Communication speaks2 -kinman

485
-1

Published on

Action Research Paper

Published in: Education, Technology
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
485
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Communication speaks2 -kinman

  1. 1. Abstract  Recently I turned my attention to the NCTM Principles and Standards and  was surprised to see “communication” as a key factor. Metacognition? Math  journaling? Are we still doing this? I wondered what would happen if I put  communication at the center of my math instruction? I was surprised by the results  of my action research. Communication is not a passing fad! Sharing thinking, asking  questions, and explaining and justifying ideas belong in the very heart of every math  class.    1 
  2. 2. Communication Speaks  “In a grades 3–5 classroom, communication should include sharing thinking,  asking questions, and explaining and justifying ideas. It should be well integrated in  the classroom environment. Students should be encouraged to express and write  about their mathematical conjectures, questions, and solutions” (National Council of  Teachers of Mathematics, 2000, p. 193). What would my fourth grade classroom  look like, how would I teach, and what would my students need if I actually strove to  meet this standard in a real and substantive way?   Where to Begin?    A somewhat argumentative person myself, I have always enjoyed teaching  essay writing as a convincing and organized argument.  I was compelled by the idea  of having my students argue and justify their mathematical thinking in much the  same way they support their theses in my writing classes. But I wasn’t sure where to  begin. I decided the only thing I would do differently in my math instruction was to  ask my students to explain their thinking and see where it would take us. This one  question took many forms:  “What is your answer and how did you get it?” “Explain  your thinking.”  “Why does that work?”  “How do you know?” And because we are in  Missouri, simply, “Show me.” My students became accustomed to my mantra and  explained their thinking prior to being asked. They learned that giving an answer  wasn’t enough and began to explain their processes.  As we became immersed in  these questions, it was easily sustained. Conversations were expected and math  class was interesting and engaging for both my students and me.    2 
  3. 3. However, there is a domino effect in teaching.  One small adjustment can  have profound repercussions. I was curious to see how making communication a  priority would impact student learning. I proceeded to investigate for myself, and  fortunately I was open for adventure. Communication in math class, like a great  many things, needs to be explicitly taught. I hadn’t considered this going in, but  luckily my students readily revealed what we needed to learn.  Foundational Steps    The first thing I learned was that asking questions alone did not produce  immediate results. Students need to be taught how to respond. When Lynne was  asked how she got her answer 305‐169=136 (Figure 1), she wrote, “I just subtracted  it.” When Hayden was prompted to explain why he put those little ones above the 5  and the 6 when vertically solving 567+259=826 (Figure 2), he proudly responded, “I  don’t know, but it still works!” I just did it and I don’t know weren’t the persuasive  statements for which I hoped.  “In some instances, children’s inability to give  convincing arguments may stem from the fact that they are unaccustomed to giving  explanations; in other instances, their inability may reflect a lack of understanding”  (Flores, 2002, p. 274).   I realized my students would need many opportunities to verbalize their  thinking before they could argue an answer or write about their process. In some  instances guiding questions were helpful. What did you do first? What do these  numbers represent? Why did you do that?  Using these prompts supported those who  needed help communicating and revealed misconceptions.      3 
  4. 4. A second important component to communication is listening. To have  meaningful conversations, my students needed to learn how to listen to each other.   How little my students paid attention to one another surprised me. Initially, they  looked to me for all truth and definitive answers and routinely ignored the  questions and comments of their peers. How could we have meaningful discourse if  I was the only one listening? I shifted the paradigm by standing back and allowing  student after student to share his thinking on the interactive white board. As  facilitator, I named the technique after the instructing student (Photo 1) and asked  for a different way to solve the problem. This prompt required students to listen to  their peers, to make connections between strategies, and to think creatively. Those  who repeated previously shared strategies often realized this during their  explanations. Amelia wasn’t sure her decomposing strategy was the same as  Alejandro ’s until she shared it (Figure 3). The class decided they were the same.  Seeing themselves and their classmates as mathematical thinkers was an important  element in developing mathematical communication. My class was beginning to  hear each other and reason together.      Just as asking questions did not initially produce meaningful answers, likewise,  having students represent their thinking in writing didn’t yield clear explanations.  To develop this skill, much of their writing was done in collaborative poster‐making  (photo 2).  At first, the students’ posters represented their joy of using magic  markers and communicated very little mathematical thinking (photo 2.1). I wanted  the students to appraise, internalize, and communicate their thoughts, so I asked    4 
  5. 5. them to evaluate the posters for a particular problem and decide which was the  clearest and why. This conversation helped the students not only see the  importance of the words, but also how their proximity to the example, the sequence  in which they are written, and preciseness of their vocabulary all mattered (photo  2.3).  “Over time, students should become more aware of, and responsive to, their  audience as they explain their ideas in mathematics class. They should learn to be  aware of whether they are convincing and whether others can understand them”  (NCTM, p.61). The clarity of their work became more evident as the purpose for  written communication gained value.     As one change led to another, I could see the dominoes continue to fall. Just by  laying this foundation, we had accomplished a lot.  I was asking questions that  exposed their depth of understanding, and they were supporting their answers even  without being prompted. They were listening to and questioning each other and  putting their thoughts in writing. Our communication was evident. But as a  somewhat argumentative person, I stood back and said, “So what?” I wondered what  my students were actually gaining by all this communication. How was sharing their  thinking, asking questions, and explaining their ideas impacting student learning?  Sharing Thinking  Asking a question can start a discussion, and when students share their  thinking, we all gain from the conversation. The speaker strengthens, solidifies, and  deepens her thinking, and the listeners discover a fresh way to look at things.  During a study of subtraction, I pressed my students to share their thinking.  Ali shared how making a number line shows the difference between two numbers    5 
  6. 6. (figure 4). This gave a logical and visual reason for why the answer to a subtraction  problem is called the difference. Sharing their thinking provided a context for the  correct use of math terminology. To be understood, they needed to use the right  vocabulary.  Subtracting with regrouping in the hundreds place in order to rename a zero  in the tens place was a confusing procedure for many of my fourth graders. Some,  like Lynne, remembered the algorithm and just subtracted without questioning how  it works (figure 1). Cate’s approach got around this complication and revealed her  understanding of place value and what subtraction means. She decomposed the  subtrahend and started “taking away” with the hundreds (figure 5). Eugene  presented a similar technique, but he counted backward using an open number line  (figure 6). Wyatt’s subtraction strategy (figure 7) revealed what he knows about  place value and negative integers. His method and the others shared allowed  students to see the process of subtraction beyond the cross‐out and regroup  algorithm that was difficult to remember. Learning multiple strategies, seeing a  problem from different perspectives, using correct terminology, and solidifying  their understanding were all results of students sharing their thinking.  Asking Questions    As my questioning became part of the fabric of the class, I noticed my  students were not only eagerly answering them, but they also started asking  questions themselves. “The most productive discussions around mathematical ideas  seem to happen in classrooms where questioning is an almost spontaneous part of  the way children talk to one another about their work” (Kline, 2008, p. 146).     6 
  7. 7. After my students discovered all triangles have an interior angle sum of 180˙,  they questioned whether squares, rectangles, and other quadrilaterals would have  similar measurements. Squares and rectangles proved simple, 90˙ times 4; but the  trapezoid and rhombus, like the triangles, required careful angle measuring. Once  they determined the interior angles of all quadrilaterals did indeed have the sum of  360˙, someone asked about the pentagon! Hexagon? Heptagon? What about all  polygons? My students had moved beyond asking clarifying questions and were  posing their own mathematical investigations.  Pairs of students set off to work. Armed with protractors, they measured and  determined the sum of the interior angles of regular and irregular polygons. They  confirmed their data with an interactive web site: Math Open Reference, Polygon  Interior Angles (http://www.mathopenref.com/polygoninteriorangles.html),  shared their findings, and made a group chart (Figure 8).  In making sense of their data, the class had a lot to communicate. Cate was  the first to show smaller polygons within larger ones. She saw two trapezoids inside  the pentagon (figure 9), but adding the sum of their angles was 180˚ too much. Why  was this? Building on this idea, Devin recalled in pattern blocks six green triangles  make one yellow hexagon, but adding the 180˚ of six triangles gave 360˚ too much  for the sum of interior angles of a hexagon. He went on to show the interior circle  formed where the equilateral triangles met in the middle (figure 10) and promptly  added that he needed to subtract that extra 360˚. Explain your thinking? Tracing the  hexagon with his finger, Devin said, “They don’t touch the sides.” Observing this,  Mark said he could make two equal trapezoids in the hexagon, add the sum of their    7 
  8. 8. angles, and that would result in the sum of the angles in the hexagon. Show me.  Vanessa said two hexagons would equal a decagon. How do you know? Amelia  noticed that each time we added a side to a polygon the sum of the interior angles  increased by 180˙. She observed that a straight line also measures 180˙ and  connected the additional side to the additional straight line. Mark conjectured that  the sum of the interior angles had to have something to do with triangles because  the triangle is the smallest polygon (the fewest sides), 180˙ is part of the pattern,  and 180˙ is also the sum of the interior angles of a triangle.    Asking questions like, “How did you do that?” or “I don’t get it,” which is  fourth‐grade code for, “Will you please explain that to me again?” was another way I  saw children take ownership of and become invested in their learning. They  measured angles with protractors (photo 3), drew interior polygons, made charts,  added, subtracted, and multiplied. Some students determined a formula (the  number of sides the polygon has, minus two, times 180 degrees), others used the  pattern from making a chart (add 180˙), and some drew smaller polygons (often  triangles) in the larger ones to find the sum of the interior angles for any polygon.  Using geometry tools in context and encouraging communication around their  discoveries took my fourth graders to a level of mathematics I never would have  thought to take them. They were deeply entrenched doing the work of  mathematicians: listening to each other, noticing patterns, testing theories, proving  their conjectures, asking questions, and representing their thinking.      When the question, “How do you know the sum of the interior angles of all  triangles is 180˚?” was answered, a class that was used to answering and asking    8 
  9. 9. questions took me down a weeklong digression of the interior angles of all polygons.   At that point, I had to decide whether I wanted to follow their line of questioning or  return to my fourth grade curricular objectives. I am glad I followed their lead. We  explored more topics more deeply, and my students developed their reasoning skills  though sharing and building on each other’s thinking when their questions were  valued.   Explaining and Justifying Ideas  When I began this research, I wasn’t sure how often I should press my  students to explain their thinking. Would I question every single answer? Marilyn  Burns (2004) states,  “Teachers are accustomed to asking students to explain their  thinking when their responses are incorrect. It's important, however, to ask children  to explain their reasoning at all times” (p.17). I gave this idea a try and took it to  heart when going over routine homework. In previous years, I called on students to  share their answers, and we only paused when an incorrect response was given.  With my new mantra, I asked them to explain their thinking for each question. I  became a believer in at all times with this question, “What unit of measure would  you use to weigh a pencil? A. pound B. gram  C. kilogram  D. inch” (Enright &  Spencer, 2005, p. 11). When the student answering justified B. gram, in part, by  saying that a pound was a little too much, the lesson evolved from establishing a  benchmark for pounds to a deep discussion of the properties of even and odd  numbers.   John explained, “B, because a paperclip weighs a gram.” Heads nodded. This  was a benchmark the class seemed to agree on. He continued, “And a pound is a    9 
  10. 10. little too much, a kilogram is a lot more, and inches are silly because they are for  distance.”  I wasn’t sure the class had a solid benchmark for pounds so I pressed, “Is a  pound just a little more?  How many pencils would equal a pound?” I dropped a  pencil on the kitchen scale. It barely registered. I added a few more until we dumped  in three boxes of pencils (12 per box) and still hadn’t reached half a pound.  Six  boxes later, one pound was showing.  I asked, “How many pencils is that? How many  make a pound?”  John offered, “93,” but Christopher interjected, “No, it can’t be an  odd number!”  John explained that he knew 2 boxes was 24 pencils, so he mentally  multiplied 24 three times.  When he did this on the board he wrote 24+24+24 and  corrected his answer to 72.  Christopher spoke out, “I knew it couldn’t be odd!” I  asked him to explain his thinking.  He said, “An even plus an even is an even, so an  even times an even is even. Twelve (pencils in a box) times six (boxes of pencils) is  an even (number) times an even (number) so the answer’s got to be even too.” But  the way John solved it—24 times 3—was an even number times an odd number.  The class knew an even plus an odd gave an odd answer. How could an even number  times an odd number produce an even answer? They were connecting what they  knew about how even and odd numbers behave in addition and applying it to  multiplication. Disequilibrium set in. We did some additional multiplication facts  with mixed even and odd factors and consistently found even products. I asked,  “Why does this work?”    Eugene offered, “It doesn’t matter how many times if you have an even  number, it (the product) will always be even because you are counting by even    10 
  11. 11. numbers.” He showed this by counting by two’s and drawing dots on the board. One  set of two makes two. Two sets of two make four. Three sets of two make six.  William, still grappling with differences between adding and multiplying odd and  even numbers made this conjecture, “An odd plus an odd makes an even, so an odd  times an odd must make an even.” He was surprised when we tried it and all the  products were odd numbers (7x3=21, 5x9=45). Then he said, “Oh, I get it.” William  talked and drew out his process with 3 x 3 showing with dots on the board like  Eugene had done that 3 x 2 was even, but when he added on the next group of three,  this odd number made the total an odd number (figure 11) . He concluded, “That last  odd number makes the product odd.” Like John before him, William refined his idea  while justifying his thinking.  They were discovering differences between addition and multiplication that  many adults miss. I discovered problems do not have to be inherently rich  mathematical tasks to produce deep and meaningful conversations. In a short time,  we had come a long way from determining it takes 72 pencils to equal one pound.  Explaining and justifying their ideas allowed my students to struggle through  disequilibrium, test conjectures, and make sense of the math they use.   Conclusion    Asking one small question can have a huge impact on teaching and learning.  “Show me,” changed the structure and dynamic of my classroom. “What is your  answer and how did you get it?” helps clear up misconceptions. “Why does that  work?” can lead to mathematical debates. All of this communication deepened my  students’ understanding of mathematics.     11 
  12. 12. This transformation doesn’t happen overnight. Students need to be taught  how to speak, listen, question, and write (figure 12). All of this takes time. In my  experience, it is time well spent. I told my students at the start of the year that they  would learn more from each other than they would from me, and I don’t think that  was an exaggeration (photo 4). Changing one thing, watching and responding to the  ripples of that change, helped me see its impact. I found the value of putting  communication at the center of my math instruction to have an exponential effect.  Yes, they learned to listen, speak, and write mathematically, but they also made  deep and meaningful mathematical connections, developed their mathematical  dispositions, and became a community of problem solvers. When I allowed space for  my students’ thoughts and questions to guide my instruction, ownership and joy  permeated math class. I will argue that allowing children to process content through  communication should never become an educational fad.   12 
  13. 13. Figure 1: Lynne’s subtraction solution. “I just subtracted it.”      13 
  14. 14. Figure 2:  Hayden’s addition strategy    14 
  15. 15. Figure 3: Amelia’s and Alejandro ’s addition strategies        15 
  16. 16.   Figure 4:  Ali’s Number line    16 
  17. 17. Figure 5—Cate’s decomposing the subtrahend strategy 504‐169=335 Figure 6—Eugene’s Open Number line 504‐169=335      17 
  18. 18.   Figure 7:  Wyatt’s subtraction strategy 12/05/08     Wyatt decomposed the numbers and started with the ones. He figured 5‐9= ‐4. He  moved to the tens and subtracts 0‐60=‐60. Then he worked out the hundreds, 300‐ 100= 200. Last, he combined his differences: 200‐60‐4. He did this in two steps. 200‐ 60=140 and then 140‐4=136. Wyatt shows us that 305‐169=136.    18 
  19. 19. Figure 8—Class Chart, Interior Angles of Polygons   19 
  20. 20. Figure 9: Cate sees two trapezoids in this pentagon. The red arc shows where the extra 180˙ is found. Figure 10: Devin sees 6 triangles in the hexagon and subtracts out the extra 360˙ produced by the circle of extra angles in the center.   20 
  21. 21. Figure 11—William uses 3 x 3 to illustrate two odd factors give an odd product. He  draws three groups of three in a pyramid form. Then he circles the pairs. He  explains that 2 x 3 is even because each dot has a partner, but when we add on the  next odd number (three) there will always be one without a partner. Odd times odd  makes odd, but odd plus odd makes even!                    21 
  22. 22. Figure 12    Steps I used to establish and promote communication:    1. Provide a safe environment that promotes risk‐taking    Set behavioral norms with the class.      Prompt: What will you need to do your best learning?    What are your hopes and fears about math class?    2. Develop discourse in math class    Ask questions and wait for answers. Hear all voices.      Strategies: turn and talk; think, pair, share; call on everyone    3. Expect listening to the ideas of peers and allow grappling to understand them  Ask students to paraphrase, compare ideas, question, and add on to each  other.      Prompt: Who can explain how she figured it out? How are these strategies  alike? What questions do you have? Can anyone add on to that idea?    4. Allow processing of content through writing  Use poster‐making, journaling, and exit tickets with clear guidelines (title,  names, proof, examples, and words).       Prompts: How did you solve this problem? Pretend your friend is sick:  write   a letter explaining what we learned today. Describe what you learned today.          22 
  23. 23. Photos:  Photo 1—Sharing Strategies: Maria’s Rounding Strategy show how she rounds up to  friendly numbers, adds, and subtracts the extras.        23 
  24. 24.      Photo 2—Making Posters: How can you best communicate your group’s thinking?        24 
  25. 25.    Photo 2.1—This group glued the questions to the poster, drew some solutions, and  connected their solutions to the questions with arrows.        25 
  26. 26. Photo 2.2—This poster is a response to, “What is the commutative property of  multiplication?” It follows the guidelines: title, names, proof, examples, and words.        26 
  27. 27.   Photo 3—Measuring the interior angles of octagons      27 
  28. 28.    Photo 4: Sharing strategies: The Open Number Line        References     Burns, M. (April 2004). 10 big math ideas. Instructor, 113(7), 16-19, 60. Enright, B. & Spencer, D. (2005). Test Ready Plus Mathematics. North Billerica, MA: Curriculum Associates. Flores, A. (January 2002). How do children know that what they learn in mathematics is true? Teaching Children Mathematics, 8(5), 269-274. Kline, K. (October 2008). Learning to think & thinking to learn. Teaching Children Mathematics, 15(2), 144-151. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Page, J. (2008). Polygon interior angles—Math open reference. http://www.mathopenref.com/polygoninteriorangles.html.     28 

×