• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
พื้นที่ผิวและปริมาตร
 

พื้นที่ผิวและปริมาตร

on

  • 22,666 views

 

Statistics

Views

Total Views
22,666
Views on SlideShare
22,666
Embed Views
0

Actions

Likes
13
Downloads
0
Comments
1

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

11 of 1 previous next

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    พื้นที่ผิวและปริมาตร พื้นที่ผิวและปริมาตร Presentation Transcript

    • พื้นที่ผิวและปริมาตรโดย . . . ครูปราณี เสียงสนั่น โรงเรียนฤทธิณรงค์รอน
    • ทบทวนสูตรพื้นที่รูปเรขาคณิตต่างๆ สูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = 1 × ฐาน × สูง 2 3 _ × (ด้าน)2 สูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = 4สูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ = s( s  a )(s  b )(s  c ) a เมื่อ s = a + b + c b 2 c
    • สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน × ด้าน สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง × ยาว สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 1 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง 2 สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน × สูงสูตร พื้นทีสี่เหลี่ยมใด ๆ = 1 × ความยาวเส้นทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเส้นกิ่ง ่ 2
    • ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมีวงกลม = 2 รัศมี (r)รัศมี (r) สูตร ความยาวเส้นรอบวงของวงกลม = 2r สูตร พื้นที่วงกลม = r2รัศมี (r)ค่าของ  1. ใช้ค่าเศษส่วนประมาณ 227 2. ใช้ทศนิยม ประมาณ 3.1416
    • ทบทวนสูตรที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่และปริมาตร พ.ท.ของ = 1 x ฐาน x สูง 2 พ.ท. ของ ผ = กว้าง x ยาว พ.ท. ของ จ = ด้าน x ด้าน พ.ท. ข = ฐาน x สูง พ.ท. ค = 1 x (ผลบวกของด้านคู่ขนาน)x สูง 2 พ.ท.ของ = r2 ปริมาตร = พ.ท.ฐาน x สูง
    • 1.1 รูปเรขาคณิตสามมิติในชีวิตประจาวันนักเรียนจะพบรูปทรงเรขาคณิตมากมาย เช่น
    • 1. ปริซึม ( PRISM )ปริซึม ( PRISM ) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็น รูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองนั้นอยู่บนระนาบ ที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
    • ปริซึมฐานสามเหลี่ยม ปริซึมฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า ปริซึมฐานสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ ปริซึมฐานห้าเหลี่ยม ปริซึมฐานหกเหลี่ยม
    • สารวจปริซึม พิจารณารูปของปริซึมห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ต่อไปนี้ A E 1. ปริซึมมีทั้งหมดกี่หน้า ( 7 หน้า )B D 2. รูปเหลี่ยมที่เป็นฐานของปริซึม มีกี่รูป ชื่ออะไร C ( 2 รูป คือ รูป ABCDE และรูป GHIJF ) G F 3. รูปเหลี่ยมที่เป็นด้านข้างของปริซึม มีกี่รูป ( 5 รูป ) H I J 4. รูปเหลี่ยมที่เป็นด้านข้างของปริซึมเท่ากันทุกหน้าหรือไม่ ( เท่ากัน ) 5. ส่วนสูงของปริซึมมีความยาวเท่ากันหรือไม่ ( เท่ากัน ) 6. ส่วนสูงของปริซึม คือส่วนของเส้นตรงใด (ส่วนของเส้นตรง AG , BH , CI , DJ , EF )
    • การคลี่รูปปริซึมห้าเหลียมด้านเท่ามุมเท่า ต่อไปนี้ ่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 5 รูป เป็นรูปห้าเหลี่ยม 2 รูป
    • ทาแบบฝึกหัดหน้า 5 – 7 ในหนังสือเรียน 2. รูปคลี่ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นรูปคลี่ของปริซึมชนิดใด1) 3)2) 4)
    • 4. รูปในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นรูปของปริซึม จงระบุฐานทั้งสองของปริซึม ( วิธีวาดรูปของปริซึม ให้ใช้หลักเส้นขนาน )1)
    • ทรงกระบอก ( cylinder ) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติทมีฐานทั้ง ี่สองเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ และอยู่บนระนาบที่ขนานกันและเมือตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะ ่ได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นว่า “ ทรงกระบอก “
    • ส่วนต่างๆ ของทรงกระบอก หน้าตัด หรือฐาน แกน ส่วนสูง h หน้าตัด หรือฐาน รัศมีฐาน r ทรงกระบอกตรง
    • คลี่ส่วนของหน้าตัดออก รัศมีฐาน r r ความยาวรอบฐาน 2r ความสูง h r คลี่ส่วนข้างออกมาคลี่หน้าตัดออก สารวจทรงกระบอก หน้า 9- 10
    • ปริมาตรของทรงกระบอก คือ ความจุของทรงกระบอก หาได้จาก หน้าตัด หรือฐาน รัศมีฐาน r สูตร ความยาวเส้นรอบวงของวงกลม = 2r แกนส่วนสูง h สูตร พื้นที่วงกลม = r2 สูตร ปริมาตรของทรงกระบอก = r2 h
    • ข้อ 5. หน้า 31 รัศมีฐาน r = 10.5 ซม. เค้กหนา 5 ซม. ตัดเค้กออกให้มีมุมที่จุดศูนย์กลาง 60 องศา ตัดเค้กออกให้มีมุมที่จุดศูนย์กลาง 60 องศา คิดเป็น 60 = 1 เท่าของเค้กทั้งก้อน 360 6 1 r2 h ) = 1 (22 x 10.52 x 5 ) ปริมาตรของเค้กที่ตัดออก = 6 6 7 ปริมาตรของเค้กที่ตัดออก = 288.75 ลูกบาศก์เซนติเมตร
    • ข้อ 8. หน้า 32รัศมีฐาน r รัศมีฐาน 2r ส่วนสูง 2h ส่วนสูง h ปริมาตรของทรงกระบอกใบสูง = (r)2 (2h) = 2r2h ปริมาตรของทรงกระบอกใบเตี้ย = (2r)2 h = 4r2h ปริมาตรของทรงกระบอกใบเตี้ย = 2 เท่าของปริมาตรทรงกระบอกใบสูง น้้าพริกเผาขวดสูงราคาขวดละ 16 บาท ถ้าซื้อสองขวดราคา 16 x 2 = 32 บาท น้้าพริกเผาขวดเตี้ยราคาขวดละ 30 บาท ดังนั้นน้้าพริกเผาขวดเตี้ยราคาถูกกว่า
    • ข้อ 10. หน้า 32 ใส่ข้าวที่ผสมแล้วลงในกระบอก = 2 ใน 3 ของความยาวของกระบอก กระบอกข้าวหลามมีเส้นผ่านศูนย์กลาง = 5 ซม.ดังนั้นรัศมี = 2.5 ซม. กระบอกข้าวหลามมีความยาวภายในที่ใช้บรรจุ = 30 ซม. ปริมาตรของข้าวหลาม 1 กระบอก  r 2 h  3.14 2.5  2.5 30 = 588.75 ลบ.ซม.ดังนั้น ข้าวหลาม 100 กระบอก มีปริมาตร = 100 x 588.75 = 58,875 ลบ.ซม. 58875 ลิตร = 58.875 ลิตร.  1000ข้าวหลาม 100 กระบอก มีข้าวเหนียวขาว 1 ส่วน และ ข้าวเหนียวด้า 4 ส่วน 58.875 ลิตร = 11.775 ลิตร.ดังนั้นมี ข้าวเหนียวขาว  5และมี ข้าวเหนียวด้า = 4 x 11.775 ลิตร. = 47.1 ลิตร.
    • พื้นที่และปริมาตร พีระมิด( PYRAMID ) รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น เรียกว่าพีระมิด ( PYRAMID )
    • พีระมิด แท่งพีระมิด ฐานแผ่นคลี่
    • พีระมิด ฐาน แท่งพีระมิดแผ่นคลี่
    • พีระมิด ฐาน แท่งพีระมิดแผ่นคลี่
    • ส่วนประกอบพีระมิด ยอด สันสูงเอียง สูงเอียง ส่วนสูงด้านฐาน ฐาน ความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน
    • มุมมองจากบน 5 รูปมุมมองจากล่าง
    • การเรียกชื่อพีระมิด เรียก ตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐานพีระมิด พีระมิด พีระมิด พีระมิดสี่เหลี่ยมผืนผ้า หกเหลี่ยม สามเหลี่ยม ห้าเหลี่ยม
    • พ.ท. ผิวข้างของพีระมิดฐานสามเหลี่ยม มี 3 ด้านพ.ท.ผิวข้าง พ.ท. ผิวข้างของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม มี 4 ด้าน พ.ท. ผิวข้างของพีระมิดฐานห้าเหลี่ยม มี 5 ด้าน พ.ท. ผิวข้างของพีระมิดฐานหกเหลี่ยม มี 6 ด้าน
    • เรียกว่า “ สูงตรง “ เรียกว่า “ สัน “ เรียกว่า “ สูงเอียง “
    • พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1 x ความยาวรอบรูปของฐาน x สูงเอียง 2 สารวจพีระมิด หน้า 12 - 14
    • แบบฝึกหัด 1.2 ก 1. จงหาปริมาตรของปริซึมต่อไปนี้ (ความยาวที่กาหนดให้มีหน่วยเป็นเซนติเมตร)1) ปริมาตร = พ.ท.ฐาน x สูง 6 ปริมาตร = (3 1x 2 4)x 6 4 3 1 ปริมาตร = 3.5 x 4 x 6 ลูกบาศก์เซนติเมตร 2 ปริมาตร = 84 ลูกบาศก์เซนติเมตร Ans.
    • 2) ปริมาตรส่วนล่าง = พ.ท.ฐาน x สูง 8 12 ปริมาตรส่วนล่าง = 12 x 16 x 4 ลบ.ซม. 4 ปริมาตรส่วนล่าง = 768 ลบ.ซม. 16 4 ปริมาตรรูปทรงส่วนบน = 1 (12 x 16 x 8) ลบ.ซม. 12 2 ปริมาตรของรูปทรงส่วนบน = 768 ลบ.ซม. ดังนัน ปริมาตรของรูปทรงทั้งหมด ้ = 768 + 768 ลบ.ซม. = 1,536 ลบ.ซม. Ans.
    • 6) ปริมาตรส่วนที่แรเงา = พ.ท.ฐาน x สูง ปริมาตรส่วนที่แรเงา = 3 1 x 6 1x 15 3 15 2 2 3 ปริมาตรส่วนที่แรเงา = 3.5 x 6.5 x 15 4 1 3 2 6 1 2 ปริมาตรส่วนที่แรเงา = 341.25 4 6 1 2 ปริมาตรส่วนที่ไม่แรเงา = 2 x (3 x 4 x 6.5) ปริมาตรส่วนที่ไม่แรเงา = 156 ปริมาตรทั้งหมด = 341.5 + 156 = 497.5 ลูกบาศก์เซนติเมตร Ans.
    • ข้อ 10 หน้า 26 12 ซม. ปริมาตรของเสาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งต้น = พ.ท.ฐาน x สูง 5 ซม. = (1.5 x 100 ) x 20 x 20 12 ซม. ปริมาตรของเสาทรงสีเ่ หลี่ยมมุมฉากทั้งต้น = 60,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร 8 ซม 20 ซม. ปริมาตรของเสาส่วนที่หายไปด้านขวา = 5 x 20 x 1220 – 12 – 5 = 3 ซม. ปริมาตรของเสาส่วนที่หายไปด้านขวา = 1,200 ลูกบาศก์เซนติเมตร1.5 เมตร ปริมาตรของเสาส่วนที่หายไปด้านซ้าย = 3 x 20 x 8 20 ซม. ปริมาตรของเสาส่วนที่หายไปด้านซ้าย = 480 ลูกบาศก์เซนติเมตร เมื่อตัดเสาแล้วเสาต้นนี้มีปริมาตร = 60,000 – 1,200 - 480 ลูกบาศก์เซนติเมตร เมื่อตัดเสาแล้วเสาต้นนี้มีปริมาตร = 58,320 ลูกบาศก์เซนติเมตร
    • ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลียมจัตุรัส ซึ่งมี ่ฐานยาวด้านละ 14 เซนติเมตร และสูง 24 เซนติเมตร ABCD เป็นฐานของพีระมิด มีความยาวด้านละ 14 เซนติเมตร VX เป็นส่วนสูงของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม 24 จัตุรัส ซึ่งมีความยาว 24 เซนติเมตร VY เป็นส่วนสูงเอียงของพีระมิด D C X 7 Y A 14 B XY ตั้งฉากกับ VX ที่จุด X
    • 4/ 144 ) จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว 32 เซนติเมตรและ 10 เซนติเมตร และมีความสูง 12 เซนติเมตร A ในสามเหลี่ยม ABC มุม C เป็นมุมฉาก ดังนั้น AB2 = AC2 + BC2 12 AB2 = 122 + 162 AB2 = 144 + 256 C B AB2 = 400 16 10 5 AB = 20 D 32
    • การหา ความสูงเอียง กรณีมีความยาวสันA พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นิ้ว สันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียง 5 ให้ AC เป็นสัน ยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 6 2 = 3 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABCB 3C6 AB2 + 32 = 52 AB2 = 25 - 9 AB2 = 16 AB2 = 4 x 4 AB = 4 ตอบ สูงเอียง 4 นิ้ว
    • การหาความสูงเอียง กรณีมีส่วนสูง A พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว12 ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียงC 5 B BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 10 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AB2 = 122 + 52 AB2 = 144 + 25 AB2 = 169 AB2 = 13 x 13 AB = 13 ตอบ สูงเอียง 13 นิ้ว
    • การหาความสูง กรณีมสูงเอียง ี A พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว สูงเอียงยาว 13 นิ้ว จงหาความสูง ให้ AB เป็นความสูงเอียง AC เป็นส่วนสูงC B BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 10 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AC2 + 52 = 132 AC2 = 169 – 25 AC2 = 144 AC = 12 ตอบ ส่วนสูง 12 นิ้ว
    • การหาปริมาตรพีระมิด ให้นักเรียนทดลอง จากกล่อง ทรงปริซึม จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง เมื่อ พีระมิดที่มีส่วนสูงและฐานเท่ากับปริซึมเมื่อท้าการตวง จะได้ 3 ปริมาตรพีระมิด เท่ากับ 1 ปริมาตรปริซึมสูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x พื้นที่ฐาน x สูง 3
    • ตัวอย่างที่ 1) จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x พื้นทีฐาน x สูง ่ 3 สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x (ด้าน x ด้าน) x สูง 3 สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x ( 22 x 22) x 15 3ดังนั้น ปริมาตรของพีระมิดนี้ = 2,420 ลูกบาศก์เซนติเมตร
    • ตัวอย่างที่ 2 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านฐานยาวด้านละ 14 เซนติเมตร ส่วนสูง 24 เซนติเมตร A สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1 x พื้นทีฐาน x สูง 3 ่ 24 1 ปริมาตรของพีระมิดนี้ = 3 x ( ด้าน x ด้าน ) x สูง C 14 14 = 1 x ( 14 x 14 ) x 24 3 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 1,568 ลูกบาศก์เซนติเมตร
    • (ข้อ 4 หน้า 40 ) แก้วอันหนึ่งมีลักษณะเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันประกบกันและบรรจุอยู่ในกล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ยาวด้านละ 10 เซนติเมตร โดยจุดยอดทั้งหกของแก้วสัมผัสกล่องที่จุดกึ่งกลางของแต่ละหน้า ดังรูป ปริมาตรของแก้วนี้เป็นเท่าใดภาพตัดขวาง จากทฤษฎีบทของพีธากอรัส จะได้ a  5  5 2 2 2 5 5 a 2  25  25  50 a a a  50  5 2 a a a5 2 5 1 ปริมาตรของแก้วทรงพีระมิด 2 ชิ้น   2  (a  a)  5 3 1   2  50  5  166.66 ลูกบาศก์เซนติเมตร 3
    • ข้อ 5 หน้า 40) ขนมเทียนมีฐานยาวด้านละ 4 ซม. สูง 3 ซม. จ้านวน 100 ห่อ ปริมาตรของขนม100 ห่อ =100 ( 1 พื้นที่ฐาน x สูง) x 3 1 3 ปริมาตรของขนมนี้ = 100 x 3 x 4 x 4 x 3 4 = 1600 ลูกบาศก์เซนติเมตร 4ใช้แป้ง 2/3 ของเนื้อขนม = 2/3 x (1,600) ลูกบาศก์เซนติเมตร = 1066.66 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 1.06 ลิตร
    • กรวย ( CONE) รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใดๆบนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรงเรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินี้ว่า กรวย ฐานรูปวงกลม
    • การวาดกรวย เริ่มวาดฐาน ลากส่วนสูง ในแนววงรี ในแนวดิ่ง หรือ ที่ตั้งฉากกับฐานเริ่มวาดฐาน ลากส่วนสูงในแนววงรี ในแนวดิ่ง หรือ ที่ตั้งฉากกับฐาน
    • ยอด ส่วนสูงเอียง  ส่วนสูง h h ฐานรูปวงกลม rกรวยตรง รัศมีฐาน r กรวยเอียง
    • ความสัมพันธ์ r , h ,  ยอด ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส ส่วนสูงเอียง  ส่วนสูง h ฐานรูปวงกลม h rรัศมีฐาน rกรวยตรง 2 = h2 + r2 สารวจทรงกรวย หน้า 15 - 17
    • พื้นที่ผิวกรวย ส่วนของฐาน  พื้นที่ฐานเป็นรูปวงกลม r = r2 2r  ส่วนของข้างกรวย พื้นที่ผิวข้างของกรวย = r   พื้นที่ผิวของกรวย = พื้นที่ผิวข้างของกรวย + พื้นที่ฐานรูปวงกลมสูตร พื้นที่ผิวของกรวย = r  + r2
    •  h r 2  = h2 + r 2 สูตร พื้นที่ผิวข้างของกรวย = r  สูตร พื้นที่ฐานกรวย = r2 สูตร พื้นที่ผิวของกรวย = r  + r2
    • ตัวอย่างที่ 1 แท่งไม้รูปร่างเป็นกรวยอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 12 เซนติเมตร ความสูง 8 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวกรวยนี้ แนวคิด ต้องหา รัศมี และสูงเอียงวิธีท้า กรวยมีรัศมียาว = เส้นผ่านศูนย์กลางหารด้วย 2 กรวยมีรัศมี = เส้นผ่า2นศูนย์กลาง h =8  = 12 2 r =6 = 6 ให้ ความสูงเอียง เป็น  2ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส  = h2 + r 2  = 82 + 2 2 6 2  = 100
    •  = 10  = 10 h =8 r =6 สูตร พื้นที่ผิวของกรวย = r  + r2 =  r ( + r )แทนค่าสูตร พื้นที่ผิวของกรวย = 22 × 6 × ( 10 + 6 ) 7 = 132 × ( 16 ) 7 = 2112 7 พื้นที่ผิวของกรวย = 301.71 ตารางเซนติเมตร
    • ตัวอย่างที่ 2 ต้องการท้ากรวยจากกระดาษให้มีรัศมีปากกรวยยาว 21 เซนติเมตรความสูงเอียง 35 เซนติเมตร กรวยนี้ไม่มีฐาน จงหาพื้นที่กระดาษที่จะใช้ท้ากรวยวิธีท้า สูตร พื้นที่ผิวข้างของกรวย =  r  5แทนค่า ได้ พื้นที่ผิวข้างของกรวย = 22 × 21 × 35 7 1 = 22 × 21 × 5 = 2310 ใช้กระดาษมีพื้นที่ 2310 ตารางเซนติเมตร
    • ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ฐาน พื้นที่ผิวทั้งหมด รูป พื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ฐาน พื้นที่ผิวทั้งหมด l rl r 2 พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน h6  63.248  28.285 22 22   3  45   32 r 3 7 7  91.533  63.248 22 l r h 2 2 2  9 7 l 2  32  62  28.285 l 2  9  36 l 2  45 l  45
    • ปริมาตรของกรวย ทรงกระบอกมีรัศมีฐานยาว r หน่วย และสูง h หน่วย ทรงกระบอกมีปริมาตร = r2h สร้าง กรวยแต่ละอันมีรัศมียาว r หน่วย ให้เท่ากับรัศมีฐานทรงกระบอก และสูง h หน่วยเท่ากับรัศมีส่วนสูงทรงกระบอก ตวงทราย 3 กรวยใส่ได้เต็มทรงกระบอกพอดี ปริมาตรกรวย = 1 r2h 3
    • สูตรปริมาตรกรวย = 1 r2h 3r r แทนรัศมีฐานกรวย h h แทนความสูงของกรวย
    • ตัวอย่างที่ 3 กรวยใส่ขนมมีเส้นผ่านศูนย์กลางของปากกรวยยาว3 เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร จงหาความจุของกรวยนี้วิธีท้า ใช้รัศมีกรวย = ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 = 3 2 สูตร ปริมาตรกรวย = 1  r2 h 3แทนค่า ได้ ปริมาตรกรวย = 1 × 22 × [ 3 ]2 × 10 3 7 2 = 1 × 22 × 3 × 3 × 10 3 7 2 2 = 11 × 3 × 5 7 ปริมาตรกรวย = 35.57 ลูกบาศก์เซนติเมตร
    • ตัวอย่างที่ 4 กรวยใบตองจ้านวน 150 ชิ้น ใส่ขนมกล้วยได้ 1,100 ลูกบาศก์เซนติเมตร และกรวยสูง 7 เซนติเมตร จงหาว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานกรวยจะยาวเท่าใดวิธีท้า กรวย 150 ชิ้นจุได้ 1,100 ลูกบาศก์เซนติเมตร กรวย 1 ชิ้นจุได้ 1100 150 = 22 ลูกบาศก์เซนติเมตร 3 ให้ r แทนรัศมีของกรวย สูตร ปริมาตรกรวย = 1  r2 h 3 1 แทนค่า 22 = 1 × 22 × r2 × 7 3 3 7 1 22 × 3 = r2 3 22
    • r2 = 1 ได้ r = 1 ได้ รัศมีกรวยยาว = 1เส้นผ่านศูนย์กลางยาว = 1× 2 = 2 เซนติเมตร
    • ตัวอย่างที่ 5 กรวยอันหนึ่งสูงเอียง 17 เซนติเมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานยาว 16 เซนติเมตร จงหาปริมาตรกรวยวิธีท้า  = 17 สูตร ปริมาตรกรวย = 1  r2 h 3 สูง =h r =8 ใช้รัศมีกรวย = ความยาวเส้2 ผ่านศูนย์กลาง น = 16 2 = 8 จะต้องหาส่วนสูง ให้สูง = h 2 จากรูป ตามทฤษฎีปีทาโกรัส  = h2 + r 17 = h 2 2 + 282
    • 172 = h2 + 82 172 - 82 = h2 289 - 64 = h2 225 = h2 15 = hสูตร ปริมาตรกรวย = 1 r2 h 3 5 ปริมาตรกรวย = 3 1 × 3.14 × 82 × 15 1 = 3.14 × 64 × 5 ปริมาตรกรวย = 1,004.8 ลูกบาศก์เซนติเมตร
    • Sphere) ทรงกลม (sphere) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติ ที่มีผิวโค้งเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโค้ง อยู่ห่างจากจุดคงที่เป็นระยะเท่ากัน เรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของทรงกลม และระยะทางคงที่เรียกว่า รัศมี (radius) ของ ทรงกลม
    • 1) นาระนาบมาตัดทรงกลม แล้วหน้าตัดเป็นรูปอะไร ตอบ เป็นรูปวงกลม2) รูปหน้าตัดทีได้มีขนาดเท่ากันหรือไม่ ่ ตอบ ไม่เท่ากัน 3) วงกลมใหญ่ของทรงกลมนี้ มีกี่วง ตอบ มีหลายวงนับไม่ถ้วน
    • สูตร พื้นที่ผิวทรงกลม = 4r2(r)
    • รัศมี = r รัศมี = r ทรงกระบอกสูง = 2rจากการใช้ทรงกลมแทนที่น้าในทรงกระบอก ถ้าน้าเต็มทรงกระบอกเป็น 3 ส่วน น้าจะล้นออกมา 2 ส่วนดังนั้นปริมาตรของทรงกลม = 2 ใน 3 ของทรงกระบอก
    • ปริมาตรทรงกระบอก = r  (2r ) 2  2r 3 2ปริมาตรทรงกลม   (2r 3 ) 3 4 3ปริมาตรทรงกลม  r 3
    • 4 3 r 3 4  3.14  9  9  9 3
    • 4 3  r 3รัศมี = r = 2
    • 1  2(  (12  4) 15) 2 12  2404 15 12 a
    • 8a a 2  82  152 4 a 2  64  225  289 a  17
    • 8  2Rh  2  3.14  6  23  866.6423  2rh  2  3.14  4  23  577.76  R 2  r 2  (3.14  6  6)  (3.14  4  4) 12  113.04  50.24  62.8
    • 1สูตรพื้นทีผิวของรูปเรขาคณิต ่ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = 1 × ฐาน × สูง 2 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = 4 3 _ × (ด้าน)2 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ = s( s  a )(s  b )(s  c ) a b เมื่อ s = a + b + c c 2 สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน × ด้าน สูตร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง × ยาว พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 1 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง 2
    • พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน × สูง 1 พื้นทีสี่เหลี่ยมใด ๆ = 2 × ความยาวเส้นทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเส้นกิ่ง ่ รัศมีวงกลม = ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 สูตร ความยาวเส้นรอบวงของวงกลม = 2r สูตร พื้นที่วงกลม = r2รัศมี ( r ) สูตรปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต ปริมาตรของปริซึม = พ.ท.ฐาน x สูง ปริมาตรของพีระมิด = 1 x พื้นทีฐาน x สูง ่ 3
    • รัศมีหน้าตัด rส่วนสูง h ค่าของ  ใช้ค่าเศษส่วนประมาณ 22 หรือ 3.1416 7 พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2r ( r + h )  ปริมาตรของทรงกระบอก = r2 h พื้นที่ผิวของกรวย = r  + r2 r ปริมาตรของกรวย = 1 r2h 3 พื้นที่ผวทรงกลม ิ = 4r2 ปริมาตรทรงกลม  4 r 3 3 (r)