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Motiva¸˜o
      ca        Formula¸˜o
                       ca    Modos de deforma¸˜o
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Motiva¸˜o
      ca                            Formula¸˜o
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Motiva¸˜o
      ca                            Formula¸˜o
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Semfinal
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  1. 1. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Higher Order Thin-Walled Beam Models Ricardo Vieira ICIST, DECivil - Departmento de Engenharia Civil e Arquitectura Instituto Superior T´cnico e Semin´rio de Doutoramento a Orientadores: Prof. Francisco Virtuoso e Prof. Eduardo Pereira Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  2. 2. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Higher Order Thin-Walled Beam Models Motiva¸˜o e enquadramento do tema; ca 1 Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento; 2 Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior, ca An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o; a ca ca An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito. a Modelos desenvolvidos; An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada, a ca e sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o ca a a ca de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas); a An´lise de vigas de sec¸˜o compacta. a ca Aplica¸˜es dos modelos propostos; co Trabalho por desenvolver. 3 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  3. 3. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Higher Order Thin-Walled Beam Models Motiva¸˜o e enquadramento do tema; ca 1 Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento; 2 Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior, ca An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o; a ca ca An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito. a Modelos desenvolvidos; An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada, a ca e sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o ca a a ca de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas); a An´lise de vigas de sec¸˜o compacta. a ca Aplica¸˜es dos modelos propostos; co Trabalho por desenvolver. 3 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  4. 4. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Higher Order Thin-Walled Beam Models Motiva¸˜o e enquadramento do tema; ca 1 Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento; 2 Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior, ca An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o; a ca ca An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito. a Modelos desenvolvidos; An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada, a ca e sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o ca a a ca de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas); a An´lise de vigas de sec¸˜o compacta. a ca Aplica¸˜es dos modelos propostos; co Trabalho por desenvolver. 3 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  5. 5. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Higher Order Thin-Walled Beam Models Motiva¸˜o e enquadramento do tema; ca 1 Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento; 2 Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior, ca An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o; a ca ca An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito. a Modelos desenvolvidos; An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada, a ca e sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o ca a a ca de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas); a An´lise de vigas de sec¸˜o compacta. a ca Aplica¸˜es dos modelos propostos; co Trabalho por desenvolver. 3 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  6. 6. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Higher Order Thin-Walled Beam Models Motiva¸˜o e enquadramento do tema; ca 1 Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento; 2 Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior, ca An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o; a ca ca An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito. a Modelos desenvolvidos; An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada, a ca e sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o ca a a ca de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas); a An´lise de vigas de sec¸˜o compacta. a ca Aplica¸˜es dos modelos propostos; co Trabalho por desenvolver. 3 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  7. 7. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Higher Order Thin-Walled Beam Models Motiva¸˜o e enquadramento do tema; ca 1 Sintese do trabalho desenvolvido e em desenvolvimento; 2 Formula¸˜o de modelos unidimensionais de ordem superior, ca An´lise da sec¸˜o, desacoplamento dos modos da solu¸˜o; a ca ca An´lise longitudinal, desenvolvimento do elemento finito. a Modelos desenvolvidos; An´lise vigas de parede fina - a distor¸˜o ´ considerada, a ca e sec¸˜o transversalmente deform´vel ou indeform´vel, sec¸˜o ca a a ca de geometria arbitr´ria, (abertas, fechadas e ramificadas); a An´lise de vigas de sec¸˜o compacta. a ca Aplica¸˜es dos modelos propostos; co Trabalho por desenvolver. 3 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  8. 8. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga) c a Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento a ca 1 estrutural; Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D ca co 2 para 1-D, Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio” e o (experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico); An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza a o ca f´ ısica ou geom´trica adequada; e M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos. e ca Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D a c˜ 3 dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de o ca an´lise estrutural pretendida; a Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do ca ca 4 campo de deslocamentos. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  9. 9. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga) c a Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento a ca 1 estrutural; Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D ca co 2 para 1-D, Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio” e o (experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico); An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza a o ca f´ ısica ou geom´trica adequada; e M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos. e ca Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D a c˜ 3 dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de o ca an´lise estrutural pretendida; a Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do ca ca 4 campo de deslocamentos. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  10. 10. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga) c a Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento a ca 1 estrutural; Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D ca co 2 para 1-D, Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio” e o (experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico); An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza a o ca f´ ısica ou geom´trica adequada; e M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos. e ca Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D a c˜ 3 dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de o ca an´lise estrutural pretendida; a Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do ca ca 4 campo de deslocamentos. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  11. 11. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga) c a Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento a ca 1 estrutural; Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D ca co 2 para 1-D, Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio” e o (experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico); An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza a o ca f´ ısica ou geom´trica adequada; e M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos. e ca Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D a c˜ 3 dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de o ca an´lise estrutural pretendida; a Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do ca ca 4 campo de deslocamentos. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  12. 12. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga) c a Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento a ca 1 estrutural; Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D ca co 2 para 1-D, Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio” e o (experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico); An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza a o ca f´ ısica ou geom´trica adequada; e M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos. e ca Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D a c˜ 3 dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de o ca an´lise estrutural pretendida; a Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do ca ca 4 campo de deslocamentos. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  13. 13. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga) c a Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento a ca 1 estrutural; Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D ca co 2 para 1-D, Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio” e o (experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico); An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza a o ca f´ ısica ou geom´trica adequada; e M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos. e ca Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D a c˜ 3 dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de o ca an´lise estrutural pretendida; a Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do ca ca 4 campo de deslocamentos. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  14. 14. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos unidimensionais de pe¸as prism´ticas (Modelos de viga) c a Simplicidade na an´lise e na interpreta¸˜o do comportamento a ca 1 estrutural; Redu¸˜o das equa¸˜es fundamentais de elasticidade de 3-D ca co 2 para 1-D, Teoria t´cnica de vigas - hip´teses admitidas “ab initio” e o (experimentalmente validadas e de conhecimento emp´ ırico); An´lise assimpt´tica adoptando como perturba¸˜o grandeza a o ca f´ ısica ou geom´trica adequada; e M´todos de projec¸˜o do campo de deslocamentos. e ca Perda de exactid˜o relativamente a formula¸oes 3-D a c˜ 3 dependente das hip´teses admitidas, do tipo de sec¸˜o e de o ca an´lise estrutural pretendida; a Enriquecimento de formula¸˜o refinando a aproxima¸˜o do ca ca 4 campo de deslocamentos. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  15. 15. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina c O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´ e complexo. empenamento da sec¸˜o, ca 1 tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada ca a ca com sec¸˜o deform´vel; ca a fen´meno de shear-lag. o deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio; e 2 deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o ca a ca 3 global); modos de encurvadura local; 4 efeito das cargas concentradas na direc¸˜o. ca 5 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  16. 16. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina c O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´ e complexo. empenamento da sec¸˜o, ca 1 tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada ca a ca com sec¸˜o deform´vel; ca a fen´meno de shear-lag. o deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio; e 2 deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o ca a ca 3 global); modos de encurvadura local; 4 efeito das cargas concentradas na direc¸˜o. ca 5 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  17. 17. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina c O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´ e complexo. empenamento da sec¸˜o, ca 1 tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada ca a ca com sec¸˜o deform´vel; ca a fen´meno de shear-lag. o deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio; e 2 deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o ca a ca 3 global); modos de encurvadura local; 4 efeito das cargas concentradas na direc¸˜o. ca 5 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  18. 18. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina c O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´ e complexo. empenamento da sec¸˜o, ca 1 tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada ca a ca com sec¸˜o deform´vel; ca a fen´meno de shear-lag. o deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio; e 2 deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o ca a ca 3 global); modos de encurvadura local; 4 efeito das cargas concentradas na direc¸˜o. ca 5 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  19. 19. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina c O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´ e complexo. empenamento da sec¸˜o, ca 1 tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada ca a ca com sec¸˜o deform´vel; ca a fen´meno de shear-lag. o deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio; e 2 deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o ca a ca 3 global); modos de encurvadura local; 4 efeito das cargas concentradas na direc¸˜o. ca 5 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  20. 20. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modelos 1-D de pe¸as lineares de parede fina c O comportamento de estruturas de parede fina enquanto vigas ´ e complexo. empenamento da sec¸˜o, ca 1 tor¸˜o n˜o uniforme em vigas de sec¸˜o aberta ou fechada ca a ca com sec¸˜o deform´vel; ca a fen´meno de shear-lag. o deformabilidade por corte no plano do folheto m´dio; e 2 deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o ca a ca 3 global); modos de encurvadura local; 4 efeito das cargas concentradas na direc¸˜o. ca 5 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  21. 21. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Referenciais e nota¸˜o ca Referencial global (x, y, z); 1 Referencial local (x, s, n); 2 Deslocamentos no referencial local, 3 u(x, s, n), v(x, s, n), w(x, s, n) y s(v) n(ω) z x(u) Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  22. 22. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Teorias cl´ssicas - Contributos avulsos na primeira metade do a s´culo XX e Timoshenko1910 Wagner1926 Despreza distor¸˜o associada ao empenamento da sec¸˜o ca ca Umansky1939 Aplica¸˜o a sec¸˜es de perfil fechado ca co Empenamento da sec¸˜o atrav´s de fun¸˜o independente da ca e ca rota¸˜o ca Argyris1947 Tor¸˜o n˜o uniforme sec¸˜es fechadas; ca a co von Karman1946 Tor¸˜o de sec¸˜es fechadas multi-celulares; ca co Fl¨gge e Marguerre1948 u Empenamento de vigas de parede fina com sec¸˜o aberta ou ca fechada. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  23. 23. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Adurorov1947 ,Panokvo1948 e Vorobiev1955 Consideram deformabilidade por corte em vigas de parede fina; Benscoter1958 Tor¸˜o n˜o uniforme de sec¸˜es fechadas multi-celulares; ca a co Teoria de Vlassov1940,1968 despreza a deformabilidade por corte do folheto m´dio, ie. γxs = 0; e obt´m empenamento da sec¸˜o uω (x, s) = − θ (x)ω(s); e ca considera a flex˜o transversal atrav´s de modelo p´rtico articulado, a e o a compatibilidade dos n´s apenas se verifica para sec¸˜es de forma o co quadrada. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  24. 24. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Teoria t´cnica generalizada de vigas, Schardt1989 e Teoria de Schardt1966−1989 ,TU - Darmstadt admite hip´tese de Vlassov, ie. γxs = 0; o baseada numa discretiza¸˜o de deslocamentos axiais; ca considera o empenamento da sec¸˜o; ca considera a deformabilidade transversal atrav´s de e deslocamentos adicionais normais ` parede; a v´lida apenas para sec¸˜es abertas n˜o ramificadas; a co a Teoria de Sedlacek1968 , TU - Berlin empenamentos de tor¸˜o e de distor¸˜o; ca ca v´lida para sec¸˜es abertas, fechadas e ramificadas. a co Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  25. 25. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Teoria t´cnica generalizada de vigas, Schardt1989 e Teoria de Schardt1966−1989 ,TU - Darmstadt admite hip´tese de Vlassov, ie. γxs = 0; o baseada numa discretiza¸˜o de deslocamentos axiais; ca considera o empenamento da sec¸˜o; ca considera a deformabilidade transversal atrav´s de e deslocamentos adicionais normais ` parede; a v´lida apenas para sec¸˜es abertas n˜o ramificadas; a co a Teoria de Sedlacek1968 , TU - Berlin empenamentos de tor¸˜o e de distor¸˜o; ca ca v´lida para sec¸˜es abertas, fechadas e ramificadas. a co Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  26. 26. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Teoria t´cnica generalizada de vigas, Schardt1989 e Teoria de Schardt1966−1989 ,TU - Darmstadt admite hip´tese de Vlassov, ie. γxs = 0; o baseada numa discretiza¸˜o de deslocamentos axiais; ca considera o empenamento da sec¸˜o; ca considera a deformabilidade transversal atrav´s de e deslocamentos adicionais normais ` parede; a v´lida apenas para sec¸˜es abertas n˜o ramificadas; a co a Teoria de Sedlacek1968 , TU - Berlin empenamentos de tor¸˜o e de distor¸˜o; ca ca v´lida para sec¸˜es abertas, fechadas e ramificadas. a co Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  27. 27. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Aplica¸˜o `s estruturas met´licas ca a a Hip´teses, o γxs = 0 e s = 0 γsn = 0 e γxn = 0 Aproxima¸˜o de deslocamentos axiais de membrana ca u(x, s) = φ(s) Va (x); Deslocamentos tangenciais obtidos por v(x, s) = ψ(s) Va (x) donde γxs = 0 ⇒ ψ(s) = φ,s . Deslocamentos normais obtidos por wa (x, s) = χa (s) Va (x) em que χa (s) ´ definida atrav´s e e de, φ,s para garantir continuidade de deslocamentos dos n´s; o e da rigidez transversal da sec¸˜o de modo a garantir ca continuidade de rota¸˜es dos n´s. co o Campo de deslocamentos escrito apenas em termos de graus de liberdade axiais. Schardt- Cap´ 2 ıtulo Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  28. 28. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Para considerar a flex˜o transversal da sec¸˜o, introduzem-se graus a ca de liberdade adicionais que correspondem a deslocamentos normais `s paredes da sec¸˜o. Miosga1976 a ca wn (x, s) = χn (s) Vn (x) A equa¸˜o geral da GBT escrita em fun¸˜o do vector que agrupa ca ca as amplitudes das fun¸˜es de aproxima¸˜o adoptadas ´ escrita na co ca e forma em que Vt = [Va (x), Vn (x)] − G DV + BV = p EC V Os modos de deforma¸˜o s˜o obtidos atrav´s da resolu¸˜o de um ca a e ca problema linear de valores e vectores pr´prios, o (C − µB) q = 0 µ = 0 com multiplicidade alg´brica e α = 4, os quais representam os modos de extens˜o axial, a flex˜o e tor¸˜o. a ca Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  29. 29. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Desenvolvimentos da GBT TU Darmstadt Saal1974 Miosga1976 Inclus˜o de graus de liberdade de flex˜o transversal (normais ` a a a parede); Desenvolvimento de an´lise geometricamente n˜o linear. a a M¨ller1982 o Desenvolvimento para aplica¸˜o a sec¸oes fechadas e sec¸oes ca c˜ c˜ ramificadas. Heinz1994 Macro-elementos para a resolu¸˜o do sistema de equa¸oes ca c˜ Couchon2001 Desenvolvimento para aplica¸˜o da GBT ` an´lise de lajes. ca aa Salford University, Leach1989 An´lise de estabilidade de perfis enformados a frio a Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  30. 30. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Desenvolvimentos da GBT em Portugal IST, DECivil Silvestre2005 Defini¸˜o de modos de corte; ca Defini¸˜o de modos de extens˜o transversal; ca a Aplica¸˜o a sec¸oes de materiais comp´sitos. ca c˜ o Gon¸alves2007 c Inclui a formula¸˜o da GBT no contexto de uma teoria ca geometricamente n˜o linear (Simmo, Ritto); a Aplica¸˜o a sec¸oes arbitr´rias, M¨ller1982 ; ca c˜ a o Aplica¸˜o a an´lise fisicamente n˜o linear de pe¸as em ca a a c alum´ınio. FCTUC Coimbra Sim˜o2005 a Considera distor¸˜o do folheto m´dio sec¸˜o para sec¸˜es ca e ca co fechadas; Define modos de extens˜o transversal; a Desenvolve an´lise de p´s-encurvadura. a o Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  31. 31. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Teoria de Sedlacek1968 V´lida para sec¸˜es abertas, sec¸˜es fechadas e sec¸˜es a co co co ramificadas. Sec¸˜es abertas co Hip´teses, γxs = 0 e o =0 s Gradiente axial do deslocamento tangencial ´ dado por, e v (x, s) = Ψ(s) V (x) Deslocamento axial ´ obtido a partir de, e Ω=− u(x, s) = Ω V (x) em que Ψ(s) ds Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  32. 32. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Sec¸˜es fechadas co Hip´teses, o SV ω γxs = γxs por que γxs = 0 e =0 s Gradiente axial do deslocamento tangencial ´ dado por, e v (x, s) = [Ψ(s) − Θ(s)] V (x) Deslocamento axial ´ obtido a partir de, e Ω=− u(x, s) = Ω V (x) em que Θ(s) ds Equa¸˜o fundamental do modelo ca − G JV + LV = p EF V Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  33. 33. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Desacoplamento considera duas fases, Desacoplamento do empenamento de distor¸˜o relativamente ca aos modos cl´ssicos; a (F − λ L)v = 0. Desenvolvimentos e aplica¸˜es da teoria de Sedlacek1968 co Maisel1974 1 Usuki1976 2 Hangang Li1994 3 Bogensperger2000 4 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  34. 34. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Enquadramento - An´lise de tabuleiros de pontes a Analogia de viga em meio el´stico para a an´lise de distor¸˜o, a a ca Vlassov1941 , Knittel1965 , Wrigth1968 e Oliveira Pedro1994 despreza a distor¸˜o no folheto m´dio, γxs = 0, admite “medida” ca e de distor¸˜o generalizada da sec¸˜o, γd (x); ca ca define empenamento de distor¸˜o devido ` deforma¸˜o transversal ca a ca n˜o uniforme da sec¸˜o, uω d → γd (x); a ca tens˜es de empenamento σω d , → γd (x) implicam por equil´ o ıbrio a existˆncia de tens˜es de corte τω d → γd (x); e o o gradiente longitudinal das tens˜es de corte, γd (x) induz o resistˆncia ao empenamento de distor¸˜o; e ca resistˆncia ` distor¸˜o por flex˜o transversal da sec¸˜o, κ γd . e a ca a ca EΓ γd + G κ γd = 0 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  35. 35. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Enquadramento - An´lise de tabuleiros de pontes a Bazant1968,1974 Maisel1974,1980 Tem o m´rito de produzir uma extensa revis˜o da e a literatura sobre o assunto, divulgando ` comunidade cient´ a ıfica M´todo de K¨llbrunner, empenamento de tor¸˜o n˜o uniforme; e o ca a M´todo de Sedlacek empenamento de distor¸˜o; e ca M´todo de Schmackpfeffer efeito de shear-lag; e Kristek1979 Considera deformabilidade da sec¸˜o em 2 passos ca Sec¸˜o r´ ca ıgida atrav´s de uma “escora” na diagonal; e Aplica¸˜o do esfor¸o da “escora” num modelo de p´rtico da ca c o sec¸˜o. ca Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  36. 36. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Enquadramento - An´lise de tabuleiros de pontes a Paavola1990 Virtuoso1991 An´lise de pontes curvas em caix˜o; a a Define coordenadas generalizadas associadas a deslocamentos perpendiculares ao plano da sec¸ao e a deslocamentos no c plano da sec¸˜o; ca Considera shear-lag, empenamento de tor¸˜o e de distor¸˜o. ca ca Hangang Li1991 An´lise de pontes curvas em caix˜o; a a Considera m´todos propostos por Maisel. e Bogensperger2000 “M´todo dos empenamentos adicionais” e Considera a sec¸˜o r´ ca ıgida no seu pr´prio plano; o Processo de desacoplamento baseado em Sedlacek; Aplica¸˜o a pontes com secc˜o de in´rcia vari´vel. ca a e a Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  37. 37. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Enquadramento - An´lise de p´s de helic´ptero a a o An´lise de p´s de helic´ptero a a o Giavotto1983 ; Solu¸˜es centrais, solu¸˜es de extremidade co co Deslocamentos como soma de duas parcelas parcela que n˜o “deforma” a sec¸˜o; a ca parcela que produz empenamento e distor¸˜o da sec¸˜o ca ca resolvida atrav´s de problema quadr´tico de valores e vectores e a pr´prios. o Bauchau1985 - Eigenwarpings; Considera sec¸˜o r´ ca ıgida transversalmente; = φ(s) F (x) γ = Γ(s) F(x) F (x) − µ2 F(x) = 0 Hodges2002 M´todo variacional assimpt´tico - VABS. e o Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  38. 38. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Enquadramento - An´lise de sec¸˜es compactas a co Modelos 1-D de pe¸as lineares de sec¸˜o compacta c ca Vlassov1941 - An´lise de sec¸˜es sujeitas ` tor¸˜o, considera o a co a ca 1 empenamento proporcional a uma fun¸˜o independente da ca rota¸˜o da sec¸˜o; ca ca Teorema de Toupin (3D), teorema de Knowles (2D) 2 Quantifica¸˜o do principio de Saint-Venant U ≤ U0 eλ x ; ca 1968 - Determina¸˜o de factores de corte; Cowper ca 3 Adopta deslocamento m´dio da sec¸˜o, solu¸˜es de Saint-Venant. e ca co Massonet1983 - Flex˜o n˜o uniforme; aa 4 Ie e Kosmatka - Empenamento da sec¸˜o; ca 5 Empenamentos de 1a ordem, solu¸˜es de Saint-Venant. co Kazic - An´lise da tor¸˜o n˜o uniforme em sec¸˜es compactas; a ca a co 6 EBR Pereira1994 7 Desenvolvimento em s´rie da aproxima¸˜o do campo de e ca deslocamentos na sec¸˜o; ca Considera distor¸˜o da sec¸˜o. ca ca Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  39. 39. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Caracter´ ısticas da formula¸˜o desenvolvida ca Formula¸˜o desenvolvida ca Na formula¸˜o desenvolvida os deslocamentos s˜o projectados na ca a sec¸˜o transversal, adoptando um conjuntos de fun¸˜es base ca co linearmente independentes em cada direc¸˜o do espa¸o. ca c ˆ u(x, y, z) = B(y, z) u(x) A formula¸˜o ´ gen´rica face ` flexibilidade adoptada para a ca e e a aproxima¸˜o do campo de deslocamentos, permitindo de forma ca natural considerar A deformabilidade transversal da sec¸˜o (flex˜o e distor¸˜o ca a ca 1 global); A deforma¸˜o por corte da sec¸˜o; ca ca 2 Sec¸˜o de geometria arbitr´ria (aberta, fechada, ramificada). ca a 3 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  40. 40. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Caracter´ ısticas da formula¸˜o desenvolvida ca Equa¸˜es de equil´ co ıbrio Condi¸˜es de compatibilidade co = D∗ u Dσ + f = 0 Nσ = ˆ ˆ uΓ = u t Rela¸˜o constitutiva ca σ=C DCD∗ u + f = 0 Equa¸˜o equl´ ca ıbrio, formula¸˜o forte ca M´todo dos res´ e ıduos pesados t (D C D∗ B u + f ) dΩ = 0 ˆ ΩB D∗ = D∗ + D∗ Decomposi¸˜o do operador diferencial ca x yz Obten¸˜o da equa¸˜o diferencial de equl´ ca ca ıbrio definida em termos das fun¸˜es de deslocamentos ao longo do eixo da co ˆ pe¸a - u(x) c Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  41. 41. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Caracter´ ısticas da formula¸˜o desenvolvida ca Aplica¸˜o a vigas de parede fina, sec¸˜o transversal unidimensional ca ca - an´lise 2D a Sistema de Equa¸oes diferenciais de 2a ordem c K2 u + K1 u + K0 u + p = 0 em que u = [ˆ x , us ]t ¯ˆ ˆ ˆ ˆ uˆ ˆ ˆ ux = φ ux e us = ψ us φ e ψ definidas de forma independente; Distor¸˜o do folheto m´dio e deformabilidade transversal ca e consideradas de forma natural; Considera-se um estado plano de tens˜o. a K2 e K0 sim´tricas, positivas definidas, K1 anti-sim´trica; e e Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  42. 42. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Caracter´ ısticas da formula¸˜o desenvolvida ca Aplica¸˜o a vigas de parede fina, an´lise 3D - hip´tese de Kirchhoff ca a o Sistema de equa¸˜es diferenciais de 4a ordem co u = [ˆ x , us , un ]t ¯ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ uˆˆ K4 u + K2 u + K1 u + K0 u + p = 0 ux = φ ux − n χˆ n us = ψ us − n χ,s un ˆ ˆ ˆ ˆ un = χ un u χ, φ e ψ definidas de forma independente; Considera a deformabilidade por corte do folheto m´dio. e K4 K2 K1 K0 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  43. 43. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Caracter´ ısticas da formula¸˜o desenvolvida ca Aplica¸˜o a vigas de sec¸˜o compacta ca ca Sistema de equa¸˜es diferenciais de 2a ordem co K2 u + K1 u + K0 u + p = 0 u = [ˆ x , uy , uz ]t ¯ˆ ˆ ˆ ˆ uˆˆ ˆ ˆ ˆ ux = ψ ux uy = φ uy uz = χ uz ψ, φ e χ definidas de forma independente; Consideradas todas as componentes de deforma¸˜o. ca K2 K1 K0 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  44. 44. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver An´lise da solu¸˜o homog´nea da equa¸˜o diferencial para a a ca e ca obten¸˜o de modos de deforma¸˜o ca ca Obten¸˜o de modos de deforma¸˜o com base na an´lise da solu¸˜o ca ca a ca homog´nea da equa¸˜o diferencial. e ca Da solu¸˜o geral, u = u0 eλ x obtˆm-se as seguintes equa¸˜es ˆ ˆ ca e co alg´bricas, e ˆ Q(λ) u0 = 0 Problema quadr´tico de valores pr´prios; a o ˆ P(λ) u0 = 0 Problema qu´rtico de valores pr´prios; a o uma vez que eλ x > 0 e sendo Q(λ) e P(λ) as matrizes polinomiais definidas por, Q(λ) = K2 λ2 + K1 λ + K0 P(λ) = K4 λ4 + K2 λ2 + K1 λ + K0 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  45. 45. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Modos de deforma¸˜o ca Obten¸˜o dos modos de deforma¸˜o ca ca Problema quadr´tico a 1 An´lise 3D de vigas de parede fina; a Vigas de sec¸˜o compacta. ca Problema qu´rtico An´lise 3D de vigas de parede fina - a a 2 formula¸˜o de Kirchhoff. ca Os vectores pr´prios caracterizam a forma dos modos na sec¸˜o o ca 3 transversal; Os valores pr´prios caracterizam o comportamento ao longo do eixo o 4 da pe¸a. c Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  46. 46. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Formula¸˜o geral ca Caracter´ ısticas espectrais do problema Pares de valores pr´prios reais, ±a (sim´tricos) o e Qu´druplos de valores pr´prios complexos, ±a ± b ı a o (sim´tricos e conjugados) e Valor pr´prio zero como raiz m´ltipla da equa¸˜o o u ca caracter´ ıstica; An´lise 2D λ = 0 → α = 6; a An´lise 3D λ = 0 → α = 12. a O conjunto de vectores pr´prios n˜o ´ linearmente o ae independente, e.g. existem mais de 2 n vectores para um problema com n graus de liberdade ; Existem vectores pr´prios com componente complexas; o Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  47. 47. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Formula¸˜o geral ca Modos fundamentais Correspondem a λ = 0, pelo que n˜o tˆm decaimento ao longo do ae eixo da pe¸a. c Definem-se com base nos vectores pr´prios determinados por: o K0 q = 0 i.e. q ∈ N (K0 ) | Dim N (K0 ) = β < α em que β ´ a multiplicidade geom´trica de K0 e e C´lculo de cadeias de Jordan; a Solu¸˜es polinomiais da equa¸˜o diferencial; co ca x3 x2 u(x) = 3! u0 + 2! u1 + x u2 + u3 Os movimentos de corpo r´ ıgido da pe¸a; c Os modos de deforma¸˜o associados `: extens˜o axial, tor¸˜o ca a a ca uniforme, flex˜o circular, flex˜o simples; a a Determina¸˜o do centro el´stico (cg), do centro de tor¸˜o e ca a ca dos eixos principais de flex˜o atrav´s da ortogonaliza¸˜o dos a e ca modos. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  48. 48. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Formula¸˜o geral ca Modos de ordem superior 1 Os modos de ordem superior λ = 0 tˆm um comportamento e de decaimento, determinado por Re(λ), ao longo do eixo da viga, podendo ter car´cter oscilat´rio, definido com base em a o Im(λ). Modos superiores s˜o ortogonais entre si e em rela¸˜o aos a ca 2 modos fundamentais numa m´trica que est´ associada ao e a problema n˜o linear de valores pr´prios. a o Viga em meio el´stico EI w(x) + k w(x) = p(x) a Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  49. 49. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Formula¸˜o geral ca Nova base para a aproxima¸˜o de deslocamentos na sec¸˜o ca ca Atrav´s do valor do decaimento identificam-se os modos de e 1 ordem superior com maior significado; Seleccionados os modos, adopta-se uma nova base para o 2 espa¸o das fun¸˜es de aproxima¸˜o na defini¸˜o das equa¸˜es c co ca ca co de equil´ ıbrio; A mudan¸a de base dever´ ser isoespectral, de modo a c a 3 garantir de que se reproduzem os modos seleccionados. A nova base das fun¸˜es de aproxima¸˜o ´ obtida co ca e 4 considerando uma transforma¸˜o linear ca No operador da transforma¸˜o T, as colunas representam a ca 5 base do espa¸o vectorial dos modos solu¸˜o da equa¸˜o de c ca ca equil´ ıbrio. Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  50. 50. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Formula¸˜o geral ca A aproxima¸˜o do campo de deslocamentos ´ efectuada de forma ca e independente em cada direc¸˜o do referencial adoptado, pelo que: ca · Tx T= · Tyz |T − λ I| = |Tx − λ Ix | |Tyz − λ Iyz | ⇒ Isoespectral Tx base para os deslocamento axiais; 1 Tyz base para os deslocamento transversais. 2 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  51. 51. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Formula¸˜o geral ca Desenvolvimento de um elemento finito Dom´ınio Fronteira N s = tσ in Γσ D K D∗ u(x) + p=0 ˆ ˆ ˆ u = uu in Γu Formula¸˜o elemento finito ca Aproxima¸˜o do campo de deslocamentos ca u(x) ∼ Ω(x)˜ ˆ q = M´todo dos res´ e ıduos pesados ΩT (D K D∗ Ω q + p) dV = 0 ⇒ Kb q = Q0 + Q ˜ ˜ V ˜ q conjunto de inc´gnitas; o Ω matriz que agrupa as fun¸˜es de aproxima¸˜o ao longo do co ca eixo da pe¸a. c Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  52. 52. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Exemplo de aplica¸˜o - an´lise 2D ca a u(x, z) = Φ(z) u(x) em que u(x, z) = [ux , uz ]t ˆ ˆ ϕ(z) 0 ux (x) ˆ Φ= u(x) = ˆ 0 ψ(z) uz (x) Viga de sec¸˜o transversalmente indeform´vel; ca a Discretiza¸˜o da sec¸˜o; ca ca Fun¸˜es de aproxima¸˜o, Lagrange lineares ou Hermite; co ca Determina¸˜o das matrizes globais, K0 , K1 e K2 . ca Resolu¸˜o do problema quadr´tico (K2 λ2 + K1 λ + K0 )q = 0 ca a ϕ1 (z) ϕ2 (z) ϕ3 (z) ϕn (z) ψ(z) ˜ δx1 (x) ˜ ho δx2 (x) o ˜ x δx3 (x) z ˜ δz (x) h ˜ δxn (x) Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  53. 53. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Primeiro modo de ordem superior 3 2.5 2 Cross section height Lagrange functions, 3 elements Hermite functions, 1 element 1.5 Hermite functions, 3 elements 1 0.5 0 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 Symmetric warping mode Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  54. 54. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Segundo modo de ordem superior 3 2.5 Lagrange functions, 3 elements Hermite functions, 1 element 2 Cross section height Hermite functions, 3 elements 1.5 1 0.5 0 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Skew−symmetric warping mode Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  55. 55. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Compara¸˜o dos modos obtidos ca Even axial stress comparison between models 4 3.5 3 Cross section height 2.5 2 Analytical solution 1.5 Hermite − 4 elements Hermite − 1 element 1 Lagrange − 4 elements 0.5 0 −1 −0.5 0 0.5 1 Even stress distribution Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  56. 56. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel ca ca a Exemplo de aplica¸˜o - an´lise 3D ca a Aplica¸˜o ` an´lise de uma viga de parede fina de sec¸˜o fechada ca a a ca Deslocamentos axiais aproximados por fun¸˜es de Lagrange co quadr´ticas; a Deslocamentos transversais aproximados por fun¸˜es de co Hermite na direc¸˜o normal ` parede e por fun¸˜es de ca a co lagrange lineares na direc¸˜o tangencial; ca Considera-se a sec¸˜o discretizada em 4 elementos - 20 graus ca de liberdade; Admite-se a sec¸˜o transversalmente indeform´vel - 11 graus ca a de liberdade. Y X Z t s n H x t B Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  57. 57. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel ca ca a Primeiro modo de ordem superior 1º Modo de empenamento λ = 2.3 1 0.8 Altura H = 1.0 m 0.6 0.4 0.2 0 2 1.5 1 0.5 1 0 0.5 −0.5 Largura B = 2.0 m Eixo da viga 0 −1 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  58. 58. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel ca ca a Segundo modo de ordem superior 2º Modo de empenamento λ = 2.8 1 0.8 Altura H = 1.0 m 0.6 0.4 0.2 0 2 1.5 0.6 0.4 1 0.2 0 0.5 −0.2 Largura B = 2.0 m Eixo da viga 0 −0.4 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  59. 59. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel ca ca a Terceiro modo de ordem superior 3º Modo de empenamento λ = 3.5 1 0.8 Altura H = 1.0 m 0.6 0.4 0.2 0 2 1.5 1 0.5 1 0 0.5 −0.5 0 −1 Largura B = 2.0 m Eixo da viga Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
  60. 60. Motiva¸˜o ca Formula¸˜o ca Modos de deforma¸˜o ca Exemplo 2D Exemplo 3D Trabalho por desenvolver Exemplo de aplica¸˜o - sec¸˜o fechada transversalmente indeform´vel ca ca a Quarto modo de ordem superior 4º Modo de empenamento λ = 7.0 1 0.8 Altura H = 1.0 m 0.6 0.4 0.2 0 2 1.5 1 0.5 1 0 0.5 Largura B = 2.0 m −0.5 Eixo da viga 0 −1 Semin´rio Doutoramento a IST, DECivil - Higher Order Thin-Walled Beam Models
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