• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
 Sistem Persamaan Linear
 

Sistem Persamaan Linear

on

  • 1,080 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,080
Views on SlideShare
1,064
Embed Views
16

Actions

Likes
1
Downloads
0
Comments
0

3 Embeds 16

http://rizkywulansari11.blogspot.com 14
http://rizkywulansari11.blogspot.gr 1
http://rizkywulansari11.blogspot.com.br 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

     Sistem Persamaan Linear Sistem Persamaan Linear Presentation Transcript

    • MODUL VISISTEM PERSAMAAN LINIER(SPL)PRAYUDI
    • PENGERTIAN SISTEMPERSAMAAN LINIERPersamaan linier adalah suatupersamaan dengan n variabel yangtidak diketahui x1,x2,x3…., xn yangdinyatakan dalam bentuk :dimana a1,a2, …, an dan b adalahkontanta real (kompleks). Persamaanlinier secara geometri dengan istilahgaris.ContohPersamaan linier :(1). 2x1 + 4x2 = 10(2). 2x1 – 4x2 + 3x3 + 4x4 = 512211 ... bxaxaxa nn Secara umum, sistem persamaan linieradalah suatu susunan yang terdiri dari mpersamaan linier dan n variabel yang tidakdiketahui yang berbentuk :dimana x1, x2, …, xn disebut variabel yangtidak diketahui, aij konstanta koefisiensistem persamaan linier dan bj konstantayang diketahuimnmnmmnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxa.................................................................221144242141332321312222212111212111
    • Bentuk Matrik SPLDalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi,AX=Batau,SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi :(a). SPL homogen, jika koefisien matrik B=0(b). SPL non homogen, jika terdapat koefisienmatrik B tak noln321n321321333323122322211131211b...bbbx...xxx...........................mnmmmnnnaaaaaaaaaaaaaaaa63353222324432421431432321xxxxxxxxxxxxCONTOH :SPL non homogenBentuk matrik SPL652430133201232004324321xxxx
    • KONSISTENSI SPLPerhatikanlah contoh berikutKasus 1. SPL berbentukx + 2y = 10x – y = 4Dalam bentuk grafik solusinya adalahx+2y = 10x – y = 4(6,2)SPL konsisten, solusi tunggal,x=6,y=2Kausus 2. SPL berbentuk :x + 2y = 42x+ 4y = 8x+2y = 4 ; x = 4 – 2y2x + 4y = 8SPL konsisten, solusi memuatparameter, yaitu y=t dan x=4 – 2tKasus 3. SPL benbentuk :x + 2y = 4x + 2y = 8Dalam grafik adalah :x+2y = 8x+2y = 4SPL tidak konsisten, tidak ada solusi
    • BAGAN KONSISTENSI SPLSISTEM PERSAMAAN LINIERAX=BSPL HOMOGENAX = 0SPL NON HOMOGENAX = BSPL HOMOGENKONSISTENSPL NH TIDAKKONSISTENSPL NHKONSISTENTRIVIALr(A)=r(A,0)=nxi=0NON TRIVIALr(A)=r(A,B)=r<nxi0SOLUSITUNGGALr(A)=r(A,B)=nSOLUSI ADAPARAMETERr(A)=r(A,B)=r<n
    • Metode Solusi SPL Metode Eliminasi Gouss Metode Eliminasi Gouss Jourdan Metode Crammer Metode Invers Matrik Metode Dekomposisi Matrik Metode Gouss Seidel Metode Jacobi Metode Numerik Solusi dengan program komputer
    • METODE ELIMINASI GOUSSOPERASI ELEMENTER BARIS :(1). Hi  k Hi :Kalikan sembarang baris ke-Idengan konstanta tak nol k(2). Hi  HjTukarkanlah semua elemen bariske-i dengan baris ke-j(3). Hi  Hi + kHjKalikanlah baris ke-j dengankonstanta tak nol k, dan hasilnyajumlahlan pada baris ke-IRANK MATRIKRank matrik berukuran (mxn) ditulisr(A) adalah banyaknya jumlah baris taknol dari matrik eselon baris tereduksi.MATRIK ESELON BARISMatrik eselon baris tereduksi adalahmatrik yang mempunyai sifat-sifat sebagaiberikut :(1). Jika suatu baris yang elemenya tak nolnol, bilangan pertama pada baristersebut 1 (–1) utama : pivot(2). Jika terdapat baris semua elemenadalah 0, baris spt itu tempatkanpada bagian bawah matrik(3). Jika terdapat 2 baris yang berurutan, 1utama baris yang lebih rendahterletak jauh kekanan dari pada 1utama baris yang lebih tingggi.(4). Setiap kolom yang memuat 1 utama,mempunyai 0 did tempat baris yanglebih rendah
    • CONTOH : Tentukaan matrik eselon matrik berikut iniIterasi-11 2 3 4 5 8 H1=(1/a11)H10 -1 -2 -2 -3 -7 H2=H2-(a21/a11)H10 -1 -3 -5 -7 -14 H3=H3-(a31/a11)H10 0 1 3 4 7 H4=H4-(a41/a11)H10 -1 0 4 5 7 H5=H5-(a51/a11)H1Matrik Asal1 2 3 4 5 82 3 4 6 7 93 5 6 7 8 101 2 4 7 9 152 3 6 12 15 23Iterasi-21 2 3 4 5 80 1 2 2 3 7 H2=(1/a22)H20 0 -1 -3 -4 -7 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 3 4 7 H4=H4-(a42/a22)H20 0 2 6 8 14 H5=H5-(a52/a22)H2Iterasi-31 2 3 4 5 80 1 2 2 3 70 0 1 3 4 7 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3Dari matrik eselon diperoleh hasil:(1). Jumlah baris tak nol matrikeselon = 3(2). Rank matrik A, r(A)=3
    • METODE ELIMINASI GOUSSAndaikan diberikan SPL dengan mpersamaan linier dan n variabel yangtidak diketahui, x1, x2,…,xn yaitu :AX = BLangkah-langkah menentukankonsitensi dan solusi SPL nonhomogen adalah sbb :(1). Bentuk matrik lengkap [A,B](2). Reduksilah matrik lengkap [AB]menjadi matrik eselon baristereduksi, E[AB] denganmenggunakan serangkaianoperasi elementer baris(3). Dari E[AB], hitunglah rankmatrik, r(A) dan r(AB), dengancara menghitung jumlah baristak nolnya.(4). Konsistensi SPL(a). Jika r(A)=r(AB)=n, maka SPLkonsisten solusi tunggal(b). Jika r(A)=r(AB)=r < n, maka SPLkonsisten solusi memuatparameter(c). Jika r(A)r(AB), maka SPL tidakkonsisten/tidak ada solusi(5). Solusi SPL(a). Jika SPL konsisten, susunan SPLdari matrik eselon(b). Tentukan solusi SPL dengan caraeliminasi berulang dari xn ke x1
    • CONTOH : TIDAK KONSISTENTentukanlah solusi SPL jika adaJawabMatrik lengkap SPL :Operasi elementer barisReduksi x11053832522221321321xxxxxxxxx1053181325221],[ BA`531023105221H2  H2 – 2H1H3  H3 – 1 H1Reduksi x2Jadi,Analisis(1). Jumlah baris tak nol A = 2, sehinggar(A) = 2(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,sehingga, r(A,B)=3(3). Karena r(A)r(A,B), maka SPL tidakkonsisten, atau SPL tidak ada solusi`300023105221H3  H3+H2`300023105221],[BAE
    • CONTOH : SOLUSI PARAMETERTentukanlah solusi SPL jika adaJawabMatrik lengkap SPL :142486724324274262424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx142486712432427426242],[ BAReduksi x11 2 -1 3 -1 H1=(1/a11)H10 -1 2 -8 6 H2=H2-(a21/a11)H10 -2 5 -10 10 H3=H3-(a31/a11)H10 -4 10 -20 20 H4=H4-(a41/a11)H1Reduksi x21 2 -1 3 -10 1 -2 8 -6 H2=(1/a22)H20 0 1 6 -2 H3=H3-(a32/a22)H20 0 2 12 -4 H4=H4-(a42/a22)H2Reduksi x31 2 -1 3 -10 1 -2 8 -60 0 1 6 -2 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3
    • SOLUSI : SPL Parameter000002-61006-82-101-31-21),( BAEDari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=3, sehinggar(A)=3(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,sehingga r(A,B)=3(3). Jumlah variabel yang tidakdiketahui x1,x2,x3,x4 = 4(4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=4, maka SPLkonsisten dan solusi memuat (n-r=1) parameter26682132434324321xxxxxxxxxSolusi :x4 = t, t parameterx3 = –2 – 6x4= –2 – 6tx2 = –6 + 2x3 – 8x4= –6 + 2(– 2 – 6t) – 8t= – 10 – 20tx1 = –1 – 2x2 + x3 – 3x4=1 – 2(– 10 – 20t) + (– 2 – 6t) – 3t= 19 + 31tSPL dari matrik eselon
    • CONTOH : SOLUSI PARAMETERTentukanlah solusi SPL jika adaJawabMatrik lengkap SPL :1 2 3 4 2 x1 02 5 4 6 5 x2 03 5 6 7 6 x3 01 2 4 7 9 x4 02 3 8 10 3 x5 00310832017421087673056452024321],[ BAReduksi x11 2 3 4 2 0 H1=(1/a11)H10 1 -2 -2 1 0 H2=H2-(a21/a11)H10 1 -3 -5 2 0 H3=H3-(a31/a11)H10 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a41/a11)H10 -1 2 2 -1 0 H5=H5-(a51/a11)H1Reduksi x21 2 3 4 2 00 1 -2 -2 1 0 H2=(1/a22)H20 0 -1 -3 1 0 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a42/a22)H20 0 0 0 0 0 H5=H5-(a52/a22)H2Reduksi x31 2 3 4 2 00 1 -2 -2 1 00 0 1 3 -1 0 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3
    • Dari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=3, sehinggar(A)=3(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,sehingga r(A,B)=3(3). Jumlah variabel yang tidakdiketahui x1,x2,x3,x4,x5 = 5(4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=5, maka SPLkonsisten dan solusi memuat (n-r=2) parameter00000000000001-3100012-2-10024321),( BAESOLUSI : SPL ParameterSolusi :x5 = s, s parameterx4 = t, t parameterx3 = –3x4 + x5= –3t + sx2 = 2x3 + 2x4 – x5= 2(–3t + s) + 2t – s= – 4t + sx1 = –2x2 –3x3 – 4x4 – 2x5= –2(–4t +s) – 3(–3t+s) – 4t – 2s= 13t – 7s0302202432543543254321xxxxxxxxxxxxSPL dari matrik eselon
    • CONTOH : SOLUSI TUNGGALCarilah solusi SPL jika adaJawabMatrik lengkap SPL adalah :13427224328274462424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134211722432427446242],[ BAReduksi x11 2 -1 4 2 H1=(1/a11)H10 -1 2 -8 -6 H2=H2-(a21/a11)H10 -2 5 -10 1 H3=H3-(a31/a11)H10 -1 3 0 11 H4=H4-(a41/a11)H1Reduksi x21 2 -1 4 20 1 -2 8 6 H2=(1/a22)H20 0 1 6 13 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 8 17 H4=H4-(a42/a22)H2Reduksi x31 2 -1 4 20 1 -2 8 60 0 1 6 13 H3=(1/a33)H30 0 0 2 4 H4=H4-(a43/a33)H3
    • Reduksi x41 2 -1 4 20 1 -2 8 60 0 1 6 130 0 0 1 2 H4=(1/a44)H4Dari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=4, sehinggar(A)=4(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=4,sehingga r(A,B)=4(3). Jumlah variabel yang tidakdiketahui x1,x2,x3,x4 = 4(4). Jadi r(A)=r(A,B)=r=4, maka SPLkonsisten dan solusi tunggalSPL dari matrik eselon21366822424434324321xxxxxxxxxxSolusi :x4 = 2x3 = 13 – 6(2)= 1x2 = 6 + 2x3 – 8x4= 6 + 2(1) – 8(2)= – 8x1 = 2 – 2x2 + x3 – 4x4= 2 – 2(–8) + 1 – 4(2)= 11
    • TUGAS : SPLTentukan solusi SPL berikut ini dengan metode eliminasi Gouss:ababababaxxxxxbaabbabbaaabbaabaabbbaabb22232223231111221111125432110)(5105510)(103312131112111112154321babababaxxxxxbbbabbbbaabbbaaaaabbaaabb
    • METODE CRAMMERAndaikan, AX=B adalah sistem persamaanlinier dengan n persamaan linier dan nvariabel yang tidak diketahui,nnnnnnnnnnbbbbxxxxaaaaaaaaaaaaaaaa.................................321321321333323122322211131211n...,3,2,1,i;;;; 332211DDxDDxDDxDDxiidimana Di = det(Ai) determinanmatrik berordo (nxn) yangdiperoleh dari A dengan caramengganti kolom ke-i dengankoefisien matrik BnnnnninnniabaababaaabaaabaaA.......................................)det(21333231222221111211Andaikan determinan matrik Atidak sama dengan nol, makasistem persamaan linier nonhomogen solusinya tunggal, yaitu
    • CONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode Crammer :Jawab :Bentuk matrik SPL, AX=B adalah :Karena,123641225316342321321321xxxxxxxxx121216xxx3642533423214364253342)det(  AD248x7428x9436xJadi,8126412531642)det(28312421233162)det(36361225123416)det(332211332211DDDDDDADADAD
    • CONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode Crammer :Jawab :Mengingat,20161012xxxx266456533442453243215.8-x68-266245651234410453168266456533442453211 DD-7x56-246641265410442165325.12x10022464512543104241632-0.5x4-26244561233410245162443322DDD
    • METODE INVERSAndaikan, AX=B adalah sistem persamaanlinier dengan n persamaan linier dan nvariabel yang tidak diketahui,n21n21nnn2n1ij2n22211n1211b...bbx...xxa...aa...a......a...aaa...aaAndaikan, A–1 maka SPL, makasistem persamaan linier nonhomogen solusinya tunggal, yaitu :X = A–1BCONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode inveres :Jawab :Karena,Maka solusi SPL adalah :121216xxx3642533423210.51.0-0.501.25-1.50.251.751.5-0.75-A 1-279-1212160.51.0-0.501.25-1.50.251.751.5-0.75-xxxBAX3211-
    • CONTOH :Carilah solusi SPL berikut :CONTOH :Carilah solusi SPL berikut :24121016xxxx266456533442453243217-12.50.58.5-241210160.251.00.5-0.5-0.125-1.5-0.751.250.125-0.5-1.250.25-0.3752.52.75-1.25-xxxxBAX43211-57964xxxxx7833389875567645454332432543217-31225-235796412-21-1-1-11-22-3-43-57-58-65-82-65-3-2xxxxx54321
    • SPL : METODE DEKOMPOSISIAndaikan, AX=B adalah sistem persamaanlinier dengan n persamaan linier dan nvariabel yang tidak diketahui,n21n21nnn2n1ij2n22211n1211b...bbx...xxa...aa...a......a...aaa...aaAndaikan, A dapat didekomposisimenjadi matrik segitiga atas L dansegituga bawah U,akibatnya SPL AX=Bdapat ditulis menjadi :LUX = Batau,L Y= BUX = YLangkah-langkah menentukan solusiSPL non homogen, dengan metodedekomposisi matrik adalah :(1). Tentukan dekomposisi matrik A,menjadi A=LU, dengan metodeCrout, Doolite, Cholesky).(2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan:LY=B,dengan eliminasi maju(y1, y2, y3, …,yn)(3). Tentukanlah nilai X yangmerupakan solusi SPL nonhomogen, dari persamaanUX=Ydengan eliminasi mundur(xn, xn-1, …,x2,x1).
    • CONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode Dekomposisi :Jawab :Mengingat, dekomposisi A denganmetode Crout adalah :121216xxx3642533423211005.2105.12122-401-3002LUAMenghitung Y dari LY = BDari SPL diperoleh :2y1 = 16  y1=83y1 – y2 = 12  y2=124y1 – 2y2 + 2y2 = 12  y3 = 2121216yyy22-401-3002321Menghitung X dari UX = YDari SPL diperoleh :x3 = 2  x3=2x2 + 2.5x3 = 12 x2=7x1 + 2x2 + 1.53 = 2 x1=–92128xxx1005.2105.121321
    • CONTOH :Carilah solusi SPL berikut denganmetode Dekomposisi :Menghitung Y, LY=BDari SPL diperoleh2y1 = 16 y1=82y1 + y2=10  y2=–63y1+0.5y2 – y3 = 12 y3=94y1 +0y2 – 4y3 – 4y4=24  y4= –724121016xxxx2664565334424532432110000.51001-1-1022.51.514-4-0401-0.5300120002AJawab :Mengingat, dekomposisi AMenghitung X, dari UX=YDari SPL diperoleh :x4 = –7x3 + 0.5 x4 =9  x3=12.5x2 – x3 – x4 = –6  x2 = –0.5x1+1.5x2 + 2.5x3 +2x4= 8  x1= –8.524121016yyyy4-4-0401-5.030012000243217-96-8xxxx10005.01001-1-1025.25.114321
    • SISTEM TRIDIAGONAL, ALGORITMA THOMASSPL, dengan bentuk sistem tridiagonal berbentuk,n1n321n1n321nn1n1n3322211cc...cccxx...xxxfe...000gf...000..................00...fe000...gfe00...0gfSPL diatas didekomposisi menjadi, A=LU yang berbentuk,n1n321n1n321n1n1n32211n32cc...cccxx...xxxf0...000gf...000..................00...f0000...gf000...0gf1e...00001...000..................00...1e000...01e00...001
    • n1n321n1n321n1n1n32211yy...yyyxx...xxxf0...000gf...000..................00...f0000...gf000...0gfLANGKAH-LANGKAH SOLUSI(1). Hitung Y dari LY=C, yaitu :(2). Hitung X dari UX=Y, dari :n1n321n1n321n32cc...cccyy...yyy1e...00001...000..................00...1e000...01e00...001ALGORITMA THOMAS :(1). DekompoisisiDO k=2, nek=ek/fk–1fk= fk – ek.gk–1END DO(2). Forward SubstitusiDO k=2,nck=ck – ek.ck–1END DO(3). Back Substitusixn=cn/fnDO k=n–1,1, –1xk=(ck– uk,xk+1)/fkEND DO
    • CONTOH : Perhatikanlah rangkaian listrik seperti gambarPada kondisi, R1=10,R2=25, R3=50, R4=40,R5=25, E1=12 V, E2=24Vdan, E3=60V, hitunglah aruslistrik dalam tahanan.521543215443221E0E0EiiiiiRR000111000RRR000111000RR60024012iiiii2540000111000405025000111000251054321Bentuk SPL-nya adalah sebagai berikut :R1 R2R3V1 V3V2R5R4R2R3E1 E2 E3– +
    • Forwart Subsitusi60024012yyyyy1529.2300001018.000001143.7000011.000001CLY54321647.53270.0429.152.112yyyyy54321Back Subsitusi647.53270.0429.152.112iiiii529.48000017.1000040143.57000015.30000251054321106.1809.0297.0258.0555.0iiiii54321
    • 10)(5105510)(1013112311231123443213211254321babababaxxxxxaaabbaaabbaaabbbbbaabbbaaSOAL-SOAL LATIHANCarilah solusi SPL berikut ini, dengan metode invers, metode crammer dandekompoisisiSoal 1Soal 224)5()1()2()1(16)2()1(2)(a)4(32)2()1()2()2(8)1()1()2(4321432143214321xbxbaxxabxbxbxxaxbxbxaaxaxbxbaxxa
    • SOAL-SOAL LATIHAN1.Perhatikan statika struktur berikutDiketahui, P1=1a0 N, P2=2b0N,a). Susunlah sistem persamaan linierdengan variabel yang tidakdiketahui P, F1,F2,F3,R1 dan R2b).Selesaikanlah SPL pada (a) denganmetode eliminasi Gouss Joudandan dekomposisi3aO6bO45O45O45OPP1 P2F1 F2F3R1 R2R6R5R2R4R3R12. Perhatikan rangkaian berikut ini :V5V6a). Dari rangkaian diatas, susunlahsistem persamaan linier denganvariabel bebas i1, i2, i3, i4, i5dan i6.b). Pada kondisi R1=1a, R2=10,R3=2b , R4=20 , R5=3a R6=40, V5=2a0 volt, dan V6=0volt, hitunglah arus dalammasing-masing tahanan.
    • R1R2R3R3R6R4 R53. Perhatikan rangkaian berikut iniR5R6R7V6V7a). Dari rangkaian diatas, susunlahsistem persamaan linier denganvariabel bebas i1, i2, i3, i4, i5, i6dan i7.b). Pada kondisi R1=4a, R2=10,R3=2b , R4=30, R5=3a R6=40, R6=20, V6=10 volt, danV6=2b0 volt, hitunglah arusdalam masing-masing tahanan.4. Untuk membuat satu bangunan,seorang tukang batu membutuhkanbahan pasir, kerikil halus, dan kerikilkasar masing-masing sebanyak 4800,5810, dan 5690 meter kubik.Terdapat empat sumber yang dapatdigunakan, dan komposisinya sebagaiberikutPasir Kerikil hls Kerikil ksr% % %-------------------------------------------Sb1 52 30 18Sb2 20 50 30Sb3 25 20 55------------------------------------------Berapa meter kubik harus diangkutdari tiap sumber agar kebutuhanterpenuhi.