varios mate

1. Circunferencia
La circunferencia es una curva plana y cerrada donde
todos sus puntos están a igual distancia del centro.
Distíngase del círculo que es el lugar geométrico de los
puntos contenidos en dicha circunferencia o también la
circunferencia es el perímetro del círculo. En el círculo
los puntos de la circunferencia están a una distancia igual
al radio y los demás puntos a menor distancia que el radio.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad
nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los fo-
cos coinciden o bien fuera una elipse cuyas directrices
están en el infinito. También se puede describir como la
sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o
cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados,
cuya apotema coincide con su radio.
La intersección de un plano con una superficie esférica
puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien
un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia,
si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador[1]
La circunferencia de centro en el origen de coordena-
das y radio 1 se denomina circunferencia unidad o
circunferencia goniométrica.[2][3][4][5][6]
1 Propiedades de la circunferencia
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en
la circunferencia:
secante
cuerda
tangente
Secantes, cuerdas y tangentes.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferen-
cia.
• Centro, es el punto interior equidistante de todos los
puntos de la circunferencia;
• Radio. Es el segmento que une el centro de la cir-
cunferencia con un punto cualquiera de la misma. El
radio mide la mitad del diámetro.El radio es igual a
la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
• Diámetro. El diámetro de una circunferencia es el
segmento que une dos puntos de la circunferencia
y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del
1

2. 2 2 POSICIONES RELATIVAS
radio. El diámetro es igual a la longitud de la circun-
ferencia dividida entre π;
• Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos pun-
tos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de
longitud máxima.
• Recta secante. Es la línea que corta a la circunfe-
rencia en dos puntos.
• Recta tangente. Es la línea que toca a la circunfe-
rencia en un sólo punto.
• Punto de Tangencia es el punto de contacto de la
recta tangente con la circunferencia.
• Arco. El arco de la circunferencia es cada una de las
partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Un arco de circunferencia se denota con el símbolo
sobre las letras de los puntos extremos del arco.
• Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos de-
limitados por los extremos de un diámetro.
1.0.1 Diámetros conjugados
Par de diámetros conjugados en una elipse
Dos diámetros de una sección cónica se denominan con-
jugados cuando toda cuerda paralela a uno de ellos es
bisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros de la
circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente
conjugados. En una elipse dos diámetros son conjugados
si y sólo si la tangente a la elipse en el extremo de un
diámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.
1.0.2 Punto interior
Es un punto en el plano de la circunferencia, cuya distan-
cia al centro de la circunferencia es menor que el radio.
El conjunto de todos los puntos interiores se llama inte-
rior de la circunferencia. Respecto al círculo, claramente,
se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es
precisamente la respectiva circunferencia.[7]
2 Posiciones relativas
2.1 La circunferencia y un punto
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro
al punto es mayor que la longitud del radio.
• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del
centro al punto es igual a la longitud del radio.
• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro
al punto es menor a la longitud del radio.

3. 3
2.2 La circunferencia y la recta
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
• Exterior, si no tienen ningún punto en común con
ella y la distancia del centro a la recta es mayor que
la longitud del radio.
• Tangente, si la toca en un punto (el punto de tan-
gencia o tangente) y la distancia del centro a la recta
es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a
una circunferencia es perpendicular al radio que une
el punto de tangencia con el centro.
• Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la
corta en dos puntos distintos y la distancia del centro
a la recta es menor a la longitud del radio.
• Segmento circular, es el conjunto de puntos de la
región circular comprendida entre una cuerda y el
arco correspondiente
2.3 Dos circunferencias
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relati-
vas, se denominan:
• Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distan-
cia que hay entre sus centros es mayor que la suma
de sus radios. No importa que tengan igual o distinto
radio. (Figura 1)
• Tangentes exteriormente, si tienen un punto co-
mún y todos los demás puntos de una son exteriores
a la otra. La distancia que hay entre sus centros es
igual a la suma de sus radios. No importa que tengan
igual o distinto radio. (Figura 2)
• Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la
distancia entre sus centros es menor a la suma de sus
radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en
más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes
ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en
los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
• Tangentes interiormente, si tienen un punto co-
mún y todos los demás puntos de una de ellas son
interiores a la otra exclusivamente. La distancia que
hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la
diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener
mayor radio que la otra. (Figura 4)
• Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto
común y la distancia entre sus centros es mayor que
0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de
sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio
que la otra.
• Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro
(la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio.
Forman una figura conocida como corona circular o
anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que
la otra. (Figura 5)
• Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mis-
mo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos
puntos comunes, necesariamente son circunferen-
cias coincidentes.
3 Ángulos en una circunferencia
ángulo
central
ángulo
inscrito
ángulo
semi-inscrito
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo ar-
co y por tanto son iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta.
Sus lados contienen a dos radios.

4. 4 5 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
La amplitud de un ángulo central es igual a la
del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunfe-
rencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una se-
mi circunferencia equivale a la mayor parte del
ángulo exterior que limita dicha base. (Véase:
arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la cir-
cunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta
tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tan-
gencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la
mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la cir-
cunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad
de la suma de dos medidas: la del arco que
abarcan sus lados más la del arco que abarcan
sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la
circunferencia
4 Longitud de la circunferencia
El interés por conocer la longitud de una circunferencia
surge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carros
con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio
con la circunferencia.[8]
• La longitud ℓ de una circunferencia es:
ℓ = π · 2r
donde r es la longitud del radio.
Pues π (número pi), por definición, es el cociente entre
la longitud de la circunferencia y el diámetro:
π =
ℓ
2r
4.1 Área del círculo delimitado por una
circunferencia
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = π · r2
Área =
Área del círculo =
π× r2
r2
Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.
5 Ecuaciones de la circunferencia
5.0.1 Ecuación en coordenadas cartesianas
1 2 3
1
2
3
-1
-2 -1
-2
x
y
-3
-3
x
2
+y
2
= 4
circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circun-
ferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de
todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación an-
terior se simplifica al
x2
+ y2
= r2

5. 5
La circunferencia con centro en el origen y de radio la
unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circun-
ferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
se deduce:
x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0
resultando:
a = −
D
2
b = −
E
2
r =
√
a2 + b2 − F
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:
(x1, y1), (x2, y2) ,
la ecuación de la circunferencia es:
(x − x1)(x − x2) + (y − y1)(y − y2) = 0.
5.0.2 Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene
por ecuación vectorial:⃗r = ⟨R cos(θ), R sen(θ)⟩ . Don-
de θ es el parámetro de la curva, además cabe destacar
que θ ∈ [0, 2π) . Se puede deducir fácilmente desde la
ecuación cartesiana, ya que la componente X y la compo-
nente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el
radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta
misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando
el parámetro Z libre.
Sea C un punto fijo del plano, r un real positivo, P un pun-
to cualquiera de ℝ2
, la ecuación |P - C|= r es la ecuación
vectorial de la circunferencia de centro C y radio r.[9]
5.0.3 Ecuación en coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el ra-
dio es c, se describe en coordenadas polares como (r, θ)
r = c.
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto
(s, α) y el radio es c , la ecuación se transforma en:
r2
− 2sr cos(θ − α) + s2
= c2
(cos t, sen t)
y
x
1
t
Circunferencia unitaria.
5.0.4 Ecuación paramétrica de la circunferencia
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se
parametriza con funciones trigonométricas como:
x = a + c cos t, y = b + c sen t, t ∈ [0, 2π]
y con funciones racionales como
x = a + c
(
1−t2
1+t2
)
, y = b +
c
(
2t
1+t2
)
, −∞ ≤ t ≤ ∞ , donde t re-
corre todos los valores reales y se llama pará-
metro.[10]
6 Circunferencia en topología
En topología, se denomina circunferencia a cualquier cur-
va cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia
usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional).
Se la puede definir como el espacio cociente determinado
al identificar los dos extremos de un intervalo cerrado.[11]
Los geómetras llaman 3-esfera a la superficie de la esfera.
Los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indican
como S2
.[12]
La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo,
la dimensión de una recta no acotada, o de un arco- esto
es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado-
y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeo-
morfo con una circunferencia, es igual a 1.[13]
También el
caso de una poligonal cerrada.

6. 6 9 CIRCUNFERENCIAS ESPECIALES
7 Circunferencia en un plano de
ejes de referencia no ortogonales
Para construir una circunferencia en el plano oblicuo, no
se puede usar la misma ecuación que se usa en un plano
ortogonal, por lo que es necesario introducir algunos con-
ceptos que nos ayudarán a entender la construcción de tal
ecuación. Tales conceptos son los de trigonometría.
Se debe tener presente que en este plano una ecuación de
circunferencia se llamará así si se ve como tal. Es por esta
razón que se descarta la ecuación anterior, porque en el
plano oblicuo no parecerá circunferencia, sino una elipse.
8 Otras propiedades
B
B
B
A
A
P
2
3
1
2
3
P P PP P P
• Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan,
el producto de los segmentos formados en la una, es
igual al producto de los segmentos formados en la
otra cuerda, A1P · PB1 = A2P · PB2 .
• El segundo teorema de Tales muestra que si los tres
vértices de un triángulo están sobre una circunferen-
cia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la
circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a este la-
do es un ángulo recto (véase arco capaz).
• Dados tres puntos cualesquiera no alineados, exis-
te una única circunferencia que contiene a estos
tres puntos (esta circunferencia estará circunscri-
ta al triángulo definido por estos puntos). Dados
tres puntos no alineados en el plano cartesiano
(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) , la ecuación de la cir-
cunferencia está dada de forma simple por la deter-
minante matricial:
Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.
det




x y x2
+ y2
1
x1 y1 x2
1 + y2
1 1
x2 y2 x2
2 + y2
2 1
x3 y3 x2
3 + y2
3 1



 = 0.
8.1 Familia de circunferencias
Lehmann menciona las siguientes [14]
1. Circunferencias que tienen el mismo centro.
2. Circunferencias que pasan por dos puntos.
3. Circunferencias tangentes a una recta en un punto
fijo.
4. Circunferencias que pasan por las intersecciones de
dos circunferencias.
9 Circunferencias especiales
9.1 Circunferencias de Cardanus
Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial
e interiormente, una sobre la otra guardando una razón
entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por
el matemático italiano, Girolamo de Cardano [15]
9.2 Circunferencia directriz
Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la
hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las cir-
cunferencias tangentes a la llamada circunferencia direc-
triz [16]
.

7. 7
9.3 Circunferencia osculatriz
Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie,
en el punto de contacto, además de la tangente se toma
en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada cir-
cunferencia osculatriz[17] [18]
10 Véase también
• Círculo
• Circunferencia de Apolonio
• Disco (topología)
• 3-esfera | n-esfera
• Sección cónica
• Elipse | Parábola | Hipérbola
• Teorema segundo de Tales
11 Referencias
[1] Editorial Bruño: Geometría Superior
[2] “Introducción a la geometría” Eugenio Roanes Macías.
Anaya editorial. 1.ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X
[3] “Geometría Diferencial” Antonio López de la Rica, Agus-
tín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6
[4] “Geometría analítica del plano y del espacio”. Jesús M.
Ruiz. Anaya, 1.ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8
[5] “Cálculus” (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edi-
ción, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1
[6] “Cálculo” (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler,
Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edición, 2006.
ISBN 970-10-5274-9
[7] Correlacionando con conceptos básicos de topología ge-
neral
[8] Boyer: Historia de la matemática
[9] Haaser, La Salle, Sulivan: Análisis Matemático I
[10] Consúltese para el caso en Geometría analítica de Pastor,
Santaló y Balanzat, pág. 76
[11] Diccionario de términos de topología empleados por
Jacques Lacan.
[12] Weisstein, Eric W. «Sphere». En Weisstein, Eric W.
MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el
2009.
[13] Kazimierz Kuratowski: Introducción a la teoría de con-
juntos y a la topología, Editorial Vicens Vives, Barcelona,
España, 1966
[14] Lehmann, Charles H. Geometría Analítica (1980) Edito-
rial Limusa, S. A. Mexico 1, D.F. p.110
[15] Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-
0832-7
[16] Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-
0832-7
[17] Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-
0832-7
[18] Cf. Barrett O'Neill. Elementos de Geometría Diferencial
pág. 80 Limusa Wiley
12 Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multi-
media sobre círculos y circunferencias. Commons
• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje
sobre Circunferencia.Wikiversidad
• Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre la cir-
cunferencia
• Círculo y circunferencia, en Descartes. Centro Na-
cional de Información y Comunicación Educativa.
Ministerio de Educación, Política Social y Depor-
te de España
• Materiales didácticos: Circunferencia, en Descartes
• Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve,
de la Universidad de Los Andes, Venezuela
• Weisstein, Eric W. «Circunferencia “Circumferen-
ce"». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés).
Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Circunferencia y círculo “Cir-
cle"». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés).
Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Disco “Disk"». En Weisstein,
Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

8. 8 13 TEXTO E IMÁGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS
13 Texto e imágenes de origen, colaboradores y licencias
13.1 Texto
• Circunferencia Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia?oldid=83958277 Colaboradores: AstroNomo, Youssefsan, Joseape-
rez, Moriel, Cdlfd, Rosarino, Crescent Moon, Sms, Tano4595, Balderai, Laminitania, Dat, Kordas, Elsenyor, Boticario, Airunp, Taichi,
Magister Mathematicae, Alhen, Superzerocool, Pertile, Jekter, Yrbot, Maleiva, Vitamine, .Sergio, Icvav, GermanX, Wewe, Beto29, Ar-
min76, JAGT, Gaijin, The Photographer, YoaR, Bichologo, Docorreas, Banfield, Kepler Oort, Götz, Maldoror, Er Komandante, Alex-
quendi, Sigmanexus6, Jorgechp, Juan Marquez, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Jorgelrm, Laura Fiorucci, JMCC1, Alexav8,
Marianov, Retama, Santhy, Roberpl, Davius, Rastrojo, Scorge, Escarlati, Ingenioso Hidalgo, Fsd141, Alvaro qc, Srengel, Cansado, Maha-
deva, Escarbot, Yeza, RoyFocker, IrwinSantos, Egaida, Martin Rizzo, Arcibel, Gusgus, Mpeinadopa, JAnDbot, Hosg, Rafa3040, Gsrdzl,
TXiKiBoT, Mercenario97, Huzzlet the bot, Elisardojm, Humberto, Netito777, Nicozk, Nioger, Amanuense, Pólux, Jmvkrecords, Biasoli,
VolkovBot, Technopat, C'est moi, Galandil, Raystorm, Matdrodes, DJ Nietzsche, BlackBeast, Lucien leGrey, Muro Bot, Bucho, Rige-
nea, Drinibot, Bigsus-bot, BOTarate, Mel 23, Belb, Tirithel, XalD, Javierito92, HUB, Sonsaz, Nicop, Makete, Eduardosalg, Electronvolt,
Leonpolanco, Charly genio, Botito777, Poco a poco, BetoCG, Ener6, Juan Mayordomo, Raulshc, Julian leonardo paez, Shini kahn, Cami-
lo, UA31, Shalbat, Ucevista, AVBOT, Elliniká, David0811, MastiBot, Angel GN, Ialad, Diegusjaimes, Genio01, Kokokiki~eswiki, JAn
Dudík, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Ptbotgourou, Dangelin5, Barteik, Joarsolo, SuperBraulio13, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Ricar-
dogpn, Artur12345~eswiki, Kismalac, Muro Bot 2, Botarel, RubiksMaster110, Liberman~eswiki, Sanmaz, Itsukki, KES47, MAfotBOT,
Gusbelluwiki, Llsalcedo, Hprmedina, FAL56, Roberto Beroiza, Jerowiki, Boehm, Paloma 9729, PatruBOT, KamikazeBot, Fran89, Hum-
befa, Tarawa1943, Uriel kamikaze, Proferichardperez, CentroBabbage, Foundling, Axvolution, EmausBot, Savh, ZéroBot, Sergio Andres
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