1 circuit rlc-serie

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exercices corrigés RLC

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1 circuit rlc-serie

  1. 1. 1-Circuit_RLC_serie.nb 1 Collège du Sud, Bulle 4-ème année OS PAM Physique et Applications des mathématiques Chapitre interdisciplinaire Circuits électriques à courants alternatifs stationnaires et nombres complexes Aspects mathématiques C2 Á Á Ue L2 Us ∼ ∼ Á Á R2 C1 R1 L1 Version pour Mathematica Edition 2011-2012 Marcel Délèze, Eugène Pasquier www.collegedusud.ch/app/applmaths
  2. 2. 1-Circuit_RLC_serie.nb 2ü Chapitre interdisciplinaireLes aspects expérimentaux et mathématiques sont traités en parallèle:- les aspects expérimentaux dans le cadre du cours de Physique;- les aspects mathématiques dans le cadre du cours dApplications des mathématiques.§1 Circuits électriques à courants alternatifs stationnairesCe premier paragraphe est essentiellement descriptif. Il sagit de présenter les phénomènes à étudier et dassurer laliaison avec les aspects expérimentaux.§ 1.1 Préparation: mouvement circulaire uniforme et mouvement harmoniqueCertains éléments de cinématique peuvent nous aider en électricité.ü Mouvement circulaire uniformePour décrire la position à linstant t dun objet M = M HtL en rotation circulaire uniforme autour dun point O, on utiliselangle horaire a(t) (voir figure). 1a(t) est langle orienté entre le vecteur fixe et le vecteur tournant OM. 0 y MHtL MH0L αHtL ωt ϕ x HHtL O HH0LDans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire w est constante. En particulier, sur lintervalle de temps@0, tD, ∆α α HtL − α H0L α HtL − ϕ ω= = = ∆t t−0 toù langle horaire initial a été noté aH0L = j. On en déduit que langle horaire est une fonction affine du temps α HtL = ω t + ϕoù j = angle horaire à linstant 0, w t = accroissement de langle horaire durant lintervalle @0, tD et
  3. 3. 1-Circuit_RLC_serie.nb 3 t accroissement de langle horaire durant lintervalle @0, tD et aHtL = angle horaire à linstant t.On remarquera la similitude avec lhoraire du mouvement rectiligne uniforme xHtL = v t + x0 .Si le point M tourne dans le sens direct, on a w > 0;sil tourne dans le sens rétrograde, alors w < 0.Les coordonnées du point M HtL sont x = r cos Ha HtLL y = r sin Ha HtLLElles correspondent aux équations du mouvement circulaire uniforme x HtL = r cos Hw t + jL y HtL = r sin Hw t + jLNotations t = temps [unité : la seconde] T = période = durée dun tour [unité : la seconde] n = fréquence = nombre de tours (doscillations complètes) par unité de temps [unité : le tour par seconde = le hertz noté Hz] w = vitesse angulaire = angle parcouru par unité de temps [unité : le radian par seconde noté s-1 ]Pour observer le rôle de langle horaire initial j, calculons les coordonnées du point M H0L x H0L = r cos HjL y H0L = r sin HjLRelations pendant le temps T, langle horaire augmente de 2 p radians et le nombre de tours effectués est de 1 wT = 2p nT = 1 2pn = wü Mouvement harmoniqueOn appelle mouvement harmonique le mouvement rectiligne obtenu par projection orthogonale du mouvement circu-laire uniforme sur un axe. Par exemple, dans la figure précédente, le mouvement du point H = HHtL est décrit par x HtL = r cos Hw t + jL y HtL = 0Le graphique du mouvement harmonique, en fonction du temps, est une sinusoïde; r est lamplitude, w est la vitesse angulaire ou pulsation et j est la phase initiale.En physique, le mot phase signifie plus généralement état dun système; dans notre cas, j décrit la position initiale dumobile. 2pDans lexemple qui suit, w = 3; donc T = 3
  4. 4. 1-Circuit_RLC_serie.nb 4 π PlotB5 CosB3 t + F, 8t, 0, 2 π<, 3 2π Ticks → :RangeB0, 2 π, F, Automatic>, AxesLabel → 8"t", "x"<F 3 x 4 2 t 2π 4π 2π 3 3 −2 −4Lamplitude r et la période T peuvent être lues directement dans la figure: π 2π PlotB5 CosB3 t + F, 8t, 0, 2 π<, Ticks → :RangeB0, 2 π, F, Automatic>, 3 3 2π 2π 2π 2π 2π Epilog → :ArrowB:: , − 5.3>, : + , − 5.3>>F, TextB"T", : + , − 5>F, 9 9 3 9 6 5 Arrow@882 π + 0.3, 0<, 82 π + 0.3, 5<<D, TextB"r", :2 π + 0.5, >F>, 2 PlotRange → 880, 2 π + 1<, 8− 6, 6<<, ImageSize → 8400, 300<, AxesLabel → 8"t", "x"<F x 6 4 r 2 0 t 2π 4π 2π 3 3 −2 −4 T −6En physique, le mouvement harmonique intervient dans un grand nombre de phénomènes oscillations mécaniques; ondes; rythmes biologiques; ...Animation mouvement harmonique
  5. 5. 1-Circuit_RLC_serie.nb 5 yHtL HHtL tPour animer le graphique précédent:sur le site http : êê www.collegedusud.chê app êapplmaths êsuivez les liens Documents Mathematica / Annexes: Circuits RLC et nombres complexes;téléchargez le document 1-1_animation_harmonique.nbexécutez le cahier (menu: Noyau / Evaluation / Evaluer le cahier);animez les graphiques (sélectionnez la liste de graphiques puis menu: Cellule / Animer les graphiques sélectionnés).Observez* le point HHtL qui effectue un mouvement circulaire uniforme;* le point yHtL qui, sur laxe vertical, effectue un mouvement harmonique; * la courbe t # yHtL qui est lhoraire du mouvement harmonique; * langle trigonométrique au centre du cercle qui est la phase (ou langle horaire) du mouvement.ü Rôle de la phase et déphasageConsidérons deux mouvements harmoniques de même vitesse angulaire f HtL = r1 sin Hω t + ϕ1 L g HtL = r2 sin Hω t + ϕ2 LLangle horaire est aussi appelé phase: a1 HtL = w t + j1 est la phase de f à linstant t; a2 HtL = w t + j2 est la phase de g à linstant t; j1 = a1 H0L est la phase initiale de f; j2 = a2 H0L est la phase initiale de g.Lamplitude, la vitesse angulaire et la phase initiale décrivent létat de loscillateur.La différence des phases est constante: α1 HtL − α2 HtL = ϕ1 − ϕ2La différence des phases est appelée déphasage: ϕ = ϕ1 − ϕ2Le déphasage représente lavance de phase de f sur g (on dit "lavance de phase du premier sur le deuxième").
  6. 6. 1-Circuit_RLC_serie.nb 6La relation entre les fonctions f et g est la suivante: f HtL = r1 sin Hω t + ϕ1 L = r1 sin Hω t + ϕ1 − ϕ2 + ϕ2 L = r1 ϕ r1 ϕ r1 sin Hω t + ϕ + ϕ2 L = r2 sin Kω Kt + O + ϕ2 O = g Kt + O r2 ω r2 ωPar rapport au graphe de g, celui de f est translaté du vecteur ϕ −ω 0 r1puis étiré ou aplati verticalement du facteur r2 . jLe décalage temporel Dt = w représente lavance de f sur g (on dit "lavance temporelle du premier sur le deuxième). Ona r1 f HtL = g Ht + ∆tL r2Animation déphasageVoici un exemple numérique: f HtL = 0.8 sin H7 tL g HtL = 1.2 sin H7 t − 2L Vitesse angulaire : ω1 = ω2 = ω = 7 @radians par secondeD 2π 2π période : T= ω = 7 > 0.90 @secondesD amplitude de f : r1 = 0.8 @mètresD phase initiale de f : ϕ1 = 0 @radiansD amplitude deg : r2 = 1.2 @mètresD phase initiale deg : ϕ2 = −2 @radiansD déphasage : ϕ = ϕ1 − ϕ2 = 2 @radiansD ϕ 2 décalage temporel : ∆t = ω = 7 > 0.29 @secondesD H1 HtL y1 HtL t y2 HtL H2 HtLPour animer le graphique précédent:sur le site http : êê www.collegedusud.chê app êapplmaths êsuivez les liens Documents Mathematica / Annexes: Circuits RLC et nombres complexestéléchargez le document 1-1_animation_dephasage.nb
  7. 7. 1-Circuit_RLC_serie.nb 7téléchargez le documentexécutez le cahier (menu: Noyau / Evaluation / Evaluer le cahier);animez les graphiques (sélectionnez la liste de graphiques puis menu: Cellule / Animer les graphiques sélectionnés).Observez* la fonction f est représentée par un trait continu; la fonction g par une courbe traitillée;* le déphasage, quon peut observer au centre du cercle, est constant;* la fonction f atteint son premier maximum avant g; nous dirons que f est en avance sur g.Attention : puisque laxe horizontal est laxe du temps, la fonction qui est en avance est celle de gauche! Cest pourquoiun décalage temporel positif est représenté par une flèche vers la gauche. 1.0 0.5 0.0 t 0.5 1.0 1.5 −0.5 Gf Gg −1.0 ∆tSigne du déphasage : Les déphasages sont déterminés par rapport à la deuxième fonction (ici, par rapport à g ).Pour plus de précisions, sur le site http : êê www.collegedusud.ch êapp êapplmaths êsuivez les liens Documents Mathematica / Annexes: Circuits RLC et nombres complexeset téléchargez le document 1-1_signe_dephasage.nbCas particuliersj=0 concordance de phases: 1.0 0.5 0.0 t 0.5 1.0 1.5 −0.5 Gf Gg −1.0 ∆t=0 −1.5
  8. 8. 1-Circuit_RLC_serie.nb 8j=p opposition de phases: 1.0 0.5 0.0 t 0.5 1.0 1.5 −0.5 Gf −1.0 Gg T −1.5 ∆t= 2 pj= 2 quadrature de phases: 1.0 0.5 0.0 t 0.5 1.0 1.5 −0.5 Gf −1.0 Gg T −1.5 ∆t= 4 pj = -2 quadrature de phases: 1.0 0.5 0.0 t 0.5 1.0 1.5 −0.5 Gf −1.0 Gg T −1.5 ∆t=− 4
  9. 9. 1-Circuit_RLC_serie.nb 9ü Equivalence des fonctions cosinus et sinusLes fonctions cosinus et sinus ne diffèrent que par un déphasage dun quart de tour (voir formulaire), à savoir π cos H αL = sin Kα + O 2 π sin H αL = cos Kα − O 2 1.0 0.5 t π π 3π 5π −π − π 2π 3π 2 2 2 2 −0.5 −1.0Par conséquent, tout mouvement harmonique décrit par une fonction cosinus peut aussi être décrit par une fonctionsinus (avec une autre phase initiale) x HtL = r cos Hω t + ϕ1 L π π = r sin Kω t + ϕ1 + O = r sin Hω t + ϕ2 L où ϕ2 = ϕ1 + 2 2et réciproquement, tout mouvement harmonique décrit par une fonction sinus peut aussi être décrit par une fonctioncosinus (avec une autre phase initiale) x HtL = r sin Hω t + ϕ1 L π π = r cos Kω t + ϕ1 − O = r cos Hω t + ϕ2 L où ϕ2 = ϕ1 − 2 2Voir exercices 1-1 à 1-3.§ 1.2 Circuits RLCü Eléments du circuitDans le chapitre consacré aux systèmes déquations linéaires, nous avons étudié les circuits électriques à courantscontinus et les lois de Kichhoff. Ces circuits sont composés de générateurs (de courants continus), de conducteurs et derésistances ohmiques dans diverses associations. Nous nous intéressons maintenant aux circuits à courants alternatifsdont les éléments sont des générateurs (de tensions alternatives), des conducteurs, des résistances ohmiques, des bobines(caractérisées par leurs inductances) et des condensateurs (caractérisés par leurs capacités).Rappelons les principaux résultats établis dans le cours de physique.ü GénérateurLe générateur - typiquement un alternateur - délivre une tension alternative, cest-à-dire une tension qui varie selon unesinusoïde. Il est caractérisé par fl la tension de crête U ou amplitude de la tension (cest-à-dire la tension maximale),
  10. 10. 1-Circuit_RLC_serie.nb fl 10 la tension de crête U ou amplitude de la tension (cest-à-dire la tension maximale), 1 la fréquence n (ou pulsation w = 2 p n, ou période T = n) et la phase initiale j1 (cest-à-dire j1 = angle de phase à linstant t = 0).La tension délivrée par le générateur oscille selon la formule fl U HtL = U cos Hω t + ϕ1 LPar exemple, une prise électrique ordinaire a une tension efficace de 230 V et une fréquence de 50 Hz (voir Formulaires flet tables p. 149-150). La tension de crête est U = 230 V ÿ 2 > 325 V . Elle délivre la tension suivante (aperçu durant0.1 s) : 300 200 100 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 −100 −200 −300Dans un circuit, chaque générateur est représenté par le symbole suivant Á∼Á Uü ImpédanceLimpédance dune portion de circuit alternatif exprime lopposition que cette portion de circuit offre au passage ducourant alternatif. Limpédance dune portion de circuit est égale au rapport entre la tension de crête aux bornes et lecourant de crête qui la traverse (voir Formulaires et tables): fl U Z= fl I USa forme est analogue à celle de la résistance pour les courants continus R = I . Mais, contrairement à la résistance,limpédance dépend de la fréquence de la tension aux bornes. Lunité dimpédance est le ohm @ZD =ü Impédance et inductance dune bobineUne bobine offre une grande résistance inductive aux courants de haute fréquence. Qualitativement, limpédance dunebobine dépend de la fréquence comme suit
  11. 11. 1-Circuit_RLC_serie.nb 11 @ D Z ω @s−1 D Plus précisément, limpédance dune bobine est proportionnelle à la pulsation de la tension aux bornes. Le coefficientde proportionnalité est L = inductance (ou coefficient dauto-induction).cest-à-dire limpédance dune bobine est (voir Formulaires et tables) Z=LωUne justification sera donnée sous la rubrique Déphasage dune bobine.Lunité dinductance est le henry, noté H @ZD @LD = = = s=H @ωD s−1Dans les circuits, chaque bobine, caractérisée par son inductance L, est représentée par le symbole suivant LLe courant de crête qui traverse une bobine dépend de la fréquence comme suit fl fl fl U U I= = Z Lω fl @AD I ω @s−1 DComme w = 2 p n, plus la fréquence est élevée, plus lintensité du courant à travers la bobine est faible.ü Impédance et capacité dun condensateur
  12. 12. 1-Circuit_RLC_serie.nb 12Un condensateur offre une grande résistance capacitive aux courants de basse fréquence. Qualitativement, limpédancedune capacité dépend de la fréquence comme suit @ D Z ω @s−1 DPlus précisément, limpédance dun condensateur est inversément proportionnelle à la pulsation de la tension aux bornes,cest-à-dire (voir Formulaires et tables) 1 Z= ωCoù C est la capacité du condensateur. Une justification sera apportée sous la rubrique Déphasage dun condensateur.Lunité de capacité est le farad, noté F 1 1 s @CD = = = =F @ωD@ZD s−1Dans les circuits, chaque condensateur, caractérisé par sa capacité C, est représenté par le symbole suivant CLe courant de crête qui traverse un condensateur dépend de la fréquence comme suit fl fl fl U U fl I= = =U ωC Z 1 ωC fl @AD I ω @s−1 DPlus la fréquence est élevée, plus lintensité du courant à travers le condensateur est grande.
  13. 13. 1-Circuit_RLC_serie.nb 13ü Résistances ohmiquesLes résistances qui apparaissent ici ont les mêmes effets que celle que nous avons rencontrées dans les circuits àcourants continus. En particulier, elles dissipent la puissance électrique reçue sous la forme de chaleur par effet Joule.Leur impédance est indépendante de la fréquence de la tension aux bornes @ D Z ω @s−1 Det on a simplement Z=RDans les circuits, chaque résistance ohmique est représentée par le symbole suivant Rü ConducteursLes conducteurs sont des portions de circuit dont limpédance est nulle. La tension aux bornes dun conducteur est doncnulle. Dans les circuits, chaque conducteur est représenté par une ligne continue qui relie entre eux les différentséléments du circuit.ü Courants stationnaires et déphasage flDans un circuit RLC série, lorsquon enclenche le générateur U HtL = U cosHw t + j1 L, on constate expérimentalementque le courant IHtL atteint assez rapidement un état stationnaire: le courant prend alors une forme sinusoïdale de mêmefréquence que le générateur fl I HtL = I cos Hω t + ϕ2 LPar contre, sa phase initiale j2 est généralement différente de celle de la tension. La différence ϕ = ϕ1 − ϕ2est appelée déphasage du courant par rapport à la tension
  14. 14. 1-Circuit_RLC_serie.nb 14 "UHtL" "t" "IHtL"Comparons sur le cercle trigonométrique les expressions suivantes I HtL = cos Hω t + ϕ2 L fl I U HtL = cos Hω t + ϕ1 L = cos Hω t + ϕ2 + ϕL fl U U HtL fl U I HtL fl I ωt+ϕ1 ϕ ωt+ϕ2 O(Dans la figure, les angles sont tous orientés dans le sens direct.) On observera que j représente le retard de phase ducourant sur la tension ou, en dautres termes, lavance de phase de la tension sur le courant.On peut représenter la tension et le courant par des vecteurs tournants. Nous avons déjà introduit ce point de vue par lesanimations du § 1.1; le développement mathématique sera effectué dans le § 1.3.Les phases initiales j1 , j2 prennent leur sens dans la description de létat à linstant t = 0. Pour létude des états station-naires, le choix des phases initiales peut être effectué arbitrairement. Les mathématiciens effectuent souvent le choixsuivant ϕ1 = 0 ϕ2 = ϕ1 − ϕ = −ϕ fl U HtL = U cos Hω tL fl I HtL = I cos Hω t − ϕL
  15. 15. 1-Circuit_RLC_serie.nb 15Cest le choix que nous ferons le plus souvent dans la suite du cours.ü Autres formulations équivalentesDans la représentation de Fresnel dont nous parlerons plus tard, on peut adopter le choix ϕ2 = 0 ϕ1 = ϕ2 + ϕ = ϕ fl U HtL = U cos Hω t + ϕL fl I HtL = I cos Hω tLLes physiciens expérimentaux utilisent habituellement des fonctions sinus sous la forme fl U HtL = U sin Hω tL fl I HtL = I sin Hω t − ϕLCes choix ne changent rien aux propriétés physiques du système. Suivant les données du problème et les buts pour-suivis, certains choix sont préférés à dautres.Ces trois représentations sont équivalentes parce quelles ne diffèrent que par leurs phases initiales. Or, ce sont desprocessus stationnaires que nous décrivons. Ce qui se passe dans les instants qui suivent lenclenchement sera étudiéplus tard, dans un autre chapitre intitulé Equations différentielles ordinaires. Pour linstant, les états transitoires ne fontpas partie de notre étude.ü Déphasage dune bobineConsidérons un circuit idéalisé dans lequel la résistance ohmique est négligeable et dont le générateur délivre la tension `U HtL = U cosHw tL: Á∼Á U LSelon la loi dinduction ˆ dI U cos Hω tL − L =0 dtNous voulons déterminer IHtL. On a ˆ U cos Hω tL dt = L dIPar intégration ˆ U sin Hω tL = L I + k Hoù k est une constanteL ωA lenclenchement du circuit, le courant est nul (cest le choix à faire pour obtenir une solution stationnaire). I H0L = 0 k=0
  16. 16. 1-Circuit_RLC_serie.nb 16 ˆ ˆ ˆ U U π ˆ π ˆ U I HtL = sin Hω tL = cos Kω t − O = I cos Kω t − O où I = ωL ωL 2 2 ωLOn en déduit limpédance Z du circuit: ˆ U Z= ˆ =ωL Iainsi que le déphasage π π ϕ = ϕ1 − ϕ2 = 0 − K− O= 2 2 p pcest-à-dire la tension est en avance de phase de 2 sur le courant (ou le courant est en retard de phase de 2 par rapport àla tension). → O U H0L ϕ → IH0Lü Déphasage dun condensateur `Imaginons le circuit idéalisé suivant dans lequel le générateur délivre la tension U HtL = U cosHw tL: Á∼Á U COn a les relations suivantes: I HtL = dQ : 1 dt U= C QOn en déduit:
  17. 17. 1-Circuit_RLC_serie.nb 17 I HtL = HIL dQ : dt HIIL dU 1 dQ dt = C dtEn substituant (I) dans (II): dU 1 = I HtL dt C ˆ 1 − ω U sin Hω tL = I HtL C ˆ ˆ π ˆ ˆ I HtL = − ω C U sin Hω tL = I cos Kω t + O où I=ωCU 2Limpédance du circuit est donc ˆ U 1 Z= ˆ = I ωCet la tension est en avance de phase sur le courant de π π ϕ = ϕ1 − ϕ2 = 0 − =− 2 2 pEn dautres termes, cest la tension qui est en retard de phase de 2 sur le courant (ou le courant qui est en avance de p pphase sur la tension de 2 ou le courant qui est en retard de phase sur la tension de - 2 ). → IH0L ϕ → O U H0LVoir exercice 1-4.§ 1.3 Circuit RLC série : description vectorielle et représentation de Fresnelü Circuit RLC sérieConsidérons un circuit où sont disposés en série un générateur de pulsation w, une résistance ohmique R, une bobinedinductance L et un condensateur de capacité C.
  18. 18. 1-Circuit_RLC_serie.nb 18 Á ∼ Á U R C L ` ` ULe courant qui circule dans le circuit est caractérisé par sa tension de crête I = Z et son déphasage j par rapport à latension.Limpédance du circuit est (voir Formulaires et tables): 2 1 Z= R2 + ω L − ωCet le déphasage j est donné par 1 ωL− tan HϕL = ωC RJustification `Dans le circuit ci-dessus, étant donné U HtL = U sinHw tL, R, L et C, on se propose de calculer I(t).Posons léquation différentielle du circuit: dI 1 U = RI+L + Q dt Cou, en dérivant, ˆ dI d2 I 1 ω U cos Hω tL = R +L + I dt dt2 C ` dI `Effectuons la substitution IHtL = I sinHw t + j2 L qui est inspirée de lexpérience; ainsi dt = w I cosHw t + j2 L etd2 I ` 2 = - w2 I sinHw t + j2 L. Léquation devient dt ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ω U cos Hω tL = R ω I cos Hω t + ϕ2 L − L ω2 I sin Hω t + ϕ2 L + I sin Hω t + ϕ2 L CUtilisons la formule cosHa - bL = cosHaL cosH bL + sinHaL sinH bL: ˆ ω U cos Hω tL = ˆ ˆ ˆ ω U cos HHω t + ϕ2 L − ϕ2 L = ω U cos Hω t + ϕ2 L cos Hϕ2 L + ω U sin Hω t + ϕ2 L sin Hϕ2 L = ˆ ˆ 1 ˆ R ω I cos Hω t + ϕ2 L + −L ω2 I + I sin Hω t + ϕ2 L CEn identifiant les coefficients, on obtient ˆ ˆ ˆ ω U cos Hϕ2 L = R ω I cos Hϕ2 L = R U ˆ : ˆ ˆ ˆ : I ω U sin Hϕ2 L = −L ω2 I + 1 ˆ I sin Hϕ2 L = −ω L + U 1 C ˆ ωC I
  19. 19. 1-Circuit_RLC_serie.nb 19On en déduit dune part 2 1 R2 + −ω L + = ωC ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 U U U U ˆ cos Hϕ2 L + ˆ sin Hϕ2 L Icos Hϕ2 L + sin Hϕ2 LM = 2 2 = ˆ ˆ I I I I ˆ 2 2 U 1 1 Z= ˆ = R2 + − ω L + = R2 + ω L − I ωC ωCDautre part, sin Hϕ2 L 1 − ωL+ tan Hϕ2 L = ωC = cos Hϕ2 L R 1 ωL − tan HϕL = tan H0 − ϕ2 L = −tan Hϕ2 L = ωC RRemarques On remarquera en particulier que 1 * lorsque linductance domine (w L > wC ), la tension est en avance de phase sur le courant (j > 0); 1 * lorsque la capacité est faible, son effet est dominant ( w C > w L), la tension est en retard de phase sur le courant (j < 0); 1 * lorsque la résistance ohmique est très grande (R p w L - wC ), le déphasage est faible (j º 0).ü Fréquence propre ou fréquence de résonanceLes effets de la bobine et de la capacité sur le déphasage étant opposés 1 ωL− ωC ω # Ron peut sattendre à ce quil existe une fréquence pour laquelle le déphasage est nul: 1 ω L− 1 tan HϕL = 0 ωC ϕ=0 =0 ω L− =0 R ωC 1 1 1 ωL= ω2 = ω= ωC LC LCLa fréquence propre du circuit (ou fréquence de résonance) est ω 1 ν= = 2π 2π LCCette relation est appelée formule de Thompson (baron Kelvin): 1 ν= 2π LCPour la fréquence propre, limpédance du circuit est minimale et le déphasage est nul; de plus, lamplitude du courant decrête est maximale
  20. 20. 1-Circuit_RLC_serie.nb 20 2 1 Z= R2 + ω L − = R2 + 02 = R ωC tan HϕL = 0Pour la fréquence de résonance, les effets de la bobine et du condensateur sont antagonistes; le circuit RLC est alorséquivalent à ∼ Á Á U RVoir exercices 1-5 à 1-9.ü Les vecteurs tension et courantLa forme de la tension fl U HtL = U cos Hω t + ϕLest semblable à la forme dun mouvement harmonique (voir § 1.1). Poursuivons lanalogie et considérons le mouvementcirculaire uniforme associé fl → U cos Hω t + ϕL fl cos Hω t + ϕL U HtL = =UK O fl sin Hω t + ϕL U sin Hω t + ϕLquon se repésente comme un vecteur en rotation circulaire uniforme (voir la prochaine figure).La forme du courant est semblable à celle de la tension fl I HtL = I cos Hω tLLe mouvement circulaire uniforme associé est donc fl → I cos Hω tL fl cos Hω tL I HtL = =IK O fl sin Hω tL I sin Hω tL ”quon se repésente comme un vecteur en rotation cirulaire uniforme. Les vitesses angulaires des vecteurs U HtL et I (t)sont les mêmes. Le vecteur tension possède une avance de phase de j sur le vecteur courant. (Dans les figures, lesangles sont tous orientés dans le sens direct)
  21. 21. 1-Circuit_RLC_serie.nb 21 → U HtL → IHtL ωt+ϕ1 ϕ ωt+ϕ2 OChoisissons un instant t où la phase du courant est un multiple entier de 2 p ou, plus simplement, linstant t = 0: → Jangle de phase de I N = H ω tL = 0 → Jangle de phase de U N = H ω t + ϕL =ϕ → U H0L ϕ → IH0L OLe déphasage j représente lavance de phase de la tension sur le courant ou, en dautres termes, le retard de phase ducourant sur la tension.ü Le vecteur impédanceObservons les formules pour le circuit RLC série. On peut obtenir les mêmes résultats en représentant limpédancecomme un vecteur → R Z= 1 ωL− ωCdont la norme est la valeur le limpédance
  22. 22. 1-Circuit_RLC_serie.nb 22 2 → 1 Z= ˛Z˛= R2 + ω L − ωC 1et dont langle quil forme avec le vecteur est égal au déphasage (voir figure): 0 1 → ωL− tan HϕL = tan K≠ KK O, ZOO = 1 ωC 0 R → Z 1 ω L− ωC ϕ REtant donné que R ¥ 0, il sensuit que π π − ≤ϕ≤ 2 2 ØLes deux informations que contient le vecteur Z (à savoir la norme Z et langle j) peuvent être mises en évidence enécrivant le vecteur sous la forme polaire → cos HϕL Z=ZK O sin HϕLLa relation suivante sera aussi utile R cos HϕL = ZIl est possible de superposer les trois vecteurs courant, tension et impédance
  23. 23. 1-Circuit_RLC_serie.nb 23 → U H0L → Z ϕ → IH0L O fl Ø Ø Ø U ˛U H0L˛Dune part, les vecteurs Z et U H0L sont liés et de même sens. Dautre part, Z= fl = fl . Il sensuit que I I Ø ` ` Ø˛ U H0L ˛ = I Z = I ˛ Z ˛ et que → ˆ→ U H0L = I Zü Représentation de FresnelDécomposons le vecteur impédance en trois composantes, appelées respectivement résistance ohmique, résistance inductive et résistance capacitive : → R 0 Z = K O+K O+ 0 1 0 ωL − ωCDans la figure précédente, on a représenté les vecteurs → ˆ I H0L = I 0 ˆ 0 → ˆ→ 0 U H0L = I Z = RI ˆ + ˆ + I 0 ωLI − ωCCette dernière formule donne lieu à la représentation de Fresnel (voir aussi les Formulaires et tables):
  24. 24. 1-Circuit_RLC_serie.nb 24 fl I − ωC fl ω L I fl U ϕ O fl R ILa tension de crête est égale à la norme du vecteur tension à nimporte quel instant t. La représentation de Fresnel donneune interprétation géométrique des relations R 2 ˆ → ˆ ˆ 1 U = ˛ U H0L ˛ = ˛ I 1 ˛=I R2 + ω L − ωL− ωC ωC 1 ωL− tan HϕL = ωC RLa formule précédente est la forme usuelle (voir formulaire). Cependant, pour traiter en même temps les cas particuliersR = 0 ou L = 0, il est avantageux dutiliser la formule plus générale suivante: 1 ωL− sin HϕL = ωC ZQuant au cas particulier où le circuit ne comporte pas de condensateur, on peut considérer quil sagit dun condensateurdont limpédance est nulle, ce qui correspond à la limite C Ø ¶ ωL tan HϕL = RVoir exercices 1-10 et suivants.§ 1.4 ProjetsPour les circuits à courants continus, nous avions des lois simples telles que * la loi dOhm R ÿI = U; * les lois de Kirchhoff (loi des noeuds, loi des boucles).ü Une multiplication étendue à de nouveaux objetsPour les circuits à courants alternatifs stationnaires, dans le cas particulier dune association en série, nous avons vu que Ø Ø Øla relation entre Z , I , U prend une forme relativement compliquée. Serait-il possible de lui donner une forme simple Ø Ø Øtelle que Z ÿ I = U ? Mais alors, quel sens faut-il donner à lopération qui consiste à multiplier deux éléments du planet dont le produit est à nouveau un élément du plan ? Il sagit dune question mathématique qui est lobjet du paragraphe2, intitulé Nombres complexes.
  25. 25. 1-Circuit_RLC_serie.nb 25ü Des circuits RLC quelconquesIl serait aussi souhaitable que les lois reformulées avec la multiplication étendue soient applicables, non seulement aucircuit RLC série, mais aussi au circuit RLC parallèle ∼ Á Á U R L Cainsi quà toute autre forme dassociation, par exemple Á∼Á U R L CDans ce nouveau contexte, peut-on encore utiliser les lois de Kirchhoff ? Les applications à la physique feront lobjet duparagraphe 3 intitulé Lois de Kirchhoff.Exercices du § 1ü Exercice 1-1 kmUn véhicule roule à la vitesse constante de 108 h . On considère le mouvement de rotation des valves autour des axesdes roues. Les roues ont un rayon de 20 cm. Les valves sont situées à 15 cm des axes des roues. A linstant t = 0, la valvedune première roue est dans la position la plus basse. La position initiale dune deuxième valve, mesurée selon lusage pdu cercle trigonométrique, est j2 = 4 (la roue tournant dans le sens direct).
  26. 26. 1-Circuit_RLC_serie.nb 26 a) Calculez la vitesse angulaire, la fréquence et la période des roues. b) Ecrivez les angles horaires a1 HtL, a2 HtL de la première valve et de la deuxième valve. c) Calculez le déphasage entre les deux valves, cest-à-dire la différence entre les angles horaires des deux valves j = a1 HtL - a2 HtL. Interprétez le résultat. d) Ecrivez les horaires des deux valves par rapport à leurs axes de roues respectifs.ü Exercice 1-2Sur le cadran dune horloge, on considère laiguille des heures et celle des minutes.Décidons de décrire la position des aiguilles au moyen de langle horaire selon lusage de la trigonométrie (langle nulcorrespond à la position 3 h). a) Ecrivez langle horaire de laiguille des heures et langle horaire de laiguille des minutes. b) Ecrivez langle horaire de laiguille des minutes sur lintervalle @4 h; 5 h @ de telle manière que, p à 4 h , langle horaire de laiguille des minutes soit 2 . c) A quels intants, entre 4 h et 5 h, les aiguilles des heures et des minutes sont-elles perpendiculaires ?ü Question 1-3Une première roue dentée de rayon de r1 a une vitesse angulaire w1 . Une deuxième roue dentée de rayon r2 sappuye surelle pour former un engrenage. Les valeurs de r1 , r2 , w1 sont données.La deuxième roue actionne une bielle ABC, ce qui a pour effet danimer le segment BC dun mouvement de va et vientsur un axe horizontal.Pour mesurer les angles, chaque roue est munie dun point de repère, celui de la deuxième étant en A. Les angleshoraires a1 HtL et a2 HtL sont mesurés selon lusage de la trigonométrie. Nous supposons w1 > 0, ce qui entraîne quew2 < 0. r1 r2 B C ω2 ω1 A a) Un angle initial quelconque a1 H0L étant donné, exprimez langle horaire de la première roue a1 HtL. b) Calculez w2 . Sachant que le chronomètre est enclenché à linstant où le point A passe dans lengrenage, exprimez langle horaire de la deuxième roue a2 HtL. c) Sans établir lhoraire exact du point B, approximez-le par celui dun mouvement harmonique tours de même amplitude. Application numérique : r1 = 0.5 m, r2 = 0.2 m, w1 = 300 min . d) [Facultatif] Etablissez lhoraire exact du point B (mouvement dune bielle).
  27. 27. 1-Circuit_RLC_serie.nb 27 d) [Facultatif] Etablissez lhoraire exact du point B (mouvement dune bielle). Comparez les mouvements exact (question d) et harmonique approché (question c).ü Exercice 1-4a) Ecrivez les expressions suivantes au moyen de la fonction cosinus ˆ I HtL = I sin Hω t − ϕL ˆ U HtL = U sin Hω tLb) Ecrivez les expressions suivantes au moyen de la fonction sinus ˆ I HtL = I cos Hω t − ϕL ˆ U HtL = U cos Hω tLc) Montrez léquivalence des formes a) et b).ü Exercice 1-5 (daprès Monard 24-3) `Un électro-aimant branché sur le réseau de distribution (U = 325 V , n = 50 Hz) est parcouru par un courant dont lampli-tude est de 0.71 A. En supposant que la résistance ohmique est négligeable, calculez son coefficient de self-induction.ü Exercice 1-6 (daprès Monard 24-4)Une bobine de résistance ohmique négligeable est branchée sur une source de courant alternatif de fréquence 50 Hz. Onconstate quelle est parcourue par un courant dont les maximums valent 1 A. On relie ensuite la même bobine à unesource de tension dont lamplitude est la même que la précédente mais dont la fréquence est de 1000 Hz. Calculez lavaleur de crête du nouveau courant.ü Exercice 1-7R, L, C désignant des constantes positives, faites une étude de la fonction 2 1 Z HωL = R2 + ω L − ωCEn particulier, établissez que Z = L w est asymptote oblique du côté de + ¶.ü Exercice 1-8 (daprès Monard 25-1)Dans un circuit RLC série, le condensateur a une capacité de 300 pF et la bobine une inductance de 0.12 H. Calculez lapériode propre du circuit (ou période de résonance), cest-à-dire la période pour laquelle limpédance est minimale.ü Exercice 1-9 (daprès Monard 25-2)Un circuit RLC série a une fréquence propre de 10 kHz. Sachant que le condensateur a une capacité de 50 nF, calculezlinductance de la bobine.ü Exercice 1-10 (daprès Monard 24-2) `Un condensateur de 1 mF est relié au réseau de distribution (U = 325 V , n = 50 Hz). a) Calculez le courant de crête qui le traverse. b) Calculez le déphasage. c) Quelle devrait être la fréquence du réseau pour que lamplitude du courant soit égale à 1.4 A ?
  28. 28. 1-Circuit_RLC_serie.nb 28ü Exercice 1-11Dans un circuit RLC série, le condensateur a une capacité de 300 mF, la bobine une inductance de 5 mH et la résistance `est de 10 W. Le générateur est le réseau de distribution (U = 325 V , n = 50 Hz). a) Calculez la résitance inductive, la résistance capacitive et limpédance du circuit. b) Calculez lamplitude du courant et le déphasage. c) Calculez le décalage temporel entre le courant et la tension. d) Dessinez la représentation de Fresnel.ü Exercice 1-12Soit la fonction ˆ ˆ ˆ U U ˆ I HωL = = où l on pose U = 5; R = 2; L = 1 et C = 1. Z R2 + Iω L − M 1 2 ωC ` a) Représentez graphiquement I en fonction de w. ` b) Déterminez pour quelle valeur de w la fonction I est maximale. ` c) Représentez la famille de fonctions I dépendant du paramètre R, pour les valeurs de R suivantes: 1; 0.5; 0.1; 3; 5 et 10.ü Exercice 1-13 (facultatif) `Soit un circuit alimenté par la tension U HtL = U cosHw tL et comprenant une résistance R et un condensateur de capacitéC en série. a) Etablissez léquation différentielle de lintensité du courant. b) Résolvez cette équation différentielle.ü Exercice 1-14 (facultatif)La différence de potentiel aux bornes dun condensateur de capacité C = 0.1 mFest de 120 V. Au temps t = 0 s, onbranche ce condensateur aux bornes dune bobine de résistance négligeable et dinductance L = 1 H. Lintensité ducourant est nulle à cet instant. a) Calculez la pulsation, la période et la fréquence propres de ce circuit. b) Donnez les variations, dans le temps, de la charge du condensateur et de lintensité du courant. c) Calculez la charge du condensateur et lintensité du courant aux instants t1 = 0.5 ms, t2 = 1 ms et t3 = 1.5 ms.

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