VECTORES Y ESCALARES. ALGEBRA VECTORIAL, VECTORES UNITARIOS

1. VECTORES
FISICA I, CICLO 01/2014
ING. RIGOBERTO VARGAS SAAVEDRA

2. ESCALARES Y VECTORES
Escalar es la cantidad totalmente especificada por un
número y sus unidades; tiene magnitud pero no
dirección. Los escalares obedecen las reglas del
álgebra ordinaria. Ejemplos: longitud, masa, tiempo,
área, volumen, densidad, presión y temperatura.

3. Vector es la cantidad especificada por una
magnitud, una dirección y un sentido en el espacio.
Los vectores responden a las leyes del álgebra
vectorial. Ejemplos: desplazamiento, velocidad,
aceleración, fuerza, peso y tensión.
ESCALARES Y VECTORES

4. REPRESENTACION GRAFICA DE UN VECTOR
Un vector se representa por medio de una flecha a
una cierta escala. La longitud de la flecha
representa el módulo del vector. La línea sobre la
que se encuentra es la dirección del vector.


𝑪
𝑫𝑩
𝑨
𝑨 : 𝑴ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑨

5. Dos vectores A y B son iguales si tienen el mismo módulo y la
misma dirección.
El negativo de un vector A lo definimos como el vector  A
que al sumarle el vector A su resultado es cero.
A + ( A) = 0
El vector  A posee el mismo módulo que el vector A pero su
dirección es opuesta. ( A es antiparalelo a A)
𝑨
𝑩
𝑨
𝑩
𝑨 = 𝑩 𝑨  𝑩

6. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
La proyección de un vector sobre los ejes de un
sistema de coordenadas rectangulares se
denominan componentes rectangulares de un
vector.

7. VECTOR EN EL PRIMER CUADRANTE
Y
A
Ay

Ax X

8. Y
A
Ay

X Ax
VECTOR EN EL SEGUNDO CUADRANTE

9. X Ax

A Ay
Y
VECTOR EN EL TERCER CUADRANTE

10. Ax X

Ay
A
Y
VECTOR EN EL CUARTO CUADRANTE

11. Para todos los casos, el cálculo de Ax y Ay es con las
siguientes ecuaciones:
𝐴 𝑥 = ±𝐴𝐶𝑜𝑠𝜃 𝐴 𝑦 = ±𝐴𝑆𝑒𝑛𝜃
El módulo de un vector puede escribirse en función de
sus componentes rectangulares. Las componentes Ax y
Ay forman catetos de un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa es el módulo de A aplicando el teorema
de Pitágoras.

12. 𝐴 = 𝐴 𝑥
2
+ 𝐴 𝑦
2
Si el vector esta en el espacio, tendrá tres componentes y su
módulo se calcula así:
𝐴 = 𝐴 𝑥
2
+ 𝐴 𝑦
2
+ 𝐴 𝑧
2
Podemos también establecer la dirección del vector A en
función de las componentes rectangulares, así:
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝐴 𝑦
𝐴 𝑥

13. VECTOR UNITARIO
Cuando se divide un vector entre su propio módulo
obtenemos un vector unitario que posee de módulo
la unidad, sin dimensiones físicas, paralelo y del
mismo sentido del vector que se divide.
𝑈𝐴 =
𝐴
𝐴
Donde: 𝑈𝐴 = 1

14. Para los vectores en dirección de los ejes X, Y y Z:
𝑖 =
𝑋
𝑋
𝑗 =
𝑌
𝑌
𝑘 =
𝑍
𝑍
Donde: 𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = 1
Ahora los vectores en el plano y en el espacio los podemos
expresar con sus respectivos vectores unitarios, así:
𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗
𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘

15. Ejemplo 1: Determine las componentes de los vectores A y B
y expréselos con los vectores unitarios.
Ejemplo 2: Para el vector 𝐶 = −6𝑖 + 7𝑗 − 9𝑘 determine su
magnitud y el vector unitario en dirección de 𝐶.
35o B
58o
A

16. SUMA Y RESTA DE VECTORES
•En la suma de vectores se cumplen las siguientes leyes:
•Ley conmutativa: A + B = B + A.
•Ley asociativa: A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) =
(A + C) + B.

17. MÉTODO GRAFICO O MÉTODO DEL POLÍGONO
Se colocan los vectores, uno a continuación del
otro, en cualquier orden, incluyéndolos a todos,
siendo el vector suma, el vector que va del
origen o cola del primero hasta la punta de
flecha del último.

18. Por ejemplo, si queremos sumar los siguientes vectores, es
decir, obtener el resultado de A + B + C.
A
 C
B

19. ALGUNAS FORMAS DE HACERLO SERÍAN:
A

B
R
C

B A
R
C
C
R
A 
B

20. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
Este método se puede utilizar cuando se quieren
sumar solo dos vectores. Los vectores se colocan cola
con cola, siendo estos vectores no paralelos; el vector
suma es la diagonal que parte del vértice que es el
origen común de los vectores.

21. B
A 
 R B
  
A
 Es el ángulo entre los dos vectores
 +  +  = 180º
 +  = 180º

22. El módulo del vector resultante R se obtiene
mediante el teorema del coseno o ley del coseno.
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝛾

23. Para encontrar la dirección del vector resultante
R se utiliza el teorema del seno o ley del seno.
𝑆𝑒𝑛𝛼
𝐴
=
𝑆𝑒𝑛𝛽
𝐵
=
𝑆𝑒𝑛𝛾
𝐶

24. MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES
Este es un método analítico en el que primero se
calculan las componentes rectangulares de cada
vector, tanto en la dirección X como en la dirección Y,
acompañadas de los respectivos vectores unitarios i y
j, y luego, se suman todas las componentes en X para
obtener una resultante en X y se suman todas las
componentes en Y para obtener una resultante en Y.
De esta forma se obtiene el vector suma o vector
resultante.

25. RESTA DE VECTORES
Para restar el vector B del vector A basta con sumar
geométricamente, el vector A con el opuesto al B; es decir,
A – B = A + (– B).

A  B = A + ( B)


26. Ejemplo 3: Determine el vector resultante de la suma
de A + B – C – D.
B
A 37o D
C
45o
A = 20 B = 28 C = 35 D = 40

27. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR “N”
a) n es un escalar sin unidades
Se obtiene otro vector de la misma magnitud física,
de módulo n veces el primero, paralelo al vector
inicial, en la misma dirección si n es positivo y en
dirección contraria si n es negativo.

28. Si 𝐶 = −3𝑖 + 4𝑗 + 5𝑘 entonces −2𝐶 = 6𝑖 − 8𝑗 − 10𝑘
V = 3 m/s
F = 8 N 3F = 24 N 4V = 12 m/s



29. b) n es un escalar con unidades
Se obtiene otro vector con diferente magnitud física
y paralelo al vector inicial y con módulo que resulta
del producto de los módulos del vector y el escalar.
Ejemplo:
Si el escalar es el tiempo (t = 6 s) y el vector es la
velocidad (V = 9i m/s), el resultado de multiplicar t
por V es el vector desplazamiento X = 54i m.

30. DIVISIÓN DE UN VECTOR ENTRE UN ESCALAR “N”
Esto equivale a multiplicar el vector por
1
𝑛
.
Por ejemplo, si a = 3.5 m/s2 entonces,
a  2 = ½ a = ½ (3.5 m/s2), por lo tanto
½ a = 1.75 m/s2.

31. PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO
El producto escalar de vectores se puede definir de dos
maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra
geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que
tiene un significado intuitivo.
Tomemos dos vectores A y B, y llamemos  al ángulo que
ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos
vectores es:
𝐴. 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝐶𝑜𝑠𝜃

32. En donde 𝐴 y 𝐵 corresponden a los módulos de los vectores 𝐴 y
𝐵, respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que
𝐴. 𝐴 = 𝐴
2
Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:
𝐴
2
= 𝐴 𝑥
2
+ 𝐴 𝑦
2
+ 𝐴 𝑧
2
es decir, se satisface el teorema de Pitágoras. Indudablemente, la
definición del producto escalar de vectores puede usarse para
definir el ángulo entre dos vectores,
𝐶𝑜𝑠𝜃 =
𝐴 . 𝐵
𝐴 𝐵

33. Geométricamente, el producto escalar se representa
como la proyección de un vector sobre el otro.
A

ACos
B

34. De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto
escalar de dos vectores puede también definirse usando las
componentes cartesianas de los vectores.
Si 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘 y 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘 entonces,
𝐴. 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝑖 . 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 . 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘 . 𝐵𝑧 𝑘
Pero sabemos que: 𝑖. 𝑖 = 𝑗. 𝑗 = 𝑘. 𝑘 = 1, por lo tanto obtenemos:
𝐴. 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧

35. El producto escalar es conmutativo ya que se cumple
que 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴
El producto escalar también cumple la ley
distributiva: 𝐴. 𝐵 + 𝐶 = 𝐴. 𝐵 + 𝐴. 𝐶
Ejemplo 4: Determine el ángulo  entre los vectores
𝐴 = −8𝑖 − 2𝑗 + 9𝑘 y 𝐵 = −6𝑖 + 9𝑗 + 8𝑘.

36. BIBLIOGRAFÍA
 SEARS, Francis W., ZEMANSKY, Mark W.,
YOUNG, Hugh D. y FREEDMAN, Roger A. Física
Universitaria. Undécima edición Volumen 1. México,
2004. Paginas 14 – 30.