APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

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En cuanto al objeto de la investigación que consistió en el análisis de un fenómeno físico de una bola (esfera) sumergida en agua, que utiliza una empresa que fabrica tanques para piezas de baño que son requeridos tanto en hogares como en sectores industriales, se empleo la Ley de Arquímedes para establecer la relación entre la esfera sumergida y la cantidad de agua que esta desaloja, posteriormente se obtuvo la ecuación algebraica que representa el fenómeno asociado al caso, a partir de allí se aplicó la regla de Descartes y Lagrange a fin ubicar los cambios de signos y el numero de signos, además de los intervalos de las posibles raíces.

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  • Lástima que el pdf no se pueda leer bien en las partes donde aparecen fórmulas o ecuaciones. Posiblemente lo realizó en word y al crear el PDF falla. Recomiendo crear el pdf usando PDFCREATOR, es gratis.
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APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

  1. 1. UNIVERSIDAD DE HOLGUÍN “Oscar Lucero Moya” Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica Maestría en Diseño y Fabricación Asistida por Computadoras Métodos Numéricos APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON “ESFERA SUMERGIDA EN AGUA”Prof. Dr. C. PT: José R, Velázquez C Ing. Roger José Medina Olivo Ciudad Bolívar, diciembre de 2010.
  2. 2. UNIVERSIDAD DE HOLGUÍN “Oscar Lucero Moya” Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica Maestría en Diseño y Fabricación Asistida por computadoras Métodos NuméricosAnálisis, síntesis y desarrollo de los Métodos Numéricos aplicados a problemasde Ingeniería. Convenio Cuba-Venezuela. Instituto Universitario de Tecnologíadel Estado Bolívar (IUTEB). Autor: Ing. Roger J, Medina OEl presente estudio se llevó a cabo en el área de la mecánica, haciendo uso de losmétodos numéricos, y en particular el de Newton Raphson. El objetivo central consistióen la selección y aplicación de un método numérico para la resolución de un problemade Ingeniería. La investigación se efectuó aplicando una metodología documental; yaque hubo que apoyarse en la documentación suministrada por el conferencista(material impreso y digital) durante los seminarios recibos de matemáticas, además deconsultas electrónicas en la web, utilizando el método inductivo y deductivo mediantela técnica de análisis cualitativo y la investigación descriptiva. Se utilizó comoherramienta tecnológica el software Graph1 para graficar la función y obtener unaesquematización de la expresión, la cual refleja los puntos de cortes (raíces) con el ejex y sus imágenes. Entre los resultados más destacados, se cuenta con la obtenciónuna función que representa las condiciones de una esfera sumergida en agua, dichaecuación permite establecer la posición de la esfera, según su peso especifico. A partirde la ecuación se lograron tres raíces reales de las cuales dos son positivas y unanegativa. Se puede decir que la investigación permitió verificar y contrastar que haymétodos numéricos que proporcionan una convergencia en menor tiempo, siendo suaplicación más eficiente uno con respecto de otro, tal es el caso del método debisección que también pudo haberse aplicado, sin embargo se escogió el de NewtonRaphson que logró la convergencia en tres iteraciones, lo cual evidencia elcumplimiento de los objetivos del curso.
  3. 3. Solución de una ecuación no linear Método de Newton-RaphsonUna compañía que hace los flotadores para las cómodas del ABC. Diseñó unabola (esfera) de flotación que tiene una gravedad específica de 0.6 y tiene unradio de 5.5 cm. Por lo cual, se requiere encontrar la profundidad a la cual sesumerge la bola al flotar en agua. Figura 1. Porción de la bola de radio r que es sumergida hasta una altura d.La masa Ma de agua desplazada cuando la esfera (bola) se sumerge en agua yésta alcanza la altura d está dada por la siguiente ecuación: d 2 2 2 *d 3r d Ma r x r dx (Ec. 1) 0 3Y la masa de la esfera, Me es: 3 4 *r * Me (Ec.2) 3Aplicando la Ley de Arquímedes, según la cual Ma=Me (“Volumen del líquidodesplazado es igual al volumen del cuerpo sumergido”), se genera la ecuación: 3 2 3 d 3d r 4r 0 (Ec.3) 3
  4. 4. Reemplazando los valores r=5,5 cm, rho=0,6, se obtiene la ecuación 4. Para lacual la profundidad “d” estará dada en metros y, a los cuales la bola sesumerge debajo del agua, se tiene: 3 2 4 f (d ) d 0 . 165 d 3 . 993 10 (Ec. 4)Se utilizará el método de Newton-Raphson para encontrar las raíces deecuación y poder determinar: a) La profundidad a la cuál se sumerge la bola debajo del agua. b) El error aproximado relativo absoluto al final de cada iteración. c) El número de dígitos significativos por lo menos correctos al final de cada iteración.Solución Al aplicar la Regla de Descartes, se observa que hay dos cambios designo por lo cual m= 2 raíces –pudiendo ser también cero- reales positivas.Igualmente al hacer uso de la Regla de Lagrange, se tiene que todas las raícesreales positivas (si existen) son menores que: B R 1 k (Ec.5) a0Donde a0 >0 ak Primer coeficiente negativo B Mayor valor absoluto de los coeficientes negativosSeparación de raíces de: 3 2 4 f d d 0 ,165 d 3 , 993 10 Tiene tres raíces. Al menos dos raíces son reales. Raíces positiva m= 2 dos raíces
  5. 5. 0 ,165 R 1 2 1, 4062 1Entonces habrá dos raíces en el intervalo [0; 1,4062] m, ver figuras 2 y 3 en lacual se observa la gráfica de la función y puntos de cortes respectivamente, losvalores se graficaron en centímetros para que se pudieran observar al haceruso del programa Graph1.Raíces negativaEcuación original: f(d)=0 (Ec. a)Se forma la ecuación: f(-d) (Ec. b)Si r es una raíz positiva de la ecuación b entonces –r es una raíz negativa de laecuación a. Separando las raíces de 3 2 4 d 0 ,165 d 3 , 993 10 0 (Ec. a)Cambiando d por –d: 3 2 4 ( d) 0 ,165 ( d ) 3 , 993 10 0 3 2 4 d 0 ,165 d 3 , 993 10 0 3 2 4 d 0 ,165 d 3 , 993 10 0 (Ec. b)m = 1 una raíz positiva en [1,0627;0] 3 , 993 E 4 R 1 1 1, 0627 1La ecuación original tiene una raíz negativa en [-1,0627;0]
  6. 6. Desarrollo del métodoSea f(d) = 0 la ecuación cuya raíz se desea halla. 3 2 4 f d d 0 ,165 d 3 , 993 10 2 f d 3d 0 .33 dSe supone la estimación inicial de la raíz es f(d)= 0, do=0,05 m. Esto es unaestimación razonable, como los valores extremos de la profundidad seria 0 y eldiámetro (0.11 m) de la bola.Iteración 1: Evaluando la expresiónLa estimación de la raíz es: f d0 d1 d0 f d0 3 2 4 0 .05 0 .165 0 .05 3 . 993 10 0 .05 2 3 0 .05 0 .33 0 .05 4 1 . 118 10 0 .05 3 9 10 0 .05 0 . 01242 0.06242Entonces, el error aproximado relativo absoluto a al final de la 1 iteración es: d1 d0 a 100 d1 0 .06242 0 .05 100 0 .06242 19.90%El número de dígitos significativos por lo menos correcto es 0, ya que senecesita un error absoluto aproximado relativo de 5% o menos para que setenga un dígito significativo y, el resultado sea correcto.
  7. 7. Iteración 2: Evaluando la expresión a partir de d1La estimación de la raíz es f d1 d2 d1 f d1 3 2 4 0 .06242 0 .165 0 .06242 3 . 993 10 0 .06242 2 3 0 .06242 0 .33 0 .06242 7 3 .97781 10 0 .06242 3 8 . 90973 10 5 0 .06242 4 . 4646 10 0.06238Entonces, el error aproximado relativo absoluto a al final de la 2 iteración es: d2 d1 a 100 d2 0 .06238 0 .06242 100 0 .06238 0.0716 % 2 mEl máximo valor de m para el cual a 0 . 5 10 es 2,844. Por lo tanto, elnúmero de dígitos significativos al menos en la respuesta correcta es 2.Iteración 3: Evaluando la expresión a partir de d2La estimación de la raíz es f d2 d3 d2 f d2 3 2 4 0 .06238 0 .165 0 .06238 3 . 993 10 0 .06238 2 3 0 .06238 0 .33 0 .06238 11 4 . 44 10 0 .06238 3 8 . 91171 10 9 0 .06238 4 . 9822 10 0.06238
  8. 8. Entonces, el error aproximado relativo absoluto a al final de la 3 iteración es: 0 .06238 0 .06238 a 100 0 .06238 0El número de dígitos significativos por lo menos correcto es de 4, ya que sólocuatro dígitos significativos se tomaron a través de todos los cálculos.Desarrollo de operaciones asociadas con la evaluación de la primera ysegunda derivada de la función. Para este caso la evaluación de la primerapermite obtener los valores críticos (puntos máximos y mínimos), indicando losintervalos de crecimiento y decrecimiento.Se tiene:Determinación de los valores críticos en los intervalos ´ f (d ) 0 2 3x 0 , 33 x 0 x=0 x=0,33/3=0,11Para la búsqueda de concavidad y puntos de inflexión " f (d ) 0 6x 0 , 33 0 x=0,33/6 x=0,055En la grafica 4 y 5 se muestran los valores obtenidos al evaluar la expresión enpuntos cercanos a la primera y segunda raíz, además de valores de la primeray segunda derivada.
  9. 9. y f(x)=x^3 -16.5x^2 + 399.3 300 250 200 150 100 50 x -600 -550 -500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 -50 -100 -150 -200 -250 -300 Figura 2. Esquematización de la función, obtenida a través de Graph1. y f(x)=x^3 -16.5x^2 + 399.3 20 15 10 5 x -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 -5 -10 -15 -20Figura 3. Esquematización de la función, muestra puntos de corte con el eje x, entre los punto 5;10 y 10;15. Se trabajo en cm.
  10. 10. Figura 4. Tabla resumen arrojada por el programa Graph1, indicando valores cercanos a la primera raíz.Figura 5. Tabla resumen arrojada por el programa Graph1, indicando valores cercanos a la segunda raíz.
  11. 11. CONSIDERACIONES FINALESEn general el campo de la ingeniería requiere el apoyo de otras cienciasbásicas, tal es el caso de las matemáticas y sus diferentes ramas compuestaspor el análisis matemático, algebra y estadística. Hoy día el uso de estas ramasofrece mejores resultados cuando se combinan con la computación, ya quehacen más rápidos los procesos iterativos que deben efectuarse, y queanteriormente no podían ofrecer respuestas satisfactorias porque resultabanmuy engorrosos al trabajar con ecuaciones en las cuales sus raíces no eransencillas obtener.Dependiendo del tipo de problema, estos pueden requerir soluciones deecuaciones algebraicas y transcendentales, solución de sistemas deecuaciones lineales, aproximación de funciones, integración numérica ysoluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, en tales casos se puedenaplicar alguno los métodos siguientes: Bisección, Regula Falsi, NewtonRaphson, Jacobi, Seidel, Interpolación Lineal, Trapecios, Simpson, Euler,Taylor, Runge-Kutta, entre otros. Según sea el caso debe elegirse uno de estosmétodos para lograr la convergencia en menor tiempo y de manera eficiente,de ahí la importancia de conocerlos para tener presente las ventajas ydesventajas.En cuanto al objeto de la investigación que consistió en el análisis de unfenómeno físico de una bola (esfera) sumergida en agua, que utiliza unaempresa que fabrica tanques para piezas de baño que son requeridos tanto enhogares como en sectores industriales, se empleo la Ley de Arquímedes paraestablecer la relación entre la esfera sumergida y la cantidad de agua que estadesaloja, posteriormente se obtuvo la ecuación algebraica que representa elfenómeno asociado al caso, a partir de allí se aplicó la regla de Descartes yLagrange a fin ubicar los cambios de signos y el numero de signos, además delos intervalos de las posibles raíces.
  12. 12. En lo sucesivo, fue necesario elegir un punto de partida –que puede serarbitrario- el cual solicita el Método de Newton Raphson para iniciar lasiteraciones, así como también la evaluación de la función y su primeraderivada. Aquí fue necesario el apoyo del método analítico para logrardeterminar los valores críticos y los cambios de concavidad, es decir,evaluando la primera y segunda derivada.Con tres iteraciones fue posible la convergencia del método para la primeraraíz, la cual tiene una interpretación física del fenómeno estudiado, esto es, laprofundidad que alcanza bola en las condiciones de peso de la misma es0,06238 m, las otras dos raíces se encuentran en los intervalos [10;15] y [-1,0627;0] la segunda raíz positiva indica que la bola estaría totalmentesumergida y la raíz negativa nos indica que la esfera estaría fuera del agua, asípues que la opción acorde con el problema es la primera raíz positiva. Otrosaspectos de relevancia asociados a la investigación es el error aproximadorelativo absoluto a y los dígitos significativos con los cuales de trabajo.
  13. 13. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASVelázquez, R. y Urquiza, R. (2010). Métodos numéricos. La Habana.Métodos numéricos “Separación de raíces”. [Documento en línea], Disponible: http://www.scribd.com/05upc072-Separacion-de-Raices/d/14281507 [Consulta: 2010, Diciembre 106]Métodos Numéricos “Separación de raíces”. [Documento en línea], Disponible: http://www.scribd.com/05upc072-Separacion-de-Raices/d/14281507 [Consulta: 2010, Diciembre 06]Notas de Métodos Numéricos. [Documento en línea], Disponible: http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/temario.html [Consulta: 2010, Diciembre 06]

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