Mf113 kalkulus

POLITEKNIK TELKOM
BANDUNG
2009

Penyusun
Teten Kustendi, Hanung N P, Heru Nugroho, Gelar Budiman
Editor
Agus Pratondo
Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik
sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara
apapun tanpa izin tertulis dari Politeknik Telkom.

Hak cipta dilindungi undang-undang @ Politeknik Telkom 2009
No part of this document may be copied, reproduced, printed,
distributed, modified, removed and amended in any form by any means
without prior written authorization of Telkom Polytechnic.

Politeknik Telkom Kalkulus
Kalkulus iii
PAGE 10
Kata Pengantar
Assalamu’alaikum Wr. Wb
Segala puji bagi Allah SWT karena dengan karunia-Nya
courseware ini dapat diselesaikan.
Atas nama Politeknik Telkom, kami sangat menghargai dan ingin
menyampaikan terima kasih kepada penulis, penerjemah dan
penyunting yang telah memberikan tenaga, pikiran, dan waktu
sehingga courseware ini dapat tersusun.
Tak ada gading yang tak retak, di dunia ini tidak ada yang
sempurna, oleh karena itu kami harapkan para pengguna buku
ini dapat memberikan masukan perbaikan demi pengembangan
selanjutnya.
Semoga courseware ini dapat memberikan manfaat dan
membantu seluruh Sivitas Akademika Politeknik Telkom dalam
memahami dan mengikuti materi perkuliahan di Politeknik
Telkom.
Amin.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Bandung, Agustus 2009

iv Kalkulus
PAGE 10
Christanto Triwibisono
Wakil Direktur I
Bidang Akademik & Pengembangan

Kalkulus v
PAGE 10
Daftar Isi
Kata Pengantar .......................................................................... iii
Daftar Isi ..................................................................................... v
1 Pendahuluan...................................................................... 1
1.1 Sistem Bilangan Riil .................................................................................. 3
1.1.1 Bilangan Asli ............................................................................................... 3
1.1.2 Bilangan Bulat ............................................................................................ 3
1.1.3 Bilangan pecahan...................................................................................... 4
1.1.4 Bilangan Rasional ...................................................................................... 4
1.1.5 Bilangan Irrasional .................................................................................... 5
1.1.6 Bilangan Riil ................................................................................................ 6
1.2 Garis Bilangan Riil ..................................................................................... 7
1.3 Operasi Pada Bilangan Riil ..................................................................... 7
1.3.1 Sifat – Sifat Medan.................................................................................... 7
1.3.2 Sifat – Sifat Urutan .................................................................................... 8
1.4 Rumus – Rumus Dasar Aljabar.............................................................. 8
1.5 Rumus – Rumus Perkalian Istimewa dan Pemfaktoran................. 9
1.6 Interval (Selang) ......................................................................................... 9
2 Persamaan dan Pertidaksamaan ...................................... 16
2.1 Menyelesaikan Persamaan Linier dan Kuadrat.............................. 17
2.2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat ................... 23
2.3 Teorema-teorema Nilai Mutlak .......................................................... 45
(6.) Menuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak dengan rumus : .......... 48
2.4 Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai Mutlak ........................ 52
3 SISTEM KORDINAT KARTESIUS........................................ 60
Definisi Koordinat Kartesius............................................................................. 61
4 Vektor di Bidang dan di Ruang ........................................ 91
4.1. Pengertian skalar dan vektor ................................................................. 93
4.2. Operasi pada Vektor .............................................................................. 94
5 Matriks ...........................................................................116
SIFAT- SIFAT MATRIKS TRANSPOSE ........................................121
6 FUNGSI ...........................................................................157

6.1 Definisi Fungsi ........................................................................................158
6.2 Menyatkan Fungsi .................................................................................159
6.3 Nilai Fungsi..............................................................................................159
6.4 Daerah Asal, dan Daerah Hasil .........................................................160
6.5 Jenis-Jenis Fungsi ..................................................................................163
6.5.1 Fungsi Konstan ......................................................................................163
6.5.2 Fungsi Identitas .....................................................................................163
6.5.3 Fungsi Polinom ......................................................................................164
6.5.4 Fungsi linear............................................................................................165
6.5.5 Fungsi Kuadrat .......................................................................................166
6.5.6 Fungsi Nilai Mutlak (Modulus) ..........................................................166
6.5.7 Fungsi Tangga........................................................................................167
6.5.8 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil .......................................................169
6.6 Operasi Aljabar Pada Fungsi .............................................................171
6.7 Komposisi Fungsi ..................................................................................173
6.8 Invers Fungsi ...........................................................................................174
6.9 Menyelesaikan Soal dengan Matcad ..............................................177
7 Limit dan Kekontinuan ...................................................183
7.1 Definisi Limit Fungsi .............................................................................185
7.2 Limit Sepihak ..........................................................................................186
7.3 Teorema-Teorema dalam Limit ........................................................186
7.4 Pemecahan Soal Limit .........................................................................187
7.5 Limit Takhingga .....................................................................................192
7.6 Limit di Tak Hingga ..............................................................................195
7.7 Limit Fungsi Trigonometri ..................................................................198
7.8 Kekontinuan Fungsi ..............................................................................199
7.9 Menyelesaikan Soal Limit dengan MathCad ................................205
8 TURUNAN FUNGSI..........................................................211
8.1 Definisi Turunan di Satu Titik ............................................................213
8.2 Turunan Sepihak....................................................................................215
8.3 Keterdiferensialan dan Kekontinuan...............................................216
8.4 Turunan Fungsi Pada Suatu Interval ...............................................217
8.5 Rumus-Rumus Dasar Turunan ..........................................................218
8.6 Aturan Untuk Menentukan Turunan...............................................221
vi Kalkulus
PAGE 10

8.7 Turunan Tingkat Tinggi .......................................................................226
8.8 Menyelesaikan Soal Turunan dengan MathCad .........................228
9. Penggunaan Turunan .....................................................234
10. Integral Tak Tentu ..........................................................254
10.2 PENULISAN SIMBOL UNTUK ANTI TURUNAN ..................255
10.3 METODE INTEGRASI ..............................................................................257
11. Integral Tentu .................................................................271
12. Penggunaan Integral ......................................................289
Daftar Pustaka ........................................................................... vi
Kalkulus vii
PAGE 10

1 Pendahuluan
Overview
Pada bab ini akan dijelaskan tentang sistem bilangan real yang mana
merupakan bahan utama untuk materi kalkulus. Bab ini diawali
dengan menjelaskan jenis-jenis dari bilangan real yang dilengkapi
dengan struktur pohon bilangan real. Berikutnya akan dijelaskan
tentang garis bilangan, menggambar interval (selang), operasi
himpunan pada interval, dan akan diberikan rumus-rumus dasar
operasi aljabar untuk bilangan real.
Tujuan
1. Memahami sistem bilangan real dan jenis-jenis serta ciri-cirinya.
2. Memahami struktur sistem bilangan real secara diagram.
3. Memahami definisi interval (selang) dan mampu menggambar
berbagai jenis interval.
4. Mahir melakukan operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi
minus pada interval (selang).
Pendahuluan 1

2 Pendahuluan
PAGE 10
5. Mahir dalam menggunakan rumus-rumus dasar aljabar.

1.1 Sistem Bilangan Riil
Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep
tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur yang
berbeda. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S.
Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong,
ditulis dengan notasi  atau { }.
Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan aS
dan dibaca “a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka
dituliskan aS dan dibaca “a bukan elemen S”.
Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2
cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai
Contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9
dapat dinyatakan sebagai: A {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang
dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh
unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila
himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:
A {x xbilanganbulat positif kurangdari 10}
1.1.1 Bilangan Asli
Bilangan asli adalah salah satu sistem bilangan yang paling sederhana,
anggota-anggotanya adalah: 1, 2, 3, 4, …… Himpunan bilangan asli
diberi nama N, jadi N = {1, 2, 3, 4, …………}.
1.1.2 Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol.
Bilangan bulat diberi lambang Z, jadi Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,
3, 4,…}
Dengan kata lain, bilangan bulat terdiri atas : bilangan bulat negatif,
bilangan nol, dan bilangan bulat positif (Bilangan Asli)
Pendahuluan 3

4 Pendahuluan
PAGE 10
1.1.3 Bilangan pecahan
Bilangan pecahan adalah bilangan-bilangan yang berbentuk
m
n
di
mana m dan n adalah bilangan bulat, dan m tidak habis dibagi n.
Bilangan pecahan diberi lambang C.
 ........, 8 , 2 , 1 , 1 , 3 , 5 18 C = , ,.......

3 5 9 6 7 2 5 1.1.4 Bilangan Rasional
Bilangan rasional terdiri atas bilangan-bilangan bulat dan bilangan-bilangan
pecahan. Definisi persis dari bilangan rasional adalah
sebagai berikut.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
bentuk
a
b
, di mana a dan b adalah bilangan bulat dan 0 b  .
Contoh-1
 Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai
12
2
atau
30
5
, dan
sebagainya.
 Bilangan negatif -2 dapat dinyatakan sebagai
30
15 
atau
8
4

, dan
sebagainya.
 Bilangan 0 dapat dinyatakan sebagai
0
2
atau
0
5
, dan sebagainya.
Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanya desimal berulang. Sebagi
Contoh
3
7
merupakan bilangan rasional!
Karena 3/7 = 0,428571428571428571 ….
memiliki desimal berulang dengan pengulangan “428571”. Dengan
demikian dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan dengan desimal
berulang adalah bilangan rasional.

Contoh-2
Buktikan bahwa 0,753753753753…. Adalah rasional
Bukti
Misal x = 0,753753753753….
1000 x = 753,753753753…
1000 x – x = 753
999 x = 753
753
999
x  (terbukti)
Contoh-3
Buktikan bahwa 3,7561561561561….. adalah rasional
Bukti
Misal x = 3,7561561561561561…..
10000 x = 37561,561561561561…..
10 x = 37,561561561561…..
9990 x = 37424
jadi
37424
9990
x  (terbukti)
Bilangan Rasional kita nyatakan dengan Q .
1.1.5 Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional, persisnya
adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk
a
b
di
mana a dan b adalah bilangan bulat dan b 0 .
Contoh-4
Pendahuluan 5

 = 3,141592653358…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak
berulang)
e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidak beraturan/ tidak
berulang)
2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak
berulang
Semua bilangan bentuk akar adalah irrasional. Bilangan Iraasional
kita nyatakan dengan I
1.1.6 Bilangan Riil
Bilangan riil adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan
irrasional. Himpunan bilangan riil kita nyatakan dengan R
6 Pendahuluan
PAGE 10
Kompleks
Riil Imajiner
Irrasional Rasional
Bulat Pecahan
Bulat Negatif Nol Bulat Positif
1 Komposit Prima
Gambar: Struktur Pohon Bilangan Riil

1.2 Garis Bilangan Riil
Suatu garis bilangan adalah suatu penyajian bilangan-bilangan
riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus. Untuk setiap
bilangan riil terdapat satu dan hanya satu titik, dan sebaliknya. Dengan
kata lain titik dan bilangan riil berkorespondensi satu-satu.
Cara menggambar garis bilangan (gambar – 2)
(1) Pilih sembarang titik pada suatu garis lurus sebagai titik asal beri
label 0 (nol).
(2) Pilih arah positif (umumnya ke kanan), dan ditunjukkan dengan
sebuah ujung panah, kemudian
(3) Dengan sembarang satuan ukuran yang cocok, tempatkan titik +1
pada jarak satu satuan dari 0 ke arah kanan.
2 1,4142
 1
100
e  2,7182
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4 5 6
 2  1,4142   3,14159
Gambar – 2 : Garis Bilangan
1.3 Operasi Pada Bilangan Riil
Dengan dua bilangan riil x dan y, kita dapat menambahkan atau
mengalikan keduanya untuk mendapatkan bilangan riil baru x  y dan
 xy. Sifat-Sifat penambahan dan pengalian pada bilangan riil dibagi
menjadi dua, yaitu sifat-sifat medan dan sifat – sifat urutan.
1.3.1 Sifat – Sifat Medan
a. Hukum komutatif x y  y x dan x y  y x
b. Hukum asosiatif x (y z)  (x  y)  z dan x (y z)  (x y)  z
c. Hukum distributive x (y z)  x y x z
d. Elemen-elemen identitas : Terdapat dua bilangan riil 0 dan 1
yang memenuhi x 0  0dan x 1 x
Pendahuluan 7

e. Balikan (invers) : setiap bilangan riil x mempunyai balikan
penjumlahan (balikan aditif) atau disebut juga sebuah negatif yaitu
– x yang memenuhi    ( ) 0xx
Juga setiap bilangan riil x kecuali 0 (nol), mempunyai balikan
perkalian
(atau kebalikan) x-1 yang memenuhi x x1 1
    
a c a c

  
a c ad bc ad bc

     
a c ad bc ad bc

     
8 Pendahuluan
PAGE 10
1.3.2 Sifat – Sifat Urutan
a. Trikotomi : Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka salah
satu harus berlaku x < y atau x = y atau x > y
b. Ketrasitifan : Jika x < y dan y < z maka x < z
c. Penambahan : x < y  x + z < y + z
d. Perkalian : Jika z > 0 dan x > y  xz > yz
Jika z < 0 dan x > y  xz < yz
1.4 Rumus – Rumus Dasar Aljabar
Untuk setiap bilangan real a, b, c, dan d berlaku :
1. a ba c b c& ac bc
2. a c b ca b
3. ac  bc dan c 0 a b
4. (a)  a
5. a(b c)  ab ac
6. a0  0a 0
7. a(b)  ab ; (b) b
8. (a)(b)  ab
9. a c
ad bc ; b 0, d
0
b d
10. ; b
0
b b b
11. ; 0, 0
b d
b d bd bd bd
12. ; b 0, d
0
b d bd bd bd

a c ac
13. ; 0, 0
b d
   
b d bd
a c a d ad
14. ; 0, 0
b c
     
b d b c bc
15. ab 0a 0 atau b 0
1.5 Rumus – Rumus Perkalian Istimewa dan Pemfaktoran
Berikut beberapa rumus perkalian istimewa dan pemfaktoran yang
dapat membantu untuk mengerjakan soal-soal.
1. 2 2 2 (x  y)  x  2xy  y
2. 2 2 2 (x  y)  x  2xy  y
3. 3 3 2 2 3 (x  y)  x  3x y  3xy  y
4. 3 3 2 2 3 (x  y)  x 3x y  3xy  y
5. 2 2 x  y (x  y)(x  y)
6. 2 2 2 x  y (x  y)  2xy
7. 3 3 2 2 x  y (x  y)(x  xy  y )
1.6 Interval (Selang)
Interval atau selang adalah suatu himpunan bagian tidak kosong dari
himpunan bilangan riil R yang memenuhi suatu ketidaksamaan
tertentu
Jika digambarkan pada garis bilangan (garis riil), maka interval akan
berupa suatu segmen garis (ruas garis) yang batas – batasnya jelas.
Ada dua jenis selang, yaitu selang berhingga dan selang tak berhingga.
Pendahuluan 9

Selang Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
10 Pendahuluan
PAGE 10
No
Notasi
Himpunan
Notasi
Selang
Grafik
1   | xaxb
  ,ab a b
2 x | a  x  b
  , ab a b
3 x | a  x  b
  , ab a b
4
x | a  x  b
  , ab a b
Selang Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas
No
Notasi
Himpunan
Notasi
Selang
Grafik
1 x | x  a
  , a
a
2 x | x  a
[ , )  a
a
3 x | x  b
,b
b
4 x | x  b
,b
b
Contoh-5 : Menggambar Selang
1. 2 x  4
2. -1,5 x  4,7

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
3. 2 x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
4. 3,5 x 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
5. x  2 atau 3 x  6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
6. 5  x  2 atau 4  x  7
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
7. 5  x  2 atau 0  x  2 atau x  4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
I.7 Operasi Himpunan Pada Himpunan Bilangan Real
Operasi  (Union), operasi  (irisan), dan operasi minus (-) adalah
operasi-operasi pada himpunan yang sering digunakan pada saat kita
menyelesaikan suatu pertidaksamaan.
Operasi-operasi tersebut didefinisikan sebagai berikut
A  B = { x | xA atau xB }
A  B = { x | xA dan xB }
A - B = { x | xA dan xB }
Pendahuluan 11

12 Pendahuluan
PAGE 10

Contoh-6 : Penggunaan Operasi himpunan
Diketahui A = {x | x < -4 atau 1  x < 5 }
B = {x | -2  x < 2 atau x  3 }
C = {x | x < -3 atau -2  x < 4 }
a. Gambarkan interval-interval tersebut
b. Tentukanlah operasi-Operasi berikut
A  B, A  B, A – B , B – A, (A - B)  (B - A)
Jawab
A
B
C
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A  B = { x | x < -4 atau x  -2 }
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A  B = { x | 1 x < 2 atau 3 < x < 4 }
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A - B = { x | x < -4 atau 2  x  3 }
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
B - A = { x | -2  x < 1 atau x  4 }
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Pendahuluan 13

(A - B)  (B - A) = { x | x < -4 V -2  x < 1 V 2  x  3 V x  4 }
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Rangkuman
1. Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda
14 Pendahuluan
PAGE 10
2. Himpunan Bilangan Asli N={1, 2, 3, 4, ....}
3. Himpunan Bilangan Bulat Z={......, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .......}
4. Himpunan Bilangan Bulat Positif (Asli) A = {1, 2, 3, 4, .......}
5. Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
bentuk a/b di mana a dan b bilangan bulat dan b  0
6. Ciri lain dari bilangan rasional adalah bentuk desimal berulang
misal 2,31456456456456456 ......
7. Bilangan irrasional adalah bilangan riil selain bilangan rasional,
misal e = 2,7182818285……,  = 3,1415926536,
2 = 1,414113562373………
8. Tiga operasi Himpunan yang sering digunakan pada saat
menyelesaikan pertidaksamaan adalah:
A  B = { x | xA atau xB }

A  B = { x | xA dan xB }
A - B = { x | xA dan xB }
Pendahuluan 15

2 Persamaan dan Pertidaksamaan
Overview
Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu hal yang sangat
fundamental dalam matematika. Sangatlah kecil kemungkinannya
pertidaksamaan dapat diselesaikan jika tidak bisa menyelesaikan
persamaan. Sehingga mutlak menyelesaikan persamaan merupakan
syarat sebelum dapat menyelesaikan pertidaksamaan.
Tujuan
1. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan linier dengan satu
variabel
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan linier dengan dua
variabel
3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan
satu variabel
4. Mahasiswa mampu menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan
satu variabel
5. Mahasiswa mampu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
dengan satu variabel
6. Mahasiswa memahami penggunaan nilai mutlak
7. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan dan

pertidaksamaan dengan nilai mutlak
8. Mahasiswa mampu menggunakan Mathcad untuk melakukan
perhitungan penyelesaian soal pada bab ini.
2.1 Menyelesaikan Persamaan Linier dan Kuadrat
Menyelesaikan persamaan linier pada dasarnya hanyalah
memindahkan variabel yang dicari nilainya ke ruas kiri sendirian,
sehingga di ruas kanan hanya ada bilangan-bilangan konstanta yang
tinggal dilakukan operasi matematika untuk mencari hasil akhirnya,
dengan demikian dapat diketahui nilai dari variabel tersebut.
Contoh 1 :
Selesaikan persamaan berikut : x3 3x 4
Penyelesaian :
Pindahkan semua variabel x ke ruas kiri
dan pindahkan semua angka ke ruas
kanan
x x
3 3 4
2 7
  
 
7
2
x
x


Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat diperlukan sedikit
kejelian dalam mencari akar-akarnya. Ada beberapa cara penyelesaian
persamaan kuadrat, mulai dengan pemfaktoran dan rumus. Yang
memerlukan kejelian adalah pemfaktoran, sementara rumus hanya
perlu dihapalkan.
Contoh 2 :
Selesaikan persamaan berikut : 2 x 3x 10  0
Persamaan dan Pertidaksamaan 17

Penyelesaian :
Cara pemfaktoran
Jika diketahui persamaan 2 0 ax bx c    , cari bilangan p
dan q sedemikian sehingga pqac dan p q b   , setelah p
dan q ditemukan maka persamaan akan menjadi
2 ax  px  qx  c  0sehingga tinggal difaktorkan.
x2 3x 10  0,
Maka pq  10 dan p q  3
Kemungkinan nilai p dan q :
p q pq p+q
-1 10 -10 9
-2 5 -10 3
-5 2 -10 -3
-10 1 -10 -9
Maka nilai p=-5 dan q=2 karena memenuhi kriteria diatas, selanjutnya :
2
x px qx
10 0
x 2
x x
x x x
x x
x x
x x
   
 5  2  10 
0
   
  
   
  
( 5) 2( 5) 0
( 2)( 5) 0
2 0, maka 2
5 0, maka 5
1 1
2 2
Dengan demikian Himpunan penyelesaian :
HP :   1 2 x | x  2,x  5
Tabel diatas tidaklah perlu dibuat jika perhitungannya dilakukan
langsung oleh kepala kita, disitulah gunanya kejelian untuk
memfaktorkan persamaan kuadrat.
Cara rumus
Jika diketahui persamaan 2 ax  bx  c  0, maka 12 x dapat
dicari dengan rumus abc berikut :
 
  2

b D
x D b ac
12 , dimana : 4
2
a

x2 3x 10  0,
Maka a 1,b  3,c  10,
2
x
12
b b ac
  
a
2
x
12

( 3) ( 3) 4.1.( 10)
     
x
12
4
2
2.1
3 7
2



Sehingga :
x
1
x
2
3 7
2

  
2
3 7
5

 
2
Dengan demikian HP :   1 2 x | x  2,x  5
Hasil akhirnya sama dengan cara sebelumnya.
Dalam rumus abc diatas tampak D, yang merupakan nilai Diskriminan
dari persamaan kuadrat tersebut. Ada 3 kemungkinan nilai D :
D>0 D=0 D<0
Ada 2 nilai x yang
real
Hanya ada satu nilai x
yang real
Tidak ada nilai x
yang real
Menyelesaikan persamaan dengan Mathcad
1. Bukalah Mathcad

2. Dalam Mathcad, dalam menu klik view  toolbars  Math, maka
akan tampil toolbar berikut :
3. Pada toolbar Math klik icon Boolean toolbar dan icon Symbolic
keyword Toolbar

4. Mulailah mengetikkan persamaan, tanda = diambil dari toolbar
Boolean
5. Dari toolbar symbolic klik solve, kemudian ketikkan variabel yang
dicari, x, dan tekan enter. Maka akan terlihat hasilnya berikut :

2
5
  
 
 
yang ditunjukkan adalah hasilnya dimana : 1 x  2 dan
2 5 x  .
2.2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat
Menyelesaikan suatu pertaksamaan adalah mencari semua
himpunan bilangan riil yang membuat pertaksamaan berlaku. Pada
kenyataannya, di dalam menyelesaikan suatu pertaksamaan sering
dihadapkan pada operasi himpunan khususnya gabungan (∪) dan
irisan (∩). Untuk itu kita bahas kembali mengenai operasi pada
himpunan dengan beberapa Contoh yang mewakili.
Operasi Pada Himpunan
JIka A dan B adalah himpunan-himpunan maka :
1. A U B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
2. A B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
3. A – B = { x | x ∈ A dan x B }
4. A + B = (A U B) – (A ⋂ B)

Contoh 1 :
Jika A = { x | -4 ≤ x <6 } dan B = { x| x < -2 atau x ≥ 4}
Tentukan : a). A B b). A B c). A – B d). B–A
e). A+B
Penyelesaian :
Himpunan A dan B dapat digambarkan pada garis bilangan berikut :
B
A
-4 -2 4 6
a) A U B = {x | x ∈ R } = (-∞,∞) = R
b) A B = {x | -4 ≤ x < -2 atau 4 ≤ x < 6 } = [-4,-2) [4,6)
c) A–B = {x | -2 ≤ x < 4} = [-2,4)
d) B–A={x | x < -4 atau x ≥ 6 } = (-∞,-4) U [6,∞)
e) A+B={x | x < -4 atau x ≥ 6 atau -2 ≤ x < 4}
= (-∞,-4) U [6,∞) U[-2,4)
Contoh 2 :
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan 2x – 7 <
5 – 4x !
Penyelesaian :
2x – 7 < 5 – 4x
2x + 4x < 5 + 7
6x < 12
x < 2
Jadi himpunan penyelesaiannya : HP : {xl x <2} = (-∞,2)

2

Contoh 3 :
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x + 4 ≤
3x – 8 < 2x + 5 !
Penyelesaian :
x + 4 ≤ 3x – 8 < 2x + 5
x+4 ≤ 3x-8 dan 3x-8 < 2x+5
-2x≤-12 dan x < 13

12
2
x


dan x < 13
x ≥ 6 dan x < 13
HP = {x |x ≥6 dan x < 13} = {x| 6≤x<13} = [6, ∞) (-∞,13)= [6,13)
6 13
Contoh 4 :
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 7x
+ 10 <0 !
Penyelesaian :
1. Tentukan pembuat nol ruas kiri, didapat x=2 atau x=5
x2 – 7x + 10 <0  (x - 2) (x - 5) < 0 …………(*)
2. Gambarkan pada garis bilangan, sehingga terbentuk beberapa
selang (yaitu x < 2,2 < x <5, dan x>5)
3. Tentukan tanda pada masing-masing interval (selang) dengan
cara memberikan nilai dari masing-masing interval (cukup satu
wakil), misal kita ambil : x=0; x=3; dan x = 6.
x = 0  (x - 2)(x - 5) = (-2)(-5) = 10 > 0 (positif)
Maka pada selang x <2 beri tanda (+)
x = 3  (x - 2)(x - 5)= (1) (-2) = -2 < 0 (negatif)
Maka pada selang 2<x <5 beri tanda (-)
x = 0  (x - 2) (x - 5) = (4) (1) = 4 >0 (positif)

Maka pada selang x>5 beri tanda (+) sehingga diperoleh gambar :
++++ - --- - ++++
2 5
Sekarang perhatikan gambar pertidaksamaan (*) yaitu < 0, atau negatif
(-).
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah interval yang bertanda (-) yaitu
:
HP = {xl 2 < x < 5} = (2,5)
Contoh 5 :
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 9
≥ 0 !
Penyelesaian :
x2 – 9 ≥ 0  (x + 3) (x - 3) ≥ 0
Pembuat nol persamaan : x = -3 dan x = 3
Uji untuk x<-3, misal x=-4, maka (x+3)(x-3)>0 (+)
Uji untuk -3<x<3, misal x=0, maka (x+3)(x-3)<0 (-)
Uji untuk x>3, misal x=4, maka (x+3)(x-3)>0 (+)
Sehingga garis bilangannya menjadi seperti di bawah :
++++ - --- - ++++
-3 3
Karena bagian yang dicari adalah bagian yang lebih besar sama
dengan 0, maka bagian penyelesaiannya adalah daserah positif,
sehingga : HP={x|x≤3 atau x≥-3}
Contoh 6 :

Penyelesaian :
Pertidaksamaan diatas dapat dipecah menjadi dua pertidaksamaan
berikut :
Contoh 7 :
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :
6 ≤ x² + x dan x² + x < 20
0 ≤ x² -x -6 dan x² + x -20 < 0
x² + x -6 ≥ 0 dan x² + x -20 < 0
(x + 3)(x -2) ≥ 0 dan (x+5)(x-4) < 0
HP2
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan :
2x-1 ≤ x-1 < 3x+2
2x–1 ≤ x – 1 dan x-1 < 3x+2
2x-x-1+1 ≤ 0 dan x-3x-1-2 <0
x≤0 dan -2x-3-1-2 < 0
x≤0 dan -2x-3 < 0
x≤0 dan 2x+3 > 0
x≤0 dan 2x > -3
x ≤ 0 dan x > -3/2
maka HP : { x|x≤0 dan x > -3/2 } atau
HP : { x|-3/2 < x ≤ 0 }
6 ≤ x² + x < 20
++++ - --- - ++ ++
-5 4
HP1
Penyelesaian :
++++ - --- - ++ ++
-3 2
HP1=(-∞,-3]U[2,∞) dan HP2=(-5,4)
HPtot = HP1 ∩ HP2 = (-∞,-3]U[2,∞)∩(-5,4)

HPtot
-5 -3 2 4
Maka berdasarkan garis bilangan tersebut : HPtot=(-5,-3] U [2,4)
Contoh 8
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :
2x² + 9x – 5 < 0
1. Faktorkan dulu 2x² + 9x – 5, cari p dan q sedemikian sehingga
p + q = 9 dan pq = -10
Maka didapat p = 10 q = -1
Sehingga 9x dapat diperoleh menjadi 10x – x = px + qx
2x² + 9x – 5 < 0
2x² + 10x –x -5 < 0
( 2x² + 10 ) – (x + 5 ) < 0
2x(x + 5 ) - ( x + 5 ) < 0
(2x - 1 ) ( x + 5 ) < 0
2. Gunakan garis bilangan untuk menentukan daerah Hp dari x.
HP
Cek x = 0
maka : Hp = { x | -5 < x < ½ }
Hp = ( -5, ½ )
++++ - --- - ++++
-5 1/2
Penyelesaian :
Contoh 9
Carilah himpunan penyelasaian dari
x
x
2 1
0

5


Penyelesaian :
Gunakan garis bilangan untuk mengecek Hp dari x dan penyebut tidak
boleh nol. Dan cek x = 0.

HP
++++ - --- - ++++
-5 1/2
0
HP
Maka : Hp : {x | -5< x < 1/2 }
Bandingkan dengan Contoh 8!
Contoh 10
Carilah himpunan penyelesaian dari
x
x
2 1

5


++++ - --- - ++++
-5 1/2
Hp : { -5, ½ }
Penyelesaian :
Cek x = 0
Karena penyebut tidak boleh nol,maka
x + 5 ≠ 0
x ≠ -5
Maka Hp : { x | -5 < x ≤ ½ }
Hp : {-5,1/2 }
Bandingkan dengan Contoh 8 dan 9 !
Contoh 11
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
x²(x-6)(x+3)(x-2)³≤ 0
Penyelesaian :
1. Buatlah garis bilangan dan tempatkanlah pembuat nol
2. Uji nilai x di setiap selangnya dan berilah tanda
3. Himpunan penyelesaiannya berada pada tanda sesuai
pertidaksamaan

1.
x x x x
3 0 2 6
2. Uji nilai x di selang x < -3,misal x = -4,maka
x²(x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(-)(-) = (-)
Uji nilai x di selang -3 < x < 0,misal x = -1,maka
x² (x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(+)(-) = (+)
Uji nilai x di selang 0 < x < 2,misal x = 1,maka
x²(x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(+)(-) = (+)
Uji nilai x di selang 2 < x < 6,misal x=3,maka
x²(x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(+)(+)=(-)
Uji nilai x di selang x>6,misal x=7,maka
x²(x-6)(x+3)(x-2)² = (+)(+)(+)(+) = (+)
maka garis bilangannya akan menjadi sebagai beriku
- - - - + + + + - - - - - + + + +
x x x x
-3 0 2 6
3. Hp : { x | x ≤ -3 atau 2 ≤ x ≤ 6 }
Hp : {-∞ -3] atau [2, 6]
Contoh 12
Carilah himpunan penyelesaian
2
x ( x
6)
x x
3
0

( 3)( 2)

 
Penyelesaian :
Sama dengan Contoh

o x o x
-3 0 2 6
penyebut
 

2 0
2
penyebut
 
 
3 0
3
x
x
x
x
Uji nilai x di selang x <-3 ;
2
x x
x x
( 6) ( )( )
  
3
( )
  
( 3)( 2) ( )( )
   
Uji nilai x di selang -3 < x <0 ;
2
x x
x x
( 6) ( )( )
  
3
( )
  
( 3)( 2) ( )( )
   
Uji nilai x diselang 0 < x < 2 ;
2
x x
x x
( 6) ( )( )
  
3
( )
  
( 6)( 3) ( )( )
   
Uji nilai x diselang 2 < x < 6;
2
x x
x x
( 6) ( )( )
  
3
( )
  
( 6)( 3) ( )( )
   
Maka garis bilangannya akan menjadi seperti berikut
+ + + + - - - - + + + +
o x o x
-3 0 2 6
Sehingga Hp = { x | x < -3 atau 2 < x ≤ 6}
Hp = (-∞, -3) atau (2, 6]
Bandingkan dengan Contoh 11 !

Contoh 13
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
-5 < x4 –x² - 5 < 1
Penyelesaian :
Seperti Contoh 7, kita pecah pertidaksamaan tersebut menjadi dua
pertidaksamaan, namun kita misalkan y = x², maka pertidaksamaan itu
menjadi : -5 < y²-y-5 < 1
-5<y²-y-5< dan y²-y-5<1
y²-y>0 dan y²-y-6<0
y(y-1)>0 dan (y-3)(y+2)<0
- - - + + dan + + + - - -
o o o o
1 -2
Y< 0 atau y > 1 dan -2 < y < 3
0 0 0 0
-2 0 1 3
Maka ; -2 < y < 0 atau 1< y < 3
Dari pertidaksamaan terakhir,kita dapat mensubstitusikan kembali y
dengan x²,maka :
-2 < x² < 0 atau 1 < x² < 3
x² + 2 > 0 dan x²<0 atau x²-1 > 0 dan x² - 3 < 0
Kondisi 1 x² + 2 > 0
x² = 2 tidak dapat difaktorkan, maka tinggal uji coba saja x dengan
semua bilangan, diperoleh bahwa x² + 2 > 0,diperoleh
Hp : {x | x ϵ ℝ }

Kondisi 2 x² < 0
Uji x² dengan bilangan real apapun,maka pertidaksamaan ini tidak
pernah akan terpenuhi sehingga Hp : {x | x = ϕ} (himpunan kosong)
akibatnya dari kondisi 1 dan kondisi 2 diperoleh
Hptot1 : {x | x ϵ ℝ dan x = ∅} = Hp1 ∩ Hp2
Hptot2 : {x | x = ∅} (himpunan kosong)
Kondisi 3 x² - 1 > 0
(x-1)(x+1)>0
- - - - + + + +
o o
-1 1
Hp3 : { x | x < -1 atau x > 1 }
Kondisi 4 x²-3<0 (x-√3)(x+√3)<0
+ + + + - - - - + + + +
O O
-v3 v3
Hp4 : {x | -√3 < x < √3}
Maka : Hptot2 = Hp3 ∩ Hp4
={x| -√3 < x < -1 atau 1 < x < √3 }
O O O O
-3 -1 1 V3
Hptot = Hptot1 ∪ Hptot2 = ∅ ∪(-√3,-1)∪(1,√3)
=(-√3,-1) ∪(1,√3)

Contoh 14
Carilah himpunanpenyelesaian dari pertidaksamaan
6/x – 5 ≤ -x
Penyelesaian :
1. Buat ruas kanan 0
2. seluruh komponen di ruas kiri sampai diperoleh hanya pembilang
dan penyebut saja
3. Penyebut tidak boleh nol dan faktorkan pembilang dan penyebut
4. Buat garis bilangan dan pembuat nol
5. Uji setiap selang dari garis bilangan tersebut
6. Hitinglah himpunan penyelesaiannya
1.
6
5 x 0
x
  
2.
2 6 5
0
x x
x
 

3.
( 2)( 3)
 
0, 0
x x
x
x
 
4.
5. Untuk x < 0 ;
o x x
0 -2 3
( 2)( 3) ( )( )
( )
   
  
( )
x x
x

Untuk 0 < x<-2 ;
x x
( 1)( 3) ( )( )
  
( )
   
( )
x

Untuk 2<x<3 ;
( 2)( 3) ( )( )
( )
   
  
( )
x x
x

Untuk x>3 ;
( 2)( 3) ( )( )
( )
x  x   
  
3 ( )

Maka garis bilangannya akan menjadi

- - - - + + + + - - - - + + + +
o x x
0 2 3
6. Hp : { x | x ≤ 0 atau 2 ≤ x ≤ 3 }
Contoh 15
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :
|x+1| < 4
Penyelesaian :
Cara 1 : Gambarkan definisi tanda mutlak :
|x| : +x, x ≥ 0
-x, x < 0
Maka :
untuk x ≥ 1 atau untuk x < 0
|x+1|< 4 atau -(x+1) < 4 |x-1
x+1< 4 atau x+1 > -4
x < 3 atau x >5
karena x ≥ 0, maka : Hp1 : {x| 0≤x<3} atau
karena x < 0,maka : Hp2 : {x|-5 < x< 0}
Hp tot : Hp1 atau Hp2 : Hp1∪ Hp2
: {x|-5 < x <3}
Cara 2 : Gunakan rumus |x² = x²
|x+1|<4 ; |x+1|²< 4²
((x+1)-4)((x+1)+4) < 0…………… ingat: a² - b² =(a-b)(a+b)
(x-3)(x+5)< 0
+ + + + - - - - + + + +
o o
-5 3
Maka : Hp : {x| -5<x<3}
Contoh 16

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
|x-2|< 3 |x+2|
Penyelesaian :
Agar tidak terlalu panjang, maka yang digunakan adalah
|x|² = x²,
maka :
|x-2|² < 3²|x+2|²
(x-2)² < 9 (x²+4x+4)
X²-4x-4 < 9x²+36x+36
0 < 8x²+ 40x+32
X²+5x+4 > 0
(x+1)(x+4) > 0
+ + + + - - - - + + + +
o o
-4 -1
Hp : {x | x < -4 atau x > -1}
Contoh 17
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
3(x-1)² + 8|x-1| ≤ 3
Penyelesaian :
Ingat prinsip |x| = x, x > 0
-x, x < 0
|x-1| = x – 1, x ≥ 1
-(x-1), x ≤ 1
Untuk x ≥ 1
3(x-1)² + 8 (x-1) ≤ 3
3(x-1)² + 8(x-1)-3 ≤ 0
anggap : x-1= u,
maka :
3u²+8u-3 ≤ 0
3u² +9u-u-3≤ 0
3u(u+3) – (u+3) ≤ 0
(3u-1)(u+3) ≤ 0
Untuk x ≤ +1
3(x-1)²-8(x-1) ≤ 3
3(x-1)²-8(x-1)-3 ≤ 0
anggap x-1 = u, maka :
3u²-8u-3 ≤ 0
3u²-9u-u-3 ≤0
3u(u-3) + (u-3) ≤ 0
(3u+1)(u-1) ≤ 0

+ + + + - - - - + + + + + + + + - - - - + + + +
x x x x
-3 1/3 -1/3 3
Dari garis bilangan diatas
-3 ≤ u ≤
1
3

Ganti kembali u dengan x-1
-3 ≤ x-1 ≤
1
3
Tambahkan semua ruas dengan
x≥1
x≤1 - 3+1 ≤ x-1+1 ≤
1
3
+1
-2 ≤ x ≤
4
3
Karena diatas sudah disyaratkan
x ≥ 1, maka
-2 ≤ x ≤
4
3
harus diiriskan dengan
x ≥ 1
Dari garis bilangan diatas
1
 ≤ u < 3
3
Ganti kembali u dengan x-1
1
 + 1 ≤ x-1+1 ≤ 3+1
3
Tambahkan semua ruas
dengan x≤1 -
-
1
3
+1 ≤ x-1+1 ≤ 3+1
2
3
≤ x ≤ 4
Karena diatas sudah di
syaratkan x≤1
maka :
2
3
≤ x ≤ 4 harus
diiriskan
Dengan x ≤ 1

x x x x x x
-2 1 4/3 2/3 1 4
Sehingga Hp1 {x|1 ≤ x ≤
4
3
}=[1,
4
3
]
Sehingga Hp2 : {x|
2
3
≤ x≤ 1} = [
2
3
,1]
Dengan demikian
Hp tot = Hp1 ∪ Hp2 = [1,
4
3
] ∪ [
2
3
,1]
Hp tot = [
2
3
,
4
3
]

Contoh 18
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 4 2 0 xx
Penyelesaian :
x4  x2  0
2 2 x (x 1)  0
2x (x 1)(x 1)  0
++++++++++++++
0 0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 +++++++++++++++++
Contoh 19
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan
2
 x  1
.
x
Penyelesaian :
2
x 1
x
 
x+1-
2
0
x

2 2
0
x x
 
x

0
++++++++++++++ +++++++++ - - - - - - - - -
0
-2 0 1
+++++++++++++++++
Contoh 20
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 2  x  x  6 .
Penyelesaian :
2 2  x  x  6
2 2  x  x dan 2 x  x  6
2 x  x  2  0 dan 2 x  x  6  0
(x 1)(x  2)  0 dan (x  2)(x 3)  0
(x  1 atau x  2) dan (2  x  3)

Himpunan jawab:
,12,2,3  2,12,3.
-2 -1 2 1
Contoh 21
x x
1
.


2 x x
3
 
Penyelesaian :
x x
1


2 x x
3
 
x x

1
 
x x
3 2
 
x x
1
x x
0

 
3 2
 
2 2 2 4 3
x x x x
   
  
0
x x

3 2
 
2 2 2 3
x x
x x
 
  
0

3 2
 
Karena faktor 2x 2  2x 3 definit positif, maka pertaksamaan ini setara
dengan
1
  
0

x 3 x 2
 
Jadi himpunan pertaksamaan adalah selang 3,2.
Contoh 22
2 3 11 1 x  x  x  ... x  0.
Penyelesaian :
Misalkan 2 3 11 A1 x  x  x  ... x ,maka 2 3 11 12 Ax  x x  x  ... x  x .
2 3 11 12 Ax  x x  x  ... x  x
2 3 11 A1 x x  x  ... x

______________________________ _
A(x 1)  x12 1
Ini mengakibatkan pertaksamaannya dapat ditulis dalam bentuk
12
x
1
2 3 11 A x x x x

1 ... 0.
       
1
x

Tanda 12 x 1:
++++++++++++++ 0 - - - - - - - - - - - - 0 +++++++++++++
Tanda 1: x 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++
1
Untuk 1 x  berlaku 12 1, x  sehingga 12 x 1 0 .
Untuk 1 x 1 berlaku 12 1, x  sehingga 12 x 1 0
Untuk 1 x  berlaku 12 1 x  , sehingga 12 x 1 0
Himpunan jawab pertaksamaan ini tercapai bila tanda
pembilang dan penyebut keduanya positif, atau keduanya positif, atau
keduanya negative, yang terjadi bila 1 x  .Jadi himpunan jawab
pertaksamaan 2 3 11 1 x  x  x ... x  0 adalah selang 1, .
Menyelesaikan pertidaksamaan dengan Mathcad
Dalam Mathcad ketiklah pertidaksamaan
x 1
x

x x

,
2  
3
Tanda ≥ diambil dari toolbar Boolean, pembagi diambil dari tanda /,
kemudian klik solve dan masukkan variabel x, akhiri dengan menekan
enter, maka akan muncul hasil berikut :

2.3 Teorema-teorema Nilai Mutlak
a. Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan oleh IxI,
didefinisikan sebagai:
 ; jika 0
x x
x x x 

 ; jika  0
Misalnya :
I7I = 7; I4I = 4; I0I = 0; I 2 – 5 I = I-5I = 5
x selalu positif atau nol , atau ditulis x ≥ 0

x mendefinisikan suatu jarak antara x dengan titik asal
Q ( x2,0)
O( 0,0)
0 P ( x1,0)
OA = 2 = 2 ; OB = 4 = 4
Ix2I Ix1I
xa adalah jarak antara x dan a
b. Teorema Nilai Mutlak
(1.) Untuk setiap bilangan real x berlaku :
-2 -1 0 1 2 3 4 5
(a.) x ≥ 0 (b.)
 x  0  x
(b.) =
(d.)
(2.) Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :
(a.) xa -a < x < a x2 = a2
(b.) x  a x ≤ -a atau x ≥ a x2 ≥ a2
(3.) Misalkan a , maka :
(a.) x  a -a < x < a x2 = a2
(b.) x  a x ≤ -a atau x ≥ a x2 ≥ a2
(4.) Misalkan diberikan δ > 0, maka :
(a.) x < δ -δ < x < δ
(b.) x a < δ a – δ < x < a + δ
x a < δ memberikan arti bahwa selisih antara
x dan a kurang dari δ

(5.) Mengkuadratkan bentuknya, dengan rumus :
(a). x  a
2 2 x  a 2 2 x  a
(b). x  a
2 2 xa 2 2 x  a
(6.) Menuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak dengan rumus :
(a).  , jika
x a x a
a x x a x a  
 
 , jika
 (b).
ax b x
, jika
  
( ), jika
b
a
b
ax b x
a
ax b
  
   


Contoh 1
Hitunglah 1xxdengan membongkar tanda mutlaknya !
Penyelesaian :
   ,
Ingat x a x a
 
    
x a x a x a
 1, 1
( 1), 1 1 x x
x x x  
    
maka  1 1, 1
1 2 1, 1 1 x x x
x x x x x x    
        

Contoh 2
Hitunglah x 2 x dengan membongkar tanda mutlaknya !
Penyelesaian :
Uraikan / bongkar dulu tanda 
x , x
mutlak 0
di bagian dalam, baru
kemudian di bagian luar
 x , x

0


maka
x x x
x x x
 2 , 
0
 2 , 
0
 
x x
x x
 
, 0

 , 0
3 , 0


x 2
x
x

x x
x x x
 
, 0 karena
  
3 , 0 dan 0 (1)
, 0 dan 0 (2)
dan 3
x x x
x x x
  
 
   
 3 ,  0 dan 
0 (3)

 3 ,  0 dan  0 (4)
x
x x x
x x x
Contoh 3
l 2x – 3l < 4
Penyelesaian :
l 2x – 3l < 4  -4 < 2x – 3 < 4
 -4 + 3 < 2x < 4+3
 -1 < 2x < 7
 -1/2 < x < 7/2
HP = { x / -1/2 < x < 7/2 } = (-1/2, 7/2)
Contoh 4
l 5x + 1l ≥ 9
Penyelesaian :
l 5x + 1l ≥ 9  5x + 1 ≤ -9 atau 5x + 1 ≥ 9
 5x ≤ -10 atau 5x ≥ 8
 x ≤ -2 atau x ≥ 8/5

HP = { x / x ≤ -2 atau x≥ 8/5 }
= (-∞ ,-2 ] U [ 8/5, ∞)

l 3x + 1l < 2 lx – 6l
l 3x + 1l < 2 lx – 6l  l 3x + 1l < l2x – 12l
 (3x + 1)2 < (2x – 12)2
 9x2 + 6x + 1 < 4x2 – 48x + 144
 5x2 + 54x – 143 < 0
 (5x - 11) (x + 13) < 0
Pembuat nol kiri x = 2 1/5 dan x = -13
-13 2 1/5
Contoh 5
Penyelesaian :
HP = { x l -13 < x < 2 }
Contoh 6 : x l xl – x ≤ 6
Menurut definisi nilai mutlak lxl :
Ada dua kemungkinan yaitu untuk x < 0 atau x ≥ 0
Penyelesaian :
l x l = -x
X < 0 dan
X (-x) –x ≤ 6
-x2 –x ≤ 6
X2 + x +6 ≥ 0
Selalu (+) untuk x € R
l x l = x
X > 0 dan
X (x) –x ≤ -6
x2 –x -6 ≤ 0
(x+2) (x-3) ≤ 0

HP1 = (x > 0 dan x € R) = (-∞,0) HP2= [0, ∞) n [-2,3] = [0,3]
HP = HP1 U HP2 = (-∞,0) U [0,3] = (-∞,3]
2.4 Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai Mutlak
Proses penyelesaian pertaksamaan yang membuat nilai mutlak
adalah mengubah bentuk persamaan yang diketahui sehingga tidak
memuat nilai mutlak lagi, kemudian, selesaikan pertaksamaan yang
muncul pada setiap kasus. Untuk itu kita dapat menggunakan sifat nilai
mutlak berikut.
Jika a  0, maka
x  aa  x  xx2  a2.
Jika 0, a  maka xa xaatau 2 2 x  ax  a
x a x a
  
,bila
,bila
x a
  
a x x a
  
Catatan
Berdasarkan sifat pertama dan kedua, kita dapat mengkuadratkan
bentuk pertaksamaan dengan nilai mutlak bila syaratnya telah
dipenuhi. Untuk pertaksamaan yang memuat lebih dari satu bentuk
nilai mutlak, sifat ketiga digunakan pada garis bilangan.
Contoh 1
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 3x 2 1.
Penyelesaian
3x 2 1
3x 2 1 atau 3x2 1

31x  atau 33x 
1
3
x  atau x 1
1
, 1, .
3
 
   
 
Himpunan Jawab =  

Contoh 2
Tentukan himpuinan jawab pertaksamaan 2x3  x2
Penyelesaian :
2x3  x2
  2 2
2x 3   x 2
 2 2 4x 12x 9  x 4x  4
2 3x 16x 5  0
3x 1x 5  0
1
 5
 x  
3
Himpunan jawab =
1
 
 5,  .
 3


Contoh 3
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 2 x 2  x
Penyelesaian :
2 2 x 2  x
 2
2 4 x  2  x
4 2 4 x  4x  4  x
2 4x  4  0
2 x 1 0
x 1x 1  0
1 x 1
Himpunan jawab =1,1
Contoh berikut memperlihatkan penyelesaian pertaksamaan nilai
mutlak dengan memanfaatkan garis bilangan.

Contoh 4
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 x  x 1  2.
Penyelesaian :
Tuliskan pertaksamaannya tanpa bentuk mutlak dengan menggunakan
sifat
x x
 , bila 
0
 
 , bila 
0
x
dan
x x
x x
  1,bila 
1
 1
 
x x
 1  ,bila 
1
x
Proses penyelesaian pada garis bilangan adalah sebagai berikut
0 x  01x  1 x 
xx
x 1 1 x
Gantikan ke pertak-samaannya
2x1 x  2
3x1 2
1
3
x 
Himpunan Jawab=
 
xx
x 1 1 x
2x1 x  2
12 x 
1 x 
Himpunan jawab=
0.1,1 0,1.
1 1
   
 ,0  ,    ,0 
.
3 3
   
xx
x 1 1 x
2x x1 2
3x 1 2
33x 
Himpunan jawab =
1,,1 1.
Perhatikan cara mencari himpunan jawab disetiap selang bagiannya,
hasil perhitungan pada penyelesaian pertaksamaan harus selalu
diiriskan dengan tempat berlakunya pertaksamaan tersebut. Disini
himpunan jawab pertama harus diiriskan dengan selang ,0 ,
himpunan jawab kedua dengan 0,1,dan himpunan jawab ketiga
dengan selang 1, .
Karena proses penyelesaian pertaksamaan ini terbagi atas tiga kasus
yang selang pemecahannya saling terasing, maka himpunan jawab
pertaksamaanya adalah gabungan dari ketiga himpunan jawab di atas.
Himpunan jawab =    
1 1
,0 0,1 1 ,1 .
3 3
   
     
   

Catatan
Proses penyelesaian soal ini terbagi atas tiga kasus, diagram di atas
bermanfaat untuk melihat setiap kasus yang muncul secara
keseluruhan.
Pada Contoh berikut kita akan menyelesaikan pertaksamaan
yang berbentuk pecahan linear yang memuat nilai mutlak. Prosesnya
lebih cepat dengan cara mengkuadratkan kedua ruasnya, kemudian
menggunakan sifat-sifat aljabar elementer. Contoh lainnya adalah
tentang cara mencari batas sebuah bentuk pecahan dengan penyebut
definit positif jika rentang nilai peubah x diketahui.
Contoh 5
tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2
x x


.
x x
 
1 1
Penyelesaian :
Penyelesaian masalah ini dikerjakan dengan mengkuadratkan kedua
ruasnya, membuat ruas kannya nol, dan menggunakan rumus
a2  b2  (a  b)(a b).
x x

2

x x
 
1 1
2 2
x x
x x
    2

    
     
1 1
x x x x
x x x x
     
      
       
2 2
0
1 1 1 1
2 2 2 2 3 2 3 2
 x  x  x  x   x  x  x  x
 
                   

 
   
0
x x x x
1 1 1 1
2
1
 
x x x
8 1
    
2
.
 
0
2 2
x x
 
1 1

Karena faktor 2 1 xx definit positif, maka bentuk ini setara dengan
1
2 0
x


 2 2
x  1   x

1
 Tentukan himpunan jawab pertaksamaan ini dengan bantuan garis
bilangan.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ++++++++ +++++++++++++
-1 1/2 1
Himpunan jawab = 
1
 
 ,1  1, 
.
2
 
Contoh 6
Jika 2, x  buktikan
2
x x
x 2
x
 
2 3 5
.

 
2 4 3
Penyelesaian :
Karena penyebut bentuk pecahannya definit positif dengan
 2 2 x  2x  4  x 1 3  3, Maka
2
1 1
.

x  2x 
4 3
Ini mengakibatkan
2
x x
 
2 3 1 1
2 2
x x x x
     
2 2
2 3 2 3 .
x x x x
   
2 4 2 4 3
Untuk x  2, kita akan menentukan batas dari 2 x  2x 3 .Untuk ini,
tulislah
2 2 x  2x 3  (x 1)  4,
Kemudian gunakan sifat nilai mutlak dan pertaksamaan, mka diperoleh
hasil berikut.
x  2
2  x  2
3 x11
 2
0  x 1  9

 2
4  x 1 4  5
2 5  4  x  2x 3  5
2 x  2x 3  5.
Dengan menggunakan hasil ini diperoleh
2
x x
 
2 3 1 1 5
2
2
x x
    
2 3 .5 ,
x x
 
2 4 3 3 3
Sehingga terbuktilah yang diinginkan.
Rangkuman
8. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan cara
pemfaktoran dan cara rumus abc.
9. Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah
 
  2

b D
x D b ac
12 , dimana : 4
2
a
10. Ada 3 kemungkinan nilai D (Diskriminan), jika D>0, ada 2 nilai x
yang nyata, jika D=0,hanya ada satu nilai x yang nyata, dan jika
D<0 tidak ada nilai x yang nyata.
11. Definisi nilai mutlak :  ; jika 0
x 
x x

 x ; jika x  0
atau
 , jika
x a x a
a x x a x a
 
 
 , jika
 12. x a adalah jarak antara x dan a.
13. Pertidaksamaan dalam nilai mutlak dapat diselesaikan dengan
membuka tanda mutlaknya dan mengkuadratkan masing-masing
ruas dengan kondisi tertentu.

3 SISTEM KORDINAT KARTESIUS
Overview
Bab ini menjelaskan konsep dasar persamaan garis linier yang
berbasiskan sistem koordinat kartesius. Hal-hal terkait dengan bab ini
adalah panjang garis lurus, persamaan garis lurus, kaitan antar dua
garis, gradien suatu garis, gradien dua garis yang saling tegak lurus,
dan jarak titik ke garis.
Tujuan
1. Mahasiswa memahami sistem koordinat berbasis kartesius.
2. Mahasiswa memahami dan mampu menghitung panjang ruas
garis lurus antara dua titik di luar kepala.
3. Mahasiswa memahami persamaan dasar garis lurus dan
menghitung gradiennya.
4. Mahasiswa memahami beberapa kaidah persamaan garis lurus
dan mampu menggunakannya dalam menyelesaikan soal.
60 Sistem Koordinat

5. Mahasiswa memahami kaitan antar dua garis.
6. Mahasiswa mampu memahami dan menghitung gradien dua
garis yang saling tegak lurus.
7. Mahasiswa memahami dan mampu menghitung jarak titik ke
suatu garis lurus.
Definisi Koordinat Kartesius
b
a
P(a,b)
0
Gambar 2.1 Koordinat Kartesius
Sistem koordinat Kartesius terdiri dari dua sumbu, garis
horizontal (sumbu x) dan garis vertikal (sumbu y) berpotongan tegak
lurus di titik O (titik asal). Kedua sumbu ini membagi bidang datar atas
4 bagian, yang dinamakan kuadran 1 sampai dengan kuadran 4, seperti
halnya dengan himpunan bilangan real dengan garis, disini terdapat
korespondensi satu-satu diantara setiap titik di bidang dengan
pasangan terurut 2 bilangan real. Jika garis vertikal dan horizontal
yang melalui titik sebarang P memotong sumbu x di a dan sumbu y di
b, maka koordinat titik P adalah (a, b), dan sebaliknya.
Perhatikan Gambar 2.1 yang memperlihatkan situasinya. Dalam hal ini a
dan b berturut-turut dinamakan absis (koordinat x) dan ordinat
(koordinat y) dari titik P. Sistem koordinat kartesis seringkali ditulis R 2 ,
atau RR, yang menyatakan himpunan semua pasangan terurut (x,y),
x dan yR2 . Jadi kita mempunyai
R  R R, yang menyatakan
Sistem Koordinat 61

himpunan semua pasangan terurut (x,y) dan yR . Jadi kita
mempunyai    2 R  RR  x, y : x, yR .
Kuadran yang memuat semua garis batasnya (sebagian dari
sumbu x dan sumbu y) dinamakan kuadran tertutup, dan yang sama
sekali tidak memuat garis batasnya dinamakan kuadran terbuka.
Pemberian nama ini sejalan dengan konsep selang tertutup dan selang
terbuka pada garis bilangan real.
Kuadran 1 mempunyai 4 kemungkinan , yaitu
 x y  x

  
  
  
, : 0 dan y 0 , kuadran tertutup,
x y x
 
, : 0 dan y>0 , kuadran terbuka,
x y x

, : 0 dan y>0 , dan
x y x

, : 0 dan y 0 .
 
Kedua himpunan terakhir tidak terbuka dan tidak tertutup.
Selanjutnya, bila hanya disebutkan kuadran 1 saja, kemungkinan yang
terjadi bergantung pada konteks pembicaraannya. Dalam hal ini boleh
memuat garis pembatasnya, yang bergantung pada permasalahan
yang muncul dan akan dibahas.
Tinjau ulang tentang garis lurus pada bidang datar
 Panjang ruas garis lurus dengan teorema phytagoras , panjang
ruas garis di titik P(x1,y1) ke titik Q(x2,y2) adalah
PQ=     2 2
1 2 1 2 x  x  y  y .
 Persamaan garis lurus Bentuk umum persamaan garis lurus
adalah
ax by  c  0, a dan b tidak semuanya nol.
Beberapa hal khusus persamaan garis yang :
62 Sistem Koordinat

 Sejajar dengan sumbu x adalah y=p;
 Sejajar dengan sumbu y adalah x=q;
 Tidak sejajar dengan sumbu y adalah y=mx+n (fungsi linear);
 Melalui titik asal (0,0) adalah ax+by =0;
x y
p q
 Melalui titik (p,0)dan (0,q) p dan q tidak nol adalah 1;
 
 Melalui titik (x1, y1) dan mempunyai gradien m adalah y-y1=
m(x-x1);
y y x x
y y x x
 
 Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)adalah 1 1

 
2 1 2 1
.
Kaitan antar dua garis
Garis g: ax + by + c =0 dan h: px+qy+r=0 dikatakan :
 Sejajar (ditulis g // h) jika
a b c
p q r
 
 Berimpit (ditulis g  h), jika
a b c
 
p q r
 Berpotongan, jika
a b
p q
 dan berpotongan tegak lurus jika
ap bq  0,b,q  0
Gradien suatu garis
Pada persamaan garis g : y=mx+n, besaran m dinamakan gradient
suatu garis g. Arti geometri dari gradient suatu garis tersebut dengan
sumbu x positif . Perhatikan situasinya pada Gambar 2.2
Sistem Koordinat 63

θ
g : y =mx+n
x
y
0
m= tanӨ,Ө=sudut garis g dengan sb-x positif
Gambar 2.2 Persamaan Linier
64 Sistem Koordinat

Gradien dua garis yang saling tegak lurus
Garis g : y= mx+n dan h : y=px+q saling tegak lurus 1. mp    Jadi
dua garis saling tegak lurus jika dan hanya jika perkalian gradiennya
sama dengan -1.
Bukti : tanpa mengurangi keumuman pembuktian, andaikan garis g
dan h melaui titik asal (0,0). Pada gambar 2.3, pilihlah titik P(x1,y1) pada
garis g dan titik Q(x2,y2) pada garis h, dengan x1 dan x2 keduanya tidak
nol.
g
P(X1,Y1)
Q(X2,Y2)
x
y
h
0
Gambar 2.3 Jarak antar 2 titik
Dengan rumus jarak dua titik bidang dapat diperoleh
2 2 2 2 2
OP  x  y OQ  x 
y
PQ  x  x  y 
y
, , dan
1 1 2 2
2 2 2
 
( ) .
1 2 1 2
Kemudian, dengan rumus Phytagoras dan kebalikannya, serta
penyederhanaan bentuk diperoleh
2 1 2 g  h2(x x  y y )  0
y y
1 2
     
x x
1 2
m m
1 . 1, g h
Sistem Koordinat 65

y
Karena 1
y
 dan 2
x
1
m
g
 , dengan demikian terbuktilah apa yang
x
2
m
h
diinginkan.
Jarak titik ke garis
Jarak titik P(x0, y0) ke garis g:
ax by c
 
0 0
2 2
d P g
( , )
a b


Pada gambar di bawah ini, jarak titik P ke garis g adalah ruas garis PQ.
P(x0,y0)
d(P,g)
Q
g : ax+by+c=0
x
y
0
Gambar 2.4 Jarak titik terhadap garis
Terdapat banyak cara untuk membuktikan jarak titik ke garis, yang
paling sederhana dengan cara geometri. Buatlah garis sejajar sumbu y
dan melalui P sehingga memotong garis g di R. Buatlah garis sejajar
sumbu y dan melaui P sehingga memotong garis g di S. Tentukan
koordinat R dan S serta panjang ruas garis PR, PS, dan RS. Dengan
rumus geometri :
66 Sistem Koordinat

 
PR .
PS
d P ,
g PQ
  .
RS
Sistem Koordinat 67

Contoh 1 :
Hitunglah gradien dari persamaan linier berikut:
3 yx 2  4 
0 Penyelesaian :
Buatlah komponen y sendirian di ruas kiri, yang lainnya di ruas kanan
3 y 2 x
4 0
3 y 2 x
1
  
  
3 4
2 3
y   x

y mx c
 
Sehingga gradiennya
3
2

Contoh 2 :
Dari gambar berikut tentukan gradiennya :
8
y
0 2 x
Penyelesaian :
y y

Gunakan rumus : 2 1
x 
x
2 1
m

Perhatikan dan lengkapi grafiknya :
68 Sistem Koordinat

y
x
(0,3)
x1 y1
Maka :
m=
0 - 3
2 - 0
m = -3
2
(2,0)
x2 y2
Contoh 3 :
Buatlah grafik dari persamaan berikut:
4y 8x  2
Penyelesaian :
Buatlah 2 titik yang melewati persamaan linier tersebut :
1.Titik pertama
x
maka
y
y
0
:

4.  8.0 
2
4 
2
2 1
4 2
1
y
 
(0, )
2
Sistem Koordinat 69

2. Titik Kedua
y
maka
0
:
x

4.0 8. 2
 
2 1
8 4
x
 
1
( ,0)
4
Hubungan kedua titik tersebut :
1/2
1/4
y
x
Contoh 4 :
Buatlah persamaan linier dari persamaan berikut:
y
x
2
-1
(2,0)
(0,-1)
x1 y1
x2 y2
70 Sistem Koordinat

Penyelesaian :
y 
y
2 1
x x

 
2 1
0 ( 1)
2 0
1
2
m
m
m




1
y  (  1)  ( x

0)
2
1
y  2

x
2
1
y x
2
  
2
Contoh 5 :
Hitunglah gradien persamaan garis yang tegak lurus dengan
persamaan berikut:
2y  2x  4
Penyelesaian :
1.Hitunglah gradien persamaan garisnya
m
2.Gunakan rumus 2
1
m
1

2 y  2 x

4
2 y   2 x

4
y   x

y  m x 
c
1
m
 
1
m
2
2
1
1 1
   
1
1


1
m
Maka gradien persamaan garis yang tegak lurus dengan persamaan
diatas adalah 1
Contoh 6:
Hitunglah persamaan garis yang sejajar dengan persamaan garis
3y  4x 1 0 dan melewati titik (2,3)!
Penyelesaian :
1.Hitung gradient garis yang ada
Sistem Koordinat 71

2.Dengan tersebut gunakan rumus 1 1 () y y m x x   
Ingat : jika 1 m sejajar dengan m2 ,maka m1  m2
y x
y x
3  4  1 
0
3  4 
1
y x
m
 
1
4 1
3 3
4
3

4
3
m  m  , maka :
Karena sejajar 2 1
y  y  m x 
x
1 2 1 ( )
4
y  3  ( x

2)
3
4
( 2)
3
4 8
y x
 
3
y x
  
3 3
4  8 
9
3 3
4 1
3 3
y x
 
y x
 
1 1 (x , y )  (2,3)
Contoh 7 :
Hitunglah persamaan garis yang tegak lurus dengan persamaan garis
7y 3x  2  0 dan melewati titik (0,6) !
Penyelesaian :
1.Hitung gradient garis yang ada
2.Hitung gradient garis yang tegak lurus dengan gradien dari (1)
dengan rumus
m
2
1
  (sejajar)
m
1
3. Gunakan rumus : 1 1 y  y  m(x  x ) 1 1 (0,6)  (x , y )
72 Sistem Koordinat

Contoh 8
Dari grafik disamping, tentukanlah
persamaan garis yang tegak lurus dengan
garis tersebut dan melewati titik asal .
x
3
4
y
Penyelesaian :
ingat : titik asal adalah titik (0,0)
1. Hitung gradien garis tersebut.
2. Hitung gradien yang tegak lurus dengan gradien dari (1)
3. Hitung persamaan menggunakan y – y 1 = m2 (x – x1)
4 ( 0,4 )
3
( 3,0 )
x1 y1
 
0 4 4
3 0 3
y y
2 1
m
1
   
x x
 
2 1
m
2
 
  
1 1 3
3 
4 4
3
y  y  m x 
x
1 2 1 ( )
3
y  4  ( x

0)
4
3
y x
 
4
4
Sistem Koordinat 73

X1 Y1
74 Sistem Koordinat

Contoh 9
Hitunglah titik potong antara 2 garis berikut :
4y – 2x = 3 dan 3y – 2x = 6
Penyelesaian :
gunakan subtitusi atau eliminasi
Cara 1 : subtitusi
4y – 2x = 3
-2x = 3 – 4y ..........................(1)
3y -2x -6 Ganti -2x dengan persaman (1)
3y +3-4y = 6
-y +3 = 6
-y = 6-3 = 3
Y = -3 , maka
-2x = 3-4y = 3- 4 (-3) = 3 + 12 = 15
X =
15

2
-7,5
Sehingga tiik potong nya adalah (-7,5 , -3)
Cara 2 : Eliminasi
4y – 2x = 3
3y – 2x = 6
____________ -
y+ 0 = -3
y= -3
4y – 2x = 3 2x = 4y – 3
=-4.3 – 3
2x = -15
x= -7,5
sehingga (-7,5 , -3 )
Contoh 10
Hitunglah jarak antara 2 titik berikut (-2,5) dengan (-1,-3)
Sistem Koordinat 75

Penyelesaian :
Gunakan rumus d =
2 2
(X2  X1)  (Y2 Y1)
(-2, 5 ) (-1, -3)
X1 Y1 X2 Y2
2 2 d  (1(2)  (35)
 1 65
65 
Contoh 11
Hitunglah jarak antara titik (7,-1) dengan titik (-2, 5)
Penyelesaian :
Seperti Contoh sebelumnya
(7,-1) (-2, 5)
X1 Y1 X2 Y2
2 2 d  (27)  (5(1)
 81 36
 117
Contoh 12
Hitunglah jarak antara titik (!,2) dengan garis y = 2x + 3
76 Sistem Koordinat

Penyelesaian :
Gunakan rumus d(P,q)=
aX bY c


0 0
2 2
ab
dimana P (X0, Y0) dan q adalah garis ax + by + c = 0
1. Ubah bentuk y = 2x+3 menjadi ax+by+c=0
y= 2x+3
-2x + y -3 = 0 maka a =-2
b= 1
c= -3
ax + by + c = 0
2.Gunakan rumus jarak titik terhadap garis.
d(P,q)=
aX bY c
 

0 0
2 2
a b
=
  
2.1 1.2 3
(  2) 2 
1
2 =
3
5
3
= 5
5
Contoh 13
Diketahui titik A (-1,2) dan titik B (2,3). Tentukan persamaan garis g
yang tegak lurus dengan garis AB dan melalui titik A !
Sistem Koordinat 77

Penyelesaian :
1. Hitung dulu gradient garis AB.
2. Tentukan gradien yang tegak lurus dengan gradien garis AB.
3. Buat persamaan garis yang melalui A (-1,2)
1.A (-1 , 2) B (2 , 3)
X1 Y1 X2 Y2
 
3 2 1
2 ( 1) 3
y y
2 1
m
1
  
x x
  
2 1
2.
m
2
 
   
1 1
m
1
3
1
3
3.
y y m x x
y x x
y x
  
       
  
1 2 1 ( )
2 3( ( 1)) 3 3
3 1
Contoh 14
Diketahui titik A(-1,2), B(3,2) dan C(-2,3). Tentukan persamaan garis g
yang sejajar dengan garis AC dan melalui titik tengah AB.
Penyelesaian :
1. Hitunglah gradien garis AC
2. Hitunglah koordinat titik tengah AB
3. Buatlah persamaan garis dengan gradien dari (1) dan
melewati titik tengah AB dari (2).
1. A (-1, 2) C (-2 , 3)
78 Sistem Koordinat

X1 Y1 X2 Y2
y y
   
2 1
   
x x
    
2 1
2 2 4
4
2 ( 1) 1
m
2. A (-1,2) B (3,2)
x
0
 
 0
1 3
2
2 2
 
2

2
y
0 1 x 
3.
y  y  m x 
x
y   x

y  x
 
y  x

0 0 ( )
2 4( 1)
4 4 2
4 2
Contoh 15
Diketahui titik A(1,1), B(3,-1), dan C(2,2). Hitunglah luas segitoiga ABC!
Penyelesaian :
1. Sketsalah secara asal segitiga ABC
2. Anggap salah satu sebagai alas mislnya AB, berarti tinggal
dicari tinggi dengan menghitung jarak titik C ke garis AB
3. Hitung luas segitiga (
1
2
x alas x tinggi )
1.
C
Sistem Koordinat 79

d
A B
Garis AB :
A ( 1, 1) B ( 3 , -1)
X1 Y1 X2 Y2
y y
  
2 1
   
x x
 
2 1
1 1
1
3 1
m
y y m x x
y x
y x
x y
a b c
  
   
  
  
   
1 1 ( )
1 1( 1)
2
2 0
1, 1, 2
2.
aX bY c
 
0 0
2 2
d
a b


C (2 , 2 )
X0 Y0
80 Sistem Koordinat

1.2  1.2 
2 2 1
  
2 2 2 2
8 2
2
d

3. Luas segitiga =
1
2
AB . 2 2 1 1
d     
(3 1) ( 1 1) 2
2 2
Luas segitiga =
1
 = 1 satuan
4 4 4
4
Carilah dengan menganggap BC sebagai alas.
Contoh 16
Diketahui persamaan kuadrat y = 2x2 -2x -4. Hitunglah Diskriminannya!
Apakah persamaan tersebut berpotongan / bersinggungan / sama
sekali tidak bersinggungan atau berpotongan sumbu x?
Penyelesaian :
Ingat : Diskriminan : D =b2-4ac dari y = ax2 + bx +c
a. Jika D > 0 maka ada 2 titik potong antara sb.x dengan garis y =
ax2 + bx +c dan diperoleh 2 solusi unuk x.
b. Jika D=0 maka garis y= ax2 + bx +c bersinggungan engan sumbu
x dan diperoleh satu solusi untuk x.
c. Jika D < 0 , maka garis y= ax2 + bx +c sama sekali tidak
berpotongan/bersinggungan dengan sumbu x dan solusi untuk x
bukan bilangan nyata.
Y= 2x2 -2x -4
a b c
D = (-2)2 -4.2 (-2)
= 4 + 32
D = 36
D> 0
Sistem Koordinat 81

Maka persamaan y = 2x2 -2x -4 berpotongan dengan sumbu x
menghasilkan 2 solusi x bilangan nyata
Contoh 17
Diketahui persamaan kuadrat y=-3x2-2x+1. HItunglah koordinat titik
kritis dari persamaan tersebut.
Penyelesaian :
a = -3, maka a < 0 sehingga titik kritisnya adalah titik
max
2
y x x
    
 2
   
    
   
3 2 1 0
x x x
x x x
x x
3 3 1 0
3 ( 1) ( 1) 0
( 3 1)( 1) 0
1
, 1
3
x  x
 
1 2
1 
2

3 3 1
x 
x
1 2
1
    
2 2 2 3
x
 
1 1
   
3( ) 2( ) 1
3 3
1 2
3. 1
9 3
1 2
   
1
   
3 3
1 2 3 4
  
 
3 3
y
Sehingga Koordinat titik puncak /max adalah

1 4
( , )
3 3
Contoh 18
82 Sistem Koordinat

Diketahui persamaan kuadrat y=-4x+4x+3. Sketsalah persamaan
parabola tersebut !
Penyelesaian :
1. HItunglah D, tentukanlah apakah persamaan tersebut
berpotongan / bersinggungan atau tidak sama sekali terhadap
sumbu x ?
y = -4x2+4x+3
a b c
D = b2-4ac
= 42 – 4(-4)3
= 16 + 48
= 64 > 0
maka persamaan tersebut berpotongan dengan sumbu x dan
karena a < 0, maka titik kritisnya adalah titik puncak.
Sistem Koordinat 83

2. HItunglah akar-akar persamaan kuadrat tersebut atau hitung x
pembuat y = 0
2
y x x
  4  4  3 
0
 x 2
 x  x
 
 x x   x
 
 x  x
 
4 6 2 3 0
2 (2 3) (2 3) 0
( 2 1)(2 3) 0

 
1 3
,
2 2
x x
1 2
maka diperoleh dua titik yang dilalui persamaan garis tersebut
yaitu 5
1

( , 0)
2
dan
3
( , 0)
2
3. Hitunglah titik puncak / max persamaan parabola tersebut
x x


1 2

  
2 2 2
1 1 4
4( ) 2
4. 3 2 3 4
1 3
2 2 1
       
2 2 4
x

y


maka titik puncaknya adalah
1
( ,4)
2
4. Hitunglah titik di sumbu y yang dilewati oleh persamaan
tersebut, atau hitung y saat x = 0
y = -4(0)2+4.0+3 = 3
84 Sistem Koordinat

maka koordinat (0,3) juga dilalui persamaan garis tersebut.
Sehingga dari 4 modal diatas dapat langsung kita sketsa
grafiknya berikut ini :
4
3
2
1
 0 1
1
2
2
1 3
2
Contoh 19
Diketahui persamaan kuadrat y = 3x2-2x-5. Sketsalah persamaan
parabola tersebut !
Penyelesaian :
1. HItunglah D, tentukan apakah persamaan tersebut berpotongan
/ bersinggungan atau tidak sama sekali terhadap sumbu x !
y = 3x2 – 2x – 5
a b c
D = b2-4ac
= (-2)2 – 4.3.(-5)
= 4 + 60
= 64 > 0
Sistem Koordinat 85

maka persamaan tersebut dengan sumbu x dan karena a > 0,
maka titik kritisnya adalah titik minimum.
86 Sistem Koordinat

2. Hitunglah akar-akar x pembuat y = 0
y = 3x2 – 2x – 5 = 0
= 3x2 – 5x + 3x – 5 = 0
= x(3x - 5) + (3x - 5) = 0
= (x + 1)(3x - 5) = 0
x1 = -1 x2 =
maka persamaan kuadrat tersebut berpotongan dengan titik (-1,0) dan
( ,0)
3. Hitunglah titik minimum persamaan kuadrat tersebut
x x
 

1 2
5 2
1
3 3 1
x
   
2 2 2 3 t
2 1 1
3( ) 2( ) 5
3 3
3 2 1 15
t y   
   5
  
9 3 3 3
16
3
 
maka titik minimalnya adalah
1 16
( , 
)
3 3
4. Hitunglah titik potong grafik dengan sumbu y dimana x = 0
y = 3(0)2 - 2.0 - 5 = -5
maka titik potong dengan sumbu y adalah (0,-5)
Sistem Koordinat 87

dengan demikian grafiknya dapat digambarkan berikut
1 1
3
1
x
2
3
4
5
y
Contoh 20
Diketahui persamaan kuadrat y = x2 - x – 2 dan persamaan linier y = -x
– 1
Apakah kedua garis ini berpotongan? Jika iya, tentukan titik potong
kedua garis tersebut !
Penyelesaian
1. Subtitusikan y dari persamaan linier ke persamaan kuadrat
sehingga akan membentuk pesamaan kuadrat baru dengan
variabel x.
2. Dari persamaan kuadrat baru tersebut tentukanlah D, jika D > 0 , 2
garis tersebut berpotongan. Jika D = 0 , 2 garis tersebut
bersinggungan. Jika D < 0, 2 garis tersebut tidak bersinggungan
dan tidak berpotongan.
3. Hitung akar-akar persamaan tersebut maka diperoleh x1 dan x2 (jika
berpotongan)
88 Sistem Koordinat
4. Masukkan nilai x1 dan x2 ke dalam persamaan linier untuk
menentukan koordinatnya

Silakan dikerjakan sendiri  !
Rangkuman
1. Sistem koordinat Kartesius terdiri dari dua sumbu, garis horizontal
(sumbu x) dan garis vertikal (sumbu y) berpotongan tegak lurus
di titik O (titik asal)
2. Suatu titik (a,b), a disebut absis (koordinat x) dan b disebut ordinat
(koordinat y)
3. Panjang ruas garis lurus di titik P(x1,y1) ke titik Q(x2,y2) adalah
PQ=     2 2
x1  x2  y1  y2 .
4. Bentuk umum persamaan garis lurus
adalah ax by  c  0, a dan b tidak semuanya nol.
5. Jika gradien garis g adalah m dan gradien garis l adalah p, garis g
dan l tegak lurus jika mp=-1, garis g dan garis l sejajar jika m=p.
6. Jarak titik P(x0, y0) ke garis g:
ax by c
 
0 0
2 2
d P g
( , )
a b


Sistem Koordinat 89

90 Sistem Koordinat

4 Vektor di Bidang dan di Ruang
Overview
Bab ini akan menjelaskan tentang vektor di bidang(R-2) dan di
ruang(R-3). Diawali dengan penjelasan tentang definisi skalar dan
vektor, menyatakan vektor, memberi nama vektor, menggambar vektor
di bi bidang. Kemudian akan dijelaskan tentang operasi-operasi yang
dapat diberlakukan terhadap vektor seperti menjumlahkan dua vektor,
perkalian skalar dengan vektor, mementukan panjang vektor, perkalian
titik dan perkalian silang antara dua vektor, sudut antara dua vektor.
Terakhir akan dibahas cara menentukan luas segitiga dengan vector
apabila tiga titik sudutnya diketahui di R-3.
Tujuan
1. Memahami definisi skalar dan vektor
2. Memahami cara memberi nama dan menggambar vektor di
bidang
3. Memahami cara menyatakan vektor dalam beberapa notasi
4. Mampu menentukan jumlah dan selisih dua vektor
5. Mampu menentukan perkalian titik dan perkalian silang.
Vektor 91

6. Mampu menentukan sudut antara dua vektor
7. Mampu menghitung luas segitiga dengan vector apabila tiga titik
sudutnya diketahui di R-3.
92 Vektor

4.1. Pengertian skalar dan vektor
Banyak besaran yang kita jumpai dalam ilmu pengetahuan, seperti luas,
panjang, massa, temperatur, volume, muatan listrik, dan sebagainya
dapat dinyatakan oleh suatu bilangan. Besaran demikian dinamakan
skalar. Ada besaran lain, seperti kecepatan, gaya, dan pergeseran,
untuk menggambarkannya memerlukan tidak hanya bilangan, tetapi
juga arah. Besaran demikian dinamakan vektor.
Vektor–vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai ruas
garis berarah atau anak panah; arah panah menentukan arah vektor
dan panjang panah menyatakan besarnya, perhatikan gambar -1.
A
B
a
b
(a) (b)
v
c
Gambar 4.1 (a) Vektor AB. (b) Vektor-vektor ekivalen
w
Ekor panah dinamakan titik awal (initial point ) dari vektor, dan
ujung panah dinamakan titik terminal ( terminal point ). Vektor
umumnya dinyatakan dengan huruf kecil tebal misalnya a, v, w, u, x.
Vektor dapat pula dinyatakan dengan huruf kecil tipis dengan tanda
garis atau anak panah di atas huruf tersebut seperti a , v , dan w .
Satu cara lagi menyatakan vektor adalah dengan menulis dua huruf
besar berdampingan yang di atasnya diberi garis atau anak panah
seperti AB di mana A adalah titik awal vektor dan B adalah titk ujung
vektor. Untuk menyatakan skalar akan digunakan huruf kecil tipis tanpa
Vektor 93

garis atau anak panah di atasnya seperti a, b, c, k, m, dan sebagainya.
Jika seperti pada gambar 4.1a. titik awal vektor v adalah A
dan titik ujungnya adalah B, maka kita dapat menuliskan bahwa
v = AB .
Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti
vektor-vektor pada gambar 4.1b, dinamakan ekivalen. Vektor-vektor
yang ekivalen dianggap sama walaupun vektor-vektor tersebut
diletakkan pada kedudukan yang berbeda-beda. Jika v dan w ekivalen
maka kita tuliskan
v = w
4.2. Operasi pada Vektor
Penjumlahan dua vektor
Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka jumlah
v+w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkan
vektor w sehingga titik awalnya berimpit dengan titik ujung v. Vektor
v+w dinyatakan oleh panah dari titik awal v terhadap titik ujung
w(gbr 4.2a)
v
w
v+w
v
w
w+v
v+w v
w
(a) (b)
Gambar 4.2
Dalam gambar 4.2b telah dibentuk dua jumlah, yakni v+w
dan w+v. Jelas bahwa
94 Vektor

v+w = w+v
dan bahwa jumlah tersebut berimpit dengan diagonal jajaran genjang
yang ditentukan oleh v dan w bila vektor-vektor ini diatur lokasinya
sehingga vektor -vektor tersebut mempunyai titik awal yang sama.
Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol (zero
vektor) dan dinyatakan dengan o . Kita definisikan
o + v = v + o = v
untuk tiap vektor v. Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka -v
adalah negatif v, didefinisikan bagi vektor yang mempunyai besaran
sama seperti v, tetapi arahnya berlawanan dengan v (gambar 4.3).
Vektor ini mempunyai sifat
v + (- v) = 0
- v
Pengurangan dua vektor
v
Gambar 4.3
Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan w
dari v didefinisikan oleh
v - w = v + ( - w)
Vektor 95

(Gambar 4.4a)
v- w v
- w w
v v-w
w
Gambar 4.4
(a)
(b)
Untuk mendapatkan selisih v–w tanpa menggambarkan -w,
maka tempatkanlah v dan w sedemikian sehingga titik awalnya
berimpit; vektor dari titik ujung w ke titik ujung v adalah vektor v- w
(gambar 4.4b)
Definisi. Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan real tak
nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang
panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k
> 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0. Kita definisikan kv =
o, jika k=0 atau v = o
Gambar 4.5 melukiskan hubungan di antara vektor v dan vektor-vektor
2v, (-1)v, (1½)v, dan (-3)v
v
2v
(-1)v (1½)v
(-3)v
96 Vektor

Gambar 4.5
Perhatikan bahwa vektor (-1)v mempunyai panjang yang sama dengan
vektor v tetapi arahnya berlawanan dengan vektor v.
4.3. Vektor di Bidang, Komponen vektor
Misalkan v adalah sebarang vektor pada bidang, dan
anggaplah seperti pada gambar 4.6, bahwa vektor v telah ditempatkan
sehingga titik awalnya berimpit dengan titik asal system koordinat
kartesius. Koordinat-koordinat (v1, v2) dari titk ujung v dinamakan
komponen-komponen v, dan kita tuliskan sebagai
v = (v1, v2)
Jika vektor-vektor ekivalen, v dan w, keduanya digambarkan
sedemikian sehingga kedua titik awalnya terletak di titik asal system
koordinat, maka jelas bahwa titik-titik ujung kedua vektor ini akan
(v1, v2)
x
y
Gambar 4.6
v
berimpit (karena kedua vektor ini mempunyai panjang dan arah yang
sama). Jadi vektor-vektor tersebut mempunyai komponen-komponen
yang sama. Sebagai akibatnya adalah bahwa vektor dengan
komponen yang sama harus mempunyai panjang dan arah yang sama
dan vektor-vektor tersebut adalah ekivalen, sehingga kita dapat
mengatakan bahwa dua vektor
v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)
ekivalen jika dan hanya jika
Vektor 97

v1 = w1 dan v2 = w2
Operasi penambahan vektor dan operasi perkalian oleh skalar
sangat mudah dilakukan dalam bentuk komponen-komponen seperti
yang diperlihatkan pada gambar 4.7 di bawah ini. Jika
v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)
maka
v + w = (v1 + w1, v2 + w2) (4.1 a)
(v1, v2)
y
( w1, w2 )
v
w
(v1 + w1, v2 + w2)
v + w
Jadi, misalnya, jika v = ( 2, -3) dan w = ( 4, 7) maka
v + w = ( 2, -3) + ( 4, 7) = ( 6, 4)
x
Gambar 4.7
98 Vektor

Jika v = (v1, v2) dan k adalah sebarang skalar, maka
kv = (k v1, k v2)
(v1, v2)
y
v
kv
Jadi, 5v = 5(2, -3) = (10, -15)
(4.1 b)
x
( kv1, kv2)
Gambar 4.8
Merujuk pada rumus (4.1 a) dan (4.1 b) dan karena v – w = v + (-
1)w maka
v – w = (v1 - w1, v2 - w2)
misalnya untuk Contoh di atas,
v – w = (v1 - w1, v2 - w2) = ( 2, -3) + ( 4, 7) = ( -2, -10)
Vektor 99

Vektor di ruang-3
Seperti halnya vektor-vektor pada bidang(ruang-2) dapat
digambarkan oleh pasangan dua bilangan real, maka vektor-vektor di
ruang dapat digambarkan oleh tripel bilangan real, dengan
menggunakan sistem koordinat siku-siku .
x
z
y
O
y
z
x
P
Z
X
O Y
(a) (b)
Gambar 4.9
Setiap pasang sumbu koordinat membentuk bidang yang dinamakan
bidang koordinat (gambar 4.9a). Bidang-bidang ini disebut sebagai
bidang-xy, bidang-xz, dan bidang-yz. Untuk setiap titik P di dalam
ruang kita tetapkan tripel bilangan (x, y, z) yang dinamakan koordinat-koordinat
P
Koordinat-koordinat P didefinisikan sebagai panjang bertanda (gambar
4.9b)
x = OX y = OY z = OZ
z
R ( 0, 5, 3 )
100 Vektor
y
O
P ( 2, 5, 3 )
3
5
Q ( 2, 5, 0 )
S ( 2, 0, 3 )

Jika vektor v di dalam ruang dilokasikan sedemikian sehingga titik
awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-siku (gambar 4.11),
maka koordinat titik ujungnya adalah komponen-komponen v, dan
dituliskan sebagai
v = ( v1, v2, v3 )
x
z
y
v3
O
( v1, v2, v3 )
v
v2
Gambar 4.11
v1
Jika v = ( v1, v2, v3 ) dan w = ( w1, w2, w3 ) adalah dua vektor di
ruang-3, maka:
(1) v dan w ekivalen jika dan hanya jika v1= w1 , v2 = w2, dan v3 = w3
Vektor 101

(2) v + w = ( v1+ w1, v2+ w2, v3 +w3 )
(3) kv = ( kv1, kv2, kv3 ) di mana k adalah sembarang skalar.
Contoh-1
Jika v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1). maka
v + w = (5, -1, 3), 2v = (2, -6, 4), -w = (-4, -2, -1),
v – w = v + (-w) = (-3, -5,1)
Kadang-kadang suatu vektor ditempatkan sedemikian rupa sehingga
titik awalnya tidak di titik asal sistem koordinat. Jika vektor vektor PQ
mempunyai titik awal (x1, y1, z1) dan titik ujung (x2, y2, z2), maka
PQ = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)
Yakni, komponen-komponen PQ diperoleh dengan mengurangkan
koordinat titik awal dari koordinat titik ujung. Hal ini dapat dilihat
dengan menggunakan gambar 4.12; vektor PQ adalah selisih vektor
OQ dan vektor OP , sehingga
PQ = OQ - OP = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1) = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
z
Q(x2, y2, z2)
y
O
OQ
PQ
v2
OP
P(x1, y1, z1)
102 Vektor

x
Gambar 4.12
Contoh-2
Komponen-komponen vektor v = PQ dengan titik awal P(-3, 1, 7)
dan titik ujung Q(2, -3, 1) adalah
v = (2 – (-3), -3 - 1, 1 - 7) = (5, -4, -6)
Analog dengan itu, maka di ruang-2, vektor dengan titik awal
P(x1, y1) dan titik ujungnya Q(x2, y2) adalah:
PQ = (x2- x1, y2 - y1)
4.4. Norma Vektor (Panjang Vektor)
Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan
dinyatakan dengan |v|
S
Vektor 103
x
z
y
O
P( v1, v2, v3 )
|v|
Q
v3
R
Gambar 4.13b
|v|
(v1, v2)
Gambar 4.13a

Berdasarkan teorema Phytagoras, maka norma vektor v = (v1, v2) di
ruang-2 adalah (perhatikan gambar-4.13a)
|v| = 2 2
v1  v2
Misalkan v = (v1, v2, v3) adalah vektor di ruang-3. Dengan
menggunakan gambar-413b dan dengan dua penerapan teorema
Phytagoras, maka kita peroleh
|v|2 = (OR)2 + (RP)2
= (OQ)2 + (OS)2 + (RP)2
= 2 2 2
1 2 3 v  v  v
Jadi
|v| = 2 2 2
1 2 3 v  v  v (4-2)
Jika P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2) adalah dua titik di ruang-3, maka
jarak d di antara kedua titik tersebut adalah norma vektor PQ (Gambar -
4.14). Karena
PQ = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
z
P( x1, y1, z1 )
Q( x2, y2, z2 )
104 Vektor

x
y
O
Gambar 4.14
maka berdasarkan (4-2) jelas bahwa jarak d di antara kedua titik
tersebut adalah
d 2 2 2
 (x2  x1)  (y2  y1)  (z2  z1)
Demikian juga, jika P(x1, y1) dan Q(x2, y2) adalah dua titik di ruang-2,
maka jarak d di antara kedua titik tersebut diberikan oleh
d 2 2
2 1 2 1  (x  x ) (y  y )
Contoh-3
Norma vektor v = (2, -3, 4) adalah
|v | 2 2 2  (2) (3) (4)  4 9 16  29
Jarak d di antara titik P(-3, 2, 1) dan titik Q(4,1,-2) adalah
2 2 2 2 2 2 d (4 ( 3)) (1 2) ( 2 1) (7) ( 1) ( 3)
            
 49  1  9 
59
4.5. Hasil kali titik (dot product)
Vektor 105

Misalkan u dan v adalah dua vector tak nol di ruang-2 atau
di ruang-3, yang titik awalnya berimpit. Hasil kali titik (dot product)
dinotasikan u.v didefinisikan oleh
u.v
| u | . | v | .cos jika u o dan v o
0 jika u o atau v o
   
 
  
(4-3)
di mana  adalah sudut antara vector u dan vector v , dengan
0    




Gambar 4.15
Contoh- 4
Tentukan hasilkali titik antara vector u dan vector v jika
u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2) dan sudut antar vector u dan vector v
adalah  = 60o
Jawab
|u | 2 2 2  (2)  (1)  (1)  4 11  6
|v | 2 2 2  (1)  (1)  (2)  11 4  6
Cos 60o = ½
Jadi, u.v = | u |.| v |. Cos 60o = (6) (6) ½ = 3
106 Vektor

Bentuk Lain Rumus Hasil Kali Titik
Selain bentuk rumus (4-3), hasil kali titk dirumuskan dalam bentuk lain
yang lebih praktis (dapat diturunkan dari rumus cosinus pada segitiga)
Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vector-vektor di R3
maka
(4-4)
u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah vector-vektor di R2 maka
(4-5)
u.v = u1 v1 + u2 v2
Contoh- 5
Tentukan hasilkali titik antara vector u dan vector v jika
u = (2, - 3, - 4) dan v = (1, 5, - 6)
Jawab: u.v = (2)(1) + (-3)(5) + (-4)(-6) = 2 –15 +24 = 11
Dari rumus (4-3) dapat diturunkan rumus untuk mencari sudut antara
dua vektor yaitu
u.v
Cos
  (4-6)
| u | . | v |
Contoh- 6
Tentukan besar sudut antara vector u dan vector v jika
u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)
Jawab: u.v = (2)(1) + (-1)(1) +(1)(2) = 3
Vektor 107

| u |  (2)2  (1)2  (1)2  4 11  6
| v | 2 2 2  (1)  (1)  (2)  11 4  6
u.v 3 3 1
Cos
     , jadi  = 60o
| u | . | v | 6. 6 6 2
HUBUNGAN ANTARA HASIL u.v DAN SUDUT ANTARA u DAN v
Teorema. Misalkan u dan v adalah vektor di R-2 atau R-3, dan 
adalah sudut di antara kedua vector tersebut, maka
 lancip jika dan hanya jika u.v > 0
 tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
 = ½  jika dan hanya jika u.v = 0
Contoh-7: jika u = (2,5), v = (6, 5) dan w = (-5, 2), maka
u.v = (2)(6) + (5)(5) = 12 + 25 = 37 > 0
u.w = (2)(-5) + (5)(2) = -10 + 10 = 0
v.w = (6)(-5) + (5)(2) = -30 + 10 = - 20 < 0
5
4
3
2
1
108 Vektor
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
u

Gambar 4.16
v
w
Maka: u dan v membentuk sudut lancip ( < 90o )
u dan w membentuk sudut ½  = 90o
v dan w membentuk sudut tumpul ( > 90o )
PERKALIAN SILANG DUA VEKTOR
Perkalian silang (Cross Product) antara dua vector hanya
didefinisikan pada vector di R3.
Definisi : Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah
vector-vektor di R3, maka hasilkali silang u x v adalah vector
yang didefinisikan oleh
u x v = (u2 v3 – u3 v2, u3 v1 – u1 v3, u1 v2 – u2 v1)
Atau dalam notasi determinan
 u u u u u u

   
  
u x v = 2 3 , 1 3 ,
1 2
v v v v v v
2 3 1 3 1 2
Vektor 109

Contoh-8
Jika u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), maka
u x v =
 4 1  2 1  2 4

 ,  ,
 =  13, 11, 
18     1 3 5 3 5  1
 
VEKTOR SATUAN
Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 dan terletak
sepanjang sumbu koordinat (gambar-4.17)
( 0, 0, 1 )
i
Z
k
( 1, 0, 0 )
( 0, 1, 0 )
j
Gambar 4.17
Y
X
i = ( 1, 0, 0 )
j = ( 0, 1, 0 )
k = ( 0, 0, 1 )
Setiap vektor v = (v1, v2, v3) di R-3 dapat dinyatakan dengan I, j, dan k
yaitu
v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k
misal: ( 3, -4, 7 ) = 3i + -4j + 7k
Hasilkali silang dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk
determinan 3x3:
110 Vektor

i j k
u u u
v v v
u x v = 1 2 3
1 2 3
u u u u u u
 2 3 1 3 1 2
i j k
 
v v v v v v
2 3 1 3 1 2
Untuk Contoh di atas, u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), maka
u x v =
i j k
2 4 1
5 1 3
4 1 2 1 2 4
1 3 5 3 5 1
i j k
 

 
 
 
= 13 i +11j –18k = (13, 11, -18 ) =
13
11
18




4. 6 Menyelesaikan Soal Vektor Dengan Mathcad
Jika u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), tentukan :
a.  uv
b. uv
Vektor 111

Solusi
 Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut
 Ketikan u := kemudian akan muncul
 Pilih tombol Matriks dan Vector Toolbars sehingga akan
muncul
 Tekan tombol akan muncul
,
112 Vektor

 Isikan vektor yang bersesuaian dengan soal
 Dengan cara yang sama buat vektor v sehingga diperoleh:
 Untuk memperoleh Perkalian Titik dan Perkalian Silang kedua
matriks tersbut, pada toolbars matriks pilih tombol dan
disertai tanda ”  ” sehingga akan muncul:
Vektor 113

Rangkuman
1. Skalar adalah besaran tanpa arah. Contoh: luas, suhu, jarak, dll.
2. Vektor adalah besaran yang memiliki arah. Contoh: Kecepatan,
Gaya dorong, dll.
3. Menyatakan vektor: v = ( 2, -3, 5 ) = 2i – 3j + 5 k =
2
3
5





4. Panjang vektor u = (u1, u2, u3) adalah |u | = 2 2 2
v1  v2  v3
5. Perkalian titik (Dot Product) antara u = (u1, u2, u3) dan
v = (v1, v2, v3) adalah u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Perkalian titik menghasilkan skalar (bilangan real)
6. Sudut antara vektor u dan v diperoleh dari rumus
7.  lancip jika dan hanya jika u.v > 0
 tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
 = ½  jika dan hanya jika u.v = 0
u.v
Cos
| u | . | v |
 
8. Perkalian silang antara u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah
u x v =
 u u u u u u

2 3 ,  1 3  ,
1 2
   v v v v v v

2 3 1 3 1 2

= (u2 v3 – u3 v2, u3 v1 – u1 v3, u1 v2 – u2 v1)
Perkalian silang menghasilkan vektor lagi
114 Vektor

Vektor 115

5 Matriks
Overview
Pada bab ini akan dijelaskan tentang matriks dan operasinya. Diawali
dengan definisi matriks, ukuran matriks(ordo), memberi nama sebuah
matriks, dan menentukan elemen-elemen matriks. Berikutnya akan
dijelaskan operasi-operasi yang berlaku pada matriks, di antaranya:
menjumlahkan dua matriks, mengalikan skalar dengan matriks,
mengalikan dua matriks, mentranspose matriks. Jenis-jenis matriks
adalah hal yang harus segera diketahui, karena operasi-operasi
berikutnya akan tergantung pada jenis matriks tertentu. Selanjutnya
akan diperkenalkan operasi baris elementer (OBE), yang mana
merupakan operasi yang sangat ampuh untuk memecahkan berbagai
kasus yang berhubungan dengan matriks. Materi berikutnya adalah
Determinan dari suatu Matriks persegi, diawali dengan definisi
determinan, kemudian cara-cara memperoleh determinan, sifat-sifat
determinan. Salah satu penggunaan determinan adalah untuk
menentukan Matriks balikan dan menentukan solusi sistem
persamaan linear yang akan dijelaskan di bagian akhir dari materi
matriks ini.
Tujuan
1. Memahami Definisi Matriks dan kegunaannya.
2. Mampu menjumlahkan dan mengurangkan dua matriks
3. Mahir melakukan perkalian dua matriks
116 Matriks

4. Mahir dalam melakukan Operasi Baris Elementer (OBE)
5. Mampu menentukan determinan matriks dengan beberapa
Matriks 117
PAGE 10
metode
6. Mampu mencari Invers Matriks dengan beberapa metode
7. Mampu menentukan solusi Sistem Persamaan Linear dengan
beberapa metode.

5.1 Definisi Matriks
Sebuah matriks adalah susunan dari bilangan–bilangan berbentuk
persegi panjang yang diapit oleh dua buah tanada kurung biasa atau
kurung siku. Bilangan–bilangan di dalam susunan tersebut disebut
elemen matriks.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam
matriks atau disebut juga elemen atau unsur.
Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada
matriks tersebut
5.2 Ordo Matriks
Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada
matriks tersebut
1 4 3 2 8 5 4 6
1 3 2 7 20 3 5 8 1 4 3
6 0 4 5 1 0 e 3
       
     
          
           
(a) (b) (c) (d) (e)
Ordo Matriks – a : 3 X 3, Ordo Matriks – b : 3 X 4
Ordo Matriks – c : 1 X 3, Ordo Matriks – d: 3 X 1
Ordo Matriks – e : 1 X 1
5.3 Notasi Matriks
Matriks dinotasikan dengan huruf besar sedangkan unsur -unsurnya
dinyatakan dengan huruf kecil.
Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga menggunakan aij untuk
menyatakan entri/unsur yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari
A sehinga A = [aij]
a a a
a a a
11 12 1
118 Matriks
21 22 2
1 2
n
n
m n
m m mn
A
a a a

 
 
  
 
 
 

5.4 Jenis-jenis Matriks
Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilangan pada
entrinya.
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ; 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
   
   
 
   
   
A B
Matriks 119
PAGE 10
Matriks Nol
Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau
elemennya adalah bilangan nol.
Matriks Satu
Matriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau
elemennya adalah 1.
Matriks Baris
Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya
tersusun dalam tepat satu baris.
Matriks Kolom
Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya
tersusun dalam tepat satu kolom.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
 
 

 
 
C
B 2 1 0 3
0
1
2
 
 
 
 
 
C
Matriks nol

Matriks satu Matriks baris Matriks kolom
Matriks Persegi
Matriks persegi didefinisikan sebagai matriks yang jumlah baris dan
kolomnya sama,
2 4 6 4
6 3 7 3
6 7 0 2
4 3 2 8
  
 
  
 
 
 
A
Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang entri/elemennya
memenuhi syarat: aij = 0 untuk i > j.
 2  1 3

 

0 4 2
 
 0 0  4

A
2 0 0
1 7 0
3 2 4
 
 

 
   
B
Matriks segitiga atas
Matriks segitiga bawah
Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri/elemennya
memenuhi syarat: aij = 0 untuk j < i.
Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya
memenuhi syarat: aij = 0 untuk i ≠ j.
2 0 0
0 7 0
0 0 4
 
 

 
  
A
120 Matriks

Matriks Identitas
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya
memenuhi syarat: aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j
 
   
                      
Matriks Transpose
Matriks transpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari
perpindahan baris menjadi kolom atau sebaliknya.
   
       
     
    
T A A
2 1 2
3 0 1
1
2
0
 
Matriks 121
PAGE 10
Contoh 5-1
SIFAT- SIFAT MATRIKS TRANSPOSE
1) ( A + B )T = AT + BT ; A dan B berordo sama
2) (AT)T = A
3)  (AT) = (  A)T ;  Suatu skalar
4) (A B)T = BTAT ; A dan B harus memenuhi sifat
perkalian.
5). Setiap Matriks Dapat Dikalikan Dengan Transposenya
Contoh –Contoh :
A =
 
 
 
dan B =
 
 
 
 
BT = 1 2 0
2 3 4
1 0 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0 0
; 0 1 0 ;
0 1 0 0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
 
I I I
1 2 3
1 3 2 9
3 4 6
2 4 3 1
2 3 5
3 6 5 0
9 1 0
 

AT =
2 3
1 0
2 1
 
 
 
 
( AT )T =
2 3
1 0
2 1
T
 
 
 
 
=
2 1 2
3 0 1
 
 
 
= A
A B =
2 1 2
3 0 1
1
2
0




 
 
 
=
4
3



(A B)T = 43
23
10
21




BT . AT = 1 2 0
= 43 = (A B)T
AT . BT =
23
10
21




1 2 0 = ? Tidak dapat dikalikan.
122 Matriks

Mf113 kalkulus

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

Similar to Mf113 kalkulus

Similar to Mf113 kalkulus (20)

Mf113 kalkulus