar de _______ em mecânica de automóveis, eleexpulsão são, respectivamente: foi _______ de __________, pois não conseguiu diagnosticar o problema no motor do carro do diretor.a) degredado, espavorido, suster e proscrição. b)degradado, esbaforido, sustar e prescrição. c) a) esperto - tachado - incipiente.degredado, espavorido, sustar e proscrição. d) b) experto - tachado - insi piente.degradado, esbaforido, sustar e proscrição. e) c) experto - taxado - insipiente. d)degradado, espavorido, suster e prescrição. esperto - taxado - incipiente. e) esperto - taxado - incipiente.5) Trate de arrumar o aparelho que você quebrou ecosturar a roupa que você rasgou, do contrário não 10) Assinale a letra que preenche corretamente assaíra de casa nesse final de semana. lacunas das frases apresentadas.As palavras destacadas podem ser substituídas por: O ladrão foi pego em _________, quando tentava levar _______ quantia, devido a uma _______ dea) concertar, coser e se não. caminhões bem em frente ao banco.b) consertar, coser e senão. c)consertar, cozer e senão. d) a) flagrante - vultosa - coalizão.concertar, cozer e senão. e) b) fragrante - vultuosa - colisão.consertar, coser e se não. c) flagrante - vultosa - colisão. d) fragrante - vultuosa - coalizão.6) Assinale a alternativa que preenche corretamente as e) flagrante - vultuosa - coalizão.lacunas da frase abaixo:Da mesma forma que os italianos e japoneses 11) Assinale a letra que preenche corretamente as_________ para o Brasil no século passado, hoje os lacunas das frases apresentadas.brasileiros _________ para a Europa e para o Japão, à O rapaz que se sentiu ____________ pela diretorabusca de uma vida melhor; internamente, os do colégio fez uma _______ até Brasília para tentar CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 19 center7@gmail.com
    • _________ uma pena a ela. governador ______ os direitos do secretário. a) De repente - emergiu - iminente - cassou.a) descriminado - viajem - inflingir. b) Derrepente - imergiu - iminente - caçou.b) discriminado - viagem - infligir. c) c) De repente - emergiu - eminente - cassou.discriminado - viajem - infringir. d) d) De repente - imergiu - eminente - caçou. e)descriminado - viagem - infligir. e) Derrepente - emergiu - iminente - cassou.discrimando - viagem - infringir. Respostas12) Assinale a letra que preenche corretamente as 1) B 2) B 3) D 4) A 5) B 6) A 7) D 8) C 9) D 10) Clacunas das frases apresentadas. 11) B 12) C__________, a verdade _______, e, apesar detodos os protestos dos deputados, o ________ Pocessos Coesivos de Referência Coesão e Coerência Basicamente, ser coerente é não cair em contradição. Na escrita, há meios para se ligar coerentemente os fatos em benefício da harmonia entre as idéias. É isso que os exercícios que propomos pretendem abarcar. São exercícios que levam em conta elementos-chave para garantir a coerência de um text o: conhecimento compartilhado, elementos textuais, elementos do contexto de enunciação, etc. Não é novidade para ninguém: é incoerente (ou parece ser) uma pessoa declarar que detesta jogar futebol e sempre convidar os amigos para uma pelada. Seria coerente, se tal pessoa não gosta de futebol, não convidar seus amigos para jogar bola. É incoerente alguém dizer que devemos ser humildes e essa mesma pessoa ser orgulhosa. Assim é que a coerência pode ser entendida como o fenômeno da harmonia entre as idéias, opiniões. Ou, dito de outra forma, seria um princípio de não contradição. (Se alguém segue uma linha de pensamento, sem sair dela, essa pessoa é coerente; já se esta pessoa não agir conforme suas opiniões, isto parece ser incoerente). Veja se são coerentes ou incoerentes os pares de fatos relacionados abaixo: 1) gostar de casa arrumada X deixar tudo espalhado 2) gostar de viajar X ficar sempre em casa nas férias 3) considerar que escola é necessário à educação X pôr os filhos na escola 4) ser contra comida enlatada X só comprar ervilha diretamente da horta Se analisarmos bem o par número 2, incoerente à primeira vista, poderemos facilmente imaginar uma situação na qual a pessoa que goste de viajar não o faça por falta de recursos. Nesse caso, gostar de viajar e ficar em casa durante as férias não se caracterizam como situações que, postas lado a lado, geram incoerência. A incoerência existiria se a pessoa ficasse em casa nas férias porque gosta de viajar... Perceberemos a coerência entre as duas situações do par de número 2 se conhecermos a situação da pessoa que, por falta de recursos, não viaja. Outro modo de percebermos a coerência é através da expressão clara da ligação entre as duas situações, que pode se dar por uma palavrinha, a conjunção mas : Luiz gosta de viajar mas fica sempre em casa nas férias. Ou, explicitando melhor, Luiz gosta de viajar, mas fica sempre em casa nas férias, porque não tem dinheiro para viajar. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 20 center7@gmail.com
    • Pronto: acabou-se a incoerência. Em nosso cotidiano, por vezes, precisamos explicitar as ligações entre fatos, para que os outros percebam que não somos incoerentes. Assim, não é raro usarmos frases como: Gosto dela, mas vou dar o fora. Não vou tomar sorvete, embora goste, porque estou de regime. É bonito ter cabelo comprido, mas uso curto porque não tenho tempo para cuidar. Precisamos de mais um quarto, mas não vamos construí-lo agora porque o dinheiro está curto. É mais rápido ir de moto para o trabalho, mas eu prefiro ir de ônibus porque o trânsito está muito perigoso. Torço para o Flamengo, mas quero que o Vasco ganhe porque não agüento mais a choradeira lá em casa. Se a pessoa com quem falamos sabe que estamos de regime, não é preciso dizer a ela que gostamos de sorvete e lhe explicar que estamos de regime. Basta dizer: “Não vou tomar sorvete”. Se a pessoa sabe que preferimos ir de moto por ser mais rápido, não é preciso fazer a afirmação “É mais rápido ir de moto para o trabalho”, ao lhe informar que não estamos usando a moto para ir até o local de trabalho. O que percebemos, então? Percebemos que há situações de interlocução nas quais não precisamos explicitar tudo, mas que há outras nas quais, para não parecermos ilógicos, incoerentes, loucos até, temos necessidade de explicar mais. Se pensarmos na situação do sorvete, temos necessidade de explicar que não tomar sorvete não decorre de gostar muito de sorvete; ao contrário, não tomar sorvete é uma decisão tomada apesar de se gostar muito de sorvete. A noção de coerência, de harmonia entre idéias e fatos, e a noção daí decorrente, que é a de coesão, de ligação entre os fatos, foram consideradas por nós como fundamentais para o bom uso da língua, ao falarmos, conversarmos, escrevermos ou lermos. É verdade que há momentos em que o falante pode querer deixar uma ambigüidade no ar, pode querer provocar um efeito cômico, pode não precisar explicitar a coerência porque a situação já fala por si. Entretanto, se o falante de fato não explicitar a ligação entre os fatos, isso deverá ser por sua opção, e não por falta de conhecimento. Assim, ao que parece, o que se denomina “coesão” seria aquilo que tenta explicitar a coerência, quando ela, em um texto, não pode ser facilmente depreendida. Desta forma, nos textos, os conectivos, que são alguns dos agentes de coesão, representariam a tentativa de explicitação da coerênci a. Coordenação e SubordinaçãoPeríodo CompostoPeríodo composto é aquele formado por duas ou mais orações. Há dois tipos de períodos compostos:1) Período composto por coordenaçãoQuando as orações não mantêm relação sintática entre si, ou seja, quando o período é formado por oraçõessintaticamente independentes entre si. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 21 center7@gmail.com
    • Ex. Estive à sua procura, mas não o encontrei.2) Período composto por subordinaçãoQuando uma oração, chamada subordinada, mantém relação sintática com outra, chamada principal.Ex. Sabemos que eles estudam muito. (oração que funciona como objeto direto)Período Composto por SubordinaçãoA uma oração principal podem relacionar-se sintaticamente três tipos de orações subordinadas: substantivas,adjetivas e adverbiais.I. Orações Subordinadas SubstantivasSão seis as orações subordinadas substantivas, que são iniciadas por uma conjunção subordinativa integrante(que, se)A) Subjetiva: funciona como sujeito da oração principal.Existem três estruturas de oração principal que se usam com subordinada substantiva subjetiva:verbo de ligação + predicativo + oração subordinada substantiva subjetiva.Ex. É necessário que façamos nossos deveres.verbo unipessoal + oração subordinada substantiva subjetiva.Verbo unipessoal só é usado na 3ª pessoa do singular; os mais comuns são convir, constar, parecer, importar,interessar, suceder, acontecer.Ex. Convém que façamos nossos deveres.verbo na voz passiva + oração subordinada substantiva subjetiva.Ex. Foi afirmado que você subornou o guarda.B) Objetiva Direta: funciona como objeto direto da oração principal.(sujeito) + VTD + oração subordinada substantiva objetiva direta.Ex. Todos desejamos que seu futuro seja brilhante.C) Objetiva Indireta: funciona como objeto indireto da oração principal.(sujeito) + VTI + prep. + oração subordinada substantiva objetiva indireta.Ex. Lembro-me de que tu me amavas.D) Completiva Nominal: funciona como complemento nominal de um termo da oração principal.(sujeito) + verbo + termo intransitivo + prep. + oração subordinada substantiva completiva nominal.Ex. Tenho necessidade de que me elogiem.E) Apositiva: funciona como aposto da oração principal; em geral, a oração subordinada substantiva apositivavem após dois pontos, ou mais raramente, entre vírgulas.oração principal + : + oração subordinada substantiva apositiva.Ex. Todos querem o mesmo destino: que atinjamos a felicidade.F) Predicativa: funciona como predicativo do sujeito do verbo de ligação da oração principal.(sujeito) + VL + oração subordinada substantiva predicativa. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 22 center7@gmail.com
    • Ex. A verdade é que nunca nos satisfazemos com nossas posses.Nota: As subordinadas substantivas podem vir introduzidas por outras palavras:Pronomes interrogativos (quem, que, qual...)Advérbios interrogativos (onde, como, quando...)Perguntou-se quando ele chegaria.Não sei onde coloquei minha carteira.II. Orações Subordinadas AdjetivasAs orações subordinadas adjetivas são sempre iniciadas por um pronome relativo. São duas as oraçõessubordinadasadjetivas:A) Restritiva: é aquela que limita, restringe o sentido do substantivo ou pronome a que se refere. A restritivafuncionacomo adjunto adnominal de um termo da oração principal e não pode ser isolada por vírgulas.Ex. A garota com quem simpatizei está à sua procura.Os alunos cujas redações foram escolhidas receberão um prêmio.B) Explicativa: serve para esclarecer melhor o sentido de um substantivo, explicando mais detalhadamente umacaracterística geral e própria desse nome. A explicativa funciona como aposto explicativo e é sempre isolada porvírgulas.Ex. Londrina, que é a terceira cidade do região Sul do país, está muito bem cuidada.III. Orações Subordinadas AdverbiaisSão nove as orações subordinadas adverbiais, que são iniciadas por uma conjunção subordinativaA) Causal: funciona como adjunto adverbial de causa.Conjunções: porque, porquanto, visto que, já que, uma vez que, como, que.Ex. Saímos rapidamente, visto que estava armando um tremendo temporal.B) Comparativa: funciona como adjunto adverbial de comparação. Geralmente, o verbo fica subentendidoConjunções: (mais) ... que, (menos)... que, (tão)... quanto, como.Ex. Diocresildo era mais esforçado que o irmão(era).C) Concessiva: funciona como adjunto adverbial de concessão.Conjunções: embora, conquanto, inobstante, não obstante, apesar de que, se bem que, mesmo que, posto que,ainda que, em que pese.Ex. Todos se retiraram, apesar de não terem terminado a prova.D) Condicional: funciona como adjunto adverbial de condição.Conjunções: se, a menos que, desde que, caso, contanto que.Ex. Você terá um futuro brilhante, desde que se esforce.E) Conformativa: funciona como adjunto adverbial de conformidade.Conjunções: como, conforme, segundo.Ex. Construímos nossa casa, conforme as especificações dadas pela Prefeitura.F) Consecutiva: funciona como adjunto adverbial de conseqüência. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 23 center7@gmail.com
    • Conjunções: (tão)... que, (tanto)... que, (tamanho)... que.Ex. Ele fala tão alto, que não precisa do microfone.G) Temporal: funciona como adjunto adverbial de tempo.Conjunções: quando, enquanto, sempre que, assim que, desde que, logo que, mal.Ex. Fico triste, sempre que vou à casa de Juvenildo. H)Final: funciona como adjunto adverbial de finalidade.Conjunções: a fim de que, para que, porque.Ex. Ele não precisa do microfone, para que todos o ouçam.I) Proporcional: funciona como adjunto adverbial de proporção.Conjunções: à proporção que, à medida que, tanto mais.À medida que o tempo passa, mais experientes ficamos.IV. Orações ReduzidasQuando uma oração subordinada se apresenta sem conjunção ou pronome relativo e com o verbo noinfinitivo, no particípio ou no gerúndio, dizemos que ela é uma oração reduzida, acrescentando-lhe o nome deinfinitivo, de particípio ou de gerúndio.Ex. Ele não precisa de microfone, para o ouvirem.Período Composto por CoordenaçãoUm período composto por coordenação é formado por orações coordenadas, que são orações independentessintaticamente, ou seja, não há qualquer relação sintática entre as orações do período.Há dois tipos de orações coordenadas:1. Orações Coordenadas AssindéticasSão as orações não iniciadas por conjunção coordenativa.Ex. Chegamos a casa, tiramos a roupa, banhamo-nos, fomos deitar.2. Orações Coordenadas SindéticasSão cinco as orações coordenadas, que são iniciadas por uma conjunção coordenativa.A) Aditiva: Exprime uma relação de soma, de adição.Conjunções: e, nem, mas também, mas ainda.Ex. Não só reclamava da escola, mas também atenazava os colegas.B) Adversativa: exprime uma idéia contrária à da outra oração, uma oposição.Conjunções: mas, porém, todavia, no entanto, entretanto, contudo.Ex. Sempre foi muito estudioso, no entanto não se adaptava à nova escola.C) Alternativa: Exprime idéia de opção, de escolha, de alternância. Conjunções:ou, ou...ou, ora... ora, quer... quer.Estude, ou não sairá nesse sábado.D) Conclusiva: Exprime uma conclusão da idéia contida na outra oração.Conjunções: logo, portanto, por isso, por conseguinte, pois - após o verbo ou entre vírgulas. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 24 center7@gmail.com
    • Ex. Estudou como nunca fizera antes, por isso conseguiu a aprovação.E) Explicativa: Exprime uma explicação.Conjunções: porque, que, pois - antes do verbo.Ex. Conseguiu a aprovação, pois estudou como nunca fizera antEXERCÍCIOS1- Na frase " Maria do Carmo tinha certeza de que estava para ser mãe" a oração em destaque é :a) Subordinada substantiva objetiva indiretab) Subordinada substantiva completiva nominal.c) Subordinada substantiva predicativa.d) Coordenada sindética conclusivae) Coordenada sindética explicativa2- Qual o período em que há oração subordinada substantiva predicativa ?a) Meu desejo é que você passe nos exames vestibulares.b) Sou favorável a que o aprovem.c) Desejo-te isto que sejas feliz.d) O aluno que estuda consegue superar as dificuldades do vestibular.e) Lembre-se de que tudo passa neste mundo.3- Marque a opção que contém oração subordinada substantiva completiva nominal:a) "Tanto eu como Pascoal tínhamos preço de que o patrão topasse Pedro Barqueiro nas ruas da cidade"b) " Era preciso que ninguém desconfiasse do nosso conluio para prendermos o Pedro Barqueiro."c) "Para encurtar a história patrãozinho achamos Pedro Barqueiro no rancho que só tinha três divisões asala, o quarto dele e a cozinha."d) " Quando chegamos, Pedro estava no terreiro debulhando milho que havia colhido em sua rocinha aliperto "e) "Pascoal me fez um sinalzinho, eu dei a volta e entrei pela porta do fundo para agarrar o Barqueiropelas costas"4- As orações subordinadas substantivas que aparecem nos períodos abaixo são todassubjetivas exceto:a) Decidiu-se que o período subiria de preço.b) É muito bom que o homem vez por outra reflita sobre sua vida.c) Ignoras quanto custou meu relógio?d) Perguntou-se ao diretor quando seríamos recebidos. e)Convinha-nos que você estivesse presente à reunião.5- Na frase " Argumentei que não é justo que o padeiro ganhe festas" as orações introduzidaspela conjunção que são respectivamente :a) Ambas subordinadas substantivas objetivas diretasb) Ambas subordinadas subjetivasc) Subordinada substantiva objetiva direta e subordinada substantiva subjetiva. d)Subordinada objetiva direta e coordenada assindética .e) Subordinada substantiva objetiva e subordinada substantiva predicativa.6- Em " É possível que comunicassem sobre política" a segunda oração é :a) Subordinada substantiva subjetiva. b)Subordinada adverbial predicativa. c)Subordinada substantiva predicativa d)Principal CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 25 center7@gmail.com
    • e) Subordinada substantiva objetiva direta.7- A palavra se é conjunção subordinativa integrante (introduzindo oração subordinadasubstantiva objetiva direta) em qual das orações seguintes?a) Ele se morria de ciúmes pelo patrão.b) A Federação arroga-se o direito de cancelar o jogo.c) O aluno fez-se passar por doutor.d) Precisa-se de pedreiros.e) Não sei se o vinho está bom.8- " As cunnãs tinham ensinado para ele que o sagüi-açu não era sagüim não, chamavaelevador e era uma máquina ."Em relação à oração não destacada as orações em destaque são respectivamente :a) Subordinada substantiva objetiva direta coordenada assindética coordenada sindética aditiva. b)Subordinada adjetiva restritiva coordenada assindética -coordenada sindética aditiva.c) Subordinada substantiva objetiva direta subordinada substantiva objetiva direta coordenada sindéticaaditiva.d) Subordinada substantiva objetiva direta subordinada substantiva objetiva diretae) Subordinada substantiva subjetiva coordenada assindética coordenada sindética aditiva.9- " Se ele confessou , não sei." A oração destacada é:a) Subordinada adverbial temporalb) Subordinada substantiva objetiva direta c)Subordinada substantiva objetiva indireta d)Subordinada substantiva supletivae) Subordinada substantiva predicativa10- " A verdade é que a gente não sabia nada"Classifica -se a segunda oração como:a) Subordinada substantiva objetiva diretab) Subordinada adverbial conformativac) Subordinada substantiva objetiva indiretad) Subordinada substantiva predicativae) Subordinada substantiva apositiva.11- Leia atentamente a frase:" O presidente comunicou ao Ministro do Planejamento e ao Ministro da Indústria e Comércio,que não haverá expediente na Segunda-feira próxima." Nesta frase a vírgula está separandoerroneamente a oração principal e a oração:a) Subordinada substantiva objetiva indiretab) Subordinada adverbial temporalc) Coordenada Sindética adversativad) Subordinada substantiva objetiva diretae) Subordinada substantiva assindética modal.12- Em " Queria que me ajudasses. "O trecho destacado pode ser substituído por:a) a sua ajudab) a vossa ajudac) a ajuda de vocêd) a ajuda delese) a tua ajuda.13- " Lembro-me de que ele só usava camisas brancas."A oração destacada é: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 26 center7@gmail.com
    • a) Subordinada substantiva completiva nominalb) Subordinada substantiva objetiva indiretac) Subordinada substantiva predicativad) Subordina substantiva subjetiva.e) Subordinada substantiva objetiva diretaRespostas1- B 8- A2- A 9- B3- A 10- D4- C 11- A5- C 12- E6- A 13- C7- E Estrutura das PalavrasEstudar a estrutura das palavras é estudar os elementos que formam a palavra, denominados demorfemas. São os seguintes os morfemas da Língua Portuguesa.RadicalO que contém o sentido básico do vocábulo. Aquilo que permanecer intacto, quando a palavra formodificada.Ex. falar, comer, dormir, casa, carro.Obs: Em se tratando de verbos, descobre-se o radical, retirando-se a terminação AR, ER ou IR.Vogal TemáticaNos verbos, são as vogais A, E e I, presentes à terminação verbal. Elas indicam a que conjugação overbo pertence:• 1ª conjugação = Verbos terminados em AR.• 2ª conjugação = Verbos terminados em ER.• 3ª conjugação = Verbos terminados em IR.Obs.: O verbo pôr pertence à 2ª conjugação, já que proveio do antigo verbo poer.Nos substantivos e adjetivos, são as vogais A, E, I, O e U, no final da palavra, evitando que ela termineem consoante. Por exemplo, nas palavras meia, pente, táxi, couro, urubu.* Cuidado para não confundir vogal temática de substantivo e adjetivo com desinência nominal degênero, que estudaremos mais à frente.TemaÉ a junção do radical com a vogal temática. Se não existir a vogal temática, o tema e o radical serão omesmo elemento; o mesmo acontecerá, quando o radical for terminado em vogal. Por exemplo, em setratando de verbo, o tema sempre será a soma do radical com a vogal temática - estuda, come, parti; emse tratando de substantivos e adjetivos, nem sempre isso acontecerá. Vejamos alguns exemplos: Nosubstantivo pasta, past é o radical, a, a vogal temática, e pasta o tema; já na palavra leal, o radical eo tema são o mesmo elemento - leal, pois não há vogal temática; e na palavra tatu também, masagora, porque o radical é terminado pela vogal temática.Desinências CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 27 center7@gmail.com
    • É a terminação das palavras, flexionadas ou variáveis, posposta ao radical, com o intuito de modificá-las.Modificamos os verbos, conjugando-os; modificamos os substantivos e os adjetivos em gênero e número.Existem dois tipos de desinências:Desinências verbaisModo-temporais = indicam o tempo e o modo. São quatro as desinências modo-temporais:-va- e -ia-, para o Pretérito Imperfeito do Indicativo = estudava, vendia, partia.-ra-, para o Pretérito Mais-que-perfeito do Indicativo = estudara, vendera, partira.-ria-, para o Futuro do Pretérito do Indicativo = estudaria, venderia, partiria.-sse-, para o Pretérito Imperfeito do Subjuntivo = estudasse, vendesse, partisse.Número-pessoais = indicam a pessoa e o número. São três os grupos das desinências númeropessoais.Grupo I: i, ste, u, mos, stes, ram, para o Pretérito Perfeito do Indicativo = eu cantei, tu cantaste,ele cantou, nós cantamos, vós cantastes, eles cantaram.Grupo II: -, es, -, mos, des, em, para o Infinitivo Pessoal e para o Futuro do Subjuntivo = Era para eucantar, tu cantares, ele cantar, nós cantarmos, vós cantardes, eles cantarem. Quando eu puser, tupuseres, ele puser, nós pusermos, vós puserdes, eles puserem.Grupo III: -, s, -, mos, is, m, para todos os outros tempos = eu canto, tu cantas, ele canta, nóscantamos, vós cantais, eles cantam.Desinências nominaisde gênero = indica o gênero da palavra. A palavra terá desinência nominal de gênero, quando houver aoposição masculino - feminino. Por exemplo: cabeleireiro - cabeleireira. A vogal a será desinêncianominal de gênero sempre que indicar o feminino de uma palavra, mesmo que o masculino não sejaterminado em o. Por exemplo: crua, ela, traidora.de número = indica o plural da palavra. É a letra s, somente quando indicar o plural da palavra. Porexemplo: cadeiras, pedras, águas.Afixos: São elementos que se juntam a radicais para formar novas palavras. São eles:Prefixo: É o afixo que aparece antes do radical. Por exemplo destampar, incapaz, amoral.Sufixo: É o afixo que aparece depois do radical, do tema ou do infinitivo. Por exemplo pensamento,acusação, felizmente.Vogais e consoantes de ligação: São vogais e consoantes que surgem entre dois morfemas, para tornar maisfácil e agradável a pronúncia de certas palavras. Por exemplo flores, bambuzal, gasômetro,canais. Formação das palavrasPara analisar a formação de uma palavra, deve-se procurar a origem dela. Caso seja formada por apenasum radical, diremos que foi formada por derivação; por dois ou mais radicais, composição. São osseguintes os processos de formação de palavras: Derivação: Formação de novas palavras a partir deapenas um radical.Derivação PrefixalAcréscimo de um prefixo à palavra primitiva; também chamado de prefixação. Por exemplo: antepasto, CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 28 center7@gmail.com
    • reescrever, infeliz.Derivação SufixalAcréscimo de um sufixo à palavra primitiva; também chamado de sufixação. Por exemplo: felizmente,igualdade, florescer.Derivação Prefixal e SufixalAcréscimo de um prefixo e de um sufixo, em tempos diferentes; também chamado de prefixação esufixação. Por exemplo: infelizmente, desigualdade, reflorescer.Derivação ParassintéticaAcréscimo de um prefixo e de um sufixo, simultaneamente; também chamado de parassíntese. Porexemplo: envernizar, enrijecer, anoitecer.Obs.: A maneira mais fácil de se estabelecer a diferença entre Derivação Prefixal e Sufixal e DerivaçãoParassintética é a seguinte: retira-se o prefixo; se a palavra que sobrou existir, será Der. Pref. e Suf.; casocontrário, retira-se, agora, o sufixo; se a palavra que sobrou existir, será Der. Pref. e Suf.; caso contrário,será Der. Parassintética. Por exemplo, retire o prefixo de envernizar: não existe a palavra vernizar; agora,retire o sufixo: também não existe a palavra enverniz. Portanto, a palavra foi formada por Parassíntese.Derivação RegressivaÉ a retirada da parte final da palavra primitiva, obtendo, por essa redução, a palavra derivada. Porexemplo: do verbo debater, retira-se a desinência de infinitivo -r: formou-se o substantivo debate.Derivação ImprópriaÉ a formação de uma nova palavra pela mudança de classe gramatical. Por exemplo: a palavra gelo éum substantivo, mas pode ser transformada em um adjetivo: camisa gelo.ComposiçãoFormação de novas palavras a partir de dois ou mais radicais.Composição por justaposiçãoNa união, os radicais não sofrem qualquer alteração em sua estrutura. Por exemplo: ao se unirem osradicais ponta e pé, obtém-se a palavra pontapé. O mesmo ocorre com mandachuva, passatempo,guarda-pó.Composição por aglutinaçãoNa união, pelo menos um dos radicais sofre alteração em sua estrutura. Por exemplo: ao se unirem osradicais água e ardente, obtém-se a palavra aguardente, com o desaparecimento do a. O mesmoacontece com embora (em boa hora), planalto (plano alto).HibridismoÉ a formação de novas palavras a partir da união de radicais de idiomas diferentes. Por exemplo:automóvel, sociologia, sambódromo, burocracia.OnomatopéiaConsiste em criar palavras, tentando imitar sons da natureza. Por exemplo: zunzum, cricri, tiquetaque,pingue-pongue.Abreviação Vocabular CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 29 center7@gmail.com
    • Consiste na eliminação de um segmento da palavra, a fim de se obter uma forma mais curta. Porexemplo: de extraordinário forma-se extra; de telefone, fone; de fotografia, foto; decinematografia, cinema ou cine.SiglasAs siglas são formadas pela combinação das letras iniciais de uma seqüência de palavras que constituium nome: Por exemplo: IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística); IPTU (Imposto Predial,Territorial e Urbano).Neologismo semânticoForma-se uma palavra por neologismo semântico, quando se dá um novo significado, somado ao que jáexiste. Por exemplo, a palavra legal significa dentro da lei; a esse significado somamos outro: pessoaboa, pessoa legal.Empréstimo lingüísticoÉ o aportuguesamento de palavras estrangeiras; se a grafia da palavra não se modifica, ela deve serescrita entre aspas. Por exemplo: estresse, estande, futebol, bife, "show", xampu, "shoppingcenter".EXERCÍCIOSEstrutura e Formação de Palavras1- Os elementos mórficos sublinhados estão corretamente classificados nos parênteses, exceto em:a) aluna (desinência de gênero);b) estudássemos (desinência modo-temporal);c) reanimava (desinência número-pessoal);d) deslealdade (sufixo);e) agitar (vogal temática).2- Tendo em vista o processo de formação de palavras, não é exemplo de hibridismo:a) automóvel;b) sociologia;c) alcoômetro;d) burocracia;e) biblioteca.3-(AL) Tendo em vista a estrutura das palavras, o elemento sublinhado está incorretamente classificadonos parênteses em:a) velha (desinência de gênero);b) legalidade (vogal de ligação);c) perdeu (tema);d) organizara (desinência modo-temporal);e) testemunhei (desinência número-pessoal).4- O processo de formação da palavra sublinhada está incorretamente indicado nos parênteses em:a) Só não foi necessário o ataque porque a vitória estava garantida. (derivação parassintética);b) O castigo veio tão logo se receberam as notícias. (derivação regressiva);c) Foram muito infelizes as observações feitas durante o comício. (derivação prefixal);d) Diziam que o vendedor seria capaz de fugir. (derivação sufixal);e) O homem ficou boquiaberto com as nossas respostas. (composição por aglutinação). CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 30 center7@gmail.com
    • 5- Tendo em vista o processo de formação de palavra, todos os vocábulos abaixo são parassintéticos,exceto:a) entardecer;b) despedaçar;c) emudecer;d) esfarelar;e) negociar.6- É exemplo de palavra formada por derivação parassintética:a) pernalta;b) passatempo;c) pontiagudo;d) vidraceiro;e) anoitecer.7- Todas as palavras abaixo são formadas por derivação, exceto:a) esburacar;b) pontiagudo;c) rouparia;d) ilegível;e) dissílabo.8- "Achava natural que as gentilezas da esposa chegassem a cativar um homem". Os elementosconstitutivos da forma verbal grifada estão analisados corretamente, exceto:a) CHEG - radical;b) A - vogal temática;c) CHEGA - tema;d) SSE - sufixo formador de verbo;e) M - desinência número-pessoal.9- O elemento mórfico sublinhado não é desinência de gênero, que marca o feminino, em:a) tristonha;b) mestra;c) telefonema;d) perdedoras;e) loba.10- A afirmativa a respeito do processo de formação de palavras não está correta em: a)Choro e castigo originaram-se de chorar e castigar, através de derivação regressiva; b)Esvoaçar é formada por derivação sufixal com sufixo verbal freqüentativo;c) O amanhã não pode ver ninguém bem. - a palavra sublinhada surgiu por derivação imprópria;d) Petróleo e hidrelétrico são formadas através de composição por aglutinação;e) Pólio, extra e moto são obtidas por redução.11- O processo de formação de palavras é o mesmo em:a) desfazer, remexer, a desocupação;b) dureza, carpinteiro, o trabalho;c) enterrado, desalmado, entortada; d)machado, arredondado, estragado; e)estragar, o olho, o sustento.12- O processo de formação da palavra amaciar está corretamente indicado em:a) parassíntese;b) sufixação;c) prefixação;d) aglutinação;e) justaposição. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 31 center7@gmail.com
    • 13- O processo de formação das palavras grifadas não está corretamente indicado em:a) As grandes decisões saem do Planalto. (composição por justaposição);b) Sinto saudades do meu bisavô. (derivação prefixal);c) A pesca da baleia deveria ser proibida. (derivação regressiva);d) Procuremos regularmente o dentista. (derivação sufixal);e) As dificuldades de hoje tornam o homem desalmado. (derivação parassintética).14- O processo de formação de palavras está indicado corretamente em:a) Barbeado: derivação prefixal e sufixal;b) Desconexo: derivação prefixal;c) Enrijecer: derivação sufixal;d) Passatempo: composição por aglutinação;e) Pernilongo: composição por justaposição.15- Apenas um dos itens abaixo contém palavra que não é formada por prefixação. Assinale-o:a) anômalo e analfabeto;b) átono e acéfalo;c) ateu e anarquia;d) anônimo e anêmico;e) anidro e alma.16- Em que alternativa a palavra grifada resulta em derivação imprópria?a) "De repente, do riso fez-se o pranto / Silencioso e branco como a bruma / E das bocas fez-se aespuma / E das mãos espalmadas fez-se o espanto." (Vinícius de Moraes);b) "Agora, o cheiro áspero das flores / leva-me os olhos por dentro de suas pétalas."(Cecília Meireles);c) "Um gosto de amora / Comida com sal. A vida / Chamava-se "Agora"." (Guilherme de Almeida); d)"A saudade abraçou-me, tão sincera, / soluçando no adeus de nunca mais. / A ambição de olharverde, junto ao cais, / me disse: vai que eu fico à tua espera." (Cassiano Ricardo).17- Marque a opção em que todas as palavras possuem um mesmo radical:a) batista - batismo - batistério - batisfera - batiscafo;b) triforme - triângulo - tricologia - tricípite - triglota;c) poligamia - poliglota - polígono - política - polinésio;d) operário - opereta - opúsculo - obra - operação;e) gineceu - ginecologia - ginecofobia - ginostênio - gimnosperma.18- Com relação ao seguinte poema, é CORRETO afirmar que:Neologismo"Beijo pouco, falo menos ainda. / Mas invento palavras / Que traduzem a ternura mais funda / E maiscotidiana. / Inventei, por exemplo, o verbo teadorar. / Intransitivo: / Teadoro, Teodora." (ManuelBandeira)a) o verbo "teadorar" e o substantivo próprio "Teodora" são palavras cognatas, pois possuem o mesmoradical;b) as classes das palavras que compõem a estrutura do vocábulo "teadorar" são pronome e verbo;c) o verbo "teadorar", por se tratar de um neologismo, não possui morfemas;d) a vogal temática dos verbos "beijo", "falo", "invento" e "teadoro" é a mesma, ou seja, "o".19- Está INCORRETO afirmar que:a) malcheiroso é formada por prefixação e sufixação;b) televisão é formada por prefixação que significa ao longe;c) folhagem é formada por derivação sufixal que significa noção coletiva;d) em amado e malcheiroso, ambos os sufixos significam provido ou cheio de.20- Farejando apresenta em sua estrutura: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 32 center7@gmail.com
    • a) radical farej - vogal temática a - tema fareja - desinência ndo;b) radical far - tema farej - vogal temática e - desinência ndo;c) radical fareja - vogal temática a - sufixo ndo;d) tema farej - radical fareja - sufixo ndo.Respostas1- C 7- B 13- A 19- B2- E 8- D 14- B 20- A3- C 9- C 15- E4- A 10- B 16- D5- E 11- C 17- D6- E 12- A 18- B OrtografiaAo escrever uma palavra com som de s, de z, de x ou de j, deve-se procurar a origem dela, pois,na Língua Portuguesa, a palavra primitiva, em muit os casos, indica como deveremos escrever a palavraderivada.Ç01) Escreveremos com -ção as palavras derivadas de vocábulos terminados em -to, -tor, -tivo e ossubstantivos formados pela posposição do -ção ao tema de um verbo (Tema é o que sobra, quando seretira a desinência de infinitivo - r - do verbo).Portanto deve-se procurar a origem da palavra terminada em -ção. Por exemplo: Donde provém apalavra conjunção? Resposta: provém de conjunto. Por isso, escrevemo-la com ç.Exemplos:• erudito = erudição• exceto = exceção• setor = seção• intuitivo = intuição• redator = redação• ereto = ereção• educar - r + ção = educação• exportar - r + ção = exportação• repartir - r + ção = repartição•02) Escreveremos com -tenção os substantivos correspondentes aos verbos derivados do verbo ter.Exemplos:• manter = manutenção• reter = retenção• deter = detenção• conter = contenção03) Escreveremos com -çar os verbos derivados de substantivos terminados em -ce.Exemplos:• alcance = alcançar• lance = lançar CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 33 center7@gmail.com
    • S01) Escreveremos com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -nder e -ndirExemplos:• pretender = pretensão• defender = defesa, defensivo• despender = despesa• compreender = compreensão• fundir = fusão• expandir = expansão02) Escreveremos com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -erter, -ertir e -ergir.Exemplos:• perverter = perversão• converter = conversão• reverter = reversão• divertir = diversão• aspergir = aspersão• imergir = imersão03) Escreveremos -puls- nas palavras derivadas de verbos terminados em -pelir e -curs-, nas palavrasderivadas de verbos terminados em -correr.Exemplos:• expelir = expulsão• impelir = impulso• compelir = compulsório• concorrer = concurso• discorrer = discurso• percorrer = percurso04) Escreveremos com -s- todas as palavras terminadas em -oso e -osa, com exceção de gozo.Exemplos:• gostosa• glamorosa• saboroso• horroroso05) Escreveremos com -s- todas as palavras terminadas em -ase, -ese, -ise e -ose, com exceção degaze e deslize.Exemplos:• fase• crase• tese• osmose06) Escreveremos com -s- as palavras femininas terminadas em -isa.Exemplos:• poetisa CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 34 center7@gmail.com
    • • profetisa• Heloísa• Marisa07) Escreveremos com -s- toda a conjugação dos verbos pôr, querer e usar.Exemplos:• Eu pus• Ele quis• Nós usamos• Eles quiseram• Quando nós quisermos• Se eles usassemÇ ou S?Após ditongo, escreveremos com -ç-, quando houver som de s, e escreveremos com -s-, quandohouver som de z.Exemplos:• eleição• traição• Neusa• coisaS ou Z?01 a) Escreveremos com -s- as palavras terminadas em -ês e -esa que indicarem nacionalidades,títulos ou nomes próprios.Exemplos:• português• norueguesa• marquês• duquesa• Inês• Teresab) Escreveremos com -z- as palavras terminadas em -ez e -eza, substantivos abstratos queprovêm de adjetivos, ou seja, palavras que indicam a existência de uma qualidade.Exemplos:• embriaguez• limpeza• lucidez• nobreza• acidez• pobreza02 a) Escreveremos com -s- os verbos terminados em -isar, quando a palavra primitiva já possuir o -s-.Exemplos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 35 center7@gmail.com
    • • análise = analisar• pesquisa = pesquisar• paralisia = paralisarb) Escreveremos com -z- os verbos terminados em -izar, quando a palavra primitiva não possuir -s-.Exemplos:• economia = economizar• terror = aterrorizar• frágil = fragilizarCuidado:• catequese = catequizar• síntese = sintetizar• hipnose = hipnotizar• batismo = batizar03 a) Escreveremos com -s- os diminutivos terminados em -sinho e -sito, quando a palavra primitiva jápossuir o -s- no final do radical.Exemplos:• casinha• asinha• portuguesinho• camponesinha• Teresinha• Inesitab) Escreveremos com -z- os diminutivos terminados em -zinho e -zito, quando a palavra primitivanão possuir -s- no final do radical.Exemplos:• mulherzinha• arvorezinha• alemãozinho• aviãozinho• pincelzinho• corzinhaSS01) Escreveremos com -cess- as palavras derivadas de verbos terminados em -ceder.Exemplos:• anteceder = antecessor• exceder = excesso• conceder = concessão02) Escreveremos com -press- as palavras derivadas de verbos terminados em -primir.Exemplos:• imprimir = impressão• comprimir = compressa• deprimir = depressivo03) Escreveremos com -gress- as palavras derivadas de verbos terminados em -gredir. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 36 center7@gmail.com
    • Exemplos:• agredir = agressão• progredir = progresso• transgredir = transgressor04) Escreveremos com -miss- ou -mess- as palavras derivadas de verbos terminados em -meter.Exemplos:• comprometer = compromisso• intrometer = intromissão• prometer = promessa• remeter = remessaÇS ou SSEm relação ao verbos terminados em -tir, teremos:01) Escreveremos com -ção, se apenas retirarmos a desinência de infinitivo -r, dos verbos terminadosem -tir.Exemplo:• curtir - r + ção = curtição02) Escreveremos com -são, quando, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for consoante.Exemplo:• divertir - tir + são = diversão03) Escreveremos com -ssão, quando, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for vogal.Exemplo:• discutir - tir + ssão = discussãoJ01) Escreveremos com -j- as palavras derivadas dos verbos terminados em -jar.Exemplos:• trajar = traje, eu trajei.• encorajar = que eles encorajem• viajar = que eles viajem02) Escreveremos com -j- as palavras derivadas de vocábulos terminados em -ja.Exemplos:• loja = lojista• gorja = gorjeta• canja = canjica CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 37 center7@gmail.com
    • 03) Escreveremos com -j- as palavras de origem tupi, africana ou popular.Exemplos:• jeca• jibóia• jiló• pajéG01) Escreveremos com -g- todas as palavras terminadas em -ágio, -égio, -ígio, -ógio, -úgio.Exemplos:• pedágio• colégio• sacrilégio• prestígio• relógio• refúgio02) Escreveremos com -g- todas as palavras terminadas em -gem, com exceção de pajem, lambujeme a conjugação dos verbos terminados em -jar.Exemplos:• a viagem• a coragem• a personagem• a vernissagem• a ferrugem• a penugemX01) Escreveremos com -x- as palavras iniciadas por mex-, com exceção de mecha.Exemplos:• mexilhão• mexer• mexerica• México• mexerico• mexido02) Escreveremos com -x- as palavras iniciadas por enx-, com exceção das derivadas de vocábulosiniciados por ch- e da palavra enchova.Exemplos:• enxada• enxerto• enxerido• enxurradamas:• cheio = encher, enchente• charco = encharcar• chiqueiro = enchiqueirar CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 38 center7@gmail.com
    • 03) Escreveremos -x- após ditongo, com exceção de recauchutar e guache.Exemplos:• ameixa• deixar• queixa• feixe• peixe• gueixaUIR e OEROs verbos terminados em -uir e -oer terão as 2ª e 3ª pessoas do singular do Presente do Indicativoescritas com -i-.Exemplos:• tu possuis• ele possui• tu constróis• ele constrói• tu móis• ele mói• tu róis• ele róiUAR e OAROs verbos terminados em -uar e -oar terão todas as pessoas do Presente do Subjuntivo escritas com -e-.Exemplos:• Que eu efetue• Que tu efetues• Que ele atenue• Que nós atenuemos• Que vós entoeis• Que eles entoemEXERCÍCIOSPara as perguntas de 01 a 17:Assinale a alternativa em que todos os vocábulos estejam grafados corretamente:01) X ou CH:a) xingar, xisto, enxaquecab) mochila, flexa, mexilhãoc) cachumba, mecha, enchurradad) encharcado, echertado, enxotado02) E ou I:a) femenino, sequer, periquitob) impecilho, mimeógrafo, digladiarc) intimorato, discrição privilégiod) penico, despêndio , selvícola03) S ou Z: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 39 center7@gmail.com
    • a) ananás, logaz, vorás, lilazb) maciez, altivez, pequenez, tezc) clareza, duqueza, princesa, rezd) guizo, granizo siso, rizo04) G ou J:a) sarjeta, argilab) pajem, monjec) tigela laged) gesto, geito05) SS, C, Ç:a) massiço, sucintob) à beça, craçoc) procissão, pretenciosod) assessoria, possessão06) O ou U:a) muela, bulir, taboadab) borbulhar, mágoa, regurgitarc) cortume, goela, tabuletad) entupir, tussir, polir07) S ou Z:a) rês, extaziarb) ourivez, cutizarc) bazar, aziad) induzir, tranzir08) X ou CH:a) michórdia, anchob) archote, faxadac) tocha, coxilod) xenofobia, chilique9) SS ou Ç: a) endosso, alvíssaras, grassar b) lassidão, palissada, massapê c) chalassa, escasso, massarico d) arruassa, obsessão, sossobrar10) X ou CH:a) chafariz, pixe pechab) xeque, salsixa, esquixoc) xuxu, puxar, coxixard) muxoxo, chispa, xangô11) G ou J:a) agiota, beringela, canjicab) jeito, algibeira, tigelac) estranjeiro, gorjeito, jibóiad) enjeitar, magestade, gíria CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 40 center7@gmail.com
    • 12) X ou CH:a) flexa, bexiga, enxarcarb) mexerico, bruxelear, chiliquec) faixa, xalé, chaminéd) charque, chachim, caximbo13) S ou Z:a) aridez, pesquizar, catalizarb) abalizado, escassez, clarezac) esperteza, hipnotisar, deslised) atroz, obuz, paralização14) G ou J:a) monje tijela lojista ultrajeb) anjinho, rijidez, angina jiac) herege, frege, pajé, jerimumd) rabujento, rigeza, goló, jesto15) Ortografia:a) ascensão, expontâneo, privilégiob) encher, enxame, froucho richac) berinjela, traje, vagem, aziad) cincoenta, catorze, aziago, asa16) S, SS, Ç, C, SC:a) assédio, discente, suscintob) oscilar, mesce, néscio, lascivoc) víscera, fascinar, discernird) ascenção, ressuscitar, suscitar17) S ou Z:a) atrazo, paralizar, reprezáliab) balisa, bazar, aprazível, frizoc) apoteoze, briza, gaze, grizd) espezinhar, cerzir, proeza, pazRespostas Sobre Ortografia:01. A 06. B 11. B 16. C02. C 07. C 12. B 17. D03. B 08. D 13. B04. A 09. A 14. C05. D 10. D 15. C PontuaçãoVírgula (,)Emprego da vírgula no período simples CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 41 center7@gmail.com
    • Quando se trata de separar termos de uma mesma oração, deve-se usar a vírgula nos seguintes casos:1. Para isolar adjuntos adverbiais deslocados:Ex. A maioria dos alunos, durante as férias, viajam.2. Para isolar os objetos pleonásticos:Ex. Os meus amigos, sempre os respeito.3. Para isolar o aposto explicativo:Ex. Londrina, a terceira cidade do Sul do Brasil, é aprazibilíssima.4. Para isolar o vocativo:Ex. Alberto! Traga minhas calças até aqui!5. para separar elementos coordenados:Ex. As crianças, os pais, os professores e os diretores irão ao convescote.6. Para indicar a elipse do verbo:Ex. Ela prefere filmes românticos; o namorado, de aventura. (o namorado prefere filmes de aventura)7. Para separar, nas datas, o lugar:Ex. Londrina, 20 de novembro de 1996.8. Para isolar conjunção coordenativa intercalada:Ex. Os candidatos, porém, não respeitaram a lei.9. Para isolar as expressões explicativas isto é, a saber, melhor dizendo, quer dizer...Ex. Irei para Águas de Santa Brárbara, melhor dizendo, Bárbara.Emprego da vírgula no período compostoPeríodo composto por coordenação: as orações coordenadas devem sempre ser separadas porvírgula.Ex. Todos gostamos de seus projetos, no entanto não há verbas para viabilizá-losNota: as orações coordenadas aditivas iniciadas pela conjunção e só terão vírgula, quando os sujeitosforem diferentes e quando o e aparecer repetido.Ex. Ela irá no primeiro avião, e seus filhos no próximo.Ele gritava, e pulava, e gesticulava como um louco.Período composto por subordinaçãoOrações subordinadas substantivas: não se separam por vírgula.Ex. É evidente que o culpado é o mordomo.Orações subordinadas adjetivas: só a explicativa é separada por vírgula.Ex. Londrina, que é a terceira cidade do Sul do Brasil, é aprazibilíssima.Orações subordinadas adverbiais: sempre se separam por vírgula.Ex. Assim que chegarem as encomendas, começaremos a trabalhar.Ponto-e-vírgula (;)O ponto-e-vírgula indica uma pausa um pouco mais longa que a vírgula e um pouco mais breveque o ponto.O emprego do ponto-e-vírgula depende muito do contexto em que ele aparece.Podem-se seguir as seguintes orientações para empregar o ponto-e-vírgula: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 42 center7@gmail.com
    • Para separar duas orações coordenadas que já contenham vírgulas:Ex. Estive a pensar, durante toda a noite, em Diana, minha antiga namorada; no entanto, desde o últimoverão, estamos sem nos ver.Para separar duas orações coordenadas, quando elas são longas:Ex. O diretor e a coordenadora já avisaram a todos os alunos que não serão permitidas brincadeirasdurante o intervalo nos corredores; porém alguns alunos ignoram essa ordem.Para separar enumeração após dois pontos:Ex. Os alunos devem respeitar as seguintes regras:- não fumar dentro do colégio;- não fazer algazarras na hora do intervalo;- respeitar os funcionários e os colegas;- trazer sempre o material escolar.Dois-pontos (:)Deve-se empregar esse sinal:Para iniciar uma enumeração:Ex. Compramos para a casa o seguinte: mesa, cadeiras, tapetes e sofás.Para introduzir a fala de uma personagem:Ex. Sempre que o professor Luís entra em sala-de-aula diz:__ Essa moleza vai acabar!Para esclarecer ou concluir algo que já foi dito:Ex. Essa moleza vai acabar!: essas são as palavras do professor Luís.Reticências ( ... )As reticências são empregadas:Para indicar uma certa indecisão, surpresa ou dúvida na fala da personagem:Ex. João Antônio! Diga-me... você... me traiu?Para indicar que, num diálogo, a fala de uma personagem foi interrompida pela fala da outra:Ex. __ Como todos já deram sua opinião...__ Um momento, presidente, ainda tenho um assunto a tratar.Para sugerir ao leitor que complete o raciocínio contido na frase:Ex. Durante o ano ficou claro que o aluno que não atingisse 150 pontos seria reprovado; você atingiu145, portanto...Para indicar, numa citação, que certos trechos do texto foram exclusos:Ex. "No momento em que a tia foi pagar a conta, Joana pegou o livro..." (Clarice Lispector)ExercíciosCódigo:01) palavra repetida02) termos antepostos (quando repetidos pleonasticamente)03) adjunto adverbial deslocado04) oração coordenada assindética CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 43 center7@gmail.com
    • 05) orações coord. sind. aditivas com sujeitos diferentes;06) oração interferente07) vocativo08) conjunção deslocada09) oração subordinada adjetiva explicativa10) zeugma11) aposto12) predicativo13) expressão explicativa, conclusiva, retificativa, enfática...14) termo coordenados15) data16) oração coordenada sindética17) polissíndeto18) oração subordinada adverbial deslocada19) idéias paralelas dos provérbios01) ( ) Possuía lavouras de trigo linho arroz e soja02) ( ) Roda meu carro que é curto o caminho03) ( ) Bem-vindo sejas aos campos do tabajaras senhores da aldeia04) ( ) O aluno enlouquecido queria decorar toda as regras05) ( ) Em suma o concurso foi fraco e as vagas poucas06) ( ) O coitadinho era feio feio...07) ( ) Vitória 10 de março de 199908) ( ) Ganhamos pouco; devemos portanto economizar09) ( ) O dinheiro nós o trazíamos preso ao corpo10) ( ) Amanhã de manhã o Presidente viajará para a Bósnia11) ( ) Ele fez o mar e o céu e a terra e tudo quanto há neles12) ( ) Casa de ferreiro espeto de pau13) ( ) A mocinha olhou sorriu e piscou os olhinhos e entrou14) ( ) A noite não acabava e a insônia a encompridou mais ainda15) ( ) O sinal estava fechado porém os carros não pararam16) ( ) Quanto mais se agitava mais preso à rede ficava17) ( ) A riqueza que é flor belíssima causa luto e tristeza18) ( ) Venham gritavam as crianças ver nossos brinquedos19) ( ) Uns diziam que se matou; outros que fora para Goiás20) Assinale a letra que corresponde ao único período de pontuação corretaa) Pouco depois, quando chegaram, outras pessoas a reunião ficou mais animada b)Pouco depois quando chagaram outras pessoas a reunião ficou mais animada c)Pouco depois, quando chegaram outras pessoa, a reunião ficou mais animada d)Pouco depois quando chegaram outras pessoas, a reunião ficou mais animada21) Idem ao anterior:a) Precisando de mim, procure-me; ou melhor, telefone, que eu venhob) Precisando de mim procure-me; ou melhor telefone, que eu venho c)Precisando de mim procure-me, ou, telefone, melhor que eu venhod) Precisando, de mim, telefone-me, ou melhor, procure-me que eu venho22) Assinale a pontuação errada:a) Falei com ele com tanta segurança, que nem discordou de mim.b) Porque falei com ela, para mim não há mais dúvidasc) Falei com ela que eu, estaria aqui cedo hoje se tudo corresse bemd) Falei ao chefe que, se o plano corresse bem, estaríamos salvos23) Dadas as sentenças:1. Quase todos os habitantes daquela região pantanosa e afastada da civilização morrem de malária2. Pedra, que rola, não cria limo3. Muitas pessoas observavam com interesse, o eclipse solar CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 44 center7@gmail.com
    • - Deduzimos que:a) apenas a nº 1 está corretab) apenas a nº 2 está corretac) apenas a nº 3 está corretad) todas estão corretasPara as questões de 24 a 36, assinale o único item correto em relação à pontuação:24) Correto:a) Não nego que, ao avistar, a cidade natal tive uma boa sensaçãob) Não nego, que ao avistar a cidade natal tive, uma boa sensaçãoc) Não nego; que ao avistar a cidade natal, tive uma boa sensaçãod) Todos estão incorretos25) Correto:a) Os rapazes continuaram a bradar e a rir, e, Rubião foi andando, com o mesmo coro atrás de si b)Os rapazes continuaram a bradar, e a rir, e Rubião foi andando, com o mesmo coro, atrás de si c)Os rapazes continuaram a bradar e a rir, e Rubião foi andando com o mesmo coro atrás de sid) Todos estão incorretos26) Correto:a) A dor suspendeu por um pouco, as tenazes; um sorriso alumiou o rosto da enferma, sobre o qual, amorte batia a asa eternab) A dor suspendeu por um pouco as tenazes; um sorriso alumiou o rosto da enferma, sobre o qual amorte batia a asa eternac) A dor suspendeu por um pouco, as tenazes, um sorriso alumiou o rosto da enferma; sobre o qual amorte batia a asa eternad) Todos estão corretos27) Correto:a) Longa, foi a agonia longa e cruel, de uma crueldade minuciosa, fria, repisada; que me encheu de dor eestupefação. Era a primeira vez, que eu via morrer alguémb) Longa foi a agonia, longa e cruel, de uma crueldade minuciosa; fria; repisada; que me encheu de dor eestupefação. Era a primeira vez que eu via morrer alguémc) Longa foi a agonia, longa e cruel, de uma crueldade minuciosa, fria, repisada, que me encheu de dor eestupefação. Era a primeira vez que eu via morrer alguémd) Todas estão incorretas28) Correto:a) Chegando à vila, tive a má notícia do coronel. Era homem insuportável, estúrdio, exigente, ninguém oaturava, nem os próprios amigosb) Chegando à vila tive más notícias do coronel,. Era homem insuportável, estúrdio, exigente, ninguém oaturava, nem os próprios amigosc) Chegando à vila, tive más notícias do coronel. Era homem insuportável; estúrdio; exigente; ninguém oaturava; nem os próprios amigosd) Todos estão corretos29) Assinale o item correto:a) Ouvimos passos no corredor, era D. Fortunata. Capitu compôs-se depressa; tão depressa que,quando a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e riab) Ouvimos passos no corredor; era D. Fortunata. Capitu, compôs-se depressa, tão depressa, que CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 45 center7@gmail.com
    • quando a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e riac) Ouvimos passos no corredor; era D. Fortunata. Capitu compôs-se depressa, tão depressa que: quando amãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e riad) Todos estão corretos.30) Assinale o item correto:a) Começou porém, um resumo. No fim de dez minutos, a comadre não entendia nada, tãodesconcertados eram os fatos e os conceitos; mais cinco minutos; entrou a sentir medob) Começou, porém, um resumo. No fim de dez minutos, a comadre não entendia nada, tãodesconcertados eram os fatos e os conceitos; mais cinco minutos, entrou a sentir medoc) Começou, porém, um resumo. No fim, de dez minutos, a comadre não entendia nada; tãodesconcertados eram os fatos e os conceitos, mais cinco minutos, entrou, a sentir medod) Todos estão incorretos31) Assinale o item correto:a) A cara, ficou séria porque a morte é séria,; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estavaassinada a abdicaçãob) A cara ficou séria: porque a morte é séria; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estavaassinada a abdicaçãoc) A cara ficou séria, porque a morte é séria; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estavaassinada a abdicaçãod) Todos estão corretos32) Assinale o item incorreto:a) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve, porém, no qual não sei se aprendeu ouensinou, ou se fez ambas as coisas, como eu.b) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve, porém, no qual não sei se aprendeu, ouensinou, ou se fez ambas as coisas como eu.c) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve porém, no qual não sei, se aprendeu ouensinou, ou se fez ambas as coisas como eu.d) Todos estão incorretos33) Assinale o item correto:a) A primeira idéia foi retirar-me logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente; e, na verdade,recebera carta dele, alguns dias antes, dizendo-me que se sentia mal.b) A primeira idéia foi retirar-me, logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente; e na verdade receberacarta dele, alguns dias antes, dizendo-me, que se sentia mal.c) A primeira idéia, foi retirar-me logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente, e, na verdade receberacarta dele, alguns dias antes, dizendo-me que se sentia mal.d) Todos estão incorretosPara as questões de 983 a 985, assinale o item correto em relação ao emprego dos sinais de pontuação.34) Correto:a) Um jornal, é lido por muita gente, em muitos lugares; o que ele diz precisa interessar, se não a todos,pelo menos a certo número de pessoas.b) Um jornal é lido por muita gente em muitos lugares, o que ele diz, precisa interessar se não a todospelo menos a certo número de pessoas.c) Um jornal é lido por muita gente, em muitos lugares; o que ele diz precisa interessar, se não a todos,pelo menos a certo número de pessoas.d) Todos estão incorretos35) Está correto: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 46 center7@gmail.com
    • a) Salta o primeiro espirro mais outro; outro mais, com a picada leve na garganta, e corre àfarmácia, para tomar a injeção antigripal; que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não podepararb) Salta o primeiro espirro, mais outro; outro mais, com a picada leve na garganta, e corre à farmáciapara tomar a injeção antigripal que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode pararc) Salta o primeiro espirro, mais outro; outro mais; com a picada leve na garganta e você corre à farmácia,para tomar a injeção antigripal, que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode parard) Todos estão incorretos36) Assinale o item correto:a) As mães ensinam que é feio escutar conversa dos outros; mas, com os coletivos entupidos de gente,somos forçados a isso; e acabamos nos interessando, pelo que não é de nossa contab) As mães ensinam, que é feio escutar conversa de outros; mas com os coletivos entupidos de gente,somos forçados a isso, e acabamos nos interessando pelo que não é de nossa contac) As mães ensinam que é feio escutar conversa de outros; mas, com os coletivos entupidos de gente,somos forçados a isso, e acabamos nos interessando pelo que não é de nossa contad) Todos estão corretos37) Em um dos períodos abaixo, há uma vírgula usada erradamente no lugar do ponto-e-vírgula.Assinale-o:a) Avançamos pela praia, que já não era como a outra. Os pés afundavam na arei fofa, canavial não sevia, só coqueirob) As crianças estavam alvoraçadas e correram para o jardim, o palhaço já tinha chegado e,alegremente, pusera-se a cantar.c) Às vezes, eu quero chamar sua atenção para esse problema, ele, porém, não permite que se toque noassuntod) Sempre fiel a seus princípios, o velho indígena recusou a ajuda dos missionários, convocou osguerreiros e decidiram partir dali.38) Assinale a alternativa em que a Segunda frase não corrige adequadamente a primeira:a) 1.A Volkswgen do Brasil está concedendo férias coletivas, de vinte dias a funcionários de suas fábricas.2. A Volkswgen do Brasil está concedendo férias coletivas de vinte dias a funcionários de suas fábricas. b)1. A Academia de Artes e Ciências Cinematográfica de Hollywood adiou para hoje à noite, a cerimônia deentrega dos prêmios Oscar2.A Academia de Artes e Ciências Cinematográfica de Hollywood, adiou para hoje à noite, a cerimônia deentrega dos prêmios Oscarc) 1. A entidade internacional promove a cada dois anos, um congresso2.A entidade internacional promove, a cada dois anos, um congresso d)1. Os soldados da Polícia Militar da Bahia, voltam hoje aos quartéis.2.Os soldados da Polícia Militar da Bahia voltam hoje aos quartéis39) Assinale a alternativa em que a Segunda alternativa esteja corretamente pontuada:a) 1. Samuel beija a mão da dama com uma elegância perfeita2. Com uma elegância perfeita, Samuel, beija a mão da dama.b) 1. Um verdadeiro tesouro foi encontrado no cofre de um banco em Paris.2. No cofre de um banco em Paris foi encontrado um verdadeiro tesouroc) 1. O Brasil conseguiu uma Segunda vitória nos bastidores do Mundial2. O Brasil conseguiu, nos bastidores do Mundial uma Segunda vitória d)1. Os estudantes explicaram o motivo do protesto durante a reunião.2. Durante a reunião, os estudantes explicaram o motivo do protestoRespostas Sobre Pontuação CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 47 center7@gmail.com
    • 01) (14) 09) (02) 17) (09) 25) C02) (07) 10) (03) 18) (06) 26) B03) (11) 11) (17) 19) (10) 27) C04) (12) 12) (19) 20) C 28) A05) (13) 13) (04) 21) A 29) A06) (01) 14) (05) 22) C 30) B07) (15) 15) (16) 23) A08) (08) 16) (18) 24) D31) B 34) C 37) C32) C 35) D 38) B33) A 36) C 39) D Concordância VerbalEstudar a concordância verbal é, basicamente, estudar o sujeito, pois é com este que o verboconcorda. Se o sujeito estiver no singular, o verbo também o estará; se o sujeito estiver no plural, omesmo acontece com o verbo. Então, para saber se o verbo deve ficar no singular ou no plural,deve-seprocurar o sujeito, perguntando ao verbo Que(m) é que pratica ou sofre a ação? ou Que(m) é quepossui a qualidade? A resposta indicará como o verbo deverá ficar.Por exemplo, a fraseAs instalações da empresa são precárias tem como sujeito As instalações da empresa, cujo núcleo é apalavra instalações, pois elas é que são precárias, e não a empresa; por isso o verbo fica noplural.Até aí tudo bem. O problema surge, quando o sujeito é uma expressão complexa, ou uma palavraquesuscite dúvidas.ColetivoQuando o sujeito for um substantivo coletivo, como, por exemplo, bando, multidão, matilha,arquipélago, trança, cacho, etc., ou uma palavra no singular que indique diversos elementos, como,por exemplo, maioria, minoria, pequena parte, grande parte, metade, porção, etc., poderão ocorrer trêscircunstâncias:A) O coletivo funciona como sujeito, sem acompanhamento de qualquer restritivo:Nesse caso, o verbo ficará no singular, concordando com o coletivo, que é singular.Ex.• A multidão invadiu o campo após o jogo.• O bando sobrevoou a cidade.• A maioria está contra as medidas do governo.B) O coletivo funciona como sujeito, acompanhado de restritivo no plural:Nesse caso, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 48 center7@gmail.com
    • Ex.• A multidão de torcedores invadiu / invadiram o campo após o jogo.• O bando de pássaros sobrevoou / sobrevoaram a cidade.• A maioria dos cidadãos está / estão contra as medidas do governo.C) O coletivo funciona como sujeito, sem acompanhamento de restritivo, e se encontradistante do verbo:Nesse caso, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural.Ex.• A multidão, após o jogo, invadiu / invadiram o campo.• O bando, ontem à noite, sobrevoou / sobrevoaram a cidade.• a maioria, hoje em dia, está / estão contra as medidas do governo.Um milhão, um bilhão, um trilhão:Com um milhão, um bilhão, um trilhão, o verbo deverá ficar no singular. Caso surja a conjunção e, overbo ficará no plural.Ex.• Um milhão de pessoas assistiu ao comício• Um milhão e cem mil pessoas assistiram ao comício.Mais de, menos de, cerca de...Quando o sujeito for iniciado por uma dessas expressões, o verbo concordará com o numeral quevierimediatamente à frente.Ex.• Mais de uma criança se machucou no brinquedo.• Menos de dez pessoas chegaram na hora marcada.• Cerca de duzentos mil reais foram surripiados.Quando Mais de um estiver indicando reciprocidade ou com a expressão repetida, o verbo ficará noplural.Ex.• Mais de uma pessoa agrediram-se.• Mais de um carro se entrechocaram.• Mais de um deputado se xingaram durante a sessão.Nomes próprios no pluralQuando houver um nome próprio usado apenas no plural, deve-se analisar o elemento a que ele serefere:A) Se for nome de obra, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural.Ex.• Os Lusíadas imortalizou / imortalizaram Camões.• Os Sertões marca / marcam uma época da Literatura Brasileira. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 49 center7@gmail.com
    • B) Se for nome de lugar - cidade, estado, país... - o verbo concordará com o artigo; caso não hajaartigo, o verbo ficará no singular.Ex.• Os Estados Unidos comandam o mundo.• Campinas fica em São Paulo.• Os Andes cortam a América do Sul.Obs.: Se o nome de lugar possuir artigo, mas este, por alguma razão, não for utilizado, aconcordânciacom o artigo permanecerá sendo a regra, ou seja, o verbo continuará concordando com o artigo.Ex.• EUA vencem o México na oitavas de final da Copa do Mundo.Qual de nós / Quais de nósQuando o sujeito contiver as expressões ...de nós, ...de vós ou ...de vocês, deve-se analisar oelemento que surgir antes dessas expressões:A) Se o elemento que surgir antes das expressões estiver no singular (qual, quem, cada um, alguém,algum...), o verbo deverá ficar no singular.Ex.• Quem de nós irá conseguir o intento?• Quem de vós trará o que pedi?• Cada um de vocês deve ser responsável por seu material.B) Se o elemento que surgir antes das expressões estiver no plural (quais, alguns, muitos...), overbotanto poderá ficar na terceira pessoa do plural, quanto concordar com o pronome nós ou vós.Ex.• Quantos de nós irão / iremos conseguir o intento?• Quais de vós trarão / trareis o que pedi?• Muitos de vocês não se responsabilizam por seu material.Sujeito sendo pronome relativoQuando o pronome relativo exercer a função de sujeito, deveremos analisar o seguinte:A) Pronome Relativo que:O verbo concordará com o elemento antecedente.Ex.• Fui eu que quebrei a vidraça. (Eu quebrei a vidraça)• Fomos nós que telefonamos a você. (Nós telefonamos a você)• Estes são os garotos que foram expulsos da escola. (Os garotos foram expulsos)B) Pronome Demonstrativo o, a, os, as + Pronome Relativo que:O verbo concordará com o pronome demonstrativo, ficando, então, na terceira pessoa do singular,ou naterceira pessoa do plural. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 50 center7@gmail.com
    • Ex.• Fui eu o que quebrou a vidraça. (O que quebrou a vidraça fui eu)• Foste tu a que me enganou. (A que me enganou foste tu)• Fomos nós os que telefonaram a você. (Os que telefonaram a você fomos nós)• Fostes vós os que me engaram. (Os que me engaram fostes vós)C) Pronome Relativo quem: O verbo ficará na terceira pessoa do singular.Ex.• Fui eu quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fui eu)• Foste tu quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foste tu)• Foi ele quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foi ele)• Fomos nós quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fomos nós)• Fostes vós quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fostes vós)• Foram eles quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foram eles)Um dos ... queQuando o sujeito for iniciado pela expressão Um dos que, deveremos analisar o seguinte:A) É certo que o elemento é o único a praticar a ação:O verbo ficará no singular. Por exemplo, a frase O Corinthians é um dos times paulistas que maisvezes foi campeão estadual tem o verbo no singular, pois é certo que, dos times de São Paulo, oCorinthians foi mais vezes campeão - 24 vezes.B) É certo que o elemento não é o único a praticar a ação:O verbo ficará no plural. Por exemplo, a frase Casagrande é um dos ex-jogadores de futebol quetrabalham como comentarista esportivo tem o verbo no plural, pois é certo que, além de Casagrande,há outros ex-jogadores de futebol, trabalhando como comentarista esportivo - Falcão, Júnior, Tostão,Rivelino...C) Não se sabe se o elemento é o único a praticar a ação ou não: O verbo tanto poderá ficar noplural, quanto no singular. Por exemplo, a frase São Paulo é uma das cidades que mais sofre /sofrem com a poluição é facultativo, pois não há como medir se São Paulo é a que mais sofre, ou se,além dela, há outras que sofrem tanto. Outra explicação também é a questão de se querer dar ênfaseaoelemento: se se quiser enfatizar o problema em São Paulo, coloca-se o verbo no singular.Nenhum dos ... QueQuando o sujeito for iniciado pela expressão Nenhum dos que, o primeiro verbo ficará no plural, e osegundo, no singular.Ex.• Nenhum dos alunos que me procuraram trouxe o material.• Nenhuma das pessoas que chegaram atrasadas tem justificativa.Porcentagem + SubstantivoQuando o sujeito for formado por porcentagem e substantivo, existirão três regras: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 51 center7@gmail.com
    • A) Porcentagem + Substantivo, sem modificador da porcentagem:Facultativamente o verbo poderá concordar com a porcentagem ou com o substantivo.Ex.• 1% da turma estuda muito.• 1% dos alunos estuda / estudam muito.• 10% da turma estuda / estudam muito.• 10% dos alunos estudam muito.B) Porcentagem + Substantivo, com modificador da porcentagem:O verbo concordará com o modificador, que pode ser pronome demonstrativo, pronomepossessivo,artigo...Ex.• Os 10% da turma estudam muito.• Este 1% dos alunos estuda mais.C) Mais de, menos de, cerca de, perto de, antes da porcentagem:O verbo concordará apenas com a porcentagem.Ex.• Mais de 1% dos alunos estuda muito.• Menos de 10% da turma estudam muito.Pronomes de TratamentoOs pronomes de tratamento são pronomes de terceira pessoa, portanto tudo que se referir a elesdeveráestar na terceira pessoa.Ex.• Vossa Senhoria deve trazer seus documentos consigo.• Vossa Excelência tem que se contentar com seus assessores.Silepse de PessoaTambém chamada de concordância ideológica, a silepse de pessoa é a concordância, não com apalavraescrita, mas sim com o que ela significa. Por exemplo, nós somos brasileiros, portanto, aoutilizarmosa palavra brasileiros, poderemos concordar o verbo com a idéia que essa palavra nos evoca - nós - edizer Os brasileiros estamos torcendo pelo sucesso do Presidente.Ex.• Os professores nos reciclamos anualmente. (Nós nos reciclamos)• Os alunos deveis estudar mais. (Vós deveis)Núcleos ligados pela conjunção "e"01) Verbo após os núcleos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 52 center7@gmail.com
    • Ficará no plural o verbo que estiver após o sujeito composto cujos núcleos sejam ligados pelaconjunção e:Ex.• O hotel e a cidade são maravilhosos.• Machado de Assis e Guimarães Rosa estão entre os melhores escritores do mundo.Obs.: Quando os núcleos forem sinônimos ou estiverem formando gradação, o verbo deverá ficar nosingular.Ex.• "A lisura e a sinceridade freqüenta pouco o Congresso Nacional." lisura = sinceridade.• "Cada rosto, cada voz, cada corpo lhe lembrava a amada."• "Um olhar, um arquejar de sobrancelhas, um aceno com a cabeça bastava para a paquera serbem sucedida."02) Verbo antes dos núcleos:Facultativamente ficará no plural ou concordará com o núcleo mais próximo o verbo que estiverantes dosujeito composto cujos núcleos sejam ligados pela conjunção e:Ex.• É maravilhoso o hotel e a cidade.• São maravilhosos o hotel e a cidade.• É maravilhosa a cidade e o hotel.Sujeito composto por pessoas diferentesSe o sujeito for formado por pessoas diferentes (eu, tu, ele, ela ou você), o verbo ficará no plural,concordando com a pessoa de número mais baixo na seqüência (1ª, 2ª ou 3ª).Não havendo a 1ª pessoa (eu ou ), e havendo a 2ª pessoa (tu ou vós), o verbo tanto poderá ficarna 2ªpessoa do plural, quanto na 3ª pessoa do plural.Continuam valendo as regras anteriores, ou seja, se o verbo vier depois do sujeito composto, ficará noplural; se vier antes, concordará com o mais próximo ou ficará no plural.Ex.• Teté e eu passamos as férias em Águas de Santa Bárbara.• Passei as férias em Águas de Santa Bárbara eu e Teté.• Passamos as férias em Águas de Santa Bárbara eu e Teté.• Tu e Walmor estais equivocados.• Tu e Walmor estão equivocados.• Estás equivocado tu e Walmor.• Estais equivocados tu e Walmor.• Estão equivocados tu e Walmor.Núcleos ligados pela conjunção ouQuando os núcleos do sujeito composto forem ligados pela conjunção ou, deve-se analisar se há ounãoexclusão, ou seja, analisar se um elemento, ao praticar a ação, impede que o outro também apratique. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 53 center7@gmail.com
    • 01) Havendo idéia de exclusão:Quando houver um elemento praticando a ação e, com isso, impedindo que o outro também apratique, overbo ficará no singular.Ex.• Dida ou Marcos será o goleiro titular da seleção.• O Presidente ou o Governador fará o discurso de abertura do Congresso.02) Não havendo idéia de exclusão:Quando não houver um elemento praticando a ação e, com isso, impedindo que o outro também apratique, o verbo ficará no plural.Ex.• Dida ou Marcos poderão ser convocados para a Copa de 2002.• O Presidente ou o Governador estarão presentes na abertura do Congresso.Núcleos ligados pela preposição "com"01) Verbo após os núcleos:Facultativamete ficará no plural ou concordará com o primeiro núcleo o verbo que estiver após osujeitocomposto cujos núcleos sejam ligados pela preposição com.Ex.• O gerente com os funcionários dará início à promoção de descontos.• O gerente com os funcionários darão início à promoção de descontos.02) Verbo antes dos núcleos:Concordará com o núcleo mais próximo o verbo que estiver antes do sujeito composto cujosnúcleossejam ligados pela preposição com.Ex.• Dará início à promoção de descontos o gerente com os funcionários.Aposto resumidor / conectivos correlatosO Aposto resumidor é normalmente representado por pronome indefinido (tudo, nada, ninguém,alguém, todos...) ou por pronome demonstrativo (isto, isso, aquilo...), resumindo o sujeitocomposto. O verbo, excepcionalmente, concordará com o aposto resumidor.Ex.• Brinquedos, roupas, jogos, nada tirava a angústia daquele jovem.• Amigos, parentes, companheiros de trabalho, ninguém se incomodou com sua ausência.Quando o sujeito composto tem os elementos ligados por conectivos correlatos: assim ... como, não só... mas também, tanto ... como, nem ... nem, o verbo ficará no plural. O singular é raro. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 54 center7@gmail.com
    • Ex.• Tanto o irmão como a esposa ignoraram seu pedido de ajuda.• Não só Pedro mas também Eduardo estão à sua procura.Um e outro / um ou outro / nem um nem outroUm e outroQuando o sujeito for a expressão um e outro, o substantivo correspondente a ela ficará nosingular, oadjetivo no plural e o verbo facultativamente no singular ou no plural.Ex.• Um e outro aluno indisciplinados será punido.• Um e outro aluno indisciplinados serão punidos.Um ou outroQuando o sujeito for a expressão um ou outro, o verbo ficará no singular.Ex.• Um ou outro esteve à sua procura.Nem um nem outroQuando o sujeito for a expressão nem um nem outro, o verbo ficará no singular,porém há gramáticos que o admitem no plural.Ex.• Nem um nem outro terá coragem de se revelar.• "Nem um nem outro compareceram."(Carlos Góis)Verbos Especiais01) O verbo Ser:A) Quando o verbo ser e o predicativo do sujeito forem numericamente diferentes (um no singular,outrono plural), o verbo deverá ficar no plural.Ex.• O vestibular são as esperanças dos estudantes.• Tudo são flores, quando se é criança.B) Se o sujeito representar uma pessoa ou se for pronome pessoal, o verbo concordará com ele.Ex.• Aline é as alegrias do namorado.• O Presidente é as esperanças do povo brasileiro.C) Se o sujeito for uma quantidade no plural, e o predicativo do sujeito, palavra ou expressão comomuito, pouco, o bastante, o suficiente, uma fortuna, uma miséria, o verbo ficará no singular.Ex. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 55 center7@gmail.com
    • • Cem reais é muito, por esse produto.• Duzentos gramas de carne é pouco.D) Na indicação de horas ou distâncias, o verbo concordará com o numeral.Ex.• Era meio-dia, quando ele chegou.• São duas horas.• É 1h58min.E) Na indicação de datas, o verbo poderá ficar no singular, concordando com a palavra dia, ou noplural, concordando com a palavra dias.Ex.• É 1º de outubro. = É dia 1º de outubro ou É o primeiro dia de outubro.• É 15 de setembro = É dia quinze de setembro.• São 15 de setembro = São quinze dias de setembro.02) O verbo Haver:O verbo haver é impessoal, no sentido de existir, de acontecer ou indicando tempo decorrido; porissofica na 3ª pessoa do singular - caso esteja acompanhado de um verbo auxiliar, formando umalocuçãoverbal, ambos ficarão no singular. Nos outros sentidos, concorda com o sujeito.Ex.• Havia um mês, nós estávamos à sua procura.• Poderá haver confrontos entre os policiais e os grevistas.• Os alunos haviam ficado revoltados.Haja vista:A) Com a prep. a: haver no singular; vista invariável;Ex.• Haja vista ao exemplo dado.• Haja vista aos exemplos dados.B) Sem a prep. a: haver no singular ou concorda com o substantivo; vista invariável.Ex.• Haja vista o exemplo dado.• Haja vista os exemplos dados.• Hajam vista os exemplos dados.03) O verbo Fazer: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 56 center7@gmail.com
    • O verbo fazer é impessoal, indicando tempo decorrido e fenômeno natural; por isso fica na 3ªpessoa dosingular - caso esteja acompanhado de um verbo auxiliar, formando uma locução verbal, ambosficarãono singular. Nos outros sentidos, concorda com o sujeito.Ex.• Faz três meses que não o vejo.• Faz 35º no verão, em Londrina.• Deve fazer cinco anos que ele morreu.04) Outros verbos impessoais:Os outros verbos impessoais, que também ficam na terceira pessoa do singular, são os seguintes:Fenômenos da natureza:• Chove há três dias sem parar.• Choveram pedras. Nesse caso, o verbo não é impessoal, pois o sujeito está claro.Passar de, indicando horas:• Já passa das 11h30.• Já passava das oito horas, quando ela chegou.Chegar de e bastar de, no imperativo:• Chega de firulas! Vamos ao assunto.• Basta de conversas, meninos!05) Os verbos Dar, Bater e Soar:Concordam com o sujeito, que pode ser:A) o relógio, a torre, o sino...Ex.• O relógio deu quatro horas.• O sino soou cinco horas.B) as horas.O numeral que marca as horas funcionará como sujeito, quando o relógio, a torre, o sinofuncionaremcomo adjunto adverbial de lugar - com a prep. em, ou quando eles não aparecerem na oração.Ex.• No relógio, deram quatro horas.• No sino, soaram cinco horas.• Bateram sete horas.06) O verbo Parecer + infinitivo: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 57 center7@gmail.com
    • Quando o verbo parecer surgir antes de outro verbo no infinitivo, duas ocorrências podemacontecer:A) Pode ocorrer a formação de uma locução verbal. Nesse caso, o verbo parecer concordará com osujeito, e o verbo no infinitivo ficará invariável.Ex.• As meninas parecem estar nervosas.• Os alunos parecem estudar deveras.B) Pode ocorrer a formação de um período composto, com o verbo parecer na oração principal,invariável, e o verbo no infinitivo, formando oração subordinada substantiva subjetiva reduzida deinfinitivo, concordando com o sujeito.Ex.• As meninas parece estarem nervosas.• Os alunos parece estudarem deveras.• Nesses dois casos, se desenvolvermos as orações, teremos:• Parece as meninas estarem nervosas. Proveio de Parece que as meninas estão nervosas.• Parece os alunos estudarem deveras. Proveio de Parece que os alunos estudam deveras.07) A Partícula Apassivadora:O verbo na voz passiva sintética, construída com o pronome se, concorda normalmente com osujeito. Amaneira mais fácil de se comprovar que a oração está na voz passiva sintética é passando-a para avozpassiva analítica: Alugam-se casas muda para Casas são alugadas. Sempre que for possível essatransformação, o se será chamado de Partícula Apassivadora. Para relembrar esse estudo cliqueaqui.Ex.• Entregam-se encomendas. = Encomendas são entregues por alguém.• Ouviram-se muitas histórias. = Muitas histórias foram ouvidas.• Sabe-se que ele não virá. = Que ele não virá é sabido.08) O Índice de Indeterminação do Sujeito:O pronome se, sendo índice de indeterminação do sujeito, deixa o verbo na terceira pessoa dosingular;haverá I.I.S. quando surgir na oração VI, sem sujeito claro; VTI, com OI; VL, com PS e VTD, comODPrep. Para relembrar esse estudo clique aqui.Ex.• Morre-se de fome no Brasil.• Assiste-se a filmes interessantes.• Aqui se está satisfeito.• Respeita-se a Robertoldo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 58 center7@gmail.com
    • ExercíciosPara as questões de 01 a 32 seque o código abaixo. Assinale com “C” as alternativas corretas ecom “I “ as incorretas:01) ( ) À autora e à leitora do romance só interessam a verdade02) ( ) Tu e teu colega devereis comparecer ao tribunal03) ( ) Juro que tu e tua mulher me pagam04) ( ) Não quero que fique contra ela o pai e os amigos05) ( ) Casarás com a prima e sereis felizes para sempre06) ( ) Aflição, dores, tristezas, nada o fazia abandonar a luta07) ( ) A tranqüilidade e a calma transmite segurança ao público.08) ( ) Um grito, um gemido, um sussurro acordava a pobre mãe.09) ( ) A viúva com o resto da família mudaram-se para Santiago10) ( ) A riqueza ou o poder o livrou do processo11) ( ) Alunos ou aluno farão a homenagem12) ( ) Ler e escrever provocam entusiasmo na juventude13) ( ) O jovem como o adulto têm os mesmos conflitos14) ( ) Um e outro vício nega os foros da natureza15) ( ) Mais de um atleta completaram o percurso da maratona16) ( ) Não serei eu um dos alunos que cruzaremos os braços17) ( ) O bando assaltou a joalheira e, depois, fugiram pelas ruas18) ( ) Um grande número de pessoas observavam os atores19) ( ) Os dez por cento da comissão desapareceu20) ( ) Quantos de nós será aprovado neste concurso?21) ( ) Os Lusíadas imortalizaram Camões22) ( ) Não mais viajaremos, haja visto os problemas23) ( ) Já não se fazem planos mirabolantes24) ( ) Fala-se de festas em que se assistem a filmes instrutivos25) ( ) A partir de agora, sou eu quem passa a transmitir o jogo26) ( ) Com certeza ainda faltam discutir todas as questões27) ( ) Faz muitos anos que não chovem flores em minha vida, mas houve casos de chovertomates.28) ( ) Tudo são apenas sonhos, pois o homem é suas cinzas29) ( ) São seis e meia da tarde e hoje é seis de março de 199930) ( ) Cem mil reais é menos do que preciso31) ( ) O herói és tu, embora a maioria sejam homens valorosos32) ( ) Mentiras era o que me pediam, sempre mentiras.Respostas sobre Concordância Verbal:01) I 19) I02) C 20) I03) C 21) C04) C 22) I05) C 23) C06) C 24) I07) C 25) C08) C 30) C09) C 31) C 32) C10) I11) I12) I13) C14) C15) I16) I17) C18) C CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 59 center7@gmail.com
    • Regência VerbalA regência estuda a relação existente entre os termos de uma oração ou entre as orações deumperíodo.A regência verbal estuda a relação de dependência que se estabelece entre os verbos e seuscomplementos. Na realidade o que estudamos na regência verbal é se o verbo é transitivodireto,transitivo indireto, transitivo direto e indireto ou intransitivo e qual a preposição relacionadacom ele.Verbos Transitivos DiretosSão verbos que indicam que o sujeito pratica a ação, sofrida por outro elemento, denominadoobjeto direto.Por essa razão, uma das maneiras mais fáceis de se analisar se um verbo é transitivo direto épassar a oração para a voz passiva, pois somente verbo transitivo direto admite taltransformação, além de obedecer, pagar e perdoar, que, mesmo não sendo VTD, admitem apassiva.O objeto direto pode ser representado por um substantivo ou palavra substantivada, umaoração (oração subordinada substantiva objetiva direta) ou por um pronome oblíquo.Os pronomes oblíquos átonos que funcionam como objeto direto são os seguintes: me, te, se, o, a,nos, vos, os, as.Os pronomes oblíquos tônicos que funcionam como objeto direto são os seguintes: mim, ti, si,ele, ela, nós, vós, eles, elas.Como são pronomes oblíquos tônicos, só são usados com preposição, por isso se classificamcomoobjeto direto preposicionado.Vamos à lista, então, dos mais importantes verbos transitivos diretos: Há verbos que surgirãoem mais de uma lista, pois têm mais de um significado e mais de uma regência.Aspirar será VTD, quando significar sorver, absorver.• Como é bom aspirar a brisa da tarde.Visar será VTD, quando significar mirar ou dar visto.• O atirador visou o alvo, mas errou o tiro.• O gerente visou o cheque do cliente.Agradar será VTD, quando significar acariciar ou contentar.• A garotinha ficou agradando o cachorrinho por horas.• Para agradar o pai, ficou em casa naquele dia.Querer será VTD, quando significar desejar, ter a intenção ou vontade de, tencionar.• Sempre quis seu bem.• Quero que me digam quem é o culpado.Chamar será VTD, quando significar convocar.• Chamei todos os sócios, para participarem da reunião.Implicar será VTD, quando significar fazer supor, dar a entender; produzir como conseqüência,acarretar.• Os precedentes daquele juiz implicam grande honestidade. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 60 center7@gmail.com
    • • Suas palavras implicam denúncia contra o deputado.Desfrutar e Usufruir são VTD sempre.• Desfrutei os bens deixados por meu pai.• Pagam o preço do progresso aqueles que menos o desfrutam. (e não desfrutam dele, como foi escrito no tema da redação da UEL em julho de 1996)Namorar é sempre VTD. Só se usa a preposição com, para iniciar Adjunto Adverbial deCompanhia.Esse verbo possui os significados de inspirar amor a, galantear, cortejar, apaixonar, seduzir,atrair, olhar com insistência e cobiça, cobiçar.• Joanilda namorava o filho do delegado.• O mendigo namorava a torta que estava sobre a mesa.• Eu estava namorando este cargo há anos.Compartilhar é sempre VTD.• Berenice compartilhou o meu sofrimento.Esquecer e Lembrar serão VTD, quando não forem pronominais, ou seja, caso não sejam usadoscom pronome, não serão usados também com preposição.• Esqueci que havíamos combinado sair.• Ela não lembrou o meu nome.Verbos Transitivos IndiretosSão verbos que se ligam ao complemento por meio de uma preposição. O complemento édenominado objeto indireto.O objeto indireto pode ser representado por um substantivo, ou palavra substantivada, umaoração(oração subordinada substantiva objetiva indireta) ou por um pronome oblíquo.Os pronomes oblíquos átonos que funcionam como objeto indireto são os seguintes: me, te, se,lhe,nos, vos, lhes.Os pronomes oblíquos tônicos que funcionam como objeto indireto são os seguintes: mim, ti, si,ele,ela, nós, vós, eles, elas.Vamos à lista, então, dos mais importantes verbos transitivos indiretos: Há verbos que surgirãoem maisde uma lista, pois têm mais de um significado e mais de uma regência.Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. aAspirar será VTI, com a prep. a, quando significar almejar, objetivar.• Aspiramos a uma vaga naquela universidade.Visar será VTI, com a prep. a, quando significar almejar, objetivar.• Sempre visei a uma vida melhor.Agradar será VTI, com a prep. a, quando significar ser agradável; satisfazer.• Para agradar ao pai, estudou com afinco o ano todo.Querer será VTI, com a prep. a, quando significar estimar. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 61 center7@gmail.com
    • • Quero aos meus amigos, como aos meus irmãos.Assistir será VTI, com a prep. a, quando significar ver ou ter direito.• Gosto de assistir aos jogos do Santos.• Assiste ao trabalhador o descanso semanal remunerado.Custar será VTI, com a prep. a, quando significar ser difícil. Nesse caso o verbo custar terácomo sujeitoaquilo que é difícil, nunca a pessoa, que será objeto indireto.• Custou-me acreditar em Hipocárpio. e não Eu custei a acreditar...Proceder será VTI, com a prep. a, quando significar dar início.• Os fiscais procederam à prova com atraso.Obedecer e desobedecer são sempre VTI, com a prep. a.• Obedeço a todas as regras da empresa.Revidar é sempre VTI, com a prep. a.• Ele revidou ao ataque instintivamente.Responder será VTI, com a prep. a, quando possuir apenas um complemento.• Respondi ao bilhete imediatamente.• Respondeu ao professor com desdém.Caso tenha dois complementos, será VTDI, com a prep. a.Alguns verbos transitivos indiretos, com a prep. a, não admitem a utilização do complementolhe. No lugar, deveremos colocar a ele, a ela, a eles, a elas. Dentre eles, destacam-se osseguintes:Aspirar, visar, assistir(ver), aludir, referir-se, anuir.Quando houver, na oração, um verbo transitivo indireto, com a prep. a, seguido de umsubstantivofeminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve sercaracterizado pelo acento grave (à ou às).• Assisti à peça das meninas do terceiro colegial.Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. comSimpatizar e Antipatizar sempre são VTI, com a prep. com. Não são verbos pronominais,portanto nãoexiste o verbo simpatizar-se, nem antipatizar-se.• Sempre simpatizei com Eleodora, mas antipatizo com o irmão dela.Implicar será VTI, com a prep. com, quando significar antipatizar.• Não sei por que o professor implica comigo.Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. deEsquecer-se e lembrar-se serão VTI, com a prep. de, quando forem pronominais, ou seja,somentequando forem usados com pronome, poderão ser usados com a prep. de.• Esqueci-me de que havíamos combinado sair.• Ela não se lembrou do meu nome. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 62 center7@gmail.com
    • Proceder será VTI, com a prep. de, quando significar derivar-se, originar-se.• Esse mau-humor de Pedro procede da educação que recebeu.Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. emConsistir é sempre VTI, com a prep. em. Esse verbo significa cifrar-se, resumir-se ou estarfirmado, ter por base, ser constituído por.• O plano consiste em criar uma secretaria especial.Sobressair é sempre VTI, com a prep. em. Não é verbo pronominal, portanto não existe o verbosobressair-se.• Quando estava no colegial, sobressaía em todas as matérias.Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. porTorcer é VTI, com a prep. por. Pode ser também verbo intransitivo. Somente neste caso, usa-secom a prep. para, que dará início a Oração Subordinada Adverbial de Finalidade. Para ficar maisfácil, memorize assim: Torcer por + substantivo ou pronome. Torcer para + oração (com verbo).• Estamos torcendo por você.• Estamos torcendo para você conseguir seu intento.Chamar será VTI, com a prep. por, quando significar invocar.• Chamei por você insistentemente, mas não me ouviu.Verbos Transitivos Diretos e IndiretosSão os verbos que possuem os dois complementos - objeto direto e objeto indireto.Chamar será VTDI, com a prep. a, quando significar repreender.• Chamei o menino à atenção, pois estava conversando durante a aula.• Chamei-o à atenção.Obs.: A expressão Chamar a atenção de alguém não significa repreender, e sim fazer senotado. Por exemplo: O cartaz chamava a atenção de todos que por ali passavam. Implicarserá VTDI, com a prep. em, quando significar envolver alguém.• Implicaram o advogado em negócios ilícitos.Custar será VTDI, com a prep. a, quando significar causar trabalho, transtorno.• Sua irresponsabilidade custou sofrimento a toda a família.Agradecer, Pagar e Perdoar são VTDI, com a prep. a. O objeto direto sempre será a coisa, e oobjeto indireto, a pessoa.• Agradeci a ela o convite.• Paguei a conta ao Banco.• Perdôo os erros ao amigo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 63 center7@gmail.com
    • Pedir é VTDI, com a prep. a. Sempre deve ser construído com a expressão Quem pede, pedealgo a alguém. Portanto é errado dizer Pedir para que alguém faça algo.• Pedimos a todos que tragam os livros.Preferir é sempre VTDI, com a prep. a. Com esse verbo, não se deve usar mais, muito mais, milvezes, nem que ou do que.• Prefiro estar só a ficar mal-acompanhado.Avisar, advertir, certificar, cientificar, comunicar, informar, lembrar, noticiar, notificar,prevenir são VTDI, admitindo duas construções: Quem informa, informa algo a alguém ou Queminforma, informa alguém de algo.• Advertimos aos usuários que não nos responsabilizamos por furtos ou roubos.• Advertimos os usuários de que não nos responsabilizamos por furtos ou roubos.Quando houver, na oração, um verbo transitivo direto e indireto, com a prep. a, seguido de umsubstantivo feminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve sercaracterizado pelo acento grave (à ou às).Advertimos às alunas que não poderiam usar a sala fora do horário de aula.Verbos IntransitivosSão os verbos que não necessitam de complementação. Sozinhos, indicam a ação ou o fato.Assistir será intransitivo, quando significar morar.• Assisto em Londrina desde que nasci.Custar será intransitivo, quando significar ter preço.• Estes sapatos custaram R$50,00.Proceder será intransitivo, quando significar ter fundamento.• Suas palavras não procedem!Morar, residir e situar-se sempre são intransitivos.• Moro em Londrina; resido no Jardim Petrópolis; minha casa situa-se na rua Cassiano Ricardo.Deitar-se e levantar-se são sempre intransitivos.• Deito-me às 22h e levanto-me às 6h.Ir, vir, voltar, chegar, cair, comparecer e dirigir-se são intransitivos. Aparentemente eles têmcomplemento, pois Quem vai, vai a algum lugar. Porém a indicação de lugar é circunstância, enão complementação. Classificamos como Adjunto Adverbial de Lugar. Alguns gramáticosclassificam como Complemento Circunstancial de Lugar.Esses verbos exigem a prep. a, na indicação de destino, e de, na indicação de procedência.Só se usa a prep. em, na indicação de meio, instrumento.• Cheguei de Curitiba há meia hora.• Vou a São Paulo no avião das 8h.Quando houver, na oração, um verbo intransitivo, com a prep. a, seguido de um substantivofeminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve sercaracterizado pelo acento grave (à ou às). • Vou à Bahia. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 64 center7@gmail.com
    • Verbos de regência oscilanteVTD ou VTI, com a prep. aAssistir pode ser VTD ou VTI, com a prep. a, quando significar ajudar, prestar assistência.• Minha família sempre assistiu o Lar dos Velhinhos.• Minha família sempre assistiu ao Lar dos Velhinhos.Chamar pode ser VTD ou VTI, com a prep. a, quando significar dar qualidade. A qualidade podevir precedida da prep. de, ou não.• Chamaram-no irresponsável.• Chamaram-no de irresponsável.• Chamaram-lhe irresponsável.• Chamaram-lhe de irresponsável.Atender pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.• Atenderam o meu pedido prontamente.• Atenderam ao meu pedido prontamente.Anteceder pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.• A velhice antecede a morte.• A velhice antecede à morte.Presidir pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.• Presidir o país.• Presidir ao país.Renunciar pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.• Nunca renuncie seus sonhos.• Nunca renuncie a seus sonhos.Satisfazer pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.• Não satisfaça todos os seus desejos.• Não satisfaça a todos os seus desejos.VTD ou VTI, com a prep. dePrecisar e necessitar podem ser VTD ou VTI, com a prep. de.• Precisamos pessoas honestas.• Precisamos de pessoas honestas.Abdicar pode ser VTD ou VTI, com a prep. de, e também VI.• O Imperador abdicou o trono.• O Imperador abdicou do trono.• O Imperador abdicou.Gozar pode ser VTD ou VTI, com a prep. de.• Ele não goza sua melhor forma física.• Ele não goza de sua melhor forma física.VTD ou VTI, com a prep. emAcreditar e crer podem ser VTD ou VTI, com a prep. em.• Nunca cri pessoas que falam muito de si próprias.• Nunca cri em pessoas que falam muito de si próprias. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 65 center7@gmail.com
    • Atentar pode ser VTD ou VTI, com a prep. em, ou com as prep. para e por.• Em suas redações atente a ortografia.• Deram-se bem os que atentaram nisso.• Não atentes para os elementos supérfluos.• Atente por si, enquanto é tempo.Cogitar pode ser VTD ou VTI, com a prep. em, ou com a prep. de.• Começou a cogitar uma viagem pelo litoral brasileiro.• Hei de cogitar no caso.• O diretor cogitou de demitir-se.Consentir pode se VTD ou VTI, com a prep. em.• Como o pai desse garoto consente tantos agravos?• Consentimos em que saíssem mais cedo.VTD ou VTI, com a prep. porAnsiar pode ser VTD ou VTI, com a prep. por.• Ansiamos dias melhores.• Ansiamos por dias melhores.Almejar pode ser VTD ou VTI, com a prep. por, ou VTDI, com a prep. a.• Almejamos dias melhores.• Almejamos por dias melhores.• Almejamos dias melhores ao nosso país.VI ou VTI, com a prep. aFaltar, Bastar e Restar podem ser VI ou VTI, com a prep. a.• Muitos alunos faltaram hoje.• Três homens faltaram ao trabalho hoje.• Resta aos vestibulandos estudar bastante.Na última frase apresentada não há erro algum, como à primeira vista possa parecer. Atendência é de oaluno concordar o verbo estudar com a palavra vestibulando, construindo a oração assim:Resta osvestibulandos estudarem.Porém essa construção está totalmente errada, pois o verbo é transitivo indireto, portanto resta aalguém. Então vestibulandos funciona como objeto indireto e não como sujeito. Nenhum verboconcorda com o objeto indireto.Quando houver, na oração, um verbo transitivo indireto, com a prep. a, seguido de umsubstantivofeminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve sercaracterizado peloacento grave (à ou às).Assisti à peça das meninas do terceiro colegial.VI ou VTDPisar pode ser VI ou VTD. Quando for VI, admitirá a prep. em, iniciando Adjunto Adverbial deLugar.• Pisei a grama para poder entrar em casa.• Não pise no tapete, menino! CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 66 center7@gmail.com
    • Exercícios Sobre Regências Verbal e NominalPara o exercícios de 01 a 19, marcará com “C” as alternativas corretas e com “I “ as incorretas:01) ( ) A greve geral não agradou os diretores.02) ( ) Você aspirava ao cargo? Sim, aspirava-lhe.03) ( ) O residente assiste o cirurgião na operação04) ( ) Não atenderam seu pedido por falta de amparo legal05) ( ) Quero-a para esposa e companheira06) ( ) Vamos proceder uma investigação minuciosa07) ( ) Devemos visar, acima de tudo ao bem da família08) ( ) Às vezes, chamavam- o tolo e arrogante09) ( ) O pai custava sentir a revolta do filho10) ( ) Já respondi todos os cartões11) ( ) Supressão da liberdade implica, não raro, em violência12) ( ) Lembrei-me que era tarde e corri13) ( ) Avisei-o que os fiscais chegaram14) ( ) Obedecia-lhe porque o respeitava15) ( ) Aos amigos, perdoa-lhes todas as ofensas16) ( ) Os guias ainda não foram pagos17) ( ) À vida prefere a honra18) ( ) Afinal, simpatizei-me com a proposta...19) ( ) Lemos e gostamos muito de seus poemasPara as questões de 20 a 22, assinale a alternativa, preenchendo as lacunas corretamente:20) Obedeça- ___, estime-___ e ___ sempre que precisara) os – os- recorra a elesb) lhes – os – recorra a elesc) os – lhes – recorra-lhes d)lhes – lhes – recorra-lhes21) Os encargos ______nos obrigaram são aqueles _____o diretor se referiua) de que, queb) a que, a quec) a cujos, cujod) de que, de que22) Alguns demonstram verdadeira aversão _______ exames, porque nunca se empenharam osuficiente _____ utilização do tempo ______ dispunham para o estudoa) por, com, queb) a, na, quec) a, na, de qued) com, na, que23) Assinale a incorreta:a) O trabalho ansiava o rapaz b)O rapaz ansiava por trabalho c)Você anseia uma vagad) Aquele espetáculo ansiava-o CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 67 center7@gmail.com
    • 24) Ansiava ____ encontrá-lo, a fim de ____ pelo sucesso:a) por, cumprimentá-lob) por cumprimentar-lhec) em, cumprimentar-lhed) para cumprimentar-lhe25) Assinale a substituição errada:a) Aspiro o pó – Aspiro-ob) Aspiro ao sucesso – Aspiro-lhe c)Aspiro ao sucesso – Aspiro a ele d)Aspiramos o ar – Aspiramo-lo26) Assinale a substituição incorreta:a) O médico assiste o doente – O médico assiste-ob) O médico assiste ao doente – O médico assiste-lhec) O doente assiste ao programa – O doente assiste-lhe d)O doente assiste ao programa – O doente assiste a ele27) Assinale a opção em que o verbo ASSISTIR é empregado com o mesmo sentido queapresenta em :“Não direi que assisti às alvoradas do Romantismo”:a) Não se pode assistir indiferente a um ato de injustiçab) Não assiste a você o direito de me julgarc) É dever do médico assistir a todos os enfermosd) Em sua administração, sempre foi assistido por bons conselheiros28) Leia os períodos e selecione, depois, a opção correta:1. O povo assistiu ao jogo? Sim, o povo assistiu a ele2. O professor aspirava o cargo de diretor da escola3. A enfermeira não assistiu o jogo porque assistia a um doente4. Os que vestem roupas delicadas e finas são os que assistem nos palácios dos reisa) Apenas os períodos 1 e 4 são corretosb) Todos estão corretosc) Apenas os períodos 2 e 3 são corretosd) Apenas o 1º período é correto29) Assinale a correta:a) Custa-me descobrir qual a corretab) Custei a resolver os problemasc) Custei rever a matériad) Custou-me para explicar a ele CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 68 center7@gmail.com
    • 30) Assinale a incorreta:a) Esqueceu-me a carteirab) Eu me esqueci da carteirac) Eu esqueci da carteirad) Esqueceu-se a carteira31) A menina ______olhos eu não esqueço, não me sai do pensamento:a) de cujos osb) cujosc) cujos osd) de cujos32) Correlacione as orações:1. Era uma grande data...2. Leu o livro...3. Ouviu o tiro...( ) cujas páginas o encantaram( ) de que nunca me esqueço( ) sobre cujas páginas dormiu( ) que nunca esqueço( ) a que escapoua) 2-1-2-1-3b) 3-1-2-1-2c) 2-1-2-2-3d) 1-1-2-1-333) Preencha as lacunas:1. A posição ____ visamos é nobre2. Foram muitos os documentos _____visamos3. Ninguém pode prescindir ______ ajuda de outrem4. Sempre quis muito ____- seus filhos e estes também _____ querem muito5.Seus modos nos se coadunam _____ os princípios de boa educaçãoA seqüência correta será:a) que – a que – da – a – o - sobb) a que – que – da – a – lhe - comc) que – que – a - os – lhe - comd) por que - de que - a - os – o - contra34) Considere os períodos abaixo:1. Fabiano preferiu ficar escondido do que renunciar à sua liberdade2. Custou-lhe muito falar com Sinhá Vitória a respeito dos meninos3. Agora os meninos tinham obrigação de obedecê-los4. Sempre se lembraria que a seca a tudo esturricava5. Jamais lhe perdoaria as humilhações recebidasa) Corretos 1 e 4b) Corretos 2 e 5 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 69 center7@gmail.com
    • c) Corretos 2 e 3d) Corretos 1 e 235) Assinale a incorreta:a) Prefiro ficar aqui do que sairb) Eles aspiram o ar puro do marc) Estas calças lhe servem bemd) Todos querem bem a seus pais36) Onde há erro de regência?a) Esqueceram-lhe os compromissosb) Nós lhe lembramos o compromissoc) Eu esqueci dos compromissosd) Não me lembram tais palavras37) Que homem você viu? Este é o homem que eu vi.1. Este é o menino ______ eu chamei2. Este é o menino ______ eu vim3. Este é o menino ______ eu assisti4. Este é o menino ______ eu me esqueci5. Este é o menino ______ eu esquecia) quem, com que, a que, de que, queb) que, com que, que, quem de, quec) que, com quem, a quem, de quem, qued) que, que, a que, que, de que38) Indique a frase correta:a) Cheguei tarde a casa ontemb) Resido à rua da Independênciac) Viso uma vida e um emprego melhord) Trouxe o livro que você se refere39) Assinale a frase correta:a) Devo interromper-lhe para fazer-lhe algumas perguntasb) Não posso atendê-lo agora, mas agradeço-lhe a visita c)Autorizei-lhe a sair agora mesmod) Se nossa conversa não lhe atrapalha, sua irritação é porque lhe impediram de entrar na sala40) Assinale a frase incorreta:a) Abraçou os amigos com carinhob) Deus assiste os infelizesc) Chamam ao diabo de cãod) Esta é a primeira vez que o desobedeço, pois sempre lhe quis bem41) Assinale a alternativa com erro, se houver:a) Sabemos que o impediram de entrar na sala, mas informo-lhe que sua inscrição foi aceita b)Só não o chamaram de santo e ainda lhe dizem que o amamc) Avise o aluno de que a prova versará sobre todo o conteúdod) Todas estão corretas CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 70 center7@gmail.com
    • 42) Incorreta:a) Informei-o de nossos planosb) Informei-lhe nossos planosc) Informei-lhe de nossos planosd) Todas estão corretas43) Incorreta:a) Incumbiram-lhe das comprasb) Cientifiquei os candidatos das deliberações tomadac) Não vou comparecer à reunião de hojed) Todas estão corretas44) Incorreta:a) O fiscal mora na Rua Santos Paivab) Jamais perdoou aos que fugiramc) Sua falta implica rescisão de contratod) Todas estão corretas45) Incorreta:a) Ela presidiu aos exames finaisb) A secretária acedeu o convitec) Queremos muito aos nossos mestresd) Todas estão corretas46) Incorreta:a) Devemos, acima de tudo, visar ao bem do próximob) Não respondi, ainda, ao telegramac) Não lhe assiste tal direitod) Todas estão corretas47) Incorreta:a) É dela a casa em que sempre voub) O resultado a que se chegou foi surpreendentec) Esta é a chave com que abrirei o cofred) Todas estão corretas48) Incorreta:a) Abraçou-ob) Encontrou-od) Obedeço-od) Respeito-o49) Assinale a alternativa com erro de regência:a) Alguns políticos têm hábitos com que não simpatizamosb) Analise o fato a que o povo se insurgiuc) Este é o líder por cuja causa lutaste?d) Um novo Plano Econômico implicará reações imprevisíveis CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 71 center7@gmail.com
    • Respostas Sobre Regências Verbal e Nominal:01) I 26) B02) I 27) C03) C 28) A04) C 29) A05) C 30) A06) I 31) C07) C 32) B08) I 33) A09) I 34) B10) I 35) B11) I 36) A12) I 37) C 38) C13) I 39) A14) I 40) B15) C 41) D16) C 42) D17) C 43) C18) C 44) A19) I 45) D20) I 46) B21) B 47) D22) B 48) A23) C 49) C24) C 50)25) A CRASEA palavra crase provém do grego (krâsis) e significa mistura. Na língua portuguesa, crase é a fusão de duasvogais idênticas, mas essa denominação visa a especificar principalment e a contração ou fusão da preposiçãoa com os artigos definidos femininos (a, as) ou com os pronomes demonstrativos a, as, aquele, aquela, aquilo,aquiloutro, aqueloutro .Para saber se ocorre ou não a crase, basta seguir três regras básicas:01) Só ocorre crase diante de palavras femi ni nas, portanto nunca use o acento grave indicativo de crasediante de palavras que não sejam femininas.Ex.O sol estava a pino. Sem crase, pois pino não é palavr a feminina.Ela recorreu a mim. Sem crase, pois mim não é palavra feminina.Estou disposto a ajudar você. Sem crase, pois ajudar não é palavr a feminina.02) Se a preposição a vier de um verbo que indica destino (ir, vir, voltar, chegar, cair, comparecer,dirigir-se...), troque este verbo por outro que indique procedência (vir, voltar, chegar...); se, diante doque indicar procedência, surgir da, diante do que indicar destino, ocorrerá crase; caso contrário, nãoocorrerá crase.Ex. Vou a Porto Alegre. Sem crase, pois Venho de Porto Alegre.Vou à Bahia. Com crase, pois Venho da Bahia.Obs.: Não se esqueç a do que foi estudado em Artigo.03) Se não houver verbo indicando movim ento, troca-se a palavr a femini na por outra masculi na; se,diante da masculina, surgir ao, diante da feminina, ocorrerá crase; caso contrário, não ocorrerá crase. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 72 center7@gmail.com
    • Ex.Assisti à peça. Com cras e, pois Assisti ao filme.Paguei à cabeleireira. Com crase, pois Paguei ao c abeleireiro.Respeito as regras. Sem crase, pois Respeito os regulament os.Casos especiais01) Diante das palavras moda e maneira, das expressões adverbiais à moda de e à maneira de, mesmoque as palavras moda e maneira fiquem subentendidas, ocorre crase.Ex. Fizemos um churrasco à gaúcha.Comemos bife à milanesa, frango à passarinho e espaguete à bolonhesa.Joãozinho usa cabelos à Príncipe Valente.02) Nos adjuntos adverbiais de modo, de lugar e de tempo femininos, ocorre crase.Ex. à tarde, à noite, às pressas, às escondidas, às escuras, às tontas, à direita, à esquerda, à vontade, àrevelia ...03) Nas locuções prepositivas e conjuntivas femininas ocorre cras e.Ex. à maneira de, à moda de, às custas de, à procura de, à espera de, à medi da que, à proporção que...04) Diante da palavra distância, só ocorrerá crase, se houver a formação de locução pr epositiva, ou seja, senão houver a preposição de, não ocorrerá crase.Ex. Reconheci-o a distância.Reconheci-o à distância de duzentos metros.05) Diante do pronome relativo que ou da preposição de, quando for fusão da preposição a com opronome demonstrativo a, as (= aquela, aquel as).Ex. Essa roupa é igual à que comprei ontem.Sua voz é igual à de um primo meu.06) Diante dos pronomes relativos a qual, as quais, quando o verbo da oração subordinada adjetivaexi gir a preposição a, ocorre crase.Ex. A cena à qual assisti foi chocante. (quem assiste assiste a algo)07) Quando o a estiver no singular, diante de uma palavra no plural, não ocorre crase.Ex. Referi-me a todas as alunas, sem exceção.Não gosto de ir a festas desacompanhado.08) Nos adjuntos adverbiais de meio ou instrumento, a não ser que cause ambigüidade.Ex. Preencheu o formulário a caneta.Paguei a vista minhas compras.Nota: Modernamente, alguns gramáticos estão admitindo crase diante de adjuntos adverbias de meio,mesmo não ocorrendo ambigüidade.09) Diante de pronomes possessivos femininos, é facultativo o uso do artigo, então, quando houver apreposição a, será facultativa a ocorrência de crase.Ex. Referi-me a sua professor a.Referi-me à sua professor a.10) Após a preposição até, é facultativo o uso da preposição a, portanto, caso haja substantivo feminino àfrente, a ocorrência de crase ser á facultativa.Ex. Fui até a secretaria.Fui até à secretaria.11) A palavr a CASA:A palavra casa só terá arti go, se estiver especificada, portanto só ocorrerá crase diante da palavra casanesse caso.Ex. Cheguei a casa antes de todos. Chegueià casa de Ronal do antes de todos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 73 center7@gmail.com
    • 12) A palavr a TERRA:Significando planeta, é substanti vo próprio e tem artigo, conseqüentemente, quando houver a preposição a,ocorrerá a crase; significando chão firme, solo, só tem artigo, quando estiver especificada, portanto só ness ecaso poderá ocorrer a crase.Ex. Os astronautas voltaram à Terra.Os marinheiros voltaram a terra.Irei à terra de meus avós.ExercíciosPara as questões de 01 a 34, assinale com ”C” as frases corretas e com “I “as Incorretas:01) ( ) A assistência às aulas é indispensável02) ( ) É expressamente proibida a entrada de pessoas estranhas03) ( ) Nunc a te dirijas à pessoas despreparadas04) ( ) Não vai a festa nem a i greja: não vai a parte alguma05) ( ) Usarias um bigode à Salvador Dali?06) ( ) Notícias ruins vêm à jato, as boas à cavalo07) ( ) Esta novel a nem se compara a que assistimos08) ( ) Não me referi a essas caixas, mas as que estão na sala09) ( ) Florianópolis possui muitas praias, as quais visitaremos10) ( ) Prefiro esta matéria a aquela que estudávamos11) ( ) Obedec erei àquilo que for determinado em lei12) ( ) O deputado foi a Grécia comprar vinho13) ( ) O professor foi a Taguatinga comprar pinga14) ( ) Vocês, caros alunos, ainda visitarão a Europa15) ( ) Gostaria de ir a Curitiba dos pinheirais16) ( ) Chegou a casa e logo se jogou na cama17) ( ) Jamais voltou à casa paterna18) ( ) Irei a cada de meus pais19) ( ) Os turistas foram à terra comprar flores20) ( ) Os marujos desconheciam à terra do capitão21) ( ) Acabarão chegando à terra dos piratas22) ( ) Ser á que aqueles astronautas voltarão a Terra?23) ( ) A polícia observava os manifestantes a distância24) ( ) Via-se, a distância de cem metros, uma pequena rocha25) ( ) Diga a Adriana que a estamos esperando26) ( ) Avisa a Adriana, minha filha, que amanhã teremos prova27) ( ) O diretor fez al usões a sua classe e não a minh a28) ( ) O cônsul enviou vária cartas as suas filhas29) ( ) O conselheiro jamais perdoou a Dona Margarida30) ( ) Esta alameda frondosa vai até à chác ara de meu pai31) ( ) Os meninos cheiravam a cola32) ( ) Eles viviam à toa, mas sempre à procura de dinheiro33) ( ) Enriqueciam a medida que os vizinhos se empobreciam34) ( ) Estamos esper ando desde às oito horas da manhã35) Nas manchetes a seguir, assinale a alternativa em que não ocorre crase:a) Cárter acusa Israel de criar obstáculos a pazb) Presidente sírio pede a ajuda do P arlamento par vencer a corrupçãoc) Itália pede a Alemanha extradição de nazistasd) Poç o na bacia de Campos leva P etrobrás a maior jazi da j á descoberta CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 74 center7@gmail.com
    • 36) Assinale a alternativa com erro:a) Voc ê já esteve em Roma? Eu irei logo a Romab) Refiro-me à Roma antiga, na qual viveu Césarc) Fui a Lisboa de meus avós, pois lá todas as coisas têm gosto da minha infânciad) Já não agrada ir a Brasília. A gasoli na está muito cara37) Marque a alternativa em que a crase é facultativa:a) Contei o caso à Mariab) Paguei o que devia à dona da lojac) Saiu às quinze horasd) Por desobedecer às regras do jogo, fui expulso38) A crase está errada na alternativa:a) Fiz alusão à Roma antigab) Fazes referências à criaturas estranhasc) Saíram às pressasd) Obedecendo à ordem geral, compareceu ao desfile39) Não ocorre crase:a) Pediu desculpas a S. Exªb) Assistiremos a missac) não o levaremos aqueles sombrios lugaresd) Lá estar emos as dezessete horas40) ____noite, todos os operários voltaram ____ fábrica e só deixaram o serviço _____ uma hora damanhã:a) Há – à - àb) A – a - ac) À – à - àd) À – a - há41) Assinale a alternativa em que a lacuna da primeira frase deve ser preenchida com a e a da Segundacom à:a) I. Regresso ___ casa paterna tal qual filhoI. As moças não gostam de andar ___ cavalo. pródigoII. Ele percorreu o Brasil de ponta ___ ponta b) II. Quem tem boc a vai ___ RomaI. Essa é a tua canet a, eu me refiro ____ minha d)II. Ele quer as coisa ___ ferro e fogo I. Apresento minhas desculpas ___ Vossac) Excelência II O menino voltou ___ escola com novo ânimo42) Preencha corretam ente as lacunas:1. Apesar da insistência, não compareci ___ 4. Aludiu ___ outras obras do autorjantar a) aquele – à – a - à2. Ganhou uma jóia semelhante ___ que lhe b) aquele – a – à - ahaviam roubado c) àquele – à – à - a3. Naquele dia, não atendeu ___ nenhuma d) àquele – à – a – achamada43) Preencha corretam ente as lacunas:1. Dirigiu-se ___ cada um em particular2. Encostou a cabeça ___ parede3. Todos vão ___ festa4. Voltou apressado ___ casa do pai5. O carro estava ___ uma distância de 50 passosa) a– a– à– a– ab) a – à – a – a- àc) a– à– a– à-a CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 75 center7@gmail.com
    • d) à – a – a – à - a44) “Ele foi ___ cidade; dirigiu-se ___ referida pensão e aí, pondo-se ___ vontade, pediu ___ criada umcozido ___ portuguesa”:a) à – à – a – a – àb) à – a – a – a – àc) a – a – a – à – àd) à – à – à – à - à45) “Agradeç o ___ Vossa Senhoria ___ oportunidade para manifestar minha opinião ___ respeito.”a) à – a – àb) à – a – ac) a – a – àd) a – a – a46) Muita atenção, observe os períodos abaixo:I. Sempre que ia à Rio Pardo, Maneco Terra costumava apresentar os seus cumprimentos à velha mãeII. Graças à sua formação, ele está sempre mais predisposto ao perdão do que à justiçaIII. Dedica-se com carinho à família, ao amanho da terra e às suas lavouras e plant açõesIV. Solicito a V. Exº que dê permissão a esta funcionária para apr es entar-se a nova repartiçãoV. Aspira, há muito, à nomeação para ao cargo a que tem direito adquirido e indiscutívelVI. A Aeronáutica colocou vários helicópteros à disposição, à fim de socorrer a todos os atingidos pel oterremotoA alternativa em que todos acentos indicadores da crase estão corretos é:a) II, II, V, VIb) II, III , V,c) II, IV.d) I, III47) “____ esper ança jamais _____ de acabar enquanto você tiver forças para vencer _____ decepç ões,energia para super ar ____ dificuldades ____ que todos estamos sujeitos:a) A – há – as – as – ab) À – há – às – as – ac) A – a – as – as – ad) A – há – às – as – à48) Assinale o período em que há 2 casos de crase:a) Chegando a cas a, achou abertas as janelasb) Agradecia as colegas os elogios feitos a pesquisa que apresentac) Referindo-se a poesia romântica, fez comentários a respeito de Castro Alvesd) Indiferentes as queixas, ia respondendo a pergunta49) Exami nando as sentenças:- Refiro-me àquilo que discutimos- Chegamos à Argentina de madrugada- Ele era insensível à dor- Dedico minhas poesia à Rita Maraa) apenas uma está corretab) apenas duas estão corretasc) apenas três estão corretasd) todas estão corretas50) É preciso completar com à:1. O deputado usou uma tática idêntica ___ que a oposição utilizara2. A máquina de votar reduz ___ zero o número de seções eleitorais3. Outros ataques se dirigem ___ técnica utilizada no filme4. O filme passa abruptamente de cenas na alta sociedade ___ execução de prisioneirosa) sim, não, sim, simb) não, não, não, nãoc) sim, sim, não, sim CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 76 center7@gmail.com
    • d) não , sim, sim não51) Qual a alternativa conveniente?1. Aquela é a moça ___ que aludi2. Visei a alcançar ___ função3. Os livros pertencem ao irmão e ___ irmã4. Chegando ___ estação, João levantou-sea) a – aquela – à - àb) a – àquela – à - ac) à – aquela – à - àd) à – àquel a – à – à52) Em que frase o “A” não recebeu o acento grave corretamente:a) O poeta chama ira à brutalidade, à violência da lutab) Quanto às iras impotentes, são as mesmas sempre desprezíveisc) À cólera se segue a aflição, que nos traz o arrependimentod) Acredito que à ira nada se atreve, sem que a alma o consi nta53) Em que frase o “A” deve receber o acento indicador da crase?a) Não me refiro aqui senão a catástrofes individuaisb) Assistiu a cena, sem que suas feições denotassem ressentimentoc) A que levam essas questões? A conhecer a ira, a conhecê-la bemd) Não se at ente a um mal menor quando um maior nos ameaça54) Complete as lacunas:1. Os convidados sentaram-se ___ mesa de jantar2. Compareci ___ cerimônia de posse do novo governador3. Não tendo podido ir ___ faculdade hoje, prometo assistir ____ todas as aulas amanhãa) à – a – a - àb) na – na – à - ac) à – à – à - ad) há – na – à – à55) Não devemos atribuir ___ ciência ___ responsabilidade pelas páginas ruins que a humanidade venha___ escrever:a) à – a - ab) a – à – àc) à – à - ad) a – à - a56) A vida comunitária impõe ___ todas as pessoas certas restrições e obriga-nos a submeter ___ nossavontade pessoal ___ vontade da maioria:a) a – a - àb) a – à – àc) à – à - ad) à – à - à57) Preencha s lacunas:1. Daqui ___ duas hor a, dou-lhe isto pronto a) a – há - a2. Isto acontec eu ___ muitos anos b) à – a – à3. Daí ___ dias encontrei-o solto c) às – a - há d) a– a-a58) Todas ___ Sexta-feira vamos ___ faculdade ___ pé, percorrendo a rua XV de ponta ___ponta:a) às – à – a - ab) às – à – à - ac) às – à – à - àd) as – à – a - a CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 77 center7@gmail.com
    • 59) Em que lacuna empregaríamos crase?a) Joana esteve, ___ noite, em minha casab) Voltei ___ casa muito tardec) O tribuno referia-se ___ quaisquer pessoad) Estamos na vila ___ vinte anos60) “Estou ___ seu dispor ___ qualquer hora da tarde, ___ menos que surja algum imprevisto:a) a – à – àb) à – à – ac) à – à – àd) a – a – a61) “Estava ___ voltas com um problema, mas planejava, daí ___ pouco, ir ___ casa do comendador:a) às – à - àb) às – à - ac) as - a - àd) às – a – à62) “As questões apresentadas ___ alunas do terceiro ano eram semelhantes ___ que enviamos ___ se a)às – às - ab) às – às - àc) às – as - àd) as – as – à63) ”Resistirei ___ pressão, pois estou prestes ___ transferir-me e devo evitar aborrecimentos ___ queconfiaram em mim:a) à – a – àsb) a – à - àsc) à – à - àsd) a – a- às64) Foi ___ conselho de amigos que se dirigiu ___ esse médico de quem ___ muito ouvira falar:a) à – à - háb) a – a - àc) a – à – àd) a – a - háRespostas Sobre Crase CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 78 center7@gmail.com
    • 01) C02) C03) I04) C05) C06) I07) I08) I09) C10) I11) C12) I13) C14) C15) I16) C17) C18) C19) I20) I21) C22) I23) C24) I25) C26) I27) I28) I29) C30) C31) C32) C33) I34) I35) B36) C37) A38) B39) A40) C41) D42) D43) C44) D45) D46) B47) A48) B49) D50) A51) A52) D53) B54) C55) A56) A57) A58) D59) A60) D61) D62) B63) A64) D CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 79 center7@gmail.com
    • Significação das palavras (Semântica)Para os menos avisados, semântica é a parte da gramática que estuda o sentido e a aplicação das palavras emum contexto.Assim sendo, a palavra manga pode ter alguns significados dependendo o contexto.Vejamos a palavra nas orações “Me lambuzo todo chupando manga” e “Não posso sair com essa mangarasgada”.Será que temos o mesmo significado para a palavra manga nas duas orações? Com certeza, não.Na primeira oração, a palavra tem como significado o fruto da mangueira; já no segundo, ela é uma parte de umapeça do vestuário.A esta característica das palavras apresentarem a mesma escrita, mas significados diferentes, quando aplicadas emum contexto, chamamos polissemia.No começo deste artigo encontramos um verbo que, dependendo do contexto, pode ter significados diferentes:cair.Esse verbo em “ele cai sempre que anda de patins” tem a mesma idéia que “essa questão sempre cai na prova”?Evidentemente que não, como você bem percebeu.Na primeira oração, o verbo cair está empregado no modo denotativo, da forma que se imagina seu empregoou, como preferem alguns, da forma que ele é encontrado nos dicionários; na segunda, o verbo cair depende docontexto para ser identificado sendo, então, empregado no modo conotativo. Cair na prova não é despencar emcima do teste avaliativo escrito; é tão somente constar um determinado assunto na tal citada prova.Note que uma palavra – que expressa idéia, conceito, ações – pode ser apresentada em um sentido real oufigurado.A isso, temos os conceitos de denotação quando uma palavra por si só expressa um significado, com seu valorobjetivo, real, comum em qualquer dicionário e o conceito de conotação quando ela é expressa em sentidofigurado, subjetivo, que depende de uma interpretação do contexto.Polissemia: é quando uma palavra tem mais de uma significação. Exemplos:Mangueira => tubo de borracha ou de plástico para regar plantas ou apagar incêndios; árvore frutífera; grandecurral de gado.Pena => pluma; peça de metal para escrever; punição; dó.Velar => cobrir com véu; vigiar; cuidar; relativo ao véu do paladar.Podemos citar ainda como exemplos de palavras polissêmicas, o verbo Dar e os substantivos linha e ponto,que tem dezenas de acepções.Sentido próprio e sentido figurado: As palavras podem ser empregadas no sentido próprio ou no sentidofigurado.Observe:Construí um muro de pedra. ( sentido próprio) Elatem um coração de pedra. ( sentido figurado) CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 80 center7@gmail.com
    • A água pingava lentamente. ( sentido próprio)As horas pingavam de maneira monótona. ( sentido figurado)Denotação e Conotação: Observe a palavra em destaque destes exemplos:Comprei uma correntinha de ouro.Cássia nadava em ouro.No primeiro exemplo, a palavra ouro denota ou designa simplesmente o conhecido metal precioso, brilhante, de coramarela: tem sentido próprio, real, denotativo.No segundo, ouro sugere ou evoca riquezas, opulência, poder, glória, luxo, prazeres: tem sentido conotativo,possui várias conotações ( idéias associadas, sentimentos, evocações que irradiam da palavra).Como se vê, certas palavras têm grande poder evocativo, uma extraordinária carga semântica; são capazes desugerir muito mais do que o objeto designado, desencadeando, conforme a situação, idéias, sentimentos eemoções de toda ordem. Quantas coisas podem sugerir palavras conotativas como selva, mar, praia, sol, festa! COLOCAÇÃO PRONOMIALPróclise: é a colocação dos pronomes oblíquos átonos antes do verbo. Usa-se a próclise, quando houverpalavras atrativas. São elas:a) Palavras de sentido negativo.- Ela nem se incomodou com meus problemas.b) Advérbios.- Aqui se tem sossego, para trabalhar.c) Pronomes Indefinidos.- Alguém me telefonou?d) Pronomes Interrogativos.- Que me acontecerá agora?e) Pronomes Relativos- A pessoa que me telefonou não se identificou.f) Pronomes Demonstrativos Neutros.- Isso me comoveu deveras.g) Conjunções Subordinativas.- Escrevia os nomes, conforme me lembrava deles.Mesóclise: É a colocação pronominal no meio do verbo.A mesóclise é usada:1) Quando o verbo estiver no futuro do presente ou futuro do pretérito, contanto que esses verbos não estejamprecedidos de palavras que exijam a próclise.Ex.: Realizar- se-á, na próxima semana, um grande evento em prol da paz no mundo.Não fosse os meus compromissos, acompanhar- te-ia nessa viagem.Ênclise: É a colocação pronominal depois do verbo.A ênclise é usada quando a próclise e a mesóclise não forempossíveis:1) Quando o verbo estiver no imperativo afirmativo.Ex.: Quando eu avisar, silenciem- se todos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 81 center7@gmail.com
    • 2) Quando o verbo estiver no infinitivo impessoal.Ex.: Não era minha intenção machucar- te.3) Quando o verbo iniciar a oração.Ex.: Vou- me embora agora mesmo.4) Quando houver pausa antes do verbo.Ex.: Se eu ganho na loteria, mudo- me hoje mesmo.5- Quando o verbo estiver no gerúndio.Ex.: Recusou a proposta fazendo- se de desentendida.Colocação pronominal nas locuções verbais1) Quando o verbo principal for constituído por um particípioa) O pronome oblíquo virá depois do verbo auxiliar. Ex.: Haviam- meconvidado para a festa.b) Se, antes do locução verbal, houver palavra atrativa, o pronome oblíquo ficará antes do verbo auxiliar. Ex.:Não me haviam convidado para a festa.2) Quando o verbo principal for constituído por um infinitivo ou um gerúndio:a) Se não houver palavra atrativa, o pronome oblíquo virá depois do verbo auxiliar ou depois do verbo principal.Ex.: Devo esclarecer- lhe o ocorrido/ Devo- lhe esclarecer o ocorrido.Estavam chamando- me pelo alto-falante./ Estavam- me chamando pelo alto-falante.b) Se houver palavra atrativa, o pronome poderá ser colocado antes do verbo auxiliar ou depois do verboprincipal.Ex.: Não posso esclarecer- lhe o ocorrido./ Não lhe posso esclarecer o ocorrido.Não estavam chamando-me./ Não me estavam chamando.Observações importantesEmprego de o, a, os, as1) Em verbos terminados em vogal ou ditongo oral os pronomes o,a,os,as não se alteram. Ex.: Chame- o agora.Deixei- a mais tranqüila.2) Em verbos terminados em r, s ou z, estas consoantes finais alteram-se para lo, la, los, las. Ex.:(Encontrar)Encontrá- lo é o meu maior sonho. (Fiz) Fi- lo porque não tinha alternativa.3) Em verbos terminados em ditongos nasais (am, em, ão, õe, õe,), os pronomes o, a, os, as alteram-se para no,na, nos, nas.Ex.: Chamem- no agora. Põe- na sobre a mesa.4) As formas combinadas dos pronomes oblíquos mo, to, lho, no-lo, vo-lo, formas em desuso, podem ocorrer empróclise, ênclise ou mesóclise. Ex.: Ele mo deu. (Ele me deu o livro).REVISANDODenomina-se colocação pronominal o conjunto de regras referentes à colocação dos pronomes pessoais, oblíquos eátonos que funcionam comocomplementos: me, te, se, o, lhe, a, nos, vos, se, os, as, lhes.Relativamente ao verbo, do qual dependem colocar-se antes (próclise), no meio (mesóclise) e depois (ênclise)dele.Próclise - é de regra com: CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 82 center7@gmail.com
    • 1. palavras de sentido negativo.“Ninguém me ama, ninguém me quer...”2. pronome indefinido.Tudo me parece impossível3. pronome relativo.Tudo quanto me disseste é falso.4.com certos advérbios.Bem se vê que lá se vive melhor.Obs.: se depois do advérbio vier vírgula, ocorre ênclise:Aqui se fala muito.Aqui, fala-se muito.5. conjunções subordinadas.“Quando meu bem-querer me vir, estou certo...”Se você o encontrar,avise-o de que...6. Gerúndio regido de preposição em.Em se tratando de mulheres, prefiro as inteligentes.7. infinitivo flexionado regido de preposição.E, por se amarem muito, uniram seus destinos.Nota: é facultativa quando o infinitivo não flexionado estiver precedido de preposição ou palavra negativa:“Estou aqui para servir-te.”.(ou: para te servir)Meu desejo era não o incomodar”(ou: não incomodá-lo).Mas, se o infinitivo vier antecedido da preposição a, recomenda-se a ênclise:Estou inclinado a obedecer-lhe.Comecei a compreendê-lo.8. Nas orações optativas (aquelas que expressam desejo) de sujeito anteposto ao verbo.Macacos me mordam.9. Nas orações exclamativas.“Quanto sangue se derramou inutilmente!”10. Nas orações interrogativas.Por que me abandonas?Mesóclise - É de regraCom o futuro do presente e com o futuro do pretérito, desde que não ocorra condição para a próclise.“Dir-me-á o leitor que a beleza vive de si mesma!” (M.A.)“Dar-me-iam água para lavar as mãos?” (G. Ramos)Ênclise - É de regra:1. Nas orações iniciadas por verbo.Falava-me suavemene.Disseram-me que você me ama. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 83 center7@gmail.com
    • 2. Com verbo no gerúndio, sem partícula atrativaO velho criticava a juventude, dirigindo-se aos presentes.Entendeu o segredo do tempo, olhando-se no espelho.3. Com verbo no imperativo afirmativo.Dê-me um copo d’água.Faça-me um favor.4. Com verbo no infinitivo, regido da preposição a.Chegamos a abraçá-lo.“Sabe-se ele se tornará a vê-los algum dia!” (José de Alencar)5. Junto a infinitivo precedido de artigo.O vender-se; o queixar-se.6. Nas orações interrogativas, estando o verbo no infinitivo, embora antecedido de palavra ou locuçãoque obrigue a próclise.“Como alistar-me, se o governo não tem inimigos?”Por que arrepender-me?Como apanhá-lo?Colocação pronominal nas locuções verbais1) Auxiliar + infinitivo - há quatro possibilidades:a) ênclise ao auxiliar.O amigo precisou lhe confiaro segredo.b) ênclice ao infinitivo.O amigo precisou confiar-lhe o segredo.c) próclise ao auxiliar.O amigo lhe precisou confiar o segredo. d) próclise ou ênclise aoinfinitivo precedido de preposição. O amigo não deixou de lheconfiar o segredo.O amigo não deixou de confiar-lhe o segredo.2. Auxiliar + Gerúndio - há três possibilidades:a) próclise ao auxiliar.O amigo lhe estava confiando o segredo.b) ênclise ao auxiliar.O amigo estava-lhe confiando o segredo.c) ênclise ao gerúndio.O amigo estava confiando-lhe o segredo.3) Auxiliar + particípio - há duas possibilidades:a) próclise ao auxiliar.Os amigos se tinham despedido. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 84 center7@gmail.com
    • b) ênclise ao auxiliar.Os Amigos tinham se despedido.Notas1. Com palavra ou locução atrativas, o pronome não pode ficar no meio da locução.Não lhe quero falar ou Não quero falar-lhe.2) “A interposição do pronome átono nas locuções verbais sem se ligar por hífen ao auxiliar, é sintaxe brasileiraque se consagrou na língua literária, a partir (ao que parece) do Romantismo.“O morcego vem te chupar o sangue.” (Alencar)“...estava se distanciando da outra.” (Taunay)“Como teria se comportado aquela alma de passarinho diante do mistério da morte?” (Raquel de Queirós)Adaptações1..Os pronomes o, a, os, as, enclíticos, sofrem adaptações quando o verbo termina em r, s ou z. Eles passam ater as formas: -lo, -la, -los, -las.Vou amar-a por toda minha vida. (Sem adaptação.)Vou amá-la por toda minha vida. (Com adaptação.)Tu amas-o como a ti mesma.. (Sem adaptação.)Tu ama-lo como a ti mesma. (Com adaptação.)O jogo, fiz-o sozinho. (Sem adaptação.)O jogo, fi-lo sozinho. (Com adaptação.)Obs. Com a expressão eis acontece a mesma coisa:Ei-la aqui, radiante e bela!2. Os pronomes oblíquos o, a, os, as, quando precedidos de verbos terminados em -m, -ão, -õe, assumem aforma -no, - na, -nos, -nas.Entregaram- o ao professor. (Sem adaptação.)Entregaram-no ao professor. (Com adaptação.)O assunto, dão-o por encerrado. (Sem adaptação.) Oassunto, dão-no por encerrado. (Com adaptação.)Exercícios Sobre Colocação PronominalPara as perguntas de 1 a 28 você deverá assinalar com “C “ o que estiver correto e com “I” os incorretos:1. ( ) O presente é a bigorna onde se forja o futuro (próclise)2. ( ) Nossa vocação molda-se às necessidades (ênclise)3. ( ) Se não fosse a chuva, acompanhar-te-ia (mesóclise)4. ( ) Macacos me mordam!5. ( ) Caro amigo, muito lhe agradeço o favor...6. ( ) Ninguém socorreu-nos naqueles momentos difíceis7. ( ) As informações que se obtiveram, chocavam-se entre si8. ( ) Quem te falou a respeito do caso?9. ( ) Não foi trabalhar porque machucara- se na véspera10. ( ) Não só me trouxe o livro, mas também me deu presente11. ( ) Ele chegou e perguntou-me pelo filho12. ( ) Em se tratando de esporte, prefere futebol13. ( ) Vamos, amigos, cheguem-se aos bons14. ( ) O torneio iniciar-se-á no próximo Domingo15. ( ) Amanhã dizer-te-ei todas as novidades16. ( ) Os alunos nos surpreendem com suas tiradas espirituosas17. ( ) Os amigos chegaram e me esperam lá fora18. ( ) O torneio iniciará-se no próximo Domingo19. ( ) oferecida-lhes as explicações, saíram felizes CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 85 center7@gmail.com
    • 20. ( ) Convido-te a fazeres-lhes, essa gentileza21. ( ) Para não falar- lhe, resolveu sair cedo22. ( ) É possível que o leitor nos não creia23. ( ) A turma quer-lhe, fazer uma surpresa24. ( ) A turma havia convidado-o para sair25. ( ) Ninguém podia ajudar-nos naquela hora26. ( ) Algumas haviam-nos contado a verdade27. ( ) Todos se estão entendendo bem28. ( ) As meninas não tinham nos convidado para sair29. Assinale a frase com erro de colocação pronominal:a) Tudo se acaba com a morte, menos a saudadeb) Com muito prazer, se soubesse, explicaria-lhe tudoc) João tem-se interessado por suas novas atividadesd) Ele estava preparando-se para o vestibular de Direito30. Assinale a frase com erro de colocação pronominal:a) Tudo me era completamente indiferenteb) Ela não me deixou concluir a frasec) Este casamento não deve realizar-sed) Ninguém havia lembrado-me de fazer as reservas31. Assinale a frase incorreta:a) Nunca mais encontrei o colega que me emprestou o livrob) Retiramo-nos do salão, deixando-os sósc) Faça boa viagem! Deus proteja-od) Não quero magoar-te, porém não posso deixar de te dizer a verdade32. ”O funcionário que se inscreve, fará prova amanhã:1. Ocorre próclise em função do pronome relativo2. Deveria ocorrer ênclise3. A mesóclise é impraticável4. Tanto a ênclise quanto a próclise são aceitáveisa) Correta apenas a 1ª afirmativab) Apenas a 2ª é corretac) São corretas a 1ª e a 3ªd) A 4ª é a única correta33. Assinale a colocação inaceitável:a) Maria Oliva convidou-ob) Se abre a porta da caleça por dentroc) Situar-se-ia Orfeu numa gafieira?d) D. Pedro II o convidou34. O pronome pessoal oblíquo átono está bem colocado em um só dos períodos. Qual?a) Isto me não diz respeito! Respondeu-me ele, afetadamenteb) Segundo deliberou-se na sessão, espero que todos apresentem-se na hora convenientec) Os conselhos que dão-nos os pais, levamo-los em conta mais tarded) Amanhã contar-lhe-ei por que peripécias consegui não envolver-me35) Estas conservas são para nós __________ durante o inverno.Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna:a) alimentarmos- nosb) alimentar- mo- nosc) nos alimentarmosd) nos alimentarmo- nos CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 86 center7@gmail.com
    • 36) Caso _______ lá, _______, para que não _______Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas:a) se demoram – avisem-nos – nos preocupemosb) se demorem – avisem-nos – preocupemo-nosc) demorem-se – nos avisem – preocupemo-nosd) demorem-se – nos avisem – nos preocupemos37) Do lugar onde _______, ______um belo panorama, em que o céu ________com a terraa) se encontrava – se divisava – ligava-se b)se encontravam – se divisava – ligava-se c)se encontravam – divisava-se – se ligavad) encontravam-se – divisava-se – se ligava38) O pronome está mal colocado em apenas um dos períodos. Identifique-o:a) Finalmente entendemos que aquela não era a estante onde deveriam-se colocar cristaisb) Ninguém nos falou, outrora, com tanta sinceridadec) Não se vá, custa-lhe ficar um pouco mais?d) A mão que te estendemos é amigaPara as questões que seguem de 39 a 58, marcará com a letra “C” aquelas com o pronome oblíquo bemcolocado, obedecendo as normas da Língua Culta e com “I” assinalará as incorretas:39) ( ) Quando se estudaram minuciosamente as propostas, descobriram- se todas as falhas40) ( ) Segundo informaram- me na seção, já se encontram prontos os contracheques desta mês41) ( ) Os papéis que remeteram-me estão em ordem, ainda hoje devolvê-los-ei como haviaprometido-lhes42) ( ) Os professores haviam-nos instruído para as provas43) ( ) Nada chegava a impressioná-la em sua passividade44) ( ) Que Deus te acompanhe por toda a vida45) ( ) Quando lhes entregariam as provas, era um mistério que não lhes era possível desvendar46) ( ) A respeito daquelas fraudes, os auditores já haviam prevenido-os há muito tempo47) ( ) Os amigos entreolharam- se emocionados, mas não lhes deram mais nenhuma informação48) ( ) Aquele foi o livro que lhe eu dei como prova de admiração49) ( ) Admirou-me a despesa porque não havias-me dito que o presente iria custar-te tão caro50) ( ) Ainda não me havias falado essas injúrias51) ( ) Já de pé, banhando-me, ouço-lhe os passos no corredor52) ( ) Dir-se-ia que todos preferem-lhe ocultar os fatos53) ( ) Os alunos não têm preocupado-se com as provas54) ( ) Peça a dar- se- lhe- à o perdão55) ( ) Causava-me admiração ver aqueles jovens dedicando-se aos estudos, enquanto outrosnão se esforçavam nem um pouco56) ( ) Nada se faria, se ficassem de braços cruzados57) ( ) No caso de não cumprirem o horário das aulas, romperão-se as cláusulas contratuais58) ( ) Assim que sentiu-se prejudicado, reclamou seus direitosRespostas Sobre Colocação Pronominal1. C 16. C 31. C 46. I2. C 17. C 32. C 47. C3. C 18. I 33. B 48. C4. C 19. I 34. A 49. I5. C 20. I 35. C 50. C6. I 21. C 36. A 51. C7. C 22. C 37. C 52. I8. C 23. C 38. A 53. C9. I 24. I 39. C 54. I10. C 25. C 40. I 55. C11. C 26. I 41. I 56. C12. C 27. I 42. C 57. I13. C 28. I 43. C 58. I14. C 29. B 44. C15. I 30. D 45. C CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 87 center7@gmail.com
    • Teoria dos Conjuntos Introdução aos conjuntos Interseção de conjuntos Alguns conceitos primitivos Propriedades dos conjuntos Algumas notações p/ conjuntos Diferença de conjuntos Subconjuntos Complemento de um conjunto Alguns conjuntos especiais Leis de Augustus de Morgan Reunião de conjuntos Diferença SimétricaIntrodução aos conjuntosNo estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos semdefinição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory,P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nadaingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.Alguns conceitos primitivosConjunto: representa uma coleção de objetos. a. O conjunto de todos os brasileiros. b. O conjunto de todos os números naturais. c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, Z.Elemento: é um dos componentes de um conjunto. a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais. c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 88 center7@gmail.com
    • Algumas notações para conjuntosMuitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duasformas básicas e de uma terceira forma geométrica:Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }. a. A={a,e,i,o,u} b. N={1,2,3,4,...} c. M={João,Maria,José}Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. a. A={x: x é uma vogal} b. N={x: x é um número natural} c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.SubconjuntosDados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 89 center7@gmail.com
    • ACENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 90 center7@gmail.com
    • 7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 91 center7@gmail.com
    • Complemento de um conjuntoO complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ouseja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. CAB = A-B = {x: x CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 92 center7@gmail.com
    • Diferença simétricaA diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dosconjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B. A CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 93 center7@gmail.com
    • N números naturais N é o conjunto dos números naturais. São os números que vão de 0 a + . Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natur al chamado sucessor, ou seja: N = {0,1,2,3,4,...}. O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais não-nulos, ou seja: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}Z números inteiros O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números naturais acrescido dos seus opostos negativos. É representado pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar "número". Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-nulos: Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-negativos: Z+ = {0,1,2,3,4,...} O símbolo Z- é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-positivos: Z - = {..., -3, -2, -1, 0} O símbolo Z*+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros positivos: Z*+ = {1,2,3,4,5, ...} O símbolo Z*- é usado para indicar o conjunto de números inteiros negativos: Z*- = {-1, -2, -3, -4, -5...} Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z: N Z.Q números racionais Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é um quociente de dois números inteiros. Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica. Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros. Q = {a/b | a Z e b Z*}. Lembre-se que não existe divisão por zero!. O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto de números racionais não-nulos: Q* = {x Q | x 0} CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 94 center7@gmail.com
    • O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não-negativos: Q+ = {x Q | x 0} O símbolo Q- é usado para indicar o conjunto de números racionais não-positivos: Q- = {x Q | x 0} O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos: Q*+ = {x Q | x > 0} O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos: Q*- = {x Q | x < 0}I números irracionais Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional. O número irracional mais famoso é o pi ( ). CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 95 center7@gmail.com
    • R números reais O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R. Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero, ou seja, o símbolo R* é usado para representar o conjunto dos números reais não-nulos: R* = R - {0} O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não-negativos: R+ = {x R | x 0} O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais não-positivos: R- = {x R | x 0} O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais positivos: R*+ = {x R | x > 0} O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais negativos: R*- = {x R | x < 0}Conjunto dos NúmerosNúmeros Inteiros O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos númerosinteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizerque os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteirospositivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos). Assim os números inteiros são exemplos: Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -3 -2 -1 0 1 2 3 _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____ CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 96 center7@gmail.com
    • Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem oelemento “ 0”. Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10} Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através destesimples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,25,26,27....} Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são númerointeiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = N Z.Números Racionais Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na formaP/Q (P dividido por Q). Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), poroutro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Osnúmeros racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária. Um exemplo simples: Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5,temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casasapós a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata. É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois adivisão não é exata. Um exemplo simples: Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica. Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros eaqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros. -3 -2 -1 0 1 2 3 _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____ 0,8 Numero racional CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 97 center7@gmail.com
    • A letra que representa os Números Racionais = Q Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3} O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “0”. Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)}Números Irracionais Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q(P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem comoresultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente(dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática comoIrracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números. Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc. Um número irracional famoso é o PI ( ) = 3,141592... O número de Euler = 2,71828 Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir) -3 -2 -1 0 1 2 3 ( ) = 3,141592... (???) _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____Números Reais Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, eé indicado pela letra “R”. Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo númeroracional é real, temos a seguinte sentença: N Z Q R Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se oconjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}.Números Primos Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente sãodivisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética. Para os números inteiros podemos provar com facilidade que: 1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos). CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 98 center7@gmail.com
    • 2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1. Como podemos provar que um número é primo ou não? Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com númerospequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornammaiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidadepode se tornar muito complexo.Teste Rápido: Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo deErastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dosmelhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que osnúmeros atinjam 25 dígitos. O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se umnúmero é primo. Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos osnúmeros primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Um exemplo simples : Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então,vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então estenúmero será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo,pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3|323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0 Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100números, existem milhares de números primos. TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 99 center7@gmail.com
    • SISTEMA LEGAL DE MEDIDASTABELAS DAS PRINCIPAIS MEDIDAS DE VOLUMES E ÁREAS Definição Como informado no tutorial de número 10, “Sistema Métrico Decimal”, faz parte doSistema de Medidas, e este é adotado no Brasil e tem como unidade principal fundamental ometro. No sistema de Medidas, são consideradas também outras unidades de medidas,consideradas também fundamentais: Múltiplos e Submúltiplos Diversos - O grama Pertence ao gênero masculino. Tenha cuidado, por tanto, ao escrever e pronunciar essaunidade de medidas em seus múltiplos e submúltiplos, fazendo as devidas concordâncias. Ex.: cinco quilogramas setecentos miligramas trezentos e vinte gramas novecentos e dois gramas CENTER7 APOSTILAS - Direitos 100 Reservados center7@gmail.com
    • Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamenteinferior. 10 dag = 100 hg 1 g = 10 dag - O Litro Pertence ao gênero masculino. É uma unidade de medida de volume que está veiculadadiretamente ao sistema métrico decimal e, por tanto, obedecendo aos seus padrões. Cada Litro corresponde a 01 decímetro cúbico. Em referência ao litro de água (01 l),corresponde a aproximadamente 01 quilograma da substância medida. Ex.: (01 l água), um litro de água. (2,478 dal), dois decalitros e quatrocentos e setenta e oito centilitros (30, 252 dal), trinta decalitros e duzentos e cinqüenta e dois centilitros Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamenteinferior. 10 l = 100 l 1 l = 10 dal - O Prefixo Quilo É simbolizado pela letra (K), que indica que a unidade é resultado da multiplicação por mil.Este prefixo Quilo não pode ser usado sozinho. Observe: Errado: quilo; k Certo: quilograma, kg Medidas Diversas - Medidas comprimento Unidade principal: METRO (m) Ex.: 01 Km = 1000 m Ex.: 100 m = 10 dam CENTER7 APOSTILAS - Direitos 101 Reservados center7@gmail.com
    • Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:- Medidas de áreaUnidade principal: METRO QUADRADO (m²)Ex.: 1000 m²Ex.: 1 m²Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:- Medidas de volumeUnidade principal: METRO CÚBICO (mEx.: 1000 mEx.: 1 mEsta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:- Medidas de capacidadeUnidade principal: LITRO (l)Ex.: 1 lEx.: 1000 LitrosEsta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 102 Reservados center7@gmail.com
    • - Medidas agrárias Unidade principal: ARE (a) Ex.: 1 a Ex.: 100 hectare Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: - Medidas para lenha (madeira) Unidade principal: ESTÉREO (st) Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo: (metro cúbico) Obs.: Uma unidade de st (estéreo) equivale a 01 m - Medidas de ângulos Unidade principal: ÂNGULO RETO (r) Uma das unidades de ângulo plano é o ângulo reto, e que o símbolo é representado pelaletra (r). Veja a tabela abaixo: Obs. Importante: os múltiplos e submúltiplos do ângulo reto não têm designação própria,exceto o “grado”, que é a única designação usada para submúltiplo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 103 Reservados center7@gmail.com
    • Tabela com algumas unidades de medidas RAZÕES E PROPORÇÕESNúmeros e Grandezas Proporcionais* Grandeza È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um,como conseqüência o outro varia também. Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quandofalamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezasque estão relacionadas entre si. Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menordependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado. Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempodepende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída oque se deseja concluir. A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada,pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.Grandeza Diretamente Proporcional È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamenteproporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesmaproporção, mesma direção e sentido. Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará“02 y”. Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.Grandeza Inversamente Proporcional CENTER7 APOSTILAS - Direitos 104 Reservados center7@gmail.com
    • Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implicanecessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direçãocontrários. Exemplo: Velocidade e tempo. Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos.Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer osmesmos 10 metros.* RAZÃO E PROPORÇÃO RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo númerosempre diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo. Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12 a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10 a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18 Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e2º número é conseqüente. Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente. seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente. Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente deoutra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 105 Reservados center7@gmail.com
    • 7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35. 2 – Composição Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo,assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 106 Reservados center7@gmail.com
    • a – b = 48Portanto, CENTER7 APOSTILAS - Direitos 107 Reservados center7@gmail.com
    • 7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em umanova proporção. Aplicação: A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3.Determinar esses números. Logo, a² = 144, a = 12. Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valorde “a”. Divisão Proporcional 2 partes diret. proporcionais n partes diret. proporcionais 2 partes direta e inversa 2 partes invers. proporcionais n partes direta e inversa n partes invers. proporcionais Regra de SociedadeDivisão em duas partes diretamente proporcionaisPara decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duasequações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas A B = p qA solução segue das propriedades das proporções: A B A+B M = = = =K q p p+q p+qO valor de K é que proporciona a solução pois: A=Kp e B=KqExemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos osistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de: A B A+B 100 = = = = 20 3 2 5 5Segue que A=40 e B=60. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 108 Reservados center7@gmail.com
    • Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever: A B A-B 60 = = = =12 3 8 5 5Segue que A=96 e B=36.Divisão em várias partes diretamente proporcionaisPara decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montarum sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1 +p2+...+pn =P. X 1 X2 Xn = = ... = p 1 p2 pnA solução segue das propriedades das proporções: X 1 X2 X n X1+X2+...+Xn M = =...= = = =K p 1 p2 p n p1 +p2+...+pn PExemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-semontar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim: A B C A+B+C 120 = = = = =10 4 2 6 P 12logo A=20, B=40 e C=60.Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.A solução segue das propriedades das proporções: A B C 2A+3B-4C 120 = = = = = – 15 4 2 6 2×2+3×4-4×6 -8logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)Divisão em duas partes inversamente proporcionaisPara decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor estenúmero M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de pe q.Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo: A B A+B M M.p.q = = = = =K 1/p 1/q 1/p+1/q 1/p+1/q p+q CENTER7 APOSTILAS - Direitos 109 Reservados center7@gmail.com
    • O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-semontar o sistema tal que A+B=120, de modo que: A B A+B 120 120.2.3 = = = = = 144 1/2 1/3 1/2+1/3 5/6 5Assim A=72 e B=48.Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim: A B A-B 10 = = = = 240 1/6 1/8 1/6-1/8 1/24Assim A=40 e B=30.Divisão em várias partes inversamente proporcionaisPara decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, bastadecompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2 +...+ Xn=M e além disso X 1 X2 Xn = = ... = 1/p1 1/p2 1/pncuja solução segue das propriedades das proporções: X 1 X2 X n X1+X2+...+Xn M = =...= = = 1/p1 1/p2 1/pn 1/p1+1/p2 +...+1/p n 1/p1+1/p2 +...+1/pnExemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-semontar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo: A B C A+B+C 220 = = = = = 240 1/2 1/4 1/6 1/2+1/4+1/6 11/12A solução é A=120, B=60 e C=40.Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10,devemos montar as proporções: A B C 2A+3B-4C 10 120 = = = = = 1/2 1/4 1/6 2/2+3/4-4/6 13/12 13logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.Existem proporções com números fracionários! CENTER7 APOSTILAS - Direitos 110 Reservados center7@gmail.com
    • Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionaisPara decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamenteproporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q ed/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso: A B A+B M M.p.q = = = = =K c/p d/q c/p+d/q c/p+d/q c.q+p.dO valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamenteproporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções: A B A+B 58 = = = = 70 2/5 3/7 2/5+3/7 29/35Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8,sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver asproporções: A B A-B 21 = = = = 72 4/6 3/8 4/6-3/8 7/24Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.Divisão em n partes direta e inversamente proporcionaisPara decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversament eproporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais ap1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+X n =M e além disso X 1 X2 Xn = =...= p1/q1 p2/q2 pn/qnA solução segue das propriedades das proporções: X1 X2 Xn X1+X2+...+Xn = =...= = P 1/q1 p2/q2 pn/qn p1/q1 +p2/q2 +...+pn/qnExemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 einversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma deA+B+C=115 e tal que: A B C A+B+C 115 = = = = = 100 1/4 2/5 3/6 1/4+2/5+3/6 23/20 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 111 Reservados center7@gmail.com
    • logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2,4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.A montagem do problema fica na forma: A B C 2A+3B-4C 0 1 100 = = = = = 1/2 10/4 2/5 2/2+30/4-8/5 69/10 69A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.Regra de SociedadeRegra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ouprejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também emtempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivostempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto: pk = Ck tke indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes: C = C1 + C2 + ... + CnA Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamenteproporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital deR$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que podeser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deveráreceber (ou pagar) cada sócio?Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos.Desse modo: p1 =50x40=2000; p2=60x30=1800; p 3 =30x40=1200A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso: A B C = = 2000 1800 1200A solução segue das propriedades das proporções: A B C A+B+C 25000 = = = = =5 2000 1800 1200 5000 5000 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 112 Reservados center7@gmail.com
    • A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.REGRA DE TRÊS SIMPLESUma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezasW e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K. X W =K e =K Y Zassim X W = Y ZExemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpocom 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola?(Kg=quilograma e cm=centímetro).Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos: Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm) 10 54 15 XAs grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores noproblema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção: 0 1 54 = 5 1 XObservamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 eX também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSAUma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obteruma proporção.Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duasgrandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante deproporcionalidade K. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 113 Reservados center7@gmail.com
    • A·B=K e C·D=Ksegue que A·B=C·Dlogo A D = C BExemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez umcerto percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmopercurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordocom os dados do problema, temos: Velocidade (Km/h) Tempo (s) 180 20 200 TRelacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido.Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T. 180 T = 200 20Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e Taparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.REGRA DE TRÊS COMPOSTARegra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamenteproporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que aprimeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valoresconhecidos da segunda situação.Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2,E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixolembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 seconhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas. Situação Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Grandeza 5 Grand... Grandeza ? Situação 1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1 Situação 2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 114 Reservados center7@gmail.com
    • Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção: 1 Z A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 … = 2 Z A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com aletra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada deposição com B2: 1 Z A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 … = 2 Z A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) queaparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão naordem inversa daquela que apareceram na tabela.Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamenteproporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremosresolver a proporção: 1 Z A1 · B2 · C1 · D2 = 2 Z A2 · B1 · C2 · D1Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretament eproporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vistageral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.Exemplos: 1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias? Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela: No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C) 5 6 400 7 9 X A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas. Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais. Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de CENTER7 APOSTILAS - Direitos 115 Reservados center7@gmail.com
    • peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais. Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção: 400 5×6 = x 7×9 que pode ser posta na forma 400 30 = x 63 Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro). Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela: Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C) 200 4 2 500 5 X A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas. Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais. Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo: 2 200×5 = X 500×4 que pode ser posta como 2 1000 = X 2000 Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 116 Reservados center7@gmail.com
    • PORCENTAGEMPraticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas comporcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da formaa/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou aindapercentagem.Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do séculoXV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo,tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N,realizamos o produto: Produto = M%.N = M.N / 100Exemplos: 1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar? Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13 Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar. 2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase? Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3 Assim: (X/100).4 = 3 4X/100 = 3 4X = 300 X = 75 Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%. 3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria? Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 117 Reservados center7@gmail.com
    • 42,5% de X = 255 Assim: 42,5%.X = 255 42,5 / 100.X = 255 42,5.X / 100 = 255 42,5.X = 25500 425.X = 255000 X = 255000/425 = 600 Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens. 4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria? Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que 92% de X = 690 logo 92%.X = 690 92/100.X = 690 92.X / 100 = 690 92.X = 69000 X = 69000 / 92 = 750 O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.JURO SIMPLESJuro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ouque é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar: 1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital. 2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros. 3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 118 Reservados center7@gmail.com
    • 4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante.Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar afórmula: C·i·t j= 100Exemplos: 1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja? A diferença entre os preços dados pela loja é: 652,00 - 450,00 = 202,50 A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 202,50 / 5 = 40,50 Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma: X% de 450,00 = 40,50 X/100.450,00 = 40,50 450 X / 100 = 40,50 450 X = 4050 X = 4050 / 450 X = 9 A taxa de juros é de 9% ao mês. 2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado? O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por: 3% de C = 960,00 3/100 C = 960,00 3 C / 100 = 960,00 3 C = 96000 C = 96000/3 = 32000,00 O capital aplicado foi de R$ 32.000,00. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 119 Reservados center7@gmail.com
    • Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos oproduto: Produto = M%.N = M.N / 100Exemplos: 1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar? Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13 Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar. 2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase? Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3 Assim: (X/100).4 = 3 4X/100 = 3 4X = 300 X = 75 Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%. 3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria? Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por: 42,5% de X = 255 Assim: 42,5%.X = 255 42,5 / 100.X = 255 42,5.X / 100 = 255 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 120 Reservados center7@gmail.com
    • 42,5.X = 25500 425.X = 255000 X = 255000/425 = 600 Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens. 4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria? Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que 92% de X = 690 logo 92%.X = 690 92/100.X = 690 92.X / 100 = 690 92.X = 69000 X = 69000 / 92 = 750 O preço original da mercadoria era de R$ 750,00. FUNÇÃO DO 1o . GRAU Função do 1º grauVamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiroconjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modoque cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; .Acorrespondência por pares ordenados seria: Noções de função:Considere os diagramas abaixo: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 121 Reservados center7@gmail.com
    • 1 2 3 4 5 Condições de existência: (1) Todos os elementos de x têm um correspondente em y. (2) Cada elemento de x tem um e somente um correspondente em y.Analisando os diagramas acima:O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).Logo, somente o diagrama 2 representa uma função. Domínio, Contradomínio e ImagemObserve o diagrama a seguir:Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:f={(1,2),(2,3),(3,4)}O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. D(F)=X CENTER7 APOSTILAS - Direitos 122 Reservados center7@gmail.com
    • O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. C(F)=YDizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f. f(1)=2Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.Logo o conjunto das imagens de f e dado por: Im(f)={2,3,4} Determinação de função:Observe:1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:2) Associe cada elemento de X com a sua capital.3) Determine o conjunto imagem de cada função:a) D(f) = {1,2,3} y = f(x) = x + 1[Sol] f(1) = 1+1 = 2 f(2) = 2+1 = 3 f(3) =3+1 = 4Logo: Im(f)={2,3,4}b) D(f) = {1,3,5} y = f(x) = x² CENTER7 APOSTILAS - Direitos 123 Reservados center7@gmail.com
    • [Sol] f(1) = 1² = 1 f(3) = 3² = 9 f(5) = 5² = 25Logo: Im(f)={1,9,25} Plano cartesianoConsideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:x // x e y // yDenominemos P1 a interseção de x com y e P2 a interseção de y com xNessas condições, definimos:- Abscissa de P é um número real representado por P1- Ordenada de P é um número real representado por P2- A coordenada de P são números reais x e y , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x , y )- O eixo das abscissas é o eixo x- O eixo das ordenadas é o eixo y- A origem do sistema é o ponto 0- Plano cartesiano é o plano A.Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!Exemplo:Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais porproduto vendido.a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produtovendido.[Sol] y=salário fixo + comissão y=500 + 50xb) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?[Sol] y=500+50x , onde x=4 y=500+50.4 = 500+200 = 700c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?[Sol] y=500+50x , onde y=1000 1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 124 Reservados center7@gmail.com
    • A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau , sendo dada por: y=f(x)=ax+b com , e Gráfico da função do 1º grau: O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.Exemplo:1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)} x y=f(x)=x+1 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 32) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. x y=f(x)=-x+1 O conjunto dos pares ordenados determinados é -2 3 f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)} -1 2 0 1 1 0 2 -1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 125 Reservados center7@gmail.com
    • Gráficos crescente e decrescente respectivamente: y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1 Função crescente y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1 Função decrescente CENTER7 APOSTILAS - Direitos 126 Reservados center7@gmail.com
    • Raiz ou zero da função do 1º grau: Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0x+1=0 » x=-1Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.[Sol] Fazendo y=0, temos: 0 = -x+1 » x = 1Gráfico: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 127 Reservados center7@gmail.com
    • Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função. Sinal de uma função de 1º grau:Observe os gráficos: a>0 a<0Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem osinal contrário ao de a.Exemplos:1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.a) y=f(x)=x+1[Sol] x+1>0 » x>-1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1 x+1<0 » x<-1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1b) y=f(x)=-x+1[Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1 -x+1<0 » -x<-1 » x>1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 128 Reservados center7@gmail.com
    • EQUAÇÃO DO 1º GRAUEQUAÇÃO DO 1º GRAU * Definição É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeitapara alguns valores que estejam agregados em seus domínios. Exemplos: 3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita. 3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita. Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois osvalores das incógnitas são desconhecidos. É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando: x = 2, veja: 3x – 4 = 2 3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2 y = 1, veja: 3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1 Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente - Equação do 1º grau Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como todaequação que satisfaça a forma: ax + b = 0 Onde, tem-se: a e b , são as constantes da equação, com a 0 (diferente de zero) Observe: 4x + 10 = 1 a=4 b = 10 >> constantes (4,10) 3x – 6 = 0 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 129 Reservados center7@gmail.com
    • a=3 b = 6 >> constantes (3,6) Exemplo de fixação: x+2=6» Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4,pois, 4 + 2 = 6. Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriaisanteriores: ax + b = 0 » ax = - b x = -b/a Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém estasegunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir ummesmo número, que seja diferente de zero 0), aos membros da equação dada no problema. Exemplo: x – 4 = 0 » x –4 + 2 = 0 + 2 » x = 4 2x = 4 » 3.2x = 3.4 » x = 2 * Resolução de uma equação do 1º grau Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e quesatisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação. Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dosnúmeros, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade edo outro lado as constantes. Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos: a) Determine o valor do X: 4x – 12 = 8 4x = 8 + 12 4x = 20 x= 20/4 » x = 5 >> V = {5} b) Qual o valor da incógnita x: 2 – 3.(2-4x) = 8 2 – 6 + 12x = 8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 130 Reservados center7@gmail.com
    • 12x = 8 - 2 + 6 12x = 6 + 6 x = 12/12 » x = 1 >> V = {1} Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau: x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4 2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8) Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações doprimeiro grau, sempre é colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim asolução verdadeira da questão. Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”. Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejamagregados na sentença. * Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a 0) Observe: a 0 >> b 0, temos: x = -b/a S = {-b/a} a 0 >> b = 0, temos: x = 0/a S = {0} Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0) b 0 >> x = -b/0 V = {0} Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero ( a = 0), temos a conjunto“V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça aequação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”. Ainda, se tratando da forma (a 0), observe a seguinte suposição de equação: b = 0 >> 0x = 0 >> V = R Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se tornaraiz ou solução da equação ou do problema dado. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 131 Reservados center7@gmail.com
    • * Incógnita com valor negativo Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiveracompanhando a variável seja um número negativo (-). Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dosprincípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores. Veja alguns exemplos: a) 4x – 2 = 6x + 8 Reduzindo os termos: 4x – 6x = 8 + 2 -2x = 10 Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), entãomultiplica-se os termos da equação por (-1). Assim, temos aos valores: -2x = 10 .(-1) 2x = - 10 Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na formapositiva, agora sim podendo prosseguir com a operação. x = -10/2 >> x = -5 Como o valor de x = -5, então V = {-5} Observação: O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e asincógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre: Observe: 2x + 4 = 8 Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado". Veja o que acontece: 2x + 4 - 4 = 8 - 4 2x = 4 x=2 V={2} CENTER7 APOSTILAS - Direitos 132 Reservados center7@gmail.com
    • A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grandedica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculosdos problemas e sentenças. INEQUAÇÕES DO 1º GRAU * Definição Em sua definição mais simples e compreensível, pode ser definida como toda e qualquersentença da matemática que é aberta por um sinal de desigualdade. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 133 Reservados center7@gmail.com
    • » Alimentação: Cerca de 40% da população que vive em ambiente rural, no campo, viveem situação precária. Se pudéssemos pesar estas diferenças apresentadas acima em uma balança, veríamoscom mais clareza as grandes desigualdades. O que isto tem haver com as Inequações? Como já informado anteriormente, asinequações são representadas por desigualdades matemáticas. * Solução de inequações do 1º grau Nas equações do primeiro grau que estejam na forma ax + b > 0, tem-se o objetivo de seapurar um conjunto de todas e quaisquer possíveis valores que possam assumir uma ou maisvariável que estejam envolvidas nas equações proposta no problema. Acompanhe: Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça ainequação: 3x + 5 < 17 Veja os seguintes passos para solução: Após fazer os devidos cálculos da inequação acima, pode-se concluir que a soluçãoapresentada é formada por todos os números inteiros positivos menores que o número 4. S = {1, 2, 3,} * Exemplos de fixação de conteúdo a) 2 -4x x + 17 Solução: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 134 Reservados center7@gmail.com
    • b) 3(x + 4) < 4(2 –x)Solução: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 135 Reservados center7@gmail.com
    • Analise os exemplos: Inequação 5 >3 Recurso: 5 > 3 ( somar o valor 2 ) 5 +2>3+2 7 > 5 (continua sendo uma inequação verdadeira) Inequação 5 >3 Recurso: 5 > 3 (subtrair 1) 5-1 > 3 -1 4 > 2 (continua sendo uma inequação verdadeira) Desta forma, é possível concluir que de acordo com as propriedades das equações deprimeiro grau, podemos usar os mesmos recursos matemáticos de somar ou subtrair um mesmovalor aos membros da inequação do primeiro grau. Analise os exemplos: Inequação 5 >3 Recurso: 5 > 3 (multiplicar pelo valor positivo 2) 5 x (+2) > 3 x (+2) 10 > 6 (continua sendo uma inequação verdadeira) Inequação 5 >2 Recurso: 5 > 2 (multiplicar pelo valor negativo -2) (-2).5 > 2.(-2) -10 > -4 (a inequação não é verdadeira) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 136 Reservados center7@gmail.com
    • Para que a inequação acima se torne verdadeira é preciso inverter o sinal. -10 < -4 (agora a inequação é verdadeira) Portanto, é preciso ter o máximo de cuidado ao utilizar o recurso matemático de(multiplicar ou dividir por um mesmo valor os componentes da inequação) para resolver umainequação do primeiro grau. Caso este valor seja um número negativo, o sinal da desigualdade(inequação) deve ser invertido. FUNÇÃO DO 2 GRAU Função do 2º grau A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais eExemplos:a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )Gráfico de uma função do 2º grau: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para amontanha russa. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 137 Reservados center7@gmail.com
    • Sua representação gráfica é dada em torno de eixos: Representação gráficaExemplo:Construa o gráfico da função y=x²:[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valorescorrespondentes para y. x y = f(x) = x² -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo desimetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos osoutros pontos.Coordenadas do vértice A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por . Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3Temos: a=1, b=-4 e c=3 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 138 Reservados center7@gmail.com
    • Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.Assim, para determinarmos a coordenada y da parábolay=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2. y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor dacoordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!Raízes (ou zeros) da função do 2º grauDenominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. y=f(x)=0Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seusvértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.Vejamos o gráfico: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 139 Reservados center7@gmail.com
    • Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.x²+5x+6=0Acharemos que x = -2 e x` = -3.Concavidade da parábolaExplicarei esta parte com um simples desenho. a>0 a<0Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importaagora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quandoa<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).Exemplos: y = f(x) = x² - 4 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 140 Reservados center7@gmail.com
    • a = 1 >0 y = f(x) = -x² + 4 a = -1 < 0[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo dafunção. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.Quando o discriminante é igual a zeroQuando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada yserá igual a zero. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 141 Reservados center7@gmail.com
    • Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1 x²+2x+1=0 x=x`=-b/2a=-1As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)Gráfico:Quando o discrimintante é maior que zeroQuando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízesou zeros da função vistos anteriormente).Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3 x²-4x+3=0 x=1, x`=3Gráfico: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 142 Reservados center7@gmail.com
    • Quando o discriminante é menor que zeroQuando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros dafunção.Exemplo: y = f(x) = x²-x+2 x²-x+2=0Gráfico:Resumindo: a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 143 Reservados center7@gmail.com
    • Esboçando o gráficoPara finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da funçãoy=-x²-4x-31ª etapa: Raízes ou zeros da função -x²-4x-3=0 Aplicando a fórmula de Bháskara x=-1, x`=-32ª etapa: Coordenadas do vérticeCoordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função y= -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1Portanto, V=(-2,1)3ª etapa: Concavidade da parábolay=-x²-4x-3Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixoFeito isso, vamos esboçar o gráfico: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 144 Reservados center7@gmail.com
    • Equação do 2º grau Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientesnuméricos a.b e c com .Exemplos: Equação a b C x²+2x+1 1 2 1 5x-2x²-1 -2 5 -1Classificação:- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grauincompleta.1º caso: b=0Considere a equação do 2º grau imcompleta:x²-9=0 » x²=9 » x= » x=2º caso: c=0Considere a equação do 2º grau imcompleta:x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum xx(x-9)=0 » x=0,93º caso: b=c=02x²=0 » x=0 Resolução de equações do 2º grau: A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolverequações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmulade Bháskara. Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau? Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara: Multiplicamos os dois membros por 4a: 4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac CENTER7 APOSTILAS - Direitos 145 Reservados center7@gmail.com
    • Somamos b² aos dois membros: 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)b²-4ac: (2ax+b)²= 2ax+b= 2ax=-b Logo: ou Fórmula de Bháskara:Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:1) 3x²-7x+2=0a=3, b=-7 e c=2 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25Substituindo na fórmula: = e CENTER7 APOSTILAS - Direitos 146 Reservados center7@gmail.com
    • Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:2) -x²+4x-4=0a=-1, b=4 e c=-4 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0Sustituindo na fórmual de Bháskara: » x=2- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )3) 5x²-6x+5=0a=5 b=-6 c=5 = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possuinenhuma raiz real.Logo: » vazio Propriedades: Duas raízes reais e diferentes Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz realRelações entre coeficientes e raízesVamos provar as relações descritas acima:Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 147 Reservados center7@gmail.com
    • eA soma das raízes será:Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:O produto das raízes será: Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.Obtendo:Substituindo por e :Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau: x² - Sx + P = 0Exemplos:1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:a) x² - 4x + 3=0[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:b) 2x² - 6x -8 =0Sendo a=2, b=-6 e c=-8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos
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    • c) 4-x² = 0Sendo a=-1, b=0 e c=4: Resolução de equações fracionárias do 2º grau: Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resoluçãodestas equações é o mesmo das equações não fracionárias.Exemplos resolvidos:a) Onde , pois senão anularia o denominador[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2xEntão:Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: »Aplicando a fórmula de Bháskara:Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}b) e[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)Então:Eliminando os denominadores: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 149 Reservados center7@gmail.com
    • » » »* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador,logo a solução da equação será somente:x=-1 » S={-1} Resolução de equações literais do 2º grau: Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita. Equação a b c x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) pExemplo: Determine o valor da incógnita x.1) x²-3ax+2a²=0[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:a=1, b=-3a, c=2a² , Logo:x = 2a e x = a » S={a,2a} Resolução de equações biquadradas Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas aoquadrado duas vezes, sua forma é: ondeExemplo resolvido:1)Fazendo x² = y , temosSubstituindo os valores na equação, temos:y² - 5y + 4 = 0 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 150 Reservados center7@gmail.com
    • Aplicando Bháskara:Logo, y = 4 e y`= 1Voltando a variável x:Como y=x², temos:x²=4 » e x²=1 »Então a solução será » S={-2,-1,1,2}ou simplesmente INEQUAÇÃO DO 2 GRAUInequações do 2º grau Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequações sãorepresentadas pelas desigualdades: > , > , < , < . Ex: I) x2 – 3x +6 > 0Resolução:x2 – 3x +6 = 0x´= 1, x´´ = 2Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço do gráfico e verpara quais valores de x isso ocorre. Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2Resposta: {xÎR| x<1 ou x>2} CENTER7 APOSTILAS - Direitos 151 Reservados center7@gmail.com
    • Inequações simultâneas Ex: -8 < x2 –2x –8 < 0 Resolução:1o passo) Separar as inequações , obedecendo o intervalo dado.Temos: I) x2 – 2x –8 > -8 e II) x2 –2x –8 <02o passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas pela separação.I) x2 – 2x > 0 II) x2 –2x –8 <0x´ = 0 x´= x´´ = 1x´´ = 23o passo) Determinado x1 e x2 , fazer o estudo do sinal para cada função.I)x<0 ou x>2 II)x diferente de 1.4o passo) Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2.Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.Resposta: {xÎR| x<0 ou x>2}o Inequação produto e inequação quociente, São as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 0. f(x) / g(x) >0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente. Ex: I) (x2 –9x –10) (x2 – 4x +4) < 0 Resolução:1o passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamentex2 –9x –10 = 0 (I)x2 – 4x +4 = 0 (II) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 152 Reservados center7@gmail.com
    • 2o passo) Determinar as raízes das funções(I) x´= -1, x´´ = 10(II) x´= x´´ = 23o passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.I) x<-1 ou x>10 II) x¹24o passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da função de origem, isto é: > intervalo positivo e bolinha fechada > intervalo positivo e bolinha aberta < intervalo negativo e bolinha fechada < intervalo negativo e bolinha abertaObs1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem em: f(x) positivo e g(x)positivo o h(x) será +,assim temos: + e + = + ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = +Obs2: Na inequação quociente observar a CE do denominador, que influenciará o resultado nos intervalos, no que diz respeito a intervalo fechado ou abertoAssim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em x<-1 e x>10Resposta: {x E R | x<-1 ou x>10} A partir do estudo dos sinais da função do 2.º grau, podemos resolver inequações de mesmo grau ou inequações que apresentem produtos ou quocientes de trinômios de 2.º grau. Tais inequações podem também apresentar binômios de 1.º grau, já estudados no tablóide anterior.AplicaçãoResolver a inequação(-x2 + 3x +4).(x – 2) < 0Essa é uma inequação produto em que um dos fatores é um trinômio de 2.º grau e o outro é um binômio de 1.º grau. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 153 Reservados center7@gmail.com
    • Resposta: S = {x | - 1 < x < 2 ou x >4} Sistemas Lineares Introdução aos sistemas lineares Exemplos de sistemas Equação linear Sistemas equivalentes Solução de uma equação linear Operações elementares (sistemas) Sistemas de equações lineares Solução por escalonamento Solução de sistema de eq. lineares Sistemas lineares homogêneos Consistência de sistemas lineares Regra de CramerIntrodução aos sistemas linearesEsta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. Asequações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas emcontainers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz: Tipo do Recipiente I II III A 432 B 523 C 223Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?Montagem do sistema linear 4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42 3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College deCambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores demateriais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, CENTER7 APOSTILAS - Direitos 154 Reservados center7@gmail.com
    • as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas deequações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas emtermos de transformações lineares homogêneas.Equação linearÉ uma equação da forma a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1onde x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos); b1 é o termo independente (número real ou complexo).Exemplos de equações lineares 1. 4x+3y-2z=0 2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3 3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1 4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5iNotação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x> 0.Exemplos de equações não-lineares 1. 3 x + 3y R[x] = -4 2. x2 + y2 = 9 3. x+2y-3zw=0 2 2 4. x + y = -9Solução de uma equação linearUma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1se trocarmos cada xi por r i na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual aomembro da direita, isto é: a11 r 1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 naequação dada, teremos: 2×5 + 3×6 - 2×7 = 14Sistemas de equações lineares CENTER7 APOSTILAS - Direitos 155 Reservados center7@gmail.com
    • Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equaçõeslineares. Um sistema linear pode ser representado na forma: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... am 1 x1 + am2 x2 +...+ amn x n = bnonde x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ..., amn são os coeficientes; b1 , b2, ..., bm são os termos independentes.Solução de um sistema de equações linearesUma sequência de números (r1,r2,...,r n) é solução do sistema linear: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... am 1 x1 + am2 x2 +...+ amn x n = bnse satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear: 2x + y = 4 x + 3y = 2 x + 5y = 2pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os doismembros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.Consistência de Sistemas LinearesO número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação àsua consistência:Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução. a. Se tem uma única solução, o sistema é determinado. b. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.Exemplos de sistemas com respeito às suas soluçõesSistema com uma única sol ução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesianoque têm o ponto (3,-2) como interseção. x + 2y = -1 2x - y = 8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 156 Reservados center7@gmail.com
    • Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no planocartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas). 4x + 2y = 100 8x + 4y = 200Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo,não existem pontos que pertençam às duas retas. x + 3y = 4 x + 3y = 5Sistemas equivalentesDois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo: 3x + 6y = 42 1x + 2y = 14 S1 2x - 4y = 12 S2 1x - 2y = 6pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.Operações elementares sobre sistemas linearesExistem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações deforma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequênciatrabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. Osegundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhasiniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada. 1. Troca de posição de duas equações do sistema Troca a Linha 1 com a Linha 3 x + 2y - z = 2 4x + y - 5z = 9 2x-3y+2z=0 ~ 2x-3y+2z=0 4x + y - 5z = 9 x + 2y - z = 2 2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo Multiplica a Linha 1 pelo número 3 x + 2y - z = 2 3x + 6y - 3z = 6 2x-3y+2z=0 ~ 2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9 4x+y-5z=9 A equação resultante fica na linha 1 3. Adição de duas equações do sistema Adição da Linha 2 com a Linha 3 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 157 Reservados center7@gmail.com
    • x+2y-z=2 3x+6y-3z=6 2x -3y + 2z = 0 ~ 2x-3y+2z=0 4x + y - 5z = 9 6x - 2y - 3z = 9 A equação resultante fica na linha 3Resolução de sistemas lineares por escalonamentoCom o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamosmostrar como funciona este processo através de um exemplo.Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas. 3x + y + z = 20 2x - y - z = -15 -4x + y -5z = -41Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos kLi->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i. Passo 1: L1-L2->L1 3x + 1y + 1z = 20 1x + 2y + 2z = 35 2x - 1y - 1z = -15 ~ 2x-1y-1z=-15 -4x+1y-5z=-41 -4x+1y-5z=-41 Passo 2: L2-2.L1->L2 1x + 2y + 2z = 35 1x+2y+2z=35 2x - 1y - 1z = -15 ~ 0x - 5y - 5z = -85 -4x+1y-5z=-41 -4x+1y-5z=-41 Passo 3: L3+4.L1->L3 1x + 2y + 2z = 35 1x+2y+2z=35 0x-5y-5z=-85 ~ 0x-5y-5z=-85 -4x + 1y - 5z = -41 0x + 9y + 3z = 99 Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x - 5y - 5z = -85 ~ 0x + 1y + 1z = 17 0x + 9y + 3z = 99 0x + 3y + 1z = 33 Passo 5: L3-3.L2->L3 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x + 1y + 1z = 17 ~ 0x+1y+1z=17 0x + 3y + 1z = 33 0x + 0y - 2z = -18 Passo 6: (-1/2)L3->L3 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17 ~ 0x+1y+1z=17 0x + 0y - 2z = -18 0x + 0y + 1z = 9 Passo 7: L2-L3->L2 1x+2y+2z=35 1x+2y+2z=35 ~ 0x + 1y + 1z = 17 0x + 1y + 0z = 8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 158 Reservados center7@gmail.com
    • 0x + 0y + 1z = 9 0x+0y+1z=9 Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1 1x + 2y + 2z = 35 1x + 0y + 0z = 1 0x + 1y + 0z = 8 ~ 0x+1y+0z=8 0x + 0y + 1z = 9 0x+0y+1z=9 Passo 9: Simplificar coeficientes 1x + 0y + 0z = 1 x=1 0x + 1y + 0z = 8 ~ y=8 0x + 0y + 1z = 9 z=9Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.Sistemas lineares homogêneosUm sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todosistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim,todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente asolução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.Exemplo: O sistema 2x - y + 3z = 0 4x + 2y - z = 0 x - y + 2z = 0é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.Regra de CramerEsta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X,escreveremos det(X).Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bnA este sistema podemos associar algumas matrizes: Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A. Matriz dos coeficientes a11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ... CENTER7 APOSTILAS - Direitos 159 Reservados center7@gmail.com
    • an1 an2 ... anj ... ann Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes. Matriz Aumentada a11 a12 ... a1j ... a1n b1 a21 a22 ... a2j ... a2n b2 ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... anj ... ann bn Matriz da incógnita x j: É a matriz A j obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema. Matriz da incógnita xj a11 a12 ... b1 ... a1n a21 a22 ... b2 ... a2n ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... bn ... annQuando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, écomum escrever Ax, Ay e Az .Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(A j) por det(A), isto é: xj = det(Aj) / det(A)Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada dosistema forem iguais a zero.Um sistema impossível: Seja o sistema 2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 7z = 40A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo. 2 3 4 2 3 4 27 1 -2 3 1 -2 3 15 3 1 7 3 1 7 40Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada sãonulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo odeterminante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada: 2 3 27 1 -2 15 3 1 40Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 naúltima linha!) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 160 Reservados center7@gmail.com
    • 2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 7z = 42A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo: 2 3 4 2 3 4 27 1 -2 3 1 -2 3 15 3 1 7 3 1 7 42Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então osistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras ecomo estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y emfunção de z.Um sistema com solução única: Seja o sistema 2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 6z = 40A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo. 2 3 4 27 1 -2 3 15 3 1 6 40Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes A x, A y e Az , etais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das trêsequações, temos: 27 3 4 2 27 4 2 3 27 Ax= 15 -2 3 Ay= 1 15 3 Az= 1 -2 15 40 1 6 3 40 6 3 1 40Como det(A x)=65, det(A y)=1 e det(A z)=14, a solução do sistema é dada por: x = det(Ax)/det(A) = 65/7 y = det(Ay)/det(A) = 1/7 z = det(Az)/det(A) = 14/7 ESTATÍSTICA CENTER7 APOSTILAS - Direitos 161 Reservados center7@gmail.com
    • INTRODUÇÃOA estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, namedida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, não realçando, no entanto, aspectosimportantes.É objectivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão dassituações que representam.DADOS, GRÁFICOS E TABELASTipos de Dados Podemos classificar os dados que constituem a Amostra , ou dados amostrais, em dois tipos fundamentais: Dados qualitativos e dados quantitativos 1.1-Dados Representam a informação que identifica alguma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo várias qualitativos modalidades. Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo as categorias: Solteiro, casado, viúvo e divorciado. 1.2-Dados Representam a informação resultante de características susceptíveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem quantitativos ser de natureza discreta (descontínua) - dados discretos, ou contínua - dados contínuos. Exemplo: Consideremos uma amostra constituída pelo nº de irmãos de 10 alunos de uma determinada turma : 3, 4, 1, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 2 Estes dados são de natureza discreta. Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm): 153, 157, 161, 160, 158, 155, 162, 156, 152, 159 obteremos dados do tipo contínuo. Representação Gráfica de Dados CENTER7 APOSTILAS - Direitos 162 Reservados center7@gmail.com
    • Estes dados só podem tomar um número finito ou infinito numerável de valores distintos, apresentando vários valores 2.1-Dados discretos repetidos - é o caso, por exemplo, do nº de filhos de uma família ou do nº de acidentes, por dia, em determinado cruzamento. Como organizar Os dados são organizados na forma de os dados ? uma tabela de frequências, análoga à construída para o caso dos dados qualitativos. No entanto, em vez das categorias apresentam-se os valores distintos da amostra, os quais vão constituir as classes. Exemplo: Consideremos a amostra constituída pelo nº de irmãos dos 20 alunos de uma determinada turma: 1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2 tabela de frequências classes freq. freq. abs. rel. 0 4 0.20 1 8 0.40 2 4 0.20 3 3 0.15 4 1 0.05 total 20 1.002.2-Dados contínuos No caso de uma variável contínua, esta pode tomar todos os valores numéricos, inteiros ou não, compreendidos no seu intervalo de variação - temos por exemplo o peso, a altura, etc... Como organizar os dados?Enquanto que no caso de dados discretos, a construção da tabela de frequências não apresentaqualquer dificuldade, no caso das variáveis contínuas o processo é um pouco mais elaborado,distinguindo-se certas etapas principais, que se descrevem nas páginas seguintes...Medidas de Localização CENTER7 APOSTILAS - Direitos 163 Reservados center7@gmail.com
    • No capítulo Dados, tabelas e gráficos , vimos alguns processos de resumir informação contida na amostra,utilizando os processos gráficos.Veremos agora um outro processo de resumir essa informação, utilizando determinadas medidas, calculadas apartir de dados, que se chamam ESTATÍSTICAS.Médiamédia amostral ou simplesmente média, que se representa por é uma medida de localização do centro daamostra, e obtém-se a partir da seguinte expressão:onde x1, x2, ..., xn representam os elementos da amostra e n a sua dimensão.Moda Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação).Mediana A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pert encente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 164 Reservados center7@gmail.com
    • Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n , ... , X n:nentão uma expressão para o cálculo da mediana será: Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados !Medidas de Dispersão Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são: • o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. • se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICASPROGRESSÕES ARITMÉTICAS * Definição Podemos chamar de progressão aritmética uma sucessão de termos, tais que a diferençaentre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é chamada de razão (r). Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta somaindicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética. * Classificação de uma P.A. - Infinita ou Ilimitada CENTER7 APOSTILAS - Direitos 165 Reservados center7@gmail.com
    • Se a progressão aritmética tiver um número infinito de termos, pode ser denominada de“infinita ou ilimitada”. Ex.: (8, 10, 12, 14, 16....) (5, 10, 15, 20, 25....) (4, 8, 12, 16, 20 ....) - Finita ou Limitada Se a progressão aritmética tiver um número finito de termos, pode ser denominada de“finita ou limitada” Ex.: (6, 8, 10) (3, 6, 9) - Em relação à razão (r) Pode ser : a) Crescente Quando a razão “r” > 0Ex.: (3, 6, 9, 12) ----> r = 3 (2, 4, 6, 8) ----> r = 2 (15, 20, 25, 30) ---> r = 5 b) Decrescente Quando a razão “r” < 0 Ex.: (6, 4, 2) ---> r = -2 (12, 9, 6, 3) ----> r = -3 (16, 12, 8, 4) ----> r = -4 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 166 Reservados center7@gmail.com
    • c) EstacionáriaQuando a razão “r” = 0Ex.:(3, 3, 3) ----> r = 0(7, 7, 7) ----> r = 0(5, 5, 5) ----> r = 0* Notação de uma PAObserve os termos abaixo:(a1, a2, a3, a4, ...., an – 1, an)Logo pela definição, temos o seguinte:a2 – a1 = a3 – a2 = an – an – 1 = ... = rEx.:a) (4, 8, 12) é uma PA onde a1 = 4 e r = 4b) (3, 6, 9) é uma PA onde a1 = 3 e r = 3* Fórmula do Termo Geral de uma PAPartindo da definição inicial, temos:a2 = a1 + ra3 = a1 + 2ra4 = a1 + 3r...aN = a1 + (n – 1)rAssim: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 167 Reservados center7@gmail.com
    • - Exemplos: A fórmula geral nos permite obter facilmente um termo qualquer de uma progressãoaritmética. a) Calcular o 5º termo da P.A. (1,3,5,....) Dados do problema: a1 = 1 n =5 r=2 Porquê r = 2 ??? Basta olhar na progressão aritmética fornecida (1, 3, 5,...) 1 +2 =3 3 +2 =5 Fórmula geral da P.A. an = a1 + (n – 1)r an = 1 + (5 – 1).2 an = 1 + (4).2 ---> an = 1 + 8 -----> an = 9 * Exercícios para fixação de conteúdo Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teoriasjuntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possatreinar os fundamentos. 1) A razão da P.A. cujo 1º termo é 8 e o 8º termo é 43 tem valor de : a. ( ) 4 b. ( ) 5 c. ( ) 6 d. ( ) 7 e. ( ) 9 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 168 Reservados center7@gmail.com
    • Solução:Dados do problema:a1 = 8an = 43n =8r=?an = a1 + (n – 1)r43 = 8 + (8 – 1)r43 – 8 = 7r7r = 35r = 5Dessa forma, a resposta correta é a letra “b”Como saber se o resultado está certo ?Basta montar a respectiva PA = (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43...)2) Calcular o 1º termo de uma P.A., onde r = 2 e a5 = 10a. ( ) 0b. ( ) 4c. ( ) 2d. ( ) 5e. ( ) 3Solução:Dados do problema:a1 = ?an = 10n =5r=2 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 169 Reservados center7@gmail.com
    • Fórmula geral da PA. Sempre é bom frisar e buscar escrevê-la sempre que for solucionarproblemas, assim há uma fixação melhor da fórmula. an = a1 + (n – 1)r 10 = a1 + (5 – 1).2 10 = a1 + (4).2 a1 + 8 = 10 a1 = 10 – 8 a1 = 2 Dessa forma, a resposta correta é a letra “c” Como saber se o resultado está certo? Basta montar a respectiva PA = (2, 4, 6, 8, 10, 12...) No tutorial anterior, foi visto que progressão aritmética é uma sucessão de termos, taisque a diferença entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença échamada de razão (r). Para relembrar o que é o termo PA : Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta somaindicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética. * Propriedades de uma PA Iremos abordar agora, as propriedades de uma progressão aritmética, onde é possívelatravés destas resolver várias questões de PA. - 1ª Propriedade Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, émédia aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente. Desta forma na P.A. abaixo temos : (a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an ...) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 170 Reservados center7@gmail.com
    • Ex.: a) P.A = (1,3,5,7,9,11) Temos: 5 = (7+3)/2 7 =(5+9)/2 b) P.A = (2,4,6,8,10,12) Temos: 6 = (4+8)/2 10 =(12+8)/2 - 2ª Propriedade Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à somados extremos. Desta forma na P.A. abaixo temos : (a1, a2, a3, ..., ai, ...ak, ... an-2, an-1, an) P termos P termos Ex.: a) Se em uma P.A. n = 27, então, podemos afirmar que os termos “a7” e “a31”, sãoeqüidistantes dos extremos, pois: 7 + 31 = 31 + 7 b) 1,2,3,...98, 99, 100. Logo: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100 c) 1,2,3,...88,89,90. Logo: 2 + 89 = 3 + 88 = ... = 1 + 90 - 3ª Propriedade CENTER7 APOSTILAS - Direitos 171 Reservados center7@gmail.com
    • Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a médiaaritmética dos extremos. Assim, na P.A. (com número ímpar) (a1, a2, ..., ai, ...ak, ... an-1, an) P termo P termo Conclui-se que: Ex.: a) 3, 5, 7, 9, 11, 7 = (3+11)/2 b) 15,17,19,21,23 19 =(15+23)2 * Soma de uma Progressão Aritmética (P.A.) A soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semi-soma dosextremos pelo número de termos. Ex.: Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...) Sn = (a1 + an)N 2 S20 = (a1 + a20)20 2 a20 = ?? a20 = a1 + 19r = a20 = 2 + 19r = CENTER7 APOSTILAS - Direitos 172 Reservados center7@gmail.com
    • a20 = 2 + 19.(3) = ---> a20 = 2 + 57 = 59 S20 = (a1 + a20)20 = ---> S20 = (2 + 59)20 2 2 S20 = 61 . 20 = 1.220 = ---> S20 = 610 2 2 * Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.) Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formaruma P.A. de n = k + 2 termos onde a1 e an são os extremos. Como a1 é sempre dado, basta determinar a razão (r).Ex.: a) Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38 3, ____,____,____,_____,38 a1 = 3 an = 38 n =6 r =? an = a1 + (n – 1)r ---> Resolvendo r = 7 Resposta: 3, 10, 17, 24,31,38 * Exercícios para fixação de conteúdo Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teoriasjuntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possatreinar os fundamentos. a) Determinar o valor de x, de modo que os números (x + 4)2, (x – 1)2 e (x + 2)2estejam, nessa ordem, em uma P.A. Resolvendo: P.A. [(x + 4)2, (x - 1)2, (x + 2)2] Sendo: a1 = (x + 4)2 | a2 = (x - 1)2 | a3 = (x + 2)2 Onde : a2 – a1 = a3 – a2 ---> (x - 1)2 - (x + 4)2 = (x + 2)2 - (x - 1)2 ----> CENTER7 APOSTILAS - Direitos 173 Reservados center7@gmail.com
    • (x2 – 2x + 1) – (x2 + 8x + 16) = (x2 + 4x + 4) – (x2 – 2x + 1) = ----> -2x – 8x + 1 - 16 = 4x + 2x + 4 – 1 = ---> -10x - 15 = 6x + 3 = ----> -10x – 6x = 3 + 15 = -16x = 18 ---> 16x = -18 ----> x = -18/16 ---> x = -9/8 b) Encontrar o termo geral da P.A. (4,7,...) Resolvendo: Dados do problema: a1 = 4 r=7 –4=3 n =n an = a1 + (n – 1)r an = 4 + (n – 1)3 an = 4 + 3n – 3 an = 3n + 1 Progressão GeométricaProgressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente dadivisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) daprogressão.· Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)Observamos que: 4=2x2 8=4x2 16 = 8 x 2- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);- A esse número fixo damos o nome de razão (q); CENTER7 APOSTILAS - Direitos 174 Reservados center7@gmail.com
    • · Representação Matemática:q = an / an-1· Classificação:1. (2,6,18,54,...) - P.G. Crescente ;2. (-2,-6,-18,-54,...) - P.G. Decrescente;3. (6,6,6,6,6,...) - P.G. Constante - q = 1 ;4. (-2, 6, -18, 54,...) - P.G. Alternante - q < 0 ;· Termo Geral da P.G.:- a2 = a1 x q 2- a3 = a2 x q ou a3 = a1 x q n-1an = a1 . q· Três números em P.G.:x/q , x , x.q· Interpolação Geométrica:Exemplo: 1,__,__,__,__,243 5 a6 = a1 .q 5 243= 1.q q=3 Logo: (1,3,9,27,81,243);· Soma dos Termos de uma P.G. finita : nSn = a1 . (q - 1) / q-1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 175 Reservados center7@gmail.com
    • · Soma dos Termos de uma P.G. infinita : - Se expressões do tipo qn quando: 0 <q<1 ou n ®¥ (tende a infinito); n q = 0 (Aproximadamente) Sn = a1 / 1-qExemplos:1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PGResolução: n= 6 a1 = 2 a6 = 486 5a6 = a1.q 5486 = 2 . qq=3Resposta: q = 32) Ache a progressão aritmética em que:a1 + a2 + a3 = 7a4 + a5 + a6 = 56Resolução:transformando, temos: 2 2a1 + a1 .q + a1. q = 7 Þ a1 (1 + q + q ) = 7 I3 2 (1+ a5 + q 6 )==56 4 +q+a 56 Þ a1.q II a CENTER7 APOSTILAS - Direitos 176 Reservados center7@gmail.com
    • Dividindo-se II por I : 3q =8Þq=2de I vem:a1 (1 + 2 + 4) = 7 Þ a1 = 1Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)3)Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:a1 = 3an = 48n=3+2=5Devemos, então, calcular q:an = a1.qn-1 448 = 3 . qq = ±2Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)4)Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1°membro formam u maP.G.Resolução: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 177 Reservados center7@gmail.com
    • a1 = xq = 3x/x= 3an = 729xSn= 5465Cálculo de n: n-1an = a1 q n-1729x = x . 3 (veja que x ¹ 0) -1729 = 336 = 3 n-1n=7 nSn = a1 . (q - 1) / q- 75465 = x (3 – 1)/ (3 – 1)x=5Resposta: x = 55) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131..Resolução:0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG)a1 = 0,31q = 0,01Sn = a1 / 1-q CENTER7 APOSTILAS - Direitos 178 Reservados center7@gmail.com
    • Sn = 0,31/1-0,01Sn= 31/99Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99 MATEMÁTICA FINANCEIRA Conceitos básicos A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos oufinanciamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar aoperação financeira a um Fluxo de Caixa. Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos . JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere oconsumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar atépossuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia aalguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que aoperação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimosdefinem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio elongo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais comoCaderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime dejuros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Taxa de juros CENTER7 APOSTILAS - Direitos 179 Reservados center7@gmail.com
    • A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Elavem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que serefere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100,sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre osjuros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicialemprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J=P.i.n Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Exemplo : Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de jurossimples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) M=P.(1+(i.n)) Exemplo : Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145dias. SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí terdividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.Exercícios sobre juros simples: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 180 Reservados center7@gmail.com
    • 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemoscalcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar umcapital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos deproblemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos jurosdo período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses decapitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 181 Reservados center7@gmail.com
    • M = P . (1 + i)n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mêspara n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J=M-P Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5%ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)Resolução: P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=? n Usando a fórmula M=P.(1+i) , obtemos: M 12 12 = 6000.(1+0,035) = 6000. (1,035) Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: 12 log x = log 1,035 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00 PRINCÍPIOS DE CONTAGEMO princípio fundamental da contagem é um princípio combinatório que indica de quantas formas sepode escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o primeiro conjunto tem k1 elementos,o segundo tem k2 elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de escolhas é dado por: T = k1 . k2 . k3 . ... kn CENTER7 APOSTILAS - Direitos 182 Reservados center7@gmail.com
    • PROBABILIDADEEstudo das Probabilidades· Espaço amostral:É o conjunto que possui todos os eventos que podem ocorrer no exercício(casos possíveis);· Amostra ou evento: É um subconjunto do espaço amostral (casos favoráveis); EX: Seja um urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradassucessivamente 3 bolas. Espaço Amostral(S): S = {(PPP),(PPV),(PVP),(PVV),(VPP),(VPV),(VVP),(VVV)}. Alguns eventos: 1) 2 das bolas são pretas – {(PPV),(PVP),(VPP)}. 2) três bolas tem a mesma cor – {(PPP),(VVV)}· Cálculo da probabilidade:Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis.P(E) = n(E) / n(S)n(E) = no de elementos do evento / n(S) = no de elementos do espaço amostralExemplo: De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente , sem reposição , duas cartas. Determinar aprobabilidade dos eventos:a) As duas cartas dão damasb) As duas cartas são de ourosResolução CENTER7 APOSTILAS - Direitos 183 Reservados center7@gmail.com
    • a) Cálculo do número de possibilidades do espaço amostral: º1 possibilidade: 52 º2 possibilidade: 51Þ n(U) = 52. 51 = 2652Cálculo do número de eventos do elemento A: duas damas.Temos duas damas; portanto: A 4, 2 = 4 . 3 = 12 Þ n(A) = 12P(A) = n(A)/n(U) = 12/2652 = 1/221b) Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.Temos 13 cartas de ouros, portanto A 13 , 2 = 13 . 12 = 156P(B) = n(B)/n(U) = 156/2652 = 1/17Respostas: a)1/221 b)1/17Adição de probabilidadesP(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)Exemplo: Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar?Resolução: O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }Os eventos são: ocorrência do número 3 Þ A = {3} Þ n(A) = 1 ocorrência de número ímpar Þ B = {1, 3, 5} Þ n(B) = 3A B = {3} Þ n(A B) = 1P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 184 Reservados center7@gmail.com
    • P(AUB) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U) – n(A B)/n(U)P(AUB) = 1/6 + 3/6 –1/6 = 3/6 = ½ ou P(AUB) = 50%Resposta: 50%Probabilidade do evento complementar cP(A) + P(A ) = 1Exemplo: Consideremos um cnjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados. Escolhendo – sealeatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:a) Ambas não estejam estragadasb) Pelo menos uma esteja estragadaResolução:a) Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem ser escolhidas: 10n(U) = ( 2) = 10!/2!.8! = 45 maneirasCálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas boas podem ser escolhidas: 7n(A) = ( 2) = 7!/2!.5! = 21 maneirasP(A) = n(A)/n(U) = 21/45 = 7 /15b) A c é o evento: pelo menso uma furta está estragada. c cP(A) + P(A ) = 1Þ 7/15 + P(A ) = 1 c cP(A ) = 1 – 7/15 Þ P(A ) = 8/15Respostas: a) 7/15 b) 8/15 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 185 Reservados center7@gmail.com
    • Probabilidade condicionalP(A/B) = n(A CENTER7 APOSTILAS - Direitos 186 Reservados center7@gmail.com
    • Ex: Em 2 dados: qual é a probabilidade de se obter o nº6 nos dois dados? P(6+6) = 1/6 x 1/6 = 1/36 GEOMETRIA PLANA Geometria Plana: Elementos de geometria planaIntroduçãoA Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essasdefinições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos sãoaceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar naprática!A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos maiscomplexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros degravidade de objetos, etc.Algumas definiçõesPolígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Ossegmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices dopolígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígonoPolígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão nointerior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendoestes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Polígono No. de lados Polígono No. de lados Triângulo 3 Quadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octógono 8 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 187 Reservados center7@gmail.com
    • Eneágono 9 Decágono 10 Undecágono 11 Dodecágono 12Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento quetem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo: 1. Os lados opostos são congruentes; 2. Os ângulos opostos são congruentes; o 3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180 ; 4. As diagonais cortam-se ao meio.Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam umângulo de 90o.Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatrolados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominadosbase menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos deum trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das basesmaior e menor do trapézio. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 188 Reservados center7@gmail.com
    • Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ânguloscongruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menorsuperior (amarelo) do triângulo isósceles maior."Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seuslados opostos não são congruentes.Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados peladiagonal menor são congruentes. Geometria Plana: Áreas de regiões poligonais Triângulo e região triangular Comparando áreas de triângulos O conceito de região poligonal Área do losango Unidade de área Área do trapézio Área do retângulo Polígonos regulares Área do quadrado Elementos de um polígono Área do paralelogramo Áreas de polígonos regulares Área do triângulo Comparando áreas de polígonosTriângulo e região triangularNo desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos ospontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A regiãotriangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos dointerior do triângulo ABC são pontos da região triangular. Triângulo ABC Região triangular ABC CENTER7 APOSTILAS - Direitos 189 Reservados center7@gmail.com
    • Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é umsegmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares nãosobrepostas.O conceito de região poligonalUma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares(estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma regiãotriangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de váriasmaneirasDuas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, éum conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos: 1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área. 2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área. 3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas: a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 190 Reservados center7@gmail.com
    • b. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar de expressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU.Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal emregiões triangulares.Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares. Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)Unidade de áreaPara a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.Área do RetânguloA figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. Osegmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seisquadrados tendo cada um 1 unidade de área.A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área doretângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número deunidades da altura BC.O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo éo produto da medida da base b pela medida da altura h. A=b×h CENTER7 APOSTILAS - Direitos 191 Reservados center7@gmail.com
    • Área do quadradoUm quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área doquadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e aárea A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x. A = x²Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5unidades.A = b×h A = (8u)x(5u) = 40u²No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certaunidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar aárea em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área. 1. Transformando as medidas em metros Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de: A = b×h A = (1,20m)×(2m) = 2,40m² 2. Transformando as medidas em centímetros Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por: A = b×h A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²Área do ParalelogramoCombinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas deretângulos podemos obter a área do paralelogramo.Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmentoperpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer umdeles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 192 Reservados center7@gmail.com
    • No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um delespode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é,A=b×h.Área do TriânguloA área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.Demonstração da fórmulaExemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z]denota a raiz quadrada de z> 0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obterh²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que: A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.Comparação de áreas entre triângulos semelhantesConhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possívelobter a razão entre as áreas desses triângulos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 193 Reservados center7@gmail.com
    • Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre oscomprimentos de quaisquer dois lados correspondentes. Área de ABC ² a b² c² = = = Área de RST r ² s² t²Área do losangoO losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da basepela medida da altura.A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. Demonstração da fórmulaÁrea do trapézioEm um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura commedida h.A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é,A=(b1+b2).h/2.Polígonos regularesUm polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existemduas circunferências associadas a um polígono regular. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 194 Reservados center7@gmail.com
    • Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferênciacircunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém opolígono em seu interior.Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (pordentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida nopolígono.Elementos de um polígono regular 1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita. 2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices. 3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados. 4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono. Apótema: OM, Apótema: OX, Raios: OA,OF Raios: OR,OT Ângulo central: AOF Ângulo central: ROT 5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus.Áreas de polígonos regularesTraçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 195 Reservados center7@gmail.com
    • Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poli gonal regular será dada pela metade do produto damedida do apótema a pelo perímetro P, isto é: A = a × Perímetro / 2Comparando áreas entre polígonos semelhantesApresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamosdiagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificadodiretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade sejaválida para polígonos semelhantes com n lados.Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulose cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 196 Reservados center7@gmail.com
    • Área de ABCDE... ² s t² = = Área de ABCDE... (s)² (t)²PERÍMETROPerímetro de polígono planoÉ a soma das medidas de todos os seus lados. Identifica-se por 2p (perímetro) e p por semi-perímetro.Exemplo. perímetro = 2p = a + b + c + d + e + f + gTRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Trigonometria do Triângulo Retângulo Trigonometria e aplicações A hipotenusa (base) do triângulo Triângulo Retângulo Projeções de segmentos Lados de um triângulo retângulo Projeções no triângulo retângulo Nomenclatura dos catetos Relações Métricas Propr. do triângulo retângulo Funções trigonométricas básicasTrigonometria e aplicaçõesIntroduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo,assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma páginamais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 197 Reservados center7@gmail.com
    • A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já seusava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodoscomuns.Algumas aplicações da trigonometria são: Determinação da altura de um certo prédio. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples. Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.Triângulo RetânguloÉ um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus,daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de umtriângulo é igual a 180° então os outros dois ângu los medirão 90° , .Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominadoscomplementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ânguloscomplementares.Lados de um triângulo retânguloOs lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados deacordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é ahipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Termo Origem da palavra Cathetós: Cateto (perpendicular) Hipotenusa Hypoteinusa: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 198 Reservados center7@gmail.com
    • Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90° b Cateto B = Ângulo agudo B<90° c Cateto C = Ângulo agudo C<90°Nomenclatura dos catetosOs catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Seestivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo Ce o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. Ângulo Lado oposto Lado adjacente C c cateto oposto b cateto adjacente B b cateto oposto c cateto adjacenteUm dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nossocotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triânguloretângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.Propriedades do triângulo retângulo 1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares. 2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. 3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 199 Reservados center7@gmail.com
    • A hipotenusa como base de um triângulo retânguloTomando informações da mesma figura acima, obtemos: 1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a. 2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a. 3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.Projeções de segmentosIntroduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início destetrabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é aprojeção oblíqua do prédio sobre o solo.Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter asprojeções destes segmentos sobre a reta.Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por AB, sendo queno último caso A=B é um ponto. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 200 Reservados center7@gmail.com
    • Projeções no triângulo retânguloAgora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo. 1. m = projeção de c sobre a hipotenusa. 2. n = projeção de b sobre a hipotenusa. 3. a = m+n. 4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica .Relações Métricas no triângulo retânguloPara extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC emdois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decompostona soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes. Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor ABC a b c ADC b n h ADB c h mAssim: a/b = b/n = c/h a/c = b/h = c/m b/c = n/h = h/m CENTER7 APOSTILAS - Direitos 201 Reservados center7@gmail.com
    • logo: a/c = c/m equivale a c² = a.m a/b = b/n equivale a b² = a.n a/c = b/h equivale a a.h = b.c h/m = n/h equivale a h² = m.nExistem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b²,obtemos: c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²que resulta no Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.Funções trigonométricas básicasAs Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seusângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo éindicado pela letra x. Função Notação Definição medida do cateto oposto a x seno sen(x) medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a x cosseno cos(x) medida da hipotenusa medida do cateto oposto a x tangente tan(x) medida do cateto adjacente a xTomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulosob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto atangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo. O C CO A C CA O C sen(x) sen(x)= = cos(x)= = tan(x)= = H 1 H 1 A C cos(x)Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 202 Reservados center7@gmail.com
    • SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOSDizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamentecongruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.Traduzindo a definição em símbolos:Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e aúltima a proporcionalidade dos lados homólogos.Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos sãosemelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa emJava descrito abaixo).Razão de SemelhançaDenominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homólogos, como a razão desemelhança dos triângulos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 203 Reservados center7@gmail.com
    • ExemploDados os triângulos ABC e DEF semelhantes com as medidas dos lados indicadas abaixo, calcule as medidasdos lados e e d do segundo triângulo.Solução:Como os triângulos são semelhantes por hipótese, vem, pela razão de semelhança, que: c = kf => k = c/f => k = 4/8 = 1/2De forma análoga: a = kd => 8 = (1/2)d => d = 16 b = ke => 6 =(1/2)e => e = 12Propriedadesa) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 204 Reservados center7@gmail.com
    • c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro ésemelhante ao terceiro. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 205 Reservados center7@gmail.com
    • Observação: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notaçãocorreta conforme indicado anteriormente.Critérios de Semelhança de TriângulosCritério AA => Ângulo-Ângulo: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes,então os triângulos são semelhantes.Demonstração: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 206 Reservados center7@gmail.com
    • Pitágoras estabeleceu, então, em seu mais famoso teorema que: O quadrado da hipotenusa é igual a somados quadrados dos catetos, i.e.: a2 = b2 + c2Para finalizar o artigo com chave de ouro vamos demonstrar o Teorema de Pitágoras com o uso dos critérios desemelhança.Demonstração:Observe que os triângulos ABH e ABC são semelhantes como decorrência do critério AA, uma vez que ambospossuem um ângulo reto e o ângulo B em comum. Daí tiramos a seguinte relação entre os lados homólogos: c/a = m/c => c2 = a.m => c2 = a.(a - n) => c2 = a2 - an [1]Pela mesma razão os triângulos AHC e ABC são semelhantes. Logo: 2 b/a = n/b => b = an [2]Substituindo [2] em [1] vem que: 2 2 2 2 2 2 c = a - b => a = b + c .Trigonometria no Triângulo Retângulo Trigonometria no triângulo Retângulo- Razões trigonométricas no triângulo retânguloConsideremos um ângulo agudo qualquer d medida , levando-se em conta os infinitos triângulos retângulosque possuem o ângulo de medida . CENTER7 APOSTILAS - Direitos 207 Reservados center7@gmail.com
    • Exemplo:Os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH são todos semelhantes. Logo:Respectivamente, as razões (trigonométricas) r1, r2, r3 são denominadas de: seno do ângulo (sen ), co-seno do ângulo (cos ) e tangente do ângulo (tg )Co-seno do ângulo agudo (cos ) é a razão entre a medida do cateto adjacente a e a medida dahipotenusa.Tangente do ângulo (tg ) é razão entre a medida do cateto oposto a e a medida do cateto adjacente a . CENTER7 APOSTILAS - Direitos 208 Reservados center7@gmail.com
    • Seno do ângulo (sen ). A razão k é uma característica de cada ângulo e seu valor é chamado de seno doângulo (sem ).Propriedades do triângulo retânguloÂngulosO triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudoscomplementares.LadosUm triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior)e outros dois lados que são os catetos.AlturaA altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice ea outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento éperpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo,sendo que duas delas são os catetos.A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, aaltura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular àbase.A hipotenusa como base de um triângulo retângulo Segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa a. SegmentoBD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusaa. Segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre ahipotenusa a. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 209 Reservados center7@gmail.com
    • Projeções de segmentosIntroduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no iníciodeste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina umasombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possívelobter as projeções destes segmentos sobre a reta.Projeções no triângulo retânguloAgora iremos estudar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.m = projeção de c sobre a hipotenusa.n = projeção de b sobre a hipotenusa.a = m+n.h = média geométrica entre m e n.Relações Métricas no triângulo retânguloPara extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triânguloretângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessaforma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CAD=B e DAB=C. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 210 Reservados center7@gmail.com
    • Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.Assim:a/b = b/n = c/ha/c = b/h = c/mb/c = n/h = h/mlogo:a/c = c/m => c2 = a.ma/b = b/n => b2 = a.na/c = b/h => a.h = b.ch/m = n/h => h2 = m.nTemos também outras relações a partir do triângulo inicial ABC.Como a=m+n então, somando c2 com b2 , teremos:c2 + b2 = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a2que resulta no Teorema de Pitágoras:a2 = b2 + c2A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema dePitágoras. Geometria EspacialConceitos primitivos São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto,reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: • pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto CENTER7 APOSTILAS - Direitos 211 Reservados center7@gmail.com
    • • planos: letras minúsculas do alfabeto gregoObservação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:Axiomas Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem debase para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.Postulados sobre pontos e retasP1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 212 Reservados center7@gmail.com
    • P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.Postulados sobre o plano e o espaçoP5) Por três pontos não colineares passa um único plano.P6) O plano é infinit o, isto é, ilimitado.P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semi-planos.P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.Posições relativas de duas retasNo espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 213 Reservados center7@gmail.com
    • CENTER7 APOSTILAS - Direitos 214 Reservados center7@gmail.com
    • Postulado de Euclides ou das retas paralelasP10) Dados uma reta r e um ponto P CENTER7 APOSTILAS - Direitos 215 Reservados center7@gmail.com
    • CENTER7 APOSTILAS - Direitos 216 Reservados center7@gmail.com
    • Perpendicularidade entre uma reta e um plano Uma reta r é perpendicular a um plano CENTER7 APOSTILAS - Direitos 217 Reservados center7@gmail.com
    • Posições relativas de dois planos Consideramos as seguintes situações:a) planos coincidentes ou iguaisb) planos concorrentes ou secantes Dois planos, CENTER7 APOSTILAS - Direitos 218 Reservados center7@gmail.com
    • Projeção ortogonal A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano CENTER7 APOSTILAS - Direitos 219 Reservados center7@gmail.com
    • A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:Ângulos O ângulo entre duas retas reversas é o ânguloagudo que uma delas forma com uma reta paralela àoutra: O ângulo entre uma reta e um plano é o ânguloque a reta forma com sua projeção ortogonal sobre oplano: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 220 Reservados center7@gmail.com
    • Observações: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 221 Reservados center7@gmail.com
    • Poliedros Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planosdiferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 222 Reservados center7@gmail.com
    • • hexaedro: seis faces • heptaedro: sete faces • octaedro: oito faces • icosaedro: vinte facesPoliedros regulares Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmonúmero de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares: Poliedro Planificação Elementos 4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas Tetraedro 6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas Hexaedro 8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas Octaedro 20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas Icosaedro CENTER7 APOSTILAS - Direitos 223 Reservados center7@gmail.com
    • Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V-A+F=2em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.Observe os exemplos: V=8 A=12 F=6 8 - 12 + 6 = 2 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 224 Reservados center7@gmail.com
    • Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento CENTER7 APOSTILAS - Direitos 225 Reservados center7@gmail.com
    • Classificação Um prisma pode ser: • recto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; • oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.Veja: prisma recto CENTER7 APOSTILAS - Direitos 226 Reservados center7@gmail.com
    • Áreas Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar asseguintes áreas:a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma. No prisma regular, temos: AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases AT = AL + 2A B Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 227 Reservados center7@gmail.com
    • Se o paralelepípedo recto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-rectângulo,ortoedro ou paralelepípedo rectângulo.Paralelepípedo rectângulo Seja o paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c da figura: Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestasindicadas pela mesma letra são paralelas.Diagonais da base e do paralelepípedo Considere a figura a seguir: db = diagonal da base dp = diagonal do paralelepípedo Na base ABFE, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 228 Reservados center7@gmail.com
    • CENTER7 APOSTILAS - Direitos 229 Reservados center7@gmail.com
    • Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode serconsiderada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo rectângulo é o produto da área dabase AB pela medida da altura h:Cubo Um paralelepípedo rectângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo.Dessa forma, as seis faces são quadrados.Diagonais da base e do cubo Considere a figura a seguir: dc =diagonal do cubo db = diagonal da base Na base ABCD, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 230 Reservados center7@gmail.com
    • No triângulo ACE, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 231 Reservados center7@gmail.com
    • Generalização do volume de um prisma Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697),que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano CENTER7 APOSTILAS - Direitos 232 Reservados center7@gmail.com
    • Assim, temos: Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos CENTER7 APOSTILAS - Direitos 233 Reservados center7@gmail.com
    • Veja: O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa deum rectângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do rectângulo ABCD pelo lado CENTER7 APOSTILAS - Direitos 234 Reservados center7@gmail.com
    • Geometria EspacialÁreas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:a) área lateral (AL) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação: Assim, a área lateral do cilindro recto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é umrectângulo de dimensões :b) área da base ( AB):área do círculo de raio rc) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases CENTER7 APOSTILAS - Direitos 235 Reservados center7@gmail.com
    • Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano CENTER7 APOSTILAS - Direitos 236 Reservados center7@gmail.com
    • Cilindro equilátero Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindroequilátero. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 237 Reservados center7@gmail.com
    • Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone derevolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seuscatetos. Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: g2 = h2 + R2Secção meridiana A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamadasecção meridiana. Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 238 Reservados center7@gmail.com
    • Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular recto, obtemos um sector circular de raio g ecomprimento CENTER7 APOSTILAS - Direitos 239 Reservados center7@gmail.com
    • Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo rectânguloem torno do cateto h: O CG do triângulo está a uma distância CENTER7 APOSTILAS - Direitos 240 Reservados center7@gmail.com
    • • base: o polígono convexo R• arestas da base: os lados CENTER7 APOSTILAS - Direitos 241 Reservados center7@gmail.com
    • Secção paralela à base de uma pirâmide Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal demodo que: • as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão; • a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes; • as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 242 Reservados center7@gmail.com
    • Assim, temos: • A base da pirâmide é um polígono regular inscrito num círculo de raio OB = R. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 243 Reservados center7@gmail.com
    • Para uma pirâmide regular, temos: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 244 Reservados center7@gmail.com
    • Áreas Temos as seguintes áreas:a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces lateraisb) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB) AT =AL+A B +AbVolume O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por: Sendo V o volume da pirâmide e V o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:Tronco do cone Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos: • as bases maior e menor são paralelas; • a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 245 Reservados center7@gmail.com
    • Áreas Temos:a) área lateralb) área total CENTER7 APOSTILAS - Direitos 246 Reservados center7@gmail.com
    • Volume O volume da esfera de raio R é dado por:Partes da esferaSuperfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual aoraio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfícieesférica é o resultado dessa rotação. A área da superfície esférica é dada por: ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA BÁSICOSÁLGEBRAExercícios Resolvidos – ConjuntosInscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio eum de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e uma paranível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatosefetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número decandidatos ao nível fundamental? CENTER7 APOSTILAS - Direitos 247 Reservados center7@gmail.com
    • Solução: Sejam: M o número de candidatos de nível médio; S M o número de candidatos aos níveis superior emédio; S o número de candidatos ao nível superior; F número de candidatos ao nível fundamental. DaMatemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13.Então, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e S M = 150 - 111 = 39 .Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a quantidade deelementos.Temos: 150 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqüentemente, F = 700 - 411 = 289. (PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17%têm casa própia; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têmcasa própria nem automóvel?Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementosdos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção.Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.(PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela(N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H NenhumNúmero de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 xAtravés desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dostrês programas é:(A) 200 (C) 900(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100 (E) n.d.a.Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começandosempre pela interseção que tem 100 elementos. Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200. Assim, (A) é a opção correta. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 248 Reservados center7@gmail.com
    • (PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário éleitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ....Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que asoma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação : 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60+ 80 - x = 100.Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos eos deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989.A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?Solução: Temos que encontrar um número que é multiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e mais, estenúmero deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 6. Fatorando 23 , 4 e 6 simultaneamente encntramos 2 × 3. Logo, M.M.C (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultâneaacontecerá em 1989 + 12 = 2001.Em uma prova de matematica com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão.Quantos alunos fizeram a prova?Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas asegunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar odiagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos queacertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é oconjunto dos que acertaram as duas questões.Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 249 Reservados center7@gmail.com
    • POTÊNCIAS n Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido i =potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i). Exemplos de fixação da definição: 3 Potência = 2 2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8 5 Potência = 3 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243 3 Notação: 2 = 8 2 - BASE 3 - EXPOENTE 8 - POTÊNCIA 5 Notação: 3 = 243 3 - BASE 5 - EXPOENTE 243 - POTÊNCIA Alguns casos particulares: 1) Expoente igual a um (1) 1 (1/2) = 1/2 1 5 =5 31 =3 2) Expoente igual à zero (0) 0 5 =1 0 6 =1 0 7 =1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 250 Reservados center7@gmail.com
    • Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado seráigual a 1. Mais Exemplos de fixação da definição: 3 1) 5 = 5 x 5 x 5 = 125 0 2) 4 = 1 0 3) 10 = 1 1 4) 20 = 20Propriedades de Potências - Divisão de potência de mesma base Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum esubtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema. Exemplos de fixação: 4 4-1 3 1) 2 ÷2= 2 =2 5 2 5-2 2 2) 3 ÷3 = 3 =3 6 3 6-3 3 3) 4 ÷4 = 4 =4 m n Temos então: I ÷ I = Im-n , I#0- Produto de potência de mesma base Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a basecomum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema. Exemplos de fixação: 4 4+1 5 1) 2 x2= 2 =2 5 2 5+2 7 2) 3 x3 = 3 =3 6 3 6+3 9 3) 4 x4 = 4 =4 m n m+n Temos então: I xI =I CENTER7 APOSTILAS - Direitos 251 Reservados center7@gmail.com
    • - Potência de Potência Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-sea base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos. Exemplos de fixação: 3 4 12 3 3 3 3 1) (2 ) = 2 , pois = 2 x2 x2 x2 2 3 6 2 2 2) (3 ) = 3 , pois = 3 x3 x3 2 5 10 2 2 2 2 2 3) (4 ) = 4 , pois = 4 x4 x4 x4 x4 n m nxm Temos então: (I ) = I- Potência de um produto Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator aesta potência. Exemplos de fixação: 5 3 4 2 0 4 12 1) (b ya ) = b y a 2 5 2 4 10 2) (c d e ) = c d e 3 4 3 9 12 3) (d a ) = d a m m m Temos então: (I.T) =I xT- Potência com expoente negativo Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração oqual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porémapresentando o expoente positivo. Exemplos de fixação: -4 4 1) 2 = 1/2 = 1/16 -3 3 2) 3 = 1/3 = 1/27 -2 2 3) 4 = 1/4 = 1/16 -m m Temos então: (I) = 1/I I#0 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 252 Reservados center7@gmail.com
    • - Potência de fração Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador,respectivamente, a esta potência. 4 4 1) (a/b) = a /b = b#0 2 4 3 6 12 2) (a /b ) = a /b = b#0 3 2 3 9 6 3) (a /b ) = a /b = b#0 m m m Temos então: (a/b) = a /b b #0- Potência de 10 Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Paraisto guarde bem estas técnicas : n 1) Para se elevar 10 (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potênciaa direito do número 1. Exemplos de fixação: 4 a) 10 = 10000 6 b) 10 = 1000000 7 c) 10 = 10000000 2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potênciaa esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu. Exemplos de fixação: a) 10-4 = 0,0001 b) 10-6 = 0,000001 c) 10-7 = 0,0000001 3) Decompondo números em potências de 10 Exemplos de fixação (números maiores que 1): 2 a) 300 = 3.100 = 3.10 3 b) 7000 = 7.1000 = 7.10 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 253 Reservados center7@gmail.com
    • 4 c) 10.000 = 1.10000 = 1.10 Exemplos de fixação (números menores que 1): -3 a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10 -4 b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10 - c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10 5 - Potência de números relativos a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo. 2 4 Veja: (+2) = 4 / / (-2) = 16 b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência. 3 3 Veja: (+3) = 27 / / (-3) = -27 2 2 2 2 Observação importante: -2 # (-2) , pois -2 = -4 e (-2) = 4. A diferença estáque na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que nasegunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo,conforme colocado.Números Primos Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente sãodivisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética. Para os números inteiros podemos provar com facilidade que: 3. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos). 4. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1. Como podemos provar que um número é primo ou não? Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que comnúmeros pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números setornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar suaprimalidade pode se tornar muito complexo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 254 Reservados center7@gmail.com
    • Teste Rápido: Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo deErastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é umdos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmoque os números atinjam 25 dígitos. O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se umnúmero é primo. Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos osnúmeros primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Um exemplo simples : Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então,vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então estenúmero será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo,pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3|323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0 Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100números, existem milhares de números primos. TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 255 Reservados center7@gmail.com
    • Operações fundamentais com números* Adição A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato deadicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo. A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação. Relembrar: 10 + 5 = 15 10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acimadenomina-se, então, ADIÇÃO. A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +. Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feitoisto pode ser efetuada a soma da operação adição. Exemplo: 1.253 + 2.715 MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 1 2 5 3 2 7 1 5 Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 centenas a 7 centenas(9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades),então 3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: 1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9 Deduz-se : a. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma. b. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma. c. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa. A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominadacomutativa da adição. 2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adiçãoentre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos oresultado final a soma 11. Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 256 Reservados center7@gmail.com
    • Observe, agora, a soma final conforme outra indicação: 5 + (4+2) = 11 (resultado soma final). Deduz-se : Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ouassociar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominaçãopropriedade associativa. Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b 3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a oresultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0). Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)* Subtração A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação desubtração denomina-se diferença ou resto. Relembrar: 9 – 5 = 4 Essa igualdade tem como resultado a subtração. Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é osubtraendo. O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5. Veja as análises abaixo: 1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo. 2. 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N. Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração serealize em N. A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário queem uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: a. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N. b. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração: 6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6 Logo: 0 – 6 6 -0 c. A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 5 – 4. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 257 Reservados center7@gmail.com
    • d. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 10 – (4-2) A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição. Considerando: 7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2 7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7 Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra. Observe esta sentença: Y + a = c ou a + y = c Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, masdesconhecido. De que modo é possível calcular o valor de x? Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c* Multiplicação É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número,chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar umterceiro número que representa o produto dos dois. Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado daoperação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação. a. b = c a.b > fatores c > produto da operação. De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar: A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6wDiante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: a. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada: a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação b. para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho : (4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120 A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa da multiplicação. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 258 Reservados center7@gmail.com
    • c. A propriedade comutativa nos permite que seja usado: 1 . x = x ou x.1 = x É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X. Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1. d. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a propriedade do fechamento da multiplicação A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N* Divisão É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantasvezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu. À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente. 1) A divisão exata Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8 Propriedades da divisão exata a. Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N b. O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é diferente de 1:3 c. A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15 d. A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4 Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade. Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8 (10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8 O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então estapropriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações deadição e subtração. Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que emuma operação o divisor tem que ser maior do que zero. 2) A divisão não-exata Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é oquociente e 1 é o resto. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 259 Reservados center7@gmail.com
    • A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9 De um modo geral na divisão : Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto ésubentendido “igual a zero”. Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto. DIVISIBILIDADE M.M.C e M.D.C. Máximo Divisor Comum Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentreeles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4 mdc (12,20,24) = 4 mdc (6,12,15) = 3 CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatoresprimos.1) decompomos os números em fatores primos;2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 390 = 2x3 x3 x5O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3Portanto m.d.c.(36,90) = 18.Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:36 = 22 x 3290 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). CENTER7 APOSTILAS - Direitos 260 Reservados center7@gmail.com
    • Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assimsucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. PROPRIEDADE DO M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6=2 x318 = 2 x 3230 = 2 x 3 x 5Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. Máximo Divisor Comum Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentreeles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4 mdc (12,20,24) = 4 mdc (6,12,15) = 3 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 261 Reservados center7@gmail.com
    • CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatoresprimos.1) decompomos os números em fatores primos;2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 390 = 2x3 x3 x5O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3Portanto m.d.c.(36,90) = 18.Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:36 = 22 x 3290 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18) 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assimsucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6) 12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1. Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 262 Reservados center7@gmail.com
    • PROPRIEDADE DO M.D.C. Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe: 6=2 x3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6 Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados. NÚMEROS FRACIONÁRIOS E NÚMEROS DECIMAIS O papel das frações e números Decimais Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas. Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota de R$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais. Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente a notação X/Y, por ser mais simples. Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração 5/10 que equivale ao número decimal 0,5. Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês. 1437 123 = 1, 4 3 7 1000 A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador. 437 = 4,37 100 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 263 Reservados center7@gmail.com
    • Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula paraseparar a parte inteira da parte decimal.Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos emvirtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram aser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.Frações e Números DecimaisDentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo édenominado fração decimal.Exemplos de frações decimais, são: 1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem umaparte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como: 127 = 1,27 100onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que afração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma: 127 100+27 100 27 = = + = 1+0,27 = 1,27 100 100 100 100A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aquiobservamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que odenominador da fração.Leitura de números decimaisPara ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa aparte inteira da parte decimal.Um número decimal pode ser colocado na forma genérica: Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos CENTER7 APOSTILAS - Direitos 264 Reservados center7@gmail.com
    • Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma: 1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 décimos 2 centésimos 4 milésimosExemplos: 0,6 Seis décimos 0,37 Trinta e sete centésimos 0,189 Cento e oitenta e nove milésimos 3,7 Três inteiros e sete décimos 13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos 130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimosTransformando frações decimais em números decimaisPodemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que avírgula separa a parte inteira da parte fracionária: parte inteira parte fracionária 0 , 1Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lêda seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgulasepara a parte inteira da parte fracionária: parte inteira parte fracionária 2 , 31Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numeradorda fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Naverdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:(a) 130/100 = 1,30(b) 987/1000 = 0,987(c) 5/1000 = 0,005Transformando números decimais em frações decimaisTambém é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-secomo numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida detantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:(a) 0,5 = 5/10(b) 0,05 = 5/100 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 265 Reservados center7@gmail.com
    • (c) 2,41 = 241/100(d) 7,345 = 7345/1000Propriedades dos números decimaisZeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescentaou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Porexemplo:(a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000(b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000,basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:(a) 7,4 x 10 = 74(b) 7,4 x 100 = 740(c) 7,4 x 1000 = 7400Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, bastadeslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo:(a) 247,5 ÷ 10 = 24,75(b) 247,5 ÷ 100 = 2,475(c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475Operações com números decimaisAdição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguiralguns passos:(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídosacrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 266 Reservados center7@gmail.com
    • (b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc),de forma que: i. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número, ii. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número, iii. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc), iv. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e v. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.Dois exemplos: 2,400 2,400+ 1,723 - 1,723------- -------(c) Realizar a adição ou a subtração.Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cadaum dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador pornumerador e denominador por denominador. Por exemplo: 225 5 3 225×35 7875 2,25×3,5 = × = = = 7,875 100 0 1 100×10 1000Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantascasas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo: 2,25 2 casas decimais multiplicando x 3,5 1 casa decimal multiplicador 1125 + 675 7875 7,875 3 casas decimais ProdutoDivisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como odivisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essasinformações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões denúmeros inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que oquociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática,dizemos que "cortamos" a vírgula. 3,6÷0,4 = 3,6 = 36×10 = 36 = 9 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 267 Reservados center7@gmail.com
    • 0,4 4×10 4Um outro exemplo: 0,35 0,35×100 35 35÷7 5 0,35÷7= = = = = = 0,05 7 7×100 700 700÷7 100Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambospor 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas.Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cadaum receberá?Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos,3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão setorne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Comoacrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se umavírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por100, o quociente ficará dividido por 100. dividendo 3500 700 divisor resto 0 0,05 quocienteRealiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteirono quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros. 10 16 ?(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença doalgarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente. 100 16 0,(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4. 100 16 -96 0,6 4 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 268 Reservados center7@gmail.com
    • (3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) àdireita do número 4. 100 16 -96 0,6 40(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8. 100 16 -96 0,62 40 -32 8(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direitado número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0. 100 16 -96 0,625 40 -32 80 -80 0A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja uminteiro.Comparação de números decimaisA comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimaisdesses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou =(que se lê: igual).Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Porexemplo:(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.(b) 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zerostantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parteinteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatarqual é o maior deles. Alguns exemplos, são:(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 269 Reservados center7@gmail.com
    • (b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.(c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3.PorcentagemAo abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo: A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento) Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista. O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razõesda proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-seporcentagem.Exemplos:(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com onúmero total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significarque se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é omesmo que 30 = 30% 100(2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 amesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção: 40 X = 100 300Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicaçãocruzada para obter: 100X=12000, assim X=120Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler? 45 X = 100 200 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 270 Reservados center7@gmail.com
    • o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110páginas. DÍZIMAS PERIÓDICAS Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo: Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se onome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem operíodo dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas.Exemplos: (período: 5) (período: 3) (período: 12)São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. (Período: 2) (Período: 4)(Período: 23)Parte não periódica: 0 Período não periódica: 15 Parte não periódica: 1São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte nãoperiódica.Observações:Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período.Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 271 Reservados center7@gmail.com
    • Geratriz de uma dízima periódicaÉ possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e paradenominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.Exemplos: Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.Exemplos: MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADAMédia aritmética simples A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma dividida por n. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 272 Reservados center7@gmail.com
    • 1. Calcule a média aritmética entre os número 12, 4, 5, 7.observe o que foi feito, somamos os quatro número e dividimos pela quantidade de números.2. O time de futebol do Cruzeiro de Minas Gerai, fez 6 partidas amistosas, obtendo os seguintesresultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x 0, 5 x 3, 2 x 0. Qual a média de gols marcados nestes amistoso?Média ponderada Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesmaimportância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto,existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo damédia deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-semédia aritmética ponderada. Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor doconjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.Exemplo:1. Um colégio resolveu inovar a forma de calcular a média final de seu alunos.1º bimestre teve peso 2.2º bimestre teve peso 2.3°bimestre teve peso 3.4°bimestre teve peso 3.Vamos calcular a média anual de Ricardo que obteve as seguintes notas em historia. 1°bim = 3, 2°bim = 2,5, 3°bim = 3,5 e 4°bim = 3Este tipo de média é muito usada nos vestibulares, você já deve ter ouvido algum colega falarassim, a prova de matemática para quem faz engenharia é peso 3 e historia é peso 1, isto é devido aengenharia ser um curso ligado a ciências exatas. Este peso varia de acordo com a área de atuaçãodo curso. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 273 Reservados center7@gmail.com
    • TRIGONOMETRIAO papel da trigonometriaA palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vemseu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcularas medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, aaltura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado noestudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.Ponto móvel sobre uma curvaConsideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmentedizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa serdeslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferênciaem dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) éadotado como sentido positivo.Arcos da circunferênciaSe um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é aorigem do arco e M é a extremidade do arco.Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode serdenotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência,temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 274 Reservados center7@gmail.com
    • Medida de um arcoA medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferênciatomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é onúmero de vezes que o arco u cabe no arco AB.Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB porm(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de umarco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A paraB for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.O número piPara toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pelaletra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois númerosinteiros. Uma aproximação para o número é dada por: = 3,1415926535897932384626433832795...Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares .Unidades de medida de arcosA unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadaspelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamosmedindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1radiano, que denotaremos por 1 rad. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 275 Reservados center7@gmail.com
    • Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamosmedindo o arco.Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo oarco.Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em umacircunferência de raio medindo 8 cm, fazemos, comprimento do arco(AB) 12 m(AB)= = comprimento do raio 8Portanto m(AB)=1,5 radianosArcos de uma voltaSe AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r,então: comprimento do arco(AB) 2 r m(AB)= = =2 comprimento do raio rAssim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é, 2 rad=360 grausPodemos estabelecer os resultados seguintes Desenho Grau 90 180 270 360 Grado 100 200 300 400 Radiano /2 3 /2 20 graus = 0 grado = 0 radianosMudança de unidadesConsideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entreestas medidas é obtida pela seguinte proporção, 2 rad …………… 360 graus R rad …………… G graus CENTER7 APOSTILAS - Direitos 276 Reservados center7@gmail.com
    • Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda, R G = 180Exemplos 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos R 60 = 180 2. Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad 3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos: 1 G = 180 4. Asim 1 rad=180/ graus.Círculo TrigonométricoConsidere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e oponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentidopositivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontosinteriores, é denominada círculo trigonométrico .Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquantocircunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a regiãocircular.Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados comosegue: 2o. quadrante 1o. quadrante abscissa: negativa abscissa: positiva ordenada: positiva ordenada: positiva 90º<ângulo<180º 0º<ângulo<90º 3o. quadrante 4o. quadrante abscissa: negativa abscissa: positiva ordenada: negativa ordenada: negativa 180º<ângulo<270º 270º<ângulo<360º CENTER7 APOSTILAS - Direitos 277 Reservados center7@gmail.com
    • Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Porconvenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.Arcos com mais de uma voltaEm Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Porexemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para emum ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ouser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeiradeterminação.Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinadosentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta.Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é oponto M.Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare emM, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade dearcos positivos de medidas m, m+2 , m+4 , m+6 , ...Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidasalgébricas m-2 , m-4 , m-6 , ...e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemosrepresentar as medidas destes arcos por: µ(AM) = m + 2k CENTER7 APOSTILAS - Direitos 278 Reservados center7@gmail.com
    • onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A eextremidade em M.Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinaçãopositiva medindo 2 /3, então os arcos desta família {AM}, medem: Determinações positivas (sentido anti-horário) k=0 µ(AM)=2 /3 k=1 µ(AM)=2 /3+2 =8 /3 k=2 µ(AM)=2 /3+4 =14 /3 k=3 µ(AM)=2 /3+6 =20 /3 ... ... k=n µ(AM)=2 /3+2n =(2+6n) /3 Determinações negativas (sentido horário) k=-1 µ(AM)=2 /3-2 =-4 /3 k=-2 µ(AM)=2 /3-4 =-6 /3 k=-3 µ(AM)=2 /3-6 =-16 /3 k=-4 µ(AM)=2 /3-8 =-22 /3 ... ... k=-n µ(AM)=2 /3-2n =(2-6n) /3Arcos côngruos e ÂngulosArcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2 .Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vezque a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelassemi-retas OA e OM.Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) commedida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2correspondente ao arco AM.Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicampara ângulos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 279 Reservados center7@gmail.com
    • Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OXSejam os arcos AM e AM na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M simétricos emrelação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM é dada por:µ(AM)=2 -m.Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2k +m,onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM} têm medidas iguais a 2k -m, onde k é um númerointeiro.Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OYSejam os arcos AM e AM na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M simétricos emrelação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM será dada pelaexpressão µ(AM)= -m.Os arcos da família {AM}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M, medem 2k + -m=(2k+1)-m onde k é um número inteiro.Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origemSejam os arcos AM e AM na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M simétricos emrelação a origem (0,0). CENTER7 APOSTILAS - Direitos 280 Reservados center7@gmail.com
    • Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM é dada por: µ(AM)= +m. Arcos genéricoscom origem em A e extremidade em M medem: µ(AM) = 2k + + m = (2k+1) +mSeno e cossenoDada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arcoorientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário.Seja M=(x,y) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arcoAM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina umponto C=(x,0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y).A medida do segmento OB coincide com a ordenada y do ponto M e é definida como o seno do arco AM quecorresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=yPara simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco demedida x radianos.Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida dosegmento 0C, que coincide com a abscissa x do ponto M. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 281 Reservados center7@gmail.com
    • Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = xTangenteSeja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. Areta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t). Aordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = tPodemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, ocosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso: cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantesÂngulos no segundo quadranteSe na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixoOX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cossenoestá relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y)possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, ocosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso: cos( /2)=0 e sen( /2)=1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos 282 Reservados center7@gmail.com
    • A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.Ângulos no terceiro quadranteO ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo:<a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem dosistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de umângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.Em particular, se a= radianos, temos que cos( )=-1, sen( )=0 e tan( )=0Ângulos no quarto quadranteO ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, ocosseno é positivo e a tangente é negativa.Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas sãoparalelas. Quando a=3 /2, temos: cos(3 /2)=0, sin(3 /2)=-1Simetria em relação ao eixo OXEm uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M o simétrico de M emrelação ao eixo OX, estes pontos M e M possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 283 Reservados center7@gmail.com
    • Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulocorrespondente ao arco AM, obtemos: sen(a) = -sen(b) cos(a) = cos(b) tan(a) = -tan(b)Simetria em relação ao eixo OYSeja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M simétrico a M emrelação ao eixo OY, estes pontos M e M possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulocorrespondente ao arco AM. Desse modo: sen(a) = sen(b) cos(a) = -cos(b) tan(a) = -tan(b)Simetria em relação à origemSeja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M simétrico de Mem relação a origem, estes pontos M e M possuem ordenadas e abscissas simétricas. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 284 Reservados center7@gmail.com
    • Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulocorrespondente ao arco AM. Desse modo: sen(a) = -sen(b) cos(a) = -cos(b) tan(a) = tan(b)Senos e cossenos de alguns ângulos notáveisUma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência emexercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculotrigonométrico.Primeira relação fundamentalUma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas daMatemática e também das aplicações é: sin²(a) + cos²(a) = 1que é verdadeira para todo ângulo a.Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que arelação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x,y) e B=(x",y").Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como: CENTER7 APOSTILAS - Direitos 285 Reservados center7@gmail.com
    • Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e adistância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, 1/2d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²] , de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).Segunda relação fundamentalOutra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, édada por: sen(a) tan(a) = cos(a)Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, segue quecos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estesúltimos valores de a.Para a 0, a , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a circunferência trigonométrica nafigura seguinte.Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo: A T OA = N M ONComo AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0< a< 2 com a /2 e a 3 /2temos sen(a) tan(a) = cos(a) CENTER7 APOSTILAS - Direitos
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    • Forma polar dos números complexosUm número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar: z = r [cos(c) + i sen(c)]onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângul o formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do númerocomplexo z.A multiplicação de dois números complexos na forma polar: A = |A| [cos(a)+isen(a)] B = |B| [cos(b)+isen(b)]é dada pela Fórmula de De Moivre: AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seusmódulos e somar os seus argumentos.Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso A = cos(a) + i sen(a) B = cos(b) + i sen(b)Multiplicando A e B, obtemos AB = cos(a+b) + i sen(a+b)Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todonúmero complexo z e também para todo número real z: eiz = cos(z) + i sen(z)Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra formapara representar números complexos unitários A e B, como: ia A = e = cos(a) + i sen(a) ib B = e = cos(b) + i sen(b)onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim, ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 287 Reservados center7@gmail.com
    • Por outro lado ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]e desse modo i(a+b) e = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b) sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)para obter cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)Seno, cosseno e tangente da soma e da diferençaNa circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2 e 0£b£2 , a>b, então; sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos: sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) tan(a+b)= cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula: tan(a)+tan(b) tan(a+b)= 1-tan(a)tan(b)Como sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b) cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter: tan(a)-tan(b) tan(a-b)= 1+tan(a)tan(b) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 288 Reservados center7@gmail.com
    • Trigonometria e aplicaçõesIntroduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum naoitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assuntotratado no âmbito do Ensino Médio.A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometriapara obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.Algumas aplicações da trigonometria são: Determinação da altura de um certo prédio. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples. Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.Triângulo RetânguloÉ um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nometriângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° entã o os ,outros dois ângulos medirão 90°.Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90° estes ângulos s ão denominados complementares, ,portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.Lados de um triângulo retânguloOs lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com aposição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam oângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Termo Origem da palavra Cathetós: Cateto (perpendicular) Hypoteinusa: Hipotenusa Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) CENTER7 APOSTILAS - Direitos 289 Reservados center7@gmail.com
    • Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90° b Cateto B = Ângulo agudo B<90° c Cateto C = Ângulo agudo C<90°Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.Nomenclatura dos catetosOs catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Seestivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e olado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. Ângulo Lado oposto Lado adjacente C c cateto oposto b cateto adjacente B b cateto oposto c cateto adjacenteUm dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano.Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo datrigonometria é extenso e minucioso.Propriedades do triângulo retângulo 1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares. 2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. 3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base. CENTER7 APOSTILAS - Direitos 290 Reservados center7@gmail.com
    • A hipotenusa como base de um triângulo retânguloTomando informações da mesma figura acima, obtemos: 1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a. 2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a. 3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.Projeções de segmentosIntroduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz doSol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destessegmentos sobre a reta.Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por AB, sendo que noúltimo caso A=B é um ponto.Projeções no triângulo retânguloAgora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo. CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 291 center7@gmail.com
    • 1. m = projeção de c sobre a hipotenusa. 2. n = projeção de b sobre a hipotenusa. 3. a = m+n. 4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica .Relações Métricas no triângulo retânguloPara extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulosretângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B eDÂB=C.Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes. Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor ABC a b c ADC b n h ADB c h mAssim: a/b = b/n = c/h a/c = b/h = c/m b/c = n/h = h/mlogo: a/c = c/m equivale a c² = a.m a/b = b/n equivale a b² = a.n a/c = b/h equivale a a.h = b.c h/m = n/h equivale a h² = m.n CENTER7 APOSTILAS - Direitos 292 Reservados center7@gmail.com
    • Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos: c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²que resulta no Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.Funções trigonométricas básicasAs Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seusângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo éindicado pela letra x. Função Notação Definição medida do cateto oposto a x seno sen(x) medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a x cosseno cos(x) medida da hipotenusa medida do cateto oposto a x tangente tan(x) medida do cateto adjacente a xTomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análiseé o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ânguloanalisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo. C O CO A C CA O C sen(x) sen(x)= = cos(x)= = tan(x)= = H 1 H 1 A C cos(x)Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1 CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 293 center7@gmail.com
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