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Metodo de la secante
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Metodo de la secante

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  • 1. Universidad Nacional de LojaÁrea de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no RenovablesCarrera de Ingeniería en SistemasPágina 1 de 9Módulo: Gestión de Redes y Administración de Centros de CómputoFecha: Lunes, 05 de Abril de 2010Grupo: No. 2Integrantes: Anita CampoverdeYanela RiosIliana VargasFabricio FloresEduardo LimaGermán SalasJulio BenítezÁngel ValdezCarlos Vivanco1. Título.Método de la Secante2. Contenido.Método de la SecanteEn análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros deuna función de forma iterativa. Uno de los objetivos de este método es eliminar elproblema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describenfenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja.El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que eneste método de la secante no requiere de la segunda derivada.El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1),f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de lafunción. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia,xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula.EtimologíaLa palabra “Secante” viene del latín: secans-tís, de secante: cortar. En geometría, línearecta que corta a una circunferencia, parábola, elipse, etc…La palabra secante tiene un homónimo, pues también se refiere como adjetivo a laspropiedades de ciertas sustancias de absorber por ejemplo la humedad, como el “PapelSecante” qué usábamos en la escuela, como así también a compuestos químicos que seagregan a las pinturas u otras sustancias para acelerar su secado o “curado”.DefiniciónLa recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conformeestos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando soloexiste un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente.Dados los puntos de intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secanteempleando para saber la respuesta de ésta operación se emplea en matemáticas laecuación de la recta que pasa por dos puntos:
  • 2. Universidad Nacional de LojaÁrea de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no RenovablesCarrera de Ingeniería en SistemasPágina 2 de 9Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solorequiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que setiene originalmente, y va checando la intersección de esas rectas con el eje de las X paraver si es la raíz que se busca.El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton)y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación deacuerdo con la expresión:Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos laexpresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración:Figura: Representación geométrica del método de la secante.En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2 para estimar un nuevo puntomás próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación de arriba. En la figura se representageométricamente este método.
  • 3. Universidad Nacional de LojaÁrea de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no RenovablesCarrera de Ingeniería en SistemasPágina 3 de 9En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que elmétodo de Newton-Raphson.Forma de hacerlo:Primero hay que definir algunos conceptos como:Xn: es el valor actual de XXn- 1: es el valor anterior de XXn+1: es el valor siguiente de XPara simplificar la formula que se usa en este método se dirá que:A=Xn-1B=Xn+1C=XnComo su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, ycomo después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usandolas que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando hasta que encuentrala raíz.Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera quesean sobre el eje de las X que se llaman A y C.Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f©. Unavez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la formula B=((Af©)-(C(f(A)))/(f©-f(A)).A diferencia del resto de los métodos, aquí no hay que acomodar en columnas cada unode los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se simplifica lafórmula para seguir con el método. Aquí solo se usan 2 columnas, una de Xn y otra def(Xn).Supóngase que se tiene la ecuación X3–2X2+ 8X-9Xn f(Xn)A 10 871C 15 3036B 7.9884 437.054
  • 4. Universidad Nacional de LojaÁrea de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no RenovablesCarrera de Ingeniería en SistemasPágina 4 de 9Como se ve en la tabla de valores, los 2 primeros puntos que se dieron, o sea A y C, son10 y 15, y se saco su respectiva f(X) y se puso en su lugar, después para sacar B se usola formula dada arriba y se obtuvo su f(X), ahora lo único que se tiene que hacer paraseguir con el método es imaginariamente bajar las letras que están a la izquierda unlugar abajo, así el que era C se convierte en A y A se ignora ahora, el que era B ahora esC y B queda vacio para seguir con el método.El método sigue hasta que el valor absoluto de f(Xn) sea igual a 0, pero realmente nuncapasa, así que se fija al principio un valor cercano a 0 para llegar a el, por ejemplo 0.001,y cuando en f(Xn) haya un valor menor o igual a 0.001, el método termina y la raíz quese estaba buscando queda en el ultimo valor de Xn.El método se define por la relación de recurrencia:Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz parapoder inducir una pendiente inicial.
  • 5. Universidad Nacional de LojaÁrea de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no RenovablesCarrera de Ingeniería en SistemasPágina 5 de 9Pseudocódigo del método de la secante para encontrar las raíces, en Matlab
  • 6. Universidad Nacional de LojaÁrea de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no RenovablesCarrera de Ingeniería en SistemasPágina 6 de 9Ejemplo 1Usar el método de la secante para aproximar la raíz de , comenzandocon x0 = 0 , x1 = 1 y hasta que ∈ r ≤1% .Fig 4. Primera iteración para la , con x0 = 0 , x1 = 1, aplicando el métodode la secanteSoluciónSe Tiene que f (x0 ) = 1 y f (x1) = −0.632120558, que se sustituye en la fórmula de lasecante para calcular la aproximación x20.612699837Con un error aproximado de:Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos losresultados en la siguiente tabla:Aprox. a la raíz Error aprox.0 1 100%0.612699837 63.2%0.653442133 6.23%0.652917265 0.08%De lo cual se concluye que la aproximación a la raíz es:x4 = 0.652917265
  • 7. Universidad Nacional de LojaÁrea de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no RenovablesCarrera de Ingeniería en SistemasPágina 7 de 9Ejemplo 2Usar el método de la secante para aproximar la raíz de ,comenzando con y , y hasta que .SoluciónTenemos los valores y , que sustituímos en la fórmulade la secante para obtener la aproximación :Con un error aproximado de:Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos losresultados en la siguiente tabla:Aprox. a la raíz Error aprox.01 100%0.823315073 21.4%0.852330280 3.40%0.853169121 0.09%Ventajas:Gracias a este método se puede eliminar el problema de calcular la derivada de lafunción, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real,y cuya derivada es muy compleja.Con el método de la secante no se requiere conocer el valor de la primeraderivada de la función en el punto, es decir, evita el cálculo de la derivada.En este método no se requiere de la segunda derivada.En muchos casos el valor de la raíz no puede ser calculado analíticamente y hayque recurrir a un método numérico. Existen varias formas en este método porejemplo el Método Iterativo que es el más robusto.En este método no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sinoque se utiliza la simplificación de conceptos. Aquí solo se usan 2 columnas, una deXn y otra de f(Xn).El método de la secante procede independientemente de los signos de la función,es decir, no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguientepunto. A diferencia del método del regula falsi que si lo hace.
  • 8. Universidad Nacional de LojaÁrea de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no RenovablesCarrera de Ingeniería en SistemasPágina 8 de 9Este método casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, ydespués el mismo método se va retroalimentando, es decir, se va acomodandohasta que encuentra la raíz.El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método deNewton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta).Con este método resulta más sencillo evaluar el coste computacional de derivar lafunción de estudio.El método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo, encuentra laaproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson.DesventajasEl método de la secante al ser un proceso iterativo, corre el mismo riesgo que elmétodo de Newton-Raphson de no converger a la raíz, mientras que el método dela regla falsa va a la segura.Newton vs. SecanteEl método de Newton, cuando converge, lo hace cuadráticamente, a costa deevaluar la derivada en cada paso.Sin usar la derivada, el método de la secante proporciona convergenciasuperlineal.Las ecuaciones polinómicas pueden resolverse por el método de Newton,puesto que la derivada se obtiene fácilmente.3. Conclusiones.El método de la secante se basa en el método de Newton, donde no se requierecalcular la derivada.Resulta más sencillo calcular las raíces con el método de la secante que con elmétodo de Newton debido que con la secante se parte de dos puntos (y no sólouno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de larecta).Se puede realizar el algoritmo en MATLab para encontrar las raíces por medio delmétodo de la secante.La elaboración de videos, material didáctico, etc, contribuyo notablemente para elrápido aprendizaje de este método.4. Bibliografía."http://es.wikipedia.org/wiki/Secante"http://docentes.uacj.mx/qtapia/AN/Unidad2/secante.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_secantehttp://miguelcrux.blogspot.com/2009/01/metodos-numericos-metodo-de-la-secante.html
  • 9. Universidad Nacional de LojaÁrea de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no RenovablesCarrera de Ingeniería en SistemasPágina 9 de 9http://www.faqmania.com/ficheros/adjuntos/yacerque_200709152918_42068100_secante.pdfhttp://webdelprofesor.ula.ve/nucleotachira/vermig/CLASE1.pdfhttp://etimologias.dechile.net/?secante

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