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    Trigonometria Trigonometria Document Transcript

    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 1 1 ÁNGULO 2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO 3 FUNCIÓN TANGENTE 4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS 5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Existen expresiones algebraicas que contienen funciones trigonométricas, que para simplificarlas hay que conocer y usar sus propiedades, identidades y valores conocidos.
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 2 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina ángulo. Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general. Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones trigonométricas dadas son identidades o no. Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas. 1 ÁNGULO. ÁNGULO es la abertura que existe entre 2 semirectas que tienen un punto común de intersección. Esquemáticamente tenemos: 1.1 PATRÓN DE MEDIDA La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad de rotación que tiene que realizar el lado inicial para coincidir con el lado terminal. Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO. La medida de un ángulo se la expresa en: GRADOS (patrón referencial); y/o RADIANES (patrón de números reales) Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica: π=180 Radianes Se lo puede denotar de la siguiente manera También se suele emplear letras del alfabeto griego
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 3 A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia tenemos: GRADOS RADIANES 30 6 π 45 4 π 60 3 π 90 2 π 150 6 5π 180 π 210 6 7π 270 2 3π 300 3 5π 330 6 11π 360 π2 135 120 225 315 2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO La regla de correspondencia para la función seno es xxf sen)( = , y para la función coseno xxf cos)( = , donde x denota un ángulo. Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen. Completar Note que aquí la variable independiente “ x ” representa a un ángulo En cada posición de giro del radio vector (ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica el valor del COSENO y la ORDENADA indica el valor del SENO. ¿POR QUÉ?
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 4 Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos (posición) estratégicos tenemos: CONCLUSIONES: IRxDomxDom == )(cos)(sen Las gráficas son ONDAS SENOIDALES. Sus gráficas presentan SIMETRÍA. El seno es una función impar. Por tanto xx sen)sen( −=− El coseno es una función par. Por tanto xx cos)cos( =− Son FUNCIONES PERIÓDICAS, con período π2=T . Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si )()( xfTxf =± Por tanto )sen()sen( xTx =± y )cos()cos( xTx =± Son FUNCIONES ACOTADAS. Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si [ ]mxfnx ≤≤∀ )( Note que [ ]1,1cos)(sen −=== xrgxrg , es decir: 1sen1 ≤≤− x ∧ 1cos1 ≤≤− x π π π π π π ππ 2sen0 2 3 sen1 sen0 2 2 3 2 sen1 0sen0 sen 2 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = xx π π π π π π ππ 2cos1 2 3 cos0 cos1 2 2 3 2 cos0 0cos1 cos 2 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = xx
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 5 OPCIONAL Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense cuales serían las características de las gráficas de: xy sen2= . Generalice xAy sen= donde amplitudA ≡ )sen( 6 π −= xy . Generalice para )sen( Φ±= xy donde desfase≡Φ )2sen( xy = . Generalice para xy ωsen= donde angularafrecuenci≡ω Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno pueden ser generalizadas de la siguiente forma: ))(sen( Φ±= xAy ω donde T π ω 2 = entonces ω π2 =T ))(cos( Φ±= xAy ω Ejercicios Propuestos 1 GRAFIQUE: 1. )(xseny −= 2. )sen( xy −= 3. )(xseny = 4. xy sen= 5. 1)(2 3 +−= πxseny 3 FUNCIÓN TANGENTE La función tangente se define como x x x y tg cos sen == Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en 0cos =x . Es decir en ,...2,1,0; 2 )12( =−±= nnx π
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 6 CONCLUSIONES: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =−±−= ,...2,1,0; 2 )12()(tg nnIRxDom π IRxrg =)(tg . Por tanto, no es una función acotada Es una función periódica, con período π=T . Entonces T π ω = Es una función impar. Por tanto xx tg)tg( −=− En general, la regla de correspondencia sería ))(tg( Φ±= xAy ω OPCIONAL: Ejercicio Propuesto 2 GRAFICAR: 1. )(xtgy −= 2. )( xtgy −= 3. xy tg= 4. )(xtgy = 5. xy tg= 6. )( 3 π−= xtgy 4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias básicas para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una calculadora. Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para los ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego. x xsen xcos xtg 0 0 1 0 30 6 = π 2 1 2 3 3 3 45 4 = π 2 2 2 2 1 60 3 = π 2 3 2 1 3 90 2 = π 1 0 ∞ 180=π 0 1− 0 270 2 3 = π 1− 0 ∞ 3602 =π 0 1 0
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 7 La trigonometría está íntimamente ligada a la geometría. Para obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° podemos emplear un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es de mucha ayuda. 4.1 Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo (triángulo que tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de las longitudes sus catetos. Es decir: 222 bac += 4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo Para el triángulo rectángulo anterior tenemos: sen Hipotenusa opuestoLado x = c a x =sen cos Hipotenusa adyacenteLado x = c b x =cos tg adyacenteLado opuestoLado x = b a x =tg También se definen las Cofunciones de la siguiente manera: COSECANTE : a c x x == sen 1 csc SECANTE: b c x x == cos 1 sec COTANGENTE: a b x x == tg 1 cot
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 8 4.3 Funciones trigonométricas para 45 , 30 y 60 . Para 45 empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales. Digamos 1== ba , entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos que 211 22 =+=c Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de igual medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos 2=l Ejercicio resuelto La operación ( )45cos45sen30sen45tg4 60csc 30tg 260sen2 +−−+ da como resultado: a) 4 9 b) 4 9− c) 1 d) 0 e) -1 SOLUCIÓN: Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos: 4 9 4 123 3 4 3 4 6 3 2 4 3 4 2 2 1 14 2 3 3 3 2 4 3 2 2 2 2 2 1 14 3 2 3 3 2 2 3 1 2 1 1 2 12 −= − =−=− ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ / / /+= = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ / / +−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−− ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ / RESPUESTA: Opción "b" Para ÁNGULOS MAYORES A 90° Y MENORES A 360°, podemos considerar lo siguiente: 2 1 45sen = ó 2 2 45sen = 2 1 45cos = ó 2 2 45cos = 1 45cos 45sen 45tg = ° ° = ⇒ 2 1 30sen = 2 3 60sen = 2 3 30cos = 2 1 60cos = 3 3 3 1 30tg == 360tg =
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 9 1. Regla del cuadrante: Cuadrante x I 2 0 π << x )()( xfxf = II ππ << x2 )()( xfxf −±= π III 23π π << x )()( π−±= xfxf IV ππ 23 2 << x )2()( xfxf −±= π El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla: 2. Regla de los signos Cuadrante x xsen , xcsc xcos , xsec xtg , xc tg I 2 0 π << x + + + II ππ << x2 + - - III 23π π << x - - + IV ππ 23 2 << x - + - Entonces las funciones trigonométricas POSITIVAS en los respectivos cuadrantes son: Ejemplo 1 Para calcular 135sen , debemos considerar que: 1.En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo. 2. 2 2 45sen)135180sen(135sen ==°−°= Ejemplo 2 Para calcular 210cos , debemos considerar que: 1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo. 2. 2 3 )30cos()180210cos(210cos −=−=°−°−= Donde tgsec,csc, tgcos,sen, c f = =
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 10 Ejemplo 3 Para calcular °300tg , debemos considerar que: 1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa. 2. 3)60tg()300360tg(300tg −=−=°−°−= Ejercicios Propuestos 3 Calcular: 1. °120cos 2. °150tg 3. °225sen 4. °240tg 5. °315cos Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la función periódica, es decir: )2()( πnxfxf −= . Donde " n " es un número natural, lo suficiente para llevar a " x " a un ángulo entre 0° y 360°, y luego aplicar las reglas anteriores. Ejemplo 1 Para calcular °405sen , debemos considerar que: ( ) 2 2 405sen 45sen405sen45sen360405sen405sen = =⇒=−= Ejemplo 2 Para calcular °1125tg , debemos considerar que: 11125tg45tg))360(31125tg(1125tg =⇒=°−°=
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 11 Ejemplo 3 Para calcular °480cos , debemos considerar que: 1. °=°−° 120cos)360480cos( . 2. 2 1 60cos)120180cos(120cos −=°−=°−°−=° Ejercicios propuestos 4 Calcular: 1. °1080cos 2. °495tg 3. °1050sen Si el ÁNGULO ES NEGATIVO se puede emplear uno de los siguientes métodos: 1. El criterio de simetría, es decir )sen()sen( xx −=− , xx cos)cos( =− y xx tg)tg( −=− . Y el resto de manera semejante a lo que ya se ha explicado. 2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, )2()( πnxfxf +−=− Ejemplo Para calcular )30sen(− , podemos considerar que: 2 1 30sen)30sen( −=°−=°− ; o considerar que, 2 1 330sen)36030sen()30sen( −=°=°+°−=°− 5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Existen expresiones trigonométricas que son válidas para cualquier valor de x . Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y a la función coseno, tenemos que: 1cossen 22 =+ xx (JUSTIFÍQUELO) De aquí, al despejar tenemos que: xx 22 cos1sen −= xx 22 sen1cos −= Además se puede demostrar que: yxyxyx sencoscossen)sen( +=+ yxyxyx sencoscossen)sen( −=− yxyxyx sensencoscos)cos( −=+ yxyxyx sensencoscos)cos( +=−
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 12 De aquí se deriva que: Si hacemos xy = en las identidades para la suma de seno y coseno, resulta: Si hacemos 2 x x = en 1cos22cos 2 −= xx y en xx 2 sen212cos −= ; y luego despejamos, entonces resulta que: Ejercicio resuelto 1 Calcular )75sen( SOLUCIÓN: Una opción sería emplear la identidad yxyxyx sencoscossen)sen( +=+ ( ) 4 132 2 1 2 2 2 3 2 2 30sen45cos30cos45sen)3045sen()75sen( + = += +=+= Ejercicio resuelto 2 Al simplificar la expresión: ( )xx xx sen1cos cossen1 2 + −+ se obtiene: a) xsen b) xcos c) xtg d) 1 e) 0 yx yx yx yx yx tgtg1 tgtg )cos( )sen( )tg( − + = + + =+ yx yx yx tgtg1 tgtg )tg( + − =− xxx cossen22sen = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − = x x xx x 2 2 22 sen21 1cos2 sencos 2cos 2 cos1 2 cos xx + ±= 2 cos1 2 sen xx − ±=
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 13 SOLUCIÓN : Reemplazando la identidad xx 22 cossen1 += en la expresión dada, tenemos: x x x xx xx xx xxxx xx xx tg cos sen )sen1(cos )1(sensen )sen1(cos cossencossen )sen1(cos cossen1 2222 = = + + = + −++ = + −+ RESPUESTA: opción "c" Ejercicio resuelto 3 ¿Qué expresión se debe colocar en lugar de " x ", para que: xA A A A 2 sen1 cos sen1 cos = − + + se convierta en una identidad? a) Acsc c) Asen e) Acos b) AA cossen d) Atg SOLUCIÓN: Despejando " x " en la igualdad dada, tenemos: Ax A A x A A x xAA A xAA AAAAAA xAA AAAA xA A A A cos cos cos cos sen1 2 )sen1)(sen1( cos2 2 )sen1)(sen1( cossencossencoscos 2 )sen1)(sen1( )sen1(cos)sen1(cos 2 sen1 cos sen1 cos 2 2 = = − = / = −+ / = −+ ++− = −+ ++− = − + + RESPUESTA: Opción "e" Ejercicios Propuestos 5 1. La expresión xxc xcx tgtg tgtg − + , es idéntica a: a) x2csc b) x2sec c) x2sen d) x2cos e) x2tg 2. Una expresión idéntica a x xxx 2 2 cos1 1cossen2sen − −+ es: a) xx cossen + b) xsen2 c) x2 cos1−
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 14 d) 1cos2 −x e) xx cos2sen − 3. La expresión x x x x sen cos1 cos1 sen + + + es equivalente a: a) xsec 2 1 b) xtg3 c) xcsc2 d) xcos e) xctg4 4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 4 cos8 π x ? a) ( )xx sencos2 − b) ( )xx cossen2 − c) ( )xsen12 + d) ( )xx cossen2 + e) ( )xcos12 − 5. La expresión: 2 csc tg1 sencos2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + α α αα c es idéntica a: a) αtg2 b) -1 c) αtg2 c d) 1 e) αtg 6. Una expresión idéntica a x xxx 2 2 sen1 1sencos2sen − −+ es: a) xx cossen + b) x2 sen1− c) xsen2 d) xx cos2sen − e) 1sen2 −x 7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad? a) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =− 2 cossencos 22 x xx b) xx 22 sec1tg −= c) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =+ 2 cos2cos1 2 x x d) xxx cossen2sen2 = e) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π += 2 cossen xx Misceláneos 1. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela: a) 2 1 3 5cos =π b) 3 3 6 7tg =π c) π= 8cos0cos d) 63 cossen ππ =
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 15 e) ( )[ ]xxgxxx coscottgcos =+∀ 2. La expresión xx xx 2cos2sen1 2cos2sen1 −+ ++ es IDÉNTICA a: a) xsen b) xcos c) xsec d) xcot e) xtg 3. Sean “ x ” y “ y ” números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) ( ) CosySenxSenxCosyyxSen −=+ b) 2 2 SenxCosy xSen = c) xSenxCos 22 1+= d) x xx Sen 2 cos1 2 + = e) xSenxCosxCos 22 2 −= 4. El valor de Δ para que la expresión x x x cos sen1 1 tg = − +Δ sea una IDENTIDAD es: a) xcos b) xsec c) xsen d) x2 cos e)1 5. La expresión xx xx 2cos2sen1 2cos2sen1 −+ ++ es idéntica a: a) xsen b) xcos c) xtg d) gxcot e) xsec 6. El valor de la expresión: 1 2 3 cot1 4 cos 6 sen 4 cos 6 sen − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π − π es: a) 3 1 − b) 12− c) 3− d) 12 3 − e) 12 3 7. SIMPLIFICANDO xx xx cos2sen cos4cos3 3 − − , se obtiene: a) xx cossen + b) xcos21− c) 1sen2 +x d) xsen2 − e) xx sencos − 8. La expresión x xx x cos cossen 1tg ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + es idéntica a: a) tg x b) tg x +1 c) ctgx d)ctgx - 1 e)1
    • Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 16 9. La expresión 2 tg1 cscsec ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + x xx es IDÉNTICA a: a) x2 cot b) x2 sec c) x2 csc d) x2 sen e) x2 cos 10. La expresión ( )( )[ ]xxx cotcsccos1 +− es IDÉNTICA a: a) xsen− b) xcsc c) xcsc− d) xsen e) xcos− 11. El VALOR de 60cot.45tg 30sec.60tg.45sen , es: a) 6 b) 3 32 c) 3 7 d) 32 e) 3 1