Funciones y graficas

1,367 views
1,145 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,367
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
13
Actions
Shares
0
Downloads
36
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Funciones y graficas

  1. 1. Funciones y GraficasFunciones y Graficas
  2. 2. Relaciones de correspondenciaRelaciones de correspondenciaX F(x)abc123X F(x)abc123En las Figuras 1 y 2 se muestran relaciones de correspondencia entre losconjuntos X y F(x), en donde a los elementos a, b y c de X le correspondenelementos del conjunto F(x). Puede observarse que no es necesario que a cadaelemento de X le corresponda un único elemento de F(x) (Figura 1), como tampocoa todos los elementos de X le tiene que corresponder algún elemento de F(x)(Figura 2)Figura 1 Figura 2
  3. 3. Relaciones de correspondencia …Relaciones de correspondencia …xx F(x)F(x)-2-2 -4-400 0011 22xx F(x)F(x)11 1122 4433 99xx F(x)F(x)11 3322 7733 1717Después de observar las tablas anteriores trata de encontrarla regla de correspondencia que relaciona las columnas en cadaTabla.
  4. 4. yx2y2x y?xx F(x)F(x)-2-2 -4-400 0011 22xx F(x)F(x)11 1122 4433 99xx F(x)F(x)11 3322 7733 1717Relaciones de correspondencia …Relaciones de correspondencia …
  5. 5. Relaciones de correspondencia…Relaciones de correspondencia…0.5 1 1.5 2x-1-0.50.51y-2 -1 1 2x1234yyxyx2La Figura 1 muestra la expresión que resulta de extraerle la raíz cuadrada a unnúmero real positivo o cero. La Figura 2 representa el resultado de elevar al cuadradoCualquier número real.¿Te fijaste en cuantos la recta vertical anaranjada corta a la grafica de la Figura 1?¿En cuantos corta a la grafica de la Figura 2?¿Podrías concluir algo?Figura 1 Figura 2
  6. 6. FunciónFunciónA continuación se te presentan ejemplos deA continuación se te presentan ejemplos derelaciones de correspondencia que sonrelaciones de correspondencia que sonfunciones y otros que no lo son, observa bienfunciones y otros que no lo son, observa bienlas características de los ejemplos, semejanzaslas características de los ejemplos, semejanzasy diferencias y trata de expresar con tusy diferencias y trata de expresar con tuspropias palabras qué es lo que hace que unapropias palabras qué es lo que hace que unacorrespondencia sea una función:correspondencia sea una función:
  7. 7. Función …Función …X F(x)abc123X F(x)abc123X F(x)abc123si es funciónsi es función si es funciónsi es funciónno es funciónno es funciónX F(x)abc123no es funciónno es función
  8. 8. X F(x)abc123si es funciónsi es funciónUna vez analizados los ejemplos anteriores ¿podrías identificar cuáles de las tablassiguientes representan funciones?XX F(x)F(x)-2-20011XX F(x)F(x)112233 99XX F(x)F(x)11 3322 7733 1717Función …Función …
  9. 9. 0.5 1 1.5 2x-1-0.50.51y-2 -1 1 2x1234yyxyx2¿ Y de estas gráficas habrá alguna que no sea función?Sí es funciónSí es funciónNo es funciónNo es función{(-2, 4), (0, -1), (1, 3), (2, 5) } { (-1, 0), (2, 6), (4, 9), (-1, -1) }No es funciónNo es funciónSí es funciónSí es funciónPara finalizar te presentamos ejemplos de conjuntos de paresordenados, uno de los cuales es función y el otro no.Función …Función …
  10. 10. Ahora el momento importanteAhora el momento importanteha llegado, te toca a tiha llegado, te toca a tidecirnos qué es una función.decirnos qué es una función.Función …Función …
  11. 11. Definición de funciónDefinición de funciónUnaUna funciónfunción ff es una regla dees una regla decorrespondencia que asigna a cada elementocorrespondencia que asigna a cada elemento xxde un conjuntode un conjunto X,X, exactamente un únicoexactamente un únicoelemento,elemento, f(x),f(x), de otro conjuntode otro conjunto F(x)F(x)..x ff (x)
  12. 12. Ejemplos de funcionesEjemplos de funciones Función linealFunción lineal ( y = m x+b )( y = m x+b )Otros ejemplosOtros ejemplosx F (x)-1 -0.5 0.5 1 1.5 2x1.522.533.54y0 21 32 43 54 65 7y = x + 2y = 2x – 2y = -3x +2
  13. 13. Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones … Función cuadráticaFunción cuadrática (y = a(y = a x2+b x+c))Otros ejemplos:Otros ejemplos:-2 -1 1 2x1234y0 01 12 43 94 165 25x F (x)y = x2y = x2– 2 x + 1y = - 3 x2+2 x + 3
  14. 14. Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones … Función polinomialesFunción polinomialesOtros ejemplos:Otros ejemplos:y = x3-4 -2 2 4x-2-112y-4 -2 2 4x-1.5-1-0.50.511.52yy = x3+x2y=3x3+2x2−10 x+1y=x4−7x3−x
  15. 15. -4 -2 2 4 6 8 10x-4-224yEjemplos de funciones …Ejemplos de funciones … Función definidas por partesFunción definidas por partesOtros ejemplosOtros ejemplosy = x2y = Cos[x]y = xx Si − 4≤ x<−2x2Si −2≤ x< 0cos ( x ) Si x ≥0¿f ( x )=¿ { ¿ { ¿ ¿¿¿− x Si x <0x Si x >0¿f ( x )=∣x∣= ¿ {¿ ¿ ¿¿− x Si −2≤ x<0x3Si 0≤ x<2x−2 Si x≥ 2¿f ( x )=¿ {¿ { ¿ ¿ ¿¿
  16. 16. Tipos de funcionesTipos de funciones TrigonométricasTrigonométricas2 4 6 8 10x-1-0.50.51y ySin x2 4 6 8 10x-1-0.50.51y yCos x1 2 3 4 5 6x-40-202040y yTan x1 2 3 4 5 6x-40-202040y yCot x2 4 6 8 10x-20-101020y yCsc x2 4 6 8 10x-15-10-551015y ySec xEjemplos de funciones …Ejemplos de funciones …
  17. 17. Tipos de funciones …Tipos de funciones … Trigonométricas recíprocasTrigonométricas recíprocas-1 -0.5 0.5 1x-1.5-1-0.50.511.5y-1 -0.5 0.5 1x0.511.522.53y-1 -0.5 0.5 1x-0.75-0.5-0.250.250.50.75ySin1xCos1xTan1x
  18. 18. -3 -2 -1 1 2 3x-1.5-1-0.50.511.5y-3 -2 -1 1 2 3x0.511.522.53y-3 -2 -1 1 2 3x-1.5-1-0.50.511.5yTipos de funciones …Tipos de funciones … Trigonométricas recíprocasTrigonométricas recíprocasCot1xSec1xCsc1x
  19. 19.  Funciones hiperbólicasFunciones hiperbólicas-3 -2 -1 1 2 3x-10-5510y-3 -2 -1 1 2 3x246810y-3 -2 -1 1 2 3x-1-0.50.51y-3 -2 -1 1 2 3x0.20.40.60.81y-3 -2 -1 1 2 3x-30-20-10102030yTipos de funciones …Tipos de funciones …Sinh[x] Cosh[x] Tanh[x]Csch[x] Sech[x] Coth[x]-3 -2 -1 1 2 3x-6-4-224y
  20. 20.  Funciones hiperbólicas reciprocasFunciones hiperbólicas reciprocasTipos de funciones …Tipos de funciones …Sinh-1[x] Cosh-1[x]Sech-1[x]Csch-1[x]-3 -2 -1 1 2 3x-1.5-1-0.50.511.5y1.5 2 2.5 3x0.250.50.7511.251.51.75y-1 -0.5 0.5 1x-7.5-5-2.52.557.5yTanh-1[x]-3 -2 -1 1 2 3x-6-4-224y0.2 0.4 0.6 0.8 1x24681012y-1 -0.5 0.5 1x-6-4-22468yCoth-1[x]
  21. 21.  Funciones exponencialesFunciones exponencialesOtros ejemplosOtros ejemplosTipos de funciones …Tipos de funciones …-2 -1 1 2x1234567yy=ex3 0.04978712 0.1353351 0.3678790 1.1 2.718282 7.389063 20.0855x F(x)f (x)=e2x+1f (x)=ex2
  22. 22. 0.5 1 1.5 2 2.5 3x-10-8-6-4-2y Funciones logarítmicasFunciones logarítmicasOtros ejemplosOtros ejemplosTipos de funciones …Tipos de funciones …y=ln(x)x F(x)f (x)=ln(2x−1)f (x)=log(x+1)0 1 0.2 0.6931473 1.098614 1.386295 1.609446 1.791767 1.945918 2.079449 2.1972210 2.30259
  23. 23. SECCIONES CÓNICASSECCIONES CÓNICAS
  24. 24. SECCIONES CÓNICASSECCIONES CÓNICAS
  25. 25. RECTA.RECTA.y=m x52.50-2.5-552.50-2.5-5xyxySECCIONES CÓNICAS …SECCIONES CÓNICAS …
  26. 26. CIRCUNFERENCIA.CIRCUNFERENCIA.x2+y2=r2SECCIONES CÓNICAS …SECCIONES CÓNICAS …-1 -0.5 0.5 1x-1-0.50.51y
  27. 27. PARÁBOLA.PARÁBOLA.x2=±4 pyy2=±4 px52.50-2.5-52520151050xyxy54.543.532.521.510.5021.510.50-0.5-1-1.5-2xyxySECCIONES CÓNICAS …SECCIONES CÓNICAS …
  28. 28. ELIPSE.ELIPSE.x2b2+y2a2=1x2a2+y2b2=1SECCIONES CÓNICAS …SECCIONES CÓNICAS …-1 -0.5 0.5 1x-0.6-0.4-0.20.20.40.6y-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6x-1-0.50.51y
  29. 29. HIPÉRBOLA.HIPÉRBOLA.y2a2−x2b2=1x2a2−y2b2=1SECCIONES CÓNICAS …SECCIONES CÓNICAS …-2 -1 1 2x-1.5-1-0.50.511.5y-2 -1 1 2x-2-112y
  30. 30. Funciones de uso prácticoFunciones de uso prácticoLas funciones se utilizan en todas las ramasLas funciones se utilizan en todas las ramasde la ingeniería para describir elde la ingeniería para describir elcomportamiento de una variable con respecto acomportamiento de una variable con respecto aotra. Entre algunas de las aplicacionesotra. Entre algunas de las aplicacionespodemos mencionar los circuitos eléctricos,podemos mencionar los circuitos eléctricos,mecánica de fluidos, transferencia de calor ymecánica de fluidos, transferencia de calor yelectrónica.electrónica.
  31. 31. Funciones de uso prácticoFunciones de uso práctico Área de un circulo en función del radioÁrea de un circulo en función del radioOtros ejemplos:Otros ejemplos:Volumen de una esferaVolumen de una esferaA= f (r)=πr2rÁreaV = f (r )=43πr30 0.1 3.141592 12.56643 28.27434 50.26555 78.53986 113.0977 153.9388 201.0629 254.46910 314.159x A
  32. 32. Funciones de uso práctico …Funciones de uso práctico …Otros ejemplosOtros ejemplos Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )V = f (d )=dtV = f (t)=dt
  33. 33. Transformaciones de funcionesTransformaciones de funcionesDesplazamiento vertical de gráficasDesplazamiento vertical de gráficasEcuaciónEcuación Como obtener gráficaComo obtener gráfica GráficaGráficay = f(x) + cy = f(x) + c(c > 0)(c > 0)Desplace la gráfica deDesplace la gráfica dey=f(x) hacia arribay=f(x) hacia arriba ccunidadesunidadesy = f(x) - cy = f(x) - c(c < 0)(c < 0)Desplace la gráfica deDesplace la gráfica dey=f(x) hacia abajoy=f(x) hacia abajo ccunidadesunidades-2 -1 1 2x123456y-2 -1 1 2x-2-11234yf(x)+cf(x)f(x) - cf(x)
  34. 34. EjemplosEjemplosTrace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficasDesplazamiento vertical de gráficas …Desplazamiento vertical de gráficas …a) f (x)=x3−9xb)h(x)=x3−9x−20c) f (x)=x3−9x+10
  35. 35. EjemplosEjemplosTrace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficasDesplazamiento vertical de gráficas …Desplazamiento vertical de gráficas …a) f (x)=x2b)h(x)=(x−3)2c) f (x)=(x+4)2
  36. 36. Transformaciones de funcionesTransformaciones de funciones-2 -1 1 2x-1-0.50.51y-2 -1 1 2x-8-6-4-22468yy = f(x)y = - f(x)y = f(x)y = -f(x)
  37. 37. EjemplosEjemplosTrace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficasGráficas reflejadas…Gráficas reflejadas…a) f (x)=√x h(x)=−√xb) f (x)=x3h(x)=−x3
  38. 38. -3 -2 -1 1 2 3x-2-112yTransformaciones de funcionesTransformaciones de funcionesAlargamiento y encogimiento vertical de las gráficasAlargamiento y encogimiento vertical de las gráficasEcuaciónEcuación Como obtener gráficaComo obtener gráfica GráficaGráficay = a f(x)y = a f(x)(a > 1)(a > 1)Encoja la gráfica deEncoja la gráfica dey=f(x)y=f(x) horizontalmentehorizontalmentepor un factor igual apor un factor igual a 1/a1/ay = a f(x)y = a f(x)(0 < a < 1)(0 < a < 1)Alargue la gráfica deAlargue la gráfica dey=f(x)y=f(x) horizontalmentehorizontalmentepor un factor igual apor un factor igual a 1/a1/ay = a f(x)f(x)-3 -2 -1 1 2 3x-1-0.50.51yy = a f(x)f(x)
  39. 39. EjemplosEjemplosTrace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficasAlargamiento y encogimiento vertical de las gráficasAlargamiento y encogimiento vertical de las gráficas ……a) f (x)=12x2h( x)=2x2b) f (x )=cos(x) h(x)=13cos(x)
  40. 40. -6 -4 -2 2 4 6x-1-0.50.51y-3 -2 -1 1 2 3x-1-0.50.51yTransformaciones de funcionesTransformaciones de funcionesAlargamiento y encogimiento horizontal de las gráficasAlargamiento y encogimiento horizontal de las gráficasEcuaciónEcuación Como obtener gráficaComo obtener gráfica GráficaGráficay = f( a x)y = f( a x)(a > 1)(a > 1)Alargue la gráfica deAlargue la gráfica dey=f(x)y=f(x) verticalmente porverticalmente porun factor igual aun factor igual a aay = f( a x)y = f( a x)(0 < a < 1)(0 < a < 1)Reduce la gráfica deReduce la gráfica dey=f(x)y=f(x) verticalmente porverticalmente porun factor igual aun factor igual a aay = f ( ax )f(x)y = a f(x)f(x)
  41. 41. EjemplosEjemplosTrace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficasAlargamiento y encogimiento horizontal de las gráficasAlargamiento y encogimiento horizontal de las gráficas ……a) f (x)=sin(x) h(x)=sin(2x)b) f (x)=cos(x) h(x)=cos(0.5x)
  42. 42. -3 -2 -1 1 2 3x-1-0.50.51y-3 -2 -1 1 2 3x-1-0.50.51yTransformaciones de funcionesTransformaciones de funcionesFunciones pares e imparesFunciones pares e imparesDefiniciónDefinición Como obtener gráficaComo obtener gráfica GráficaGráficaff eses parpar sisi f(-x) = f (x)f(-x) = f (x)para todas laspara todas las xx en suen sudominiodominioLa gráfica deLa gráfica de ff esessimétrica respecto alsimétrica respecto alejeeje yyff eses imparimpar sisif(-x) = - f (x)f(-x) = - f (x) para todaspara todaslaslas xx en su dominioen su dominioLa gráfica deLa gráfica de ff esessimétrica respecto alsimétrica respecto alorigenorigeny = f (-x) f(x)y = f(-x)f(x)
  43. 43. EjemplosEjemplosTrace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficasFunciones pares e impares …Funciones pares e impares …a) f (x)=x5+xb) f (x)=2x−x2c) f (x)=1−x4
  44. 44. Valores extremos de funcionesValores extremos de funcionescuadráticascuadráticasLa función cuadráticaLa función cuadrática f(x)=axf(x)=ax22+bx+c+bx+c puedepuedeexpresarse en laexpresarse en la forma estándarforma estándarcompletando el cuadrado. La gráfica decompletando el cuadrado. La gráfica de ff es unaes unaparábola de vérticeparábola de vértice (h,k);(h,k); la parábola abre hacia arribala parábola abre hacia arribasisi a>0a>0 o hacia abajo sio hacia abajo si a<0.a<0.f (x)=a(x−h)5+k
  45. 45. Valores extremos de funciones cuadráticas …Valores extremos de funciones cuadráticas …SiSi a>0a>0, entonces el, entonces el valorvalormínimomínimo dede ff ocurre enocurre en x=hx=h yysu valor es desu valor es de f(h)=kf(h)=kSiSi a>0a>0, entonces el, entonces el valorvalormáximomáximo dede ff ocurre enocurre en x=hx=hy su valor es dey su valor es de f(h)=kf(h)=k1 2 3 4x12345y1 2 3 4x-112345y..(h, k)(h, k)mínimomáximo
  46. 46. EjemplosEjemplos1.1. Considere la siguiente función cuadrática:Considere la siguiente función cuadrática:a) Exprese la función en su forma estándara) Exprese la función en su forma estándarb) Trace la gráfica deb) Trace la gráfica de f.f.c) Determine el valor mínimo dec) Determine el valor mínimo de f.f.2.2. Dada la funciónDada la funcióna) Exprese la función en su forma estándara) Exprese la función en su forma estándarb) Trace la gráfica deb) Trace la gráfica de f.f.c) Determine el valor máximo dec) Determine el valor máximo de f.f.f (x)=5x2−30 x+49Valores extremos de funciones cuadráticas …Valores extremos de funciones cuadráticas …f (x)=−x2+x+2
  47. 47. Valor máximo y mínimo de unaValor máximo y mínimo de unafunción cuadráticafunción cuadráticaEl valor máximo o mínimo de una funciónEl valor máximo o mínimo de una funcióncuadráticacuadrática f(x)=axf(x)=ax22+bx+c+bx+c ocurre enocurre enSiSi a > 0a > 0, entonces el, entonces el valor mínimovalor mínimo esesSiSi a < 0a < 0, entonces el, entonces el valor máximovalor máximo esesf(−b2a )x=−b2af(−b2a )
  48. 48. EjemplosEjemplosDetermine el valor máximo o mínimo de cadaDetermine el valor máximo o mínimo de cadauna de las siguientes funciones:una de las siguientes funciones:a) f (x)=x2+4xb)g(x)=−2x2+4x−5Valores extremos de funciones cuadráticas …Valores extremos de funciones cuadráticas …
  49. 49. EjemplosEjemplos1.1.Entre todos los pares de números cuya suma es 100, determinarEntre todos los pares de números cuya suma es 100, determinarel par cuyo producto es el más grande posible.el par cuyo producto es el más grande posible.2.2.Un granjero desea proteger un campo rectangular con una cercaUn granjero desea proteger un campo rectangular con una cercay dividirlo en dos campos rectangulares mas pequeños mediantey dividirlo en dos campos rectangulares mas pequeños medianteuna cerca paralela a uno de los costados del campo. Tieneuna cerca paralela a uno de los costados del campo. Tienedisponibles 3,000 yardas de cerca. _Determine las dimensionesdisponibles 3,000 yardas de cerca. _Determine las dimensionesdel campo, de tal manera que el área protegida sea máxima.del campo, de tal manera que el área protegida sea máxima.Valores extremos de funciones cuadráticas …Valores extremos de funciones cuadráticas …x x xy
  50. 50. Combinación de funcionesCombinación de funcionesAlgebra de funcionesAlgebra de funcionesSupongamos queSupongamos que ff yy gg son funciones con dominiosson funciones con dominios AA yy B.B.Entonces las funcionesEntonces las funciones ff ++ g, fg, f -- g, f gg, f g yy f / gf / g sesedefinen como sigue:definen como sigue:(f+g)(x)= f(x) + g(x)(f+g)(x)= f(x) + g(x) DominioDominio AA ∩∩ BB(f - g)(x)= f(x) - g(x)(f - g)(x)= f(x) - g(x) DominioDominio AA ∩∩ BB(fg)(x)= f(x)g(x)(fg)(x)= f(x)g(x) DominioDominio AA ∩∩ BB(f / g)(x)= f(x) / g(x)(f / g)(x)= f(x) / g(x) DominioDominio {x{x εε AA∩∩B | g(x)B | g(x)≠≠ 0}0}
  51. 51. EjemploEjemploSiSiDetermine:Determine:a)a) f+gf+gb)b) f – gf – gc)c) f gf gd)d) f / gf / gf (x)=x2+4x y g(x)=√xCombinación de funciones …Combinación de funciones …
  52. 52. Composición de FuncionesComposición de FuncionesDadas dos funcionesDadas dos funciones ff yy g,g, lala funciónfuncióncompuestacompuesta ffoogg (también conocida como(también conocida comocomposicióncomposición dede ff yy gg)) está definido por:está definido por:( f ∘g)(x)= f (g (x))xgg (x)ff (g (x))Entrada Salida
  53. 53. EjemploEjemploSeaSeaDetermine:Determine:a)a) f o g, g o ff o g, g o f y sus dominios.y sus dominios.b)b) CalculeCalcule (f o g)(5)(f o g)(5) yy (g o f)(7)(g o f)(7)f (x)=x2y g( x)=x−3Composición de Funciones …Composición de Funciones …-3 -2 -1 1 2 3-6-4-22468-5 -2.5 2.5 5 7.5 1010203040506070f o gf o gg o fg o fffgg
  54. 54. Funciones uno a uno y sus inversasFunciones uno a uno y sus inversasUna función con dominioUna función con dominio AA se conocese conocecomocomo uno a unouno a uno si no hay dos elementos desi no hay dos elementos de AAque tengan la misma imagen, esto es:que tengan la misma imagen, esto es:f (x1 )≠ f (x2) siempre que x1≠x2f es uno a uno f es no es uno a unoabc123abc123A AB B
  55. 55. Definición de función inversaDefinición de función inversaSeaSea ff una función uno a uno con dominiouna función uno a uno con dominio AA yyrangorango B.B. Entonces, suEntonces, su función inversafunción inversa ff-1-1tienetienedominiodominio BB y rangoy rango AA y está definida por:y está definida por:para cualquierpara cualquier yy enen B.B.f−1(y)=x ⇔ f ( x)=yfx f (x)A Bf -1
  56. 56. Propiedades de las funciones inversasPropiedades de las funciones inversasSeaSea ff una función uno a uno con dominiouna función uno a uno con dominio AA y rangoy rango B.B.La función inversaLa función inversa ff -1-1satisface las siguientessatisface las siguientespropiedades de cancelación.propiedades de cancelación.ff -1-1( f( x ) )= x( f( x ) )= x Para cualquierPara cualquier xx enen AAf (ff (f -1-1( x ) )= x( x ) )= x Para cualquierPara cualquier xx enen BBRecíprocamente, cualquier funciónRecíprocamente, cualquier función ff -1-1que satisfagaque satisfagaestas ecuaciones es la inversa deestas ecuaciones es la inversa de f.f.
  57. 57. -3 -2 -1 1 2 3-112EjemploEjemploDetermina siDetermina si sonsoninversasinversasf (x)=x3f (x)=x3y g(x)=3√xFunciones inversas…Funciones inversas…f−1(x)=3√x
  58. 58. Cómo determinar la función inversaCómo determinar la función inversade una función de uno a unode una función de uno a uno1.1. EscribaEscriba y = f(x)y = f(x)2.2. Resuelva esta ecuación paraResuelva esta ecuación para xx en términos deen términos deyy (si es posible)(si es posible)3.3. IntercambieIntercambie xx yy y.y. La ecuación resultante esLa ecuación resultante esy= fy= f -1-1(x).(x).

×