Bab iv mtk 1

1,746 views
1,787 views

Published on

bab IV matematika teknik kimia itenas

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,746
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1,015
Actions
Shares
0
Downloads
28
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bab iv mtk 1

  1. 1. BAB IVPEBYELESAIAN PENYELESAIAN DENGAN DERETUntuk penyelesaian PD dengan metode series akan diberikan dua metodeyang banyak digunakan pada Teknik Kimia, yaitu Persamaan Bessel dan Laplace(banyak dipakai pada pengendalian proses/kontrol).4.1. Persamaan BesselPersamaan umum persamaan Bessel adalah :[ ] [ ] 0)1(2 222222=+−−−++++ yxbxrabdxcdxdybxaxdxydx rPsrPenyelesaian umum PD Bessel+= −−− spsprbxaxsdzCxsdzCexy!!()!!( 21)/(2/)1(P = cas− −2211Beberapa kasus :1. a. Jikasdadalah real dan P 0∉ atau ∉bilangan bulat maka Zp dinyatakandengan Jp dan Z-p dinyatakan dengan J-pb. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan Jn dan Z-pdinyatakan dengan Yn2. a. Jikasdadalah imajiner dan P 0∉ atau ∉bilangan bulat maka Zpdinyatakan dengan Ip dan Z-p dinyatakan dengan I -pa. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan In dan Z-pdinyatakan dengan KnContoh 156
  2. 2. Selesaikan PD dibawah ini :[ ] 02 22222=+−+ yxdxdyaxdxydx βββPenyelesaian :Jika disesuaikan dengan PD Bessel :a. 1 - 2β = a + 2bxrjadi ; b = 0a = 1 - 2βb. [ ]rPsxbxrabdxcx 22222)1( +−−−+=ββjadi ; c = 0d = β2s = βJadi :P = cas− −2211= 0221112− +− ββ= 111 2== ββββ12==ββsdKarena 12==ββsd=bilangan real dan P adalah bilangan bulat, makaZp dinyatakan dengan JnZ-p dinyatakan dengan YnContoh 2Persamaan pada pin pendingin :57
  3. 3. 0sec222=++ ykwLhdxdydxydxθDimana :x = jarak dari ujug piny = T - Ta, temperatur udara luar = 100 FT = temperatur pada xh = koefisien perpindahan konveksi = 2 Btu/hr.ft2.oFk = koefisien perpindahan panas konduksi = 220 Btu/hr.ft.oFL = total panjang pin = 1 ftw = tebal pin = 1/12 ftθ = sudut pada ujung pin, sec θ = 1Penyelesaian :JikakwLh θαsec2=Dan persamaan dikalikan dengan x maka akan diperoleh :0222=++ xydxdyxdxydx α58θLw
  4. 4. Jika dibandingkan dengan Persamaan umum Bessel :[ ] [ ] 0)1(2 222222=+−−−++++ yxbxrabdxcdxdybxaxdxydx rPsrAkan diperoleh ;a = 1 b = 0 c = 0d = -α s = ½ r = 0P = cas− −2211= 002112/112=− −imajinersd=−=2/1αKarena imajinersd= dan P = 0, maka :Zp dinyatakan dengan IoZ-p dinyatakan dengan KoSehingga PUPD nya adalah :xKCxICy oo αα 2()2( 21 +=Jika kondisi batas dimasukkan :1. T = finite pada x = 02. T = 200, Ta = 200 pada x = L = 1BC 1.Pada x = 0 Ko = tak terhingga Io = 1 (Tabel 5-1, Sherwood)Sehingga C2 = 059
  5. 5. )2(1 xICy o α=218,01.22012.1.2.2sec2===kwLh θα)218,02(1 xICy o=)218,02(1 xICTaT o=−BC. 2.X =1 , T = 200 (pusat) Ta = 100)218,02(1 xICTaT o=−)1.218,02(100200 1 oIC=−)9338,0(100 1 oIC=Untuk mencari harga Io(0,9338) lihat tabel 5.1 sherwood dengan inrpolasipada x = 0,5 dan x = 1, akan diperoleh ;Io(0,9338) = 1,230230,1.100 1C=C1 = 81,2Jadi persamaan akhirnya)218,02(.2,81 xITaT o=−4.2. LaplaceUmumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n ditulis60
  6. 6. Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear jika koefisiena1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t).Alih Ragam LaplaceAlih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yangdigunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Bila dibandingkan denganmetode klasik dalam menyelesaikan persamaan differensial, alih ragam Laplacememiliki keuntungan dua hal :1. Penyelesaian persamaan homogen dan integral khusus diperoleh dalam satuoperasi2. Alih ragam Laplace mengubah persamaan differensial ke persamaan aljabardalam s. Hal ini memungkinkan dapat memanipulasi persamaan aljabar denganaturan aljabar sederhana untuk memeperoleh solusi dalam wawasan s. Solusiakhir diperoleh dengan melakukan alih ragam Laplace balik.Definisi Alih-ragam LaplaceDiberikan suatu fungsi nyata f(t) yang memenuhi kondisiuntuk σ bilangan nyata terbatas, maka alih-ragam Laplace didefinisikan sebagaiatau F(s) = alih ragam Laplace dari f(t) = [f(t)]Peubah s disebut sebagai operator Laplace, berupa peubah kompleks, s = σ + jω.Contoh:Misalkan f(t) merupakan fungsi tangga satuan yang didefinisikan sebagai61
  7. 7. f(t) = us(t) = 1 t > 0= 0 t < 0Alih ragam Laplace f(t) ini diperoleh sebagai berikutUntuk memudahkan penerapan alih-ragam Laplace, dibawah ini diberikan tabelteorema alih-ragam Laplace :Tabel Teorema alih-ragam Laplace :Perkalian dengan konstanta [kf(t)] = kF(s)Penjumlahan dan beda [f1(t) + f2(t)]=F1(s)+F2(s)DifferensiasiPergeseran kompleksIntegralTeori nilai-akhirTabel Alih-ragam Laplace suatu fungsiFungsi Bentuk Alih-ragamLaplaceUnit Impuls 1Unit Step u(t) 1/s62
  8. 8. Unit Ramp t 1/s2Polinomial t2n!/sn+1EksponensialGel. sinus sin ωtGel. cosinus cos ωtGel sin teredamGel. cos teredamContoh 2 :Misalkan f(t) merupakan fungsi berikutTentukan alih ragam Laplace f(t) tersebutPenyelesaian :Dengan melihat tabel alih ragam Laplace, maka diperoleh :Alih-ragam Laplace BalikOperasi menentukan f(t) dari alih ragam laplace F(s) disebut sebagai alih-ragamLaplace balik, dan ditandaif(t) = [F(s)]Alih ragam Laplace balik adalah(2-1)dengan c adalah konstanta nyata yang lebih besar dari bagian nyata semuasingularitas F(s).63
  9. 9. Contoh 3Misalkan suatu fungsi Laplace diberikan olehTentukan alih ragam Laplace balik fungsi F(s) ini.Penyelesaian :Dengan memperhatikan table 2-1 dan 2-2 diperolehContoh 4Diberikan alih ragam Laplace sebagai berikut2942)( 2+++=ssssFTentukan alih ragam Laplace balik dari fungsi ini.Penyelesaian :Dengan memperhatikan tabel 2-2 diperolehAlih-ragam Laplace balikdengan ekspansi pecahan bagianDalam kebanyakan sistem kontrol, evaluasi alih-ragam Laplace balik tidaklangsung menggunakan integral balik persamaan (2-1). Sebaiknya, operasi alih ragamLaplace balik yang didalamnya berupa fungsi rasional diselesaikan menggunakantabel alih-ragam Laplace dan ekspansi pecahan-bagian. Ketika solusi persamaandifferensial bentuk alih-ragam Laplace merupakan fungsi rasional, maka solusi dapatditulis sebagai64
  10. 10. dengan Q(s) dan P(s) adalah polinomial dalam s. Dengan anggapan bahwa orde dariP(s) lebih besar dari Q(s). Polinomial P(s) ditulisdengan a1, a2, ..., an adalah koefisien nyata. Nol dari Q(s) dapat berupa nyata ataupasangan kompleks, orde tunggal atau rangkap.Ekspansi Pecahan-bagianUntuk semua pole X(s) adalah sederhana dan nyataBentuk :dengan . Dengan menerapkan ekspansi pecahan-bagian, makapersamaan ini ditulisdenganContoh 5 :Diberikan fungsi X(s) berikutTulislah dalam bentuk pecahan bagian ! dan tentukan x(t)Penyelesaian :X(s) ditulis dalam bentuk ekapansi bagian-pecahan sebagai berikut65
  11. 11. sehinggaEkspansi saat pole dari X(s) berbentuk orde rangkapBentuk :MakadenganContoh 6 :Diketahui fungsi X(s) berikut :Susunlah dalam bentuk pecahan bagian ! dan tentukan x(t)Penyelesaian :X(s) dalam bentuk ekspansi bagian-pecahan ditulis66
  12. 12. sehinggaAplikasi Alih-ragam Laplace Untuk Solusi Pers. DifferensialPersamaan differensial dapat diselesaikan menggunakan metode alih-ragamLaplace dengan bantuan tabel alih-ragam Laplace. Prosedur ringkasnya sebagaiberikut1. Ubah persamaan differensial ke bentuk alih ragam Laplace menggunakan tabel alihragam Laplace2. Manipulasikan persamaan aljabar hasil alih ragam dan selesaikan untuk variabelkeluaran3. Bentuklah ekspansi pecahan-bagian sehingga alih ragam Laplace balik dapatdiperoleh dari tabel Laplace4. Lakukan alih ragam balikUntuk ilustrasi akan diberikan satu contoh berikut :Contoh 7 :Diketahui persamaan differensial :67
  13. 13. dengan u(t) adalah fungsi langkah-satu. Kondisi awal x(0) = -1 dan.Penyelesaian :Untuk menyelesaikan persamaan differensial, pertama kali kita alihragamkan Laplacepada kedua sisi :Dengan memasukkan kondisi awal kedalam persamaan dan menyelesaikan untukX(s) diperolehKemudian dikembangkan ke ekspansi bagian-pecahan :Dengan melakukan alih ragam Laplace balik, diperoleh solusi persamaan differensial:68

×