Sistem Persamaan Linear

3,070
-1

Published on

0 Comments
7 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
3,070
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
7
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Sistem Persamaan Linear

  1. 1. MODUL VISISTEM PERSAMAAN LINIER(SPL)PRAYUDI
  2. 2. PENGERTIAN SISTEMPERSAMAAN LINIERPersamaan linier adalah suatupersamaan dengan n variabel yangtidak diketahui x1,x2,x3…., xn yangdinyatakan dalam bentuk :dimana a1,a2, …, an dan b adalahkontanta real (kompleks). Persamaanlinier secara geometri dengan istilahgaris.ContohPersamaan linier :(1). 2x1 + 4x2 = 10(2). 2x1 – 4x2 + 3x3 + 4x4 = 512211 ... bxaxaxa nn Secara umum, sistem persamaan linieradalah suatu susunan yang terdiri dari mpersamaan linier dan n variabel yang tidakdiketahui yang berbentuk :dimana x1, x2, …, xn disebut variabel yangtidak diketahui, aij konstanta koefisiensistem persamaan linier dan bj konstantayang diketahuimnmnmmnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxa.................................................................221144242141332321312222212111212111
  3. 3. Bentuk Matrik SPLDalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi,AX=Batau,SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi :(a). SPL homogen, jika koefisien matrik B=0(b). SPL non homogen, jika terdapat koefisienmatrik B tak noln321n321321333323122322211131211b...bbbx...xxx...........................mnmmmnnnaaaaaaaaaaaaaaaa63353222324432421431432321xxxxxxxxxxxxCONTOH :SPL non homogenBentuk matrik SPL652430133201232004324321xxxx
  4. 4. KONSISTENSI SPLPerhatikanlah contoh berikutKasus 1. SPL berbentukx + 2y = 10x – y = 4Dalam bentuk grafik solusinya adalahx+2y = 10x – y = 4(6,2)SPL konsisten, solusi tunggal,x=6,y=2Kausus 2. SPL berbentuk :x + 2y = 42x+ 4y = 8x+2y = 4 ; x = 4 – 2y2x + 4y = 8SPL konsisten, solusi memuatparameter, yaitu y=t dan x=4 – 2tKasus 3. SPL benbentuk :x + 2y = 4x + 2y = 8Dalam grafik adalah :x+2y = 8x+2y = 4SPL tidak konsisten, tidak ada solusi
  5. 5. BAGAN KONSISTENSI SPLSISTEM PERSAMAAN LINIERAX=BSPL HOMOGENAX = 0SPL NON HOMOGENAX = BSPL HOMOGENKONSISTENSPL NH TIDAKKONSISTENSPL NHKONSISTENTRIVIALr(A)=r(A,0)=nxi=0NON TRIVIALr(A)=r(A,B)=r<nxi0SOLUSITUNGGALr(A)=r(A,B)=nSOLUSI ADAPARAMETERr(A)=r(A,B)=r<n
  6. 6. Metode Solusi SPL Metode Eliminasi Gouss Metode Eliminasi Gouss Jourdan Metode Crammer Metode Invers Matrik Metode Dekomposisi Matrik Metode Gouss Seidel Metode Jacobi Metode Numerik Solusi dengan program komputer
  7. 7. METODE ELIMINASI GOUSSOPERASI ELEMENTER BARIS :(1). Hi  k Hi :Kalikan sembarang baris ke-Idengan konstanta tak nol k(2). Hi  HjTukarkanlah semua elemen bariske-i dengan baris ke-j(3). Hi  Hi + kHjKalikanlah baris ke-j dengankonstanta tak nol k, dan hasilnyajumlahlan pada baris ke-IRANK MATRIKRank matrik berukuran (mxn) ditulisr(A) adalah banyaknya jumlah baris taknol dari matrik eselon baris tereduksi.MATRIK ESELON BARISMatrik eselon baris tereduksi adalahmatrik yang mempunyai sifat-sifat sebagaiberikut :(1). Jika suatu baris yang elemenya tak nolnol, bilangan pertama pada baristersebut 1 (–1) utama : pivot(2). Jika terdapat baris semua elemenadalah 0, baris spt itu tempatkanpada bagian bawah matrik(3). Jika terdapat 2 baris yang berurutan, 1utama baris yang lebih rendahterletak jauh kekanan dari pada 1utama baris yang lebih tingggi.(4). Setiap kolom yang memuat 1 utama,mempunyai 0 did tempat baris yanglebih rendah
  8. 8. CONTOH : Tentukaan matrik eselon matrik berikut iniIterasi-11 2 3 4 5 8 H1=(1/a11)H10 -1 -2 -2 -3 -7 H2=H2-(a21/a11)H10 -1 -3 -5 -7 -14 H3=H3-(a31/a11)H10 0 1 3 4 7 H4=H4-(a41/a11)H10 -1 0 4 5 7 H5=H5-(a51/a11)H1Matrik Asal1 2 3 4 5 82 3 4 6 7 93 5 6 7 8 101 2 4 7 9 152 3 6 12 15 23Iterasi-21 2 3 4 5 80 1 2 2 3 7 H2=(1/a22)H20 0 -1 -3 -4 -7 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 3 4 7 H4=H4-(a42/a22)H20 0 2 6 8 14 H5=H5-(a52/a22)H2Iterasi-31 2 3 4 5 80 1 2 2 3 70 0 1 3 4 7 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3Dari matrik eselon diperoleh hasil:(1). Jumlah baris tak nol matrikeselon = 3(2). Rank matrik A, r(A)=3
  9. 9. METODE ELIMINASI GOUSSAndaikan diberikan SPL dengan mpersamaan linier dan n variabel yangtidak diketahui, x1, x2,…,xn yaitu :AX = BLangkah-langkah menentukankonsitensi dan solusi SPL nonhomogen adalah sbb :(1). Bentuk matrik lengkap [A,B](2). Reduksilah matrik lengkap [AB]menjadi matrik eselon baristereduksi, E[AB] denganmenggunakan serangkaianoperasi elementer baris(3). Dari E[AB], hitunglah rankmatrik, r(A) dan r(AB), dengancara menghitung jumlah baristak nolnya.(4). Konsistensi SPL(a). Jika r(A)=r(AB)=n, maka SPLkonsisten solusi tunggal(b). Jika r(A)=r(AB)=r < n, maka SPLkonsisten solusi memuatparameter(c). Jika r(A)r(AB), maka SPL tidakkonsisten/tidak ada solusi(5). Solusi SPL(a). Jika SPL konsisten, susunan SPLdari matrik eselon(b). Tentukan solusi SPL dengan caraeliminasi berulang dari xn ke x1
  10. 10. CONTOH : TIDAK KONSISTENTentukanlah solusi SPL jika adaJawabMatrik lengkap SPL :Operasi elementer barisReduksi x11053832522221321321xxxxxxxxx1053181325221],[ BA`531023105221H2  H2 – 2H1H3  H3 – 1 H1Reduksi x2Jadi,Analisis(1). Jumlah baris tak nol A = 2, sehinggar(A) = 2(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,sehingga, r(A,B)=3(3). Karena r(A)r(A,B), maka SPL tidakkonsisten, atau SPL tidak ada solusi`300023105221H3  H3+H2`300023105221],[BAE
  11. 11. CONTOH : SOLUSI PARAMETERTentukanlah solusi SPL jika adaJawabMatrik lengkap SPL :142486724324274262424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx142486712432427426242],[ BAReduksi x11 2 -1 3 -1 H1=(1/a11)H10 -1 2 -8 6 H2=H2-(a21/a11)H10 -2 5 -10 10 H3=H3-(a31/a11)H10 -4 10 -20 20 H4=H4-(a41/a11)H1Reduksi x21 2 -1 3 -10 1 -2 8 -6 H2=(1/a22)H20 0 1 6 -2 H3=H3-(a32/a22)H20 0 2 12 -4 H4=H4-(a42/a22)H2Reduksi x31 2 -1 3 -10 1 -2 8 -60 0 1 6 -2 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3
  12. 12. SOLUSI : SPL Parameter000002-61006-82-101-31-21),( BAEDari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=3, sehinggar(A)=3(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,sehingga r(A,B)=3(3). Jumlah variabel yang tidakdiketahui x1,x2,x3,x4 = 4(4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=4, maka SPLkonsisten dan solusi memuat (n-r=1) parameter26682132434324321xxxxxxxxxSolusi :x4 = t, t parameterx3 = –2 – 6x4= –2 – 6tx2 = –6 + 2x3 – 8x4= –6 + 2(– 2 – 6t) – 8t= – 10 – 20tx1 = –1 – 2x2 + x3 – 3x4=1 – 2(– 10 – 20t) + (– 2 – 6t) – 3t= 19 + 31tSPL dari matrik eselon
  13. 13. CONTOH : SOLUSI PARAMETERTentukanlah solusi SPL jika adaJawabMatrik lengkap SPL :1 2 3 4 2 x1 02 5 4 6 5 x2 03 5 6 7 6 x3 01 2 4 7 9 x4 02 3 8 10 3 x5 00310832017421087673056452024321],[ BAReduksi x11 2 3 4 2 0 H1=(1/a11)H10 1 -2 -2 1 0 H2=H2-(a21/a11)H10 1 -3 -5 2 0 H3=H3-(a31/a11)H10 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a41/a11)H10 -1 2 2 -1 0 H5=H5-(a51/a11)H1Reduksi x21 2 3 4 2 00 1 -2 -2 1 0 H2=(1/a22)H20 0 -1 -3 1 0 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a42/a22)H20 0 0 0 0 0 H5=H5-(a52/a22)H2Reduksi x31 2 3 4 2 00 1 -2 -2 1 00 0 1 3 -1 0 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3
  14. 14. Dari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=3, sehinggar(A)=3(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,sehingga r(A,B)=3(3). Jumlah variabel yang tidakdiketahui x1,x2,x3,x4,x5 = 5(4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=5, maka SPLkonsisten dan solusi memuat (n-r=2) parameter00000000000001-3100012-2-10024321),( BAESOLUSI : SPL ParameterSolusi :x5 = s, s parameterx4 = t, t parameterx3 = –3x4 + x5= –3t + sx2 = 2x3 + 2x4 – x5= 2(–3t + s) + 2t – s= – 4t + sx1 = –2x2 –3x3 – 4x4 – 2x5= –2(–4t +s) – 3(–3t+s) – 4t – 2s= 13t – 7s0302202432543543254321xxxxxxxxxxxxSPL dari matrik eselon
  15. 15. CONTOH : SOLUSI TUNGGALCarilah solusi SPL jika adaJawabMatrik lengkap SPL adalah :13427224328274462424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134211722432427446242],[ BAReduksi x11 2 -1 4 2 H1=(1/a11)H10 -1 2 -8 -6 H2=H2-(a21/a11)H10 -2 5 -10 1 H3=H3-(a31/a11)H10 -1 3 0 11 H4=H4-(a41/a11)H1Reduksi x21 2 -1 4 20 1 -2 8 6 H2=(1/a22)H20 0 1 6 13 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 8 17 H4=H4-(a42/a22)H2Reduksi x31 2 -1 4 20 1 -2 8 60 0 1 6 13 H3=(1/a33)H30 0 0 2 4 H4=H4-(a43/a33)H3
  16. 16. Reduksi x41 2 -1 4 20 1 -2 8 60 0 1 6 130 0 0 1 2 H4=(1/a44)H4Dari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=4, sehinggar(A)=4(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=4,sehingga r(A,B)=4(3). Jumlah variabel yang tidakdiketahui x1,x2,x3,x4 = 4(4). Jadi r(A)=r(A,B)=r=4, maka SPLkonsisten dan solusi tunggalSPL dari matrik eselon21366822424434324321xxxxxxxxxxSolusi :x4 = 2x3 = 13 – 6(2)= 1x2 = 6 + 2x3 – 8x4= 6 + 2(1) – 8(2)= – 8x1 = 2 – 2x2 + x3 – 4x4= 2 – 2(–8) + 1 – 4(2)= 11
  17. 17. TUGAS : SPLTentukan solusi SPL berikut ini dengan metode eliminasi Gouss:ababababaxxxxxbaabbabbaaabbaabaabbbaabb22232223231111221111125432110)(5105510)(103312131112111112154321babababaxxxxxbbbabbbbaabbbaaaaabbaaabb
  18. 18. METODE CRAMMERAndaikan, AX=B adalah sistem persamaanlinier dengan n persamaan linier dan nvariabel yang tidak diketahui,nnnnnnnnnnbbbbxxxxaaaaaaaaaaaaaaaa.................................321321321333323122322211131211n...,3,2,1,i;;;; 332211DDxDDxDDxDDxiidimana Di = det(Ai) determinanmatrik berordo (nxn) yangdiperoleh dari A dengan caramengganti kolom ke-i dengankoefisien matrik BnnnnninnniabaababaaabaaabaaA.......................................)det(21333231222221111211Andaikan determinan matrik Atidak sama dengan nol, makasistem persamaan linier nonhomogen solusinya tunggal, yaitu
  19. 19. CONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode Crammer :Jawab :Bentuk matrik SPL, AX=B adalah :Karena,123641225316342321321321xxxxxxxxx121216xxx3642533423214364253342)det(  AD248x7428x9436xJadi,8126412531642)det(28312421233162)det(36361225123416)det(332211332211DDDDDDADADAD
  20. 20. CONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode Crammer :Jawab :Mengingat,20161012xxxx266456533442453243215.8-x68-266245651234410453168266456533442453211 DD-7x56-246641265410442165325.12x10022464512543104241632-0.5x4-26244561233410245162443322DDD
  21. 21. METODE INVERSAndaikan, AX=B adalah sistem persamaanlinier dengan n persamaan linier dan nvariabel yang tidak diketahui,n21n21nnn2n1ij2n22211n1211b...bbx...xxa...aa...a......a...aaa...aaAndaikan, A–1 maka SPL, makasistem persamaan linier nonhomogen solusinya tunggal, yaitu :X = A–1BCONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode inveres :Jawab :Karena,Maka solusi SPL adalah :121216xxx3642533423210.51.0-0.501.25-1.50.251.751.5-0.75-A 1-279-1212160.51.0-0.501.25-1.50.251.751.5-0.75-xxxBAX3211-
  22. 22. CONTOH :Carilah solusi SPL berikut :CONTOH :Carilah solusi SPL berikut :24121016xxxx266456533442453243217-12.50.58.5-241210160.251.00.5-0.5-0.125-1.5-0.751.250.125-0.5-1.250.25-0.3752.52.75-1.25-xxxxBAX43211-57964xxxxx7833389875567645454332432543217-31225-235796412-21-1-1-11-22-3-43-57-58-65-82-65-3-2xxxxx54321
  23. 23. SPL : METODE DEKOMPOSISIAndaikan, AX=B adalah sistem persamaanlinier dengan n persamaan linier dan nvariabel yang tidak diketahui,n21n21nnn2n1ij2n22211n1211b...bbx...xxa...aa...a......a...aaa...aaAndaikan, A dapat didekomposisimenjadi matrik segitiga atas L dansegituga bawah U,akibatnya SPL AX=Bdapat ditulis menjadi :LUX = Batau,L Y= BUX = YLangkah-langkah menentukan solusiSPL non homogen, dengan metodedekomposisi matrik adalah :(1). Tentukan dekomposisi matrik A,menjadi A=LU, dengan metodeCrout, Doolite, Cholesky).(2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan:LY=B,dengan eliminasi maju(y1, y2, y3, …,yn)(3). Tentukanlah nilai X yangmerupakan solusi SPL nonhomogen, dari persamaanUX=Ydengan eliminasi mundur(xn, xn-1, …,x2,x1).
  24. 24. CONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode Dekomposisi :Jawab :Mengingat, dekomposisi A denganmetode Crout adalah :121216xxx3642533423211005.2105.12122-401-3002LUAMenghitung Y dari LY = BDari SPL diperoleh :2y1 = 16  y1=83y1 – y2 = 12  y2=124y1 – 2y2 + 2y2 = 12  y3 = 2121216yyy22-401-3002321Menghitung X dari UX = YDari SPL diperoleh :x3 = 2  x3=2x2 + 2.5x3 = 12 x2=7x1 + 2x2 + 1.53 = 2 x1=–92128xxx1005.2105.121321
  25. 25. CONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode Dekomposisi :Menghitung Y, LY=BDari SPL diperoleh2y1 = 16 y1=82y1 + y2=10  y2=–63y1+0.5y2 – y3 = 12 y3=94y1 +0y2 – 4y3 – 4y4=24  y4= –724121016xxxx2664565334424532432110000.51001-1-1022.51.514-4-0401-0.5300120002AJawab :Mengingat, dekomposisi AMenghitung X, dari UX=YDari SPL diperoleh :x4 = –7x3 + 0.5 x4 =9  x3=12.5x2 – x3 – x4 = –6  x2 = –0.5x1+1.5x2 + 2.5x3 +2x4= 8  x1= –8.524121016yyyy4-4-0401-5.030012000243217-96-8xxxx10005.01001-1-1025.25.114321
  26. 26. SISTEM TRIDIAGONAL, ALGORITMA THOMASSPL, dengan bentuk sistem tridiagonal berbentuk,n1n321n1n321nn1n1n3322211cc...cccxx...xxxfe...000gf...000..................00...fe000...gfe00...0gfSPL diatas didekomposisi menjadi, A=LU yang berbentuk,n1n321n1n321n1n1n32211n32cc...cccxx...xxxf0...000gf...000..................00...f0000...gf000...0gf1e...00001...000..................00...1e000...01e00...001
  27. 27. n1n321n1n321n1n1n32211yy...yyyxx...xxxf0...000gf...000..................00...f0000...gf000...0gfLANGKAH-LANGKAH SOLUSI(1). Hitung Y dari LY=C, yaitu :(2). Hitung X dari UX=Y, dari :n1n321n1n321n32cc...cccyy...yyy1e...00001...000..................00...1e000...01e00...001ALGORITMA THOMAS :(1). DekompoisisiDO k=2, nek=ek/fk–1fk= fk – ek.gk–1END DO(2). Forward SubstitusiDO k=2,nck=ck – ek.ck–1END DO(3). Back Substitusixn=cn/fnDO k=n–1,1, –1xk=(ck– uk,xk+1)/fkEND DO
  28. 28. CONTOH : Perhatikanlah rangkaian listrik seperti gambarPada kondisi, R1=10,R2=25, R3=50, R4=40,R5=25, E1=12 V, E2=24Vdan, E3=60V, hitunglah aruslistrik dalam tahanan.521543215443221E0E0EiiiiiRR000111000RRR000111000RR60024012iiiii2540000111000405025000111000251054321Bentuk SPL-nya adalah sebagai berikut :R1 R2R3V1 V3V2R5R4R2R3E1 E2 E3– +
  29. 29. Forwart Subsitusi60024012yyyyy1529.2300001018.000001143.7000011.000001CLY54321647.53270.0429.152.112yyyyy54321Back Subsitusi647.53270.0429.152.112iiiii529.48000017.1000040143.57000015.30000251054321106.1809.0297.0258.0555.0iiiii54321
  30. 30. 10)(5105510)(1013112311231123443213211254321babababaxxxxxaaabbaaabbaaabbbbbaabbbaaSOAL-SOAL LATIHANCarilah solusi SPL berikut ini, dengan metode invers, metode crammer dandekompoisisiSoal 1Soal 224)5()1()2()1(16)2()1(2)(a)4(32)2()1()2()2(8)1()1()2(4321432143214321xbxbaxxabxbxbxxaxbxbxaaxaxbxbaxxa
  31. 31. SOAL-SOAL LATIHAN1.Perhatikan statika struktur berikutDiketahui, P1=1a0 N, P2=2b0N,a). Susunlah sistem persamaan linierdengan variabel yang tidakdiketahui P, F1,F2,F3,R1 dan R2b).Selesaikanlah SPL pada (a) denganmetode eliminasi Gouss Joudandan dekomposisi3aO6bO45O45O45OPP1 P2F1 F2F3R1 R2R6R5R2R4R3R12. Perhatikan rangkaian berikut ini :V5V6a). Dari rangkaian diatas, susunlahsistem persamaan linier denganvariabel bebas i1, i2, i3, i4, i5dan i6.b). Pada kondisi R1=1a, R2=10,R3=2b , R4=20 , R5=3a R6=40, V5=2a0 volt, dan V6=0volt, hitunglah arus dalammasing-masing tahanan.
  32. 32. R1R2R3R3R6R4 R53. Perhatikan rangkaian berikut iniR5R6R7V6V7a). Dari rangkaian diatas, susunlahsistem persamaan linier denganvariabel bebas i1, i2, i3, i4, i5, i6dan i7.b). Pada kondisi R1=4a, R2=10,R3=2b , R4=30, R5=3a R6=40, R6=20, V6=10 volt, danV6=2b0 volt, hitunglah arusdalam masing-masing tahanan.4. Untuk membuat satu bangunan,seorang tukang batu membutuhkanbahan pasir, kerikil halus, dan kerikilkasar masing-masing sebanyak 4800,5810, dan 5690 meter kubik.Terdapat empat sumber yang dapatdigunakan, dan komposisinya sebagaiberikutPasir Kerikil hls Kerikil ksr% % %-------------------------------------------Sb1 52 30 18Sb2 20 50 30Sb3 25 20 55------------------------------------------Berapa meter kubik harus diangkutdari tiap sumber agar kebutuhanterpenuhi.

×