Método de Gauss

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Método de Gauss

  1. 1. Ejemplo de solución de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss
  2. 2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss Paso 1. Se forma la matriz aumentada NOTA IMPORTANTE: El objetivo del método es lograr formar una matriz identidad de esta forma. Donde el sistema tiene la siguiente solución: x = a y = b z = c Este es el sistema de ecuaciones a resolver
  3. 3. Solución por el método de Gauss Paso 2. Como se busca obtener una diagonal de “1” en el primer renglón ya tenemos un número 1. Nuestro objetivo ahora será hacer obtener ceros debajo de este número “1” Al numero “1” de la diagonal se le denomina “elemento pivote”; sobre éste vamos a apoyarnos para hacer ceros los números arriba y debajo de dicho numero con operaciones de eliminación renglón Paso 1. Se forma la matriz aumentada
  4. 4. Solución por el método de Gauss [ ] Columna pivote Renglón pivote Seleccionamos el renglón pivote Seleccionamos un renglón diferente al renglón pivote Como el objetivo es hacer “ 0 ” el número debajo del renglón pivote ¿Por qué número debemos multiplicar el renglón pivote? 0 Elemento pivote Identificamos Renglón, Columna y elemento pivote
  5. 5. Solución por el método de Gauss (-2) [ ] Modificamos el segundo renglón con la operación de eliminación renglón 1 0 -3 -2 Ahora modificamos el tercer renglón ¿Por qué número multiplicamos el renglón pivote ahora? [ ] -8 0 -4 -7 3 -2 -1 2 (-3) ¿Cómo queda la nueva matriz?
  6. 6. Solución por el método de Gauss Ya transformamos la primera columna, ahora vamos con la segunda; afortunadamente ya hay un “ 1 ” como nuevo elemento pivote 1 1 ¿Qué hacemos ahora? Hay que transformar en ceros los números arriba y abajo del nuevo elemento pivote [ 0 1 -3 -2 ] Nuevo renglón pivote Se repite la eliminación renglón 0 (-2) 1 2 1 3 1 7 7 [ 0 1 -3 -2 ] 0 -8 -4 -7 (8) 0 0 -28 -23 La siguiente matriz queda:
  7. 7. Solución por el método de Gauss El siguiente elemento pivote es “28”; el cual debe ser transformado en “1” sin alterar la ecuación ¿Cómo lo hacemos? En otras palabras: Cada renglón representa una ecuación, si dividimos todo el renglón entre -28 obtenemos el “1” que estamos buscando Convertimos el elemento pivote en “ 1 ” para facilitar las operaciones; dividimos todo el renglón entre el número pivote (-28) obteniendo el siguiente resultado 1 1 1 1 1
  8. 8. Solución por el método de Gauss Realizamos la operación de eliminación renglón [ 0 0 1 23/28 ] 1 0 7 7 (-7) 1 0 5/4 0 [ 0 0 1 23/28 ] 0 1 -3 -2 (3) 0 0 13/28 1 Finalmente la matriz queda Nuevo renglón pivote Leyéndose el siguiente resultado: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28
  9. 9. Solución por el método de Gauss Puede confirmar dicho resultado con el siguiente software en línea: Respuestas: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28 Puedes comprobar las soluciones con el siguiente software en línea WIRS: http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ Maths for More S.L. Rambla de Prat 21, 1r 1a 08012 Barcelona Spain CIF: B 62019716 Sistema de ecuaciones original

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